dr Krzysztof Kisiel
Macierze i wyznaczniki
Definicja 1. Niech
A
b˛edzie macierz ˛
a wymiaru
m × n
. Macierz ˛
a transpono-
wan ˛
a do macierzy
A
nazywamy macierz
E
wymiaru
n × m
tak ˛
a, ˙ze
a
ij
= e
ji
,
gdzie
1 ≤ i ≤ m
oraz
1 ≤ j ≤ n
.
Macierz transponowan ˛
a oznaczamy
A
T
.
Wyznaczniki
Definicja 2. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj˛e, która
ka˙zdej macierzy
kwadratowej
A = [a
ij
]
przyporz ˛
adkowuje liczb˛e rzeczywist ˛
a
detA
.
Funkcja ta okre´slona jest nast˛epuj ˛
acym wzorem indukcyjnym:
1. Je˙zeli macierz
A
ma stopie´n
n = 1
, to
detA = a
11
2. Je˙zeli macierz
A
ma stopie´n
n ≥ 2
, to
detA = (−1)
1+1
a
11
W
11
+ (−1)
1+2
a
12
W
12
+ ...(−1)
1+n
a
1n
W
1n
,
gdzie
W
ij
oznacza macierz stopnia
n − 1
powstał ˛
a z macierzy
A
poprzez
skre´slenie
i
- tego wiersza i
j
- tej kolumny. Macierz t˛e nazywamy minorem
elementu
a
ij
.
detA
n×n
=det
a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2j
. . . a
2n
...
... ... ... ... ...
a
i1
a
i2
. . . a
ij
. . . a
in
...
... ... ... ... ...
a
n1
a
n2
. . . a
nj
. . . a
nn
=
a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2j
. . . a
2n
...
... ... ... ... ...
a
i1
a
i2
. . . a
ij
. . . a
in
...
... ... ... ... ...
a
n1
a
n2
. . . a
nj
. . . a
nn
Dopełnienie algebraiczne
Definicja 3. Niech
A
b˛edzie macierz ˛
a kwadratow ˛
a stopnia
n ≥ 2
. Dopełnie-
niem algebraicznym elementu
a
ij
macierzy
A
nazywamy liczb˛e:
W
∗
ij
= (−1)
i+j
W
ij
gdzie
W
ij
jest minorem elementu
a
ij
.
Rozwini˛ecie wyznacznika w sensie Laplace’a
Twierdzenie 4. Niech
A = [a
ij
]
b˛edzie macierz ˛
a kwadratow ˛
a stopnia
n ≥ 2
,
i
,
j
- ustalone liczby naturalne takie, ˙ze
1 ≤ i, j ≤ n
. Wówczas:
1. wyznacznik jest równy rozwini˛ecie wzgl˛edem
i
- tego wiersza:
detA = a
i1
W
∗
i1
+ a
i2
W
∗
i2
+ ...a
in
W
∗
in
.
lub równowa˙znie
2. wyznacznik jest równy rozwini˛eciu wzgl˛edem
j
- tej kolumny
detA = a
1j
W
∗
1j
+ a
2j
W
∗
2j
+ ...a
nj
W
∗
nj
.
Własno´sci wyznaczników (Operacje niezmiennicze na wyznacznikach)
•
a
11
a
12
. . . 0 . . . a
1n
a
21
a
22
. . . 0 . . . a
2n
...
... ... ... ... ...
a
i1
a
i2
. . . 0 . . . a
in
...
... ... ... ... ...
a
n1
a
n2
. . . 0 . . . a
nn
= 0
Wyznacznik macierzy zmieni warto´s´c na przeciwn ˛
a, je˙zeli przestawimy mi˛edzy
sob ˛
a dwie kolumny lub dwa wiersze.
•
. . . a
1i
. . . a
1j
. . .
. . . a
2i
. . . a
2j
. . .
...
...
...
...
...
. . . a
ni
. . . a
1j
. . .
= −
. . . a
1j
. . . a
1i
. . .
. . . a
2j
. . . a
2i
. . .
...
...
...
...
...
. . . a
nj
. . . a
1i
. . .
Wyznacznik, w którym dwie kolumny lub dwa wiersze s ˛
a proporcjonalne jest
równy zeru.
•
. . . a
1i
. . . αa
1i
. . .
. . . a
2i
. . . αa
2i
. . .
...
...
...
...
...
. . . a
ni
. . . αa
1i
. . .
= 0
Wyci ˛
aganie wspólnego czynnika przed wyznacznik
•
a
11
a
12
. . . ca
1j
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . ca
2j
. . . a
2n
...
... ...
...
. . .
...
a
i1
a
i2
. . . ca
ij
. . . a
in
...
... ...
...
. . .
...
a
n1
a
n2
. . . ca
nj
. . . a
nn
= c
a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2j
. . . a
2n
...
... ... ... ... ...
a
i1
a
i2
. . . a
ij
. . . a
in
...
... ... ... ... ...
a
n1
a
n2
. . . a
nj
. . . a
nn
•
ca
11
ca
12
. . . ca
1j
. . . ca
1n
ca
21
ca
22
. . . ca
2j
. . . ca
2n
...
...
. . .
...
. . .
...
ca
i1
ca
i2
. . . ca
ij
. . . ca
in
...
...
. . .
...
. . .
...
ca
n1
ca
n2
. . . ca
nj
. . . ca
nn
= c
n
a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2j
. . . a
2n
...
... ... ... ... ...
a
i1
a
i2
. . . a
ij
. . . a
in
...
... ... ... ... ...
a
n1
a
n2
. . . a
nj
. . . a
nn
Dodanie do elementów dowolnej kolumny(wiersza) odpowiadajacych jej ele-
mentów innej kolumny (innego wiersza) nie zmienia warto´sci wyznacznika.
a
11
a
12
. . . a
1i
. . . a
1j
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2i
. . . a
2j
. . . a
2n
...
...
...
...
...
...
. . .
...
a
n1
a
n2
. . . a
ni
. . . a
nj
. . . a
nn
=
=
a
11
a
12
. . . a
1i
+ ca
1j
. . . a
1j
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2i
+ ca
2j
. . . a
2j
. . . a
2n
...
...
...
...
...
...
. . .
...
a
n1
a
n2
. . . a
ni
+ ca
nj
. . . a
nj
. . . a
nn
Własno´s´c t˛e wykorzystujemy chc ˛
ac doprowadzi´c dowolny wiersz lub dowoln ˛
a
kolumn˛e do wektora, który ma same elementy zerowe z wyj ˛
atkiem jednego
elementu. To z kolei ułatwia obliczenie wyznacznika metod ˛
a Laplace’a.
Inne metody obliczania niektórych wyznaczników
1. Sarrusa (
n ≤ 3
)
2. Chi
´
o
(
a
11
6= 0
)
Macierz odwrotna
Definicja 5. Niech
A
b˛edzie macierz ˛
a stopnia
n
. Macierz ˛
a odwrotn ˛
a do macie-
rzy
A
nazywamy macierz oznaczon ˛
a przez
A
−1
, która spełnia warunek:
AA
−1
= A
−1
A = I
n
,
gdzie
I
n
jest macierz ˛
a jednostkow ˛
a stopnia
n
.
Uwaga 6. Je˙zeli macierz
A
ma macierz odwrotn ˛
a, to nazywamy j ˛
a odwracaln ˛
a.
Macierz
A
jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy
detA 6= 0
.
Macierz osobliwa i nieosobliwa
Definicja 7. Macierz kwadratow ˛
a nazywamy macierz ˛
a osobliw ˛
a, gdy
detA = 0.
W przeciwnym przypadku macierz
A
nazywamy nieosobliw ˛
a.
Twierdzenie 8.
(Posta´c macierzy odwrotnej)
1.Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest
nieosobliwa.
2.Je˙zeli macierz
A = [a
ij
]
stopnia
n
jest nieosobliwa, to
A
−1
=
1
detA
[W
∗
ij
]
T
1≤i,j≤n
,
gdzie
[W
∗
ij
]
1≤i,j≤n
oznacza macierz dopełnie´n algebraicznych. Element
W
∗
ij
to
dopełnienie algebraiczne elementu
a
ij
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
macierze i wyznaczniki lista nr Nieznany
Macierze i wyznaczniki, Politechnika Poznańska, Elektrotechnika, Matematyka, semestr 2
Macierze i wyznaczniki
30.Rząd macierzy. Wyznacznik macierzy i jego własności, Studia, Semestr VI, licencjat
11 Macierze i wyznaczniki
ZAdania z matematyki, MACIERZE I WYZNACZNIKI-2010, MACIERZE I WYZNACZNIKI - ZADANIA
C 01 Macierze i wyznaczniki
Macierze i wyznaczniki zadania
Mieloszyk E Macierze, wyznaczniki i układy równań
Macierze i wyznaczniki
macierze i wyznaczniki, wyklad Nieznany
Inf macierze wyznaczniki
macierze i wyznaczniki, lista zadań
6-MACIERZE, WYZNACZNIKI, UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH, MACIERZE I WYZNACZNIKI
Macierze i Wyznaczniki, A) STUDIA INŻYNIERSKIE, Matematyka, matematyka
1 MACIERZE I WYZNACZNIKI
Macierze i Wyznaczniki2, A) STUDIA INŻYNIERSKIE, Matematyka, matematyka
Macierze wyznaczniki Wykład 3
3 Macierze i wyznaczniki
więcej podobnych podstron