Model odpowiedzi-materiał diagnostyczny 2008-poziom rozszerzony

MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA

POZIOM ROZSZERZONY

Numer

zadania

Etapy rozwiązania zadania

Liczba

punktów

Uwagi dla

egzaminatorów

1.1 Zapisanie warunku

0

12

4

3

2

3

≥

+

−

−

x

x

x

.

1

1.2 Zapisanie lewej strony nierówności w postaci iloczynowej

0

3)

-

2)(x

2)(x

-

(x

>

+

.

1

1.3 Rozwiązanie warunku

)

,

3

2

,

2

∞

<

∪

>

−

∈<

x

.

1

1.4 Zapisanie warunków 5-x>0 i

1

5

≠

− x

.

1

1.5 Zapisanie

warunku,

że liczba logarytmowana jest dodatnia.

1

1.6

Zastosowanie wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczenie dla
jakich argumentów x suma wyrazów tego ciągu jest dodatnia x>2.

1

1

1.7 Wyznaczenie dziedziny funkcji

}

4

{

\

)

5

,

3

∈<

x

.

1

2.1

Zauważenie, że suma dwóch nieujemnych składników może być zerem tylko

wtedy, gdy każdy składnik jest zerem

0

)

2

1

2

(

2

=

−

x

i

0

1

3

2

2

=

+

− x

x

.

1

2.2 Rozwiązanie równania

0

1

3

2

2

=

+

− x

x

x=1 lub x=0,5.

1

2.3 Rozwiązanie równania

0

)

2

1

2

(

2

=

−

x

x=0,5.

1

2

2.4 Podanie odpowiedzi do zadania

5

,

0

=

x

.

1

3.1 Zapisanie warunku

0

≥

∆

i przekształcenie go do postaci

0

9

8

4

2

≥

+

− p

p

1

Uznajemy warunek

0

>

∆

.

3.2 Rozwiązanie nierówności 0

9

8

4

2

≥

+

− p

p

,

R

p

∈

1

3.3

Skorzystanie ze wzorów Viete’a i wyznaczenie iloczynu miejsc zerowych funkcji
f:

p

p

x

x

2

2

2

1

+

−

=

⋅

1

3.4 Rozwiązanie równania

0

)

2

)(

2

3

(

=

−

−

p

x

x

: x’=6 lub x’’=0,5p.

1

3.5

Rozpatrzenie przypadku, że x’<x’’, rozważenie warunku

6

2

2

=

+

−

p

p

i zauważenie, że

∅

∈

p

.

1

3

3.6

Rozpatrzenie przypadku, że x’>x’’, zapisanie warunku

2

2

2

p

p

p

=

+

−

i rozwiązanie warunku

2

2

2

p

p

p

=

+

−

, czyli p=0 lub p=1,5.

1

Model odpowiedzi-materiał diagnostyczny 2008-poziom rozszerzony

4.1

Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego do zapisania warunku

α

α

cos

3

2

3

2

sin

=

.

1

4.2

Wykorzystanie wzoru na kwadrat sumy

α

α

α

α

α

α

2

2

2

cos

cos

sin

2

sin

)

cos

(sin

+

+

=

+

..

1

4.3 Wykorzystanie wzoru jedynkowego:

α

α

α

α

cos

sin

2

1

)

cos

(sin

2

+

=

+

.

1

4

4.4 Obliczenie

α

α

cos

sin

+

:

3

17

cos

sin

=

+

α

α

.

1

5.1

Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego do zapisania
zależności.

6

1

1

−

=

− a

q

a

.

1

5.2

Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego do zapisania zależności:

18

1

3

1

−

=

− a

q

a

.

1

5.3

Wykorzystanie wzoru skróconego mnożenia do zapisania zależności

18

)

1

)(

1

(

2

1

−

=

+

+

−

q

q

q

a

.

1

5.4

Doprowadzenie równania do postaci

0

2

2

=

−

+ q

q

.

1

5.5

Rozwiązanie równania

0

2

2

=

−

+ q

q

:

2

lub

1

−

=

=

q

q

Zauważenie, że

1

=

q

nie spełnia warunków zadania.

1

5

5.6

Obliczenie

1

a

:

2

1

=

a

Obliczenie a

3

:

a

3

=8.

1

6.1

Zapisanie nierówności między wysokościami i bokami dowolnego trójkąta
ostrokątnego lub rozwartokątnego h

a

<b, h

b

<c, h

c

<a,

gdzie a,b,c -boki trójkąta, a h

a

, h

b

, h

c

wysokości opuszczone odpowiednio proste

zawierające boki a,b,c.

1

6.2 Wykazanie,

że h

a

+h

b

+h

c

<a+b+c.

1

6

6.3

Rozpatrzenie przypadku trójkąta prostokątnego:

a

h

a

= ,

b

h

b

= i

c

h

c

<

stąd h

a

+h

b

+h

c

<a+b+c (c oznacza przeciwprostokątną).

1

Model odpowiedzi-materiał diagnostyczny 2008-poziom rozszerzony

7.1 Wykonanie rysunku pomocniczego, wprowadzenie oznaczeń, np.

a-dłuższa podstawa trapezu, b-krótsza podstawa trapezu, c-długość dłuższego
ramienia r-promień okręgu wpisanego, h-wysokość trapezu
i zauważenie, że h=2r i zapisanie wzoru na pole trapezu

5

2

)

(

=

⋅

+

=

h

b

a

P

1

7.2

Wykorzystanie własności czworokąta opisanego na okręgu do zapisania
zależności a+b=2r+c.

1

7.3 Wykorzystanie obwodu trapezu do zapisania zależności a+b+2r+c=10. 1

7.4 Obliczenie sumy długości podstaw a+b=5. 1

7

7.5 Obliczenie

długości promienia okręgu: r=1. 1

8.1

Sporządzenie rysunku pomocniczego z narysowanymi obydwoma odcinkami
jednokładnymi i środkami jednokładności.

1

8.2

Wyznaczenie równania prostej S

1

B

(lub S

1

A

).

2

9

2

1

:

.

1

+

= x

y

B

S

pr

3

:

.

1

−

−

= x

y

A

S

pr

.

1

8.3

Wyznaczenie równania prostej S

2

A (lub S

2

B).

3

:

.

2

=

x

B

S

pr

1

:

.

2

−

= x

y

A

S

pr

.

1

8.4

Obliczenie współrzędnych punktu B’, będącego obrazem B w jednokładności (lub
A’):

(

)

6

,

3

−

lub

(

)

10

,

11

.

1

8

8.5 Obliczenie skali jednokładności

2

−

=

k

.

1

9.1 Obliczenie, na ile sposobów można wybrać trzy liczby spośród 9













3

9

.

1

Przyznajemy punkt, gdy zdający

zastosował poprawną metodę,

nawet w sytuacji, gdy popełni

błąd rachunkowy.

9.2

Zauważenie, że wśród danych liczb są 4 liczby parzyste i 5 nieparzystych.

1

9.3 Wyznaczenie ilości zdarzeń, w których otrzymamy nieparzysty iloczyn













3

5

.

1

9.4

Wyznaczenie ilości zdarzeń, w których otrzymamy parzysty iloczyn













−













3

5

3

9

.

1

Jeżeli zdający zapisze ilość

zdarzeń, w których otrzymamy

parzysty iloczyn w sposób













+













⋅













+













⋅













3

4

1

5

2

4

2

5

1

4

otrzymuje punkty za czynności

9.3 i 9.4.

9

9.5 Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia, że iloczyn liczb jest parzysty

42

37

.

1

Prawidłowość obliczeń

oceniamy w punkcie 5.5.

Model odpowiedzi-materiał diagnostyczny 2008-poziom rozszerzony

10.1

Zapisanie założeń 0<r<2, 0<h<4,
gdzie r - promień podstawy walca, h - wysokość walca
i zapisanie wzoru na pole powierzchni bocznej walca

h

r

P

⋅

⋅

=

π

2

.

1

10.2

Wykorzystanie podobieństwa trójkątów do zapisanie zależności między

wysokością i promieniem walca

4

2

2

=

−
h

r

.

1

10.3

Przedstawienie pola powierzchni bocznej walca jako funkcji jednej zmiennej r
lub h,

)

2

(

4

f(r)

P

r

r

−

⋅

⋅

=

=

π

lub

)

4

(

)

(

P

h

h

h

f

−

⋅

⋅

=

=

π

.

1

10.4

Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli

2

1

=

=

h

r

, sprawdzenie, czy spełnione są warunki z punktu 10.1.

1

10

10.5

Obliczenie objętości walca

π

2

=

V

.

1

Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.