**. Pomiar gęstości  prawdopodobieństwa  

( )

x

f

x

 (hipoteza ergodycznośći) 

 
 

.........................................................

x1

X2

Xn

t

t

t

 

 

( )

x

x

t
x

m

m

t

=

∞

∈

∀

      

,

0

 

 

Stacjonarny proces jest procesem ergodycznym jeŜeli średnia policzona po zbiorze realizacji 
jest taka sama dla wszystkich czasów rzeczywistych i dodatkowo jest równa średniej liczonej 
po czasie dla wszystkich realizacji. Dla ergodycznych  procesów stochastycznych,  gęstość 
prawdopodobieństwa i dystrybuantę prawdopodobieństwa moŜna łatwo obliczyć według 
następujących schematów. 
 
Obliczenie  gęstości prawdopodobieństwa: 

( )

x

f

x

 

 

∆

t

1

∆

t

2

∆

t

3

∆

t

4

∆

t

5

∆

t

6

t

X(t)

X

X+ X

∆

T

 

 

( )

?

x

∆

T

x

∆

T

t

∆

x

f

k

i

T

x

∆

x

=

=

∑

∞

→

→

 

,

          

 

 

lim

lim

1

0

 

 

 

Czas obserwacji  procesu (horyzont czasowy pomiaru) powinien być wystarczająco długi. 
Oznacza to przy uŜywaniu powyŜszego wzoru dla danego 

x

, zakończenie obliczeń  gdy 

wydłuŜanie czasu obserwacji nie powoduje zmian 

( )

x

f

x

. 

 
 
 
 

Obliczenie  dystrybuanty: 

( )

x

F

x

 

∆τ

1

∆τ

2

∆τ

3

t

X(t)

X

 

 
 

( )

T

∆

x

F

k

i

T

x

∑

∞

→

=

1

 

lim

τ

 

 
 
 

 
 
rozkład gaussowski: 
 

( )

(

)

2

2

2

1

x

x

m

x

x

x

e

x

f

σ

σ

π

−

−

=

 

 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

rozkład dwumianowy 
 

 

rozkład jednorodny (równomierny) 

 

 
 
 
 
 
 
**. Pomiar gęstości  widmowej  

( )

ω

j

Φ

xx

 

 
Bezpośrednie wyliczenie gęstości widmowej własnej lub wzajemnej jest trudne. Łatwiej 
Jest najpierw wyliczyć odpowiednie funkcje korelacji a następnie obliczyć ich transformaty 
Fouriera. 
 
Obliczenie funkcji korelacji w oparciu o dane pomiarowe: 
 

( )

( ) ( )

( ) (

)

( )

k∆

k∆

n∆

x

n∆

x

K

N

t

d

t

x

t

x

T

R

T

xx

xx

K

N

0

n

0

R

1

1

 

 

1

=

+

⋅

−

+

≅

+

⋅

=

∑

∫

−

=

τ

τ

 

 

max

,....

2

,

1

,

0

k

k

=

 

 

( )

( )

τ

τ

−

=

xx

xx

R

R

 

( )

( )

τ

τ

−

≠

xx

xy

R

R

 

 

 

X(t)

t

∆

t

 

 
warunki poprawnych obliczeń dla sygnałów ciągłych:  
 

( )

(

)

  

0

lim

  

    

          

   

max

=

=

=

∞

→

τ

τ

τ

xx

R

?

?

T

 

Horyzont czasowy powinien być tak długi aby wydłuŜanie czasu obliczeń nie powodowało 
zmian wartości otrzymywanych funkcji korelacji. Maksymalna wartość przesunięcia 
czasowego, powinna być tak duŜa aby obejmowała czas w którym występuje funkcja 
korelacji. 
 
warunki poprawnych obliczeń dla sygnałów próbkowanych z krokiem próbkowania

 

 

   t

∆   : 

 

  

          

 

  

   

max

?

t

∆

?

k

?

N

=

=

=

 

d

g

g

d

I

T

∆t

∆t

k

T

g

d

ω

ω

ω

π

τ

ω

π

τ

ω

ω

+

=

=

≤

=

⇒

=

≥

1

    

2

 

      

     

       

2

max

max

max

 

 
Obliczenie na podstawie 

( )

( )

τ

τ

xy

xx

R

R

,

 

  funkcji   

( )

( )

ω

ω

j

Φ

Φ

xy

xx

,

 

 -metoda trapezów 

 

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

τ

τ

ω

τ

τ

τ

ω

τ

τ

τ

ω

τ

ω

d

R

j

d

R

d

e

R

j

Φ

xy

xy

j

xy

xy

 

sin

 

 

cos

 

 

 

∫

∫

∫

+∞

∞

−

+∞

∞

−

−

+∞

∞

−

−

=

=

 

 
wprowadzamy funkcje 

i

T

  : 

T

i

K

i

t

t

i- i

∆

t

i+ i

∆

t

i

 

 
 

( )

( )























∆

+

≥

∆

+

<

<

∆

−













∆

+

+

∆

−

=

∆

−

≤

<

=

  

          

       

          

          

          

0

   

 

 

        

1

2

2

0

 

          

          

          

          

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

 t

 

t

t

t

K

K

p

t

K

T

τ

τ

τ

τ

τ

τ

 

 

( )

( )

∑

=

≅

n

i

i

xy

T

R

1

τ

τ

 

 

( )

( )

( )

( )

( )

∑ ∫

∑ ∫

∫ ∑

∫ ∑

∫

=

+∞

∞

−

=

+∞

∞

−

+∞

∞

−

=

+∞

∞

−

=

+∞

∞

−

−















−















=













−













≅

=

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

j

xy

xy

d

T

j

d

T

d

T

j

d

T

d

e

R

j

Φ

1

1

1

1

 

sin

  

 

cos

 

sin

 

 

cos

 

τ

τ

ω

τ

τ

ω

τ

τ

ω

τ

τ

ω

τ

ω

ωτ

 

 
 

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

∑

∫

∫

∑

∫

∫

=

∆

+

∆

−

∆

−

=

∆

+

∆

−

∆

−















+

−















+

≅

n

i

t

t

i

t

i

n

i

t

t

i

t

i

xy

d

t

p

d

K

j

d

t

p

d

K

j

Φ

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

1

0

1

0

 

sin

 

sin

  

 

cos

 

cos

τ

τ

ω

τ

τ

ω

τ

τ

ω

τ

τ

ω

ω

 
 
 
 

( )

(

)

( ) ( )

∑

=













∆

∆

≅

n

i

i

i

i

i

i

i

xy

t

t

t

K

j

Φ

1

sin

sin

Re

ω

ω

ω

ω

ω

 

 
 

( )

(

)

( ) ( )

∑

=













∆

∆

+

−

−

≅

n

i

i

i

i

i

i

i

i

i

xy

t

t

t

K

K

t

sign

j

Φ

1

cos

cos

)

(

Im

ω

ω

ω

ω

ω

ω