1

9. Podstawowe zasady dotyczące SGU i obliczanie naprężeń

9.1. Definicje i podstawowe założenia
9.2. Ograniczenia naprężeń
9.3. Siła rysująca, moment rysujący i obliczanie naprężeń
9.4. Uproszczone obliczanie naprężeń i odkształceń

10. Zarysowanie

10.1. Zarysowanie jako zjawisko

10.1.1. Rysy wywołane oddziaływaniami bezpośrednimi
10.1.2. Rysy spowodowane ograniczeniem swobody odkształceń
10.1.3. Przeciwdziałanie zarysowaniu spowodowanemu skrępowaniem odkształceń

10.2. Wymagania normy
10.3. Obliczanie szerokości rys

10.3.1. Założenia teorii
10.3.2. Rozstaw rys
10.3.3. Szerokość rys w pręcie osiowo rozciąganym
10.3.4. Efektywne pole rozciągane i znormalizowana metoda obliczania szerokości rys

10.4. Kontrola zarysowania na podstawie tablicy maksymalnych średnic zbrojenia i inne uproszczenia
10.5. Minimalne pole zbrojenia

10.5.1. Uwagi wstępne
10.5.2. Minimalne zbrojenie elementów osiowo rozciąganych
10.5.3. Podstawowy wzór normy
10.5.4. Pole A

ct

, współczynnik k

c

i efektywna wytrzymałość na rozciąganie

10.5.5. Obliczanie minimalnego zbrojenia - przykłady

STANY GRANICZNE UŻYTKOWALNOŚCI

2

STANY GRANICZNE UŻYTKOWALNOŚCI

SERVICEABILITY LIMIT STATES (

SLS

)

Zwykłe SG użytkowalności dotyczą:

ograniczenia naprężeń,
kontroli zarysowania,
kontroli ugięć.

Szerokość rys i ugięcia zależą od naprężeń, a więc wszystkie SGU zależą od
naprężeń. Naprężenia oblicza się stosując teorię liniową, z uwzględnieniem, gdy
trzeba, wpływu zarysowania, pełzania i skurczu betonu.

Wg Eurokodu: „zarysowanie jest zwykłym zjawiskiem w konstrukcjach
żelbetowych poddanych zginaniu, ścinaniu, skręcaniu lub rozciąganiu
wywołanemu przez obciążenia bezpośrednie lub pośrednie, lub przez
skrępowanie narzuconych odkształceń (np. wywołanych przez skurcz lub
temperatur).”

9. PODSTAWOWE ZASADY DOTYCZĄCE SGU I OBLICZANIE NAPRĘŻEŃ

9.1. Definicje i podstawowe założenia

3

Do obliczania naprężeń w elementach żelbetowych (nie sprężonych) na ogół
odpowiednia będzie teoria fazy II. Średnie odkształcenie zbrojenia jest mniejsze niż
odkształcenie w przekroju zarysowanym – to zjawisko uwzględnia się stosując teorię
„usztywnienia zbrojenia” (tension stiffening) .

9.2. Ograniczenia naprężeń

Na ogół pole przekroju zbrojenia wyznacza się na podstawie wymagań
dotyczących nośności . Zwykle tak wyznaczona ilość zbrojenia zapewnia
akceptowalny poziom naprężeń w SLS. Tym niemniej, czasem potrzebne może być
dodatkowe sprawdzenie naprężeń.

Nadmierne naprężenia ściskające w betonie mogą spowodować podłużne
zarysowania, mikrozarysowanie i wysoki poziom pełzania, co może obniżyć
trwałość konstrukcji. Wymaganiom Eurokodu, dotyczącym naprężeń, można
nadać formę dwóch zasad.

4

A. Pod wpływem charakterystycznej kombinacji obciążeń

W obszarach narażonych na oddziaływanie środowisk klas XD, XF i XS, tzn.
w przypadkach, w których korozja jest spowodowana działaniem chlorków lub
występuje zamrażanie i rozmrażanie, (cytaty z Eurokodu) “jeżeli nie
zastosowano innych środków, takich jak zwiększenie otuliny zbrojenia w
strefie ściskanej lub skrępowanie tej strefy przez zbrojenie poprzeczne” w celu
uniknięcia podłużnego zarysowania „może być właściwe ograniczenie
naprężeń” do poziomu k

1

f

ck

”.

Wartość k

1

do zastosowania w kraju może może być ustalona w Załączniku

Krajowym. Wartość sugerowana w Eurokodzie to 0,6. Wartość zalecana w
polskim Załączniku Krajowym to k

1

= 1,0).

B. Pod wpływem quasi-stałej kombinacji obciążeń

Jeżeli naprężenie w betonie przekracza 0,45f

ck

, to należy wziąć pod uwagę

pełzanie nieliniowe.

5

Jeżeli naprężenia rozciągające nie przekraczają f

ct,eff

., to przyjmuje się, że

element jest niezarysowany.

f

ct,eff

- średnia wartość wytrzymałości na rozciąganie, osiągana wtedy,

gdy, jak się przypuszcza, wystąpi zarysowanie.

Przy czystym zginaniu moment rysujący

eff

ct

c

cr

f

W

M

,

=

9.3. Siła rysująca, moment rysujący i obliczanie naprężeń

A

N

c

=

0

σ

J

E

M

cm

=

κ

J

z

M

A

N

c

+

=

σ













=

i

si

z

J

M

A

N

+

e

α

σ

Wpływ pełzania można uwzględniać
stosując (zamiast E

cm

) efektywny

moduł sprężystości betonu

(

)

0

,

,

1

t

E

E

cm

eff

c

∞

+

=

ϕ

Ścisłe obliczenie naprężeń wymaga wyznaczania charakterystyk geometrycznych
przekroju, a w fazie II, przy N ≠ 0 rozwiązywania równań trzeciego stopnia.

Przy osiowym rozciąganiu siła rysująca

eff

ct

c

cr

f

A

N

,

=

Siłę rysującą i moment rysujący oblicza się zakładając, że największe naprężenie
rozciągające jest równe f

ct,eff

, stosując pole i wskaźnik wytrzymałości przekroju

samego betonu (bez zbrojenia).

Obliczanie naprężeń

6

Uwzględnianie pełzania metodą efektywnego modułu sprężystości jest ścisłe tylko
wtedy, gdy naprężenia w betonie podczas całego procesu pełzania pozostają stałe. Na
ogół wymaganie to nie jest spełnione.

Ściśle należałoby naprężenia i odkształcenia rozpatrywać jako funkcje czasu,
stosując prawo pełzania. Zagadnienia obliczania konstrukcji, w których zachodzi
pełzanie i skurcz betonu są przedmiotem obszernego działu teorii konstrukcji
z betonu - istnieją tysiące publikacji dotyczących tej problematyki.

W zwykłych warunkach wilgotnościowych i cieplnych, jeżeli zmiany naprężeń są
powolne i monotoniczne (a to założenie jest na ogół spełnione), metoda efektywnego
modułu zapewnia dokładność wystarczającą dla celów praktycznych.

Podstawowe fakty - w procesie pełzania w elementach zginanych (przy stałym
momencie zginającym) naprężenia w najbardziej ściskanych włóknach betonu
spadają, a odkształcenia rosną. W zbrojeniu rozciąganym naprężenia i
odkształcenia w rosną. W zbrojeniu ściskanym w elementach zginanych i
ściskanych w miarę upływu czasu zbrojenie przejmuje część sił wewnętrznych,
które natychmiast po przyłożeniu obciążenia były przenoszone przez beton.

7

9.4. Uproszczone obliczanie naprężeń i odkształceń

Sumę W sił ściskających w betonie i w zbrojeniu A

s2

wyznacza się z warunku

równowagi)

1

1

s

s

A

W

N

σ

−

=

A

s1

σ

s1

N

W

A

s1

A

s2

z

e

s1

= e + 0,5h-a

1

h

N

M

e

0,5h – a

1

a

1

Moment względem zbrojenia rozciąganego

(

)

1

1

1

1

s

s

s

s

M

Ne

z

A

N

z

W

=

=

+

=

σ

→

N

z

M

A

s

s

s

−

=

1

1

1

σ

(

)

1

1

5

,

0

a

h

N

M

M

s

−

+

=

(

)

1

1

5

,

0

a

h

e

e

s

−

+

=

Uwaga: Przy czystym zginaniu M

s1

= M

8

Z powyższych wzorów wynika ważna i pożyteczna zależność

1

1

1

1

s

s

s

s

A

N

A

z

M

−

=

σ

Często (przy czystym zginaniu zawsze) wartość ramienia sił wewnętrznych można
prosto oszacować – to oszacowanie jest podstawą obliczenia uproszczonego.

Można przyjmować, że ramię sił wewnętrznych wynosi:

%

5

,

0

dla

90

,

0

1

≤

=

ρ

d

z

%

0

,

1

dla

80

,

0

1

>

=

ρ

d

z

%

0

,

1

0,5%

dla

85

,

0

1

≤

<

=

ρ

d

z

• przy zginaniu z siłą ściskającą N

z = 0,75d

• przy czystym zginaniu

9

Przy czystym zginaniu można zatem korzystać z bardzo prostego wzoru:

1

1

s

s

A

z

M

=

σ

W tab. 1 przedstawiono komplet wzorów do uproszczonego obliczania
naprężeń w zbrojeniu i w betonie (proste wyprowadzenia opierają się na
warunkach równowagi i założeniu płaskich przekrojów)

10

SLS – tab. 1. Uproszczone obliczanie naprężeń

(

)

1

1

5

,

0

a

h

N

M

M

s

−

+

=

Dane: wymiary
przekroju, A

s1

, A

s2

, N,

M, E

c,eff

powstające

pod wpływem
kombinacji quasi -
stałej (por. p.8.2.1 i
tab.8.1.)

1

1

1

1

s

s

s

s

A

N

A

z

M

−

=

σ

a

1

A

s1

σ

s1

N

W

A

s1

A

s2

z

e

s1

= e+0,5h-a

1

h

N

M

e

0,5h – a

1

σ

c

(

)

[

]

2

2

1

5

,

0

δ

ρ

α

α

−

+

=

e

e

A

(

)

[

]

2

1

2

1

δ

σ

ρ

α

−

−

=

s

e

D

B

D

C

s1

σ

=

(

)

2

2

1

1

δ

ρ

ρ

σ

+

+

=

s

n

D

2

2

δ

=

d

a

bd

A

s1

1

=

ρ

bd

A

s 2

2

=

ρ

bd

N

n =

eff

c

s

e

E

E

,

=

α

)

,

(

1

0

,

t

E

E

cm

eff

c

∞

+

=

ϕ

W betonie

A

AC

B

B

c

4

5

,

0

2

+

+

=

σ

W stali

Przy czystym zginaniu

(N = 0, M

s1

= M )

%

0

,

1

dla

80

,

0

1

>

=

ρ

d

z

%

0

,

1

0,5%

dla

85

,

0

1

≤

<

=

ρ

d

z

%

5

,

0

dla

90

,

0

1

≤

=

ρ

d

z

Wartości z dla N ≠ 0 patrz p.9.2















+

+

=

1

1

1

2

1

1

ρ

α

σ

ρ

σ

e

s

c

Przy czystym zginaniu

11

Przykład 9.4.1
Naprężenia w zbrojeniu i w betonie - porównanie obliczenia uproszczonego
i dokładnego

300

450

50

A

s1

Dane:
A

s1

= 10 cm

2

,

E

cm

= 30000 MPa

M = 80 kNm,
φ(∞,t

0

) = 2

A. Obciążenie krótkotrwałe

Obliczenie ścisłe

007407

,

0

45

30

10

1

=

⋅

=

ρ

667

,

6

30

200 =

=

e

α

04903

,

0

007407

,

0

667

,

6

1

=

⋅

=

ρ

α

e

2687

,

0

04903

,

0

04903

,

0

2

04903

,

0

2

=

−

⋅

+

=

ξ

m

1209

,

0

45

,

0

2687

,

0

=

⋅

=

x

2

4

1

m

006667

,

0

10

10

667

,

6

=

⋅

⋅

=

−

s

e

A

α

12

(

)

4

2

3

m

0008923

,

0

1209

,

0

45

,

0

006667

,

0

3

1209

,

0

30

,

0

=

−

+

⋅

=

J

MPa

84

,

10

0008923

,

0

1209

,

0

080

,

0

=

⋅

=

c

σ

(

)

MPa

7

,

196

0008923

,

0

1209

,

0

45

,

0

080

,

0

667

,

6

1

=

−

=

s

σ

B) Obciążenie długotrwałe

MPa

10000

0

,

2

1

30000

,

=

+

=

eff

c

E

20

10

200 =

=

e

α

1481

,

0

007407

,

0

20

1

=

⋅

=

ρ

α

e

4159

,

0

1481

,

0

1481

,

0

2

1481

,

0

2

=

−

⋅

+

=

ξ

m

1872

,

0

45

,

0

4159

,

0

=

⋅

=

x

2

4

1

m

02

,

0

10

10

20

=

⋅

⋅

=

−

s

e

A

α

(

)

4

2

3

m

002037

,

0

1872

,

0

45

,

0

02

,

0

3

1872

,

0

30

,

0

=

−

+

⋅

=

J

MPa

352

,

7

002037

,

0

1872

,

0

080

,

0

=

⋅

=

c

σ

(

)

MPa

4

,

206

002037

,

0

1872

,

0

45

,

0

080

,

0

20

1

=

−

=

s

σ

13

Obliczenie uproszczone

Obliczane sposobem uproszczonym naprężenia w zbrojeniu nie zależą od pełzania

z = 0,85·0,45 = 0,3825 m

MPa

2

,

209

0010

,

0

3825

,

0

080

,

0

1

=

⋅

=

s

σ

Naprężenia w betonie zależą od pełzania betonu:

• przy obciążeniu krótkotrwałym

MPa

57

,

11

04903

,

0

2

1

1

007407

,

0

2

,

209

=















+

+

⋅

=

c

σ

• przy obciążeniu długotrwałym

MPa

451

,

7

1481

,

0

2

1

1

007407

,

0

2

,

209

=















+

+

⋅

=

c

σ

14

Obliczenie dokładne

napr. w stali napr. w betonie

Obc. krótkotrwałe

197

10,8

Obc. długotrwałe

206

7,4

Obliczenie uproszczone

Obc. krótkotrwałe

209

11,6

Obc. długotrwałe

209

7,5

Naprężenia w zbrojeniu i w betonie – porównanie obliczenia dokładnego

z uproszczonym (przykład)

Czyste zginanie

Przy zginaniu z niezerową siłą podłużną zgodność metody uproszczonej z
dokładną jest gorsza.

Jak widać zgodność obliczenia uproszczonego z dokładnym jest zupełnie dobra.
Szczególnie duże uproszczenie (bez utraty dokładności) występuje przy obliczaniu
naprężeń w zbrojeniu (potrzebnych do obliczenia szerokości rys)