Zad 1. Obliczyć całki podwójne

a)

RR

D

y

3

e

2x

dxdy, gdzie D = [0, 2] o [−1, 1]

b)

RR

D

√

1 − y

2

dxdy, gdzie D obszar ograniczony

krzywymi x = 1 y = 1 y = x.

c)

RR

D

xdxdy, gdzie D : obszar ograniczony

przez x = 0, y = x

2

, x = 1 y = 0

d)

RR

D

2x

2

+2y

2

dxdy, gdzie D : obszar ograniczony

przez x = 1, x = 2 y = x y = 2x

e)

RR

D

xydxdy, gdzie

D = {(x, y) ∈ R

2

: x

2

¬ y ¬

5
2

}

f )

RR

D

x

2

+y

2

dxdy, gdzie D : obszar ograniczony

przez x ¬ y ¬ x + 2, 2 ¬ x ¬ 3

g)

RR

D

xydxdy, gdzie D : obszar ograniczony

y = x,

x + y = 2

y = 9

Zad 2. Współrzędne biegunowe

a)

RR

D

xy

2

dxdy, gdzie

D = {(x, y) : x > 0, x

2

+ y

2

¬ 4}

b)

RR

D

√

x

2

+ y

2

dxdy, gdzie

D = {(x, y) : y > 0, x

2

+ y

2

¬ 4}

c)

RR

D

xy

2

dxdy, gdzie

D

=

{(x, y)

:

x

> 0, x

2

+ y

2

¬

4}

d)

RR

D

ln(x

2

+y

2

)

x

2

+y

2

dxdy, gdzie D :

{ 1 ¬ x

2

+ y

2

¬ 4, y ­ 0}

e)

RR

D

dxdy

x

2

+y

2

−1

, gdzie D ograniczony przez x

2

+

y

2

= 9, x

2

+ y

2

= 25

f )

RR

D

y dxdy, gdzie D ograniczony przez x

2

+

y

2

= 4, x

> 0, y > 0}

g)

RR

D

dxdy

x

2

+y

2

−1

, gdzie D ograniczony przez

x

2

+ y

2

¬ x, x

2

+ y

2

¬ y

Zad 3. Objętość brył ograniczonych

powierzchniami

a)y = x, x+y = 2, x = 0, z = 2x

2

+2y

2

, z = 0

b)z = 5 − 2x − y, x = 0, y = 0, z = 0

c)z = e

−x

, x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1

d)z = 9 − x

2

, z = 0, y

2

= 3x

e)z = xy, z = 0, y = x

2

, y = 4, x = 0

f )z = x + 2y + 3, z = 2xy, y = x

2

, y = 4, x = 0,

g)z =

1

√

x

2

+y

2

, z = 0, x

2

+ y

2

= 1,

x

2

+ y

2

= 9

Zad 4. Pola powierzchni płatów odciętych

powierzchniami

a)z = 2x + 2y + 1, y = 2x

2

, y = 20

b)z = 8 − 2x − 2y, x = 0, y = 0, z = 0

c)z =

√

16 − x

2

− y

2

, z = 1, z = 2

d)z = 2xy, x

2

+ y

2

= 4

e)z =

√

x

2

+ y

2

, x

2

+ y

2

= 2x

f )z =

√

x

2

+ y

2

, z = 1, z = 2

g)z =

1
2

(x

2

+ y

2

), x

2

+ y

2

= 8

Zad 5. Obliczyć masę i środek ciężkości figury

płaskiej o podanej gęstości

a)z = 5xy, D = {(x, y) : 1 6 x 6 2, 0 6 y 6 1}

b)z = x + y, D = {(x, y) : x > 0, x

2

+ y

2

¬ 4}

c)z = e

x+y

, gdzie D ograniczona przez

x + y = 1 y = x, x + y = 4 y = x + 2

d)z =

√

x

2

+ y

2

, gdzie

D = {(x, y) : x

2

+ y

2

> 1}, x

2

+ y

2

6 16}

Przygotował: Andrzej Musielak