C16 – wykład

MECHANIKA BUDOWLI I

Marek Krzysztof Jasina

13.cd. Metoda sił – belki ciągłe, równanie trzech momentów – przykład

Dana jest belka ciągła przedstawiona na rysunku, sporządzić wykresy sił wewnętrznych.
Należy przyjąć, że we wszystkich prętach

const

E

=

.

(© skowronek)

Rys. 13.9 Belka ciągła

Stosując równanie trzech momentów w zasadzie nie ma konieczności przyjmowania układu
podstawowego metody sił, zbędne jest także rysowanie i całkowanie wykresów momentów zginających
w UPMS od obciążenia zewnętrznego i od jednostkowych stanów nadliczbowych.

W tym przypadku, jedynie w celu poglądowym, przyjmiemy układ podstawowy metody sił pokazany na
rys. 13.10.

(© skowronek)

Rys. 13.10 Belka ciągła - układ podstawowy metody sił

Równanie trzech momentów zapisujemy poniżej w poznanej wcześniej postaci

(

)

1

1

1

2

k

k

k

k

k

k

k

k

1

0

X

l

X

l

l

X

l

N

−

+

+

′

′

′

′

⋅ + ⋅

⋅

+

+

⋅

=

+

. (13.4)

W analizowanym zadaniu (stopień statycznej niewyznaczalności

2

n

=

) mamy dwie niewiadome

nadliczbowe

1

X i

2

X (lub zapisane w postaci

,

1, 2

k

X

k

=

), są to momenty zginające w przekrojach nad

kolejnymi podporami

1 i .

2

Równanie trzech momentów zapiszemy zatem dwukrotnie, przyjmując kolejno

i

.

1

k

=

2

k

=

Ze wzglądu na to, że moment bezwładności poszczególnych prętów (w poszczególnych przęsłach) jest
różny, przyjmujemy porównawczy moment bezwładności

c

I

I

= .

(13.5)

Stosując oznaczenia (13.2) zgodne z zasadami obowiązującymi przy tej metodzie rozwiązania
przyjmujemy:

(

1)

1

(1 2)

2

(2

)

3

,

2

2 ,

A

c

c

B

.

c

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

−

−

−

= = =

=

=

=

=

= =

(13.6)

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html rok

2003/2004, sem. 4

C16wyklad-05a.doc [1/2]

C16 – wykład

MECHANIKA BUDOWLI I

Marek Krzysztof Jasina

Na podstawie zależności (13.6) wyznaczymy zgodnie z (13.2) długości

i

l ′ :

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

6 [m],

4 [m],

2

2

4 [m].

c

c

c

I

I

l

l

l

l

I

I

I

l

I

l

l

l

I

I

I

I

l

l

l

l

I

I

′ =

=

= =

′ =

=

=

=

′ =

=

= =

(13.7)

Celem zapisania równania (13.4) dla

i

1

k

=

2

k

=

należy jeszcze wyznaczyć współczynniki prawej

strony równania, czyli wielkości

0

,

1, 2

k

N

k

=

.

i

określa się kolejno (sumując) zgodnie z

poniższą zależnością:

10

N

p

20

N

(13.8)

10

10

10

20

20

20

,

.

l

p

l

N

N

N

N

N

N

=

+

=

+

Przyjmując zależności dane w tabelach współczynników

można zapisać: - przyjmując

0

k

N

1

k

=

2

2

10

1 1

2

10

2 2

7

7

4 6 6

94,5 [kNm ],

64

64

3

3

8 8 4

96 [kNm ],

8

8

l

p

N

ql l

N

Pl l

′

= −

= −

⋅ ⋅ = −

′

= −

= −

⋅ ⋅ = −

2

(13.9)

otrzymujemy

; (13.10)

2

10

( 94,5) ( 96)

190,5 [kNm ]

N

= −

+ −

= −

- przyjmując

2

k

=

2

20

2 2

2

20

3

3

8 8 4

96 [kNm ],

8

8

0 [kNm ],

l

p

N

Pl l

N

′

= −

= −

⋅ ⋅ = −

=

(13.11)

otrzymujemy

. (13.12)

2

20

96 [kNm ]

N

= −

Po podstawieniu (13.7) (13.10) i (13.12) do (13.4) otrzymujemy:

(

)

(

)

1

1

2

2

2

10

1

2

2

2

3

3

3

20

0 2

,

2

,

X

l

l

X

l

N

X l

X

l

l

X

l

N

′ ′

′

+ ⋅

⋅ +

+

⋅ =

′

′

′

′

⋅ + ⋅

⋅

+

+

⋅ =

(13.13)

czyli:

(13.14)

(

)

(

)

1

2

1

2

1

2

1

2

2

6 4

4 20

4

190,5

4 2

4 4

12 4 4

16

144

X

X

X

X

X

X

X

X

⋅

+

+

⋅ =

⋅

+ ⋅

= −

⋅ + ⋅

+

+ ⋅ = ⋅

+ ⋅

= −

Z układu równań (13.14) otrzymujemy :

1

8,1316 [kNm]

X

= −

,

2

6,9671[kNm]

X

= −

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html rok

2003/2004, sem. 4

C16wyklad-05a.doc [2/2]