1

Wykład siódmy

Tw 1. (o pochodnej funkcji odwrotnej)Jeżeli funkcja f jest ściśle monotoniczna i posiada
pochodną f

0

(x) 6= 0, to funkcja odwrotna f

−1

posiada pochodną i prawdziwy jest wzór

(f

−1

(y))

0

=

1

f

0

(x)

, gdzie y = f (x)

Α

Α

Β

y = g

HxL

y = x

y = f

HxL

x

0

y

0

y

0

x

0

0.5

1.0

X

0.5

1.0

Y

8. (ln x)

0

=

1

x

9. (arcsin x)

0

=

1

√

1 − x

2

10. (arccos x)

0

= −

1

√

1 − x

2

11. (arctg x)

0

=

1

x

2

+ 1

12. (arcctg x)

0

= −

1

x

2

+ 1

Tw 2. (o pochodnej funkcji złożonej)Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x i funkcja
g ma pochodną w punkcie y = f (x), to funkcja złożona g ◦ f ma pochodną w punkcie x i
prawdziwy jest wzór

(g ◦ f )

0

(x) = g

0

(f (x)) · f

0

(x)

Powyższy wzór można stosować wielokrotnie.

13. (sh x)

0

= ch x

2

14. (ch x)

0

= sh x

15. (x

α

)

0

= α · x

α−1

, α ∈ R − {0}

Tw 3. (WK istnienia pochodnej) Jeżeli f

0

(x

0

) istnieje, to funkcja f jest ciągła w punkcie

x

0

.

Uwaga 1. Jeżeli istnieje pochodna f

0

w przedziale P , to

1. jeżeli funkcja f jest rosnąca na przedziale P , to f

0

­ 0 na tym przedziale;

2. jeżeli funkcja f jest malejąca na przedziale P , to f

0

¬ 0 na tym przedziale.

y = x

y = x - sinx

-2

2

4

6

8

X

-4

-2

2

4

6

8

Y

Tw 4. (de l’Hospitala) Jeżeli funkcje

f

h

oraz

f

0

h

0

są określone na pewnym sąsiedztwie punktu

x

0

oraz

1. lim

x→x

0

f (x) = lim

x→x

0

h(x) = 0 lub | lim

x→x

0

h(x)| = +∞ ;

2. istnieje granica lim

x→x

0

f

0

(x)

h

0

(x)

( właściwa lub niewłaściwa)

to istnieje granica lim

x→x

0

f (x)

h(x)

= lim

x→x

0

f

0

(x)

h

0

(x)

.

3

Pochodne wyższych rzędów

Zał. f

0

jest określona w pewnym otoczeniu punktu x

0

.

Def. 1. Granicę właściwą lim

∆x→0

f

0

(x

0

+ ∆x) − f

0

(x

0

)

∆x

nazywamy

pochodną drugiego rzędu

funkcji f w punkcie x

0

i oznaczamy przez f

00

(x

0

).

f

00

– funkcja drugiej pochodnej funkcji f .

Ogólnie określamy

pochodną n – tego rzędu

funkcji f jako:

f

(n)

(x)

df

=



f

(n−1)

(x)



0

, n = 2, 3, . . . .

Uwaga 2. Jeżeli funkcja f ma pochodną n–tego rzędu, to ma pochodne wszystkich niższych
rzędów.

Tw 5. (Rolle’a). Jeżeli funkcja f jest ciągła w ha; bi, f

0

istnieje w (a; b) oraz f (a) = f (b),

to istnieje c ∈ (a; b) taki, że f

0

(c) = 0.

Tw 6. Lagrange’a (o przyrostach). Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
o końcach x i x

0

oraz posiada pochodną f

0

wewnątrz tego przedziału, to istnieje punkt c z

wnętrza tego przedziału taki, że

f (x) − f (x

0

) = f

0

(c)(x − x

0

).

Wnioski z twierdzenia Lagrange’a

1. Jeżeli f

0

(x) = 0 dla każdego x ∈ (a ; b), to funkcja f jest stała w tym przedziale.

2. Jeżeli f

0

(x) = g

0

(x) dla każdego x ∈ (a ; b), to funkcje f i g różnią się na tym przedziale

o stałą.

3. Jeżeli f

0

(x) > 0 dla każdego x ∈ (a ; b), to funkcja f jest rosnąca na tym przedziale.

4. Jeżeli f

0

(x) < 0 dla każdego x ∈ (a ; b), to funkcja f jest malejąca na tym przedziale.

Powyższe wnioski pozostają prawdziwe dla przedziałów (−∞ ; a), (a ; +∞) i (−∞ ; +∞).

Zastosowania rachunku różniczkowego w wyznaczaniu ekstremów

Tw 7. (WK istnienia ekstremum)Jeżeli funkcja f ma w punkcie x

0

ekstremum i f

0

(x

0

)

istnieje, to f

0

(x

0

) = 0.

4

Uwaga 3. Funkcja f może mieć ekstremum tylko w tych punktach, w których pochodna nie
istnieje lub jest równa 0.

Tw 8. (I WW istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x

0

oraz

posiada pochodną f

0

na pewnym sąsiedztwie (x

0

− δ ; x

0

) ∪ (x

0

: x

0

+ δ) oraz f

0

(x) > 0 dla

x ∈ (x

0

− δ ; x

0

) i f

0

(x) < 0 dla x ∈ (x

0

: x

0

+ δ) lub na odwrót, to funkcja f ma ekstremum

właściwe w punkcie x

0

.

y =

Ix

2

M

1

3

H1 + xL

-3

-2

-1

1

X

-2

-1

1

Y