C16 – wykład
MECHANIKA BUDOWLI I
Marek Krzysztof Jasina
12. Metoda sił
Metodę sił zapoczątkowały prace J.C. Maxwella [1864] i O. Mohra [1875] dotyczące obliczeń statycznie
niewyznaczalnych kratownic mostowych.
U podstaw metody sił leży znany z mechaniki ogólnej
aksjomat więzów, który mówi, że:
Jeśli układ jest w równowadze, to odrzucenie dowolnego więzu i zastąpienie go reakcją tego więzu nie
zmienia stanu równowagi ciała.
Statycznie niewyznaczalny, kinematycznie niezmienny układ o stopniu statycznej niewyznaczalności
możemy przekształcić przez odrzucenie więzów (zewnętrznych lub wewnętrznych) i zastąpić je
nieznanymi reakcjami
0
n
>
n
(
1, 2,
, )
i
X
i
n
=
…
.
W wyniku tego zabiegu otrzymujemy układ statycznie wyznaczalny (pozbawiony pewnych więzów),
nazywany dalej układem podstawowym metody sił – (UPMS), który aby odpowiadał układowi
wyjściowemu obciążony być musi (oprócz obciążenia zewnętrznego) dodatkowymi siłami
n
i
X zwanymi
nadliczbowymi metody sił.
W tak utworzonym, pozbawionym pewnych więzów, układzie podstawowym mogą pojawić się różne od
zera przemieszczenia
0
i
δ
≠ odpowiednio w miejscu i na kierunku odrzuconych więzów.
W układzie pierwotnym (wyjściowym), ze względu na istnienie więzów, przemieszczenia te nie
występują
0
i
δ
= .
Otrzymane w powyższy sposób niewiadome nadliczbowe siły
i
X są niewiadomymi metody sił.
Niewiadome te można wyznaczyć z warunków zgodności przemieszczeń układów pierwotnego -
statycznie niewyznaczalnego oraz statycznie wyznaczalnego (UPMS), przy założeniu, że układ
podstawowy poddany jest łącznemu działaniu danych obciążeń zewnętrznych oraz sił nadliczbowych
i
X .
Siły nadliczbowe zwane są czasem wielkościami hiperestatycznymi.
Warunki zgodności przemieszczeń można zapisać w poniższej postaci
1
2
( ,
,
,
, ) 0; (
1, 2,
, )
i
n
X X
X p
i
n
δ
=
=
…
…
(12.1)
gdzie
p - oznacza wpływ danego obciążenia zewnętrznego.
Przedstawiona powyżej idea metody sił oddaje jej nazwę bowiem niewiadomymi metody są właśnie siły
reakcji w pewnych usuniętych więzach wewnętrznych bądź zewnętrznych, które odrzucono tworząc
statycznie wyznaczalny układ podstawowy metody sił.
Poniżej omówimy szczegółowy opis metody sił i zapiszemy jej algorytm. Przemieszczenia
i
δ
, które
wyznaczane będą celem zapisania warunku zgodności przemieszczeń obliczane będą przy zastosowaniu
twierdzenia o pracy wirtualnej z uwzględnieniem jedynie wpływu zginania.
Zgodnie ze wzorem
Maxwella-Mohra poszukiwane sumaryczne przemieszczenie
i
δ
ze wzoru (12.1)
otrzymujemy stosując zależność
http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html rok
2003/2004, sem. 4
C16wyklad-04c1.doc [1/8]
C16 – wykład
MECHANIKA BUDOWLI I
Marek Krzysztof Jasina
1
2
1
2
i
i
i
in
ip
i
p
i
i
i
n
M M
M M
M M
M M
ds
ds
ds
ds
EI
EI
EI
EI
M M
ds
EI
δ δ
δ
δ
δ
=
+
+ +
+
=
=
+
+ +
+
=
∫
∫
∫
∫
∑∫
…
…
= (12.2)
gdzie symbol
oznacza sumowanie po
1,
czyli od obciążeń
∑
2,
, ,
n p
…
1
2
,
,
,
,
n
X X
X
…
p .
Przedmiotem rozważań będzie rama przedstawiona na rysunku 12.1.
(© branicki & rakowski)
Rys. 12.1 Układ wyjściowy
Pierwszym krokiem rozwiązania układu, po określeniu stopnia statycznej niewyznaczalności (w tym
przypadku
) jest przyjęcie układu podstawowego metody sił (UPMS), który otrzymujemy przez
odrzucenie więzów (zob. rys 12.2) w tym przypadku zarówno więzu wewnętrznego
jak i
zewnętrznego ( .
2
n
=
(1)
2)
UPMS utworzono poprzez odrzucenie więzów równoznaczne z wstawieniem przegubów w węzłach
i
(1)
( )
B .
Na rysunku 12.2 zaznaczono wielkości nadliczbowe:
reakcję wewnętrzną w węźle
- moment zginający w przekroju
-
(1)
(1)
1
X ;
reakcję podporową w węźle ( )
B - moment podporowy w węźle ( )
B -
2
X .
Warunek równoważności układu wyjściowego i podstawowego czyli warunek zgodności (12.1) wymaga,
by w tym drugim, każde z przemieszczeń uogólnionych
i
δ
wywołane łącznym działaniem obciążenia
zewnętrznego p oraz siły
1
X i
2
X było równe zeru
1
2
0
i
ip
i
i
δ δ
δ
δ
=
+
+
= (porównać ze wzorem (12.2)).
Należy zauważyć, że obciążeniem wirtualnym od którego należy wyznaczyć wykres momentów
uwzględniony we wzorze (12.2) są siły
1
1
X
= ,
2
1
X
= .
Wystarczy zatem rozparzyć następujące obciążenia UPMS:
stan obciążenia zewnętrznego
p wywołującego przemieszczenia
ip
δ
,
wirtualne stan obciążenia wywołującego przemieszczenia
1
k
X
=
ik
δ
.
http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html rok
2003/2004, sem. 4
C16wyklad-04c1.doc [2/8]
C16 – wykład
MECHANIKA BUDOWLI I
Marek Krzysztof Jasina
(© branicki & rakowski)
Rys. 12.2 Układ podstawowy metody sił (UPMS)
(© branicki & rakowski)
Rys. 12.3 UPMS - stan obciążenia zewnętrznego
p
(© branicki & rakowski)
Rys. 12.4 UPMS – wykres momentów od obciążenia zewnętrznego
p
(© branicki & rakowski)
Rys. 12.5 UPMS - stan obciążenia jednostkową nadliczbową
1
1
X
=
http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html rok
2003/2004, sem. 4
C16wyklad-04c1.doc [3/8]
C16 – wykład
MECHANIKA BUDOWLI I
Marek Krzysztof Jasina
(© branicki & rakowski)
Rys. 12.6 UPMS – wykres momentów od obciążenia jednostkową nadliczbową
1
1
X
=
(© branicki & rakowski)
Rys. 12.7 UPMS - stan obciążenia jednostkową nadliczbową
2
1
X
=
(© branicki & rakowski)
Rys. 12.8 UPMS – wykres momentów od obciążenia jednostkową nadliczbową
2
1
X
=
Zgodnie ze wzorem
Maxwella-Mohra (porównaj (12.2)) poszukiwane przemieszczenie
i
δ
otrzymujemy
stosując zależność
i
k
ik
M M
ds
EI
δ
=
∫
2
11
1
27
54
EI
M ds
δ
=
=
=
∫
…
12
21
1
2
132
54
EI
EI
M M ds
δ
δ
=
=
=
=
∫
…
2
22
2
202
54
EI
M ds
δ
=
=
=
∫
…
1
1
20520
54
p
p
EI
M M ds
δ
=
=
=
∫
…
2
2
16380
54
p
p
EI
M M ds
δ
=
=
=
∫
…
Na rysunkach 12.3, 12.5, 12.7 pokazano geometryczną interpretację współczynników
11
δ
,
12
δ
,
21
δ
,
22
δ
,
1 p
δ
,
2 p
δ
.
http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html rok
2003/2004, sem. 4
C16wyklad-04c1.doc [4/8]
C16 – wykład
MECHANIKA BUDOWLI I
Marek Krzysztof Jasina
Układ równań zgodności przemieszczeń zbudowany jest na drodze superpozycji wpływów w wyrażeniu
na
i
δ
pochodzących od poszczególnych nadliczbowych i od obciążenia zewnętrznego (zgodnie z (12.1)i
(12.2)) można zapisać
1
1 11
2 12
1
2
1 21
2 22
2
0
0
p
p
X
X
X
X
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
=
+
+
=
=
+
+
=
(12.3)
a postaci macierzowej, po podstawieniu wartości liczbowych
(12.4)
1
2
27 132
20520
0
132 202
16380
0
X
X
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
+
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Po rozwiązaniu powyższego otrzymujemy:
1
62,63[kNm]
X
= −
,
2
40,16 [kNm]
X
= −
.
Wartości wybranych wielkości statycznych obliczamy przez sumowanie (przedstawionych na rysunkach
12.3-12.8) rozwiązań stanu p
stanu
+
1
1
(
1)
X
X
=
i
+
stanu
2
(
1)
2
X
X
=
i
zgodnie z poniższym
przepisem.
1 1
2
2
1
1
2
2
p
p
R
X R
X R
R
M
X M
X M
M
=
+
+
=
+
+
(12.5)
Jeżeli na etapie rozwiązania UPMS od obciążenia zewnętrznego p oraz od poszczególnych stanów
,
wyznaczymy wykresy sił normalnych
i sił tnących
to analogicznie można
wyznaczyć
1
1
X
=
2
1
X
=
N
T
(12.6)
1
1
2
2
1 1
2 2
p
p
N
X N
X N
N
T
X T
X T
T
=
+
+
=
+
+
I tak na przykład momenty zginające w charakterystycznych przekrojach wynoszą
1
1
62,63[kNm]
M
X
=
= −
,
2
2
120 1( 62,63)
( 40,16) 30,60 [kNm]
3
M
=
+ −
+
−
=
,
2
40,16 [kNm]
B
M
X
=
= −
.
Ostateczne wykresy sił przekrojowych przedstawiają rysunki 12.9, 12.10, 12.11.
Innym sposobem, niż zaproponowanym wcześniej (we wzorach (12.5) i (12.6)), na wyznaczenie reakcji i
sił wewnętrznych jest zastosowanie wprost superpozycji wpływów pochodzących od poszczególnych
nadliczbowych i od obciążenia zewnętrznego.
Można zatem obciążyć UPMS sumarycznym obciążeniem zewnętrznym
1
2
p X
X
Σ = +
+
i rozwiązać
układ wyznaczając reakcje
R
Σ
i wykresy sił wewnętrznych
N
Σ
,
M
Σ
,
T
Σ
od tak przyjętego obciążenia
Σ .
http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html rok
2003/2004, sem. 4
C16wyklad-04c1.doc [5/8]
C16 – wykład
MECHANIKA BUDOWLI I
Marek Krzysztof Jasina
(© branicki & rakowski)
Rys. 12.9 Układ wyjściowy – wykres momentów
(© branicki & rakowski)
Rys. 12.10 Układ wyjściowy – wykres sił tnących
(© branicki & rakowski)
Rys. 12.11 Układ wyjściowy – wykres sił normalnych
Algorytm metody sił
(1)
Obliczyć stopień statycznej niewyznaczalności układu
. Przekształcić statycznie
niewyznaczalny, kinematycznie niezmienny układ o stopniu statycznej niewyznaczalności w układ
podstawowy metody sił – (UPMS), przez odrzucenie więzów (zewnętrznych lub wewnętrznych) i
zastąpienie ich nieznanymi reakcjami w usuniętych więzach
0
n
>
n
n
(
1, 2,
, )
i
X
i
=
… n zwanymi
nadliczbowymi metody sił.
(2)
W tak utworzonym, pozbawionym pewnych więzów, układzie podstawowym obliczyć różne od zera
przemieszczenia
i
δ
odpowiednio w miejscu i na kierunku odrzuconych więzów.
(2a)
Przemieszczenia
ip
δ
od obciążenia zewnętrznego
p .
http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html rok
2003/2004, sem. 4
C16wyklad-04c1.doc [6/8]
C16 – wykład
MECHANIKA BUDOWLI I
Marek Krzysztof Jasina
(2b)
Przemieszczenia
ik
δ
od poszczególnych obciążeń
1
k
X
= przy
gdy
0
j
X
=
(
)
j k
≠
dla
.
1, 2,
,
k
n
=
…
Przemieszczenia
ip
δ
i
ik
δ
można wyznaczyć zgodnie ze wzorem
Maxwella-Mohra, przy uwzględnieniu
jedynie wpływu momentów zginających, stosując zależność
i
k
ik
M M
ds
EI
δ
=
∫
(12.7)
co wymaga wyznaczenia wykresów sił wewnętrznych w UPMS od poszczególnych stanów obciążenia
1;
1, 2,
,
k
X
k
n
=
=
…
.
(3)
Po wyznaczeniu przemieszczeń
ip
δ
i
ik
δ
należy rozwiązać kanoniczny układ równań metody sił
(układ równań zgodności przemieszczeń) zbudowany na drodze superpozycji wpływów w wyrażeniu na
i
δ
pochodzących od poszczególnych nadliczbowych i od obciążenia zewnętrznego
1
1 11
2 12
1
1
2
1 21
2 22
2
2
1
1
2
2
0
0
0
n
n
p
n
n
p
n
n
n
n nn
np
X
X
X
X
X
X
X
X
X
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
=
+
+ +
+
=
=
+
+ +
+
=
=
+
+ +
+
=
…
…
……………………………………………
…
(12.8)
(4)
Po rozwiązaniu układu równań kanonicznych i wyznaczeniu wartości sił nadliczbowych
i
X można
wyznaczyć ostateczne wartości, interesujących nas wielkości statycznych np. reakcje R i wykresy sił
wewnętrznych
,
N
M , T od zadanego obciążenia.
Wartości wybranych wielkości statycznych obliczamy przez sumowanie rozwiązań p
+
(
1)
;
1, 2,
,
k
k
X
X
k
=
=
i
n
…
zgodnie z poniższym przepisem.
1 1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1 1
2 2
p
p
p
p
R
X R
X R
R
N
X N
X N
N
M
X M
X M
M
T
X T
X T
T
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
(12.9)
Innym sposobem, niż zaproponowanym wyżej, na wyznaczenie reakcji i sił wewnętrznych jest
zastosowanie wprost superpozycji wpływów pochodzących od poszczególnych nadliczbowych i od
obciążenia zewnętrznego.
Można zatem obciążyć UPMS sumarycznym obciążeniem zewnętrznym
1
2
n
p X
X
X
Σ = +
+
+ +
…
(12.10)
a następnie rozwiązać układ wyznaczając reakcje R
Σ
i wykresy sił wewnętrznych
,
N
Σ
M
Σ
, T
Σ
od tak
przyjętego obciążenia .
Σ
http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html rok
2003/2004, sem. 4
C16wyklad-04c1.doc [7/8]
C16 – wykład
MECHANIKA BUDOWLI I
Marek Krzysztof Jasina
Uwagi do algorytmu metody sił
(A)
Układ podstawowy metody sił (UPMS) należy dobrać kierując się zasadą minimalizowania obliczeń.
(B)
Przemieszczenia
ip
δ
i
ik
δ
najczęściej wyznacza się zgodnie ze wzorem Maxwella-Mohra, jednak
niekiedy wartości poszukiwanych przemieszczeń można wyznaczyć bez tego typu obliczeń np.
odczytując je z odpowiednich tabel zamieszczonych w literaturze.
Przy pominięciu odkształceń postaciowych (wpływu sił poprzecznych
) i przy uwzględnieniu
przemieszczeń (osiadania) podpór
, reakcji podpór sprężystych
, obciążeń temperaturą ( ) , można
zapisać poniższą zależność.
( )
T
( )
∆
( )
S
t
0
1
(
)
i
p
i
p
i
ip
ri
r
r
l
l
i
p
s
s
t
i
t
i
d
g
l
l
N N
M M
R
ds
ds
EA
EI
S S
k
N
t ds
M
t
t d
h
δ
α
α
+
∆ =
+
+
+
+
+
+
−
∑
∫
∫
∑
∫
∫
s
(12.11)
(C)
Każde z równań (12.8) wyraża warunek zgodności przemieszczeń układu wyjściowego i układu
podstawowego. Układ równań kanonicznych wygodniej jest przedstawiać w postaci macierzowej.
Uwaga: można, w łatwy sposób, dokonać geometrycznej interpretacji poszczególnych kolumn macierzy
podatności .
D
1
11
12
1
1
2
21
22
2
2
1
2
0
0
.
.
.
.
.
.
0
p
n
p
n
np
n
n
nn
n
X
X
X
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
⎡
⎤
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
+
=
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎣ ⎦
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦
…
…
…
(12.12)
lub w postaci macierzowej
(12.13)
p
+
=
D X D
0
gdzie jest z definicji macierzą podatności układu podstawowego względem zbioru sił
D
i
X (względem
wektora ).
X
Uwaga: jeśli układ obciążony jest kilkoma schematami obciążeń zewnętrznych to w równaniu (12.12)
zmienia się jedynie wektor
natomiast macierz podatności jest z definicji taka sama.
p
D
http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html rok
2003/2004, sem. 4
C16wyklad-04c1.doc [8/8]
Document Outline