GEOMETRIA I GRAFIKA IN

ŻYNIERSKA

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI

KATEDRA URZĄDZEŃ ELEKTRYCZNYCH I TECHNIKI ŚWIETLNEJ

Przykładowe zadania z rozwi

ązaniami - część 4

Zad. 15. Przeciąć sześcian płaszczyzną
określoną trzema punktami leżącymi na
jego krawędziach

αααα

(1,2,3)

.

Trzy punkty określające płaszczyznę tnącą
są usytuowane na krawędziach różnych
ś

cian sześcianu. Bez elementów

pomocniczych nie można narysować
ż

adnej krawędzi należącej do przekroju.

Rys. 9.1. Rzuty główne
bryły powstałej przez
wycięcia z sześcianu

Rys. 15.1. Aksonometria sześcianu (kawalerska
lewoskrętna) z zaznaczonymi punktami należącymi do
płaszczyzny tnącej

3

y

2

x

1

z

Aby wyznaczyć dowolną krawędź
przecięcia płaszczyzny tnącej i płaszczyz-
ny wyznaczonej przez ścianę sześcianu
musimy znaleźć przynajmniej dwa punkty
należące jednocześnie do obu płaszczyzn.

Prosta przechodząca przez punkty

1

i

3

należy do płaszczyzny tnącej (bo punkty

1

i

3

do niej należą), nie należy jednak do

ż

adnej ściany sześcianu. Wyznaczając rzut

tej prostej na płaszczyznę poziomą -
punkty

1’

i

3’

są rzutami poziomymi

punktów

1

i

3

- możemy wyznaczyć punkt

P

będący punktem przebicia płaszczyzny

poziomej przez prostą

1

,

3

.

Punkt

P

należy jednocześnie do płaszczyzny tnącej i do płaszczyzny poziomej. Punkt

2

tak-

ż

e należy jednocześnie do płaszczyzny tnącej i do płaszczyzny poziomej. Przez punkty

P

i

2

będzie więc przechodzić krawędź przecięcia się podstawy sześcianu (leżącej na płaszczyźnie
poziomej) i płaszczyzny tnącej.
Rysując prostą przechodzącą przez punkty

2

i

P

wyznaczamy punkt

4

leżący na krawędzi

podstawy sześcianu i należący do przekroju (rys. 15.3).

A(1/2, 1, 1/2)

B(1, 1/2, 1/2)

Rys. 15.2. Punkt P jest punktem przebicia płaszczyz-
ny poziomej przez prostą wyznaczoną punktami 1 i 3.
Prosta 1,3 i punkt P należą do płaszczyzny tnącej

1

1'

x

z

2

y

3

3'

P

Po wyznaczeniu punktu

4

otrzymujemy drugi punkt (obok punktu

3

) należący jednocześnie

do płaszczyzny tnącej i ściany sześcianu leżącej na płaszczyźnie

zy

. Możemy zatem narysować

odcinek

3

-

4

należący do przekroju sześcianu.

Na ścianie sześcianu równoległej do płaszczyzny

zy

, krawędź przecięcia musi być równoległa

do odcinka

3

-

4

. Ponieważ na krawędzi tej ściany mamy punkt

1

, możemy przez ten punkt

poprowadzić krawędź równoległą do odcinka

3

-

4

. Otrzymujemy punkt

5

należący do przekroju.

Rys. 15.3. Odcinek 2-4 jest krawędzią przecięcia
podstawy sześcianu przez płaszczyznę tnącą

Rys. 15.4. Kolejne krawędzie: 3-4 - krawędź prze-
cięcia ściany sześcianu przylegającej do płaszczyz-
ny zy i równoległa do niej krawędź 1-5

y

3

3'

P

4

z

2

1

1'

x

2

4

P

3'

z

5

1'

x

1,5 || 3,4

1

3

y

Na górnej ścianie sześcianu możemy narysować kolejną krawędź. Odcinek

1

-

6

musi być

równoległy do odcinka

2

-

4

- ściany, na których leżą, są do siebie równoległe.

Figurę będącą przekrojem sześcianu zadaną płaszczyzną, otrzymamy po narysowaniu krawędzi

3

-

6

i

3

-

5

. Odcinki te leżą na ścianach równoległych, muszą więc też być do siebie równoległe.

Rys. 15.5. Kolejne etapy wykreślania aksonometrii przekroju sześcianu zadaną płaszczyzną

2

1,6 || 2,4

1,5 || 3,4

z

5

1

6

4

P

3'

3

y

x

1'

5

P

4

2

x

2,5 || 3,6

1,5 || 3,4
1,6 || 2,4

6

1

z

1'

y

3

3'

Rysunek 15.6 przedstawia bryły powstałe przez przecięcie sześcianu zadaną płaszczyzną

Rys. 15.6. Widok brył powstałych przez przecięcie sześcianu zadaną płaszczyzną

2

4

x

3

z

y

5

1

6

5

z

3

x

y

4

2

6

1

Aby wykonać przekrój bryły, musimy
wyznaczyć krawędzie przecięć płaszczyzny
tnącej z poszczególnymi ścianami bryły.

Aby wyznaczyć te krawędzie przecięć,
musimy znaleźć punkty leżące na krawędziach
sześcianu i należące do płaszczyzny tnącej.

Możemy skorzystać ze sposobu pokazanego
w zadaniu poprzednim. Wyznaczymy rzuty
punktów

1

i

2

na płaszczyznę poziomą.

Przeprowadzimy przez punkty

1

i

2

prostą

a

, a

przez rzuty tych punktów

1’

i

2’

rzut

a’

tej

prostej na płaszczyznę

xy

.

Rys. 16.1. Aksonometria kawalerska prawoskrętna sześcianu. Przez punkty
leżące na ścianach sześcianu przechodzi płaszczyzna tnąca

Zad. 16. Przeciąć sześcian płaszczyzną określoną trzema punktami leżącymi na jego ścianach

αααα

(1,2,3)

, przy czym:

punkt

1

należy do ściany sześcianu przylegającej do płaszczyzny

zy

,

punkt

2

należy do ściany sześcianu przylegającej do płaszczyzny

zx

,

punkt

3

należy do podstawy sześcianu (płaszczyzna

xy

).

z

y

x

1

2

3

Prosta

a

przeprowadzona przez punkty

1

i

2

i jej rzut

a’

wyznaczony przez punkty

1’

i

2’

,

przecinają się w punkcie przebicia płaszczyzny

xy

przez prostą

a

. Na rysunku 16.2, punkt ten

oznaczony jest literą

P

- należy on także do płaszczyzny tnącej.

Do płaszczyzny tnącej i do płaszczyzny podstawy należy jednocześnie także punkt

3

. Przez

punkty

P

i

3

będzie przechodzić krawędź przecięcia podstawy sześcianu przez płaszczyznę

tnącą. Otrzymujemy punkty

4

i

5

leżące na krawędziach sześcianu i należące do przekroju.

Rys. 16.2. Prosta a i jej rzut poziomy a’ na
płaszczyznę xy, wyznaczają punkt przebicia
płaszczyzny xy przez tą prostą

Rys. 16.3. Przez punkt P i punkt 3 przechodzi
krawędź przecięcia podstawy sześcianu
przez płaszczyznę tnącą

αααα

.

z

y

x

P

1

a'

2

a

3

1'

2'

2'

5

4

1'

3

a

2

a'

1

P

x

y

z

Punkt

4

i punkt

2

należą jednocześnie do ściany sześcianu i do płaszczyzny tnącej - wyzna-

czają więc kolejną krawędź przecięcia. Otrzymujemy punkt

6

leżący na krawędzi sześcianu

i należący jednocześnie do płaszczyzny tnącej i do płaszczyzny

zy

. Na ścianie sześcianu

przylegającej do płaszczyzny

zy

leży punkt

1

należący także do płaszczyzny tnącej. Możemy

wyznaczyć więc kolejną krawędź i punkt

7

leżący na krawędzi sześcianu.

Rys. 16.4. Przez punkty 4 i 2 przechodzi
krawędź przecięcia ściany sześcianu
przylegającej do płaszczyzny xz

5

1'

3

a

a'

1

P

x

y

z

2

4

6

2'

5

2'

2

4

7

6

z

y

x

P

1

a'

a

3

1'

Rys. 16.5. Punkty 1 i 6 wyznaczają kolejną
krawędź przecięcia sześcianu przez płasz-
czyznę tnącą

Łącząc punkt

7

i punkt

5

otrzymujemy ostatni bok figury będącej szukaną aksonometrią

przekroju sześcianu zadaną płaszczyzną

αααα

.

Rysunek 16.7. Pokazuje jedną z części przeciętego sześcianu.

Rys. 16.6. Aksonometria przekroju
sześcianu zadaną płaszczyzną

Rys. 16.7. Jedna z części sześcianu
przeciętego zadaną płaszczyzną

2'

1'

3

a

a'

1

P

x

y

5

2

4

7

6

a

3

1'

2'

6

7

4

5

2

z

y

x

P

1

a'

Zad. 17. Przeciąć sześcian płaszczyzną

αααα

= aA

określoną przez prostą

a

leżącą w

płaszczyźnie podstawy (

xy

) i punkt

A

leżący na płaszczyźnie

zy

.

Rys. 17.1. Aksonometria wojskowa prawoskręt-
na sześcianu. Przez punkt A i prostą a przecho-
dzi płaszczyzna tnąca

αααα

z

A

y

a=a'

x

Płaszczyzna

αααα

Przecina płaszczyznę xy

w prostej

a

, przecina też osie

x

i

y

leżące

w tej płaszczyźnie. Punkt przecięcia
płaszczyzny tnącej z osią

y

przynależy też

do płaszczyzny

zy

. Oznaczmy ten punkt

literą

B

(rys. 17.2). Do płaszczyzny

zy

należy też dany punkt

A

.

Przez punkty

A

i

B

przechodzi krawędź przecięcia płaszczyzny tnącej

αααα

z płaszczyzną

zy

.

Płaszczyzna tnąca przecina ścianę sześcianu leżącą na płaszczyźnie

zy

w punktach

1

i

2

.

Przedłużając krawędź podstawy sześcianu do przecięcia z prostą

a

otrzymujemy punkt

C

leżący na tej prostej. Punkt ten należy do tej samej płaszczyzny co ściana czołowa sześcianu
i punkt

1

leżący na krawędzi tej ściany. Możemy narysować więc odcinek

1-4

należący do

przekroju bryły.

Rys. 17.2. Płaszczyzna tnąca przecina płasz-
czyznę określoną osiami zy w prostej przecho-
dzącej przez punkty A i B

B

y

2

1

z

A

x

a=a'

Rys. 17.3. Punkt 4 wyznacza prosta przechodzą-
ca przez punkty 1 i C

Kolejne etapy wykonywania przekroju to wykreślanie krawędzi równoległych na ścianach
równoległych:
krawędź

4-5 || 1-2

(rys. 17.4),

krawędź

5-6 || 1-4

(rys. 17.5).

Rys. 17.4. Prosta przechodząca przez punkty 1 i 5
jest równoległa do prostej przechodzącej przez
punkty 1 i 2

Rys. 17.5. Prosta przechodząca przez punkty 5 i 6
jest równoległa do prostej przechodzącej przez
punkty 1 i 4

4-5 || 1-2

4-5 || 1-2
5-6 || 1-4

Figurę będącą aksonometrią przekroju sześcianu kończy narysowanie odcinka łączącego
punkty

6

i

2

.

Rys. 17.6. Figura 1-4-5-6-2-1 jest aksonometrią
przekroju sześcianu zadaną płaszczyzną

4-5 || 1-2
5-6 || 1-4

Rys. 17.7. Bryła powstała po odcięciu części
sześcianu zadaną płaszczyzną

Zad. 18. Przeciąć bryłę płaszczyzną

αααα

(1,2,3)

określoną przez trzy punkty leżące na jej

krawędziach.

Rys. 18.1. Aksonometria wojskowa
prawoskrętna bryły. Przez punkty 1, 2
i 3 przechodzi płaszczyzna tnąca

αααα

Rys. 18.2. Płaszczyzna tnąca przecina
płaszczyznę określoną osiami zx w pros-
tej przechodzącej przez punkty 2 i 3

Punkty

2

i

3

leżą na

krawędziach tej
samej ściany bryły.
Odcinek

2-3

jest

zatem krawędzią
przecięcia się tej
ś

ciany z płaszczyz-

ną tnącą.

Prowadząc przez
punkty

2

i

3

prostą,

otrzymamy punkty
przecięcia się
płaszczyzny tnącej
z osiami

x

i

z

(punkty

A

i

B

).

Rys. 18.3. Prosta przechodząca przez
punkty A i 1 jest krawędzią przecięcia
płaszczyzny xy przez płaszczyznę tnącą

Rys. 18.4. Prosta przechodząca przez
punkty B i 1 jest krawędzią przecięcia
płaszczyzny zy przez płaszczyznę tnącą

Krawędź

1-4

należąca do przekroju jest częścią prostej przechodzącej przez punkty

A

i

1

. Punkty

te leżą na płaszczyźnie

xy

do której należy także podstawa przecinanej bryły. Krawędź

5-6

wyznaczamy prowadząc prostą przez punkty

B

i

1

należące do płaszczyzny

zy

.

Wiedząc, że na ścianach równoległych krawędzie przecięć też są równoległe, punkt

5

można było

wyznaczyć także prowadząc krawędź

3-5

równolegle do

1-4

. Łącząc punkty

2

i

4

otrzymujemy

kolejną krawędź należącą do aksonometrii przekroju.
Następną krawędź znajdujemy prowadząc przez punkt

6

prostą równoległą do

2-3

Rys. 18.5. Odcinki 3-5 i 2-4 należą do
aksonometrii przekroju bryły

Rys. 18.6. Odcinek 6-7 || 2-3 należy do
aksonometrii przekroju bryły

3-5 || 1-4

2-4 || 5-6

3-5 || 1-4

2-4 || 5-6

6-7 || 2-3

Łącząc punkty

1

i

7

- leżą na krawędziach tej samej ściany - otrzymujemy ostatni fragment

szukanego przekroju.

3-5 || 1-4

2-4 || 5-6

6-7 || 2-3

3-5 || 1-4

2-4 || 5-6

6-7 || 2-3

Rys. 18.7. Odcinek 7-1 należy do
aksonometrii przekroju bryły

Rys. 18.8. Aksonometria przekroju bryły
zadaną płaszczyzną

Dzi

ękuję za uwagę