CPS 1

2006/2007

-1 -

ODWROTNE PRZEKSZTAŁCENIE ZET

Rozpatrzymy zagadnienie odtwarzania dyskretnego sygnału czasowego x[n] z jego

transformaty X(z). Do wyznaczenia ciągu x[n] w sposób jednoznaczny musimy znać obszar
zbieżności (OZ).


Odwracanie X(z) przez rozkład na ułamki proste


Analizując systemy LTI zwykle transformatę ZET przebiegów otrzymujemy w postaci
funkcji wymiernej zmiennej z

P

-1

P

.

Niech dana będzie transformata sygnału dyskretnego x[n] w postaci:

( )

( )

( )

1

0

1

1

1

1

M

M

N

N

B z

X z

A z

b

b z

b z

a z

a z

−

−

−

−

=

+

+

+

=

+

+

+

"

"

oraz stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku tzn.
M<N.


Jeżeli M

N

≥ to musimy zastosować dzielenie wielomianów aby przedstawić X(z) w formie

następującego wyrażenia:

( )

( )

( )

0

M N

k

k

k

B z

X z

f z

A z

−

−

=

=

+

∑



Wówczas stopień wielomianu w liczniku

( )

B z



jest teraz mniejszy od stopnia wielomianu w

mianowniku.

CPS 2

2006/2007

-2 -

Metoda rozkładu na ułamki proste pozwala na wyznaczenie transformaty odwrotnej wyrażenia:

( )

( )

B z

A z



,

Transformatę odwrotną sumy

0

M N

k

k

k

f z

−

−

=

∑

otrzymamy wykorzystując transformatę delty

[ ]

1

n

δ

←⎯→

Z

oraz właściwość przesunięcia ciągu

w dziedzinie czasu.

W wielu problemach praktycznych transformata X(z) wyrażona jest jako stosunek

wielomianów zmiennej z a nie z

P

-1

P

.

W takich przypadkach możemy stosować metodę rozkładu na ułamki proste jeżeli

wcześniej przekształcimy X(z) do postaci stosunku wielomianów o zmiennej z

P

-1

P

.

Konwersji tej możemy dokonać poprzez wyciągnięcie przed nawias w liczniku

największej potęgi z, a w mianowniku wyciagnięcie przed nawias największej potęgi z razem
ze współczynnikiem przy tej potędze.

U

Przykład:

Jeżeli transformata ma postać

( )

2

3

2

2

1

3

6

9

z

z

X z

z

z

0

−

+

=

−

+

W liczniku wyciągniemy przez nawias

z

P

2

P

a w mianowniku

3z

P

3

P

.

( )

(

)

(

)

2

1

3

2

1

2

1

1

3

2 2

10

3

1 2

3

1

2 2

10

3

1 2

3

z

z

z

X z

z

z

z

z

z

z

z

z

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

+

=

−

+

−

+

⎛

⎞

=

⎜

⎟

−

+

⎝

⎠

2

3

Rozkład na ułamki proste stosuje się do wyrażenia w nawiasie, natomiast czynnik

1

1

3

z

−

jest uwzględniany później z zastosowaniem właściwości przesuwania ciągu w czasie.

CPS 3

2006/2007

-3 -

Rozkład na ułamki proste funkcji w postaci

( )

1

0

1

1

1

1

M

M

N

N

b

b z

b z

X z

a z

a z

−

−

−

−

+

+

+

=

+

+

+

"

"

wykonuje się poprzez przekształcenie wielomianu w mianowniku wyrażenia X(z) do postaci
iloczynu wielomianów pierwszego stopnia

( )

1

0

1

1

1

1

2

(1

)(1

) (1

)

M

M

N

b

b z

b z

X z

d z

d z

d z

−

−

−

−

+

+

+

=

−

−

−

"

"

1

−

gdzie d

B

k

B

są biegunami funkcji X(z).

Jeżeli wszystkie

bieguny są jednokrotne

to możemy funkcję X(z) zapisać w postaci sumy

ułamków prostych w postaci:

( )

1

2

1

1

1

2

1

1

1

N

N

A

A

A

X z

d z

d z

d z

1

−

−

−

=

+

+

+

−

−

−

"

Współczynniki obliczamy z zależności:

(

)

( )

1

1

i

i

i

A

d z

X Z

−

z d

=

= −

Odwrotną transformację ZET każdego składnika osobno wyznaczamy wykorzystując pary
transformat prostych ciągów:

( )

[ ]

1

1

1

k

A

n

Z

k

A d

n

OZ z

k

k

d z

k

d

←⎯→

>

−

−

Im

Re

0

dk

( )

[

]

1

1

1

1

n

Z

k

k

k

k

A

k

A d

n

OZ z

d z

−

−

− − ←⎯→

<

−

d

Im

Re

0

dk

CPS 4

2006/2007

-4 -

Relacje pomiędzy obszarem zbieżności (OZ) związanym z X(z) i każdym biegunem

determinują, które składniki są transformatami ciągów lewostronnych, a które prawostronnych.


Jeżeli

biegun d

B

i

B

jest wielokrotny o krotności r

, to otrzymamy r składników rozwinięcia

związanych z tym biegunem:

(

)

(

)

1

2

2

1

1

1

,

, ,

1

1

1

i

i

ir

r

i

i

i

A

A

A

d z

d z

d z

−

−

−

−

−

−

"

Współczynniki obliczamy z zależności:

(

)

(

)

( )

1

,

1

1

!

i

r m

r

i m

i

r m

z d

d

A

d z

r m

dz

−

−

−

X z

=

⎧

⎫

=

−

⎨

⎬

−

⎩

⎭

Transformację odwrotną otrzymamy wykorzystując pary:

(

) (

)

(

)

( )

[ ]

(

)

,

,

1

1

1

1

1 !

1

n

i m

Z

m

i m

i

i

i

A

n

n m

A

d

n

OZ z

m

d z

−

+

+ −

d

←⎯→

>

−

−

"

Im

Re

0

dk

(

) (

)

(

)

( )

[

]

(

)

,

,

1

1

1

1

1

1 !

1

n

i m

Z

m

i m

i

i

i

A

n

n m

A

d

n

OZ z

m

d z

−

+

+ −

−

− − ←⎯→

<

−

−

"

d

Im

Re

0

dk

Położenie biegunów względem OZ funkcji

X

(

z

) determinuje to , która transformata

odwrotna, lewostronna czy prawostronna zostanie wybrana do odwrócenia składnika.

Aby poprawnie wyznaczyć odwrotną transformatę ZET należy po rozłożeniu funkcji

X(z) na ułamki proste określić dla każdego składnika jego obszar zbieżności

.

Polega to na określeniu dla każdego bieguna jego położenia względem obszaru zbieżności
funkcji

X

(

z

).

• Jeżeli OZ funkcji

X

(

z

) ma promień większy niż biegun musimy wybrać

prawostronną

transformatę odwrotną.

• Jeżeli OZ funkcji X(z) na promień mniejszy niż biegun należy wybrać

lewostronną

transformatę odwrotną dla tego składnika.

CPS 5

2006/2007

-5 -

U

Przykład:

Należy wyznaczyć odwrotną transformatę ZET przy zadanym obszarze zbieżności

( )

(

)(

)(

)

1

2

1

1

1

1

2

1

1

2

1

1 2

1

z

z

X z

OZ

z

z

z

z

−

−

−

−

−

−

+

=

<

−

−

−

<

Zastosujemy rozkład na ułamki proste:

( )

(

) (

) (

)

3

1

2

1

1

1

2

1

1 2

1

A

A

A

X z

z

z

−

−

=

+

+

−

−

−

1

z

−

(

)

( )

(

)(

)

(

)(

)

1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

1

1

1 2

1

1 2 4

1

1 2 2 1 2

z

z

A

z

X Z

z

z

z

z

−

=

−

−

=

−

−

= −

−

+

=

−

−

− +

=

=

− ⋅

−

(

)

( )

(

)(

)

(

)(

)

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

1

1

2

4

1

1

1

2

2

2

1 2

1

1

1

1

2

1

1

z

z

A

z

X Z

z

z

z

z

−

=

−

−

=

−

−

= −

−

+

=

−

−

− +

=

=

− ⋅

−

(

)

( )

(

)(

)

(

)(

)

1

3

1

1

2

1

1

1

1

2

1

2

1

1

1

1 2

1 1 1

2

1

1 1 2 1

z

z

A

z

X Z

z

z

z

z

−

=

−

−

=

−

−

= −

−

+

=

−

−

− +

=

= −

− ⋅

− ⋅

Po wyznaczeniu współczynników

( )

(

) (

) (

)

1

1

1

2

1

2

1

1 2

1

X z

z

z

−

−

1

2

z

−

−

=

+

+

−

−

−

CPS 6

2006/2007

-6 -

Znajdziemy teraz odwrotną transformatę ZET dla każdego składnika X(z) biorąc pod

uwagę położenie biegunów względem obszaru zbieżności. Obszar zbieżności OZ oraz
położenie biegunów przestawia rysunek.

Im{z}

Re{z}

1/2

2

1

0

1. Obszar zbieżności ma promień

większy

niż biegun

1

2

z

=

, więc dla pierwszego

składnika X(z) zastosujemy

prawostronną

transformację odwrotną

( )

[ ]

1

2

1

1

2

1

1

1

n

Z

n

z

−

←⎯→

−

2. Obszar zbieżności ma promień mniejszy niż biegun

2

z

= , więc dla drugiego

składnika X(z) zastosujemy lewostronną transformację odwrotną

( )

[

]

1

2

2 2 1

1

1 2

n

Z

n

z

−

−

− − ←⎯→

−

3. Obszar zbieżności ma promień większy niż biegun

1

z

=

, więc dla trzeciego składnika

X(z) zastosujemy prawostronną transformację odwrotną

[ ]

1

2

2 1

1

Z

n

z

−

−

− ⋅

←⎯→

−

Sumując poszczególne składniki otrzymujemy ostatecznie

[ ]

( )

[ ]

( )

[

]

[ ]

1

2

1

2 2 1

1

2 1

n

n

x n

n

n

=

−

− − − ⋅ n

CPS 7

2006/2007

-7 -

U

Przykład:

Wyznaczyć odwrotną transformatę ZET

( )

3

2

2

10

4

4

1

2

2

4

z

z

z

X z

OZ z

z

z

−

−

+

=

<

−

−

Bieguny transformaty ZET znajdują się w punktach z=-1 oraz z=2. Obszar zbieżności oraz
położenie biegunów przestawia rysunek.

Im{z}

Re{z}

2

-1

0

Na wstępie należy przekształcić X(z) do postaci ilorazu wielomianów zmiennej z

P

-1

P

. Dokonamy

tego wyprowadzając przed nawias w liczniku z

P

3

P

i mianowniku 2z

P

2

P

( )

(

)

(

)

3

1

2

2

1

2

1

2

3

1

2

1 10

4

4

2

1

2

1

1 10

4

4

2

1

2

z

z

z

z

X z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

+

=

−

−

−

−

+

⎛

⎞

=

⎜

⎟

−

−

⎝

⎠

3

Czynnik

1

2

z uwzględnimy później stosując właściwość przesunięcia w dziedzinie czasu.

CPS 8

2006/2007

-8 -

)

Stosując dzielenie wielomianów redukujemy stopień wielomianu w liczniku:

(

) (

1

3

2

1

2

1

3

2

1

2

1

2

1

1

2

3

4

4

10

1 : 2

4

2

2

6

8

1

6

3

3

5

2

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

+

−

−

+

−

−

+

+

−

−

−

+

−

−

+

−

−

1

( )

(

)(

)

1

1

1

2

1

1

1

1

2 5

2

3

1

2

2 5

2

3

1

1 2

z

W z

z

z

z

z

z

z

z

−

−

−

−

−

−

−

−

− −

= −

+ +

−

−

− −

= −

+ +

+

−

Dokonamy rozkładu na ułamki proste

(

)(

) (

)

1

1

1

1

2 5

1

3

1

1 2

1

1 2

z

z

z

z

−

−

−

−

− −

−

=

+

+

−

+

−

1

z

−

( )

(

)

1

1

1

1

3

2

3

1

1 2

W z

z

OZ z

z

z

−

−

−

1

−

= −

+ +

+

<

+

−

Promień obszaru zbieżności jest mniejszy niż promienie wszystkich biegunów, dlatego
zastosujemy lewostronną transformatę odwrotną:

[ ]

[

]

[ ]

( )

[

]

( )

[

]

2

1

3

1 1

1

3 2 1

1

n

n

w n

n

n

n

n

δ

δ

= −

− +

− −

− − +

− −

Ale

( )

( )

1

2

X z

zW z

=

Zgodnie z własnością przesunięcia w czasie

[ ]

[

]

1

2

1

x n

w n

=

+

Ostatecznie

[ ]

[ ]

[

]

( )

[

]

( )

[

]

1

1

3

1

2

2

1

1

1

2

3 2

1

2

n

n

x n

n

n

n

n

δ

δ

+

+

= −

+

+ − −

− − +

− −

CPS 9

2006/2007

-9 -

Odwracanie X(z) przez rozwinięcie w szereg potęgowy (sygnały jednostronne).

Jeżeli przedstawimy funkcję X(z) w postaci szeregu potęgowego zmiennej z

P

-1

P

lub z to

zgodnie z definicją transformaty ZET, współczynniki przy z

P

-n

P

są wartościami kolejnych próbek

sygnału x[n].

Metoda jest ograniczona dla przebiegów jednostronnych

, tzn. jeżeli obszar zbieżności

definiuje zależność |z|>a lub |z|<a.

• Jeżeli OZ jest |z|<a to X(z) jest szeregiem potęgowym zmiennej z i generuje ciąg

lewostronny.

• Jeżeli OZ jest |z|>a to X(z) jest szeregiem potęgowym zmiennej z

P

-1

P

i generuje ciąg

prawostronny.

Szereg potęgowy otrzymamy dzieląc wielomian w liczniku przez wielomian w mianowniku
X(z).

U

Przykład:

Wyznaczymy odwrotną transformatę ZET funkcji

( )

1

1

2

1

1

2

2

1

z

X z

OZ z

z

−

−

+

=

>

−

stosując rozwinięcie w szereg potęgowy

Im{z}

Re{z}

0

1/2

CPS 10

2006/2007

-10 -

Stosujemy dzielenie wielomianów zmiennej z

P

-1

P

, ponieważ obszar zbieżności dotyczy sygnału

prawostronnego:

1

1

1

2

1

1

2

2

:1

2

2

z

z

z

z

−

−

−

−

+

−

−

1

1

1

1

2

1

1

1

2

2

2 2

2

:1

2

2

2

z

z

z

z

z

z

z

z

−

−

−

−

−

−

−

−

+

+

−

−

−

1

2

3

1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

2

2

3

1

2

3

1

2

2 2

..

2

: 1

2

2

2

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

.

+

+

+

+

+

−

−

−

−

Zatem obliczony szereg potęgowy

( )

1

2

3

1

2

2 2

X z

z

z

z

−

−

−

= +

+

+

+"

odpowiada sygnałowi:

[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]

1

2

0

0

0

2

1

2

2

1

3

x n

dla n

x

x

x

x

=

<

=

=

=

=

#

CPS 11

2006/2007

-11 -

Jeżeli zmienimy obszar zbieżności dla tej samej funkcji

1

2

z

< rozwijamy X(z) względem

zmiennej z:

Im{z}

Re{z}

0

1/2

Rozwijamy funkcję w szereg potęgowy zmiennej z

1

1

1

2

1

2

2 :

1

2

4

z

z

z

−

−

−

−

+

−

+

−

2

3

1

1

1

2

1

2

2

2 8

16

32

2 :

1

2

4

4 8

8

8

16

16

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

−

−

−

− −

−

−

+

+

−

+

−

−

−

"

Otrzymujemy

( )

2

3

2 8

16

32

X z

z

z

z

= − −

−

−

+"

CPS 12

2006/2007

-12 -

wyrażenie to jest transformatą przebiegu:

[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]

0

0

0

2

1

8

2

16

3

32

x n

dla n

x

x

x

x

=

>

= −

− = −
− = −
− = −

#

Metoda wykorzystująca szereg potęgowy do odwrócenia transformaty dotyczy również

wyrażeń, które nie są w postaci ilorazu wielomianów. Pokazuje to następujący przykład:

U

Przykład

Należy wyznaczyć ciąg, którego transformata ZET na postać

( )

2

z

X z

e OZ z

=

= ∞

Wykorzystamy zależność

0

!

k

a

k

a

e

k

∞

=

=

∑

Stąd funkcję X(z) można przedstawić w postaci szeregu:

( )

( )

2

0

2

0

!

!

k

k

k

k

z

X z

k

z

k

∞

=

∞

=

=

=

∑

∑

którego transformata odwrotna jest ciągiem lewostronnym przyjmującym następujące wartości:

[ ]

( )

2

0

0

1

!

n

dla n

i nieparzyste

x n

pozostale

>

⎧

⎪

= ⎨

⎪⎩

CPS 13

2006/2007

-13 -

Odwracanie X(z) z zastosowaniem metody residuów

Oznaczmy przez C dowolny okrąg położony wewnątrz pierścienia o promieniach a i b:

a

z

b

< <

i środku w punkcie z=0. Obliczymy całkę krzywoliniową z funkcji X(z) wzdłuż tego okręgu.

Na podstawie właściwości liniowości możemy zmieniać kolejność operacji całkowania

i sumowania.

( )

[ ]

[ ]

n

n

C

C

n

n

C

X z dz

x n z

dz

x n

z dz

∞

−

=−∞

∞

−

=−∞

⎛

⎞

= ⎜

⎟

⎝

⎠

⎛

⎞

=

⎜

⎟

⎝

⎠

∑

∫

∫

∑

∫

v

v

v

Jeżeli zmienną

z

wyrazimy w postaci wykładniczej

j

z re

ϕ

=

całkowanie funkcji z

P

-n

P

po krzywej C wyrażone w układzie biegunowym przyjmie postać

( )

1

1

2

,

1

0,

1

j

j

z re

jn

n

n

C

j n

n

dz

jre d

z

r e

j

e

d

r

j n

n

ϕ

ϕ

π

ϕ

π

π

ϕ

π

ϕ

ϕ

π

=

−

−

−

−

⎧

⎨

⎩

=

=

=

=

≠

∫

∫

∫

v

CPS 14

2006/2007

-14 -

Zatem wykorzystując właściwość przesunięcia w czasie możemy napisać

( )

[ ]

2

1

C

X z dz

jx

π

=

∫v

( )

[ ]

2

2

C

zX z dz

jx

π

=

∫v

( )

[ ]

1

2

n

C

z X z dz

jx n

π

−

=

∫v

Ostatecznie kolejne wartości próbek sygnału otrzymamy rozwiązując wyrażenie całkowe

[ ]

( )

1

1

, 2, 1,0,1,2,

2

n

C

x n

z X z dz n

j

π

−

=

=

− −

∫

"

"

v

Powyższe wyrażenie całkowe jest przyjmowane jako

definicja odwrotnego

przekształcenia ZET

i jest stosowana do obliczenia transformaty odwrotnej. Do obliczania

całki po krzywej zamkniętej wykorzystuje się twierdzenie Cauchy’ego o residuach.

( )

( )

1

1

e

1

2

n

n

C

r s z X z

w biegunach wewnątrz C

z X z dz

j

π

−

−

⎡

⎤

⎣

⎦

=

∑

∫v

Wykorzystując twierdzenie Cauchy’ego o residuach, funkcję oryginalną można

wyznaczyć jako sumę residuów liczonych dla wszystkich biegunów

[ ]

( )

1

n

i

x n

res z X z

−

=

⎡

⎤

⎣

⎦

∑

gdzie dla r – krotnego bieguna d

B

i

B

( ) ( )

(

) ( )

1

1

1

1 !

i

i

r

r

i

r

d

z d

d

res F z

z d

F z

r

dz

−

−

=

⎡

⎤

=

−

⎡

⎤

⎣

⎦

⎣

⎦

−

CPS 15

2006/2007

-15 -

U

Przykład:

( )

z

X z

z

a

z a

=

>

−

Dla n większych lub równych 1:

[ ]

( )

1

n

i

i

z

x n

res z X z

res z

z a

−

1

n

−

⎡

⎤

=

=

⎡

⎤

⎣

⎦

⎢

⎥

−

⎣

⎦

∑

∑

(biegun 1 krotny równy a)

[ ]

(

)

[ ]

[ ]

1

lim

1

lim

1

n

n

z a

z a

z

n

x n

z a z

n

z

a

z a

−

=

=

⎡

⎤

=

−

⋅

=

=

⋅

⎡ ⎤

⎣ ⎦

⎢

⎥

−

⎣

⎦

n

U

Przykład:

( )

2

2

2

2

1

1

z

z

X z

z

z

z

+

+

=

>

+

( )

( )

(

)

(

)

2

1

2

2

2

1

1

1

n

n

z

z

z

F z

z X z

z

z z

−

+

+

=

=

+

>

1. dla

dwa bieguny d

B

1

B

=-1 (r=1) d

B

2

B

=0 (r=2)

0

n

=

[ ]

( )

( ) (

)

(

)

(

)

2

2

2

2

2

1

0

1

0

2

2

1

2

2

1

0

1

1

1

z

z

z

z

d

z

z

x

res F z

res F z

z

z

z z

dz

z z

−

=−

=

⎡

⎤

+

+

+

+

=

+

=

+

+

= +

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

+

+

⎣

⎦

1 1 2

=

2. dla

dwa bieguny d

B

1

B

=-1 (r=1) d

B

2

B

=0 (r=1)

1

n

=

[ ]

( )

( ) (

) ( )

(

)

2

2

1

0

1

0

2

2

1

2

2

1

1

1

1

1

z

z

z

z

z

z

x

res F z

res F z

z

z

z z

z z

−

=−

=

+

+

+

+

=

+

=

+

+

= − +

⎡

⎤

⎡

⎤

⎣

⎦

⎣

⎦

+

+

1 1 0

=

3. dla

jeden biegun d

B

1

B

=-1 (r=1)

2

n

≥

[ ]

( ) (

)

(

)

( )

[

]

2

2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

n

n

z

z

z

x n

res F z

z

z

n

z z

−

−

−

=−

+

+

=

=

+

= −

⋅

⎡

⎤

⎣

⎦

+

1

2

−

CPS 16

2006/2007

-16 -

Obliczanie odwrotnej transformaty ZET w Matlab’ie

Funkcja MATLAB-a residuez pozwala rozkładać na ułamki proste transformatę ZET,

wyrażoną w postaci ilorazu dwóch wielomianów zmiennej z

P

-1

P

. Format polecenia jest

następujący:


[r, p, k] = residuez(b,a)


gdzie b, a są wektorami reprezentującymi współczynniki wielomianów w liczniku i
mianowniku w kierunku malejących potęg zmiennej z.

Wektor r reprezentuje współczynniki rozkładu na ułamki proste, odpowiednio do

biegunów danych jako wektor p.

Wektor k zawiera współczynniki odpowiadające składnikom związanym z kolejnymi

potęgami z

P

-1

P

, które pojawiają się gdy stopień licznika jest równy lub większy od stopnia

mianownika.

U

Przykład

U

obliczania transformaty odwrotnej:

( )

3

2

2

10

4

4

2

2

4

z

z

z

X z

z

z

−

−

+

=

−

−

Przed zastosowaniem obliczeń w MATLABIE należy wielomiany w liczniku i mianowniku
przedstawić względem zmiennej z

P

-1

P

:

( )

(

)

(

)

3

1

2

3

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1 10

4

4

1 10

4

4

2

1

2

1

2

z

z

z

z

z

z

z

X z

z

z

z

z

z

z

−

−

−

3

−

−

−

−

−

−

−

−

−

+

−

−

+

=

=

−

−

−

−

( )

( )

1

2

X z

zY z

=

( )

1

2

1

2

1 10

4

4

1

2

z

z

z

Y z

z

z

3

−

−

−

−

−

−

−

+

=

−

−

CPS 17

2006/2007

-17 -

Zastosujemy funkcję residuez do wyznaczenia rozkładu wyrażenia Y(z):

»[r,p,k] = residuez([1 –10 –4 4], [1 –1 -2])
r =
-3
1
p =
2
-1
k =
3 -2

Zatem rozkład jest następujący:

( )

1

1

1

3

1

3 2

1 2

1

Y z

z

z

z

−

−

−

−

=

+

+ −

−

+

Aby wyznaczyć transformatę odwrotną należy określić obszar zbieżności funkcji Y(z). Granice
obszaru zbieżności wyznaczają bieguny z

B

1

B

=2, z

B

2

B

=-1.

» zplane([1 -10 -4 4], [0 1 -1 -2])

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Real Part

Im

agi

na

ry

P

ar

t

CPS 18

2006/2007

-18 -

Jeżeli obszar zbieżności wybierzemy na zewnątrz okręgu o promieniu 2, to oryginał jest
funkcją czasu prawostronną, dla czasów od 0 do

∞.

( )

( )

[ ]

( )

[ ]

[ ]

[

]

3 2 1

1 1

3

2

1

n

n

y n

n

n

n

n

δ

δ

= −

+ −

+

−

−

ostatecznie uwzględniając współczynnik i przesunięcie:

( )

( )

[

]

( )

[

]

[

] [

1

1

3

3

1

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

n

n

]

x n

n

n

n

δ

δ

+

+

= −

+ + −

+ +

+ −

n

*)Przygotowano na podstawie:

S. Haykin, B.Van Veen „Signals and System” New York 1999