C16 – wykład

MECHANIKA BUDOWLI I

Marek Krzysztof Jasina

12. Metoda sił

Metodę sił zapoczątkowały prace J.C. Maxwella [1864] i O. Mohra [1875] dotyczące obliczeń statycznie
niewyznaczalnych kratownic mostowych.

U podstaw metody sił leży znany z mechaniki ogólnej
aksjomat więzów, który mówi, że:

Jeśli układ jest w równowadze, to odrzucenie dowolnego więzu i zastąpienie go reakcją tego więzu nie
zmienia stanu równowagi ciała.

Statycznie niewyznaczalny, kinematycznie niezmienny układ o stopniu statycznej niewyznaczalności

możemy przekształcić przez odrzucenie więzów (zewnętrznych lub wewnętrznych) i zastąpić je

nieznanymi reakcjami

0

n

>

n

(

1, 2,

, )

i

X

i

n

=

…

.

W wyniku tego zabiegu otrzymujemy układ statycznie wyznaczalny (pozbawiony pewnych więzów),
nazywany dalej układem podstawowym metody sił – (UPMS), który aby odpowiadał układowi
wyjściowemu obciążony być musi (oprócz obciążenia zewnętrznego) dodatkowymi siłami

n

i

X zwanymi

nadliczbowymi metody sił.

W tak utworzonym, pozbawionym pewnych więzów, układzie podstawowym mogą pojawić się różne od
zera przemieszczenia

0

i

δ

≠ odpowiednio w miejscu i na kierunku odrzuconych więzów.

W układzie pierwotnym (wyjściowym), ze względu na istnienie więzów, przemieszczenia te nie
występują

0

i

δ

= .

Otrzymane w powyższy sposób niewiadome nadliczbowe siły

i

X są niewiadomymi metody sił.

Niewiadome te można wyznaczyć z warunków zgodności przemieszczeń układów pierwotnego -
statycznie niewyznaczalnego oraz statycznie wyznaczalnego (UPMS), przy założeniu, że układ
podstawowy poddany jest łącznemu działaniu danych obciążeń zewnętrznych oraz sił nadliczbowych

i

X .

Siły nadliczbowe zwane są czasem wielkościami hiperestatycznymi.

Warunki zgodności przemieszczeń można zapisać w poniższej postaci

1

2

( ,

,

,

, ) 0; (

1, 2,

, )

i

n

X X

X p

i

n

δ

=

=

…

…

(12.1)

gdzie

p - oznacza wpływ danego obciążenia zewnętrznego.

Przedstawiona powyżej idea metody sił oddaje jej nazwę bowiem niewiadomymi metody są właśnie siły
reakcji w pewnych usuniętych więzach wewnętrznych bądź zewnętrznych, które odrzucono tworząc
statycznie wyznaczalny układ podstawowy metody sił.

Poniżej omówimy szczegółowy opis metody sił i zapiszemy jej algorytm. Przemieszczenia

i

δ

, które

wyznaczane będą celem zapisania warunku zgodności przemieszczeń obliczane będą przy zastosowaniu
twierdzenia o pracy wirtualnej z uwzględnieniem jedynie wpływu zginania.
Zgodnie ze wzorem

Maxwella-Mohra poszukiwane sumaryczne przemieszczenie

i

δ

ze wzoru (12.1)

otrzymujemy stosując zależność

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html rok

2003/2004, sem. 4

C16wyklad-04c1.doc [1/8]

C16 – wykład

MECHANIKA BUDOWLI I

Marek Krzysztof Jasina

1

2

1

2

i

i

i

in

ip

i

p

i

i

i

n

M M

M M

M M

M M

ds

ds

ds

ds

EI

EI

EI

EI

M M

ds

EI

δ δ

δ

δ

δ

=

+

+ +

+

=

=

+

+ +

+

=

∫

∫

∫

∫

∑∫

…

…

= (12.2)

gdzie symbol

oznacza sumowanie po

1,

czyli od obciążeń

∑

2,

, ,

n p

…

1

2

,

,

,

,

n

X X

X

…

p .

Przedmiotem rozważań będzie rama przedstawiona na rysunku 12.1.

(© branicki & rakowski)

Rys. 12.1 Układ wyjściowy

Pierwszym krokiem rozwiązania układu, po określeniu stopnia statycznej niewyznaczalności (w tym
przypadku

) jest przyjęcie układu podstawowego metody sił (UPMS), który otrzymujemy przez

odrzucenie więzów (zob. rys 12.2) w tym przypadku zarówno więzu wewnętrznego

jak i

zewnętrznego ( .

2

n

=

(1)

2)

UPMS utworzono poprzez odrzucenie więzów równoznaczne z wstawieniem przegubów w węzłach

i

(1)

( )

B .

Na rysunku 12.2 zaznaczono wielkości nadliczbowe:
reakcję wewnętrzną w węźle

- moment zginający w przekroju

-

(1)

(1)

1

X ;

reakcję podporową w węźle ( )

B - moment podporowy w węźle ( )

B -

2

X .

Warunek równoważności układu wyjściowego i podstawowego czyli warunek zgodności (12.1) wymaga,
by w tym drugim, każde z przemieszczeń uogólnionych

i

δ

wywołane łącznym działaniem obciążenia

zewnętrznego p oraz siły

1

X i

2

X było równe zeru

1

2

0

i

ip

i

i

δ δ

δ

δ

=

+

+

= (porównać ze wzorem (12.2)).

Należy zauważyć, że obciążeniem wirtualnym od którego należy wyznaczyć wykres momentów
uwzględniony we wzorze (12.2) są siły

1

1

X

= ,

2

1

X

= .

Wystarczy zatem rozparzyć następujące obciążenia UPMS:
stan obciążenia zewnętrznego

p wywołującego przemieszczenia

ip

δ

,

wirtualne stan obciążenia wywołującego przemieszczenia

1

k

X

=

ik

δ

.

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html rok

2003/2004, sem. 4

C16wyklad-04c1.doc [2/8]

C16 – wykład

MECHANIKA BUDOWLI I

Marek Krzysztof Jasina

(© branicki & rakowski)

Rys. 12.2 Układ podstawowy metody sił (UPMS)

(© branicki & rakowski)

Rys. 12.3 UPMS - stan obciążenia zewnętrznego

p

(© branicki & rakowski)

Rys. 12.4 UPMS – wykres momentów od obciążenia zewnętrznego

p

(© branicki & rakowski)

Rys. 12.5 UPMS - stan obciążenia jednostkową nadliczbową

1

1

X

=

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html rok

2003/2004, sem. 4

C16wyklad-04c1.doc [3/8]

C16 – wykład

MECHANIKA BUDOWLI I

Marek Krzysztof Jasina

(© branicki & rakowski)

Rys. 12.6 UPMS – wykres momentów od obciążenia jednostkową nadliczbową

1

1

X

=

(© branicki & rakowski)

Rys. 12.7 UPMS - stan obciążenia jednostkową nadliczbową

2

1

X

=

(© branicki & rakowski)

Rys. 12.8 UPMS – wykres momentów od obciążenia jednostkową nadliczbową

2

1

X

=

Zgodnie ze wzorem

Maxwella-Mohra (porównaj (12.2)) poszukiwane przemieszczenie

i

δ

otrzymujemy

stosując zależność

i

k

ik

M M

ds

EI

δ

=

∫

2

11

1

27
54

EI

M ds

δ

=

=

=

∫

…

12

21

1

2

132

54

EI

EI

M M ds

δ

δ

=

=

=

=

∫

…

2

22

2

202

54

EI

M ds

δ

=

=

=

∫

…

1

1

20520

54

p

p

EI

M M ds

δ

=

=

=

∫

…

2

2

16380

54

p

p

EI

M M ds

δ

=

=

=

∫

…

Na rysunkach 12.3, 12.5, 12.7 pokazano geometryczną interpretację współczynników

11

δ

,

12

δ

,

21

δ

,

22

δ

,

1 p

δ

,

2 p

δ

.

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html rok

2003/2004, sem. 4

C16wyklad-04c1.doc [4/8]

C16 – wykład

MECHANIKA BUDOWLI I

Marek Krzysztof Jasina

Układ równań zgodności przemieszczeń zbudowany jest na drodze superpozycji wpływów w wyrażeniu
na

i

δ

pochodzących od poszczególnych nadliczbowych i od obciążenia zewnętrznego (zgodnie z (12.1)i

(12.2)) można zapisać

1

1 11

2 12

1

2

1 21

2 22

2

0

0

p

p

X

X

X

X

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

=

+

+

=

=

+

+

=

(12.3)

a postaci macierzowej, po podstawieniu wartości liczbowych

(12.4)

1

2

27 132

20520

0

132 202

16380

0

X

X

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

+

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Po rozwiązaniu powyższego otrzymujemy:

1

62,63[kNm]

X

= −

,

2

40,16 [kNm]

X

= −

.

Wartości wybranych wielkości statycznych obliczamy przez sumowanie (przedstawionych na rysunkach
12.3-12.8) rozwiązań stanu p

stanu

+

1

1

(

1)

X

X

=

i

+

stanu

2

(

1)

2

X

X

=

i

zgodnie z poniższym

przepisem.

1 1

2

2

1

1

2

2

p

p

R

X R

X R

R

M

X M

X M

M

=

+

+

=

+

+

(12.5)

Jeżeli na etapie rozwiązania UPMS od obciążenia zewnętrznego p oraz od poszczególnych stanów

,

wyznaczymy wykresy sił normalnych

i sił tnących

to analogicznie można

wyznaczyć

1

1

X

=

2

1

X

=

N

T

(12.6)

1

1

2

2

1 1

2 2

p

p

N

X N

X N

N

T

X T

X T

T

=

+

+

=

+

+

I tak na przykład momenty zginające w charakterystycznych przekrojach wynoszą

1

1

62,63[kNm]

M

X

=

= −

,

2

2

120 1( 62,63)

( 40,16) 30,60 [kNm]

3

M

=

+ −

+

−

=

,

2

40,16 [kNm]

B

M

X

=

= −

.

Ostateczne wykresy sił przekrojowych przedstawiają rysunki 12.9, 12.10, 12.11.

Innym sposobem, niż zaproponowanym wcześniej (we wzorach (12.5) i (12.6)), na wyznaczenie reakcji i
sił wewnętrznych jest zastosowanie wprost superpozycji wpływów pochodzących od poszczególnych
nadliczbowych i od obciążenia zewnętrznego.

Można zatem obciążyć UPMS sumarycznym obciążeniem zewnętrznym

1

2

p X

X

Σ = +

+

i rozwiązać

układ wyznaczając reakcje

R

Σ

i wykresy sił wewnętrznych

N

Σ

,

M

Σ

,

T

Σ

od tak przyjętego obciążenia

Σ .

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html rok

2003/2004, sem. 4

C16wyklad-04c1.doc [5/8]

C16 – wykład

MECHANIKA BUDOWLI I

Marek Krzysztof Jasina

(© branicki & rakowski)

Rys. 12.9 Układ wyjściowy – wykres momentów

(© branicki & rakowski)

Rys. 12.10 Układ wyjściowy – wykres sił tnących

(© branicki & rakowski)

Rys. 12.11 Układ wyjściowy – wykres sił normalnych

Algorytm metody sił

(1)

Obliczyć stopień statycznej niewyznaczalności układu

. Przekształcić statycznie

niewyznaczalny, kinematycznie niezmienny układ o stopniu statycznej niewyznaczalności w układ
podstawowy metody sił – (UPMS), przez odrzucenie więzów (zewnętrznych lub wewnętrznych) i
zastąpienie ich nieznanymi reakcjami w usuniętych więzach

0

n

>

n

n

(

1, 2,

, )

i

X

i

=

… n zwanymi

nadliczbowymi metody sił.

(2)

W tak utworzonym, pozbawionym pewnych więzów, układzie podstawowym obliczyć różne od zera

przemieszczenia

i

δ

odpowiednio w miejscu i na kierunku odrzuconych więzów.

(2a)

Przemieszczenia

ip

δ

od obciążenia zewnętrznego

p .

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html rok

2003/2004, sem. 4

C16wyklad-04c1.doc [6/8]

C16 – wykład

MECHANIKA BUDOWLI I

Marek Krzysztof Jasina

(2b)

Przemieszczenia

ik

δ

od poszczególnych obciążeń

1

k

X

= przy

gdy

0

j

X

=

(

)

j k

≠

dla

.

1, 2,

,

k

n

=

…

Przemieszczenia

ip

δ

i

ik

δ

można wyznaczyć zgodnie ze wzorem

Maxwella-Mohra, przy uwzględnieniu

jedynie wpływu momentów zginających, stosując zależność

i

k

ik

M M

ds

EI

δ

=

∫

(12.7)

co wymaga wyznaczenia wykresów sił wewnętrznych w UPMS od poszczególnych stanów obciążenia

1;

1, 2,

,

k

X

k

n

=

=

…

.

(3)

Po wyznaczeniu przemieszczeń

ip

δ

i

ik

δ

należy rozwiązać kanoniczny układ równań metody sił

(układ równań zgodności przemieszczeń) zbudowany na drodze superpozycji wpływów w wyrażeniu na

i

δ

pochodzących od poszczególnych nadliczbowych i od obciążenia zewnętrznego

1

1 11

2 12

1

1

2

1 21

2 22

2

2

1

1

2

2

0

0

0

n

n

p

n

n

p

n

n

n

n nn

np

X

X

X

X

X

X

X

X

X

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

=

+

+ +

+

=

=

+

+ +

+

=

=

+

+ +

+

=

…

…

……………………………………………

…

(12.8)

(4)

Po rozwiązaniu układu równań kanonicznych i wyznaczeniu wartości sił nadliczbowych

i

X można

wyznaczyć ostateczne wartości, interesujących nas wielkości statycznych np. reakcje R i wykresy sił
wewnętrznych

,

N

M , T od zadanego obciążenia.

Wartości wybranych wielkości statycznych obliczamy przez sumowanie rozwiązań p

+

(

1)

;

1, 2,

,

k

k

X

X

k

=

=

i

n

…

zgodnie z poniższym przepisem.

1 1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1 1

2 2

p

p

p

p

R

X R

X R

R

N

X N

X N

N

M

X M

X M

M

T

X T

X T

T

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

(12.9)

Innym sposobem, niż zaproponowanym wyżej, na wyznaczenie reakcji i sił wewnętrznych jest
zastosowanie wprost superpozycji wpływów pochodzących od poszczególnych nadliczbowych i od
obciążenia zewnętrznego.

Można zatem obciążyć UPMS sumarycznym obciążeniem zewnętrznym

1

2

n

p X

X

X

Σ = +

+

+ +

…

(12.10)

a następnie rozwiązać układ wyznaczając reakcje R

Σ

i wykresy sił wewnętrznych

,

N

Σ

M

Σ

, T

Σ

od tak

przyjętego obciążenia .

Σ

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html rok

2003/2004, sem. 4

C16wyklad-04c1.doc [7/8]

C16 – wykład

MECHANIKA BUDOWLI I

Marek Krzysztof Jasina

Uwagi do algorytmu metody sił

(A)

Układ podstawowy metody sił (UPMS) należy dobrać kierując się zasadą minimalizowania obliczeń.

(B)

Przemieszczenia

ip

δ

i

ik

δ

najczęściej wyznacza się zgodnie ze wzorem Maxwella-Mohra, jednak

niekiedy wartości poszukiwanych przemieszczeń można wyznaczyć bez tego typu obliczeń np.
odczytując je z odpowiednich tabel zamieszczonych w literaturze.

Przy pominięciu odkształceń postaciowych (wpływu sił poprzecznych

) i przy uwzględnieniu

przemieszczeń (osiadania) podpór

, reakcji podpór sprężystych

, obciążeń temperaturą ( ) , można

zapisać poniższą zależność.

( )

T

( )

∆

( )

S

t

0

1

(

)

i

p

i

p

i

ip

ri

r

r

l

l

i

p

s

s

t

i

t

i

d

g

l

l

N N

M M

R

ds

ds

EA

EI

S S

k

N

t ds

M

t

t d

h

δ

α

α

+

∆ =

+

+

+

+

+

+

−

∑

∫

∫

∑

∫

∫

s

(12.11)

(C)

Każde z równań (12.8) wyraża warunek zgodności przemieszczeń układu wyjściowego i układu

podstawowego. Układ równań kanonicznych wygodniej jest przedstawiać w postaci macierzowej.

Uwaga: można, w łatwy sposób, dokonać geometrycznej interpretacji poszczególnych kolumn macierzy
podatności .

D

1

11

12

1

1

2

21

22

2

2

1

2

0
0

.

.

.

.

.

.

0

p

n

p

n

np

n

n

nn

n

X

X

X

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

⎡

⎤

⎡

⎤ ⎡

⎤

⎡ ⎤

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢ ⎥

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢ ⎥

+

=

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢ ⎥

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢ ⎥

⎢

⎥ ⎣ ⎦

⎣

⎦ ⎣

⎦ ⎣

⎦

…
…

…

(12.12)

lub w postaci macierzowej

(12.13)

p

+

=

D X D

0

gdzie jest z definicji macierzą podatności układu podstawowego względem zbioru sił

D

i

X (względem

wektora ).

X

Uwaga: jeśli układ obciążony jest kilkoma schematami obciążeń zewnętrznych to w równaniu (12.12)
zmienia się jedynie wektor

natomiast macierz podatności jest z definicji taka sama.

p

D

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html rok

2003/2004, sem. 4

C16wyklad-04c1.doc [8/8]