IV.

INTERFERENCJA I DYFRAKCJA

CZSTEK

1

1 Wst¦p

Przypomnienie

Interferencja fal

jest superpozycj¡ (dodawaniem wektorowym) fal emito-

wanych przez niewielk¡ liczb¦ ¹ródeª. Zwykle s¡ to dwa ¹ródªa fal.

Dyfrakcja fal

jest superpozycj¡ (dodawaniem wektorowym) fal emitowa-

nych przez du»¡ liczb¦ ¹ródeª.

Przez du»¡ liczb¦ rozumiemy liczb¦  10.

2 Interferencja elektronów

Pod koniec XX wieku Akiro Tonomura (laboratorium Hitachi, Japonia) prze-

prowadziª eksperyment polegaj¡cy na przepuszczaniu pojedynczych elektronów

przez przesªon¦ z dwiema szczelinami. Do niedawna byª to tzw. eksperyment

my±lowy (patrz podr¦cznik Wykªady z zyki Richarda Feynmana).

W przeprowadzonym eksperymencie elektrony byªy emitowane przez ¹ródªo

w sposób sekwencyjny (jeden po drugim), a zatem nie oddziaªywaªy z sob¡, czyli

byªy od siebie niezale»ne.

Po przej±ciu przez szczeliny elektrony padaªy na ekran, na którym podlegaªy

detekcji.

Eksperyment ten jest analogiem eksperymentu Younga z falami ±wietlnymi,

znanym z klasycznej optyki falowej.

Wyniki eksperymentu

Fotograe zarejestrowane przez detektor, umieszczony za przesªon¡ z dwiema

szczelinami, odpowiadaj¡ce przelotowi przez szczeliny N niezale»nych elektro-

nów.

W eksperymencie obserwowano przelot N = 10, 100, 3000, 20000, 70000

elektronów.

2

(a) N = 10

(b) N = 100

(c) N = 3000

(d) N = 20000

(e) N = 70000

3

Rysunek 1: Schematyczne przedstawienie wyników interferencji wi¡zki elektro-

nowej na dwóch szczelinach.

Rysunek 2: Obraz obserwowany na odlegªym ekranie po przej±ciu wi¡zki elektro-

nowej przez (a) pojedyncz¡ szczelin¦, (b) podwójn¡ szczelin¦. Wyniki symulacji

komputerowych.

Wst¦pna interpretacja eksperymentu z interferencj¡ elektronów na

dwóch szczelinach

I

1

(x)

= nat¦»enie mierzone przy otwartej szczelinie S

1

(S

2

zamkni¦ta)

I

2

(x)

= nat¦»enie mierzone przy otwartej szczelinie S

2

(S

1

zamkni¦ta)

I

kl

(x)

= nat¦»enie przy otwartych obu szczelinach (wynik przewidywany w

przypadku, gdyby elektrony byªy cz¡stkami klasycznymi)

I

kw

(x)

= wynik rzeczywistego eksperymentu (pojawiaj¡ si¦

pr¡»ki interfe-

rencyjne

)

4

Rysunek 3: Lewy rysunek: Schemat eksperymentu Younga polegaj¡cego na

przepuszczeniu wi¡zki atomów neonu przez dwie szczeliny. Wcze±niej atomy

zostaªy poddane chªodzeniu laserowemu do temperatury ∼1mK. Prawy rysu-

nek: Obraz interferencyjny obserwowany na ekranie. Ka»dy punkt pochodzi z

detekcji uderzenia pojedynczego atomu w ekran. Wyniki eksperymentu rzeczy-

wistego.

Rysunek 4: Dyfrakcja elektronów o energii 170 eV na powierzchni w¦glika

krzemu (SiC).

3 Dyfrakcja elektronów na krysztaªach

Wniosek

Obserwacja interferencji i dyfrakcji cz¡stek wykazuje, »e cz¡stki

kwantowe (elektrony, atomy, ...) posiadaj¡ wªasno±ci falowe.

Natomiast inne eksperymenty wykazuj¡

wªasno±ci korpuskularne

elek-

tronów (np. pomiar ªadunku i masy spoczynkowej).

Sprzeczno±¢ ???
NIE !!!

Odpowied¹:

5

Rysunek 5: Obserwacja quasi-krysztaªów. (a) Struktura stopu AlMnSi w du-

»ej skali obserwowana pod mikroskopem elektronowym. (b) Powi¦kszony obraz

ciemnych obszarów na rysunku (a). Widoczna jest symetria pi¦ciok¡tna (pi¦-

ciok¡ty foremne). (c) Obraz dyfrakcyjny otrzymany przy u»yciu elektronów o

energii 200 keV.

=⇒

dualizm falowo-korpuskularny

Wszystkie cz¡stki kwantowe (fotony, elektrony, atomy) wykazuj¡

wªasno±ci b¡d¹ falowe b¡d¹ korpuskularne w zale»no±ci od rodzaju

wykonywanego eksperymentu.

W eksperymentach interferencyjnych i dyfrakcyjnych obserwujemy

wªasno-

±ci falowe

.

Natomiast w innych eksperymentach, np. efekt fotoelektryczny, pomiar ªa-

dunku lub masy spoczynkowej, obserwujemy

wªasno±ci korpuskularne

.

•

Istotna rola przyrz¡du pomiarowego (i obserwatora) w procesie

pomiaru.

4 Relacje de Broglie'a

Falowo-korpuskularne wªasno±ci cz¡stek i promieniowania opisujemy za pomoc¡

relacji de Broglie'a

, które obowi¡zuj¡ zarówno dla cz¡stek o niezerowej masie

spoczynkowej (elektrony, atomy) jak i dla promieniowania (fotonów).

Ka»dej cz¡stce kwantowej przypisujemy p¦d p oraz energi¦ E za pomoc¡

relacji

p = ~k

(1)

oraz

E = ~ω ,

(2)

gdzie ~ = h/2π = 1.056 × 10

−34

Js,

h

=

staªa Plancka jest uniwersaln¡ staª¡ przyrody

,

k

= wektor falowy o dªugo±ci k = |k| = 2π/λ,

λ

= dªugo±¢ fali de Broglie'a,

ω

= cz¦sto±¢ fali.

6

Rysunek 6: Pªaszczyzna liczb zespolonych z.

Dygresja

Matematyka: Liczby zespolone

Zapis kartezja«ski

z = x + iy ,

(3)

gdzie i =

√

−1

, czyli i

2

= −1

.

Inaczej

z = R(z) + iI(z)

(4)

Sprz¦»enie zespolone liczby z

z

?

= x − iy

(5)

Moduª liczby zespolonej

r ≡ |z| =

√

zz

?

(6)

=⇒ |z|

2

= r

2

= zz

?

Posta¢ wykªadnicza liczby zespolonej

z = re

iϕ

(7)

Posta¢ trygonometryczna liczby zespolonej

z = r(cos ϕ + i sin ϕ)

(8)

Kwadrat moduªu e

iϕ

|e

iϕ

|

2

= e

iϕ

e

−iϕ

= 1

(9)

Fizyka: Fale

7

Fala biegn¡ca wzdªu» osi x

ψ(x, t) = Af (x ± v

x

t)

(10)

Znak + odpowiada fali biegn¡cej w lewo, a znak − odpowiada fali biegn¡cej w

prawo.

Pr¦dko±¢ rozchodzenia si¦ fali (w kierunku x)

v

x

=

λ

T

= λν =

λ

2π

ω

(11)

x

-owa skªadowa wektora falowego

k

x

=

2π

λ

(12)

=⇒

x ± v

x

t =

2π

λ

(k

x

x ± ωt)

(13)

Równowa»na posta¢ fali rozchodz¡cej si¦ w kierunku x

ψ(x, t) = Af

 λ

2π

(k

x

x ± ωt)



(14)

Fala cosinusoidalna

ψ(x, t) = A cos(k

x

x ± ωt)

(15)

Zapis zespolony

ψ(x, t) = R



Ae

i(k

x

x±ωt)



(16)

Uwaga

W zyce klasycznej rozwa»amy wyª¡cznie fale opisane funkcjami

rzeczywi-

stymi

.

W zyce kwantowej zajmujemy si¦ falami opisanymi funkcjami

zespolo-

nymi

o postaci

ψ(x, t) = Ae

i(k

x

x±ωt)

,

(17)

przy czym amplituda A jest na ogóª liczb¡ zespolon¡.

Fala w przestrzeni 3D

Ψ(x, y, z, t) = Ae

i(k

x

x+k

y

y+k

z

z−ωt)

(18)

W zapisie wektorowym

Ψ(r, t) = Ae

i(k·r−ωt)

(19)

gdzie k = k

x

e

x

+k

y

e

y

+k

z

e

z

jest

wektorem falowym

, a e

x

, e

y

, e

z

s¡ wersorami

odpowiednio w kierunkach x, y, z.

Uwaga

8

Rysunek 7: Wektorowe równanie pªaszczyzny.

We wzorach (18) i (19) u»yty zostaª znak −, poniewa» fala rozchodzi si¦ w

kierunku wektora k, czyli kierunki lewy i prawy trac¡ sens.

Faza fali

ϕ = k · r − ωt

(20)

Czoªo fali

jest zbiorem punktów w przestrzeni, w których faza fali jest

jednakowa (dla ka»dej chwili czasu t), czyli

ϕ = k · r − ωt = const

Rodzaje fal w 3D

•

fala kulista

: czoªo fali jest powierzchni¡ kuli

•

fala pªaska

: czoªo fali jest pªaszczyzn¡

•

...

Równanie pªaszczyzny (prostopadªej do wektora k)

k · r = const

(21)

=⇒

Fala o postaci

Ψ(r, t) = Ae

i(k·r−ωt)

jest

fal¡ pªask¡

.

Koniec dygresji.

Wracamy do gªównego toku wykªadu.

9

5 Równania mechaniki kwantowej dla cz¡stki o

niezerowej masie spoczynkowej

Z eksperymentów interferencyjnych i dyfrakcyjnych wynika, »e cz¡stka o masie

spoczynkowej m

0

wykazuje wªasno±ci falowe. Cz¡stka kwantowa nie porusza si¦

po okre±lonej trajektorii, lecz jej ruch jest ruchem falowym.

Ruch falowy cz¡stki w przestrzeni mo»na opisa¢ za pomoc¡ monochroma-

tycznej fali pªaskiej o postaci

Ψ(r, t) = Ae

i(k·r−ωt)

,

(22)

gdzie A jest amplitud¡ fali, a r jest wektorem poªo»enia cz¡stki.

Zwi¡zek (22) jest postulowanym

rozwi¡zaniem równa« kwantowych

opi-

suj¡cych ruch cz¡stki swobodnej w przestrzeni.

Znajdziemy teraz te równania.

Szukamy

równa«

, które s¡ speªnione przez fal¦ Ψ(r, t), a ponadto s¡ zgodne

z relacjami de Broglie'a.

Uwaga: Post¦powanie to jest odwrotne do zwykle realizowanego szukania

nieznanych rozwi¡za« znanych równa«

.

Rozwa»my najpierw relacj¦ de Broglie'a dla wektora p¦du cz¡stki

p = ~k .

(23)

W zapisie skalarnym

p = (p

x

, p

y

, p

z

) = (~k

x

, ~k

y

, ~k

z

) .

(24)

Deniujemy

operator p¦du

ˆ

p = −i~∇ ,

(25)

gdzie ∇ jest

wektorowym operatorem nabla

∇ =

 ∂

∂x

,

∂

∂y

,

∂

∂z



.

(26)

Operatory skªadowych p¦du

ˆ

p

x

= −i~

∂

∂x

,

ˆ

p

y

= −i~

∂

∂y

,

ˆ

p

z

= −i~

∂

∂z

.

Dziaªamy operatorami p¦du na funkcj¦ Ψ (22)

−i~

∂

∂x

Ψ = ~k

x

Ψ

10

−i~

∂

∂y

Ψ = ~k

y

Ψ

−i~

∂

∂z

Ψ = ~k

z

Ψ

Wynik dziaªania operatora p¦du na funkcj¦ Ψ (22) w zapisie wektorowym

−i~∇Ψ = ~kΨ .

(27)

Zgodno±¢ równania (27) z relacjami de Broglie'a dla p¦du dostaniemy, gdy

dokonamy identykacji

~k = p .

Równanie (27) jest

równaniem wªasnym operatora p¦du

.

Po lewej stronie równania (27) dziaªamy operatorem p¦du ˆp = −i~∇ na

funkcj¦ wªasn¡ operatora p¦du Ψ

i otrzymujemy w wyniku

warto±¢ wªa-

sn¡ p¦du

równ¡

p = ~k

[prawa strona równania (27)].

Rozwa»my teraz pochodn¡ funkcji Ψ (27) po czasie. Ró»niczkujemy Ψ po

czasie i mno»ymy wynik przez i~. W rezultacie otrzymujemy

i~

∂

∂t

Ψ = ~ωΨ .

(28)

Równanie (28) jest zgodne z relacj¡ de Broglie'a dla energii, gdy poªo»ymy

~ω = E .

Ogólna posta¢ równania wªasnego

ˆ

AΨ = aΨ

,

(29)

gdzie ˆ

A

jest operatorem wielko±ci zycznej A, np. p¦du, energii,

Ψ

jest

funkcj¡ wªasn¡ operatora ˆ

A

(funkcja ta jest na ogóª funkcja ze-

spolona),

a

jest

warto±¢ wªasn¡ operatora ˆ

A

(jest to liczba rzeczywista).

Warto±¢ wªasna jest wynikiem pomiaru wielko±ci A

.

W mechanice klasycznej energia caªkowita cz¡stki jest okre±lona za pomoc¡

funkcji Hamiltona

, która wyra»a energi¦ jako funkcj¦ wektorów poªo»enia i

p¦du cz¡stki

E = H(r, p) .

(30)

W celu otrzymania kwantowego operatora energii zast¦pujemy we wzorze

(30) p¦d operatorem p¦du

p −→ ˆ

p = −i~∇ .

(31)

11

W wyniku tego zast¡pienia otrzymujemy

operator Hamiltona (hamilto-

nian)

H −→ ˆ

H(r, −i~∇)

,

(32)

który jest

operatorem energii caªkowitej cz¡stki.

Jawna posta¢ operatora energii caªkowitej cz¡stki

ˆ

H = ˆ

T + ˆ

U ,

(33)

gdzie ˆ

T

jest

operatorem energii kinetycznej cz¡stki

ˆ

T =

ˆ

p

2

2m

0

= −

~

2

2m

0

∇

2

,

(34)

a ˆ

U

jest

operatorem energii potencjalnej cz¡stki

ˆ

U = U (r)

(35)

Operator ˆ

U

jest operatorem mno»enia przez funkcj¦ U(r).

W rezultacie powy»szych operacji mamy do dyspozycji dwa operatory ener-

gii: operator

i~

∂

∂t

,

wyst¦puj¡cy w równaniu (28), oraz hamiltonian (33)

ˆ

H = ˆ

T + ˆ

U .

Pojawia si¦ zatem niejednoznaczno±¢ okre±lenia operatora energii.

Niejednoznaczno±¢ t¦ usuwamy »¡daj¡c, aby oba te operatory byªy sobie

równe. Równo±¢ operatorów oznacza, »e wyniki ich dziaªania na dowoln¡ funkcj¦

s¡ sobie równe, a zatem

i~

∂Ψ

∂t

= ˆ

HΨ

.

(36)

W rezultacie otrzymujemy

zale»ne od czasu równanie Schr®dingera

,

które jest

kwantowym równaniem ruchu

.

W celu rozwi¡zania zale»nego od czasu równania Schrödingera (36) po-

trzebne s¡:

(1) warunki brzegowe Ψ(r

brzeg

)

,

(2) warunki pocz¡tkowe Ψ(t = t

0

)

.

Zale»ne od czasu równanie Schrödingera (36) peªni w mechanice kwantowej

rol¦ analogiczn¡ jak 2. zasada dynamiki Newtona w mechanice klasycznej.

d

2

r

dt

2

=

F

m

.

(37)

Równanie (37) jest

klasycznym równaniem ruchu.

12

Zale»ne od czasu równanie Schrödingera jest

kwantowym równaniem ru-

chu

.

Je»eli hamiltonian ˆ

H

nie zale»y od czasu, to rozwi¡zaniami zale»nego od

czasu równania Schr®dingera s¡ tzw.

stany stacjonarne

Ψ(r, t) = ψ(r)e

−iEt/~

.

(38)

Dla stanów stacjonarnych równanie wªasne operatora Hamiltona ma posta¢

ˆ

Hψ = Eψ

,

(39)

gdzie E jest

warto±ci¡ wªasn¡ energii

.

Równanie (39) jest tzw.

niezale»nym od czasu równaniem Schr®din-

gera

.

6 Funkcja falowa

Rozwi¡zaniem zale»nego od czasu równania Schr®dingera (36) jest

funkcja fa-

lowa

Ψ(r, t)

, która tak»e zale»y od czasu.

Rozwi¡zaniem niezale»nego od czasu równania Schr®dingera (39) jest

nie-

zale»na od czasu funkcja falowa

ψ(r)

.

Interpretacja zyczna funkcji falowej

Funkcja falowa nie jest bezpo±rednio mierzalna.

Posiada ona tzw

interpretacj¦ probabilistyczn¡

.

Oznacza ona, »e

%(r, t)

def

= |Ψ(r, t)|

2

(40)

jest

g¦sto±ci¡ prawdopodobie«stwa

znalezienia cz¡stki w stanie kwantowym

Ψ

w poªo»eniu r w czasie t.

Znaj¡c g¦sto±¢ prawdopodobie«stwa (40) obliczamy

prawdopodobie«stwo

P

znalezienia cz¡stki w stanie kwantowym Ψ w cz¦±ci przestrzeni o obj¦to±ci Ω

w chwili t jako

P (t) =

Z

Ω

d

3

r%(r, t) .

(41)

Prawdopodobie«stwo P (t) mo»e by¢ zmierzone, np. za pomoc¡ wielokrot-

nego pomiaru wykonanego na tej samej cz¡stce w tym samym stanie kwantowym

lub mierz¡c rozkªad wielu identycznych cz¡stek w tym samym stanie kwanto-

wym.

Natomiast  w odró»nieniu od cz¡stki klasycznej  nie mo»emy ani zmierzy¢

poªo»enia cz¡stki kwantowej z dowoln¡ dokªadno±ci¡ ani wyznaczy¢ jej trajek-

torii.

13

Je»eli caªkowanie we wzorze (41) wykonamy po caªej przestrzeni (Ω = Ω

∞

),

to otrzymamy prawdopodobie«stwo zdarzenia pewnego, czyli

Z

Ω

∞

d

3

r|Ψ(r, t)|

2

= 1

∀t .

(42)

Wzór (42) jest

warunkiem unormowania funkcji falowej

.

Pytanie: Jak¡ cz¡stk¦ opisuje funkcja falowa o postaci fali pªaskej

(22)?

Przypomnienie postaci fali pªaskiej

Ψ(r, t) = Ae

i(k·r−ωt)

Odpowied¹: Jest to funkcja falowa cz¡stki swobodnej.

Uzasadnienie:

Dla cz¡stki swobodnej ˆ

U = 0

, czyli hamiltonian cz¡stki swobodnej ma posta¢

ˆ

H = −

~

2

2m

0

∇

2

.

(43)

Wstawiamy (22) i (43) do zale»nego od czasu równania Schr®dingera (36). Po

wykonaniu ró»niczkowa« otrzymujemy

Eψ =

~

2

k

2

2m

0

ψ ,

(44)

co oznacza, »e energia caªkowita cz¡stki jest równa jej energii kinetycznej, czyli

E ≡ E

kin

=

~

2

k

2

2m

0

=

p

2

2m

0

.

(45)

T¦ wªasno±¢ posiada wyª¡cznie energia cz¡stki swobodnej.

7 Zasada nieoznaczono±ci Heisenberga

Falowo-korpuskularne wªasno±ci cz¡stek prowadz¡ do istotnych ogranicze« po-

miarowych. Ograniczenia te nie wynikaj¡ z niedoskonaªo±ci przyrz¡dów pomia-

rowych, lecz z

kwantowej, czyli falowo-korpuskularnej, natury cz¡stek

.

W sposób ilo±ciowy ograniczenia te wyra»a

zasada nieoznaczono±ci

wpro-

wadzona przez

Wernera Heisenberga

.

Nieoznaczono±¢ poªo»enie-p¦d

Je»eli w tej samej chwili czasu mierzymy x-owe skªadowe poªo»enia i p¦du

cz¡stki, to zachodzi nast¦puj¡ca nierówno±¢:

∆x∆p

x

≥

~
2

(46)

14

Rysunek 8: Ilustracja nieoznaczono±ci poªo»enie-p¦d.

∆x

= nieoznaczono±¢ (niepewno±¢, bª¡d) pomiaru skªadowej x-owej poªo»e-

nia cz¡stki

∆p

x

= nieoznaczono±¢ (niepewno±¢, bª¡d) pomiaru skªadowej x-owej p¦du

cz¡stki

Nieoznaczono±¢ czas-energia

Je»eli pomiar energii E stanu kwantowego trwa przez czas ∆t, to zachodzi

nast¦puj¡ca nierówno±¢:

∆E∆t ≥

~
2

(47)

∆E

= nieoznaczono±¢ (niepewno±¢, bª¡d) pomiaru energii stanu kwantowego

∆t

= czas pomiaru (czas »ycia stanu kwantowego)

Nieoznaczono±¢ czas-cz¦sto±¢

E = ~ω

=⇒

∆ω∆t ≥

1

2

(48)

8 Zastosowanie dyfrakcji cz¡stek

Dªugo±¢ fali de Broglie'a

15

Rysunek 9: Ilustracja nieoznaczono±ci czas-cz¦sto±¢.

λ =

h

p

=

h

m

0

v

,

(49)

gdzie m

0

jest mas¡ spoczynkow¡ cz¡stki. Energia kinetyczna cz¡stki

E

kin

=

m

0

v

2

2

=⇒ v =

r 2E

kin

m

0

(50)

λ =

h

√

2m

0

E

kin

(51)

Je»eli cz¡stka posiada ªadunek q i zostaje przyspieszona do pr¦dko±ci v przez

napi¦cie V , to

E

kin

= qV .

(52)

Wtedy

λ =

h

√

2m

0

qV

(53)

Natomiast dla neutronów termicznych zachodzi

hE

kin

i =

3

2

k

B

T ,

(54)

gdzie T jest temperatur¡ wi¡zki neutronowej. Dªugo±¢ fali de Broglie'a neutro-

nów

λ =

h

√

3m

0

k

B

T

.

(55)

16

Rysunek 10: Schemat aparatury LEED.

Do bada« struktury krysztaªów u»ywamy cz¡stek o dªugo±ci fali de Broglie'a

λ ' 0.1 ÷ 1

Å,

czyli

λ ' a ,

gdzie a jest staª¡ sieci krysztaªu.

Warto±ci te odpowiadaj¡ energiom cz¡stek

•

10 eV  1 keV dla elektronów,

•

10 meV  1 eV dla neutronów i lekkich atomów,

•

1 keV  100 keV dla fotonów.

Dyfrakcja elektronów

•

badanie powierzchni ciaª staªych: dyfrakcja niskoenergetycznych elektro-

nów (LEED)

•

kontrola procesów wzrostu warstw w technologii epitaksji z wi¡zek mole-

kularnych (MBE)

•

litograa elektronowa

•

mikroskopia elektronowa: skaningowa (SEM), transmisyjny (TEM)

17

Rysunek 11: Obrazy dyfrakcyjne LEED zaobserwowane na powierzchni krysz-

taªu Ni.

Dyfrakcja neutronów

•

badanie struktury krysztaªów i ukªadów biologicznch

Dyfrakcja atomów i molekuª

•

badanie powierzchni ciaª staªych

Najcz¦±ciej stosowane s¡ wi¡zki atomów He i H

2

.

18

Rysunek 12: Schemat i wyniki dyfrakcji neutronów.

Rysunek 13: Dyfrakcja atomów He na powierzchni.

19