pawels1990

1

1. Rachunek wektorowy
a) podstawowe działania na wektorach

- Dodawanie/odejmowanie wektorów:

- Długośd wektora

- Mnożenie wektora przez stałą ( np. c):

- przedstawianie za pomocą wektora jednostkowego:

b) własności iloczynu skalarnego wektorów:
i)gdy wektory są prostopadłe to ich iloczyn skalarny jest równy 0:
ii)przemiennośd iloczynu skalarnego wektorów:
iii)iloczyn skalarny dwóch tych samych wektorów jest równy kwadratowi jednego wektoru:

iiii) Iloczyn skalarny może byd zdefiniowany również jako suma iloczynów składowych
każdego wektora:

iiiii)rozdzielnośd:

c)własności iloczynu wektorowego wektorów

Długośd

może byd interpretowana jako pole równoległoboku o bokach oraz

Kolejnośc wektorów jest ważna
d)pochodna wektora
Liczymy pochodną każdej współrzędnej po czasie t:

e)obrót wektora jednostkowego
f)opis ruchu krzywoliniowego: prędkośd, przyspieszenie
- prędkośd:

,

- przyspieszenie

2. Zasady dynamiki Newtona:
I zasada dynamiki: w inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało nie działa żadna siła lub
siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku bądź porusza się ruchem
jednostajnie prostoliniowym.

II zasada dynamiki: jeśli siły działające na ciało równoważą się ( siła wypadkowa różna od
zera ), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej, a

odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała.

pawels1990

2

III zasada dynamiki: oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. Siły wzajemnego oddziaływania
dwóch ciał maja takie same wartości, taki sam kierunek, przeciwne zwroty i różne punkty
przyłożenia(każda działa na inne ciało). A prościej: jeżeli pierwsze ciało działa siłą na drugie,
to drugie ciało działa na pierwsze siła o takiej samej wartości i kierunku lecz o przeciwnym
zwrocie.

i) wychodząc z zasad dynamiki Newtona wyprowadź zasadę zachowania pędu.
Pędem punktu materialnego nazywamy wektor p zdefiniowany jako iloczyn jego masy m
oraz prędkości V, czyli: p=mV.
Pęd jako iloczyn skalara i wektora jest wielkością wektorową, ponieważ pęd p określonego
punktu materialnego jest proporcjonalny do V, zależy więc od układu odniesienia
obserwatora. Newton w swych słynnych Principiach wyraził drugą zasadę dynamiki za
pomocą pędu (który nazwał „ilością ruchu”). Zgodnie ze współczesną terminologią II zasada
dynamiki brzmi: zmiana pędu ciała w jednostce czasu jest proporcjonalna do wypadkowej siły
działającej na to ciało i jest skierowana zgodnie z tą siłą. Zapis tej zasady jest następujący:

Jeżeli układem odniesienia jest punkt materialny o masie (stałej) m to takie sformułowanie II
zasady dynamiki jest równoznaczne z zapisem: F=ma, który stosowaliśmy dotychczas. Czyli,

gdy m jest stałe wtedy:

Przykład z życia:
Wyskakując z łódki stojącej przy brzegu jeziora uzyskujemy pęd skierowany w stronę lądu.
Równocześnie łódka – zgodnie z zasadą zachowania pędu – oddala się nieco od brzegu
uzyskując pęd równy co do wartości, lecz przeciwnie skierowany. Wypadkowy pęd układu
łódka-człowiek pozostaje nadal równy zeru.

ii) Przykład zjawiska ilustrującego III zasadę dynamiki
3. Układ punktów materialnych
a) Własnośd środka masy układu punktów materialnych

i)zdefiniuj położenie środka masy, wyprowadź wzory na prędkośd i przyspieszenie środka
masy, definicja pędu układu

Rozważmy dwa ciała o masach m

1

i m

2

położone na osi X w punktach x

1

i x

2

odległe od siebie

o l = x

2

- x

1

(patrz rysunek). Punkt S, który dzieli odcinek l w stosunku odwrotnie

proporcjonalnym do mas tych ciał nazywamy środkiem masy układu dwóch ciał (punktów
materialnych). Zatem:

Jeżeli przez x

S

oznaczymy współrzędną środka masy, to:

pawels1990

3

Podstawmy to do naszego powyższego wzoru:

Po nieskomplikowanych przekształceniach otrzymamy wzór na środek masy:

Wzór ten można uogólnid na n punktów materialnych:

- wzór na prędkośd środka masy
Środek masy może byd w spoczynku lub poruszad się podczas ruchu poszczególnych ciał
układu. Pisząc dwa powyższe równania dla dwóch różnych chwil czasu i odejmując je od
siebie stronami, otrzymamy:

Dzieląc obie strony równania przez Δt = t

2

- t

1

i uwzględniając, że prędkośd środka masy

wynosi

oraz że prędkości poszczególnych ciał wynoszą

otrzymamy:

pawels1990

4

Widzimy, że w liczniku tego wzoru występuje sumaryczny pęd całego układu, a w
mianowniku sumaryczna masa całego układu, więc powyższy wzór można zapisad (w postaci

wektorowej):

Inny sposób:

- prędkośd środka masy

czyli:

- przyspieszenie środka masy:

b) zasada zachowania pędu dla układu punktów materialnych
Pęd układu punktów materialnych jest równy sumie wektorowej pędów, wszystkich
punktów układu. Jeżeli na układ cząstek nie działają siły zewnętrzne lub ich wypadkowa jest
równa zeru to całkowity pęd p układu nie ulega zmianie.
4. Zasady dynamiki w ruchu obrotowym bryły sztywnej
Bryłą sztywną nazywamy takie ciało, w którym wszystkie punkty mają zawsze względem
siebie stałą odległośd. W ogólnym przypadku bryła sztywna porusza się dwoma rodzajami
ruchów: postępowym i obrotowym.
i) zdefiniuj moment bezwładności bryły sztywnej oraz wyprowadź wzór na jej energię
kinetyczną związana z ruchem obrotowym.
Punkt materialny o masie m i odległości r od osi obrotu porusza się po okręgu o promieniu r
z prędkością kątową ⍵ dookoła tej osi i ma prędkośd liniową V=⍵r. Jego energia kinetyczna
wynosi zatem

⍵

⍵

. ,gdzie

to moment

bezwładności ciała, czyli suma iloczynów mas cząstek przez kwadrat ich odległości od osi
obrotu. Całkowita energia kinetyczna ciała jest sumą energii kinetycznych wszystkich jego
punktów.
ii) moment bezwładności pewnej bryły sztywnej względem osi AA’ przechodzącej przez jej
środek masy wynosi I

0

. Wyznacz moment bezwładności tej bryły względem osi BB’

równoległej do osi AA’. Odległośd miedzy osiami = d.
Istnieje prosta zależnośd miedzy momentami bezwładności ciała względem danej osi , a
jego momentem bezwładności I

śr m

względem osi przechodzącej przez środek masy i

równoległej do poprzedniej. Jeżeli M jest całkowitą masą ciała, a d- odległością miedzy
osiami, to spełnione jest równanie:

- równanie Steinera.

,

,

Wartości, które się pojawią w poniższym równaniu:

to współrzędne środka masy

więc są równe 0.
d- odległośd między osiami

pawels1990

5

5. Moment pędu
a) definicja – wielkośd fizyczna opisująca ruch ciała, zwłaszcza ruch obrotowy. Jest to iloczyn
wektorowy wektora wodzącego i pędu punktu materialnego.
b) zależnośd pomiędzy momentem pędu, momentem siły dla punktu materialnego:
moment pędu:
moment siły:

- moment pedu punktu materialnego
-ped punktu materialnego
-wektor łączący punkt, względem którego określa się moment pędu i punkt ciała (wektor
wodzący)

-moment siły

– siła

,

,

,

Szybkośd zmian momentu pędu L układu jest równa sumie wektorowej momentów siły
działającej na wszystkie cząstki.

6. II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego bryły sztywnej obracającej się względem
sztywno zamocowanej osi.
a) wychodząc z definicji momentu pędu wyprowadź wzór na II zasadę dynamiki dla ruchu
obrotowego:
Moment pędu:

/*xr

; rxF jest momentem siły względem O, więc:

;różniczkując otrzymujemy:

Ponieważ dr jest wektorem przemieszczenia punktu materialnego w czasie zatem

jest

chwilową prędkością punktu materialnego. Wiemy także, że p=mV, a wiec nasze równanie
przepisujemy w zmienionej postaci:

pawels1990

6

Można wywnioskowad, że:

Równanie to mówi, że zmienna momentu pędu punktu materialnego w jednostce czasu jest
równa momentowi siły działającej na ten punkt. Jest to równanie ruchu obrotowego
analogicznie do:

7. Zachowania momentu pędu
Moment pędu układu, na który nie działają momenty sił zewnętrznych, lub działające siły
się równoważą pozostaje stały.

;

Jeśli :

, to:

,a

Przykłady:
- łyżwiarz robiący obroty w swojej osi, gry rozprostuje ręce to będzie sie wolniej obracał,
- wszelkie ruchy obrotowe, np. obracanie kulki na sznurku
8. Ruch harmoniczny

To drgania opisane funkcją sinusoidalną (harmoniczną). Jest to najprostszy w opisie
matematycznym rodzaj drgao. Jest to ruch jaki pokonuje ciało o masie , na które działa siła
proporcjonalna do przemieszczenia, ale o przeciwnym znaku. Przekształceniem
umożliwiającym rozkład ruchu drgającego na drgania harmoniczne jest transformacja
Fouriera.
a)

Wyprowadź różniczkowe równanie ruchu, podaj jego rozwiązanie, opisz

własności tego ruchu.

,

czyli:





k- współczynnik proporcjonalności, x- wychylenie z położenia równowagi,
rozwiązanie:
,

-faza początkowa
A-stała zależna od warunków początkowych
T –okres ruchu

-częstośd kołowa =

Ważną własnością ruchu harmonicznego jest to, że inne wielkości (a, V) tez są opisane przez
równanie harmoniczne.
b) wyprowadź wzór na okres wahadła matematycznego
Siła przywracająca równowagę układu i sprowadzająca masę m do położenia równowagi
wynosi:

Siła F nie jest proporcjonalna do przemieszczenia kątowego , lecz do sin . Zatem ruch nie
jest prostym ruchem harmonicznym. Jeżeli kat jest mały to sin jest bardzo bliskie
mierzonemu w radianach. Przemieszczenie wzdłuż łuku wynosi x=1 i dla małych kątów ruch
jest w przybliżeniu prostoliniowy. Przyjmując zatem, że sin otrzymujemy :

pawels1990

7

Zatem dla małych przemieszczeo siła F jest proporcjonalna do przemieszczenia ze znakiem
przeciwnym. Jest to właśnie wymagane kryterium dla ruchu harmonicznego. Stała

okresla

stała k w równaniu ( należy porównac wymiar k i

). Przy małej amplitudzie okres

wahadła prostego wynosi więc:

c) wyprowadź równanie różniczkowe dla drgao tłumionych i podaj rozwiązanie dla małych
tłumieo.
Równanie ruchu dla prostego tłumionego oscylatora harmonicznego daje nam zasada
dynamiki . W tym równaniu F jest suma siły –kx sprowadzającej drgające ciało do
położenia równowagi oraz siły tłumiącej

. Stała b jest dodatnia. Otrzymujemy więc :

czyli:

lub

Rozwiązaniem jest dla małej stałej b:

d) wyprowadź wzór logarytmiczny dekrement tłumienia
Logarytm naturalny stosunku dwóch kolejnych amplitud następujących po czasie równym
okresowi drgao T nazywa się dekrementem logarytmicznym drgao tłumionych λ:

e) na układ drgający działa siła okresowa

. Opisz zależnośd amplitudy drgao

tego układu od częstotliwości tej siły.
Amplituda drgao wymuszonych nie jest stała i zależy od częstości siły wymuszającej .
Amplituda drgan wymuszonych wyraża się wzorem:

dla

9. Szczególna teoria względności
a)postulaty szczególnej teorii względności:
I) zasada względności - prawa fizyki maja jednakową postad we wszystkich inercjalnych
układach odniesienia. Nie istnieje żaden wyróżniony inercjalny układ odniesienia,
II) niezmiennośd prędkości światła - prędkośd światła jest jednakowa we wszystkich
inercjalnych układach odniesienia,
Wniosek: światło nie potrzebuje jakiegokolwiek ośrodka (eteru) do rozchodzenia się
b)wnioski wynikające z transformacji Lorenza dotyczące:
i)równoczesnośd zdarzeo,
ii)”skrócenie czasu” – mierząc odstęp czasu dzielący dwa zdarzenia w układzie poruszającym
się w układzie odniesienia zawsze otrzymujemy większą wartośd niż mierząc ten czas w

spoczynku.

„skrócenie długości” –długośd mierzona w czasie ruchu względem obserwatora inercjalnego

jest zawsze krótsza niż długośd w czasie spoczynku.

l – długośd w ruchu

-długośd w spoczynku

pawels1990

8

iii)czasu pomiędzy zdarzeniami,
iii)problemu niezależności zdarzeo
Niech s’ obserwuje dwa zdarzenia, które zachodzą w tym samym miejscu w jego układzie
odniesienia. Mogą to byd dwa kolejne położenia wskazówki zegara umieszczonego w
ustalonym miejscu x’. Niech zmierzony dostęp czasu miedzy tymi zdarzeniami wynosi ’.
Obserwator S, względem którego zegar się porusza, widzi te same dwa zdarzenia i na
podstawie pomiaru otrzymuje inny dostep czasu , dany wzorem:

FAKT, że nazywany jest dylatacją(wydłużeniem) czasu, często wyrażamy to
słowami: „poruszający się zegar chodzi wolniej”. Obserwator S rejestruje dłuższy przedział
czasu (s’ krótszy) niż ten, który jest pokazywany przez poruszający się zegar.
10. Przedstaw niezmienniki transformacji Lorenza
Wielkośd fizyczna, która jest niezmiennicza względem transformacji Lorenza nazywana jest
niezmiennikiem relatywistycznym. Oznacza to, że wartośd tej wielkości jest stała niezależnie
od układu odniesienia (inercjalnego)
-interwał czasoprzestrzenny ( odległośd miedzy dwoma zdarzeniami w czasoprzestrzeni)
Wyraża się on wzorem:

+

Gdzie , , , i są odległościami miedzy dwoma zdarzeniami wzdłuż osi x, y z i w
czasie dla pewnego układu odniesienia.
-wyrażenie zawierające pęd i energię
Różnica kwadratu energii ciała i kwadratu pędu pomnożonego przez kwadrat prędkości
światła nie zależy od układu odniesienia:

11. Dynamika relatywistyczna
a) II zasada dynamiki w mechanice relatywistycznej
Inne sformułowanie II zasady dynamiki Newtona w postaci uogólnionej w przypadku

zmiennej masy ( fizyka relatywistyczna) ma postad:

, gdzie zmiana pędu ciala

w czasie
b)Związek pomiędzy masa spoczynkową, pędem i energia całkowitą,

i

Na podstawie tych wzorów można znaleźd związki miedzy pędem i energią w ujęciu
relatywistycznym, dzieląc stronami:

Prędkośd cząstki u:

Taka postad równao na pęd i energię implikuje ważny fakt – podstawowy dla mechaniki
relatywistycznej: żadna cząstka materialna (m>0) nie może osiągnąd prędkości światła c,
gdyż wtedy jej pęd i energia wzrosłyby do nieskooczoności.
c)Energia kinetyczna