C16 – wykład 

MECHANIKA  BUDOWLI  I 

Marek Krzysztof Jasina 

 

13.cd. Metoda sił – belki ciągłe, równanie trzech momentów – przykład 

 
Dana jest belka ciągła przedstawiona na rysunku, sporządzić wykresy sił wewnętrznych.  
Należy przyjąć, że we wszystkich prętach 

const

E

=

. 

(© skowronek)

 

Rys. 13.9   Belka ciągła 

 
Stosując równanie trzech momentów w zasadzie nie ma konieczności przyjmowania układu 
podstawowego metody sił, zbędne jest także rysowanie i całkowanie wykresów momentów zginających 
w UPMS od obciążenia zewnętrznego i od jednostkowych stanów nadliczbowych.  
 
W tym przypadku, jedynie w celu poglądowym, przyjmiemy układ podstawowy metody sił pokazany na 
rys. 13.10. 

(© skowronek)

 

Rys. 13.10   Belka ciągła - układ podstawowy metody sił 

 
Równanie trzech momentów zapisujemy poniżej w poznanej wcześniej postaci  

 

(

)

1

1

1

2

k

k

k

k

k

k

k

k

1

0

X

l

X

l

l

X

l

N

−

+

+

′

′

′

′

⋅ + ⋅

⋅

+

+

⋅

=

+

. (13.4) 

 
W analizowanym zadaniu (stopień statycznej niewyznaczalności 

2

n

=

) mamy dwie niewiadome 

nadliczbowe 

1

X  i 

2

X  (lub zapisane w postaci 

,

1, 2

k

X

k

=

), są to momenty zginające w przekrojach nad 

kolejnymi podporami 

1 i  . 

2

 
Równanie trzech momentów zapiszemy zatem dwukrotnie, przyjmując kolejno 

 i 

. 

1

k

=

2

k

=

 
Ze wzglądu na to, że moment bezwładności poszczególnych prętów (w poszczególnych przęsłach) jest 
różny, przyjmujemy porównawczy moment bezwładności 

 

c

I

I

= . 

(13.5) 

Stosując oznaczenia (13.2) zgodne z zasadami obowiązującymi przy tej metodzie rozwiązania 
przyjmujemy: 

 

(

1)

1

(1 2)

2

(2

)

3

,

2

2 ,

A

c

c

B

.

c

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

−

−

−

= = =

=

=

=

=

= =

 (13.6) 

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html rok 

2003/2004, sem. 4 

C16wyklad-05a.doc [1/2] 

C16 – wykład 

MECHANIKA  BUDOWLI  I 

Marek Krzysztof Jasina 

 

Na podstawie zależności (13.6) wyznaczymy zgodnie z (13.2) długości 

i

l ′ : 

 

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

6 [m],

4 [m],

2

2

4 [m].

c

c

c

I

I

l

l

l

l

I

I

I

l

I

l

l

l

I

I

I

I

l

l

l

l

I

I

′ =

=

= =

′ =

=

=

=

′ =

=

= =

 (13.7) 

Celem zapisania równania (13.4) dla 

 i 

1

k

=

2

k

=

 należy jeszcze wyznaczyć współczynniki prawej 

strony równania, czyli wielkości 

0

,

1, 2

k

N

k

=

. 

 i 

 określa się kolejno (sumując) zgodnie z 

poniższą zależnością: 

10

N

p

20

N

 

 (13.8) 

10

10

10

20

20

20

,

.

l

p

l

N

N

N

N

N

N

=

+

=

+

Przyjmując zależności dane w tabelach współczynników 

 można zapisać: - przyjmując 

0

k

N

1

k

=

  

 

2

2

10

1 1

2

10

2 2

7

7

4 6 6

94,5 [kNm ],

64

64

3

3

8 8 4

96 [kNm ],

8

8

l

p

N

ql l

N

Pl l

′

= −

= −

⋅ ⋅ = −

′

= −

= −

⋅ ⋅ = −

2

 (13.9) 

otrzymujemy 

 

; (13.10) 

2

10

( 94,5) ( 96)

190,5 [kNm ]

N

= −

+ −

= −

- przyjmując 

  

2

k

=

 

2

20

2 2

2

20

3

3

8 8 4

96 [kNm ],

8

8

0 [kNm ],

l

p

N

Pl l

N

′

= −

= −

⋅ ⋅ = −

=

 (13.11) 

otrzymujemy 

 

. (13.12) 

2

20

96 [kNm ]

N

= −

Po podstawieniu (13.7) (13.10) i (13.12) do (13.4) otrzymujemy: 

 

(

)

(

)

1

1

2

2

2

10

1

2

2

2

3

3

3

20

0 2

,

2

,

X

l

l

X

l

N

X l

X

l

l

X

l

N

′ ′

′

+ ⋅

⋅ +

+

⋅ =

′

′

′

′

⋅ + ⋅

⋅

+

+

⋅ =

 (13.13) 

czyli: 

 

 (13.14) 

(

)

(

)

1

2

1

2

1

2

1

2

2

6 4

4 20

4

190,5

4 2

4 4

12 4 4

16

144

X

X

X

X

X

X

X

X

⋅

+

+

⋅ =

⋅

+ ⋅

= −

⋅ + ⋅

+

+ ⋅ = ⋅

+ ⋅

= −

Z układu równań (13.14) otrzymujemy : 

1

8,1316 [kNm]

X

= −

, 

2

6,9671[kNm]

X

= −

 

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html rok 

2003/2004, sem. 4 

C16wyklad-05a.doc [2/2]