Ogólny opis krzywych 
wielomianowych trzeciego stopnia

𝑄(𝑡) = 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡

𝑇

𝑥 𝑡 = 𝑎

𝑥

𝑡

3

+ 𝑏

𝑥

𝑡

2

+ 𝑐

𝑥

𝑡 + 𝑑

𝑥

𝑦 𝑡 = 𝑎

𝑦

𝑡

3

+ 𝑏

𝑦

𝑡

2

+ 𝑐

𝑦

𝑡 + 𝑑

𝑦

𝑧 𝑡 = 𝑎

𝑧

𝑡

3

+ 𝑏

𝑧

𝑡

2

+ 𝑐

𝑧

𝑡 + 𝑑

𝑧

0 ≤ 𝑡 ≤ 1



Krzywe takie są najczęściej zapisywane w 
postaci:

Macierzowy opis krzywych 
wielomianowych trzeciego stopnia

𝑄 𝑡 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡

𝑇

= 𝐂 𝐓

𝐂 =

𝑎

𝑥

𝑏

𝑥

𝑐

𝑥

𝑑

𝑥

𝑎

𝑦

𝑏

𝑦

𝑐

𝑦

𝑑

𝑦

𝑎

𝑧

𝑏

𝑧

𝑐

𝑧

𝑑

𝑧

𝐓 = 𝑡

3

𝑡

2

𝑡 1

𝑇



Lub w wersji macierzowej:

Krzywe parametryczne



Dwa połączone segmenty krzywej 2D i 
definiujące ją wielomiany.

Ciągłość pomiędzy segmentami



Ciągłość między segmentami krzywej jest zapewniana 
dzięki stałego kierunku pochodnych do obu 
segmentów we wspólnym punkcie obu segmentów:

𝑑

𝑑𝑡

𝑄 𝑡 =

𝑑

𝑑𝑡

𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡

𝑇

=

=

𝑑

𝑑𝑡

𝐂 𝐓 = 𝐂 3𝑡

2

, 2𝑡, 1

𝑇

Ciągłość parametryczna typu 𝐶

0

, 𝐶

1

i 𝐶

2



Segment 𝑆 krzywej połączony z segmentami C

0

, 𝐶

1

, 

𝐶

2

o stopniach ciągłości parametrycznej 

odpowiednio 0, 1 i 2.

Ciągłość geometryczna typu 𝐺

0

, 𝐺

1

i 

parametryczna 𝐶

0

, 𝐶

1



Segment 𝑄

1

, 𝑄

2

, 𝑄

3

łączą się 

w punkcie 𝑃

2



Segmenty 𝑄

1

i 𝑄

2

mają 

równe i równoległe wektory 
styczne –

ciągłość 

parametryczna

𝐶

1



Segmenty 𝑄

1

i 𝑄

3

mają 

równoległe, ale nierówne 
wektory styczne –

ciągłość 

geometryczna

𝐺

1

Macierz geometrii i macierz bazowa



𝐆 – macierz geometrii



𝐌 – macierz bazowa

𝑄 𝑡 = 𝐆 𝐌 𝐓

𝑄 𝑡 =

𝑥 𝑡
𝑦 𝑡

𝑧 𝑡

𝑄 𝑡 =

𝑔

1

𝑥

𝑔

2

𝑥

𝑔

3

𝑥

𝑔

4

𝑥

𝑔

1

𝑦

𝑔

2

𝑦

𝑔

3

𝑦

𝑔

4

𝑦

𝑔

1

𝑧

𝑔

2

𝑧

𝑔

3

𝑧

𝑔

4

𝑧

𝑚

11

𝑚

21

𝑚

31

𝑚

41

𝑚

12

𝑚

22

𝑚

32

𝑚

42

𝑚

13

𝑚

23

𝑚

33

𝑚

43

𝑚

14

𝑚

24

𝑚

34

𝑚

44

𝑡

3

𝑡

2

𝑡

1

Macierz geometrii i macierz bazowa

𝑄 𝑡 = 𝐆 𝐌 𝐓

𝑄 𝑡 = 𝐆

1

𝐆

2

𝐆

3

𝐆

4

𝑚

11

𝑚

21

𝑚

31

𝑚

41

𝑚

12

𝑚

22

𝑚

32

𝑚

42

𝑚

13

𝑚

23

𝑚

33

𝑚

43

𝑚

14

𝑚

24

𝑚

34

𝑚

44

𝑡

3

𝑡

2

𝑡

1



𝐆

𝒊

– wektory opisujące punkty lub kierunki w 

zależności od reprezentacji krzywych 
(Herimite’a, Beziera, itd.)

Parametryczne funkcje współrzędnych 
wielomianu

𝑥 𝑡 = 𝐆

𝑥

𝐌 𝐓

𝑥 𝑡 = 𝑡

3

𝑚

11

+ 𝑡

2

𝑚

21

𝑡𝑚

31

+ 𝑚

41

𝑔

1𝑥

+

+ 𝑡

3

𝑚

12

+ 𝑡

2

𝑚

22

𝑡𝑚

32

+ 𝑚

42

𝑔

2𝑥

+

+ 𝑡

3

𝑚

13

+ 𝑡

2

𝑚

23

𝑡𝑚

33

+ 𝑚

43

𝑔

3𝑥

+

+ 𝑡

3

𝑚

14

+ 𝑡

2

𝑚

24

𝑡𝑚

34

+ 𝑚

44

𝑔

4𝑥



Parametryczne funkcje współrzędnych wielomianu 

ujmują wagi w postaci wielomianów 3-go stopnia.



Przykładowo współrzędna 𝑥(𝑡) jest opisywana 

wielomianem:



Analogiczne zależności można podać dla pozostałych 

współrzędnych krzywej

Analogia do aproksymacji łamaną



Współrzędne linii łamanej są opisywane w 
analogiczny sposób, jednak stopień 
wielomianu jest niższy:

𝑥 𝑡 = 𝑔

1𝑥

1 − 𝑡 + 𝑔

1𝑥

𝑡

y 𝑡 = 𝑔

1𝑦

1 − 𝑡 + 𝑔

1𝑦

𝑡

𝑧 𝑡 = 𝑔

1𝑧

1 − 𝑡 + 𝑔

1𝑧

𝑡

Rysowanie krzywych parametrycznych



Obliczamy równania dla 𝑛 kolejnych wartości 

𝑡 z krokiem .



Reguła Hornera faktoryzacji wielomianów

zmniejsza nakład obliczeń do 9 mnożeń i 10 
dodawań dla punktu 3D (trzy współrzędne).

𝑓 𝑡 = 𝑎𝑡

3

+ 𝑏𝑡

2

+ 𝑐𝑡 + 𝑑 = 𝑎𝑡 + 𝑏 𝑡 + 𝑐 𝑡 + 𝑑