1
Wykład siódmy
Tw 1. (o pochodnej funkcji odwrotnej)Jeżeli funkcja f jest ściśle monotoniczna i posiada
pochodną f
0
(x) 6= 0, to funkcja odwrotna f
−1
posiada pochodną i prawdziwy jest wzór
(f
−1
(y))
0
=
1
f
0
(x)
, gdzie y = f (x)
Α
Α
Β
y = g
HxL
y = x
y = f
HxL
x
0
y
0
y
0
x
0
0.5
1.0
X
0.5
1.0
Y
8. (ln x)
0
=
1
x
9. (arcsin x)
0
=
1
√
1 − x
2
10. (arccos x)
0
= −
1
√
1 − x
2
11. (arctg x)
0
=
1
x
2
+ 1
12. (arcctg x)
0
= −
1
x
2
+ 1
Tw 2. (o pochodnej funkcji złożonej)Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x i funkcja
g ma pochodną w punkcie y = f (x), to funkcja złożona g ◦ f ma pochodną w punkcie x i
prawdziwy jest wzór
(g ◦ f )
0
(x) = g
0
(f (x)) · f
0
(x)
Powyższy wzór można stosować wielokrotnie.
13. (sh x)
0
= ch x
2
14. (ch x)
0
= sh x
15. (x
α
)
0
= α · x
α−1
, α ∈ R − {0}
Tw 3. (WK istnienia pochodnej) Jeżeli f
0
(x
0
) istnieje, to funkcja f jest ciągła w punkcie
x
0
.
Uwaga 1. Jeżeli istnieje pochodna f
0
w przedziale P , to
1. jeżeli funkcja f jest rosnąca na przedziale P , to f
0
0 na tym przedziale;
2. jeżeli funkcja f jest malejąca na przedziale P , to f
0
¬ 0 na tym przedziale.
y = x
y = x - sinx
-2
2
4
6
8
X
-4
-2
2
4
6
8
Y
Tw 4. (de l’Hospitala) Jeżeli funkcje
f
h
oraz
f
0
h
0
są określone na pewnym sąsiedztwie punktu
x
0
oraz
1. lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
h(x) = 0 lub | lim
x→x
0
h(x)| = +∞ ;
2. istnieje granica lim
x→x
0
f
0
(x)
h
0
(x)
( właściwa lub niewłaściwa)
to istnieje granica lim
x→x
0
f (x)
h(x)
= lim
x→x
0
f
0
(x)
h
0
(x)
.
3
Pochodne wyższych rzędów
Zał. f
0
jest określona w pewnym otoczeniu punktu x
0
.
Def. 1. Granicę właściwą lim
∆x→0
f
0
(x
0
+ ∆x) − f
0
(x
0
)
∆x
nazywamy
pochodną drugiego rzędu
funkcji f w punkcie x
0
i oznaczamy przez f
00
(x
0
).
f
00
– funkcja drugiej pochodnej funkcji f .
Ogólnie określamy
pochodną n – tego rzędu
funkcji f jako:
f
(n)
(x)
df
=
f
(n−1)
(x)
0
, n = 2, 3, . . . .
Uwaga 2. Jeżeli funkcja f ma pochodną n–tego rzędu, to ma pochodne wszystkich niższych
rzędów.
Tw 5. (Rolle’a). Jeżeli funkcja f jest ciągła w ha; bi, f
0
istnieje w (a; b) oraz f (a) = f (b),
to istnieje c ∈ (a; b) taki, że f
0
(c) = 0.
Tw 6. Lagrange’a (o przyrostach). Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
o końcach x i x
0
oraz posiada pochodną f
0
wewnątrz tego przedziału, to istnieje punkt c z
wnętrza tego przedziału taki, że
f (x) − f (x
0
) = f
0
(c)(x − x
0
).
Wnioski z twierdzenia Lagrange’a
1. Jeżeli f
0
(x) = 0 dla każdego x ∈ (a ; b), to funkcja f jest stała w tym przedziale.
2. Jeżeli f
0
(x) = g
0
(x) dla każdego x ∈ (a ; b), to funkcje f i g różnią się na tym przedziale
o stałą.
3. Jeżeli f
0
(x) > 0 dla każdego x ∈ (a ; b), to funkcja f jest rosnąca na tym przedziale.
4. Jeżeli f
0
(x) < 0 dla każdego x ∈ (a ; b), to funkcja f jest malejąca na tym przedziale.
Powyższe wnioski pozostają prawdziwe dla przedziałów (−∞ ; a), (a ; +∞) i (−∞ ; +∞).
Zastosowania rachunku różniczkowego w wyznaczaniu ekstremów
Tw 7. (WK istnienia ekstremum)Jeżeli funkcja f ma w punkcie x
0
ekstremum i f
0
(x
0
)
istnieje, to f
0
(x
0
) = 0.
4
Uwaga 3. Funkcja f może mieć ekstremum tylko w tych punktach, w których pochodna nie
istnieje lub jest równa 0.
Tw 8. (I WW istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
oraz
posiada pochodną f
0
na pewnym sąsiedztwie (x
0
− δ ; x
0
) ∪ (x
0
: x
0
+ δ) oraz f
0
(x) > 0 dla
x ∈ (x
0
− δ ; x
0
) i f
0
(x) < 0 dla x ∈ (x
0
: x
0
+ δ) lub na odwrót, to funkcja f ma ekstremum
właściwe w punkcie x
0
.
y =
Ix
2
M
1
3
H1 + xL
-3
-2
-1
1
X
-2
-1
1
Y