F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 1 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

FIZYKA 

 
WYKŁAD 1: 28.02.2006  
 
PRAWO ZACHOWANIA ENERGII – Praca i energia 
 
Zakres nierelatywistyczny (transformacja Galileusza) 
Prawa zachowania są niezaleŜne od własności toru i często własności danej siły. Zatem poprzez te 
prawa moŜemy w sposób bardzo ogólny przedstawić wnioski.  
Prawo zachowania moŜemy stosować nawet gdy siła jest nieznana. Nawet gdy siła jest znana to prawa 
zachowania mogą ułatwić rozwiązania.  
 
Energia 
Energię całkowitą ciała odseparowanego moŜna wyrazić jako iloczyn masy relatywistycznej i 
kwadratu prędkości światła:  

2

mc

E

=

 

2

2

0

1

c

V

m

m

−

=

 

2

0

0

c

m

E

=

 

Najmniejszą energię ma ciało, które znajduje się w spoczynku (V=0) 
Energią kinetyczną nazywamy róŜnicę energii całkowitej i spoczynkowej: 

2

0

0

)

(

c

m

m

E

E

E

K

−

=

−

=

 

 
Praca 
Dla cząsteczki odosobnionej o masie m. 
Dane: m, 

F

r

 t=0, x, t>o,  

II zasada dynamiki Newtona:  

dt

p

d

F

=

   

V

m

p

=

   

dt

V

d

m

F

=

 

mdv

Fdt

=

 

dt

m

F

dv

=

 

∫

+

=

+

=

=

0

)

(

V

t

m

F

const

t

m

F

dt

m

F

t

V

   V

0

 – prędkość początkowa 

 

0

)

(

mV

t

mV

Ft

−

=

   Ft – popęd siły,   Mv(t) – mV

0

 – zmiana pędu cząstki 

 

0

0

2

0

0

0

0

0

0

2

)

(

)

(

)

(

x

t

V

t

m

F

dt

V

tdt

m

F

dt

V

t

m

F

t

V

t

x

t

t

t

t

+

+

=

+

=

+

=

=

∫

∫

∫

∫

 

F

m

V

V

t

)

(

0

−

=

 

0

2

0

2

0

2

0

0

2

0

0

2

0

0

0

2

0

2

2

2

1

2

1

)

2

(

2

1

)

(

)

(

2

1

)

(

x

V

F

m

V

F

m

x

V

F

m

VV

F

m

V

VV

V

F

m

x

V

V

F

m

V

V

V

F

m

m

F

t

x

+

−

=

=

+

−

+

+

−

=

+

−

+

−

=

 

 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

2

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

)

(

2

1

2

0

2

0

V

V

F

m

x

x

−

=

−

 

 

2

0

2

0

2

1

2

1

)

(

mV

mV

x

x

F

−

=

−

 

 

(x-x

0

) – droga  F(x-x

0

) – praca  

2

0

2

2

1

2

1

mV

mV

−

 - zmiana energii kinetycznej

  

Praca wykonana przez przyłoŜoną siłę równa się zmianie energii kinetycznej.  
 
Przykład: 
 
F=-mg 
Zakładamy, Ŝe cząstka jest w spoczynku na wysokości h nad powierzchnią ziemi.  
 

h, x

0

=h, V

0

=0 

0

),

(

=

−

=

x

h

x

f

W

 

mgh

h

mg

W

=

−

−

=

)

0

(

 

2

2

0

2

2

1

2

1

2

1

mV

mV

mV

mgh

=

−

=

 

Na wysokości h ciało ma energię potencjalną względem ziemi równą energii kinetycznej.  
Energia potencjalna jest to zdolność do wykonania pracy bądź do zwiększenia energii kinetycznej.  
JeŜeli V to prędkość po przebyciu drogi h – x,  wówczas otrzymamy równanie: 

)

(

2

1

2

x

h

mg

mV

−

=

 

E

mgh

mgx

mV

=

=

+

2

2

1

 - Prawo zachowania energii mechanicznej 

E=const,  mgx – energia potencjalna w dowolnym punkcie x 
 
PoniewaŜ E=const moŜemy zapisać: 

const

E

E

E

P

K

=

+

=

 

0

=

+

P

K

dE

dE

 

∑

= 0

dE

 

Z prawa zachowania energii wynika, Ŝe dla układu cząstek, które oddziałują na siebie, energia układu 
jest stała.  
 
Siłę nazywamy zachowawczą, gdy praca wykonana przy przesunięciu z punktu A do B zaleŜy tylko 
od tych punktów.  
Działanie siły niezachowawczej: 

K

NZ

Z

E

W

W

∆

=

+

 

P

Z

E

W

∆

−

=

 

K

NZ

P

E

W

E

∆

=

+

∆

−

 

E

E

E

W

P

K

NZ

∆

=

∆

+

∆

=

 

Gdy działają siły niezachowawcze to energia mechaniczna układu nie jest stała lecz zmienia się o 
wielkość pracy wykonanej nad układem przez siły niezachowawcze.  
 
Przykład: tarcie: 

E

E

E

W

W

P

K

T

NZ

∆

=

∆

+

∆

=

=

 

)

(

)

(

0

0

P

K

P

K

T

E

E

E

E

W

+

−

+

=

 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

3

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

0

<

T

W

 

Q

W

T

−

=

 

E

Q

∆

=

−

     

0

=

+

∆

Q

E

 

Suma energii cieplnej nie zmienia się jeŜeli na układ działają tylko siły zachowawcze i siła tarcia. 
JeŜeli na układ oprócz sił zachowawczych i siły tarcia działają równieŜ inne siły niezachowawcze to:  

Q

E

E

W

P

K

+

∆

+

∆

=

'

 

0

energii)

 

form

innych 

(

=

∆

+

+

∆

+

∆

Q

E

E

P

K

 

Jest to ogólna postać prawa zachowania energii. 
Suma energii kinetycznej, potencjalnej, cieplnej i innych rodzajów energii jest stała. Energia moŜe 
przechodzić z jednej postaci w drugą ale nie moŜe być zniwelowana. Energia kinetyczna i potencjalna 
(mechaniczna) jest zachowana tylko w przypadku działania sił zachowawczych a całkowita energia 
jest zawsze stała. Bardziej szczegółowo prawo to mówi nam: 

Istnieje pewna funkcja skalarna połoŜenia i prędkości (

mgx

mV

+

2

2

1

) która jest niezmienna 

względem czasu tzn. funkcja ta względem t jest stała. Podczas rucho cząstki w czasie t mogą się 
zmieniać prędkość lub połoŜenie.  
 
Uogólnienie 
 
Praca. 

)

,

cos(

r

F

r

F

r

F

W

∆

∆

=

∆

=

 

)

(

r

F

 

 
Siła nie jest stała (dzielimy na n odcinków): 

∑

=

∆

⋅

=

∆

⋅

+

+

∆

⋅

+

∆

⋅

=

N

j

j

j

N

N

r

r

F

r

r

F

r

r

F

r

r

F

W

1

2

2

1

1

)

(

)

(

...

)

(

)

(

 

∑

∫

=

∆

⋅

∞

→

∆

j

rB

rA

j

j

r

r

d

r

F

r

r

F

j

)

(

)

(

lim

 

Praca wykonana na drodze od A do B wynosi 

∫

=

→

B

A

r

d

r

F

B

A

W

)

(

)

(

 

Energia kinetyczna. 

)

(

2

1

2

1

2

2

0

2

x

x

F

mV

mV

−

=

−

 

dt

V

d

m

F

=

 

∫

=

→

B

A

r

d

dt

V

d

m

B

A

W

)

(

 

dt

V

dt

V

d

r

d

=

=

 

∫

⋅

=

→

B

A

dt

V

dt

V

d

m

B

A

W

)

(

)

(

 

dt

V

d

V

dt

V

d

V

V

dt

V

d

V

V

dt

d

V

dt

d

2

)

(

)

(

2

=

+

=

⋅

=

 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

4

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

∫

∫

∫

−

=

−

=

=

+

=

→

B

A

B

A

B

A

A

B

A

B

mV

mV

V

V

m

V

d

m

dt

V

dt

d

m

dt

V

dt

V

d

m

B

A

W

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

)

2

1

2

1

(

)

(

2

1

)

(

2

1

)

(

)

(

 

 

2

2

2

1

2

1

)

(

B

A

B

A

mV

mV

r

d

F

B

A

W

−

=

⋅

=

→

∫

 

 
Praca wykonana nad cząstką swobodną przez dowolnie przyłoŜoną siłę jest równa zmianie energii 
kinetycznej. 

∫

=

→

=

−

B

A

P

P

r

d

F

B

A

W

A

E

B

E

)

(

)

(

)

(

 - zmiana energii potencjalnej końcowej i początkowej. 

 
Energia jest zachowana tylko dla sił zachowawczych.  
 
 
 
 
 
 
 
WYKŁAD 2: 14.03.2006  
 
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU 
 
Ś

rodek masy: 

 

Układ składa się z dwóch punktów materialnych.  
c – środek masy układu 
 
Ś

rodek masy ma tę własność, Ŝe iloczyn całkowitej masy układu przez odległość tego punktu od 

początku układu odniesienia równy jest sumie iloczynów wszystkich punktów układu przez sumę mas. 

2

2

1

1

2

1

)

(

x

m

x

m

x

m

m

ś

m

+

=

+

 

2

1

2

2

1

1

m

m

x

m

x

m

x

ś

m

+

+

=

 

∑

∑

=

=

=

+

+

+

+

+

+

=

N

i

i

N

i

i

i

N

N

N

ś

m

m

x

m

m

m

m

x

m

x

m

x

m

x

1

1

2

1

2

2

1

1

...

...

 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

5

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

 

 
Współrzędne  środka masy są mierzone według pewnego dowolnego punktu.  
 

3

2

1

3

3

2

2

1

1

m

m

m

x

m

x

m

x

m

x

ś

m

+

+

+

+

=

 

3

2

1

3

3

2

2

1

1

m

m

m

y

m

y

m

y

m

y

ś

m

+

+

+

+

=

 

Dla duŜej liczby punktów materialnych na płaszczyźnie środek masy ma współrzędne x

ś

m 

i y

ś

m

 

zdefiniowane następująco: 

∑

∑

∑

=

=

i

i

i

i

i

ś

m

x

m

m

m

x

m

x

1

 

∑

∑

∑

=

i

i

i

i

i

ś

m

y

m

m

m

y

m

y

1

 

 
Dla duŜej liczby punktów materialnych w przestrzeni środek masy ma współrzędne x

ś

m

, y

ś

m

i z

ś

m

 

zdefiniowane następująco: 

∑

∑

∑

=

=

i

i

i

i

i

ś

m

x

m

m

m

x

m

x

1

    

∑

∑

∑

=

i

i

i

i

i

ś

m

y

m

m

m

y

m

y

1

 

∑

∑

∑

=

i

i

i

i

i

ś

m

z

m

m

m

z

m

z

1

 

 
W zapisie materialnym wektor środka masy moŜemy opisać przy pomocy promienia r

i

: 

i

i

i

i

z

k

y

j

x

z

r

+

+

=

 

ś

m

ś

m

ś

m

ś

m

z

k

y

j

x

z

r

+

+

=

 

∑

=

i

i

ś

m

r

m

M

r

1

 

 
Gdy początek układu odniesienia znajduje się w środku masy (

0

=

ś

m

r

) to: 

∑

= 0

i

i

r

m

 

Najogólniejsze wyraŜenie dla układu punktów materialnych, z których wynika, Ŝe środek masy układu 
punktów materialnych zaleŜy tylko od mas tych punktów i od ich wzajemnego rozmieszczenia i jest 
niezaleŜne od przyjętego układu odniesienia. 
 
Dla metalowego pręta: 
MoŜemy przyjąć, Ŝe substancja jest rozłoŜona równomiernie (ciągła). 

∑

∑

∆

∆

=

i

i

i

ś

m

m

x

m

x

 

∑

∑

∆

∆

=

i

i

i

ś

m

m

y

m

y

 

∑

∑

∆

∆

=

i

i

i

ś

m

m

z

m

z

 

 
dm – róŜniczkowy element masy 
 

m

xdm

dm

xdm

m

x

m

x

i

i

i

m

ś

m

i

∫

∫

∫

∑

∑

=

=

∆

∆

=

→

∆

0

lim

 

m

ydm

dm

ydm

m

y

m

y

i

i

i

m

ś

m

i

∫

∫

∫

∑

∑

=

=

∆

∆

=

→

∆

0

lim

 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

6

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

m

zdm

dm

zdm

m

z

m

z

i

i

i

m

ś

m

i

∫

∫

∫

∑

∑

=

=

∆

∆

=

→

∆

0

lim

 

∫

=

dm

r

M

r

ś

m

1

 

 

∫

∫

∫

∫

=

=

dr

dr

r

dm

dm

r

r

ś

m

 

 
JeŜeli początek układu odniesienia znajduje się w środku masy (gdy r

ś

m

=0) wtedy dla rozpatrywanego 

ciała 

∫

= 0

rdm

. Całkę tą oraz odpowiadającą jej sumę 

∑

i

i

r

m

nazywamy pierwszym momentem 

układu.  
 
 
Ruch środka masy.  
Układ punktów materialnych m

1

, m

2

, m

3

, …, m

n

  

m

1 

+ m

2

 + m

3

 + … + m

n

 = M = const  

 

n

n

ś

m

r

m

r

m

r

m

r

M

+

+

+

=

...

2

2

1

1

 

ś

m

r

 - wektor określający połoŜenie środka masy w określonym układzie odniesienia.  

 

dt

r

d

m

dt

r

d

m

dt

r

d

m

dt

r

d

M

n

n

ś

m

+

+

+

=

...

2

2

1

1

 

a

ró

Ŝ

ó

Ŝ

niczk

V

m

V

m

V

m

V

M

n

n

ś

m

/

...

2

2

1

1

+

+

+

=

 

n

n

n

n

ś

m

a

m

a

m

a

m

dt

V

d

m

dt

V

d

m

dt

V

d

m

dt

V

d

M

+

+

+

=

+

+

+

=

...

...

2

2

1

1

2

2

1

1

 

 
II zasada dynamiki: 

,...

,

2

2

2

1

1

1

a

m

F

a

m

F

=

=

 

n

ś

m

F

F

F

a

M

+

+

+

=

...

2

1

 

Iloczyn całkowitej masy układu punktów materialnych i przyspieszenia jego środka pasy równa się 
sumie wektorowej wszystkich sił działających na układ. 

Z

ś

m

F

a

M

=

 siły zewnętrzne.  

Ś

rodek masy układu punktów porusza się w taki sposób jakby cała masa układu była skupiona w 

ś

rodku masy i jakby wszystkie siły zewnętrzne nań działały.  

Twierdzenie powyŜsze obowiązuje dla kaŜdego układu punktów materialnych. Układem moŜe być 
ciało sztywne, w którym punkty mają stałe połoŜenia względem siebie. Układem moŜe być teŜ zbiór 
cząstek,  którym występują wszystkie rodzaje ruchu wewnętrznego. Środek masy kaŜdego układu 
niezaleŜnie od tego jaki jest ten układ oraz niezaleŜnie od ruchu jego poszczególnych części porusza 
się zgodnie z równaniem:  

Z

ś

m

F

a

M

=

 

 
 
Pęd punktu materialnego. 
Pędem punktu materialnego nazywamy wektor 

p

zdefiniowany jako iloczyn masy i prędkości 

V

m

p

=

 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

7

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

Z II zasady dynamiki Newtona: 

dt

p

d

F

=

 

Zmiana pędu ciała w jednostce czasu jest proporcjonalna do wypadkowej siły działającej na to ciało i 
skierowana zgodnie z tą siłą.  

a

m

dt

V

d

m

V

m

dt

d

dt

p

d

F

=

=

=

=

)

(

 

 
Pęd układu punktów materialnych. 
Cały pęd układu będzie sumą pędów poszczególnych elementów. 

n

n

n

V

m

V

m

V

m

p

p

p

p

+

+

+

=

+

+

+

=

...

...

2

2

1

1

2

1

 

p

V

M

ś

r

=

 

Całkowity pęd układu punktów materialnych jest równy iloczynowi całkowitej masy układu i 
prędkości środka masy tego układu.  definicja pędu układu punktów materialnych  

 
F

ZEW

 jest sumą geometryczną wszystkich sił zewnętrznych działających na układ (siły wewnętrzne 

działające między punktami znoszą się parami zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona)  
 

p

V

M

ś

m

=

/róŜniczka 

ś

m

ś

m

a

M

dt

V

d

M

dt

p

d

=

=

 

dt

p

d

F

ZEW

=

 

Otrzymujemy II zasadę Newtona dla układu punktów materialnych i uogólnienie 

dt

p

d

 dla pojedynczego 

punktu materialnego. 
 
Zasada zachowania pędu. 
JeŜeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa 0 to całkowity wektor pędu jest stały.  
 
Wszystkie zasady zachowania moŜna wyrazić w ten sposób, Ŝe gdy układ się zmienia to istnieje taka cecha, 
która jest stała. Całkowity pęd układu moŜe być zmieniany tylko przez siły zewnętrzne.  

 
 
 
 
WYKŁAD 3: 21.03.2006 
Dynamika ruchu obrotowego i zasada zachowania momentu pędu 
 
Obracające się ciało sztywne. Energia kinetyczna całego ciała jest równa sumie energii kinetycznej 
wszystkich cząsteczek: 

∑

∆

=

∆

+

+

∆

+

∆

=

N

i

i

i

N

N

K

V

m

V

m

V

m

V

m

E

2

2

2

2

2

2

1

1

2

1

2

1

...

2

1

2

1

 

 
Cząsteczka o masie m w odległości r: 

i

i

i

r

V

ω

=

 

∑

∆

=

2

2

2

1

i

i

i

K

r

m

E

ω

   

∑

∆

=

2

2

2

1

i

i

K

r

m

E

ω

 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

8

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

 

I

r

m

i

i

=

∆

∑

2

  moment bezwładności ciała względem osi obrotu 

I zaleŜy od wyboru osi obrotu i rozkładu mas. 
 

2

2

1

ω

I

E

K

=

  energia kinetyczna w zaleŜności od momentu bezwładności (w ruchu obrotowym) 

 
Ciało sztywne, które posiada ciągły rozkład masy. 

∑

∫

=

∆

=

→

∆

dm

r

r

m

I

i

i

m

i

2

2

0

lim

  r – odległość elementu masy dm od osi obrotu. 

 

V

m

ρ

=

   

dxdydz

dV

rdm

ρ

ρ

=

=

    

dxdydz

dV

=

 

∫

∫

∫ ∫ ∫

=

=

=

x y z

dxdydz

r

dxdydz

r

dV

r

I

2

2

2

ρ

ρ

ρ

 

Dotyczy to tylko sytuacji, gdy oś obrotu przechodzi przez środek masy.  
 
 
 
 
Moment względem osi przechodzącej przez dowolny punkt. 
JeŜeli przez I

O

 oznaczymy moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy to 

moment bezwładności ciała I względem dowolnej osi AA’, równoległej do przechodzącej przez 
ś

rodek masy i leŜącej w tej samej płaszczyźnie wynosi 

2

ma

I

I

O

+

=

 

 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

9

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

Przykładowe momenty bezwładności: 

2

5

2

mr

I

=

 dla pełnej kuli o promieniu r względem dowolnej osi przechodzącej przez środek kuli 

2

2

1

mr

I

=

 dla pełnego walca o promieniu r względem osi walca 

2

2

2

1

4

1

ml

mR

I

+

=

 dla pełnego walca o promieniu R i długości l względem symetrii walca 

2

12

1

ml

I

=

 dla cienkiego pręta o długości l względem osi symetrii prostopadłej do długości 

2

3

1

ml

I

=

 dla cienkiego pręta o długości l względem osi przechodzącej przez koniec pręta i 

prostopadłej do długości. 
 
Toczenie 

 

Prędkość liniowa kaŜdego punktu walca jest prostopadła do linii łączącej ten punkt z punktem A, a 
wartość liczbowa jest proporcjonalna do odległości między tym punktem a punktem A.  

2

2

1

ω

A

K

I

E

=

 

2

0

mR

I

I

A

+

=

 

I

0

 – moment bezwładności walca w środku cięŜkości 

2

2

2

0

2

1

2

1

ω

ω

R

I

E

K

+

=

 

0

V

R

=

ω

 

m

V

I

E

K

2

0

2

0

2

1

2

1

+

=

ω

  

2

0

2

1

ω

I

 - energia ruchu obrotowego walca 

m

V

2

0

2

1

- energia ruchu postępowego  

 
Ostatnie równanie moŜna interpretować następująco: 

•

 

I człon 

2

0

2

1

ω

I

 - energia kinetyczna ciała obracającego się względem osi przechodzącej przez środek 

masy

 

•

 

II człon 

m

V

2

0

2

1

 - energia kinetyczna ciała poruszającego się ruchem postępowym środka masy

 

V

O

 – pr

ę

dko

ść

 liniowa 

m – masa  
V – pr

ę

dko

ść

 obrotowa 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

10

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

Rucha ciała złoŜony z ruchu postępowego środka masy i ruchu obrotowego względem osi przechodzącej przez 
ś

rodek masy jest równowaŜny czystemu ruchowi obrotowemu zachodzącemu z tą samą prędkością kątową 

dookoła osi przechodzącej przez punkt zetknięcia się ciała z powierzchnią, po której toczy się bez poślizgu.  
 
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego 

dt

V

d

m

a

m

F

=

=

 

r

V

×

=

ω

 

 

  

×

×

=

r

ie

lewostronn

r

dt

d

m

F

 

/

)

(

ω

 

)]

(

[

r

r

dt

d

m

F

r

×

=

×

ω

 

α

ω

ω

I

dt

d

mr

r

dt

d

m

M

F

r

=

=

=

=

×

2

2

)

(

    

I

mr

=

2

  

α

- przyspieszenie kątowe 

Jest to równowaŜnik II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego bryły sztywnej. 
 
Zasada zachowania pędu. 
 
Sile w ruchu obrotowym odpowiada moment siły, pędowi moment pędu.  
 
Dla punktu materialnego: 
Moment pędu punktu materialnego o masie m znajdującego się w odległości 

r

 od początku układu 

współrzędnych (x,y,z) jest prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez wektory 

r

 i , leŜące 

względem siebie pod kątem α.  

 

)

(

)

(

)

(

B

A

C

C

A

B

C

B

A

⋅

−

⋅

=

×

×

 

2

)

(

)

(

)

(

r

r

r

r

r

r

r

ω

ω

ω

ω

=

⋅

−

⋅

=

×

×

 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

11

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

p

r

L

×

=

 

ϕ

sin

rp

L

=

   

dt

V

d

m

F

=

 

dt

p

d

r

dt

V

m

d

r

F

r

×

=

×

=

×

)

(

 

 

)

(

p

r

dt

d

dt

L

d

×

=

 

V

dt

r

d

=

 

))

(

(

)

(

)

(

)

(

V

m

dt

d

r

V

m

r

dt

p

d

r

p

dt

r

d

dt

L

d

×

+

×

=

×

+

×

=

 

dt

p

d

r

dt

L

d

×

=

   

dt

p

d

r

M

×

=

 

M

dt

L

d

=

  dotyczy pojedynczej cząstki  

Moment siły działający na cząstkę jest równy szybkości zmian wektora momentu pędu tej cząstki. 

dt

dL

M

x

x

=

    

dt

dL

M

y

y

=

    

dt

dL

M

z

z

=

 

Całkowity moment układu (wszystkich cząstek) moŜe się zmieniać. 
Dla ustalonego punktu odniesienia mają znaczenie tylko momenty sił zewnętrznych. 

∑

=

dt

L

d

M

zew

 

Ciało sztywne jest szczególnym przypadkiem układu cząstek, tzn. jest to układ, w którym wszystkie 
odległości między cząstkami są stałe.  
z II zasady dynamiki Newtona 

α

⋅

= I

M

 

dt

d

ω

α

=

 

α

I

dt

L

d

=

 

ω

I

L

=

 

Moment pędu ciała sztywnego równa się iloczynowi momentu bezwładności I i prędkości kątowej ω. 
 
Zasada zachowania momentu pędu. 
 
ZałóŜmy, Ŝe suma zewnętrznych momentów sił jest równa 0. 

∑

= 0

zew

M

 

Stąd 

0

=

dt

L

d

, 

const

L

=

 

Gdy wypadkowy moment sił zewnętrznych działających na układ cząstek jest równy 0, całkowity 
moment pędu układu jest stały. Jest to prawo zachowania momentu pędu dla układu cząstek. 
 
Gdy mamy N cząstek: 
 

N

N

L

L

L

L

+

+

+

=

...

1

 

const

L

=

 

0

1

...

L

const

L

L

L

N

N

=

=

+

+

+

 

Momenty sił poszczególnych cząstek mogą się zmieniać, lecz ich suma pozostaje stałą, gdy 
wypadkowy moment sił zewnętrznych równa się 0. 
Jeśli układ cząstek jest ciałem sztywnym, to prawo zachowania momentu pędu ma postać: 

∑

= 0

zew

M

 

const

I

=

ω

 

 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

12

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

WYKŁAD 4: 28.03.2006 
 
Drgania i ruch falowy 
 
Drgania są ruchem okresowym, w którym wszystkie punkty drgającego układu po upływie stałego 
odstępu czasu wracają w sposób powtarzalny do stanu wyjściowego. Ten odstęp nazywamy okresem 
T a jego odwrotność częstotliwością drgań υ (mi).  
 
Częstotliwość zdefiniujemy jako wielkość określającą stosunek liczby zachodzących drgań do czasu, 
w którym one zachodzą. Częstotliwość kątowa (kołowa) czyli pulsację zdefiniujemy jako wielkość 
charakteryzującą przebieg zmian procesu okresowo zmiennego. Wielkość tak jest określona wzorem: 

πυ

ω

2

=

  

 
Ruch harmoniczny prosty. 
  
Ruchem harmonicznym prostym będziemy nazywali ruch punktu materialnego dookoła swojego 
połoŜenia równowagi pod wpływem siły, która jest proporcjonalna do wychylania z połoŜenia 
równowagi.  

x

k

F

−

=

 

Punkt materialny wykonujący taki ruch nazywamy oscylatorem harmonicznym.  
RozwaŜmy jako przykład prostego oscylatora harmonicznego punkt materialny o masie m 
przymocowany do końca spręŜyny o współczynniku rozciągalności k.  

 

Przykładami ruchu harmonicznego prostego moŜe być ruch wahadła zegara,  drganie struny, itp.  
Ruchem harmonicznym inaczej zwanym ruchem drgającym mogą poruszać się nie tylko układy 
mechaniczne. Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych, w tym światła widzialnego, polega na 
drganiach wektora pola elektrycznego i pola magnetycznego. Analogia między drganiami 
mechanicznymi i elektromagnetycznymi jest bardzo duŜa. Opisują je te same równania matematyczne.  
Ze względu na występowanie siły tarcia obserwuje się, Ŝe np. ruch cięŜarka na spręŜynie po pewnym 
czasie ustaje.  
Jeśli uwzględnimy siły tarcia, to ruch harmoniczny nazywamy ruchem harmonicznym tłumionym. 
JeŜeli dodatkowo pobudzimy do drgań jakąś siłą zewnętrzną, drganie takie będziemy nazywali ruchem 
harmonicznym wymuszonym.  

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

13

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

 

Kiedy masa m jest wychylona z połoŜenia równowagi w lewo lub w prawo na odległość x,  wówczas 
działa na nią siła:  

x

k

F

−

=

 

 
Z II zasady dynamiki Newtona wiemy, Ŝe: 

2

2

dt

x

d

m

dt

V

d

m

dt

p

d

F

=

=

=

 

 
Po podstawieniu do ostatniego równania wzoru na siłę harmoniczną otrzymamy:  

0

2

2

=

+ x

k

dt

x

d

m

 

 
Równanie to nazywamy róŜnieniem róŜniczkowym oscylatora harmonicznego prostego.  
Rozwiązaniem tego równania musi być taka funkcja, której drugo pochodna jest równa samej funkcji. 
Np. cosα: 

)

cos(

ϕ

ω

+

=

t

A

x

 A – wielkość stała, (ωt+φ) – faza ruchu, φ – stała fazowa 

ω

 – częstotliwość kątowa oscylatora harmonicznego. 

 

JeŜeli do równania 

0

2

2

=

+ x

k

dt

x

d

m

 podstawimy funkcję 

)

cos(

ϕ

ω

+

=

t

A

x

oraz jej pochodną 

)

cos(

2

ϕ

ω

ω

+

=

t

A

x

 to otrzymamy warunek rozwiązalności równania róŜniczkowego oscylatora 

harmonicznego: 

m

k

=

2

ω

. 

Z przedstawionych warunków widać, Ŝe wartość A i φ są zupełnie dowolne i funkcja x zawsze będzie 
spełniała równanie róŜniczkowe. Fizycznie odpowiada to wielkiej róŜnorodności ruchów oscylatora 
harmonicznego. 
Zatem równanie róŜniczkowe ruchu oscylatora harmonicznego nie opisuje tylko jednego ruchu, lecz 
całą grupę ruchów harmonicznych, dla której ω=const a A i φ są dowolne. 
Jaki sens fizyczna ma stała ω?  

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

14

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

JeŜeli w równaniu 

)

cos(

ϕ

ω

+

=

t

A

x

 czas t powiększymy o stałą wartość równą 

ω

π

2

 to otrzymamy:  

 

)

cos(

]

2

)

cos[(

)

2

cos(

]

)

2

(

cos[

ϕ

ω

π

ϕ

ω

ϕ

π

ω

ϕ

ω

π

ω

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

t

A

t

A

t

A

t

A

x

 

 

Widzimy, Ŝe wychylenie w ruchu harmonicznym po czasie 

)

2

(

ω

π

+

t

 jest identyczne jak po czasie t. 

MoŜemy zatem wnioskować, Ŝe wielkość 

ω

π

2

 jest okresem drgań T. Po podstawieniu 

T

π

ω

2

=

 do 

wzoru 

m

k

=

2

ω

 otrzymujemy okres drgań oscylatora harmonicznego: 

k

m

T

π

2

=

. 

Z praw matematyki wiadomo, Ŝe funkcja cos przyjmuje wartości od -1 do 1, czyli x moŜe zmieniać się 
od –A do A.  
Wartość A będziemy nazywali amplitudą drgań oscylatora harmonicznego. 
 
Energia ruchu harmonicznego. 
 
Siła działająca na oscylator harmoniczny opisana jest wzorem 

Fdx

dU

−

=

 

stąd zmiana energii potencjalnej oscylatora harmonicznego: 

kxdx

dU

−

=

.  

Zatem energia potencjalna w kaŜdej chwili ruchu będzie równa: 

)

(

cos

2

1

2

1

2

2

2

ϕ

ω

+

=

=

=

=

∫

∫

t

kA

kx

kxdx

dU

U

 

Energia potencjalna będzie miała wartość maksymalną 

2

2

1

kA

U

U

MAX

=

=

 gdy 

1

)

cos(

=

+

ϕ

ω

t

 

czyli dla fazy ruchu 

0

)

(

=

+

ϕ

ω

t

.  

 
Energia potencjalna będzie miła wartość minimalną 

0

=

=

MIN

U

U

 gdy 

0

)

cos(

=

+

ϕ

ω

t

 czyli dla 

fazy ruchu 

2

)

(

π

ϕ

ω

=

+

t

. 

Energia kinetyczna oscylatora harmonicznego przybiera postać: 

)

(

sin

2

1

2

1

2

2

2

ϕ

ω

+

=

=

t

kA

mV

K

    

)

sin(

ϕ

ω

ω

+

−

=

=

t

A

dt

dx

V

 

Energia kinetyczna będzie miała wartość minimalną 

0

=

=

MIN

K

K

 gdy 

0

)

sin(

=

+

ϕ

ω

t

 czyli dla 

fazy ruchu 

0

)

(

=

+

ϕ

ω

t

. 

Energia kinetyczna będzie miała wartość maksymalną 

2

2

1

kA

K

K

MAX

=

=

 gdy 

1

)

sin(

=

+

ϕ

ω

t

 czyli 

dla fazy ruchu 

2

)

(

π

ϕ

ω

=

+

t

. 

 
Energia całkowita układu będzie równa sumie obu energii – potencjalnej i kinetycznej:  

2

2

2

2

2

2

1

)

(

cos

2

1

)

(

sin

2

1

kA

t

kA

t

kA

U

K

E

=

+

+

+

=

+

=

ϕ

ω

ϕ

ω

 

 
Całkowita energia mechaniczna oscylatora harmonicznego jest stała. 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

15

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

 

Przy maksymalnym wychyleniu energia K=0, energia U osiąga maksimum.  
W połoŜeniu równowagi energia U=0.  
 
Przykłady ruchu harmonicznego: 
1. Wahadło matematyczne jest to wyidealizowane ciało o masie punktowej zawieszone na cienkiej 
nierozciągliwej nici. Wytrącone z połoŜenia równowagi waha się w płaszczyźnie pionowej:  
 

 

 
 
Siła F nie jest proporcjonalna do wychylenia α lecz do sinα czyli nie jest to czysty ruch harmoniczny 
prosty. JeŜeli załoŜymy, Ŝe kąt odchylenia α jest mały, to sinα jest bardzo bliski α mierzonemu w 
radianach i dla małych wychyleń mamy do czynienia  z oscylatorem prostym. 
Otrzymujemy zatem:  

x

l

mg

l

x

mg

mg

mg

F

−

=

−

=

−

≅

−

=

α

α

sin

 

 

Zatem dla małych wychyleń wahadła siła F jest proporcjonalna do wychylenia. Stała 

l

mg

 określa 

wielkość k w równaniu 

kx

F

−

=

. Po podstawieniu jej do wzoru na okres drgań oscylatora 

harmonicznego otrzymujemy wzór na okres drgań wahadła matematycznego: 

g

l

mg

ml

T

m

π

π

2

2

=

=

 

Z wzoru wynika, Ŝe okres drgań wahadła matematycznego nie zaleŜy od masy, ale od długości 
ramienia.  
 
2. Wahadło fizyczne jest to dowolna bryła sztywna zawieszona tak, Ŝe moŜe wahać się dookoła osi 
przechodzącej przez bryłę sztywną. Wahadło matematyczne jest szczególnym przypadkiem wahadła 

Siła G jest sił

ą

 ci

ęŜ

ko

ś

ci masy m,  a siła R jest 

sił

ą

 napr

ęŜ

enia nici o długo

ś

ci l. Ruch wahadła 

powoduje siła styczna F, która jest składow

ą

 siły 

ci

ęŜ

ko

ś

ci:  

α

sin

mg

F

−

=

 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

16

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

fizycznego. Rozkład sił działających na środek masy R wahadła fizycznego przedstawiono na 
rysunku. 

 

PołoŜenie równowagi bryły sztywnej o masie m, to takie połoŜenie, w którym środek masy R leŜy na 
linii pionu przechodzącego przez punkt obrotu O (oś y). Powrót do połoŜenia równowagi ciała 
powoduje składowa momentu siły, opisanego wzorem wektorowym: 

d

G

M

×

=

 lub skalarnym: 

)

sin

)(

(

α

d

mg

M

−

=

 

 
Dla małych wartości wychyleń, kiedy sinα jest proporcjonalny do kąta α, składowa powodująca ruch 
wahadła fizycznego wynosi:  

α

mgd

M

−

=

 

 
Z drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego wiemy, Ŝe moment siły jest równy iloczynowi 
momentu bezwładności I

b

 i przyspieszenia kątowego: 

2

2

dt

d

I

I

M

b

b

α

ε

=

=

 

 

Po podstawieniu otrzymujemy: 

2

2

dt

d

I

mgd

b

α

α

=

−

 

 

α

α

b

I

gd

m

dt

d

m

2

2

=

 

 
Porównując ostatnie równanie z równaniem dla oscylatora harmonicznego widzimy, Ŝe:  

b

I

gd

m

k

2

=

 

 

Podstawienie do wzoru na okres T drgań oscylatora harmonicznego: 

mgd

I

k

m

T

b

F

π

π

2

2

=

=

 

 
Jest to wzór na okres drgań wahadła fizycznego,  gdzie (mgd) jest momentem kierującym wahadła, a 
I

b

 jest momentem bezwładności. 

JeŜeli podstawimy 

2

ml

I

b

=

, 

l

d

=

, to: 

g

l

mgl

ml

T

π

π

2

2

2

=

=

 

Widać więc, Ŝe wahadło matematyczne jest szczególnym przypadkiem wahadła fizycznego.  

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

17

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

Z porównania ze sobą wzorów otrzymamy długość zredukowaną wahadła fizycznego,  tzn. długość 
dla której okres wahadła fizycznego jest równy okresowi drgań wahadła matematycznego: 

g

l

mgd

I

b

π

π

2

2

=

 

 

md

I

l

b

=

 

 

JeŜeli interesuje nas tylko okres drgań wahadła fizycznego, to masę m tego układu moŜna uwaŜać za 
skupioną w punkcie odległym od osi obrotu O.  
Punkt ten będziemy nazywali środkiem wahadła fizycznego. 
 
 
WYKŁAD 5: 4.04.2006 

 
Składanie drgań harmonicznych 
 
RozwaŜmy składanie drgań harmonicznych odbywających się wzdłuŜ jednej prostej. 
Przypuśćmy,  Ŝe układ wykonuje dwa drgania harmoniczne o tym samym okresie, ale o róŜnych 
amplitudach i fazach: 

t

A

t

A

t

A

x

ω

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

sin

sin

cos

cos

)

cos(

1

1

1

1

1

1

1

−

=

+

=

 

t

A

t

A

t

A

x

ω

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

sin

sin

cos

cos

)

cos(

2

2

2

2

2

2

2

−

=

+

=

 

 
Wypadkowe drganie będzie miało następującą postać: 

)

cos(

sin

sin

cos

cos

sin

)

sin

sin

(

cos

)

cos

cos

(

2

2

1

1

2

2

1

1

2

1

ϕ

ω

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

+

=

−

=

=

+

−

+

=

+

=

t

A

t

A

t

A

t

A

A

t

A

A

x

x

x

 

 
Otrzymaliśmy drganie wypadkowe, matematycznie podobne do drgania składowego, z tym,  Ŝe 
amplitudę i fazę drgania wypadkowego określają wzory: 

2

2

1

1

cos

cos

cos

ϕ

ϕ

ϕ

A

A

A

+

=

 

2

2

1

1

sin

sin

sin

ϕ

ϕ

ϕ

A

A

A

+

=

 

 
Jeśli podzielimy stronami ostatnie równanie przez siebie to otrzymamy wyraŜenie na tangens stałej 
fazowej: 

2

2

1

1

2

2

1

1

cos

cos

sin

sin

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

A

A

A

A

tg

+

+

=

 

 

Podnosząc stronami równania do kwadratu i dodając jest stronami otrzymamy wyraŜenie na amplitudę 
drgania wypadkowego: 

)

cos(

1

2

2

1

2

2

2

1

ϕ

ϕ

−

+

=

A

A

A

A

A

 

 
Uogólniając ostatnie wzory na dowolną liczbę składowych drgań harmonicznych wchodzących w 
drganie wypadkowe otrzymamy: 

∑

∑

+

=

k

k

k

k

k

k

A

A

A

2

2

)

sin

(

)

cos

(

ϕ

ϕ

 

∑

∑

=

k

k

k

k

k

k

A

A

tg

ϕ

ϕ

ϕ

cos

sin

 

 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

18

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

RozwaŜmy teraz składowe drgań harmonicznych wzajemnie prostopadłych. Przypuśćmy, Ŝe dowolny 
punkt bierze udział jednocześnie w dwóch drganiach harmonicznych wzajemnie prostopadłych. 
 
 
1. załóŜmy, Ŝe początkowe fazy obu ruchów są jednakowe i równe zeru, natomiast amplitudy są 
dowolny:  

t

A

x

ω

cos

1

=

 

t

A

y

ω

cos

2

=

 

 
Szukamy równania toru takiego drgania: 

2

1

A

A

y

x

=

 lub 

x

A

A

y

2

1

=

 

 

Otrzymujemy drganie liniowo spolaryzowane o amplitudzie 

2

2

2

1

A

A

A

+

=

 

 

 
2. ZałóŜmy, Ŝe róŜnica faz wynosi π oraz, Ŝe amplitudy są dowolne:  

t

A

t

A

x

ω

π

ω

cos

)

cos(

1

1

−

=

+

=

 

t

A

y

ω

cos

2

=

 

 
Ruch ponownie odbywa się po linii prostej, ale w innych ćwiartkach układu współrzędnych w 

stosunku do przypadku pierwszego (

x

A

A

y

1

2

−

=

): 

 

 
 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

19

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

3. ZałóŜmy, Ŝe „x” wyprzedza „y” w fazie o 

2

π

, tzn. Ŝe początkowa róŜnica faz wynosi 

2

π

, natomiast 

amplitudy dowolne:  

t

A

t

A

x

ω

π

ω

sin

)

2

cos(

1

1

−

=

+

=

 

t

A

y

ω

cos

2

=

 

 
Po przekształceniach algebraicznych otrzymamy równanie toru, którym jest elipsa: 

1

2

2

2

2

1

2

=

+

A

y

A

x

 

 

4. ZałóŜmy,  Ŝe drgania przesunięte są w fazie o 

2

π

 i mają jednakowe amplitudy,  to równaniem toru 

będzie okrąg opisany równaniem: 

2

2

2

A

x

y

=

+

 

Takie dwa drgania dały nam drganie wypadkowe spolaryzowane kołowo: 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
Drgania tłumione 
 
Dotychczas zakładaliśmy, Ŝe na oscylator harmoniczny prosty nie działają Ŝadne siły tarcia lub inne 
siły tłumiące ruch. W takim przypadku rozpatrywany kaŜdy ruch harmoniczny drga nieskończenie 
długo. W rzeczywistości działanie np. sił tarcia powoduje, Ŝe ruch drgający będzie ruchem 
harmonicznym tłumionym. Oznaczymy siłę tarcia powodującą tłumienie przez F

t

. ZałóŜmy, Ŝe jest 

ona proporcjonalna do prędkości i skierowana przeciwnie do kierunku ruchu: 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

20

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

dt

x

d

k

F

t

1

−

=

 

 

Wyznaczamy równanie róŜniczkowe takiego ruchu: 

dt

x

d

k

F

x

k

dt

x

d

m

t

1

2

2

−

=

=

+

 

 
Otrzymujemy:  

0

1

2

2

=

+

+

x

m

k

dt

x

d

m

k

dt

x

d

 

 
Podstawiając oznaczenie: 

β

2

1

=

m

k

 

2

0

ω

=

m

k

 

 
Otrzymujemy równanie róŜniczkowe ruchu harmonicznego tłumionego: 

0

2

2

0

2

2

=

+

+

x

dt

x

d

dt

x

d

ω

β

 

 
gdzie ω

0

 jest częstotliwością własną drgań ruchu oscylatora nietłumionego, a β jest stałą tłumienia 

ruchu. 
JeŜeli stała tłumienia β jest mała, to rozwiązanie ostatniego równania jest następujące: 

)

cos(

0

ϕ

ω

β

+

=

−

t

e

A

x

t

 

2

2

0

β

ω

ω

−

=

 

 

t

e

A

β

−

0

 określa amplitudę ruchu tłumionego. 

 
PoniŜszy rysunek przedstawia zmiany wychylenia x oraz amplitudy drgania tłumionego w czasie. 

 

 
Wprowadzimy pojęcie logarytmicznego dekrementu tłumienia. 
Jest to logarytm naturalny stosunku dwóch amplitud oddalonych od siebie o okres T. 

T

e

e

A

e

A

T

t

A

t

A

T

T

t

t

β

β

β

β

=

=

=

+

=

∆

−

+

−

−

1

ln

ln

)

(

)

(

ln

)

(

0

0

 

 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

21

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

Drgania wymuszone 
 
Wiemy,  Ŝe drgania swobodne są tłumione w wyniku działania siły tarcia (zanikają w zaleŜności od 
wartości tej siły, czyli w zaleŜności od stałej tłumienia β). 
Przypuśćmy teraz, Ŝe jeszcze dodatkowo pobudzamy do drgań układ siłą zewnętrzną o częstotliwości 
drgań Ω. Doprowadzona z zewnątrz energia powoduje nietłumienie drgań i układ zaczyna drgań z 
częstotliwością Ω.  
Niech taką siłą pobudzającą drganie będzie opisana równaniem 

t

F

F

Ω

=

cos

0

. Wówczas równanie 

róŜniczkowe ruchu wymuszonego przyjmie postać: 

t

m

F

x

m

k

dt

x

d

m

k

dt

x

d

Ω

=

+

+

cos

0

1

2

2

 

 

Po podstawieniu  

β

2

1

=

m

k

, 

2

0

ω

=

m

k

, 

B

m

F

=

0

 otrzymamy równanie róŜniczkowe drgań 

harmonicznych wymuszonych: 

t

B

x

dt

x

d

dt

x

d

Ω

=

+

+

cos

2

2

0

2

2

ω

β

 

 
Rozwiązanie takiego równania będzie następujące: 

)

cos(

0

ϕ

+

Ω

=

t

x

x

 

2

2

2

2

2

0

0

4

)

(

Ω

+

Ω

−

=

β

ω

B

x

   

 

2

2

0

2

Ω

−

Ω

=

ω

β

ϕ

tg

 

W równaniach Ω jest częstotliwością drgań siły wymuszającej a ω

0

 jest częstotliwością własną drgań 

ruchu nietłumionego. Z rozwiązania równania róŜniczkowego widać, Ŝe ruch wymuszony jest 
opóźniony w fazie o φ w stosunku do siły wymuszającej drgania. 
 
Wyznaczymy teraz amplitudę rezonansową drgań wymuszonych oraz częstotliwość rezonansową. 
Zjawisko rezonansu mechanicznego występuje wówczas,  kiedy dla charakterystycznej wartości 
częstotliwości amplituda oscylacji osiąga wartość maksymalną. 
Częstotliwość rezonansu mechanicznego znajdujemy matematycznie poprzez wyznaczenie pochodnej 
amplitudy drgań wymuszonych względem częstotliwości drgań ruchu wymuszonego i przyrównanie 
jej do zera: 

0

)

4

)

(

(

2

2

2

2

2

0

0

=

Ω

+

Ω

−

Ω

=

Ω

β

ω

B

d

d

d

dx

 

 
Z warunku tego otrzymujemy wartość częstotliwości rezonansowej: 

2

2

0

2

β

ω

−

=

Ω

=

Ω

REZ

 

 

Po podstawieniu do równania:  

2

2

2

2

0

0

4

)

(

Ω

+

Ω

−

=

β

ω

B

x

 

 
Otrzymamy wyraŜenie na wychylenie x

0

 podczas rezonansu: 

2

2

0

0

2

β

ω

β

−

=

B

x

REZ

 

 
Wykres zaleŜności amplitudy drgań wymuszonych tłumionego oscylatora harmonicznego w 
zaleŜności od częstotliwości Ω dla róŜnych wartości stałej tłumienia β. 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

22

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

 

Dla wartości Ω = Ω

REZ

 przy stałej tłumienia β = 0, zachodzi zjawisko rezonansu, wówczas wartość 

amplitudy x

0

(Ω) dąŜy do nieskończoności.  

W rzeczywistości jednak zawsze występuje siła tłumiąca, tak Ŝe amplituda drgań, chociaŜ moŜe stać 
się bardzo duŜa, wręcz ogromna, pozostaje w praktyce wielkością skończoną.  
Wystarcza to, aby w takim przypadku układ drgający (np. most wiszący) ulegał zniszczeniu 
(zerwaniu).  
Zjawisko rezonansu dla wielu urządzeń mechanicznych, elektrycznych, akustycznych czy atomowych 
jest zjawiskiem bardzo istotnym.  
 
Ruch falowy. 
Rozchodzenie się fal w przestrzeni. 
 
Ze zjawiskiem ruchu falowego spotykamy się niemal we wszystkich działach fizyki. Znamy fale na 
wodzie, gdyŜ łatwo je zaobserwować. Istnieją fale radiowe, głosowe, świetlne czy fale 
elektromagnetyczne. RównieŜ jeden z działów mechaniki atomów i cząstek nosi nazwę mechaniki 
falowej. Istnieje równieŜ optyka falowa. 
 
Fale mechaniczne powstają w ośrodkach spręŜystych. Są konsekwencją wytrącenia pewnego elementu 
ośrodka spręŜystego z normalnego połoŜenia, co powoduje jego drganie dookoła połoŜenia 
równowagi.  
Dzięki właściwościom spręŜystym ośrodka zaburzenie to przenosi się z jednej warstwy do drugiej. W 
tym czasie sam ośrodek jako całość nie porusza się wraz z falą. Wspólną cechą wszystkich zjawisk 
falowych jest zdolność do przenoszenia energii. W ruchu falowym zatem transportowi energii nie 
towarzyszy transport materii.  Jest to zasadniczy fakt dotyczący ruchu falowego. 
 
MoŜemy wyróŜnić następujące rodzaje fal:  
- fale powierzchniowe, powstające na powierzchni cieczy lub ciała stałego polegające na wychyleniu 
się cząsteczek z połoŜenia równowagi 
- fale głosowe, powstające w ciałach stałych, cieczach i gazach, polegające na powstaniu na przemian 
ciśnień i podciśnień 
- fale elektromagnetyczne, mogą rozchodzić się w przestrzeni pozbawionej materii i polegają na 
zmianie pola elektrycznego na pole magnetyczne i odwrotnie 
 
Fale moŜemy podzielić równieŜ inaczej: 
- fale poprzeczne, gdy ruchy cząstek materii przenoszącej fale są prostopadłe do kierunku 
rozchodzenia się fali 
- fale podłuŜne, jeŜeli cząstki materii przenoszącej falę mechaniczną poruszają się do przodu lub do 
tyłu zgodnie z kierunkiem rozchodzenia się fali. 
 
Najprostszym przykładem ruchu falowego moŜe być fala rozchodząca się wzdłuŜ np. napiętego węŜa 
gumowego, którego jeden koniec jest sztywno zamocowany a drugi wprowadzony w ruch drgający. 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

23

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

Zakłócenie wywołane na jednym końcu węŜa gumowego przesuwa się z pewną prędkością wzdłuŜ 
całego węŜa.  
JeŜeli koniec węŜa gumowego zostanie wprowadzony w drganie określone funkcją:  

t

A

y

ω

cos

=

 

to dla kaŜdego innego punktu tego węŜa moŜna napisać podobne równanie,  przy czym następne 
wychylenie jest spóźnione w fazie w stosunku do drgania początkowego.  
Równania dla wychyleń znajdujących się w miejscach x

1

 i x

2

: 

)

cos(

1

1

kx

t

A

y

−

=

ω

 

)

cos(

2

2

kx

t

A

y

−

=

ω

 

gdzie k jest pewnym współczynnikiem opóźnienia fazowego zwanym wektorem falowym.  
 
 
WYKŁAD 6: 11.04.06 

 
Długością fali ruchu falowego będziemy nazywali odległość dwóch najbliŜszych punktów, które 
róŜnią się w fazie o 2π.  

1

2

x

x

−

=

λ

 

π

λ

ω

ω

ϕ

2

)

(

)

(

1

2

2

1

=

=

−

=

−

−

−

=

k

kx

kx

kx

t

kx

t

 

 
Związek definiujący wektor falowy k ma postać: 

λ

π

2

=

k

 

 
Podstawiamy do równania fali 

)

cos(

kx

t

A

y

−

=

ω

 wektor falowy k: 

)

(

2

cos

)

2

(

2

cos

)

2

cos(

λ

π

π

π

ω

π

λ

π

ω

x

T

t

A

x

t

A

x

t

A

y

−

=

−

=

−

=

 

x oznacza odległość dowolnego punktu od źródła fali 

 

Zastanówmy się z jaką prędkością rozchodzi się zaburzenie, czyli z jaką prędkością rozchodzi się faza 
fali ruchu falowego.  
Inaczej z jaką prędkością musi poruszać się obserwator wzdłuŜ kierunku rozchodzenia się fali, aby 
mógł obserwować zaburzenie w tej samej fazie. 
 
Prędkość tą obliczymy z warunku stałości fazy: 

const

x

T

t

=

−

λ

 

 

Po obustronnym zróŜniczkowaniu:  

0

=

−

λ

dx

T

dt

 

Stąd wyznaczona prędkość wynosi: 

T

v

dt

dx

λ

=

=

 

 

Prędkość tą nazywamy prędkością rozchodzenia się fazy fali lub prędkością falową. Po podstawieniu 
jej wartości do równania fali otrzymujemy: 

)

(

cos

)

cos(

)

2

2

cos(

)

(

2

cos

v

x

t

A

v

x

t

A

v

x

t

t

T

A

vT

x

T

t

A

y

−

=

−

=

−

=

−

=

ω

ω

ω

π

π

π

 

 

Ostatnie równanie przedstawia falę rozchodzącą się w kierunku dodatnim osi x z prędkością fazową v.  

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

24

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

Dla kierunku ujemnego osi x w równaniu pojawi się znak plus: 

)

(

cos

v

x

t

A

y

±

=

ω

 

 
Jest to równanie podobne do równania będącego rozwiązaniem równania róŜniczkowego dla 

oscylatora harmonicznego prostego, 

)

cos(

ϕ

ω

+

=

t

A

y

, w którym 

v

x

ω

ϕ

=

, czyli kiedy cząstka 

materii ośrodka powtarza drganie oscylatora w źródle z opóźnieniem fazowym.  
 
Interferencja fal. 
 
JeŜeli do dowolnego punktu ośrodka dociera w tym samym momencie kilka ciągów fal, to punkt ten 
doznaje wychylania będącego sumą poszczególnych wychyleń wywołanych przez dochodzące ciągi 
fal.  
Jest to tzw. Zasada niezakłóconej superpozycji tzn., Ŝe kaŜdy ciąg fal rozchodzi się w przestrzeni tak, 
jak gdyby nie było innych ciągów fal. Wszystkie zjawiska, które są wywołane przez niezakłócone 
nakładanie się fal nazywamy interferencją fal. 
 
RozwaŜmy interferencję dwóch ciągów fal mających te same amplitudy i częstotliwość, róŜniące się 
fazami i rozchodzące się w tym samym kierunku. 

)

(

cos

1

1

v

x

t

A

y

−

=

ω

 

)

(

cos

2

2

v

x

t

A

y

−

=

ω

 

Wypadkowe drganie wyznaczymy w następujący sposób: 

)

2

cos(

)

2

cos(

2

)

cos(

)

cos(

1

2

1

2

2

1

2

1

x

x

v

t

x

x

v

A

x

v

t

A

x

v

t

A

y

y

y

+

−

−

⋅

=

−

+

−

=

+

=

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

 

 

Wykorzystując zaleŜności 

T

v

λ

=

, 

T

π

ω

2

=

, 

λ

π

ω

=

v

2

 

otrzymamy 

)

)

(

cos(

)

(

cos

2

1

2

1

2

λ

π

ω

λ

π

x

x

t

x

x

A

y

+

−

−

=

. 

 

ZałóŜmy, Ŝe 

λ

π

)

(

cos

2

1

2

x

x

A

B

−

=

, 

2

1

2

x

x

x

+

=

, wówczas: 

 

)

2

(

cos

)

2

cos(

λω

π

ω

λ

π

ω

x

t

B

x

t

B

y

−

=

−

=

 

 

π

ω

2

1

T

=

 

 

)

2

2

(

cos

π

λ

π

ω

Tx

t

B

y

−

=

 

 

v

T

1

=

λ

 

)

(

cos

v

x

t

B

y

−

=

ω

 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

25

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

 
W wyniku obliczeń otrzymaliśmy równanie fali wypadkowej o amplitudzie B. 

 

λ

π

)

(

cos

2

1

2

x

x

A

B

−

=

 

 
Wyznaczymy teraz warunki ekstremalne dla amplitudy B: 
 

Amplituda B

MAX

=2A: 

1

)

(

cos

1

2

=

−

λ

π

x

x

,  

π

λ

π

n

x

x

=

−

)

(

1

2

,  

λ

n

x

x

=

−

1

2

 

Amplituda B=B

MAX

, gdy róŜnica dróg interferujących fal jest wielokrotnością długości fali, czyli gdy 

spotykają się w zgodnych fazach. Mamy wzmocnienie fali wypadkowej. 
 

Amplituda B

MIN

=0: 

0

)

(

cos

1

2

=

−

λ

π

x

x

,  

π

λ

π

)

2

1

(

)

(

1

2

+

=

−

n

x

x

,  

2

)

1

2

(

1

2

π

+

=

−

n

x

x

 

Amplituda B=B

MIN

, gdy róŜnica dróg interferujących fal jest nieparzystą wielokrotnością połowy 

długości fali, czyli gdy fale spotykają się w przeciwnych fazach. Mam osłabienie fali wypadkowej.  
 
 
 
Fale Stojące 
 
Gdy fala rozchodząca napotyka na falę odbitą i obie fale interferują, to wówczas powstaje fala stojąca.  
Jest to nakładanie się dwóch ciągów fal o tych samych amplitudach i częstotliwościach lecz 
rozchodzących się w przeciwnych kierunkach.  

)

cos(

1

v

x

t

A

y

ω

ω

−

=

 

)

cos(

2

v

x

t

A

y

ω

ω

+

=

 

 
Fala wypadkowa będzie opisana równaniem:  

t

B

t

v

x

A

y

y

y

ω

ω

ω

cos

'

)

cos(

)

cos(

2

2

1

=

−

=

+

=

 

 

Amplituda B’

MAX

=2A: 

2

λ

n

x

=

 

Amplituda B’

MIN

=0: 

4

)

1

2

(

λ

+

=

n

x

 

 

 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

26

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

Odległość pomiędzy punktami, dla których amplituda jest maksymalna wynosi 

2

λ

. Punkty te 

nazywamy strzałkami fali stojącej. 
 

Odległość pomiędzy punktami, dla których amplituda jest minimalna wynosi 

2

λ

. Punkty te nazywamy 

węzłami fali stojącej.  
 
 
 
WYKŁAD 7: 25.04.2006 
 
- transformacja Galileusza 
- transformacja Lorentza 
- pęd relatywistyczny 
- równowaŜność masy i energii 
 
Transformacja Galileusza 
 

Podstawowym prawem klasycznej mechaniki Newtona jest drugie prawo dynamiki 

dt

p

d

F

=

. Prawo 

to stosuje się w przypadku, gdy obserwator znajduje się w układzie odniesienia nie mającym 
przyspieszenia – czyli w układzie inercjalnym. Zasada względności sformułowana przez Newtona – 
ruchy ciał zawartych w danym obszarze są względem siebie takie same, niezaleŜnie od tego czy 
obszar ten znajduje się w ruchu, czy przesuwa się jednostajnie po linii prostej.  
 
To sformułowanie Newtona narzuca nam pytanie: czy prędkość bezwzględna ma sens fizyczny? Na 
podstawie dzisiejszej wiedzy moŜemy powiedzieć, Ŝe nie. Odpowiedź ta wiąŜe się ściśle z hipotezą 
Galileusza: Ŝe podstawowe prawa fizyki są jednakowe we wszystkich układach odniesienia, jeŜeli 
tylko te układy poruszają się względem siebie z prędkością stałą (bez przyspieszenia). 
 
Zastanówmy się, w jaki sposób dwaj obserwatorzy mierzą długość i przedział czasu w dwóch 
układach S(x,y,z), S’(x’,y’,z’) przedstawionych na rysunku. 

 

 
Układ S(x,y,z) jest inercjalnym układem współrzędnych 

)

0

( ≡

a

 a układ S’(x’,y’,z’) jest układem 

współrzędnych poruszających się względem układu S z prędkością V. 
Wykonajmy następujący eksperyment: Ustawmy zegary wzdłuŜ osi x i x’ układu S i S’ tak, by 
wskazywały ten sam czas. Porównajmy wskazania zegarów w układzie S’ z zegarami w układzie S, 
gdy układ S’ będzie się poruszał z prędkością V. JeŜeli zegar Z

A

’ w układzie S’ będzie zgadzał się z 

zegarem Z

A

 w układzie S to będzie zgadzał się teŜ z Z

B

 i następnymi.  

t=t’ 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

27

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

 
Podobne doświadczenie moŜna wykonać dla pomiaru długości L w obu układach posługując się tymi 
samymi zegarami. Otrzymamy podobny wynik: 

L=L’ 

 
Ostatnie równanie moŜemy ująć w postaci transformacji współrzędnych (x,y,z,t) w układzie S do 
współrzędnych (x’,y’,z’t’) w układzie S’. Zakładając, Ŝe w chwili t=0 i t’=0 układy pokrywają się, 
otrzymujemy: 
 
TG: 

 

'

' vt

c

x

+

=

 

'

y

y

=

  

't

t

=

   

'

z

z

=

 

 
Transformacja ta nosi nazwę transformacji Galileusza. Z jej pomocą moŜna pokazać, Ŝe podstawowe 
prawa fizyki zachowują niezmienną postać w układach odniesienia, do których stosuje się 
transformacja Galileusza, czyli za pomocą praw Newtona nie moŜna stwierdzić, czy układ odniesienia 
znajduje się w ruchu czy w spoczynku. 
 
Transformacja Lorentza  
 
Początek XX wieku  - pojawiają się równania Maxwella opisujące zjawiska elektryczne, magnetyczne 
i światło jako jedną całość. Okazuje się, ,Ŝe prawa Maxwella nie stosują się do transformacji 
Galileusza.  
 
Przypuśćmy, Ŝe samochód porusza się z prędkością v i Ŝe zostaje on wyprzedzony przez wiązkę 
ś

wiatła poruszającą się z prędkością c w nieruchomym układzie odniesienia S. Prędkość światła 

dt

dx

c

=

, jaką zmierzył obserwator w samochodzie będzie na mocy transformacji Galileusza 

dt

dx

c

'

' =

.  

Na podstawie transformacji Galileusza 

vt

x

x

=

=

'

 

v

c

dt

vt

d

dt

dx

vt

x

dt

d

c

−

=

−

=

−

=

)

(

)

(

'

 

 
Z ostatniego równania wynika, Ŝe prędkość światła jest róŜna w róŜnych układach odniesienia S i S’. 
Dziś wiemy, Ŝe wynik ten jest błędny. 
 
Potwierdzeniem słuszności praw Maxwella jest bardzo waŜne załoŜenie o niezmienniczości i stałości 
prędkości światła c we wszystkich układach odniesienia.  
 
Einstein wykazał, Ŝe w transformacji Galileusza korzystano z dwóch załoŜeń, które wówczas 
wydawały się oczywiste: 
- jednoczesność dwóch zdarzeń jest absolutna 
- długość dowolnego odcinka w róŜnych układach odniesienia jest taka sama 
 
ZałoŜenia te są oczywiście słuszne, ale tylko w mechanice Newtona, tzn. w przypadku opisu ruchu z 
prędkościami małymi w porównaniu do prędkości światła.  
Lorentz pokazał, Ŝe istnieje pewna transformacja, względem której równania Maxwella są 
niezmiennicze. Jednym z jej załoŜeń jest, Ŝe prędkość światłą jest niezmiennicza we wszystkich 
układach odniesienia. 
 
Wyobraźmy sobie punktowe źródła światła, który wysyła falę kulistą. Chcemy znaleźć taką 
transformację, przy której prędkość światła c będzie niezaleŜna od źródła i odbiornika światła. JeŜeli 
emisja światła rozpoczyna się w chwili t=0 w początku układu S(x,y,z,t) to równanie kulistego czoła 
fali ma postać: 

2

2

2

2

2

t

c

z

y

x

=

+

+

 

 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

28

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

Dla wygody załóŜmy: 
- w chwili t=0 równieŜ t’=0 
- początek układu S’(x’,y’,z’,t’) znajduje się w tym samym punkcie co źródło światła w układzie 
S(x,y,z,t) 
 
Wówczas dla obserwatora w układzie S’(x’,y’,z’,t’) poruszającego się z prędkością v względem 
układu S, równanie czoła fali ma postać podobną: 

2

2

2

2

2

'

'

'

'

t

c

z

y

x

=

+

+

 

 
Z transformacji Galileusza otrzymamy: 

2

2

2

2

2

)

(

t

c

z

y

vt

x

=

+

+

−

 

 
a po przekształceniu: 

2

2

2

2

2

2

2

2

t

c

t

v

vxt

z

y

x

=

+

−

+

+

 

 
Z załoŜenia mamy 

2

2

2

2

2

t

c

z

y

x

=

+

+

 

 
Ostatnie wzory róŜnią się o czynnik 

)

2

(

2

2

t

v

xvt

+

−

 

 
Transformacja Galileusza przestaje być słuszna. Musimy zatem ją zmienić, aby wyeliminować ten 
czynnik. 
Zastosujemy transformację w postaci: 
x’=x-vt y’=y   

z’=z 

 

t’=t+fx 

 
 
Otrzymamy: 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x

f

c

tfx

c

t

c

t

v

xvt

z

y

x

+

+

=

+

−

+

+

. 

 

Wyrazy zawierające czynnik xt znikną, gdy przyjmiemy,  Ŝe: 

2

c

v

f

−

=

 czyli 

x

c

v

t

t

2

'

−

=

 

Po dalszych przekształceniach otrzymamy: 

)

1

(

)

1

(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

c

v

t

c

z

y

c

v

x

−

=

+

+

−

 

Z załoŜenia mamy 

2

2

2

2

2

t

c

z

y

x

=

+

+

. 

 
Obydwa równania mają postacie zbliŜone. 
 

Aby równania były jednakowe musimy wyeliminować mnoŜnik 

)

1

(

2

2

c

v

−

 w wyrazach stojących przy 

składowych x

2

 i t

2

. 

Wystarczy więc przyjąć, Ŝe: 

2

2

1

'

c

v

vt

x

x

−

−

=

 

2

2

2

1

'

c

v

x

c

v

t

t

−

−

=

 

 
Otrzymaliśmy teraz nową transformację Lorentza, dla której prędkość światła c jest niezmiennicza i 

która przy załoŜeniu, Ŝe 

c

v

 dąŜy do zera przechodzi w transformację Galileusza. 

Po przekształceniu wyrazów w ostatnich wzorach otrzymujemy transformację Lorentza w postaci:  
 

x=x’+vt’ 
y=y’ 
z=z’ 
t=t’ 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

29

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

TL: 

2

2

1

'

'

c

v

vt

x

x

−

−

=

  y=y’  z=z’ 

2

2

2

1

'

'

c

v

x

c

v

t

t

−

−

=

 

 
Zwróćmy uwagę na pewne fakty związane z tym układem równań. Współrzędne przestrzenne i 
czasowe całkowicie się przeplatają. Czas jest róŜny dla obserwatorów znajdujących się w układach S i 

S’. JeŜeli dokonamy przejścia granicznego (

v

c

 dąŜy do zera) równania Lorentza przechodzą w 

równania Galileusza. 
NajwaŜniejsze wnioski wynikające z transformacji Lorentza: 
- prędkość światła jest niezmiennicza względem transformacji Lorentza 
- przekształcenie Lorentza daje wzajemną zaleŜność przestrzeni i czasu (w mechanice klasycznej 
przestrzeń i czas traktuje się jako pojęcia niezaleŜne) 
 
Względność równoczesności 
 
Zastanówmy się teraz jakie są konsekwencje transformacji Lorentza. 
Przypuśćmy, Ŝe w nieruchomym układzie współrzędnych S dwa zjawiska odbywają się równocześnie 
(t

1

=t

2

) w róŜnych miejscach (x

1

 i x

2

). Wtedy w układzie ruchomym S’ czasy t

1

’ i t

2

’ będą miały postać: 

2

1

2

1

1

1

'

β

−

−

=

x

c

v

t

t

  

2

2

2

2

2

1

'

β

−

−

=

x

c

v

t

t

 

 
Zobaczmy teraz, czy równoczesne zjawiska w układzie S będą teŜ równoczesne w układzie S’, oraz 
czy (

0

'

'

2

1

=

−t

t

). 

0

1

1

1

'

'

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

=

−

+

−

−

=

−

−

−

−

−

=

−

β

β

β

x

c

v

x

c

v

t

t

x

c

v

t

x

c

v

t

t

t

 

 

Stąd otrzymamy 

0

)

(

1

2

2

=

− x

x

c

v

 

 

Wiemy, Ŝe 

0

2

>

c

v

 oraz z załoŜenia, Ŝe 

2

1

x

x

≠

, zatem ostatnie równanie nie moŜe być słuszne, 

poniewaŜ 

0

)

)(

(

1

2

2

≠

− x

x

c

v

. Wynika stąd, Ŝe nasze załoŜenie (

0

'

'

2

1

=

−t

t

) jest błędne, czyli:  

'

'

2

1

t

t

≠

 

 
To oznacza, Ŝe dwa zjawiska zachodzące równocześnie w róŜnych miejscach układu nieruchomego S 
nie są równoczesne w układzie ruchomym S’.  
 
WydłuŜenie czasu 
 
JeŜeli z miejsca x

1

 w nieruchomym układzie S wysyłane są sygnały w odstępach czasu 

1

2

t

t

t

−

=

∆

, to 

jaki odstęp czasu będzie w układzie ruchomym S’? 
 

F i z y k a  

 

S t r o n a

 | 

30

 

P o l i t e c h n i k a   P o z n a ń s k a  

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

'

'

1

'

'

1

'

'

β

β

β

−

−

=

−

−

−

−

−

=

−

=

∆

t

t

x

c

v

t

x

c

v

t

t

t

t

 

 

2

1

'

β

−

∆

=

∆

t

t

 

 

Z załoŜenia 

1

<

=

β

c

v

 oraz 

1

1

2

<

−

β

 więc 

1

1

'

2

<

−

=

∆

∆

β

t

t

 

Zatem 

t

t

∆

<

∆ '

 

Czyli odstępy czasu ∆t w układzie nieruchomym są dla obserwatora ruchomego wydłuŜone. Ten 
wniosek moŜna sformułować inaczej: czas w układzie ruchomym upływa wolniej niŜ w układzie 
nieruchomym. WydłuŜeniem czasu moŜna wytłumaczyć fakt, ze czas Ŝycia szybko poruszających się 
cząstek elementarnych jest dłuŜszy niŜ czas Ŝycia cząstek w spoczynku.  
Odwróćmy teraz eksperyment myślowy i obliczmy 

1

2

'

t

t

t

−

=

∆

. Otrzymamy taki sam wynik obliczeń: 

2

1

'

β

−

∆

=

∆

t

t

 czyli 

't

t

∆

<

∆

 

NaleŜy zatem wprowadzić pojęcie czasu własnego dla danego układu nieruchomego S lub ruchomego 
S’.  

2

1

β

τ

−

=

t

 

Ze wzoru widać, Ŝe zegary poruszające się wraz z obserwatorem wskazują czas najkrótszy. Zjawisko 
to bywa czasem nazywane paradoksem bliźniąt. Bliźnięta po rozstaniu się w wyniku podróŜy w 
róŜnych układach i z róŜnymi prędkościami po ponownym spotkaniu się nie będą juŜ w tym samym 
wieku. To z bliźniąt, które zostało na Ziemi (układ nieruchomy) będzie starsze.  
 
Skrócenie długości 
 
Wyobraźmy sobie, Ŝe dokonujemy pomiaru długości pręta w układzie nieruchomym S. Przy pomiarze 
długości pręta odczytujemy w określonym momencie czasu t

1

=t

2

 miejsca połoŜenia końców pręta x

1

 i 

x

2

. Długość pręta w układzie S będzie róŜnicą (x

2

-x

1

).  

Przy pomiarze tego samego pręta w układzie ruchomym S’ odczytujemy w chwili t

1

’=t

2

’ współrzędny 

x

1

’ i x

2

’. 

Obliczamy długość pręta w obu układach: 

- obserwator nieruchomy 

2

1

2

2

1

1

2

2

2

1

2

1

'

'

1

'

'

1

'

'

β

β

β

−

−

=

−

+

−

−

+

=

−

x

x

vt

x

vt

x

x

x

 

- obserwator ruchomy 

2

1

2

2

1

1

2

2

2

1

2

1

1

1

'

'

β

β

β

−

−

=

−

+

−

−

+

=

−

x

x

vt

x

vt

x

x

x

 

Obserwator nieruchomy (x

2

-x

1

)>(x

2

’-x

1

’) 

Obserwator ruchomy  (x

2

’-x

1

’)>(x

2

-x

1

) 

 
Wynika stąd, Ŝe pręt ma największą długość w układzie, w którym sam spoczywa. 
Przykład: występowanie skrócenia długości sprawdzono eksperymentalnie na przykładzie liniowego 
akceleratora elektronów. Na wyjściu akceleratora prędkość elektronu wynosiła 0,999975c i kaŜdy 1m 
długości akceleratora dla obserwatora poruszającego się z elektronem wyglądał jak 7,1mm.  
 
WYKŁAD 8: 9.05.2006

 

 
Pęd relatywistyczny 
 
Transformacja Lorentza wprowadza istotny związek między czasem t a współrzędnymi x, y, z. Z 
ruchem, czyli ze zmianą połoŜenia w czasie wiąŜe się zmiana czasu. Współrzędnych nie moŜna 

1

<

=

β

c

v

 

1

1

2

<

−

β