Wykład szósty
Całka nieoznaczona c.d.
Wzory podstawowe
Z definicji funkcji pierwotnej i wzorów na pochodne funkcji elementarnych wynikają następujące
wzory podstawowe:
Z
0dx = C
Z
dx = x + C
Z
x
α
dx =
x
α+1
α + 1
+ C, α 6= −1
Z
dx
x
= ln |x| + C
Z
sin xdx = − cos x + C
Z
cos xdx = sin x + C
Z
dx
cos
2
x
= tg x + C
Z
dx
sin
2
x
= − ctg x + C
Z
dx
1 + x
2
= arctg x + C
Z
dx
√
1 − x
2
= arcsin x + C
Z
e
x
dx = e
x
+ C,
Z
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C, a > 0 ∧ a 6= 1
Z
sh xdx = ch x + C
Z
ch xdx = sh x + C
Z reguł różniczkowania wynikają wzory:
Z
(f (x) + g(x))dx =
Z
f (x)dx +
Z
g(x)dx ,
Z
A · f (x)dx = A ·
Z
f (x)dx , A ∈ R
Tw. (o całkowaniu przez części) Jeżeli funkcje f , f
0
, g , g
0
są ciągłe na przedziale X, to
R
f (x)g
0
(x)dx = f (x)g(x) −
R
f
0
(x)g(x)dx
Niech X oznacza przedział w R. Przez C
n
(X) oznaczamy zbiór wszystkich funkcji, które mają
ciągłe pochodne do n – tego rzędu włącznie na przedziale X. Jeżeli funkcja f ∈ C
n
(X), to
mówimy, że f jest klasy C
n
na zbiorze X.
Tw. (całkowaniu przez podstawienie t = h(x)). (X
h
→ T
g
→ R). Jeżeli
1. funkcja h jest klasy C
1
na przedziale X i T = h(X);
2. funkcja g posiada funkcję pierwotną G na przedziale T
to prawdziwa jest równość
Z
g(h(x))h
0
(x)dx =
Z
g(t)dt = G(h(x)) + C , C ∈ R.
Uwaga 1. Prawdziwe są wzory:
Z
dx
√
x
2
+ K
= ln |x +
√
x
2
+ K| + C,
Z
√
x
2
+ Kdx =
K
2
ln |x +
√
x
2
+ K| +
x
2
√
x
2
+ K + C
Z
dx
√
a
2
− x
2
= arcsin
x
a
+ C,
Z
√
a
2
− x
2
dx =
a
2
2
arcsin xa +
x
2
√
a
2
− x
2
+ C
Uwaga 2. Ogólnie:
Z
f
0
(x)
f (x)
dx = ln |f (x)| + C oraz
Z
f
α
(x) · f
0
(x)dx =
1
α + 1
f
α+1
(x) + C
Całkowanie funkcji wymiernych
Ułamki proste pierwszego rodzaju:
A
(x − a)
n
; drugiego rodzaju:
Ax + B
(x
2
+ px + q)
n
, a, A, B, p, q ∈ R,
n ∈ N i wielomian x
2
+ px + q jest nierozkładalny.
Całkowanie funkcji wymiernych właściwych (st L< st M) polega na rozkładzie tej funkcji na
ułamki proste i całkowaniu każdego składnika rozkładu.
Z
A
(x − a)
n
dx =
A
(1 − n)
·
1
(x − a)
n−1
+ C
, n 6= 1
A · ln |x − a| + C
, n = 1
Przy całkowaniu ułamków drugiego rodzaju, jeśli n 2, to korzysta się ze wzoru rekurencyjnego:
Z
dx
(x
2
+ 1)
n
=
1
2(n − 1)
x
(x
2
+ 1)
n−1
+
2n − 3
2n − 2
Z
dx
(x
2
+ 1)
n−1
, n 6= 1
arctg x + C
, n = 1
Tw. (o całkowaniu przez podstawienie x = φ(t)) (T
φ
→ X
f
→ R) Jeżeli
1. funkcja φ jest różnowartościowa i klasy C
1
na przedziale T i X = φ(T );
2. funkcja f posiada funkcję pierwotną na przedziale X
to prawdziwa jest równość
Z
f (x)dx =
Z
f (φ(t)) · φ
0
(t)dt = F (φ
−1
(x)) + C ,
gdzie F oznacza funkcje pierwotną funkcji podcałkowej w całce po prawej stronie.