Analiza Matematyczna 1 dla WPPT F/IB, lista 1
W logice zdanie oznacza zawsze zdanie oznajmujące, prawdziwe lub fałszywe.
Zaprzeczeniem ¬α zdania prawdziwego α jest zdanie fałszywe, a zaprzeczeniem fałszywego — zdanie
prawdziwe.
Koniunkcja α ∧ β (czytaj: alfa i beta) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania, i α i β są
prawdziwe.
Alternatywa α ∨ β (czytaj: alfa lub beta) jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania są fałszywe.
Implikacja α =⇒ β (czytaj: jeżeli alfa, to beta) jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie α jest
prawdziwe, a zdanie β fałszywe. Zdanie α jest poprzednikiem, a danie β następnikiem implikacji.
Większość twierdzeń matematyki jest sformułowanych w postaci implikacji. Zdanie α jest wtedy założe-
niem twierdzenia, a zdanie β jego tezą.
Kwantyfikator ogólny, oznaczany zwykle symbolem ∀, czytamy: dla każdego. Na przykład zdanie
zapisane symbolicznie ∀x ∈ R (x
2
0) odczytujemy: dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność
x
2
jest większe bądź równe zero.
Zwrot dla każdej liczby rzeczywistej x oznacza to samo, co dla wszystkich liczb rzeczywistych x.
Kwantyfikator szczegółowy, oznaczany zwykle symbolem ∃, czytamy: istnieje. Na przykład zdanie
zapisane symbolicznie ∃x ∈ R (x
2
= 2) odczytujemy: istnieje taka liczba rzeczywista x, której kwadrat jest
równy 2.
Łatwo zapamiętać kwantyfikatory, kojarząc symbol ∀ z angielskim wyrazem All, a symbol ∃ z Exists.
Zadanie 1. Dla tych z poniższych zdań, które są zdaniami w sensie logiki, podaj ich wartość logiczną.
a)
π
3
= 1,
b)
√
5 +
√
3 =
√
8,
c)
√
5 ·
√
3 =
√
15,
d) log
2
2
10
= 10,
e) x + 3 = 1
f) x
2
> 0,
g) ∀x ∈ R (x
2
> 0),
h) ∃x ∈ R (x
2
> 0),
i) ∃x ∈ R (x
2
> 2
x
),
j) ∃x ∈ R (x
2
< 2
x
).
Zadanie 2. Definicja podaje, kiedy alternatywa i implikacja sa fałszywe. Jakie warunki powinny spełniać
zdania α i β, aby prawdziwa była: a) alternatywa; b) implikacja?
Zadanie 3. Podstawiając kolejno 4 możliwości (α i β prawdziwe, α i β fałszywe, ...) sprawdź, że implikacja
α =⇒ β jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwa jest implikacja (¬β) =⇒ (¬α)
Zadanie 4. Zapisz przy użyciu spójników logicznych i oraz lub rozwiązania poniższych równań lub nie-
równości:
a) (a + 3)(b − 2) = 0,
b) (a + 3)(b − 2) 6= 0,
c) (a + 3)(b − 2) > 0,
d)
a+3
b−2
¬ 0.
Zadanie 5. Prawdziwe jest twierdzenie: Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez 12, to jest podzielna
przez 3. Wskaż założenie i tezę tego twierdzenia. Na podstawie tego twierdzenia podaj warunek wystar-
czający podzielności przez 3. Dlaczego nie jest to warunek konieczny?
Podaj warunek konieczny i wystarczający podzielności liczby naturalnej przez 3.
Zadanie 6. Niech x, y ∈ R. Prawdziwa jest implikacja: (x > 0 i y > 0) =⇒ (x · y > 0).
Wskaż założenie i tezę twierdzenia.
a) Wiadomo, że (α > 1 i β > −1). Czy powyższe twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o znaku iloczynu
(α − 1)(β + 1)? A o znaku iloczynu α · β? Podaj przykłady.
b) Wiadomo, że αβ > 0. Czy powyższe twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o znaku liczb α, β?
c) Wiadomo, że γδ < 0. Jaki wniosek o znakach liczb γ, β pozwala wyciągnąć powyższe twierdzenia?
Zadanie 7*. Oto fikcyjny fragment raportu policji, sporządzony przez młodego aspiranta:
Świadek nie był zastraszony, lub też, jeśli Henryk popełnił samobójstwo, to testament odnaleziono. Je-
śli świadek był zastraszony, to Henryk nie popełnił samobójstwa. Jeśli testament odnaleziono, to Henryk
popełnił samobójstwo. Jeśli Henryk nie popełnił samobójstwa, to testament odnaleziono.
Co komendant może wywnioskować z tego raportu poza oczywistym wnioskiem, że należy zwolnić aspi-
ranta? Spróbuj odpowiedzieć na pytania:
a) Czy świadek był zastraszony? b) Czy Henryk popełnił samobójstwo? c) Czy testament odnaleziono?