Analiza Matematyczna 1 dla WPPT F/IB, lista 1

W logice zdanie oznacza zawsze zdanie oznajmujące, prawdziwe lub fałszywe.

Zaprzeczeniem ¬α zdania prawdziwego α jest zdanie fałszywe, a zaprzeczeniem fałszywego — zdanie
prawdziwe.

Koniunkcja α ∧ β (czytaj: alfa i beta) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania, i α i β są
prawdziwe.

Alternatywa α ∨ β (czytaj: alfa lub beta) jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania są fałszywe.

Implikacja α =⇒ β (czytaj: jeżeli alfa, to beta) jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie α jest
prawdziwe, a zdanie β fałszywe. Zdanie α jest poprzednikiem, a danie β następnikiem implikacji.
Większość twierdzeń matematyki jest sformułowanych w postaci implikacji. Zdanie α jest wtedy założe-
niem twierdzenia, a zdanie β jego tezą.

Kwantyfikator ogólny, oznaczany zwykle symbolem ∀, czytamy: dla każdego. Na przykład zdanie
zapisane symbolicznie ∀x ∈ R (x

2

­ 0) odczytujemy: dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność

x

2

jest większe bądź równe zero.

Zwrot dla każdej liczby rzeczywistej x oznacza to samo, co dla wszystkich liczb rzeczywistych x.

Kwantyfikator szczegółowy, oznaczany zwykle symbolem ∃, czytamy: istnieje. Na przykład zdanie
zapisane symbolicznie ∃x ∈ R (x

2

= 2) odczytujemy: istnieje taka liczba rzeczywista x, której kwadrat jest

równy 2.
Łatwo zapamiętać kwantyfikatory, kojarząc symbol ∀ z angielskim wyrazem All, a symbol ∃ z Exists.

Zadanie 1. Dla tych z poniższych zdań, które są zdaniami w sensie logiki, podaj ich wartość logiczną.

a)

π

3

= 1,

b)

√

5 +

√

3 =

√

8,

c)

√

5 ·

√

3 =

√

15,

d) log

2

2

10

= 10,

e) x + 3 = 1

f) x

2

> 0,

g) ∀x ∈ R (x

2

> 0),

h) ∃x ∈ R (x

2

> 0),

i) ∃x ∈ R (x

2

> 2

x

),

j) ∃x ∈ R (x

2

< 2

x

).

Zadanie 2. Definicja podaje, kiedy alternatywa i implikacja sa fałszywe. Jakie warunki powinny spełniać
zdania α i β, aby prawdziwa była: a) alternatywa; b) implikacja?

Zadanie 3. Podstawiając kolejno 4 możliwości (α i β prawdziwe, α i β fałszywe, ...) sprawdź, że implikacja
α =⇒ β jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwa jest implikacja (¬β) =⇒ (¬α)

Zadanie 4. Zapisz przy użyciu spójników logicznych i oraz lub rozwiązania poniższych równań lub nie-
równości:

a) (a + 3)(b − 2) = 0,

b) (a + 3)(b − 2) 6= 0,

c) (a + 3)(b − 2) > 0,

d)

a+3

b−2

¬ 0.

Zadanie 5. Prawdziwe jest twierdzenie: Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez 12, to jest podzielna
przez 3. Wskaż założenie i tezę tego twierdzenia. Na podstawie tego twierdzenia podaj warunek wystar-
czający podzielności przez 3. Dlaczego nie jest to warunek konieczny?
Podaj warunek konieczny i wystarczający podzielności liczby naturalnej przez 3.

Zadanie 6. Niech x, y ∈ R. Prawdziwa jest implikacja: (x > 0 i y > 0) =⇒ (x · y > 0).
Wskaż założenie i tezę twierdzenia.

a) Wiadomo, że (α > 1 i β > −1). Czy powyższe twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o znaku iloczynu
(α − 1)(β + 1)? A o znaku iloczynu α · β? Podaj przykłady.
b) Wiadomo, że αβ > 0. Czy powyższe twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o znaku liczb α, β?
c) Wiadomo, że γδ < 0. Jaki wniosek o znakach liczb γ, β pozwala wyciągnąć powyższe twierdzenia?

Zadanie 7*. Oto fikcyjny fragment raportu policji, sporządzony przez młodego aspiranta:

Świadek nie był zastraszony, lub też, jeśli Henryk popełnił samobójstwo, to testament odnaleziono. Je-
śli świadek był zastraszony, to Henryk nie popełnił samobójstwa. Jeśli testament odnaleziono, to Henryk
popełnił samobójstwo. Jeśli Henryk nie popełnił samobójstwa, to testament odnaleziono.

Co komendant może wywnioskować z tego raportu poza oczywistym wnioskiem, że należy zwolnić aspi-
ranta? Spróbuj odpowiedzieć na pytania:
a) Czy świadek był zastraszony? b) Czy Henryk popełnił samobójstwo? c) Czy testament odnaleziono?