Analiza obwodów liniowych pobudzanych okresowymi

przebiegami niesinusoidalnymi

Szereg Fouriera

WARUNKI DIRICHLETA

1. W ka

ż

dym przedziale o długo

ś

ci T funkcja jest bezwzgl

ę

dnie całkowalna

( )

∞

<

∫

t

t

f

T

d

2. W ka

ż

dym przedziale o długo

ś

ci T funkcja ma co najmniej sko

ń

czon

ą

liczb

ę

maksimów i minimów

3. Funkcja mo

ż

e mie

ć

w przedziale T co najwy

ż

ej sko

ń

czon

ą

liczb

ę

punktów

nieci

ą

gło

ś

ci, przy czym w ka

ż

dym punkcie nieci

ą

gło

ś

ci istniej

ą

granice –

lewostronna

i

prawostronna

Aby funkcja okresowa odkształcona mogła by

ć

przedstawiona w postaci

szeregu Fouriera musi spełnia

ć

warunki Dirichleta

( )

(

)

k

m

t

k

A

A

t

f

k

α

ω

+

+

=

∑

0

0

sin

gdzie

T

π

ω

2

0

=

Posta

ć

rozwini

ę

cia

2

0

0

C

A

=

-

wartość stała, nazywana

harmoniczną zerową

(

)

1

0

sin

1

α

ω

+

t

A

m

-

funkcja sinusoidalna o takiej samej

pulsacji jak funkcja wymuszająca

( )

t

f

nosi nazwę pierwszej lub podstawowej harmonicznej

Rozpatrzymy k-t

ą

harmoniczn

ą

k

m

k

k

A

C

α

sin

=

k

m

k

k

A

B

α

cos

=

(

)

=

+

k

m

t

k

A

k

α

ω

0

sin

(

)

=

+

k

m

t

k

A

k

α

ω

0

sin

t

k

A

t

k

A

k

m

k

m

k

k

0

0

sin

cos

cos

sin

ω

α

ω

α

+

=

Oznaczymy:

i otrzymujemy

:

t

k

B

t

k

C

k

k

0

0

sin

cos

ω

ω

+

=

wówczas

:

2

2

k

k

m

C

B

A

k

+

=

( )

(

)

∑

∞

=

+

+

=

1

0

0

0

cos

sin

2

k

k

k

t

k

C

t

k

B

C

t

f

ω

ω

II posta

ć

rozwini

ę

cia w szereg Fouriera

Z tych zale

ż

no

ś

ci wynika

:

k

k

k

B

C

ctg

ar

=

α

PEWNE SYMETRIE

1. FUNKCJE PRZEMIENNE

Spełniają warunek:

( )

0

d

0

=

∫

t

t

f

T

wartość średnia za
okres równa się zeru.

t

f (t)

0

Spełniają warunek:

2. FUNKCJE PARZYSTE

0

=

k

B

( )

( )

t

f

t

f

=

−

wówczas:

dla

K

,

2

,

1

,

0

=

k

t

f (t)

2

T

0

2

T

−

Spełniają warunek:

t

T

f (t)

2

T

0

-T

2

T

−

3. FUNKCJE NIEPARZYSTE

0

=

k

C

( )

( )

t

f

t

f

−

=

−

wówczas:

dla

K

,

2

,

1

,

0

=

k

Spełniają warunek:

4. FUNKCJE ANTYSYMETRYCZNE

,

0

0

=

C

( )

t

f

t

f

−

=













+

2

π

wówczas:

dla

K

,

2

,

1

,

0

=

k

,

0

2

=

k

B

0

2

=

k

C

Obliczanie współczynników szeregu

Fouriera

( )

;

d

2

0

0

t

t

f

T

C

T

∫

=

2

0

0

C

A

=

( )

;

d

1

2

0

0

0

t

t

f

T

C

A

T

∫

=

=

( )

t

t

k

t

f

T

C

T

t

t

k

d

cos

2

0

0

0

ω

∫

+

=

( )

t

t

k

t

f

T

B

T

t

t

k

d

sin

2

0

0

0

ω

∫

+

=

oraz

F.

nieparzysta

i antysymetr.

oraz

F. parzysta

i antysymetr.

Funkcje

antysymetr.

Funkcje

nieparzyste

Funkcje

parzyste

( )

( )

t

f

t

f

=

−

( )

( )

t

f

t

f

−

=

−

( )

t

f

T

t

f

−

=













+

2

( )

( )

t

f

t

f

=

−

( )

t

f

T

t

f

−

=













+

2

( )

t

f

T

t

f

−

=













+

2

( )

∫

=

2

0

0

d

cos

4

T

k

t

t

k

t

f

T

C

ω

( )

∫

=

2

0

0

d

cos

4

T

k

t

t

k

t

f

T

C

ω

( )

∫

=

2

0

0

,

d

cos

4

T

k

t

t

k

t

f

T

C

ω

( )

∫

=

4

0

0

d

cos

8

T

k

t

t

k

t

f

T

C

ω

( )

∫

=

4

0

0

d

cos

8

T

k

t

t

k

t

f

T

B

ω

K

,

2

,

1

=

k

K

,

3

,

1

=

k

K

,

3

,

1

=

k

K

,

2

,

1

=

k

( )

∫

=

2

0

0

d

sin

4

T

k

t

t

k

t

f

T

B

ω

K

,

3

,

1

=

k

( )

( )

t

f

t

f

−

=

−

Twierdzenie Parsevala

Jeżeli i są funkcjami okresowymi o tym samym
okresie T spełniającymi warunki Dirichleta, to zachodzi
zależność:

( )

t

f

( )

t

g

( ) ( )

k

k

k

k

k

k

T

t

t

g

f

g

f

t

t

g

t

f

T

∑

∑

∫

∞

−∞

=

∗

∞

−∞

=

∗

+

=

=

d

1

0

0

w szczególności gdy

( ) ( )

t

g

t

f

=

( )

∑

∫

∞

−∞

=

+

=

k

k

T

t

t

f

t

t

f

T

2

2

d

1

0

0

Warto

ść

skuteczna funkcji okresowej niesinusoidalnej:

( )

∫

=

T

sk

t

t

f

T

A

0

2

d

1

Warto

ść

skuteczna k-tej harmonicznej

2

k

m

k

A

A

=

∑

∞

=

+

=

1

2

0

k

k

sk

A

A

A

Warto

ść

skuteczna funkcji f(t)

:

Wartość średnia za okres funkcji

:

( )

t

f

( )

t

t

f

T

A

T

d

1

0

0

∫

=

Warto

ść ś

rednia z modułu funkcji

( )

t

f

( )

t

t

f

T

A

T

ś

r

d

1

0

∫

=

Współczynnik szczytu

s

sk

A

A

s

max

=

dla sinusoidy

2

=

s

Współczynnik kształtu

k

ś

r

sk

A

A

k

=

dla sinusoidy

11

,

1

≅

k

Współczynnik zawarto

ś

ci

harmonicznych h:

L

L

+

+

+

+

+

=

2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

A

A

A

A

A

h

dla sinusoidy

0

=

h

Współczynnik odkształcenia

k

0

:

L

+

+

+

=

2

2

2

1

2

0

1

0

A

A

A

A

k

dla sinusoidy

1

0

=

k

Współczynnik zawarto

ś

ci k-tej harmonicznej h

k

1

A

A

h

k

k

=

Obwody liniowe zasilane odkształconymi

napi

ę

ciami i pr

ą

dami

ź

ródłowymi

W oparciu o rozwiniecie funkcji okresowej odkształconej w ci

ą

g funkcji

sinusoidalnie zmiennych

ź

ródło generuj

ą

ce takie napi

ę

cie lub pr

ą

d

przedstawiamy jako ci

ą

g

ź

ródeł połaczonych szeregowo ( napi

ę

ciowe)

lub równolegle ( pr

ą

dowe)

Do analizy obwodu wykorzystujemy

metod

ę

superpozycji

.

Rozwi

ą

zujemy układ dla ka

ż

dej harmonicznej napi

ę

cia zasilaj

ą

cego

( lub pr

ą

du zasilaj

ą

cego ) oddzielnie a wyniki otrzymane dla ka

ż

dej

harmonicznej sumujemy .

Jeżeli

(

)

∑

∞

=

+

+

=

l

0

0

sin

k

u

m

k

k

t

k

U

U

u

ϕ

ω

(

)

k

k

i

k

m

t

k

I

I

i

ϕ

ω

+

+

=

∑

∞

=

0

l

0

sin

oraz

to

oraz

u

1

u

n

U

0

i

1

i

n

I

0

Wpływ indukcyjności i pojemności na wyższe

harmoniczne prądu i napięcia

Liniowa cewka o indukcyjności L

Liniowy kondensator o pojemności C

k

U

U

U

L

L

k

U

I

I

m

m

m

m

m

m

k

k

k

1

1

1

1

0

0

⋅

=

⋅

=

ω

ω

1

1

1

1

0

0

m

m

m

m

m

m

m

m

U

U

U

U

k

C

U

C

k

U

I

I

k

k

k

k

>

=

=

ω

ω

dla wyższych harmonicznych k >1, więc

1

1

m

m

m

m

U

U

I

I

k

k

<

∫

=

T

t

p

T

P

0

d

1

i

u

p

⋅

=

moc chwilowa

Z

tw. Parsevala

wynika:

=

⋅

=

∫

t

i

u

T

P

T

d

1

0

∑

∞

−∞

=

∗

⋅

k

k

k

W

V

Moc okresowych pr

ą

dów niesinusoidalnych

Moc czynn

ą

dla pr

ą

dów okresowych – definiuje wzór

gdzie:

∑

∫

∞

−∞

=

∗

⋅

=

⋅

=

k

k

k

T

W

V

t

i

u

T

P

0

d

1

k

k

W

V ,

- są współczynnikami zespolonej postaci

szeregu Fouriera

2

j

k

k

u

u

k

B

C

V

−

=

2

j

k

k

i

i

k

B

C

W

−

=

(1)

(2)

dla napięcia

dla prądu

rozpatrzymy wyra

ż

enie

=

⋅

+

⋅

∗

−

−

∗

k

k

k

k

W

V

W

V

=

+

∗

∗

k

k

k

k

W

V

W

V

{

}

∗

=

k

k

W

V

Re

2

Po podstawieniu (1) i (2) otrzymujemy

=

⋅

+

⋅

∗

−

−

∗

k

k

k

k

W

V

W

V

(

)

k

k

k

k

i

u

i

u

C

B

C

C

+

2

1

(3)

poniewa

ż

:

sin

k

k

k

u

m

u

U

C

ϕ

=

sin

k

k

k

i

m

i

I

C

ϕ

=

cos

k

k

k

u

m

u

U

B

ϕ

=

cos

kz

k

k

i

m

i

I

B

ϕ

=

prawą stronę wyrażenia (3) możemy zapisać w postaci:

( )

(

+

⋅

=

k

k

k

k

i

m

u

m

I

U

ϕ

ϕ

sin

sin

2

1

3

)

=

⋅

k

k

k

k

i

m

u

m

I

U

ϕ

ϕ

cos

cos

(

)

=

−

=

k

k

k

k

i

u

m

m

I

U

ϕ

ϕ

cos

2

1

4

3

42

1

k

ϕ

k

m

m

k

k

I

U

ϕ

cos

dla składnika zerowego:

0

0

0

0

I

2

2

0

0

⋅

=

⋅

=

∗

U

C

C

W

V

i

u

Podsumowuj

ą

c

k

k

k

k

I

U

I

U

P

ϕ

cos

1

0

0

⋅

⋅

+

⋅

=

∑

∞

=

podobnie

k

k

k

k

I

U

Q

ϕ

sin

1

⋅

⋅

=

∑

∞

=

natomiast

sk

sk

p

I

U

S

⋅

=

moc pozorna

Jednak tu nie obowiązuje

mocy

2

2

2

p

S

Q

P

≤

+

2

2

2

2

p

S

T

Q

P

=

+

+

T – moc zniekształcenia