Wykład szósty

Całka nieoznaczona c.d.

Wzory podstawowe

Z definicji funkcji pierwotnej i wzorów na pochodne funkcji elementarnych wynikają następujące
wzory podstawowe:

Z

0dx = C

Z

dx = x + C

Z

x

α

dx =

x

α+1

α + 1

+ C, α 6= −1

Z

dx

x

= ln |x| + C

Z

sin xdx = − cos x + C

Z

cos xdx = sin x + C

Z

dx

cos

2

x

= tg x + C

Z

dx

sin

2

x

= − ctg x + C

Z

dx

1 + x

2

= arctg x + C

Z

dx

√

1 − x

2

= arcsin x + C

Z

e

x

dx = e

x

+ C,

Z

a

x

dx =

a

x

ln a

+ C, a > 0 ∧ a 6= 1

Z

sh xdx = ch x + C

Z

ch xdx = sh x + C

Z reguł różniczkowania wynikają wzory:

Z

(f (x) + g(x))dx =

Z

f (x)dx +

Z

g(x)dx ,

Z

A · f (x)dx = A ·

Z

f (x)dx , A ∈ R

Tw. (o całkowaniu przez części) Jeżeli funkcje f , f

0

, g , g

0

są ciągłe na przedziale X, to

R

f (x)g

0

(x)dx = f (x)g(x) −

R

f

0

(x)g(x)dx

Niech X oznacza przedział w R. Przez C

n

(X) oznaczamy zbiór wszystkich funkcji, które mają

ciągłe pochodne do n – tego rzędu włącznie na przedziale X. Jeżeli funkcja f ∈ C

n

(X), to

mówimy, że f jest klasy C

n

na zbiorze X.

Tw. (całkowaniu przez podstawienie t = h(x)). (X

h

→ T

g

→ R). Jeżeli

1. funkcja h jest klasy C

1

na przedziale X i T = h(X);

2. funkcja g posiada funkcję pierwotną G na przedziale T

to prawdziwa jest równość

Z

g(h(x))h

0

(x)dx =

Z

g(t)dt = G(h(x)) + C , C ∈ R.

Uwaga 1. Prawdziwe są wzory:

Z

dx

√

x

2

+ K

= ln |x +

√

x

2

+ K| + C,

Z

√

x

2

+ Kdx =

K

2

ln |x +

√

x

2

+ K| +

x

2

√

x

2

+ K + C

Z

dx

√

a

2

− x

2

= arcsin

x

a

+ C,

Z

√

a

2

− x

2

dx =

a

2

2

arcsin xa +

x

2

√

a

2

− x

2

+ C

Uwaga 2. Ogólnie:

Z

f

0

(x)

f (x)

dx = ln |f (x)| + C oraz

Z

f

α

(x) · f

0

(x)dx =

1

α + 1

f

α+1

(x) + C

Całkowanie funkcji wymiernych

Ułamki proste pierwszego rodzaju:

A

(x − a)

n

; drugiego rodzaju:

Ax + B

(x

2

+ px + q)

n

, a, A, B, p, q ∈ R,

n ∈ N i wielomian x

2

+ px + q jest nierozkładalny.

Całkowanie funkcji wymiernych właściwych (st L< st M) polega na rozkładzie tej funkcji na
ułamki proste i całkowaniu każdego składnika rozkładu.

Z

A

(x − a)

n

dx =











A

(1 − n)

·

1

(x − a)

n−1

+ C

, n 6= 1

A · ln |x − a| + C

, n = 1

Przy całkowaniu ułamków drugiego rodzaju, jeśli n ­ 2, to korzysta się ze wzoru rekurencyjnego:

Z

dx

(x

2

+ 1)

n

=











1

2(n − 1)

x

(x

2

+ 1)

n−1

+

2n − 3

2n − 2

Z

dx

(x

2

+ 1)

n−1

, n 6= 1

arctg x + C

, n = 1

Tw. (o całkowaniu przez podstawienie x = φ(t)) (T

φ

→ X

f

→ R) Jeżeli

1. funkcja φ jest różnowartościowa i klasy C

1

na przedziale T i X = φ(T );

2. funkcja f posiada funkcję pierwotną na przedziale X

to prawdziwa jest równość

Z

f (x)dx =

Z

f (φ(t)) · φ

0

(t)dt = F (φ

−1

(x)) + C ,

gdzie F oznacza funkcje pierwotną funkcji podcałkowej w całce po prawej stronie.