F i z y k a

S t r o n a

| 1

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

FIZYKA

WYKŁAD 1: 28.02.2006

PRAWO ZACHOWANIA ENERGII – Praca i energia

Zakres nierelatywistyczny (transformacja Galileusza)
Prawa zachowania są niezależne od własności toru i często własności danej siły. Zatem poprzez te
prawa możemy w sposób bardzo ogólny przedstawić wnioski.
Prawo zachowania możemy stosować nawet gdy siła jest nieznana. Nawet gdy siła jest znana to prawa
zachowania mogą ułatwić rozwiązania.

Energia
Energię całkowitą ciała odseparowanego można wyrazić jako iloczyn masy relatywistycznej i
kwadratu prędkości światła:

2

mc

E

=

2

2

0

1

c

V

m

m

−

=

2

0

0

c

m

E

=

Najmniejszą energię ma ciało, które znajduje się w spoczynku (V=0)
Energią kinetyczną nazywamy różnicę energii całkowitej i spoczynkowej:

2

0

0

)

(

c

m

m

E

E

E

K

−

=

−

=

Praca
Dla cząsteczki odosobnionej o masie m.
Dane: m,

F

r

t=0, x, t>o,

II zasada dynamiki Newtona:

dt

p

d

F

=

V

m

p

=

dt

V

d

m

F

=

mdv

Fdt

=

dt

m

F

dv

=

∫

+

=

+

=

=

0

)

(

V

t

m

F

const

t

m

F

dt

m

F

t

V

V

0

– prędkość początkowa

0

)

(

mV

t

mV

Ft

−

=

Ft – popęd siły, Mv(t) – mV

0

– zmiana pędu cząstki

0

0

2

0

0

0

0

0

0

2

)

(

)

(

)

(

x

t

V

t

m

F

dt

V

tdt

m

F

dt

V

t

m

F

t

V

t

x

t

t

t

t

+

+

=

+

=

+

=

=

∫

∫

∫

∫

F

m

V

V

t

)

(

0

−

=

0

2

0

2

0

2

0

0

2

0

0

2

0

0

0

2

0

2

2

2

1

2

1

)

2

(

2

1

)

(

)

(

2

1

)

(

x

V

F

m

V

F

m

x

V

F

m

VV

F

m

V

VV

V

F

m

x

V

V

F

m

V

V

V

F

m

m

F

t

x

+

−

=

=

+

−

+

+

−

=

+

−

+

−

=

F i z y k a

S t r o n a

|

2

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

)

(

2

1

2

0

2

0

V

V

F

m

x

x

−

=

−

2

0

2

0

2

1

2

1

)

(

mV

mV

x

x

F

−

=

−

(x-x

0

) – droga F(x-x

0

) – praca

2

0

2

2

1

2

1

mV

mV

−

- zmiana energii kinetycznej

Praca wykonana przez przyłożoną siłę równa się zmianie energii kinetycznej.

Przykład:

F=-mg
Zakładamy, że cząstka jest w spoczynku na wysokości h nad powierzchnią ziemi.

h, x

0

=h, V

0

=0

0

),

(

=

−

=

x

h

x

f

W

mgh

h

mg

W

=

−

−

=

)

0

(

2

2

0

2

2

1

2

1

2

1

mV

mV

mV

mgh

=

−

=

Na wysokości h ciało ma energię potencjalną względem ziemi równą energii kinetycznej.
Energia potencjalna jest to zdolność do wykonania pracy bądź do zwiększenia energii kinetycznej.
Jeżeli V to prędkość po przebyciu drogi h – x, wówczas otrzymamy równanie:

)

(

2

1

2

x

h

mg

mV

−

=

E

mgh

mgx

mV

=

=

+

2

2

1

- Prawo zachowania energii mechanicznej

E=const, mgx – energia potencjalna w dowolnym punkcie x

Ponieważ E=const możemy zapisać:

const

E

E

E

P

K

=

+

=

0

=

+

P

K

dE

dE

∑

= 0

dE

Z prawa zachowania energii wynika, że dla układu cząstek, które oddziałują na siebie, energia układu
jest stała.

Siłę nazywamy zachowawczą, gdy praca wykonana przy przesunięciu z punktu A do B zależy tylko
od tych punktów.
Działanie siły niezachowawczej:

K

NZ

Z

E

W

W

∆

=

+

P

Z

E

W

∆

−

=

K

NZ

P

E

W

E

∆

=

+

∆

−

E

E

E

W

P

K

NZ

∆

=

∆

+

∆

=

Gdy działają siły niezachowawcze to energia mechaniczna układu nie jest stała lecz zmienia się o
wielkość pracy wykonanej nad układem przez siły niezachowawcze.

Przykład: tarcie:

E

E

E

W

W

P

K

T

NZ

∆

=

∆

+

∆

=

=

)

(

)

(

0

0

P

K

P

K

T

E

E

E

E

W

+

−

+

=

F i z y k a

S t r o n a

|

3

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

0

<

T

W

Q

W

T

−

=

E

Q

∆

=

−

0

=

+

∆

Q

E

Suma energii cieplnej nie zmienia się jeżeli na układ działają tylko siły zachowawcze i siła tarcia.
Jeżeli na układ oprócz sił zachowawczych i siły tarcia działają również inne siły niezachowawcze to:

Q

E

E

W

P

K

+

∆

+

∆

=

'

0

energii)

form

innych

(

=

∆

+

+

∆

+

∆

Q

E

E

P

K

Jest to ogólna postać prawa zachowania energii.
Suma energii kinetycznej, potencjalnej, cieplnej i innych rodzajów energii jest stała. Energia może
przechodzić z jednej postaci w drugą ale nie może być zniwelowana. Energia kinetyczna i potencjalna
(mechaniczna) jest zachowana tylko w przypadku działania sił zachowawczych a całkowita energia
jest zawsze stała. Bardziej szczegółowo prawo to mówi nam:

Istnieje pewna funkcja skalarna położenia i prędkości (

mgx

mV

+

2

2

1

) która jest niezmienna

względem czasu tzn. funkcja ta względem t jest stała. Podczas rucho cząstki w czasie t mogą się
zmieniać prędkość lub położenie.

Uogólnienie

Praca.

)

,

cos(

r

F

r

F

r

F

W

∆

∆

=

∆

=

)

(

r

F

Siła nie jest stała (dzielimy na n odcinków):

∑

=

∆

⋅

=

∆

⋅

+

+

∆

⋅

+

∆

⋅

=

N

j

j

j

N

N

r

r

F

r

r

F

r

r

F

r

r

F

W

1

2

2

1

1

)

(

)

(

...

)

(

)

(

∑

∫

=

∆

⋅

∞

→

∆

j

rB

rA

j

j

r

r

d

r

F

r

r

F

j

)

(

)

(

lim

Praca wykonana na drodze od A do B wynosi

∫

=

→

B

A

r

d

r

F

B

A

W

)

(

)

(

Energia kinetyczna.

)

(

2

1

2

1

2

2

0

2

x

x

F

mV

mV

−

=

−

dt

V

d

m

F

=

∫

=

→

B

A

r

d

dt

V

d

m

B

A

W

)

(

dt

V

dt

V

d

r

d

=

=

∫

⋅

=

→

B

A

dt

V

dt

V

d

m

B

A

W

)

(

)

(

dt

V

d

V

dt

V

d

V

V

dt

V

d

V

V

dt

d

V

dt

d

2

)

(

)

(

2

=

+

=

⋅

=

F i z y k a

S t r o n a

|

4

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

∫

∫

∫

−

=

−

=

=

+

=

→

B

A

B

A

B

A

A

B

A

B

mV

mV

V

V

m

V

d

m

dt

V

dt

d

m

dt

V

dt

V

d

m

B

A

W

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

)

2

1

2

1

(

)

(

2

1

)

(

2

1

)

(

)

(

2

2

2

1

2

1

)

(

B

A

B

A

mV

mV

r

d

F

B

A

W

−

=

⋅

=

→

∫

Praca wykonana nad cząstką swobodną przez dowolnie przyłożoną siłę jest równa zmianie energii
kinetycznej.

∫

=

→

=

−

B

A

P

P

r

d

F

B

A

W

A

E

B

E

)

(

)

(

)

(

- zmiana energii potencjalnej końcowej i początkowej.

Energia jest zachowana tylko dla sił zachowawczych.







WYKŁAD 2: 14.03.2006

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

Ś

rodek masy:

Układ składa się z dwóch punktów materialnych.
c – środek masy układu

Ś

rodek masy ma tę własność, że iloczyn całkowitej masy układu przez odległość tego punktu od

początku układu odniesienia równy jest sumie iloczynów wszystkich punktów układu przez sumę mas.

2

2

1

1

2

1

)

(

x

m

x

m

x

m

m

ś

m

+

=

+

2

1

2

2

1

1

m

m

x

m

x

m

x

ś

m

+

+

=

∑

∑

=

=

=

+

+

+

+

+

+

=

N

i

i

N

i

i

i

N

N

N

ś

m

m

x

m

m

m

m

x

m

x

m

x

m

x

1

1

2

1

2

2

1

1

...

...

F i z y k a

S t r o n a

|

5

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Współrzędne środka masy są mierzone według pewnego dowolnego punktu.

3

2

1

3

3

2

2

1

1

m

m

m

x

m

x

m

x

m

x

ś

m

+

+

+

+

=

3

2

1

3

3

2

2

1

1

m

m

m

y

m

y

m

y

m

y

ś

m

+

+

+

+

=

Dla dużej liczby punktów materialnych na płaszczyźnie środek masy ma współrzędne x

ś

m

i y

ś

m

zdefiniowane następująco:

∑

∑

∑

=

=

i

i

i

i

i

ś

m

x

m

m

m

x

m

x

1

∑

∑

∑

=

i

i

i

i

i

ś

m

y

m

m

m

y

m

y

1

Dla dużej liczby punktów materialnych w przestrzeni środek masy ma współrzędne x

ś

m

, y

ś

m

i z

ś

m

zdefiniowane następująco:

∑

∑

∑

=

=

i

i

i

i

i

ś

m

x

m

m

m

x

m

x

1

∑

∑

∑

=

i

i

i

i

i

ś

m

y

m

m

m

y

m

y

1

∑

∑

∑

=

i

i

i

i

i

ś

m

z

m

m

m

z

m

z

1

W zapisie materialnym wektor środka masy możemy opisać przy pomocy promienia r

i

:

i

i

i

i

z

k

y

j

x

z

r

+

+

=

ś

m

ś

m

ś

m

ś

m

z

k

y

j

x

z

r

+

+

=

∑

=

i

i

ś

m

r

m

M

r

1

Gdy początek układu odniesienia znajduje się w środku masy (

0

=

ś

m

r

) to:

∑

= 0

i

i

r

m

Najogólniejsze wyrażenie dla układu punktów materialnych, z których wynika, że środek masy układu
punktów materialnych zależy tylko od mas tych punktów i od ich wzajemnego rozmieszczenia i jest
niezależne od przyjętego układu odniesienia.

Dla metalowego pręta:
Możemy przyjąć, że substancja jest rozłożona równomiernie (ciągła).

∑

∑

∆

∆

=

i

i

i

ś

m

m

x

m

x

∑

∑

∆

∆

=

i

i

i

ś

m

m

y

m

y

∑

∑

∆

∆

=

i

i

i

ś

m

m

z

m

z

dm – różniczkowy element masy

m

xdm

dm

xdm

m

x

m

x

i

i

i

m

ś

m

i

∫

∫

∫

∑

∑

=

=

∆

∆

=

→

∆

0

lim

m

ydm

dm

ydm

m

y

m

y

i

i

i

m

ś

m

i

∫

∫

∫

∑

∑

=

=

∆

∆

=

→

∆

0

lim

F i z y k a

S t r o n a

|

6

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

m

zdm

dm

zdm

m

z

m

z

i

i

i

m

ś

m

i

∫

∫

∫

∑

∑

=

=

∆

∆

=

→

∆

0

lim

∫

=

dm

r

M

r

ś

m

1

∫

∫

∫

∫

=

=

dr

dr

r

dm

dm

r

r

ś

m

Jeżeli początek układu odniesienia znajduje się w środku masy (gdy r

ś

m

=0) wtedy dla rozpatrywanego

ciała

∫

= 0

rdm

. Całkę tą oraz odpowiadającą jej sumę

∑

i

i

r

m

nazywamy pierwszym momentem

układu.


Ruch środka masy.
Układ punktów materialnych m

1

, m

2

, m

3

, …, m

n

m

1

+ m

2

+ m

3

+ … + m

n

= M = const

n

n

ś

m

r

m

r

m

r

m

r

M

+

+

+

=

...

2

2

1

1

ś

m

r

- wektor określający położenie środka masy w określonym układzie odniesienia.

dt

r

d

m

dt

r

d

m

dt

r

d

m

dt

r

d

M

n

n

ś

m

+

+

+

=

...

2

2

1

1

a

ró

ż

ó

ż

niczk

V

m

V

m

V

m

V

M

n

n

ś

m

/

...

2

2

1

1

+

+

+

=

n

n

n

n

ś

m

a

m

a

m

a

m

dt

V

d

m

dt

V

d

m

dt

V

d

m

dt

V

d

M

+

+

+

=

+

+

+

=

...

...

2

2

1

1

2

2

1

1

II zasada dynamiki:

,...

,

2

2

2

1

1

1

a

m

F

a

m

F

=

=

n

ś

m

F

F

F

a

M

+

+

+

=

...

2

1

Iloczyn całkowitej masy układu punktów materialnych i przyspieszenia jego środka pasy równa się
sumie wektorowej wszystkich sił działających na układ.

Z

ś

m

F

a

M

=

siły zewnętrzne.

Ś

rodek masy układu punktów porusza się w taki sposób jakby cała masa układu była skupiona w

ś

rodku masy i jakby wszystkie siły zewnętrzne nań działały.

Twierdzenie powyższe obowiązuje dla każdego układu punktów materialnych. Układem może być
ciało sztywne, w którym punkty mają stałe położenia względem siebie. Układem może być też zbiór
cząstek, którym występują wszystkie rodzaje ruchu wewnętrznego. Środek masy każdego układu
niezależnie od tego jaki jest ten układ oraz niezależnie od ruchu jego poszczególnych części porusza
się zgodnie z równaniem:

Z

ś

m

F

a

M

=

Pęd punktu materialnego.
Pędem punktu materialnego nazywamy wektor

p

zdefiniowany jako iloczyn masy i prędkości

V

m

p

=

F i z y k a

S t r o n a

|

7

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Z II zasady dynamiki Newtona:

dt

p

d

F

=

Zmiana pędu ciała w jednostce czasu jest proporcjonalna do wypadkowej siły działającej na to ciało i
skierowana zgodnie z tą siłą.

a

m

dt

V

d

m

V

m

dt

d

dt

p

d

F

=

=

=

=

)

(

Pęd układu punktów materialnych.
Cały pęd układu będzie sumą pędów poszczególnych elementów.

n

n

n

V

m

V

m

V

m

p

p

p

p

+

+

+

=

+

+

+

=

...

...

2

2

1

1

2

1

p

V

M

ś

r

=

Całkowity pęd układu punktów materialnych jest równy iloczynowi całkowitej masy układu i
prędkości środka masy tego układu.  definicja pędu układu punktów materialnych

F

ZEW

jest sumą geometryczną wszystkich sił zewnętrznych działających na układ (siły wewnętrzne

działające między punktami znoszą się parami zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona)

p

V

M

ś

m

=

/różniczka

ś

m

ś

m

a

M

dt

V

d

M

dt

p

d

=

=

dt

p

d

F

ZEW

=

Otrzymujemy II zasadę Newtona dla układu punktów materialnych i uogólnienie

dt

p

d

dla pojedynczego

punktu materialnego.

Zasada zachowania pędu.
Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa 0 to całkowity wektor pędu jest stały.

Wszystkie zasady zachowania można wyrazić w ten sposób, że gdy układ się zmienia to istnieje taka cecha,
która jest stała. Całkowity pęd układu może być zmieniany tylko przez siły zewnętrzne.

WYKŁAD 3: 21.03.2006
Dynamika ruchu obrotowego i zasada zachowania momentu pędu

Obracające się ciało sztywne. Energia kinetyczna całego ciała jest równa sumie energii kinetycznej
wszystkich cząsteczek:

∑

∆

=

∆

+

+

∆

+

∆

=

N

i

i

i

N

N

K

V

m

V

m

V

m

V

m

E

2

2

2

2

2

2

1

1

2

1

2

1

...

2

1

2

1

Cząsteczka o masie m w odległości r:

i

i

i

r

V

ω

=

∑

∆

=

2

2

2

1

i

i

i

K

r

m

E

ω

∑

∆

=

2

2

2

1

i

i

K

r

m

E

ω

F i z y k a

S t r o n a

|

8

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

I

r

m

i

i

=

∆

∑

2

 moment bezwładności ciała względem osi obrotu

I zależy od wyboru osi obrotu i rozkładu mas.

2

2

1

ω

I

E

K

=

 energia kinetyczna w zależności od momentu bezwładności (w ruchu obrotowym)

Ciało sztywne, które posiada ciągły rozkład masy.

∑

∫

=

∆

=

→

∆

dm

r

r

m

I

i

i

m

i

2

2

0

lim

r – odległość elementu masy dm od osi obrotu.

V

m

ρ

=

dxdydz

dV

rdm

ρ

ρ

=

=

dxdydz

dV

=

∫

∫

∫ ∫ ∫

=

=

=

x y z

dxdydz

r

dxdydz

r

dV

r

I

2

2

2

ρ

ρ

ρ

Dotyczy to tylko sytuacji, gdy oś obrotu przechodzi przez środek masy.




Moment względem osi przechodzącej przez dowolny punkt.
Jeżeli przez I

O

oznaczymy moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy to

moment bezwładności ciała I względem dowolnej osi AA’, równoległej do przechodzącej przez
ś

rodek masy i leżącej w tej samej płaszczyźnie wynosi

2

ma

I

I

O

+

=

F i z y k a

S t r o n a

|

9

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Przykładowe momenty bezwładności:

2

5

2

mr

I

=

dla pełnej kuli o promieniu r względem dowolnej osi przechodzącej przez środek kuli

2

2

1

mr

I

=

dla pełnego walca o promieniu r względem osi walca

2

2

2

1

4

1

ml

mR

I

+

=

dla pełnego walca o promieniu R i długości l względem symetrii walca

2

12

1

ml

I

=

dla cienkiego pręta o długości l względem osi symetrii prostopadłej do długości

2

3

1

ml

I

=

dla cienkiego pręta o długości l względem osi przechodzącej przez koniec pręta i

prostopadłej do długości.

Toczenie

Prędkość liniowa każdego punktu walca jest prostopadła do linii łączącej ten punkt z punktem A, a
wartość liczbowa jest proporcjonalna do odległości między tym punktem a punktem A.

2

2

1

ω

A

K

I

E

=

2

0

mR

I

I

A

+

=

I

0

– moment bezwładności walca w środku ciężkości

2

2

2

0

2

1

2

1

ω

ω

R

I

E

K

+

=

0

V

R

=

ω

m

V

I

E

K

2

0

2

0

2

1

2

1

+

=

ω

2

0

2

1

ω

I

- energia ruchu obrotowego walca

m

V

2

0

2

1

- energia ruchu postępowego

Ostatnie równanie można interpretować następująco:

•

I człon

2

0

2

1

ω

I

- energia kinetyczna ciała obracającego się względem osi przechodzącej przez środek

masy

•

II człon

m

V

2

0

2

1

- energia kinetyczna ciała poruszającego się ruchem postępowym środka masy

V

O

– pr

ę

dko

ść

liniowa

m – masa
V – pr

ę

dko

ść

obrotowa

F i z y k a

S t r o n a

|

10

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Rucha ciała złożony z ruchu postępowego środka masy i ruchu obrotowego względem osi przechodzącej przez
ś

rodek masy jest równoważny czystemu ruchowi obrotowemu zachodzącemu z tą samą prędkością kątową

dookoła osi przechodzącej przez punkt zetknięcia się ciała z powierzchnią, po której toczy się bez poślizgu.

II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

dt

V

d

m

a

m

F

=

=

r

V

×

=

ω

×

×

=

r

ie

lewostronn

r

dt

d

m

F

/

)

(

ω

)]

(

[

r

r

dt

d

m

F

r

×

=

×

ω

α

ω

ω

I

dt

d

mr

r

dt

d

m

M

F

r

=

=

=

=

×

2

2

)

(

I

mr

=

2

α

- przyspieszenie kątowe

Jest to równoważnik II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego bryły sztywnej.

Zasada zachowania pędu.

Sile w ruchu obrotowym odpowiada moment siły, pędowi moment pędu.

Dla punktu materialnego:
Moment pędu punktu materialnego o masie m znajdującego się w odległości

r

od początku układu

współrzędnych (x,y,z) jest prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez wektory

r

i , leżące

względem siebie pod kątem α.

)

(

)

(

)

(

B

A

C

C

A

B

C

B

A

⋅

−

⋅

=

×

×

2

)

(

)

(

)

(

r

r

r

r

r

r

r

ω

ω

ω

ω

=

⋅

−

⋅

=

×

×

F i z y k a

S t r o n a

|

11

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

p

r

L

×

=

ϕ

sin

rp

L

=

dt

V

d

m

F

=

dt

p

d

r

dt

V

m

d

r

F

r

×

=

×

=

×

)

(

)

(

p

r

dt

d

dt

L

d

×

=

V

dt

r

d

=

))

(

(

)

(

)

(

)

(

V

m

dt

d

r

V

m

r

dt

p

d

r

p

dt

r

d

dt

L

d

×

+

×

=

×

+

×

=

dt

p

d

r

dt

L

d

×

=

dt

p

d

r

M

×

=

M

dt

L

d

=

 dotyczy pojedynczej cząstki

Moment siły działający na cząstkę jest równy szybkości zmian wektora momentu pędu tej cząstki.

dt

dL

M

x

x

=

dt

dL

M

y

y

=

dt

dL

M

z

z

=

Całkowity moment układu (wszystkich cząstek) może się zmieniać.
Dla ustalonego punktu odniesienia mają znaczenie tylko momenty sił zewnętrznych.

∑

=

dt

L

d

M

zew

Ciało sztywne jest szczególnym przypadkiem układu cząstek, tzn. jest to układ, w którym wszystkie
odległości między cząstkami są stałe.
z II zasady dynamiki Newtona

α

⋅

= I

M

dt

d

ω

α

=

α

I

dt

L

d

=

ω

I

L

=

Moment pędu ciała sztywnego równa się iloczynowi momentu bezwładności I i prędkości kątowej ω.

Zasada zachowania momentu pędu.

Załóżmy, że suma zewnętrznych momentów sił jest równa 0.

∑

= 0

zew

M

Stąd

0

=

dt

L

d

,

const

L

=

Gdy wypadkowy moment sił zewnętrznych działających na układ cząstek jest równy 0, całkowity
moment pędu układu jest stały. Jest to prawo zachowania momentu pędu dla układu cząstek.

Gdy mamy N cząstek:

N

N

L

L

L

L

+

+

+

=

...

1

const

L

=

0

1

...

L

const

L

L

L

N

N

=

=

+

+

+

Momenty sił poszczególnych cząstek mogą się zmieniać, lecz ich suma pozostaje stałą, gdy
wypadkowy moment sił zewnętrznych równa się 0.
Jeśli układ cząstek jest ciałem sztywnym, to prawo zachowania momentu pędu ma postać:

∑

= 0

zew

M

const

I

=

ω

F i z y k a

S t r o n a

|

12

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

WYKŁAD 4: 28.03.2006

Drgania i ruch falowy

Drgania są ruchem okresowym, w którym wszystkie punkty drgającego układu po upływie stałego
odstępu czasu wracają w sposób powtarzalny do stanu wyjściowego. Ten odstęp nazywamy okresem
T a jego odwrotność częstotliwością drgań υ (mi).

Częstotliwość zdefiniujemy jako wielkość określającą stosunek liczby zachodzących drgań do czasu,
w którym one zachodzą. Częstotliwość kątowa (kołowa) czyli pulsację zdefiniujemy jako wielkość
charakteryzującą przebieg zmian procesu okresowo zmiennego. Wielkość tak jest określona wzorem:

πυ

ω

2

=

Ruch harmoniczny prosty.

Ruchem harmonicznym prostym będziemy nazywali ruch punktu materialnego dookoła swojego
położenia równowagi pod wpływem siły, która jest proporcjonalna do wychylania z położenia
równowagi.

x

k

F

−

=

Punkt materialny wykonujący taki ruch nazywamy oscylatorem harmonicznym.
Rozważmy jako przykład prostego oscylatora harmonicznego punkt materialny o masie m
przymocowany do końca sprężyny o współczynniku rozciągalności k.

Przykładami ruchu harmonicznego prostego może być ruch wahadła zegara, drganie struny, itp.
Ruchem harmonicznym inaczej zwanym ruchem drgającym mogą poruszać się nie tylko układy
mechaniczne. Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych, w tym światła widzialnego, polega na
drganiach wektora pola elektrycznego i pola magnetycznego. Analogia między drganiami
mechanicznymi i elektromagnetycznymi jest bardzo duża. Opisują je te same równania matematyczne.
Ze względu na występowanie siły tarcia obserwuje się, że np. ruch ciężarka na sprężynie po pewnym
czasie ustaje.
Jeśli uwzględnimy siły tarcia, to ruch harmoniczny nazywamy ruchem harmonicznym tłumionym.
Jeżeli dodatkowo pobudzimy do drgań jakąś siłą zewnętrzną, drganie takie będziemy nazywali ruchem
harmonicznym wymuszonym.

F i z y k a

S t r o n a

|

13

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Kiedy masa m jest wychylona z położenia równowagi w lewo lub w prawo na odległość x, wówczas
działa na nią siła:

x

k

F

−

=

Z II zasady dynamiki Newtona wiemy, że:

2

2

dt

x

d

m

dt

V

d

m

dt

p

d

F

=

=

=

Po podstawieniu do ostatniego równania wzoru na siłę harmoniczną otrzymamy:

0

2

2

=

+ x

k

dt

x

d

m

Równanie to nazywamy różnieniem różniczkowym oscylatora harmonicznego prostego.
Rozwiązaniem tego równania musi być taka funkcja, której drugo pochodna jest równa samej funkcji.
Np. cosα:

)

cos(

ϕ

ω

+

=

t

A

x

A – wielkość stała, (ωt+φ) – faza ruchu, φ – stała fazowa

ω

– częstotliwość kątowa oscylatora harmonicznego.

Jeżeli do równania

0

2

2

=

+ x

k

dt

x

d

m

podstawimy funkcję

)

cos(

ϕ

ω

+

=

t

A

x

oraz jej pochodną

)

cos(

2

ϕ

ω

ω

+

=

t

A

x

to otrzymamy warunek rozwiązalności równania różniczkowego oscylatora

harmonicznego:

m

k

=

2

ω

.

Z przedstawionych warunków widać, że wartość A i φ są zupełnie dowolne i funkcja x zawsze będzie
spełniała równanie różniczkowe. Fizycznie odpowiada to wielkiej różnorodności ruchów oscylatora
harmonicznego.
Zatem równanie różniczkowe ruchu oscylatora harmonicznego nie opisuje tylko jednego ruchu, lecz
całą grupę ruchów harmonicznych, dla której ω=const a A i φ są dowolne.
Jaki sens fizyczna ma stała ω?

F i z y k a

S t r o n a

|

14

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Jeżeli w równaniu

)

cos(

ϕ

ω

+

=

t

A

x

czas t powiększymy o stałą wartość równą

ω

π

2

to otrzymamy:

)

cos(

]

2

)

cos[(

)

2

cos(

]

)

2

(

cos[

ϕ

ω

π

ϕ

ω

ϕ

π

ω

ϕ

ω

π

ω

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

t

A

t

A

t

A

t

A

x

Widzimy, że wychylenie w ruchu harmonicznym po czasie

)

2

(

ω

π

+

t

jest identyczne jak po czasie t.

Możemy zatem wnioskować, że wielkość

ω

π

2

jest okresem drgań T. Po podstawieniu

T

π

ω

2

=

do

wzoru

m

k

=

2

ω

otrzymujemy okres drgań oscylatora harmonicznego:

k

m

T

π

2

=

.

Z praw matematyki wiadomo, że funkcja cos przyjmuje wartości od -1 do 1, czyli x może zmieniać się
od –A do A.
Wartość A będziemy nazywali amplitudą drgań oscylatora harmonicznego.

Energia ruchu harmonicznego.

Siła działająca na oscylator harmoniczny opisana jest wzorem

Fdx

dU

−

=

stąd zmiana energii potencjalnej oscylatora harmonicznego:

kxdx

dU

−

=

.

Zatem energia potencjalna w każdej chwili ruchu będzie równa:

)

(

cos

2

1

2

1

2

2

2

ϕ

ω

+

=

=

=

=

∫

∫

t

kA

kx

kxdx

dU

U

Energia potencjalna będzie miała wartość maksymalną

2

2

1

kA

U

U

MAX

=

=

gdy

1

)

cos(

=

+

ϕ

ω

t

czyli dla fazy ruchu

0

)

(

=

+

ϕ

ω

t

.

Energia potencjalna będzie miła wartość minimalną

0

=

=

MIN

U

U

gdy

0

)

cos(

=

+

ϕ

ω

t

czyli dla

fazy ruchu

2

)

(

π

ϕ

ω

=

+

t

.

Energia kinetyczna oscylatora harmonicznego przybiera postać:

)

(

sin

2

1

2

1

2

2

2

ϕ

ω

+

=

=

t

kA

mV

K

)

sin(

ϕ

ω

ω

+

−

=

=

t

A

dt

dx

V

Energia kinetyczna będzie miała wartość minimalną

0

=

=

MIN

K

K

gdy

0

)

sin(

=

+

ϕ

ω

t

czyli dla

fazy ruchu

0

)

(

=

+

ϕ

ω

t

.

Energia kinetyczna będzie miała wartość maksymalną

2

2

1

kA

K

K

MAX

=

=

gdy

1

)

sin(

=

+

ϕ

ω

t

czyli

dla fazy ruchu

2

)

(

π

ϕ

ω

=

+

t

.

Energia całkowita układu będzie równa sumie obu energii – potencjalnej i kinetycznej:

2

2

2

2

2

2

1

)

(

cos

2

1

)

(

sin

2

1

kA

t

kA

t

kA

U

K

E

=

+

+

+

=

+

=

ϕ

ω

ϕ

ω

Całkowita energia mechaniczna oscylatora harmonicznego jest stała.

F i z y k a

S t r o n a

|

15

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Przy maksymalnym wychyleniu energia K=0, energia U osiąga maksimum.
W położeniu równowagi energia U=0.

Przykłady ruchu harmonicznego:
1. Wahadło matematyczne jest to wyidealizowane ciało o masie punktowej zawieszone na cienkiej
nierozciągliwej nici. Wytrącone z położenia równowagi waha się w płaszczyźnie pionowej:

Siła F nie jest proporcjonalna do wychylenia α lecz do sinα czyli nie jest to czysty ruch harmoniczny
prosty. Jeżeli założymy, że kąt odchylenia α jest mały, to sinα jest bardzo bliski α mierzonemu w
radianach i dla małych wychyleń mamy do czynienia z oscylatorem prostym.
Otrzymujemy zatem:

x

l

mg

l

x

mg

mg

mg

F

−

=

−

=

−

≅

−

=

α

α

sin

Zatem dla małych wychyleń wahadła siła F jest proporcjonalna do wychylenia. Stała

l

mg

określa

wielkość k w równaniu

kx

F

−

=

. Po podstawieniu jej do wzoru na okres drgań oscylatora

harmonicznego otrzymujemy wzór na okres drgań wahadła matematycznego:

g

l

mg

ml

T

m

π

π

2

2

=

=

Z wzoru wynika, że okres drgań wahadła matematycznego nie zależy od masy, ale od długości
ramienia.

2. Wahadło fizyczne jest to dowolna bryła sztywna zawieszona tak, że może wahać się dookoła osi
przechodzącej przez bryłę sztywną. Wahadło matematyczne jest szczególnym przypadkiem wahadła

Siła G jest sił

ą

ci

ęż

ko

ś

ci masy m, a siła R jest

sił

ą

napr

ęż

enia nici o długo

ś

ci l. Ruch wahadła

powoduje siła styczna F, która jest składow

ą

siły

ci

ęż

ko

ś

ci:

α

sin

mg

F

−

=

F i z y k a

S t r o n a

|

16

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

fizycznego. Rozkład sił działających na środek masy R wahadła fizycznego przedstawiono na
rysunku.

Położenie równowagi bryły sztywnej o masie m, to takie położenie, w którym środek masy R leży na
linii pionu przechodzącego przez punkt obrotu O (oś y). Powrót do położenia równowagi ciała
powoduje składowa momentu siły, opisanego wzorem wektorowym:

d

G

M

×

=

lub skalarnym:

)

sin

)(

(

α

d

mg

M

−

=

Dla małych wartości wychyleń, kiedy sinα jest proporcjonalny do kąta α, składowa powodująca ruch
wahadła fizycznego wynosi:

α

mgd

M

−

=

Z drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego wiemy, że moment siły jest równy iloczynowi
momentu bezwładności I

b

i przyspieszenia kątowego:

2

2

dt

d

I

I

M

b

b

α

ε

=

=

Po podstawieniu otrzymujemy:

2

2

dt

d

I

mgd

b

α

α

=

−

α

α

b

I

gd

m

dt

d

m

2

2

=

Porównując ostatnie równanie z równaniem dla oscylatora harmonicznego widzimy, że:

b

I

gd

m

k

2

=

Podstawienie do wzoru na okres T drgań oscylatora harmonicznego:

mgd

I

k

m

T

b

F

π

π

2

2

=

=

Jest to wzór na okres drgań wahadła fizycznego, gdzie (mgd) jest momentem kierującym wahadła, a
I

b

jest momentem bezwładności.

Jeżeli podstawimy

2

ml

I

b

=

,

l

d

=

, to:

g

l

mgl

ml

T

π

π

2

2

2

=

=

Widać więc, że wahadło matematyczne jest szczególnym przypadkiem wahadła fizycznego.

F i z y k a

S t r o n a

|

17

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Z porównania ze sobą wzorów otrzymamy długość zredukowaną wahadła fizycznego, tzn. długość
dla której okres wahadła fizycznego jest równy okresowi drgań wahadła matematycznego:

g

l

mgd

I

b

π

π

2

2

=

md

I

l

b

=

Jeżeli interesuje nas tylko okres drgań wahadła fizycznego, to masę m tego układu można uważać za
skupioną w punkcie odległym od osi obrotu O.
Punkt ten będziemy nazywali środkiem wahadła fizycznego.


WYKŁAD 5: 4.04.2006

Składanie drgań harmonicznych

Rozważmy składanie drgań harmonicznych odbywających się wzdłuż jednej prostej.
Przypuśćmy, że układ wykonuje dwa drgania harmoniczne o tym samym okresie, ale o różnych
amplitudach i fazach:

t

A

t

A

t

A

x

ω

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

sin

sin

cos

cos

)

cos(

1

1

1

1

1

1

1

−

=

+

=

t

A

t

A

t

A

x

ω

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

sin

sin

cos

cos

)

cos(

2

2

2

2

2

2

2

−

=

+

=

Wypadkowe drganie będzie miało następującą postać:

)

cos(

sin

sin

cos

cos

sin

)

sin

sin

(

cos

)

cos

cos

(

2

2

1

1

2

2

1

1

2

1

ϕ

ω

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

+

=

−

=

=

+

−

+

=

+

=

t

A

t

A

t

A

t

A

A

t

A

A

x

x

x

Otrzymaliśmy drganie wypadkowe, matematycznie podobne do drgania składowego, z tym, że
amplitudę i fazę drgania wypadkowego określają wzory:

2

2

1

1

cos

cos

cos

ϕ

ϕ

ϕ

A

A

A

+

=

2

2

1

1

sin

sin

sin

ϕ

ϕ

ϕ

A

A

A

+

=

Jeśli podzielimy stronami ostatnie równanie przez siebie to otrzymamy wyrażenie na tangens stałej
fazowej:

2

2

1

1

2

2

1

1

cos

cos

sin

sin

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

A

A

A

A

tg

+

+

=

Podnosząc stronami równania do kwadratu i dodając jest stronami otrzymamy wyrażenie na amplitudę
drgania wypadkowego:

)

cos(

1

2

2

1

2

2

2

1

ϕ

ϕ

−

+

=

A

A

A

A

A

Uogólniając ostatnie wzory na dowolną liczbę składowych drgań harmonicznych wchodzących w
drganie wypadkowe otrzymamy:

∑

∑

+

=

k

k

k

k

k

k

A

A

A

2

2

)

sin

(

)

cos

(

ϕ

ϕ

∑

∑

=

k

k

k

k

k

k

A

A

tg

ϕ

ϕ

ϕ

cos

sin

F i z y k a

S t r o n a

|

18

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Rozważmy teraz składowe drgań harmonicznych wzajemnie prostopadłych. Przypuśćmy, że dowolny
punkt bierze udział jednocześnie w dwóch drganiach harmonicznych wzajemnie prostopadłych.


1. załóżmy, że początkowe fazy obu ruchów są jednakowe i równe zeru, natomiast amplitudy są
dowolny:

t

A

x

ω

cos

1

=

t

A

y

ω

cos

2

=

Szukamy równania toru takiego drgania:

2

1

A

A

y

x

=

lub

x

A

A

y

2

1

=

Otrzymujemy drganie liniowo spolaryzowane o amplitudzie

2

2

2

1

A

A

A

+

=

2. Załóżmy, że różnica faz wynosi π oraz, że amplitudy są dowolne:

t

A

t

A

x

ω

π

ω

cos

)

cos(

1

1

−

=

+

=

t

A

y

ω

cos

2

=

Ruch ponownie odbywa się po linii prostej, ale w innych ćwiartkach układu współrzędnych w

stosunku do przypadku pierwszego (

x

A

A

y

1

2

−

=

):

F i z y k a

S t r o n a

|

19

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

3. Załóżmy, że „x” wyprzedza „y” w fazie o

2

π

, tzn. że początkowa różnica faz wynosi

2

π

, natomiast

amplitudy dowolne:

t

A

t

A

x

ω

π

ω

sin

)

2

cos(

1

1

−

=

+

=

t

A

y

ω

cos

2

=

Po przekształceniach algebraicznych otrzymamy równanie toru, którym jest elipsa:

1

2

2

2

2

1

2

=

+

A

y

A

x

4. Załóżmy, że drgania przesunięte są w fazie o

2

π

i mają jednakowe amplitudy, to równaniem toru

będzie okrąg opisany równaniem:

2

2

2

A

x

y

=

+

Takie dwa drgania dały nam drganie wypadkowe spolaryzowane kołowo:

Drgania tłumione

Dotychczas zakładaliśmy, że na oscylator harmoniczny prosty nie działają żadne siły tarcia lub inne
siły tłumiące ruch. W takim przypadku rozpatrywany każdy ruch harmoniczny drga nieskończenie
długo. W rzeczywistości działanie np. sił tarcia powoduje, że ruch drgający będzie ruchem
harmonicznym tłumionym. Oznaczymy siłę tarcia powodującą tłumienie przez F

t

. Załóżmy, że jest

ona proporcjonalna do prędkości i skierowana przeciwnie do kierunku ruchu:

F i z y k a

S t r o n a

|

20

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

dt

x

d

k

F

t

1

−

=

Wyznaczamy równanie różniczkowe takiego ruchu:

dt

x

d

k

F

x

k

dt

x

d

m

t

1

2

2

−

=

=

+

Otrzymujemy:

0

1

2

2

=

+

+

x

m

k

dt

x

d

m

k

dt

x

d

Podstawiając oznaczenie:

β

2

1

=

m

k

2

0

ω

=

m

k

Otrzymujemy równanie różniczkowe ruchu harmonicznego tłumionego:

0

2

2

0

2

2

=

+

+

x

dt

x

d

dt

x

d

ω

β

gdzie ω

0

jest częstotliwością własną drgań ruchu oscylatora nietłumionego, a β jest stałą tłumienia

ruchu.
Jeżeli stała tłumienia β jest mała, to rozwiązanie ostatniego równania jest następujące:

)

cos(

0

ϕ

ω

β

+

=

−

t

e

A

x

t

2

2

0

β

ω

ω

−

=

t

e

A

β

−

0

określa amplitudę ruchu tłumionego.

Poniższy rysunek przedstawia zmiany wychylenia x oraz amplitudy drgania tłumionego w czasie.

Wprowadzimy pojęcie logarytmicznego dekrementu tłumienia.
Jest to logarytm naturalny stosunku dwóch amplitud oddalonych od siebie o okres T.

T

e

e

A

e

A

T

t

A

t

A

T

T

t

t

β

β

β

β

=

=

=

+

=

∆

−

+

−

−

1

ln

ln

)

(

)

(

ln

)

(

0

0

F i z y k a

S t r o n a

|

21

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Drgania wymuszone

Wiemy, że drgania swobodne są tłumione w wyniku działania siły tarcia (zanikają w zależności od
wartości tej siły, czyli w zależności od stałej tłumienia β).
Przypuśćmy teraz, że jeszcze dodatkowo pobudzamy do drgań układ siłą zewnętrzną o częstotliwości
drgań Ω. Doprowadzona z zewnątrz energia powoduje nietłumienie drgań i układ zaczyna drgań z
częstotliwością Ω.
Niech taką siłą pobudzającą drganie będzie opisana równaniem

t

F

F

Ω

=

cos

0

. Wówczas równanie

różniczkowe ruchu wymuszonego przyjmie postać:

t

m

F

x

m

k

dt

x

d

m

k

dt

x

d

Ω

=

+

+

cos

0

1

2

2

Po podstawieniu

β

2

1

=

m

k

,

2

0

ω

=

m

k

,

B

m

F

=

0

otrzymamy równanie różniczkowe drgań

harmonicznych wymuszonych:

t

B

x

dt

x

d

dt

x

d

Ω

=

+

+

cos

2

2

0

2

2

ω

β

Rozwiązanie takiego równania będzie następujące:

)

cos(

0

ϕ

+

Ω

=

t

x

x

2

2

2

2

2

0

0

4

)

(

Ω

+

Ω

−

=

β

ω

B

x

2

2

0

2

Ω

−

Ω

=

ω

β

ϕ

tg

W równaniach Ω jest częstotliwością drgań siły wymuszającej a ω

0

jest częstotliwością własną drgań

ruchu nietłumionego. Z rozwiązania równania różniczkowego widać, że ruch wymuszony jest
opóźniony w fazie o φ w stosunku do siły wymuszającej drgania.

Wyznaczymy teraz amplitudę rezonansową drgań wymuszonych oraz częstotliwość rezonansową.
Zjawisko rezonansu mechanicznego występuje wówczas, kiedy dla charakterystycznej wartości
częstotliwości amplituda oscylacji osiąga wartość maksymalną.
Częstotliwość rezonansu mechanicznego znajdujemy matematycznie poprzez wyznaczenie pochodnej
amplitudy drgań wymuszonych względem częstotliwości drgań ruchu wymuszonego i przyrównanie
jej do zera:

0

)

4

)

(

(

2

2

2

2

2

0

0

=

Ω

+

Ω

−

Ω

=

Ω

β

ω

B

d

d

d

dx

Z warunku tego otrzymujemy wartość częstotliwości rezonansowej:

2

2

0

2

β

ω

−

=

Ω

=

Ω

REZ

Po podstawieniu do równania:

2

2

2

2

0

0

4

)

(

Ω

+

Ω

−

=

β

ω

B

x

Otrzymamy wyrażenie na wychylenie x

0

podczas rezonansu:

2

2

0

0

2

β

ω

β

−

=

B

x

REZ

Wykres zależności amplitudy drgań wymuszonych tłumionego oscylatora harmonicznego w
zależności od częstotliwości Ω dla różnych wartości stałej tłumienia β.

F i z y k a

S t r o n a

|

22

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Dla wartości Ω = Ω

REZ

przy stałej tłumienia β = 0, zachodzi zjawisko rezonansu, wówczas wartość

amplitudy x

0

(Ω) dąży do nieskończoności.

W rzeczywistości jednak zawsze występuje siła tłumiąca, tak że amplituda drgań, chociaż może stać
się bardzo duża, wręcz ogromna, pozostaje w praktyce wielkością skończoną.
Wystarcza to, aby w takim przypadku układ drgający (np. most wiszący) ulegał zniszczeniu
(zerwaniu).
Zjawisko rezonansu dla wielu urządzeń mechanicznych, elektrycznych, akustycznych czy atomowych
jest zjawiskiem bardzo istotnym.

Ruch falowy.
Rozchodzenie się fal w przestrzeni.

Ze zjawiskiem ruchu falowego spotykamy się niemal we wszystkich działach fizyki. Znamy fale na
wodzie, gdyż łatwo je zaobserwować. Istnieją fale radiowe, głosowe, świetlne czy fale
elektromagnetyczne. Również jeden z działów mechaniki atomów i cząstek nosi nazwę mechaniki
falowej. Istnieje również optyka falowa.

Fale mechaniczne powstają w ośrodkach sprężystych. Są konsekwencją wytrącenia pewnego elementu
ośrodka sprężystego z normalnego położenia, co powoduje jego drganie dookoła położenia
równowagi.
Dzięki właściwościom sprężystym ośrodka zaburzenie to przenosi się z jednej warstwy do drugiej. W
tym czasie sam ośrodek jako całość nie porusza się wraz z falą. Wspólną cechą wszystkich zjawisk
falowych jest zdolność do przenoszenia energii. W ruchu falowym zatem transportowi energii nie
towarzyszy transport materii. Jest to zasadniczy fakt dotyczący ruchu falowego.

Możemy wyróżnić następujące rodzaje fal:
- fale powierzchniowe, powstające na powierzchni cieczy lub ciała stałego polegające na wychyleniu
się cząsteczek z położenia równowagi
- fale głosowe, powstające w ciałach stałych, cieczach i gazach, polegające na powstaniu na przemian
ciśnień i podciśnień
- fale elektromagnetyczne, mogą rozchodzić się w przestrzeni pozbawionej materii i polegają na
zmianie pola elektrycznego na pole magnetyczne i odwrotnie

Fale możemy podzielić również inaczej:
- fale poprzeczne, gdy ruchy cząstek materii przenoszącej fale są prostopadłe do kierunku
rozchodzenia się fali
- fale podłużne, jeżeli cząstki materii przenoszącej falę mechaniczną poruszają się do przodu lub do
tyłu zgodnie z kierunkiem rozchodzenia się fali.

Najprostszym przykładem ruchu falowego może być fala rozchodząca się wzdłuż np. napiętego węża
gumowego, którego jeden koniec jest sztywno zamocowany a drugi wprowadzony w ruch drgający.

F i z y k a

S t r o n a

|

23

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Zakłócenie wywołane na jednym końcu węża gumowego przesuwa się z pewną prędkością wzdłuż
całego węża.
Jeżeli koniec węża gumowego zostanie wprowadzony w drganie określone funkcją:

t

A

y

ω

cos

=

to dla każdego innego punktu tego węża można napisać podobne równanie, przy czym następne
wychylenie jest spóźnione w fazie w stosunku do drgania początkowego.
Równania dla wychyleń znajdujących się w miejscach x

1

i x

2

:

)

cos(

1

1

kx

t

A

y

−

=

ω

)

cos(

2

2

kx

t

A

y

−

=

ω

gdzie k jest pewnym współczynnikiem opóźnienia fazowego zwanym wektorem falowym.


WYKŁAD 6: 11.04.06

Długością fali ruchu falowego będziemy nazywali odległość dwóch najbliższych punktów, które
różnią się w fazie o 2π.

1

2

x

x

−

=

λ

π

λ

ω

ω

ϕ

2

)

(

)

(

1

2

2

1

=

=

−

=

−

−

−

=

k

kx

kx

kx

t

kx

t

Związek definiujący wektor falowy k ma postać:

λ

π

2

=

k

Podstawiamy do równania fali

)

cos(

kx

t

A

y

−

=

ω

wektor falowy k:

)

(

2

cos

)

2

(

2

cos

)

2

cos(

λ

π

π

π

ω

π

λ

π

ω

x

T

t

A

x

t

A

x

t

A

y

−

=

−

=

−

=

x oznacza odległość dowolnego punktu od źródła fali

Zastanówmy się z jaką prędkością rozchodzi się zaburzenie, czyli z jaką prędkością rozchodzi się faza
fali ruchu falowego.
Inaczej z jaką prędkością musi poruszać się obserwator wzdłuż kierunku rozchodzenia się fali, aby
mógł obserwować zaburzenie w tej samej fazie.

Prędkość tą obliczymy z warunku stałości fazy:

const

x

T

t

=

−

λ

Po obustronnym zróżniczkowaniu:

0

=

−

λ

dx

T

dt

Stąd wyznaczona prędkość wynosi:

T

v

dt

dx

λ

=

=

Prędkość tą nazywamy prędkością rozchodzenia się fazy fali lub prędkością falową. Po podstawieniu
jej wartości do równania fali otrzymujemy:

)

(

cos

)

cos(

)

2

2

cos(

)

(

2

cos

v

x

t

A

v

x

t

A

v

x

t

t

T

A

vT

x

T

t

A

y

−

=

−

=

−

=

−

=

ω

ω

ω

π

π

π

Ostatnie równanie przedstawia falę rozchodzącą się w kierunku dodatnim osi x z prędkością fazową v.

F i z y k a

S t r o n a

|

24

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Dla kierunku ujemnego osi x w równaniu pojawi się znak plus:

)

(

cos

v

x

t

A

y

±

=

ω

Jest to równanie podobne do równania będącego rozwiązaniem równania różniczkowego dla

oscylatora harmonicznego prostego,

)

cos(

ϕ

ω

+

=

t

A

y

, w którym

v

x

ω

ϕ

=

, czyli kiedy cząstka

materii ośrodka powtarza drganie oscylatora w źródle z opóźnieniem fazowym.

Interferencja fal.

Jeżeli do dowolnego punktu ośrodka dociera w tym samym momencie kilka ciągów fal, to punkt ten
doznaje wychylania będącego sumą poszczególnych wychyleń wywołanych przez dochodzące ciągi
fal.
Jest to tzw. Zasada niezakłóconej superpozycji tzn., że każdy ciąg fal rozchodzi się w przestrzeni tak,
jak gdyby nie było innych ciągów fal. Wszystkie zjawiska, które są wywołane przez niezakłócone
nakładanie się fal nazywamy interferencją fal.

Rozważmy interferencję dwóch ciągów fal mających te same amplitudy i częstotliwość, różniące się
fazami i rozchodzące się w tym samym kierunku.

)

(

cos

1

1

v

x

t

A

y

−

=

ω

)

(

cos

2

2

v

x

t

A

y

−

=

ω

Wypadkowe drganie wyznaczymy w następujący sposób:

)

2

cos(

)

2

cos(

2

)

cos(

)

cos(

1

2

1

2

2

1

2

1

x

x

v

t

x

x

v

A

x

v

t

A

x

v

t

A

y

y

y

+

−

−

⋅

=

−

+

−

=

+

=

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

Wykorzystując zależności

T

v

λ

=

,

T

π

ω

2

=

,

λ

π

ω

=

v

2

otrzymamy

)

)

(

cos(

)

(

cos

2

1

2

1

2

λ

π

ω

λ

π

x

x

t

x

x

A

y

+

−

−

=

.

Załóżmy, że

λ

π

)

(

cos

2

1

2

x

x

A

B

−

=

,

2

1

2

x

x

x

+

=

, wówczas:

)

2

(

cos

)

2

cos(

λω

π

ω

λ

π

ω

x

t

B

x

t

B

y

−

=

−

=

π

ω

2

1

T

=

)

2

2

(

cos

π

λ

π

ω

Tx

t

B

y

−

=

v

T

1

=

λ

)

(

cos

v

x

t

B

y

−

=

ω

F i z y k a

S t r o n a

|

25

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

W wyniku obliczeń otrzymaliśmy równanie fali wypadkowej o amplitudzie B.

λ

π

)

(

cos

2

1

2

x

x

A

B

−

=

Wyznaczymy teraz warunki ekstremalne dla amplitudy B:

Amplituda B

MAX

=2A:

1

)

(

cos

1

2

=

−

λ

π

x

x

,

π

λ

π

n

x

x

=

−

)

(

1

2

,

λ

n

x

x

=

−

1

2

Amplituda B=B

MAX

, gdy różnica dróg interferujących fal jest wielokrotnością długości fali, czyli gdy

spotykają się w zgodnych fazach. Mamy wzmocnienie fali wypadkowej.

Amplituda B

MIN

=0:

0

)

(

cos

1

2

=

−

λ

π

x

x

,

π

λ

π

)

2

1

(

)

(

1

2

+

=

−

n

x

x

,

2

)

1

2

(

1

2

π

+

=

−

n

x

x

Amplituda B=B

MIN

, gdy różnica dróg interferujących fal jest nieparzystą wielokrotnością połowy

długości fali, czyli gdy fale spotykają się w przeciwnych fazach. Mam osłabienie fali wypadkowej.



Fale Stojące

Gdy fala rozchodząca napotyka na falę odbitą i obie fale interferują, to wówczas powstaje fala stojąca.
Jest to nakładanie się dwóch ciągów fal o tych samych amplitudach i częstotliwościach lecz
rozchodzących się w przeciwnych kierunkach.

)

cos(

1

v

x

t

A

y

ω

ω

−

=

)

cos(

2

v

x

t

A

y

ω

ω

+

=

Fala wypadkowa będzie opisana równaniem:

t

B

t

v

x

A

y

y

y

ω

ω

ω

cos

'

)

cos(

)

cos(

2

2

1

=

−

=

+

=

Amplituda B’

MAX

=2A:

2

λ

n

x

=

Amplituda B’

MIN

=0:

4

)

1

2

(

λ

+

=

n

x

F i z y k a

S t r o n a

|

26

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Odległość pomiędzy punktami, dla których amplituda jest maksymalna wynosi

2

λ

. Punkty te

nazywamy strzałkami fali stojącej.

Odległość pomiędzy punktami, dla których amplituda jest minimalna wynosi

2

λ

. Punkty te nazywamy

węzłami fali stojącej.



WYKŁAD 7: 25.04.2006

- transformacja Galileusza
- transformacja Lorentza
- pęd relatywistyczny
- równoważność masy i energii

Transformacja Galileusza

Podstawowym prawem klasycznej mechaniki Newtona jest drugie prawo dynamiki

dt

p

d

F

=

. Prawo

to stosuje się w przypadku, gdy obserwator znajduje się w układzie odniesienia nie mającym
przyspieszenia – czyli w układzie inercjalnym. Zasada względności sformułowana przez Newtona –
ruchy ciał zawartych w danym obszarze są względem siebie takie same, niezależnie od tego czy
obszar ten znajduje się w ruchu, czy przesuwa się jednostajnie po linii prostej.

To sformułowanie Newtona narzuca nam pytanie: czy prędkość bezwzględna ma sens fizyczny? Na
podstawie dzisiejszej wiedzy możemy powiedzieć, że nie. Odpowiedź ta wiąże się ściśle z hipotezą
Galileusza: że podstawowe prawa fizyki są jednakowe we wszystkich układach odniesienia, jeżeli
tylko te układy poruszają się względem siebie z prędkością stałą (bez przyspieszenia).

Zastanówmy się, w jaki sposób dwaj obserwatorzy mierzą długość i przedział czasu w dwóch
układach S(x,y,z), S’(x’,y’,z’) przedstawionych na rysunku.

Układ S(x,y,z) jest inercjalnym układem współrzędnych

)

0

( ≡

a

a układ S’(x’,y’,z’) jest układem

współrzędnych poruszających się względem układu S z prędkością V.
Wykonajmy następujący eksperyment: Ustawmy zegary wzdłuż osi x i x’ układu S i S’ tak, by
wskazywały ten sam czas. Porównajmy wskazania zegarów w układzie S’ z zegarami w układzie S,
gdy układ S’ będzie się poruszał z prędkością V. Jeżeli zegar Z

A

’ w układzie S’ będzie zgadzał się z

zegarem Z

A

w układzie S to będzie zgadzał się też z Z

B

i następnymi.

t=t’

F i z y k a

S t r o n a

|

27

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Podobne doświadczenie można wykonać dla pomiaru długości L w obu układach posługując się tymi
samymi zegarami. Otrzymamy podobny wynik:

L=L’

Ostatnie równanie możemy ująć w postaci transformacji współrzędnych (x,y,z,t) w układzie S do
współrzędnych (x’,y’,z’t’) w układzie S’. Zakładając, że w chwili t=0 i t’=0 układy pokrywają się,
otrzymujemy:

TG:

'

' vt

c

x

+

=

'

y

y

=

't

t

=

'

z

z

=

Transformacja ta nosi nazwę transformacji Galileusza. Z jej pomocą można pokazać, że podstawowe
prawa fizyki zachowują niezmienną postać w układach odniesienia, do których stosuje się
transformacja Galileusza, czyli za pomocą praw Newtona nie można stwierdzić, czy układ odniesienia
znajduje się w ruchu czy w spoczynku.

Transformacja Lorentza

Początek XX wieku - pojawiają się równania Maxwella opisujące zjawiska elektryczne, magnetyczne
i światło jako jedną całość. Okazuje się, ,że prawa Maxwella nie stosują się do transformacji
Galileusza.

Przypuśćmy, że samochód porusza się z prędkością v i że zostaje on wyprzedzony przez wiązkę
ś

wiatła poruszającą się z prędkością c w nieruchomym układzie odniesienia S. Prędkość światła

dt

dx

c

=

, jaką zmierzył obserwator w samochodzie będzie na mocy transformacji Galileusza

dt

dx

c

'

' =

.

Na podstawie transformacji Galileusza

vt

x

x

=

=

'

v

c

dt

vt

d

dt

dx

vt

x

dt

d

c

−

=

−

=

−

=

)

(

)

(

'

Z ostatniego równania wynika, że prędkość światła jest różna w różnych układach odniesienia S i S’.
Dziś wiemy, że wynik ten jest błędny.

Potwierdzeniem słuszności praw Maxwella jest bardzo ważne założenie o niezmienniczości i stałości
prędkości światła c we wszystkich układach odniesienia.

Einstein wykazał, że w transformacji Galileusza korzystano z dwóch założeń, które wówczas
wydawały się oczywiste:
- jednoczesność dwóch zdarzeń jest absolutna
- długość dowolnego odcinka w różnych układach odniesienia jest taka sama

Założenia te są oczywiście słuszne, ale tylko w mechanice Newtona, tzn. w przypadku opisu ruchu z
prędkościami małymi w porównaniu do prędkości światła.
Lorentz pokazał, że istnieje pewna transformacja, względem której równania Maxwella są
niezmiennicze. Jednym z jej założeń jest, że prędkość światłą jest niezmiennicza we wszystkich
układach odniesienia.

Wyobraźmy sobie punktowe źródła światła, który wysyła falę kulistą. Chcemy znaleźć taką
transformację, przy której prędkość światła c będzie niezależna od źródła i odbiornika światła. Jeżeli
emisja światła rozpoczyna się w chwili t=0 w początku układu S(x,y,z,t) to równanie kulistego czoła
fali ma postać:

2

2

2

2

2

t

c

z

y

x

=

+

+

F i z y k a

S t r o n a

|

28

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Dla wygody załóżmy:
- w chwili t=0 również t’=0
- początek układu S’(x’,y’,z’,t’) znajduje się w tym samym punkcie co źródło światła w układzie
S(x,y,z,t)

Wówczas dla obserwatora w układzie S’(x’,y’,z’,t’) poruszającego się z prędkością v względem
układu S, równanie czoła fali ma postać podobną:

2

2

2

2

2

'

'

'

'

t

c

z

y

x

=

+

+

Z transformacji Galileusza otrzymamy:

2

2

2

2

2

)

(

t

c

z

y

vt

x

=

+

+

−

a po przekształceniu:

2

2

2

2

2

2

2

2

t

c

t

v

vxt

z

y

x

=

+

−

+

+

Z założenia mamy

2

2

2

2

2

t

c

z

y

x

=

+

+

Ostatnie wzory różnią się o czynnik

)

2

(

2

2

t

v

xvt

+

−

Transformacja Galileusza przestaje być słuszna. Musimy zatem ją zmienić, aby wyeliminować ten
czynnik.
Zastosujemy transformację w postaci:
x’=x-vt y’=y

z’=z

t’=t+fx

Otrzymamy:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x

f

c

tfx

c

t

c

t

v

xvt

z

y

x

+

+

=

+

−

+

+

.

Wyrazy zawierające czynnik xt znikną, gdy przyjmiemy, że:

2

c

v

f

−

=

czyli

x

c

v

t

t

2

'

−

=

Po dalszych przekształceniach otrzymamy:

)

1

(

)

1

(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

c

v

t

c

z

y

c

v

x

−

=

+

+

−

Z założenia mamy

2

2

2

2

2

t

c

z

y

x

=

+

+

.

Obydwa równania mają postacie zbliżone.

Aby równania były jednakowe musimy wyeliminować mnożnik

)

1

(

2

2

c

v

−

w wyrazach stojących przy

składowych x

2

i t

2

.

Wystarczy więc przyjąć, że:

2

2

1

'

c

v

vt

x

x

−

−

=

2

2

2

1

'

c

v

x

c

v

t

t

−

−

=

Otrzymaliśmy teraz nową transformację Lorentza, dla której prędkość światła c jest niezmiennicza i

która przy założeniu, że

c

v

dąży do zera przechodzi w transformację Galileusza.

Po przekształceniu wyrazów w ostatnich wzorach otrzymujemy transformację Lorentza w postaci:

x=x’+vt’
y=y’
z=z’
t=t’

F i z y k a

S t r o n a

|

29

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

TL:

2

2

1

'

'

c

v

vt

x

x

−

−

=

y=y’ z=z’

2

2

2

1

'

'

c

v

x

c

v

t

t

−

−

=

Zwróćmy uwagę na pewne fakty związane z tym układem równań. Współrzędne przestrzenne i
czasowe całkowicie się przeplatają. Czas jest różny dla obserwatorów znajdujących się w układach S i

S’. Jeżeli dokonamy przejścia granicznego (

v

c

dąży do zera) równania Lorentza przechodzą w

równania Galileusza.
Najważniejsze wnioski wynikające z transformacji Lorentza:
- prędkość światła jest niezmiennicza względem transformacji Lorentza
- przekształcenie Lorentza daje wzajemną zależność przestrzeni i czasu (w mechanice klasycznej
przestrzeń i czas traktuje się jako pojęcia niezależne)

Względność równoczesności

Zastanówmy się teraz jakie są konsekwencje transformacji Lorentza.
Przypuśćmy, że w nieruchomym układzie współrzędnych S dwa zjawiska odbywają się równocześnie
(t

1

=t

2

) w różnych miejscach (x

1

i x

2

). Wtedy w układzie ruchomym S’ czasy t

1

’ i t

2

’ będą miały postać:

2

1

2

1

1

1

'

β

−

−

=

x

c

v

t

t

2

2

2

2

2

1

'

β

−

−

=

x

c

v

t

t

Zobaczmy teraz, czy równoczesne zjawiska w układzie S będą też równoczesne w układzie S’, oraz
czy (

0

'

'

2

1

=

−t

t

).

0

1

1

1

'

'

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

=

−

+

−

−

=

−

−

−

−

−

=

−

β

β

β

x

c

v

x

c

v

t

t

x

c

v

t

x

c

v

t

t

t

Stąd otrzymamy

0

)

(

1

2

2

=

− x

x

c

v

Wiemy, że

0

2

>

c

v

oraz z założenia, że

2

1

x

x

≠

, zatem ostatnie równanie nie może być słuszne,

ponieważ

0

)

)(

(

1

2

2

≠

− x

x

c

v

. Wynika stąd, że nasze założenie (

0

'

'

2

1

=

−t

t

) jest błędne, czyli:

'

'

2

1

t

t

≠

To oznacza, że dwa zjawiska zachodzące równocześnie w różnych miejscach układu nieruchomego S
nie są równoczesne w układzie ruchomym S’.

Wydłużenie czasu

Jeżeli z miejsca x

1

w nieruchomym układzie S wysyłane są sygnały w odstępach czasu

1

2

t

t

t

−

=

∆

, to

jaki odstęp czasu będzie w układzie ruchomym S’?

F i z y k a

S t r o n a

|

30

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

'

'

1

'

'

1

'

'

β

β

β

−

−

=

−

−

−

−

−

=

−

=

∆

t

t

x

c

v

t

x

c

v

t

t

t

t

2

1

'

β

−

∆

=

∆

t

t

Z założenia

1

<

=

β

c

v

oraz

1

1

2

<

−

β

więc

1

1

'

2

<

−

=

∆

∆

β

t

t

Zatem

t

t

∆

<

∆ '

Czyli odstępy czasu ∆t w układzie nieruchomym są dla obserwatora ruchomego wydłużone. Ten
wniosek można sformułować inaczej: czas w układzie ruchomym upływa wolniej niż w układzie
nieruchomym. Wydłużeniem czasu można wytłumaczyć fakt, ze czas życia szybko poruszających się
cząstek elementarnych jest dłuższy niż czas życia cząstek w spoczynku.
Odwróćmy teraz eksperyment myślowy i obliczmy

1

2

'

t

t

t

−

=

∆

. Otrzymamy taki sam wynik obliczeń:

2

1

'

β

−

∆

=

∆

t

t

czyli

't

t

∆

<

∆

Należy zatem wprowadzić pojęcie czasu własnego dla danego układu nieruchomego S lub ruchomego
S’.

2

1

β

τ

−

=

t

Ze wzoru widać, że zegary poruszające się wraz z obserwatorem wskazują czas najkrótszy. Zjawisko
to bywa czasem nazywane paradoksem bliźniąt. Bliźnięta po rozstaniu się w wyniku podróży w
różnych układach i z różnymi prędkościami po ponownym spotkaniu się nie będą już w tym samym
wieku. To z bliźniąt, które zostało na Ziemi (układ nieruchomy) będzie starsze.

Skrócenie długości

Wyobraźmy sobie, że dokonujemy pomiaru długości pręta w układzie nieruchomym S. Przy pomiarze
długości pręta odczytujemy w określonym momencie czasu t

1

=t

2

miejsca położenia końców pręta x

1

i

x

2

. Długość pręta w układzie S będzie różnicą (x

2

-x

1

).

Przy pomiarze tego samego pręta w układzie ruchomym S’ odczytujemy w chwili t

1

’=t

2

’ współrzędny

x

1

’ i x

2

’.

Obliczamy długość pręta w obu układach:

- obserwator nieruchomy

2

1

2

2

1

1

2

2

2

1

2

1

'

'

1

'

'

1

'

'

β

β

β

−

−

=

−

+

−

−

+

=

−

x

x

vt

x

vt

x

x

x

- obserwator ruchomy

2

1

2

2

1

1

2

2

2

1

2

1

1

1

'

'

β

β

β

−

−

=

−

+

−

−

+

=

−

x

x

vt

x

vt

x

x

x

Obserwator nieruchomy (x

2

-x

1

)>(x

2

’-x

1

’)

Obserwator ruchomy (x

2

’-x

1

’)>(x

2

-x

1

)

Wynika stąd, że pręt ma największą długość w układzie, w którym sam spoczywa.
Przykład: występowanie skrócenia długości sprawdzono eksperymentalnie na przykładzie liniowego
akceleratora elektronów. Na wyjściu akceleratora prędkość elektronu wynosiła 0,999975c i każdy 1m
długości akceleratora dla obserwatora poruszającego się z elektronem wyglądał jak 7,1mm.

WYKŁAD 8: 9.05.2006

Pęd relatywistyczny

Transformacja Lorentza wprowadza istotny związek między czasem t a współrzędnymi x, y, z. Z
ruchem, czyli ze zmianą położenia w czasie wiąże się zmiana czasu. Współrzędnych nie można

1

<

=

β

c

v

1

1

2

<

−

β

F i z y k a

S t r o n a

|

31

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

rozpatrywać niezależnie od czasu, czas należy traktować jako czwartą współrzędną, która razem ze
współrzędnymi x, y, z tworzy czterowymiarową czasoprzestrzeń. Dla uniknięcia różnicy wymiarów
między współrzędnymi czterowymiarowej czasoprzestrzeni czas należy pomnożyć przez prędkość
ś

wiatła c.

Zasadnicza zmiana poglądów na pojęcia czasu i przestrzeni wyrażona w transformacji Lorentza
wywarła głęboki wpływ na wszystkie prawa fizyki. Musimy ponownie przeanalizować prawa fizyki
dla prędkości porównywalnych do prędkości światła.
Aby wprowadzić nowe, uogólnione pojęcie pędu, zgodne z transformacją Lorentza, musimy w
naszych rozważaniach zamienić czas t na czas własny

τ

, który dla każdego obserwatora jest jednakowy.

Czas własny zdefiniujemy jako:

2

)

(

1

c

v

dt

d

−

=

τ

Składowe pędu p

x

, p

y

, p

z

przyjmują teraz postać:

dt

dx

m

p

x

0

=

dt

dy

m

p

y

0

=

dt

dz

m

p

z

0

=

Wyznaczamy przykładową wartość

dt

dx

:

2

2

)

(

1

)

(

1

1

c

v

v

c

v

dt

dx

d

dt

dt

dx

d

dx

x

−

=

−

⋅

=

⋅

=

τ

τ

Wynik podstawmy do wzoru na składowe pędu.
Po podstawieniu otrzymamy uogólnione wyrażenie na składowe pędu:

2

0

)

(

1

c

v

v

m

p

x

x

−

=

2

0

)

(

1

c

v

v

m

p

y

y

−

=

2

0

)

(

1

c

v

v

m

p

z

z

−

=

Składowe można zapisać jednym równaniem wektorowym. Tak wyznaczone prawo zachowania pędu
jest spełnione we wszystkich układach.

2

0

)

(

1

c

v

V

m

p

−

=

Wartość pędu relatywistycznego i pędu klasycznego dla różnych stosunków prędkości

c

v

. Dla

prędkości v
c, czyli dla

c

v

1, pęd ciała

∞

F i z y k a

S t r o n a

|

32

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Z nowej definicji pędu wynika nowa zależność masy od prędkości:

2

0

)

(

1

)

(

c

v

m

v

m

−

=

m

0

jest masą spoczynkową czyli masą ciała nie będącego w ruchu względem obserwatora.

Zmiana masy relatywistycznej w funkcji stosunku

c

v

. Przy małych prędkościach v różnice masy

spoczynkowej i relatywistycznej są nieznaczne. Gdy prędkość przekracza 0,5c masa relatywistyczna
wzrasta i zaczyna dążyć do nieskończoności.

Zastanówmy się jaką postać będzie miała II zasada dynamiki Newtona w układzie relatywistycznym.
Do postaci II zasady dynamiki w układzie klasycznym:

dt

p

d

F

=

podstawiamy równanie na pęd relatywistyczny. Otrzymamy:

)

)

(

1

(

2

0

c

v

v

m

dt

d

F

−

=

Po prostych przekształceniach algebraicznych otrzymamy II zasadę dynamiki Newtona w postaci
relatywistycznej:

F i z y k a

S t r o n a

|

33

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

3

2

0

)

)

(

1

(

c

v

a

m

F

−

=

Dla v << c postać ta przechodzi do wzoru na II zasadę dynamiki Newtona w postaci klasycznej.

Relatywistyczne składanie prędkości

Składanie prędkości w teorii względności jest odmienne od składania prędkości w teorii klasycznej.
Przypuśćmy, ,że punkt A ma w układzie ruchomym S’ prędkość

'

U

równą:

k

U

j

U

i

U

U

z

y

x

'

'

'

'

+

+

=

Układ S’ porusza się względem układu S w kierunku osi x z prędkością v.
Mamy zatem następujące założenia:

dt

dx

U

x

'

'=

dt

dy

U

y

'

'=

dt

dz

U

z

'

' =

składowe prędkości w układzie ruchomym

dt

dx

U

x

=

dt

dy

U

y

=

dt

dz

U

z

=

składowe w układzie nieruchomym

Korzystając z transformacji Lorentza otrzymujemy następujące przekształcenie pozwalające
wyznaczyć składowe prędkości w układzie nieruchomym:

dt

dt

c

v

v

U

c

v

dt

dt

v

dt

dt

dt

dx

c

v

dt

dt

v

dt

dx

c

v

vt

x

dt

d

dt

dx

U

x

x

'

)

(

1

'

)

(

1

'

'

'

'

)

(

1

'

'

'

)

)

(

1

'

(

2

2

2

2

⋅

−

+

=

−

+

⋅

=

−

+

=

−

+

=

=

2

2

2

2

2

2

)

(

1

1

)

(

1

1

)

)

(

1

(

'

c

v

U

c

v

c

v

dt

dx

c

v

c

v

c

x

v

t

dt

d

dt

dt

x

−

−

=

−

⋅

−

=

−

−

=

Jeżeli połączymy uzyskane wzory i wyznaczymy składową prędkości U

x

to otrzymamy następujący

wynik:

'

1

'

2

x

x

x

U

c

v

v

U

U

+

+

=

Dla składowych U

y

i U

z

wykonujemy analogiczne obliczenia i otrzymujemy pełną postać wektora

prędkości w układzie nieruchomym:

'

1

)

(

1

'

2

2

x

y

y

U

c

v

c

v

U

U

+

−

=

'

1

)

(

1

'

2

2

x

z

z

U

c

v

c

v

U

U

+

−

=

Jakie wnioski i konsekwencje wnikają z tak wyznaczonej prędkości?
Załóżmy, dla przykładu, że składowa x-owa prędkości w układzie ruchomym U

x

’=c, otrzymamy

wówczas w układzie nieruchomym:

F i z y k a

S t r o n a

|

34

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

c

c

v

c

v

c

c

v

v

c

U

x

=

⋅

+

+

=

+

+

=

1

Dowolny sygnał, który ma prędkość c w układzie ruchomym S’, ma taką samą prędkość c w układzie
nieruchomym S, chociaż układy poruszały się względem siebie z prędkością v. Stwierdzamy, że
prędkość światła jest niezmiennicza względem transformacji Lorentza. Prędkość światła c jest
prędkością graniczną, do której mogą zbliżać się prędkości ciał i fal elektromagnetycznych, ale nie
mogą jej osiągnąć ani przekroczyć.

Równoważność masy i energii

W celu wyznaczenia wzoru na energię ciała o masie m poruszającego się w układzie relatywistycznym
musimy obliczyć pracę, jaką wykonuje siła przy przemieszczeniu tego ciała wzdłuż drogi

s

d

dt

dm

v

dt

v

d

m

v

m

dt

d

dt

p

d

F

+

=

=

=

)

(

Praca tej siły na drodze

s

d

wynosi zatem:

s

d

dt

dm

v

s

d

dt

v

d

m

s

d

F

⋅

+

⋅

=

⋅

Dokonajmy przekształcenia polegającego na zamianie zmiennych:

dm

v

v

d

v

m

v

v

dm

v

v

md

dt

s

d

v

dm

dt

s

d

v

md

s

d

F

2

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

+

⋅

=

⋅

i zapiszmy to w postaci skalarnej:

dm

v

mvdv

Fds

2

+

=

Obliczmy różniczkę masy dm:

)

1

(

1

1

)

1

(

1

1

)

(

1

)

1

(

1

)

(

1

2

)

2

(

)

)

(

1

(

2

2

2

2

2

2

2

0

2

2

2

2

0

2

0

c

v

c

mvdv

c

v

c

vdv

c

v

m

c

v

c

v

dv

c

v

m

c

v

m

d

dm

−

⋅

=

−

⋅

−

=

−

⋅

−

−

−

=

−

=

Po dokonaniu prostych przekształceń otrzymamy:

2

2

v

c

mvdv

dm

−

=

Wyznaczamy teraz iloczyn

dm

v

c

mvdv

)

(

2

2

−

=

i podstawiamy do wzoru na pracę

dm

v

mvdv

Fds

2

+

=

, jaką wykonuje siła F przesuwając ciało na drodze ds.

Otrzymamy wówczas:

)

(

)

(

2

2

2

2

2

mc

d

dm

c

dm

v

dm

v

c

Fds

=

=

+

−

=

Zatem praca ciała w układzie relatywistycznym jest równa różniczce iloczynu masy i kwadratu
prędkości światła.
Z drugiej strony wiemy, że siła przesuwająca ciało na drodze ds jest związana z energią potencjalną
wzorem:

ds

dU

F

−

=

- zamiana energii potencjalnej na pracę

Dalsze przekształcenia wzoru

)

(

2

mc

d

Fds

=

prowadzą do następującego wyniku:

F i z y k a

S t r o n a

|

35

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

)

(

2

mc

d

ds

ds

dU

Fds

=

−

lub

0

)

(

2

=

+ dU

mc

d

Po scałkowaniu ostatniego równania otrzymamy zależność

const

U

mc

E

=

+

=

2

E oznacza całkowitą energię ciała poruszającego się z prędkością c w polu sił potencjalnych U.

Ostatni związek możemy zapisać w innej postaci:

const

U

c

v

c

m

E

=

+

−

=

2

2

0

)

(

1

gdzie pierwszy człon wyrażenia opisuje relatywistyczną postać energii kinetycznej dla ciała o masie
m

0

, poruszającego się z prędkością v i nie znajdującego się w polu sił potencjalnych (U=0).

Zmiany wartości energii kinetycznej w zależności od wartości stosunku

c

v

porównano ze zmianami

energii kinetycznej ciała poruszającego się w układzie klasycznym:

Rozważmy zasadę zachowania energii ciała poruszającego się w układzie relatywistycznym.

const

U

mc

E

=

+

=

2

zasada zachowania energii, gdy

0

≠

v

oraz

0

≠

U

const

mc

E

=

=

2

zasada zachowania energii, gdy

0

≠

v

oraz

0

=

U

masie m przypisuje się energię i energii przypisuje się masę, zatem
energia i masa są równoważne, związek ten nosi nazwę ogólnego prawa
zachowania energii lub zasady równoważności masy i energii

const

U

c

m

E

=

+

=

2

0

zasada zachowania energii, gdy

0

=

v

i

0

≠

U

jeżeli ciało jest w spoczynku, to obok energii potencjalnej U przypisuje
mu się pewną dodatkową ilość energii zwaną energią spoczynkową

const

c

m

E

=

=

2

0

zasada zachowania energii, gdy

0

=

v

i

0

=

U

jeżeli ciało jest w spoczynku i nie znajduje się w polu sił potencjalnych U
przypisuje mu się energię spoczynkową

Wyrażenie na masę relatywistyczną możemy zapisać za pomocą szeregu:

const

c

U

c

v

m

v

m

c

m

c

E

m

=

+

+

+

+

=

=

2

2

4

2

0

2

0

2

...)

8

3

2

1

(

1

F i z y k a

S t r o n a

|

36

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

lub w postaci

const

m

m

m

m

p

k

=

+

+

=

0

Ze wzoru wynika, że masa całkowita ciała jest sumą masy spoczynkowej, masy równoważnej energii
kinetycznej i masy równoważnej energii potencjalnej. Jest to zasada zachowania masy.


WYKŁAD 9: 16.05.2006

Pole elektryczne, dipol elektryczny.

Każdemu punktowi przestrzeni wokół Ziemi możemy przypisać wektor natężenia pola grawitacyjnego
g. Pole to jest polem wektorowym i stacjonarnym.

Podobnie punktowy ładunek elektryczny wytwarza w przestrzeni pole, zwane polem elektrycznym.
Począwszy od teorii Faradaya, pole elektryczne jest rozumiane w następujący sposób: ładunek q
wytwarza wokół siebie pole elektryczne, pole to oddziałuje na ładunek będący w jego zasięgu, w
wyniku tego pojawia się siła oddziaływania.
Natężenie pola elektrycznego jest zdefiniowane:

0

0

0

lim

q

F

E

q

→

=

E

jest wektorem natężenia pola elektrycznego,

F

- siła oddziaływania elektrycznego na ładunek

próbny q

0

umieszczony w tym polu.

Pole elektryczne powstałe wokół ładunków elektrycznych jest charakteryzowane przez linie sił pola.
Liczba linii sił pola na jednostkę powierzchni przekroju jest proporcjonalna do wektora.

Gdy umieścimy ładunek próbny w odległości r od ładunku punktowego q

0

wytwarzającego pole

elektryczne to wartości siły oddziaływania określa prawo Coulomba:

0

2

0

0

4

1

r

r

qq

F

⋅

=

πε

0

r

jest wektorem jednostkowym odległości pomiędzy ładunkami

0

ε

- bezwzględna przenikalność elektryczna próżni:

2

2

12

0

10

85419

,

8

Nm

c

−

⋅

=

ε

lub

2

2

9

0

10

9

4

1

c

Nm

k

⋅

=

=

πε

F i z y k a

S t r o n a

|

37

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Wektor natężenia pola elektrycznego określa definicja:

0

2

0

4

1

r

r

q

E

πε

=

Wektor natężenia elektrycznego jest skierowany wzdłuż linii sił pola elektrycznego od ładunku +q do
ładunku –q.
Przykład natężenia pola elektrycznego wytworzonego przez ładunek q umieszczony na kuli o
promieniu a przedstawia rysunek:

Zastanówmy się jak można wyznaczyć natężenie pola elektrycznego pochodzące od dipola
elektrycznego.
Dipolem elektrycznym nazywamy układ dwóch ładunków +q i –q o różnych wartościach
bezwzględnych oddalonych od siebie na odległość x.
Obliczamy natężenie pola w punkcie P, ,przyjmując odległość ładunków x=2a.
Wypadkowe natężenie pola elektrycznego przedstawiono na rysunku:

+

−

+

=

E

E

E

)

(

4

1

2

2

0

r

a

q

E

E

+

⋅

=

=

+

−

πε

α

cos

2

+

= E

E

2

2

cos

r

a

a

+

=

α

Zatem wartość natężenia pola elektrycznego w punkcie P pochodzącego od dipola p:

3

2

2

0

)

(

4

1

2

r

a

aq

E

+

⋅

⋅

=

πε

Zakładając, że odległość r jest dużo większa od rozmiaru dipola, możemy zaniedbać wartość a w
mianowniku i otrzymamy:

3

0

4

1

r

p

E

⋅

=

πε

2

1

r

E

≈

F i z y k a

S t r o n a

|

38

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Rysunek przedstawia zachowanie się dipola elektrycznego p w zewnętrznym polu E, tworzącym z
momentem dipolowym kąt

α

. Na dipol działają dwie siły skierowane przeciwnie (siła wypadkowa jest równa

zeru). Wypadkowy moment skręcający dipol elektryczny w polu E wokół środka odcinka 2a wynosi:

E

p

M

×

=

Moment skręcający M dąży do ustawienia dipola elektrycznego p wzdłuż linii sił pola E.

Aby zmienić orientację dipola w zewnętrznym polu elektrycznym, musi zostać wykonana praca przez
czynnik zewnętrzny. Praca ta zostaje zgromadzona jako energia potencjalna U układu składającego się
z dipola elektrycznego i urządzenia wytwarzającego pole elektryczne (np. kondensator).

E

p

U

⋅

−

=

Prawo Gaussa.

W polu elektrycznym miarą strumienia pola elektrycznego

E

Φ

jest liczba linii sił pola przypadająca

na powierzchnię. Dla powierzchni zamkniętych strumień

E

Φ

jest dodatni, jeżeli linie sił są

skierowane na zewnątrz powierzchni, a ujemny jeżeli linie sił są skierowane do wewnątrz
powierzchni.


Rozpatrzmy powierzchnię zamkniętą S znajdującą się w polu elektrycznym.
Podzielmy ją na elementarne kwadraty ds tak małe, że można je uważać za płaskie. Taki element
powierzchni można przedstawić jako wektor

s

∆

o długości równej jego powierzchni ds. i o kierunku

prostopadłym do tej powierzchni.

F i z y k a

S t r o n a

|

39

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Dla każdego dowolnie małego kwadratu ds natężenie pola elektrycznego można uważać za stałe.
Wektory

S

∆

i

E

tworzą ze sobą kąt

α

.

Definicja strumienia pola elektrycznego dla powierzchni zamkniętej:

∑

∆

⋅

≈

Φ

n

E

S

E

n jest to liczba kwadratów, na które została podzielona powierzchnia S
Sumowanie pokazuje, że należy dodać do siebie wszystkie iloczyny skalarne

S

E

∆

⋅

dla wszystkich n

kwadratów.
Z rysunku:

E

skierowane na zewnątrz powierzchni (

α

<

90

˚)

0

>

⋅ s

d

E

strumień pola elektrycznego

E

Φ

jest dodatni

E

skierowane do wnętrza powierzchni (

α

>

90

˚)

0

<

⋅ s

d

E

strumień pola elektrycznego

E

Φ

jest ujemny

Dokładna definicja strumienia pola elektrycznego jest wartością graniczną

E

Φ

.

∑

∆

⋅

≈

Φ

n

E

S

E

czyli

∫

⋅

=

Φ

S

E

s

d

E

Tak zdefiniowaną powierzchnię nazywamy powierzchnią Gaussa, oznacza to, że powierzchnia Gaussa
odzwierciedla geometryczny układ ładunków zawartych wewnątrz tej powierzchni.



Związek pomiędzy strumieniem pola elektrycznego przechodzącego przez dowolną powierzchnię
zamkniętą a ładunkiem zamkniętym w jej wnętrzu podaj prawo Gaussa:

q

E

=

Φ

0

ε

lub

∫

=

⋅

q

s

d

E

0

ε

Ładunek q to ładunek wypadkowy wszystkich ładunków q

i

zawartych wewnątrz powierzchni Gaussa

∑

=

i

i

q

q

.

Prawo Gaussa jest uogólnieniem wszystkich praw dla pola elektrycznego. Można z niego
wyprowadzić wzór na wartość natężenia pola elektrycznego oraz prawo Coulomba.

Prawo Coulomba.

F i z y k a

S t r o n a

|

40

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

ds

E

s

d

E

⋅

=

⋅

q

Eds

s

d

E

=

=

∫

∫

0

0

ε

ε

q

ds

E

=

∫

0

ε

2

4 r

ds

π

=

∫

q

r

E

=

⋅

2

0

4

π

ε

2

0

4

1

r

q

E

⋅

=

πε

0

q

E

F

⋅

=

2

0

0

4

1

r

qq

F

⋅

=

πε

WYKŁAD 10: 23.05.2006

RÓWNANIE MAXWELLA JAKO UOGÓLNIENIE PRAW DOŚWIADCZALNYCH

Układ równań Maxwella.

Podstawowe prawa rządzące zjawiskami elektrycznymi i magnetycznymi stanowią uogólnienie faktów
doświadczalnych. Maxwell opierając się na poglądach Faradaya oraz na faktach doświadczalnych
dotyczących pola elektrycznego i magnetycznego uogólnił prawa ustalone doświadczalnie oraz
opracował teorię jednolitego pola elektromagnetycznego.
Doniosłym osiągnięciem Maxwella było odkrycie, ,że prędkość rozchodzenia się wzajemnych
oddziaływać elektrycznych i magnetycznych równa się prędkości rozchodzenia się światła w danym
ośrodku.

Polem elektromagnetycznym nazywamy obszar, w którym działają siły elektryczne i magnetyczne.
Pole to charakteryzujemy za pomocą wektora natężenia pola elektrycznego i magnetycznego, wektora
indukcji magnetycznej i elektrycznej. Zależności między tymi wielkościami są następujące:

wielkość

dla ośrodka

dla próżni

indukcja elektryczna

E

D

0

εε

=

E

D

0

ε

=

indukcja magnetyczna

H

B

0

µµ

=

H

B

0

µ

=

ε

, µ – przenikalności elektryczna i magnetyczna ośrodka

ε

0,

µ

0

– przenikalności elektryczna i magnetyczna próżni

m

F

10

36

1

Nm

c

10

85

,

8

9

2

2

12

0

−

−

=

⋅

=

π

ε

m

H

10

4

7

0

−

⋅

=

π

µ

Układ równań Maxwella możemy przedstawiać w dwóch postaciach: całkowej i różniczkowej
(operatorowej).

F i z y k a

S t r o n a

|

41

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Elementy rachunku operatorowego:
- operator gradientu (grad) lub operator nabla (

∇

) jest operatorem pierwszej pochodnej po

współrzędnych

z

k

y

j

x

i

grad

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

=

Operator nabla jest wektorem. Może zatem z innymi wektorami tworzyć iloczyn skalarny i
wektorowy.

- operator dywergencji wektora (

A

div

) jest iloczynem skalarnym operatora nabla (

∇

) i wektora

A

A

div

⋅

∇

=

)

(

)

(

Z

Y

X

A

k

A

j

A

i

z

k

y

j

x

i

A

div

+

+

⋅

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

z

A

y

A

x

A

A

div

Z

Y

X

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

- operator rotacji wektora (

A

rot

) jest iloczynem wektorowym operatora nabla (

∇

) i wektora

A

A

rot

×

∇

=

k

y

A

x

A

j

x

A

z

A

i

z

A

y

A

A

k

A

j

A

i

z

k

y

j

x

i

A

rot

x

Y

Z

X

Y

Z

Z

Y

X

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

∂

∂

−

∂

∂

+

∂

∂

−

∂

∂

+

∂

∂

−

∂

∂

=

+

+

×

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

Rotację wektora można, podobnie jak iloczyn wektorowy dwóch wektorów napisać w postaci
wyznacznika:

Z

Y

X

A

A

A

z

y

x

k

j

i

A

rot

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

Poznaliśmy już prawo Gaussa dla próżni w postaci:

q

s

d

E

S

=

⋅

=

∫

0

ε

oraz w postaci uogólnionej (tzn. dla dielektryka):

∫

=

⋅

S

q

s

d

D

gdzie ładunek q możemy traktować jako ładunek punktowy lub sumę ładunków punktowych
rozłożonych w sposób ciągły.
Ta uogólniona postać prawa Gaussa stanowi III równanie z układu równań Maxwella zapisane w
postaci całkowej.


Ładunek rozłożony w sposób ciągły można sobie wyobrazić jako zbiór bardzo małych ładunków ∆q,
porozmieszczanych elementach objętości ∆V, zatem:

V

q

i

∆

=

∆

ρ

ρ

jest gęstością ładunku. Wykonując przejście do postaci całkowej otrzymamy:

F i z y k a

S t r o n a

|

42

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

∫

∑

∑

=

∆

=

∆

=

→

∆

→

∆

V

i

V

i

q

dV

V

q

q

i

i

ρ

ρ

0

0

lim

lim

Uogólnione prawo Gaussa przyjmuje postać:

∫

∫

=

⋅

S

V

dV

s

d

D

ρ

W równaniu tym objętość V jest obszarem ograniczonym powierzchnią S. Chcąc przedstawić to
równanie w postaci różniczkowej zastosujemy matematyczne twierdzenie Ostrogrodskiego-Gaussa,
które zamienia całkę powierzchniową na objętościową.

∫

∫

=

⋅

S

V

dV

A

div

s

d

A

Otrzymujemy więc:

∫

∫

∫

=

=

⋅

V

V

S

dV

dV

D

div

s

d

D

ρ

Na podstawie równań funkcji podcałkowych otrzymujemy ostatecznie:

)

,

,

(

z

y

x

D

div

ρ

=

Równanie to pokazuje, że w przestrzeni występują źródła wektora indukcji pola
elektromagnetycznego o indukcji

D

rozmieszczone z gęstością ρ(x,y,z), będącą funkcją

współrzędnych przestrzennych.

Postać całkowa

Postać operatorowa

III równanie

∫

=

⋅

S

q

s

d

D

)

,

,

(

z

y

x

D

div

ρ

=

Prawo Gaussa dla pola magnetycznego jest potwierdzeniem nieistnienia izolowanych biegunów
magnetycznych. Prawo to stwierdza, że strumień magnetyczny Ф

B

przechodzący przez dowolną

przestrzeń zamkniętą musi być równy zeru.

0

=

Φ

B

Dla ładunku dodatniego +

a

B

+

=

Φ

+

Dla ładunku ujemnego -

a

B

−

=

Φ

−

Stąd

0

=

Φ

+

Φ

=

Φ

−

+

B

B

B

Zatem

∫

=

⋅

S

s

d

B

0

Jest to postać całkowa IV równania Maxwella.



Na podstawie twierdzenia Ostrogrodskiego-Gaussa

∫

∫

=

=

⋅

S

V

dV

B

div

s

d

B

0

Stąd:

0

=

B

div

Fizycznie oznacza to, że pole magnetyczne jest polem bezźródłowym, a linie sił pola magnetycznego
są bez początku i bez końca, zatem pole magnetyczne jest polem wirowym.

Postać całkowa

Postać operatorowa

IV równanie

∫

=

⋅

S

s

d

B

0

0

=

B

div

F i z y k a

S t r o n a

|

43

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Rozważmy teraz prawo Faradaya. Pokazuje ono, że pole elektryczne jest wytwarzane przez
zmieniające się pole magnetyczne.

∫

Φ

−

=

⋅

L

B

dt

d

l

d

E

Przez analogię możemy napisać, że pole magnetyczne jest wytwarzane przez zmieniające się pole
elektryczne:

dt

d

l

d

B

B

L

Φ

=

∫

0

0

ε

µ

Brak znaku „-” w równaniu wynika z faktu, że linie sił pola elektrycznego są skierowane przeciwnie w
stosunku do linii sił pola magnetycznego.
Zatem pole magnetyczne może być wytworzone dwoma sposobami:
- przez zmieniające się pole elektryczne
- na podstawie prawa Ampere’a (przewodnik z prądem)

∫

=

⋅

L

i

l

d

B

0

µ

Po połączeniu tych wyrażeń otrzymamy:

∫

Φ

+

=

⋅

L

E

dt

d

i

l

d

B

0

0

0

ε

µ

µ

Wiemy już, że strumień pola elektrycznego jest równy:

∫

⋅

=

Φ

S

E

s

d

E

Można więc zapisać:

∫

∫

⋅

∂

∂

+

=

⋅

S

L

s

d

E

t

i

l

d

B

0

0

0

ε

µ

µ

Jest to uogólniona postać prawa Ampere’a, stanowiąca treść II prawa Maxwella.
Matematyczne twierdzenie Stokesa zamieniające całkę powierzchniową na całkę krzywoliniową
możemy zapisać:

∫

∫

⋅

=

⋅

S

L

s

d

A

rot

l

d

A

s

d

- jest wektorem normalnym do powierzchni

Dokonując kilku przekształceń otrzymamy:

∫

∫

∫

∫

⋅

∂

∂

+

⋅

=

⋅

=

⋅

L

S

S

S

s

d

E

t

s

d

j

s

d

B

rot

l

d

B

0

0

0

ε

µ

µ

Korzystając ponownie z równości funkcji podcałkowych otrzymujemy:

t

E

j

B

rot

∂

∂

+

=

0

0

0

ε

µ

µ

Pierwszy człon prawej strony równania związany jest z prądem przewodzenia, czyli ruchem
ładunków, drugi człon wiąże się z tzw. prądem przesunięcia czyli zmianami pola elektrycznego w
czasie.
Jest to zapis operatorowy II równania Maxwella.

Postać całkowa

Postać operatorowa

II równanie

∫

∫

⋅

∂

∂

+

=

⋅

L

S

s

d

E

t

i

l

d

B

0

0

0

ε

µ

µ

t

E

j

B

rot

∂

∂

+

=

0

0

0

ε

µ

µ

F i z y k a

S t r o n a

|

44

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Skorzystajmy jeszcze raz z prawa Faradaya w postaci całkowej

dt

d

l

d

E

B

L

Φ

−

=

⋅

∫

Strumień indukcji magnetycznej definiujemy przez analogię do strumienia elektrycznego jako

∫

⋅

=

Φ

S

B

s

d

B

.

Po podstawieniu do prawa Faradaya otrzymujemy:

∫

∫

⋅

∂

∂

−

=

⋅

L

S

s

d

B

t

l

d

E

Jest to uogólniona postać prawa Faradaya i stanowi treść I prawa Maxwella.
Porównując tę postać z II równaniem Maxwella zauważymy brak symetrii.
W równaniu brak wyrazu odpowiadającemu wyrazowi z prądem przewodzenia (

i

0

µ

). Wiąże się to z

tym, ze nie występuje prąd magnetyczny, brak jest bowiem swobodnych ładunków magnetycznych.
Nie ma zatem przewodników pola magnetycznego.
Po prostym zastosowaniu twierdzenia Stokesa otrzymamy:

∫

∫

∫

⋅

∂

∂

=

⋅

=

⋅

S

S

L

s

d

t

B

s

d

E

rot

l

d

E

Pozwala nam to zapisać w postaci operatorowej

t

B

E

rot

∂

∂

−

=

Otrzymaliśmy w ten sposób komplet równań Maxwella, opisujących pole elektromagnetyczne.

Postać całkowa

Postać operatorowa

Równanie I

∫

∫

⋅

∂

∂

−

=

⋅

L

S

s

d

B

t

l

d

E

t

B

E

rot

∂

∂

−

=

Równanie II

∫

∫

⋅

∂

∂

+

=

⋅

L

S

s

d

E

t

i

l

d

B

0

0

0

ε

µ

µ

t

E

j

B

rot

∂

∂

+

=

0

0

0

ε

µ

µ

Równanie III

∫

=

⋅

S

q

s

d

D

)

,

,

(

z

y

x

D

div

ρ

=

Równanie IV

∫

=

⋅

S

s

d

B

0

0

=

B

div

t

B

E

rot

∂

∂

−

=

równanie I jest uogólnieniem prawa Faradaya

Aby wytworzyć pole elektrycznie nie jest konieczny przewodnik przewodzący prąd elektryczny,
wystarczy, że występuje zmienne w czasie pole magnetyczne.

t

E

j

B

rot

∂

∂

+

=

0

0

0

ε

µ

µ

równanie II jest uogólnieniem prawa Ampere’a

Zakłada, że wirowe pole magnetyczne powstaje wokół przewodnika z prądem przewodzenia, czyli w
wyniku ruchu ładunków oraz w wyniku zmiennego w czasie pola elektrycznego.

Należy zauważyć, że całkowity prąd

PRZES

PRZEW

C

j

j

j

+

=

t

D

t

E

j

PRZES

∂

∂

=

∂

∂

=

0

0

0

µ

ε

µ

.

F i z y k a

S t r o n a

|

45

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Czyli prąd przesunięcia jest związany z wektorem przesunięcia

D

.

ρ

=

D

div

z równania III wynika, że pole elektryczne jest polem źródłowym, źródłem pola

elektrycznego są ładunki elektryczne q o gęstości ładunku ρ.

0

=

B

div

równanie IV pokazuje, że pole magnetyczne jest polem bezźródłowym, jest ono wynikiem

występowania pola elektrycznego.

Z układu równań Maxwella widać, że nie ma symetrii pomiędzy polem elektrycznym i polem
magnetycznym. Jest to wynikiem obecności w polu elektrycznym ładunków elektrycznych i prądu
przewodzenia i nieistnienia odpowiedników tych wielkości w polu magnetycznym,

Zobaczmy co się dzieje z układem równań Maxwella, gdy odniesiemy go do próżni. W próżni nie ma
ani ładunków elektrycznych (q=0) ani prądu przewodzenia (i=0).

PRÓśNIA

t

B

E

rot

∂

∂

−

=

t

B

E

rot

∂

∂

−

=

t

E

j

B

rot

∂

∂

+

=

0

0

0

ε

µ

µ

t

E

B

rot

∂

∂

=

0

0

ε

µ

)

,

,

(

z

y

x

D

div

ρ

=

0

=

D

div

0

=

B

div

0

=

B

div

Dla próżni układ równań Maxwella staje się układem symetrycznym.

Jakie należy wyciągnąć stąd wnioski:
- generowanie pola elektrycznego i magnetycznego zachodzi również w próżni
- w próżni istnieje pełna symetria pomiędzy polem magnetycznym i polem elektrycznym
- dowolne zaburzenie pola elektrycznego bądź magnetycznego wywołuje generowanie zaburzenia,
które rozchodzi się w postaci fali elektromagnetycznej
- nie może wystąpić niezależnie pole magnetyczne i elektryczne
- pole elektromagnetyczne generowane jest w ośrodku o stałych materiałowych ε i µ według
następującego schematu:

t

E

∂

∂

0

0

εε

µµ

=

B

rot

,

t

B

∂

∂

−

=

E

rot

Jak wytworzyć pierwsze zaburzenie?
Wystarczy wytworzyć pole elektryczne, np. elektryzując cokolwiek.

F i z y k a

S t r o n a

|

46

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

WYKŁAD 11: 30.05.2006

Budowa atomu

Jeżeli za pomocą spektrometru będziemy obserwować widmo atomu wodoru, to zobaczymy cały
szereg linii układających się w pewne serie widmowe.

Teoretyczna interpretacja widma wodorowego oparta jest na zasadach kwantowych. Została podana w
1913 roku przez Nielsa Bohra. Fizyka klasyczna nie może wyjaśnić istnienia widma wodoru ani
widma żadnego innego pierwiastka.

Bohr założył:
- atom wodoru może znajdować się jedynie w pewnych ściśle określonych stanach
- atom wypromieniowuje energię tylko wtedy, gdy przechodzi ze stanu o energii E

k

do stanu o energii

niższej E

j

:

j

k

E

E

h

−

=

υ

hυ – energia fotonu wypromieniowana podczas przejścia atomu między

stanami energetycznymi

Załóżmy, że elektron w atomie wodoru porusza się po kołowym orbitalu (orbicie) o promieniu r,
której środek znajduje się w miejscu jądra atomowego. Jądro atomowe jest tak ciężkie, że skupia całą
masę. Krążenie elektronu dookoła jądra atomowego jest spowodowane siłą dośrodkową, która jest
pochodzenia elektrycznego F

e

(siła coulombowska)

2

0

2

2

4

r

e

r

mv

πε

=

Po przekształceniach energia kinetyczna elektronu w postaci klasycznej jest równa:

2

0

2

2

4

2

1

r

e

mV

K

πε

=

=

Energia potencjalna układu elektron-proton, określona wzorem

∫

=

dr

F

U

e

będzie wynosić:

∫

∫

∞

∞

=

=

r

r

r

dr

e

dr

r

e

U

2

0

2

2

0

2

4

4

πε

πε

- energia kinetyczna

r

e

K

0

2

8

πε

=

- energia potencjalna

r

e

U

0

2

4

πε

=

- energia całkowita

r

e

U

K

E

0

2

8

πε

−

=

+

=

F i z y k a

S t r o n a

|

47

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Wniosek:
Fizyka klasyczna przewiduje, iż promień orbity (orbitalu) elektronu może przyjmować dowolne
wartości, zatem energia całkowita też może być dowolna, czyli widmo atomu wodoru powinno być
widmem ciągłym.
Uzyskane eksperymentalnie widmo wodoru pokazuje, że energia nie może mieć dowolnych wartości,
tylko ściśle określone. Problem kwantowania energii sprowadza się więc do zagadnienia kwantowania
promienia.

Wyznaczymy z równania na energię kinetyczną

r

e

K

0

2

8

πε

=

prędkość elektronu:

mr

e

v

0

2

4

πε

=

Dalej wyznaczamy częstotliwość, pęd i moment pędu elektronu:

r

v

π

υ

2

0

=

mr

e

m

mv

p

0

2

4

πε

=

=

pv

L

=

Wszystkie te wielkości są zależne od promienia r. Jeżeli więc promień orbity atomowej r będzie
ustalony, to będą również znane kwantowe wielkość dla elektronu: energia kinetyczne K, energia
potencjalna U, energia całkowita E, prędkość v, częstotliwość υ, pęd p i moment pędu L.
Bohr przyjął:
- kwantyzacja parametrów orbitalnych (w tym promienia) jest najprostsza, jeżeli zastosujemy ją do
momentu pędu elektronu L

Bohr założył, że moment pędu L może przybierać tylko wartości zgodne z równaniem:

π

2

h

n

L

=

lub

h

n

L

=

, n=1,2,3… jest główną liczbą kwantową

Możemy teraz zebrać postulaty Bohra, z których wynika, że:
- elektron nie może krążyć po dowolnej orbicie (orbitalu), lecz tylko po takich orbitalach, dla których
moment pędu elektronu L jest wielokrotnością stałej Plancka, podzielonej przez 2π.

h

n

L

=

- atom absorbuje lub emituje energię w postaci kwantu hυ, przechodząc z jednego stanu
energetycznego atomu do drugiego

i

j

E

E

h

−

=

υ

j > i – emisja energii

j < i – absorpcja energii

Korzystając z postulatów Bohra można wyznaczyć kwantową postać promienia orbitalnego elektronu i
jego energię całkowitą.

2

0

2

2

me

h

n

r

n

π

ε

=

2

2

2

0

4

1

8

n

h

me

E

n

⋅

−

=

ε

Ze wzoru otrzymujemy bezpośrednio wartości energii dowolnych stanów stacjonarnych.
Podstawiając do równania na E

n

wartości liczbowe masy elektronu, ładunku elektronu, przenikalności

elektrycznej próżni, stałej Plancka, wyznaczymy wartości energii elektronu dla kilku wybranych liczb
kwantowych
n=1,2,3,4,5

E

1

= -13,6eV E

2

= -3,4eV E

3

= -1,5eV E

4

= -0,84eV E

5

= -0,34eV

F i z y k a

S t r o n a

|

48

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Wyjaśnienie widma wodoru – postacie poziomów energetycznych.
Górny poziom

∞

=

n

odpowiada stanowi, w którym elektron jest całkowicie usunięty z atomu.

Atom ulega jonizacji, tzn. energia elektronu
jest równa zeru i promień orbity jest równy
nieskończoności.







W atomie wodoru obserwuje się szereg linii
tworzących serie widmowe:
- seria Lymana – odpowiada przejściu na n=1
- seria Balmera – odpowiada przejściu na n=2
- seria Paschena – odpowiada przejściu na

n=3
- seria Brachetta – odpowiada przejściu na n=4
- seria Pfunda – odpowiada przejściu na n=5
- seria Humpreysa – odpowiada przejściu na n=6

Przejścia odpowiadają emisji różnych serii widmowych. Linie pogrubione, czyli przejścia z poziomu
o liczbie kwantowej n równej nieskończoności na poziomy o n=1,2,3 itp. nazywamy granicami serii
widmowych.

Zasada odpowiedniości

Wszystkie teorie w fizyce mają swoje ograniczenia, ważność ich nie urywa się jednak nagle, lecz w
sposób ciągły dają wyniki, które coraz mniej zgadzają się z doświadczeniem. Tak więc przewidywania
mechaniki Newtona stają się coraz mniej dokładne w miarę jak prędkość badanego ciała zbliża się do
prędkości światła. Podobny związek, jak między fizyką klasyczną a relatywistyczną musi istnieć
między fizyką klasyczną a kwantową. Trzeba znaleźć zależności, przy których fizyka klasyczna staje
się szczególnym przypadkiem fizyki kwantowej. Promień orbity atomu wodoru dla stanu o najniższej
energii (stan podstawowy, n=1) wynosi około

m

11

10

3

,

5

−

⋅

. Jednakże dla n=10000, promień orbity

atomowej jest 10

8

razy większy i wnosi 5,3mm. „Atom” taki jest tak duży, że jego zachowanie

powinno być dokładnie opisane przez fizykę klasyczną. Można to sprawdzić obliczając częstotliwości
emitowanego światła na podstawie klasycznych i kwantowych założeń.
Obliczenia te będą się różnić dla małych liczb kwantowych (n), natomiast powinny się zgadzać dla
bardzo dużych n.
Jak wynika z założeń fizyki klasycznej, częstotliwość emitowanego światła przez atom jest równa
częstotliwości obiegu elektronu na orbicie (orbitalu):

r

v

kl

π

υ

2

0

=

podstawiając

mr

e

v

0

2

4

πε

=

i

2

0

2

2

me

h

n

r

π

ε

=

otrzymujemy wzór na częstotliwość:

3

3

2

0

4

0

2

8

n

h

me

kl

ε

υ

=

F i z y k a

S t r o n a

|

49

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Założenia fizyki kwantowej przewidują, że częstotliwość emitowanego światła przez atom musimy
obliczać w następujący sposób:

j

k

kw

E

E

h

−

=

0

υ

Po podstawieniu wzoru na energię w postaci kwantowej

2

3

2

0

4

1

8

n

h

me

E

n

ε

−

=

, otrzymujemy:

)

1

1

(

8

2

2

3

2

0

4

0

k

j

h

me

kw

−

−

=

ε

υ

.

Rozważając przejście między orbitalem o liczbie kwantowej k=n i najbliższym orbitalem mniejszym o
jedność j=n-1, otrzymujemy:

}

)

1

(

1

2

{

)

1

)

1

(

1

(

)

1

1

(

2

2

2

2

2

2

−

−

=

−

−

=

−

n

n

n

n

n

k

j

Gdy główna liczba kwantowa n dąży do nieskończoności, to ułamek w nawiasie klamrowym dąży do:

3

2

2

2

}

)

1

(

1

2

{

lim

n

n

n

n

n

=

−

−

∞

→

Wzór

)

1

1

(

8

2

2

3

2

0

4

0

k

j

h

me

kw

−

−

=

ε

υ

przechodzi we wzór

3

3

2

0

4

0

2

8

n

h

me

kw

ε

υ

=

Oznacza to przejście od częstotliwości wyznaczonej na podstawie założeń kwantowych do
częstotliwości opartej na założeniach klasycznych. Twierdzenie, że fizyka kwantowa przechodzi w
fizykę klasyczną przy dużych liczbach kwantowych nazywa się zasadą odpowiedniości.

n

kl

0

υ

kw

0

υ

=%

2

14

10

20

,

8

⋅

14

10

6

,

24 ⋅

67

10

12

10

57

,

6

⋅

12

10

72

,

7

⋅

14

100

9

10

578

,

6

⋅

9

10

677

,

6

⋅

1,5

20000

3

10

5779

,

6

⋅

3

10

5789

,

6

⋅

0,015

WYKŁAD 12: 06.06.2006
WŁASNOŚCI FALOWE CZĄSTEK

Fale materii de Broglie

Czy jest możliwość przejścia od natury korpuskularnej materii do natury falowej materii?
W 1924 roku de Broglie doszedł do wniosku, ,że przyroda jest zadziwiająco symetryczna, że świat
dostrzegalny zmysłami składa się wyłącznie ze światła i materii. Jeśli zatem światło ma naturę falową
lub korpuskularną, to może materia ma również dwie natury – falową i korpuskularną.

Do światła stosuje się związki

υ

h

E

=

i

λ

h

p

=

De Broglie zastosował te same związki do materii. Na podstawie relacji Einsteina

2

mc

E

=

zakładając, że foton porusza się z prędkością światła, jego pęd będzie:

λ

υ

h

c

h

c

E

c

mc

c

m

p

=

=

=

=

⋅

=

2

F i z y k a

S t r o n a

|

50

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Hipoteza de Broglie’a o istnieniu fal materii (fal de Broglie’a) została potwierdzona doświadczalnie w
1927 roku przez Davissona i Gemera. W doświadczeniu tym rozpędzona wiązka elektronów DE
została skierowana na powierzchnię kryształu niklu Ni. Elektrony przyspieszone potencjałem U,
mierzone rejestratorem RS uzyskiwały energię:

m

p

m

v

m

mv

U

E

e

2

2

2

2

2

2

=

=

=

=

stąd

e

mU

p

2

=

podstawiając

λ

h

p

=

otrzymamy

e

mU

h

2

=

λ

W przypadku dużych prędkości elektronu musimy uwzględnić relatywistyczną zmianę masy:

1

2

2

2

+

⋅

=

mc

U

mU

h

e

e

λ

Przykład:
Dla napięcia przyspieszającego U=100V, długość fali wyznaczona z ostatniego wzoru wynosi
λ

=1,22Ǻ i jest porównywalna ze stałą sieci kryształu niklu, a zatem można oczekiwać dyfrakcji wiązki

elektronów na tym krysztale.

Elektrony z działa elektronowego przyspieszane polem elektrycznym po rozproszeniu na krysztale Ni
rejestrowano pod kątem Φ w stosunku do wiązki padającej. Stwierdzono, że istnieją pewne kierunki, o
maksymalnym natężeniu elektronów rozproszonych. Wniosek, jeżeli elektrony padają prostopadle na
kryształ, to odbicie zachodzi nie od powierzchni kryształu, lecz od płaszczyzn wewnętrznych
kryształu.

Stosując prawo Bragga dla rozproszenia rentgenowskiego

λ

m

d

=

Θ

sin

2

otrzymujemy

α

λ

sin

2d

m

=

.

Odległość płaszczyzn sieciowych d jest związana ze stałą D wzorem

α

sin

D

d

=

. Po podstawieniu

otrzymujemy:

ϕ

α

α

α

λ

sin

2

sin

cos

)

sin

(

2

D

D

D

m

=

=

=

F i z y k a

S t r o n a

|

51

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Przyjmując m=1 można obliczyć długość fali de Broglie’a dla elektronów. Dla kryształów niklu
odległość płaszczyzn sieciowych wynosi d=2,15Ǻ i dla kąta rozproszenia Φ=50° (kąt wyznaczony
eksperymentalnie) otrzymujemy długość fali dla elektronu λ=1,65Ǻ. Wartość długości fali obliczona
ze wzoru dla napięcia przyspieszającego równego 54V (wartość eksperymentalna) wynosi λ=1,66Ǻ.
Otrzymujemy bardzo dobrą zgodność wyników.

De Broglie ze swojej teorii fal materii potrafił wyprowadzić warunek kwantyzacji Bohra dla momentu

pędu elektronu. Długośc fali

p

h

=

λ

została tak dobrana, aby orbita o promieniu r zawierała całkowitą

liczbę fal materii. Oznacza to, że na orbicie powstaje fala stojąca.

Stąd otrzymujemy przekształcenia:

λ

π

n

r

=

2

, gdzie n=1,2,3…

p

h

n

r

=

π

2

π

2

h

n

rp

=

h

n

L

=

Pojawia się zatem zgodność pomiędzy modelem atomu zaproponowanym przez Bohra a faktem
falowego charakteru materii. Elektron krążący wokół jądra nie promieniuje energii pod warunkiem, że
jego orbita zawiera całkowitą liczbę fal de Broglie’a związanych z elektronem.

Zasada nieoznaczoności Heisenberga

W fizyce realne znaczenie mają tylko te wielkości, które można zmierzyć. Gdybyśmy mogli zobaczyć
w mikroskopie o bardzo dużym powiększeniu elektron poruszający się po orbicie, moglibyśmy
stwierdzić, że taki orbital istnieje, ale obserwacja taka jest niemożliwa, czyli orbital poruszającego się
elektronu jest najbardziej prawdopodobny.
Załóżmy ,że mikrocząstka (np. elektron) porusza się wzdłuż osi x i ma pęd p

x

. Takiej cząstce

odpowiada fala o długości

x

p

h

=

λ

. Fala jest obiektem rozciągłym, czyli fala monochromatyczna

opisująca ruch cząstki o określonym pędzie p

x

rozciąga się wzdłuż osi x od –x do +x. Przedział x, w

którym zlokalizowana jest cząstka o pędzie p

x

jest nieskończony.

Wniosek: jeżeli cząstka ma dokładnie określony pęd p

x

to nie może mieć dokładnie określonej

współrzędnej x, lub odwrotnie, jeżeli ma określone położenie x, to nie może mieć dokładnie
określonego pędu p

x

.

Jeżeli chcemy określić położenie mikrocząstki przez jednoznaczne podanie obu parametrów x i p

x

to

możemy to wykonać tylko z pewnym przybliżeniem.
Przybliżenie to charakteryzują nieoznaczoności współrzędnych x, y, z i nieoznaczoności pędu p

x

, p

y

,

p

z

.

W 1927 roku Heisenberg podał związki pomiędzy tymi nieoznaczonościami:

h

≥

∆

∆

x

p

x

h

≥

∆

∆

y

p

y

h

≥

∆

∆

z

p

z

F i z y k a

S t r o n a

|

52

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

Zniżki te ilustrują zasadę nieoznaczoności Heisenberga, z której wynika, że nie można jednocześnie
zmierzyć z całkowitą dokładnością współrzędnych i pędu cząstki. W mechanice falowej pozbawione
jest sensu fizycznego pojęcie toru ruchu cząstki.
Analogiczny związek obowiązuje dla nieoznaczoności energii i nieoznaczoności czasu:

h

≥

∆

∆

t

E

Energię cząstki w danym stanie można wyznaczyć tym dokładniej, im dłużej w danym stanie
przebywa.

Równanie Schrödingera – podstawa mechaniki falowej

Schrödinger w 1926 roku wykorzystał fakt, że stany stacjonarne w atomach odpowiadają stojącym
falom energii. Najważniejszą wielkością w mechanice falowej jest funkcja falowa Schrödingera Ψ,
która jest miarą zaburzenia falowego fal materii.

Born po raz pierwszy zasugerował, że kwadrat funkcji falowej Schrödingera Ψ

2

w dowolnym

ustalonym punkcie przedstawia miarę prawdopodobieństwa, iż cząstka znajduje się w pobliżu tego
punktu.
Jest to fizyczne znaczenie funkcji falowej.
Jeżeli wokół dowolnego punktu w przestrzeni utworzymy element objętości Dv, to
prawdopodobieństwo, że w danej chwili cząsteczka znajduje się w tym elemencie objętości wynosi
Ψ

2

dV.

Z takiej interpretacji funkcji falowej wynika statystyczny związek między falą, a związaną z nią
cząstką. Do mierzalnych wielkości w mechanice kwantowej zaliczamy prawdopodobieństwo.
Zamiast twierdzić, że promień orbity (orbitalu) elektronu w stanie podstawowym atomu wodoru
wynosi dokładnie

11

10

3

,

5

−

⋅

m, mechanika kwantowa stwierdza, że wartość ta jest najbardziej

prawdopodobna.

Równanie Schrödingera opisuje ruch cząstki, podobnie jak zasady Newtona nie można udowodnić ani
wyprowadzić.



Zapoznamy się teraz z rozumowaniem, które łączy równanie Schrödingera z klasycznym równaniem
falowym i postulatem de Broglie’a.
Ogólne równanie różniczkowe fali dla składowej x ma postać:

2

2

2

2

2

1

t

v

x

∂

∂

=

∂

∂

ϕ

ϕ

Rozwiązaniem tego równania jest fala poruszająca się w kierunku dodatnich wartości x z prędkością
v:

)

(

cos

v

x

t

A

−

=

ω

ϕ

Jest to tylko część rzeczywista rozwiązania ogólnego równania fali. Pełna forma rozwiązania ma
postać:

F i z y k a

S t r o n a

|

53

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

)

(

sin

)

(

cos

v

x

t

iA

v

x

t

A

−

−

−

=

ω

ω

ϕ

Korzystając ze związku

x

i

x

e

xi

sin

cos +

=

ostatnie równanie możemy zapisać w postaci:

)

(

v

x

t

i

Ae

−

=

ω

ϕ

W rozważaniach o ruchu falowym korzysta się tylko z części rzeczywistej, ,bo część urojona nie ma w
mechanice klasycznej sensu fizycznego. Natomiast w mechanice kwantowej funkcja falowa nie jest
wielkością mierzalną, może być więc wielkością zespoloną.

)

(

px

Et

i

Ae

−

−

=

Ψ

h

Postać tę można otrzymać z równania

)

(

v

x

t

i

Ae

−

=

ω

ϕ

w wyniku prostych przekształceń:

πυ

ω

2

=

λ

1

=

c

v

υ

h

E

=

λ

h

p

=

Jest to równanie fali opisującej ruch cząstki swobodnej o energii E i pędzie p, poruszającej się wzdłuż
drogi x.

Energia całkowita cząstki równa się sumie energii kinetycznej i potencjalnej U:

U

m

p

E

+

=

2

2

Po pomnożeniu ostatniego równania przez funkcję falową

)

(

px

Et

i

Ae

−

−

=

Ψ

h

otrzymujemy zależność:

Ψ

+

Ψ

=

Ψ

U

m

p

E

2

2

Wykonajmy proste obliczenia matematyczne.
Zróżniczkujmy funkcję falową Ψ dwukrotnie względem x:

2

2

2

)

(

)

(

2

2

)

](

[

)

](

[

h

h

h

h

h

Ψ

=

=

∂

∂

=

∂

Ψ

∂

−

−

−

−

p

ip

Ae

ip

Ae

x

x

px

Et

i

px

Et

i

Następnie obliczamy pochodną względem czasu t:

Ψ

−

=

−

=

∂

Ψ

∂

−

−

E

i

iE

Ae

t

px

Et

i

h

h

h

)

](

[

)

(

Z ostatnich dwóch związków wyznaczamy iloczyny

Ψ

2

p

i

Ψ

E

:

2

2

2

2

x

p

∂

Ψ

∂

=

Ψ

h

t

i

E

∂

Ψ

∂

⋅

=

Ψ

h

Po podstawieniu otrzymanego wyniku do równania

Ψ

+

Ψ

=

Ψ

U

m

p

E

2

2

możemy napisać:

Ψ

+

∂

Ψ

∂

⋅

−

=

∂

Ψ

∂

U

x

m

t

i

2

2

2

2

h

h

W układzie trójwymiarowym równanie to zwane równaniem Schrödingera, będzie miało postać:

F i z y k a

S t r o n a

|

54

P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a

t

i

t

z

y

x

U

z

y

x

m

∂

Ψ

∂

=

Ψ

+

∂

Ψ

∂

+

∂

Ψ

∂

+

∂

Ψ

∂

−

h

h

)

,

,

,

(

)

(

2

2

2

2

2

2

2

2

Lub w zapisie operatorowym

dt

d

i

U

m

Ψ

=

Ψ

+

∆Ψ

h

h

2

.

Jest to ogólna postać równania Schrödingera, gdzie funkcja falowa Ψ(x,y,z,t) zależy od współrzędnych
i czasu. Aby rozwiązać równanie Schrödingera, trzeba znać przebieg zmian energii potencjalnej
U(x,y,z,t), zależnej również od współrzędnych i czasu.

Z funkcji falowej Ψ(x,y,z,t) możemy wyznaczyć prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w objętości
dV, czyli możemy wyznaczyć:

dV

dV

*

2

ΨΨ

=

Ψ

gdzie Ψ* oznacza funkcję zespoloną, sprzężoną z funkcją Ψ. Warunkiem normowania funkcji falowej
jest to, by całka z prawdopodobieństwa liczona po całym elemencie dV wynosiła 1:

∫

=

ΨΨ

1

*

dV

Równanie to wyraża pewność, że mikrocząstka znajduje się w elemencie dV.



Wróćmy jeszcze do ogólnej postaci równania Schrödingera:

dt

d

i

U

m

Ψ

=

Ψ

−

∆Ψ

h

h

2

2

Równanie to przedstawia zasadę zachowania energii dla cząstki kwantowej, gdzie:

∆Ψ

−

m

2

2

h

- człon odpowiadający energii kinetycznej

U(x,y,z,t)Ψ – człon odpowiadający energii potencjalnej

t

i

∂

Ψ

∂

h

- człon odpowiadający energii całkowitej

∆

−

m

2

2

h

- operator energii kinetycznej

U(x,y,z,t) – operator energii potencjalnej

t

i

∂

∂

h

- operator energii całkowitej

∆Ψ