26
GRANICE FUNKCJI
1. Okre
ś
lenie granicy funkcji w punkcie x
0
Niech b
ę
dzie dana funkcja
f : A
∋
x
→
y = f (x)
∈
R , A
⊂
R
_____________________________________________
Definicja granicy funkcji (wg Heinego):
Liczb
ę
g nazywamy
granic
ą
funkcji
f : A
→
R
w punkcie
0
x
∈
R, co
zapisujemy
0
lim
x
x
→
f (x) = g wtedy i tylko wtedy, gdy
1) dla ka
Ŝ
dego ci
ą
gu (x
n
) takiego,
Ŝ
e x
n
∈
A, x
n
≠
x
0
dla n
∈
N i
∞
→
n
lim
x
n
= x
0
2) spełniony jest warunek
∞
→
n
lim
f (x
n
) = g
(tzn. ci
ą
g warto
ś
ci funkcji f ma granic
ę
g).
_____________________________________________
Uwagi.
1. Punkt x
0
mo
Ŝ
e nale
Ŝ
e
ć
do dziedziny funkcji f albo mo
Ŝ
e nie
nale
Ŝ
e
ć
do jej dziedziny.
2. Wyrazy dowolnego ci
ą
gu (x
n
) musz
ą
nale
Ŝ
e
ć
do dziedziny
funkcji f oraz do
s
ą
siedztwa punktu
x
0
, tzn. do zbioru
(x
0 -
δ
, x
0
)
∪
(x
0
, x
0
+
δ
) , gdzie
δ
>
0
.
3. Zamiast zapisu
0
lim
x
x
→
f (x) = g jest stosowany zapis
f (x)
→
→
0
x
x
g.
28
Niech f : A
∋
x
→
y = f (x)
∈
R , A
⊂
R.
Je
Ŝ
eli
0
lim
x
x
→
f (x) = g, to mog
ą
wyst
ą
pi
ć
przypadki:
1) g
∈
R (g jest liczb
ą
rzeczywist
ą
sko
ń
czon
ą
),
2) g = -
∞
,
3) g = +
∞
.
Je
Ŝ
eli g = -
∞
lub g = +
∞
, to mówimy,
Ŝ
e funkcja f ma w punkcie x
0
granic
ę
niewła
ś
ciw
ą
.
Przykład 1.2
Niech b
ę
dzie dana funkcja x
→
y = f (x) =
2
1
x
.
Dziedzin
ą
tej funkcji jest zbiór A = (-
∞
, 0 )
∪
(0, +
∞
).
•
Niech x
0
= 0.
Bior
ą
c pod uwag
ę
dowolny ci
ą
g (x
n
) taki,
Ŝ
e x
n
∈
A i x
n
≠
0 i
0
lim
=
∞
→
n
n
x
otrzymujemy
∞
→
n
lim
f (x
n
) =
∞
=
=
=
∞
→
0
1
0
*
0
1
1
lim
2
n
n
x
.
Zatem
0
lim
→
x
f (x) =
∞
.
29
2. Granice jednostronne.
_____________________________________________
Definicja.
Liczb
ę
g nazywamy
granic
ą
prawostronn
ą
funkcji f : A
→
R
w punkcie
x
0
(
granic
ą
lewostronn
ą
funkcji f: A
→
R
w punkcie
x
0
), co zapisujemy
+
→
0
lim
x
x
f (x) = g
(
−
→
0
lim
x
x
f (x) =g )
wtedy i tylko wtedy, gdy
1) dla ka
Ŝ
dego ci
ą
gu (x
n
) takiego,
Ŝ
e
x
n
∈
A i x
n
>
x
0
dla n
∈
N (x
n
∈
A i x
n
<
x
0
dla n
∈
N),
0
lim
x
x
n
n
=
∞
→
spełniony jest warunek
2)
∞
→
n
lim
f (x
n
) = g .
_____________________________________________
Przykłady
1)
1
|
|
lim
0
=
+
→
x
x
x
,
1
|
|
lim
0
−
=
−
→
x
x
x
;
2)
+∞
=
−
=
→
1
1
lim
1
x
x
,
−∞
=
−
−
→
1
1
lim
1
x
x
;
3)
−∞
=
+
∏
→
x
x
tg
lim
2
,
+∞
=
−
∏
→
x
x
tg
lim
2
;
4)
+∞
=
=
→
2
0
1
lim
x
x
,
+∞
=
−
→
2
0
1
lim
x
x
.
30
3. Granice funkcji w punktach niewła
ś
ciwych (x
0
= -
∞
lub x
0
= +
∞
)
_____________________________________________
Niech f : A
∋
x
→
y = f (x)
∈
R, gdzie A = (-
∞
, a ) lub A = (-
∞
, a ].
Definicje.
Funkcja
f : A
→
R
ma
w x
0
= -
∞
granic
ę
g
∈
R, co zapisujemy
−∞
→
x
lim
f(x)=g,
(
granic
ę
-
∞
, co zapisujemy
−∞
→
x
lim
f (x) = -
∞
) (
granic
ę
+
∞
, co zapisujemy
−∞
→
x
lim
f (x) = +
∞
) wtedy i tylko wtedy, gdy
dla ka
Ŝ
dego ci
ą
gu (x
n
) takiego,
Ŝ
e x
n
∈
A i
∞
→
n
lim
x
n
= -
∞
spełniony jest
warunek
∞
→
n
lim
f (x
n
) = g (
∞
→
n
lim
f (x
n
) = -
∞
)
(
∞
→
n
lim
f (x
n
) = +
∞
).
_____________________________________________
Przykłady
3.1) x
→
y = f (x) = 3 -
x
1
,
−∞
→
x
lim
(3 -
x
1
) = 3;
3.2) x
→
y = f (x) = 2x +5,
−∞
→
x
lim
(2x + 5) = -
∞
;
3.3) x
→
y = f (x) = x
2
,
−∞
→
x
lim
x
2
= +
∞
.
31
_____________________________________________
Niech f : A
∋
x
→
y = f (x)
∈
R, gdzie A = (a , +
∞
) lub A = [a , +
∞
).
Definicje.
Funkcja
f : A
→
R
ma
w x
0
= +
∞
granic
ę
g
∈
R, co zapisujemy
∞
→
x
lim
f (x)=g,
(
granic
ę
-
∞
, co zapisujemy
∞
→
x
lim
f (x) = -
∞
), (
granic
ę
+
∞
, co zapisujemy
∞
→
x
lim
f (x) = +
∞
))
wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka
Ŝ
dego ci
ą
gu (x
n
) takiego,
Ŝ
e
x
n
∈
A i
∞
→
n
lim
x
n
= +
∞
spełniony jest warunek
∞
→
n
lim
f (x
n
) = g
(
∞
→
n
lim
f (x
n
) = -
∞
)
(
∞
→
n
lim
f (x
n
) = +
∞
).
_____________________________________________
Przykłady
3.4) x
→
y = f (x) =
x
1
,
+∞
→
x
lim
x
1
= 0;
3.5) x
→
y = f (x) = -3x+1,
∞
→
x
lim
( -3x+1) = -
∞
;
3.6) x
→
y = f (x) = x
2
,
∞
→
x
lim
x
2
= +
∞
.
32
4. Twierdzenie o granicach funkcji
Niech b
ę
d
ą
dane funkcje
f : A
∋
x
→
y = f (x)
∈
R, A
⊂
R;
g : B
∋
x
→
y = g (x)
∈
R, B
⊂
R.
Je
Ŝ
eli
Χ
= A
∩
B
≠
∅
, to mo
Ŝ
emy okre
ś
li
ć
(skonstruowa
ć
funkcj
ę
f + g ,
f – g, f
⋅
g , a w zbiorze
Χ
- {x
∈
B ; g (x) = 0} tak
Ŝ
e
.
)
(
)
(
x
g
x
f
Twierdzenia.
Je
Ŝ
eli istniej
ą
0
lim
x
x
→
f (x) = g
1
,
0
lim
x
x
→
g (x) = g
2
, to
4.1.
0
lim
x
x
→
(f (x) + g (x)) = g
1
+g
2
;
4.2.
0
lim
x
x
→
(f (x) - g (x)) = g
1
– g
2
;
4.3.
0
lim
x
x
→
(f (x)
⋅
g (x) = g
1
⋅
g
2
;
4.4.
0
lim
x
x
→
2
1
)
(
)
(
g
g
x
g
x
f
=
, o ile g
2
≠
0 i g (x)
≠
0 w pewnym s
ą
siedztwie
punktu x
0
.
Uwagi.
•
Twierdzenia te s
ą
formułowane dla x
0
∈
R oraz g
1
∈
R i g
2
∈
R.
•
Analogicznie twierdzenia s
ą
prawdziwe w przypadku granic
jednostronnych, oraz gdy x
0
= -
∞
lub x
0
= +
∞
, a tak
Ŝ
e dla g
1
= -
∞
lub g
1
= +
∞
oraz g
2
= -
∞
lub g
2
= +
∞
, o ile tylko liczby g
1
+ g
2
, g
1
–
g
2
, g
1
⋅
g
2
, g
1
: g
2
s
ą
okre
ś
lone w zbiorze R (nie s
ą
symbolami
nieoznaczonymi).
