W
W
Y
Y
K
K
Ł
Ł
A
A
D
D
2
2
Z
Z
A
A
S
S
A
A
D
D
A
A
Z
Z
A
A
C
C
H
H
O
O
W
W
A
A
N
N
I
I
A
A
M
M
A
A
S
S
Y
Y
I
I
Z
Z
W
W
I
I
Ą
Ą
Z
Z
A
A
N
N
E
E
Z
Z
N
N
I
I
Ą
Ą
R
R
Ó
Ó
W
W
N
N
A
A
N
N
I
I
A
A
.
.
D
D
R
R
U
U
G
G
A
A
Z
Z
A
A
S
S
A
A
D
D
A
A
D
D
Y
Y
N
N
A
A
M
M
I
I
K
K
I
I
.
.
“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer
R
R
O
O
D
D
Z
Z
A
A
J
J
E
E
W
W
I
I
E
E
L
L
K
K
O
O
Ś
Ś
C
C
I
I
W
W
Y
Y
S
S
T
T
E
E
P
P
U
U
J
J
Ą
Ą
C
C
Y
Y
C
C
H
H
W
W
F
F
I
I
Z
Z
Y
Y
C
C
E
E
intensywne
ekstensywne
ciśnienie, masa właściwa,
temperatura, prędkość,
natężenie pola
elektrycznego, entalpia
właściwa,
itp.…
są określone w każdym
miejscu ciała
masa, ładunek
elektryczny, pęd, siła,
moc, energia, moment
magnetyczny, entalpia
itp.…
są zdefiniowane dla ciała
1
2
3
1
2
3
F(
...)
F(
)
F(
)
F(
) ...
Istotna cecha wielkości ekstensywnych:
ich wartość obliczona dla
sumy ciał jest równa sumie ich wartości obliczonych dla
poszczególnych ciał.
Ciało: w
k
k
i
,
Wielkość ekstensywną F
ok
reślamy jako całkę obliczaną
po obszarze wypełnionym przez
ciało
(t )
F F(t)
f (t, r)d
f (t, r)
-
to „gęstość” wielkości
F
albo
inaczej
– wielkość właściwa
F
Pochodna wielkości ekstensywnej:
(t )
dF
df
f (
v) d
dt
dt
Masę jako wielkość ekstensywną zapisujemy tak:
(t )
m
(t, r)d
-
gęstość masy albo masa właściwa
(t)
-
obraz obszaru
o
,
zawiera niezmienny zbiór punktów materialnych
wypełniających obszar
o
w chwili początkowej
Z
Z
A
A
S
S
A
A
D
D
A
A
Z
Z
A
A
C
C
H
H
O
O
W
W
A
A
N
N
I
I
A
A
M
M
A
A
S
S
Y
Y
(t )
dm
d
(
v) d
0
dt
dt
Można pokazać, że skoro powyższe równanie zachodzi dla każdego Ω to ma to
miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy fu
nkcja podcałkowa znika.
Zatem:
d
(
v)
(v
)
(
v) 0
dt
t
Masa tego samego zbioru punktów materialnych jest stała
.
Całkowa postać prawa
zachowania masy
( v)
0
t
Różniczkowa postać prawa
zachowania masy
Jeśli
przepływ jest stacjonarny
, co oznacza, że żaden parametr
jawnie nie zależy od czasu prawo zachowania masy redukuje się do
postaci:
( v) (v
)
(
v) 0
Jeżeli
const
, czyli substancja ma niezmienną masę właściwą, to
dostajemy
v
0
Powyższe równanie jest tożsame z równaniem
3
1
2
1
2
3
v
v
v
diw v
0
x
x
x
Równanie różniczkowe wyrażające zasadę zachowania masy
nazywamy
RÓWNANIEM CIĄGŁOŚCI.
Jeśli
const
to
o
d
d
, co oznacza, że substancja o stałej masie
właściwej zachowuje objętość.
WARUNEK ZNIKANIA DIWERGENCJI
PRĘDKOŚCI
v
0
NIEZALEŻNIE OD WŁASNOŚCI GĘSTOŚCI MASY
PROWADZI DO ZACHOWANIA OBJĘTOŚCI
OŚRODKA CIĄGŁEGO
D
D
R
R
U
U
G
G
A
A
Z
Z
A
A
S
S
A
A
D
D
A
A
D
D
Y
Y
N
N
A
A
M
M
I
I
K
K
I
I
P
ęd jest wielkością ekstensywną, zatem
(t )
P
v d
d
-
o
kreśla elementarną masę
dm
zawartą w małym obszarze
dΩ
v dm
v d
-
określa elementarny pęd
dP
Pochodna pędu układu materialnego względem
czasu jest równa sumie sił zewnętrznych
dzia
łających na układ
.
S
S
I
I
Ł
Ł
Y
Y
D
D
Z
Z
I
I
Ł
Ł
A
A
J
J
Ą
Ą
C
C
E
E
N
N
A
A
O
O
Ś
Ś
R
R
O
O
D
D
E
E
K
K
C
C
I
I
Ą
Ą
G
G
Ł
Ł
Y
Y
SIŁA POWIERZCHNIOWA
-
siła
działająca na brzeg obszaru Ω(t)
A
A
F
f dA
f
-
powierzchniowa gęstość siły
dA
-
płatek powierzchni
A
czyli brzegu
obszaru
Ω(t)
SIŁA OBJĘTOŚCIOWA
-
siła związana
z masą i pewnym polem siłowym,
działa na wnętrze obszaru Ω(t)
F
F d
F
-
natężenie pola siłowego
d
-
elementarna masa
Ω(t)
f dA
F d
dA
dΩ