Przestrzenie wektorowe n-wymiarowe

Liniowa zależność wektorów w R

n

1. Wektory (1, −2), (1, 1) przedstawić jako kombinacje liniowe wektorów:

(a) (1, 0) ,

(0, 1) .

(b) (−1, 2) ,

(1, 0) .

2. Wektory (3, −2, 5), (0, 1, 0) przedstawić jako kombinacje liniowe wektorów:

(a) (3, −2, 5) ,

(0, −1, −1) .

(b) (3, −2, 5) ,

(1, 1, 1) ,

(0, −5, 2) .

(c) (1, −2, 3) ,

(1, 0, 1) ,

(−1, −2, 1) .

3. Zbadać liniową zależność następującego układu wektorów przestrzeni R

2

:

(a) (3, 2) ,

(−6, −4).

(b) (1, −4) ,

(2, 1).

4. Zbadać liniową zależność następującego układu wektorów przestrzeni R

3

:

(a) (1, 0, 2) ,

(1, 3, 0),

(1, 1, 1).

(b) (5, −1, 1) ,

(−1, 2, 6).

(c) (4, −2, 0) ,

(−2, 1, 0).

(d) (2, 3, 1) ,

(3, 2, 0) ,

(7, 8, 2) .

(e) (1, 1, 1) ,

(1, 1, 0) ,

(1, 0, 0) .

5. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru

a ∈ R

takie, że układ wektorów

(1, 2, 2a) ,

(3, 2, 1) ,

(2, 0, a)

jest liniowo niezależny w R

3

.

1

6. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru m dla których układ wektorów

(1, 2, 0) ,

(2, −1, −1) ,

(0, m, 2)

jest liniowo zależny R

3

.

Baza przestrzeni wektorowej

7. Sprawdzić czy następujący układ wektorów stanowi bazę przestrzeni wektorowej

V :

(a) ((0, −1) , (1, −1));

V = R

2

.

(b) ((2, −3) , (−4, 6)).

(c) ((1, 0) , (1, −1), (0, 1));

V = R

2

.

(d) ((1, 0, −1) , (1, −1, 0), (0, 1, −1));

V = R

3

.

(e) ((1, 2, −1) , (3, −1, 0), (5, 3, −2), (1, −1, 1));

V = R

3

.

(f) ((1, 2, −1) , (3, −1, 0));

V = R

3

.

(g) ((1, 2, −1) , (3, −1, 0), (5, 3, −2));

V = R

3

.

(h) ((3, 2, −1) , (−9, −6, 3), (5, 3, 0));

V = R

3

.

8. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru m dla których układ wektorów

(3, −2, 0) ,

(m, 1, −1) ,

(m, 1, −2)

stanowi bazę przestrzeni R

3

.

2