Autor: Bartosz Żak

[e-mail]

ROZDZIAŁ 6

1. W poniższej tabeli proszę uzupełnić kongruencje wyłącznie tam, gdzie wynikają

one bezpośrednio z twierdzenia Eulera. W pozostałych miejscach proszę niczego
nie wpisywać lub wpisać kreski.

25

21

= --- (mod 45)

26

21

= --- (mod 45)

27

21

= --- (mod 45)

28

21

= --- (mod 45)

25

22

= --- (mod 45)

26

22

= --- (mod 45)

27

22

= --- (mod 45)

28

22

= --- (mod 45)

25

23

= --- (mod 45)

26

23

= --- (mod 45)

27

23

= --- (mod 45)

28

23

= --- (mod 45)

25

24

= --- (mod 45)

26

24

= 1 (mod 45)

27

24

= --- (mod 45)

28

24

= 1 (mod 45)

25

25

= --- (mod 45)

26

25

= --- (mod 45)

27

25

= --- (mod 45)

28

25

= --- (mod 45)

2. Podobnie jak wyżej, dla różnych innych podstaw, wykładników i modułów, należy

umieć spawdzić czy spełnione są założenia twierdzenia Eulera i wyciągnąć z niego
wniosek.

Tw. Eulera:

.

ROZDZIAŁ 7

1. Co można powiedzieć o stopniu sumy dwóch wielomianów o współczynnikach z

pierścienia A? Jakie założenia o pierścieniu A są przy tym potrzebne?
Stopień sumy wielomianów f i g wynosi max(f, g).
Założenia o pierścieniu A: A musi być dziedziną całkowitości

2. Co można powiedzieć o stopniu iloczynu dwóch wielomianów o współczynnikach

z pierścienia A? Jakie założenia o pierścieniu A są przy tym potrzebne?
Stopień iloczynu wielomianów f i g wynosi deg f + deg g.
Założenia o pierścieniu A: A musi być dziedziną całkowitości

3. Napisać algorytm dzielenia wielomianów z resztą, podając założenia (kompletne!),

przy jakich algorytm będzie działać oraz własności wielomianów, które otrzymamy
w wyniku jego działania
Dane:

wielomiany f, g z pierścienia A[X]

Wynik:

wielomiany q, r takie, że f = qg + r, deg(r) < deg(g)

Funkcje pomocnicze:

deg()

stopień wielomianu

major_coeff()

współczynnik przy najwyższej potędze

Założenia:

A jest dziedziną całkowitości
g ≠ 0
major_coecc(g) jest elementem odwracalnym A

Algorytm:
q ← 0
r ← f
while deg(r) >= deg(g)

a ← major_coeff(r) * major_coeff(g)

-1

q ← q + a * X

deg(f) - deg(g)

r ← r - g * a * X

deg(f) - deg(g)

ALBO

Sformułować twierdzenie o dzieleniu wielomianów z resztą.

Niech A będzie dziedziną całkowitości, f, g ∈ A[X] i niech współczynnik przy najwyższej

potędze wielomianu g będzie odwracalny. Istnieje wtedy dokładnie jedna para
wielomianów

q, r∈ A[X] takich, że f = qg + r i deg r < deg g.

Wielomiay q i r z powyższego stwierdzenia nazywamy odpowiednio ilorazem i resztą z
dzielenia f przez g. Resztę z dzielenia f przez g oznaczamy też r

g

(f).

4. Co to jest pierwiastek wielomianu o współczynnikach z pierścienia A? Proszę

przytoczyć twierdzenie Bezout i definicję pierwiastka n-krotnego.
[wikipedia]
Pierwiastek wielomianu f(x) to taka liczba a, dla której dwumian x − a dzieli bez reszty
wielomian f.

Miejscem zerowym

funkcji wielomianowej nazywa się taką wartość

zmiennej (lub wartości zmiennych w przypadku wielomianu wielu zmiennych), dla której
wartość funkcji wielomianowej wynosi 0, innymi słowy jest to rozwiązanie równania
algebraicznego. Zbiór miejsc zerowych funkcji wielomianowej pokrywa się ze zbiorem
pierwiastków odpowiadającego jej wielomianu, o czym mówi

twierdzenie Bézouta

.

Twierdzenie 7.1 (B´ezout). Niech A będzie dziedziną całkowitości, f ∈ A[X]. Element

a ∈ A jest pierwiastkiem wielomianu f wtedy i tylko wtedy, gdy (X − a) | f.

Dowód. Wystarczy zauważyć, że f(a) = r

X−a

(f).

ROZDZIAŁ 8

1. Jak określona jest relacja kongruencji (przystawania) wielomianów o

współczynnikach z ciała K? Proszę podać definicję oraz równoważny warunek wyrażony
za pomocą równości warstw (klas reszt).

Definicja: . Niech K będzie ciałem, f, a, b

∈

K[X]. Mówimy, że a przystaje do b modulo f albo

modulo fK[X], ozn.

a ≡ b (mod f),

albo a ≡ b

(mod fK[X]),

jeżeli f | (a − b).
Warunek: a + fK[X] = b + fK[X].
Jaki jeszcze warunek równoważny przystawaniu modulo wielomian f można zapisać za
pomocą funkcji reszty z dzielenia? Dla jakich f można to zrobić?
r

f

(a) = r

f

(b).

Można dla niezerowego wielomianu f.

2. Niech K będzie ciałem, f ∈ K[X]. Ile jest klas reszt modulo f (w zależności od f i K)?
[tuszek]

Wydaje mnie się osobiście personalnie i raczej nie obiektywnie, iż ponieważ tak mi ładnie
wygląda to odpowiedź to :

Gdzie char(K) to najmniejsza taka liczba m należąca do N, że m*1 = 0. Ogólnie char(K) w
tym wypadku nie powinna być zerem... Więc musi być liczbą pierwszą więc ciało K musi być
skończone i bangla.

3. Co to znaczy, że relacja kongruencji (przystawania) modulo wielomian f jest relacją
równoważności i że jest zgodna z działaniami dodawania i mnożenia wielomianów?
Proszę pamiętać o kwantyfikatorach!

Niech K będzie ciałem. Przy ustalonym f

∈

K[X] relacja przystawania modulo f jest zgodna z

działaniami dodawania i mnożenia. Tzn. dla wszystkich a, b, a’, b’

∈

K[X] takich, że

a ≡ a’ (mod f), b ≡ b’ (mod f), mamy

(1) a + b ≡ a’ + b’ (mod f),
(2) ab ≡ a’b’ (mod f).

4. Proszę podać definicję zbioru K[X]/fK[X] (dla ciała K i f ∈ K[X]) oraz działań dodawania
i mnożenia w tym zbiorze. Jakie są własności tej struktury algebraicznej (wystarczy
podać nazwę, bez definicji)? Jaka jest postać elementów neutralnych (0 i 1) w tej
strukturze?

Niech K będzie ciałem, f

∈

K[X]. Zbiór klas abstrakcji relacji a ≡ b (mod f) oznaczamy przez K[X]/

fK[X] albo K[X]/(f):

K[X]/fK[X] = {a + fK[X] : a

∈

K[X]}

W K[X]/fK[X] określamy działania:

(a + fK[X]) + (b + fK[X]) = a + b + fK[X]

(a + fK[X])(b + fK[X]) = ab + fK[X]

Działania w powyższej definicji są dobrze określone. Zbiór K[X]/fK[X] z tymi działaniami jest
pierścieniem przemiennym z jedynką. Zerem jest tu 0 + fK[X], a jedynką 1 + fK[X].

5. Niech K będzie ciałem. Jak określona jest funkcja wiążąca pierścień K[X] i pierścień

K[X]/fK[X] (dla f ∈ K[X])? Co to znaczy, że funkcja ta jest homomorfizmem pierścieni z

jedynką? Jaką jeszcze własność posiada ta funkcja?

. Niech K będzie ciałem, f

∈

K[X], h : K[X] → K[X]/fK[X], h(a) = a + fK[X].

Funkcja ta jest „na”. Mamy też:

(1)

∀

a,b

∈

K[X]

h(a + b) = h(a) + h(b)

(2)

∀

a,b

∈

K[X]

h(ab) = h(a)h(b)

(3) h(0) = 0 + fK[X], h(1) = 1 + fK[X].

Stąd h jest epimorfizmem pierścieni z jedynką.

6. Niech K będzie ciałem, f wielomianem niezerowym stopnia n o współczynnikach z
K. Jak można, w kanoniczny i jednoznaczny sposób, przedstawić elementy pierścienia
K[X]/fK[X]? Ile jest elementów pierścienia K[X]/fK[X], jeśli K jest p-elementowym ciałem
skończonym? Jaki warunek musi być spełniony, żeby można było uznać K[X]/fK[X] za
rozszerzenie ciała K?

(Przedstawienie kanoniczne). Niech K będzie ciałem, f ∈ K[X], f != 0, n = deg f. Każdą klasę

a + fK[X], a

∈

K[X], można w dokładnie jeden sposób przedstawić w postaci

a + fK[X] = b + fK[X], gdzie b

∈

K[X], deg b < n. Mamy przy tym b = r

f

(a). Tak więc

K[X]/fK[X] = {a + fK[X] : a

∈

K[X], deg a < n}.

Liczba elementów: p

n

, gdzie n to stopień wielomianu.

Definicja: Podzbiór K ciała L, który jest ciałem ze względu na działania z L, nazywamy
podciałem ciała L.
Definicja: Jeśli K jest podciałem ciała L, to L nazywamy rozszerzeniem ciała K.
Możemy więc traktować K[X]/fK[X] jako rozszerzenie ciała K.

7. Niech K będzie ciałem, f wielomianem niezerowym stopnia n o współczynnikach z
K. Proszę opisać dzielniki zera i elementy odwracalne w pierścieniu K[X]/fK[X]. Jakie
są własności tego pierścienia w zależności od f, tzn. dla jakich f jest on dziedziną
całkowitości, a dla jakich jest ciałem?

Niech K będzie ciałem, f, a ∈ K[X], f != 0.

(1) Jeśli NWD(a, f) = 1, to a + fK[X] jest elementem odwracalnym pierścienia K[X]/fK[X],

tzn. istnieje b ∈ K[X] takie, że (a + fK[X])(b + fK[X]) = 1 + fK[X].

(2) Jeśli NWD(a, f) != 1, to a + fK[X] jest zerem lub dzielnikiem zera pierścienia

K[X]/fK[X], tzn. istnieje b ∈ K[X] takie, że (a + fK[X])(b + fK[X]) = 0 + fK[X]. Zero ani

dzielnik zera nie może być elementem odwracalnym w niezerowym pierścieniu.

Wniosek: Pierścień K[X]/fK[X] jest ciałem wtedy i tyko wtedy, gdy f jest wielomianem
nierozkładalnym. Dla f stopnia 0 pierścień K[X]/fK[X] jest zerowy, a dla rozkładalnego posiada
dzielniki zera.

ROZDZIAŁ 9

1. Po pierwsze należy umieć:

●

podać oznaczenie i wzór na: moduł, argument, część rzeczywistą, część

urojoną i liczbę sprzężoną do liczby zespolonej z = x + yi dla x, y ∈ R,

moduł: |z| =

argument:

, taka że

i

część rzeczywista: Re z = x
część urojona: Im z = y

sprzężenie

●

Określić wspólną nazwę rozwiązań równania z

n

= 1 w zbiorze liczb

zespolonych i podać wzór na te rozwiązania,

Niech

,

. Równanie

posiada dokładnie n rozwiązań

zespolonych. Są one postaci:

W tym przypadku

.

●

określić sumę krotności wszystkich pierwiastków wielomianu drugiego
stopnia w ciele liczb zespolonych (z Zasadniczego Twierdzenia Algebry),
podać wzór na wyróżnik[przypis mój: delta] takiego wielomianu oraz
wyjaśnić w jaki sposób liczba różnych pierwiastków zależy od wartości
wyróżnika.

[wiki] Zasadnicze tw Alg. - fragment:

Stopień

niezerowego

wielomianu

zespolonego jest równy sumie krotności jego zespolonych

pierwiastków

.

Suma krotności pierwiastków zespolonych = 2.

- brak pierwiastków zespolonych
- dwa pierwiastki zespolone

2. Po drugie należy umieć rozpoznać prawdziwość prostych tożsamości

zespolonych. Każdy otrzyma pięć takich tożsamości do sprawdzenia i przy
każdej należy napisać NIE, jeśli prawo nie zachodzi, TAK, jeśli prawo zachodzi

dla wszystkich z

1

, z

2

∈ C, albo “TAK, dla z

1

, z

2

= 0”, jeśli takie założenie jest

potrzebne. Niektóre z tych tożsamości będą wzięte wprost z wykładu, inne będą
konsekwencją kilku praw, jeszcze inne będą wyraźnie „sfałszowane”. Oto kilka
przykładów do przećwiczenia.

Re(z

1

+ z

2

) = Re(z

1

) + Re(z

2

) - TAK

Re(z

1

z

2

) = Re(z

1

) + Re(z

2

) - NIE

Re(z1 + z2) = Re(z1) Re(z2) - NIE

Re(z

1

z

2

) = Re(z

1

) Re(z

2

) − Im(z

1

) Im(z

2

) - NIE

|z

1

z

2

| = |z

1

| + |z

2

| - NIE

|z

1

+ z

2

| = |z

1

| + |z

2

| - NIE

|z

1

+ z

2

| ->= |z

1

| + |z

2

| -NIE

|z

1

+ z

2

| <= |z

1

| + |z

2

| - TAK

|z

1

z

2

| = |z

1

| − |z

2

| - NIE

|z

1

z

2

| = |z

1

||z

2

| - TAK

|z

1

− z

2

| = |z

1

||z

2

| - NIE

- NIE

- NIE

- TAK

ROZDZIAŁ 10

1. Proszę podać definicję: ideału, ideału pierwszego oraz ideału maksymalnego.

Definicja: Niech A będzie pierścieniem. Podzbiór

nazywamy ideałem, jeśli:

(1)

(2)

(3)

Definicja: Ideał I pierścienia A nazywamy pierwszym, jeżeli

(1)

(2)

Definicja: Ideał I nazywamy maksymalnym, jeżeli

(1)

(2) Dla każdego ideału

takiego, że

mamy

lub

.

Stwierdzenie: Każdy ideał maksymalny jest pierwszy (ale nie odwrotnie!).

2. Dla jakich n Z ideał nZ pierścienia Z jest pierwszy? Dla jakich jest maksymalny?

W jaki sposób własności pierścienia ilorazowego Z/nZ zależą od tego czy nZ jest
ideałem pierwszym/maksymalnym?
Ideał nZ pierścienia Z jest pierwszy wtw. gdy liczba n lub -n jest pierwsza albo gdy n = 0.
Ideał nZ pierścienia Z jest maksymalny wtw. gdy liczba n lub -n jest pierwsza.
Ideał pierwszy

dziedzina całkowitości.

Ideał maksymalny

ciało.

3. Dla jakich

ideał

pierścienia R[X] jest pierwszy? Dla jakich jest

maksymalny? W jaki sposób własności pierścienia ilorazowego R[X]/fR[X] zależą
od tego czy fR[X] jest ideałem pierwszym/maksymalnym?
Ideal (f) = fK[X] jest pierwszy wtw. gdy f jest wielomianem nierozkładalnym albo gdy f =
0
Ideal (f) = fK[X] jest maksymalny wtw. gdy f jest wielomianem nierozkładalnym.
Ideał pierwszy

dziedzina całkowitości.

Ideał maksymalny

ciało.