CPS 1
2006/2007
-1 -
ODWROTNE PRZEKSZTAŁCENIE ZET
Rozpatrzymy zagadnienie odtwarzania dyskretnego sygnału czasowego x[n] z jego
transformaty X(z). Do wyznaczenia ciągu x[n] w sposób jednoznaczny musimy znać obszar
zbieżności (OZ).
Odwracanie X(z) przez rozkład na ułamki proste
Analizując systemy LTI zwykle transformatę ZET przebiegów otrzymujemy w postaci
funkcji wymiernej zmiennej z
P
-1
P
.
Niech dana będzie transformata sygnału dyskretnego x[n] w postaci:
( )
( )
( )
1
0
1
1
1
1
M
M
N
N
B z
X z
A z
b
b z
b z
a z
a z
−
−
−
−
=
+
+
+
=
+
+
+
"
"
oraz stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku tzn.
M<N.
Jeżeli M
N
≥ to musimy zastosować dzielenie wielomianów aby przedstawić X(z) w formie
następującego wyrażenia:
( )
( )
( )
0
M N
k
k
k
B z
X z
f z
A z
−
−
=
=
+
∑
Wówczas stopień wielomianu w liczniku
( )
B z
jest teraz mniejszy od stopnia wielomianu w
mianowniku.
CPS 2
2006/2007
-2 -
Metoda rozkładu na ułamki proste pozwala na wyznaczenie transformaty odwrotnej wyrażenia:
( )
( )
B z
A z
,
Transformatę odwrotną sumy
0
M N
k
k
k
f z
−
−
=
∑
otrzymamy wykorzystując transformatę delty
[ ]
1
n
δ
←⎯→
Z
oraz właściwość przesunięcia ciągu
w dziedzinie czasu.
W wielu problemach praktycznych transformata X(z) wyrażona jest jako stosunek
wielomianów zmiennej z a nie z
P
-1
P
.
W takich przypadkach możemy stosować metodę rozkładu na ułamki proste jeżeli
wcześniej przekształcimy X(z) do postaci stosunku wielomianów o zmiennej z
P
-1
P
.
Konwersji tej możemy dokonać poprzez wyciągnięcie przed nawias w liczniku
największej potęgi z, a w mianowniku wyciagnięcie przed nawias największej potęgi z razem
ze współczynnikiem przy tej potędze.
U
Przykład:
Jeżeli transformata ma postać
( )
2
3
2
2
1
3
6
9
z
z
X z
z
z
0
−
+
=
−
+
W liczniku wyciągniemy przez nawias
z
P
2
P
a w mianowniku
3z
P
3
P
.
( )
(
)
(
)
2
1
3
2
1
2
1
1
3
2 2
10
3
1 2
3
1
2 2
10
3
1 2
3
z
z
z
X z
z
z
z
z
z
z
z
z
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
=
−
+
−
+
⎛
⎞
=
⎜
⎟
−
+
⎝
⎠
2
3
Rozkład na ułamki proste stosuje się do wyrażenia w nawiasie, natomiast czynnik
1
1
3
z
−
jest uwzględniany później z zastosowaniem właściwości przesuwania ciągu w czasie.
CPS 3
2006/2007
-3 -
Rozkład na ułamki proste funkcji w postaci
( )
1
0
1
1
1
1
M
M
N
N
b
b z
b z
X z
a z
a z
−
−
−
−
+
+
+
=
+
+
+
"
"
wykonuje się poprzez przekształcenie wielomianu w mianowniku wyrażenia X(z) do postaci
iloczynu wielomianów pierwszego stopnia
( )
1
0
1
1
1
1
2
(1
)(1
) (1
)
M
M
N
b
b z
b z
X z
d z
d z
d z
−
−
−
−
+
+
+
=
−
−
−
"
"
1
−
gdzie d
B
k
B
są biegunami funkcji X(z).
Jeżeli wszystkie
bieguny są jednokrotne
to możemy funkcję X(z) zapisać w postaci sumy
ułamków prostych w postaci:
( )
1
2
1
1
1
2
1
1
1
N
N
A
A
A
X z
d z
d z
d z
1
−
−
−
=
+
+
+
−
−
−
"
Współczynniki obliczamy z zależności:
(
)
( )
1
1
i
i
i
A
d z
X Z
−
z d
=
= −
Odwrotną transformację ZET każdego składnika osobno wyznaczamy wykorzystując pary
transformat prostych ciągów:
( )
[ ]
1
1
1
k
A
n
Z
k
A d
n
OZ z
k
k
d z
k
d
←⎯→
>
−
−
Im
Re
0
dk
( )
[
]
1
1
1
1
n
Z
k
k
k
k
A
k
A d
n
OZ z
d z
−
−
− − ←⎯→
<
−
d
Im
Re
0
dk
CPS 4
2006/2007
-4 -
Relacje pomiędzy obszarem zbieżności (OZ) związanym z X(z) i każdym biegunem
determinują, które składniki są transformatami ciągów lewostronnych, a które prawostronnych.
Jeżeli
biegun d
B
i
B
jest wielokrotny o krotności r
, to otrzymamy r składników rozwinięcia
związanych z tym biegunem:
(
)
(
)
1
2
2
1
1
1
,
, ,
1
1
1
i
i
ir
r
i
i
i
A
A
A
d z
d z
d z
−
−
−
−
−
−
"
Współczynniki obliczamy z zależności:
(
)
(
)
( )
1
,
1
1
!
i
r m
r
i m
i
r m
z d
d
A
d z
r m
dz
−
−
−
X z
=
⎧
⎫
=
−
⎨
⎬
−
⎩
⎭
Transformację odwrotną otrzymamy wykorzystując pary:
(
) (
)
(
)
( )
[ ]
(
)
,
,
1
1
1
1
1 !
1
n
i m
Z
m
i m
i
i
i
A
n
n m
A
d
n
OZ z
m
d z
−
+
+ −
d
←⎯→
>
−
−
"
Im
Re
0
dk
(
) (
)
(
)
( )
[
]
(
)
,
,
1
1
1
1
1
1 !
1
n
i m
Z
m
i m
i
i
i
A
n
n m
A
d
n
OZ z
m
d z
−
+
+ −
−
− − ←⎯→
<
−
−
"
d
Im
Re
0
dk
Położenie biegunów względem OZ funkcji
X
(
z
) determinuje to , która transformata
odwrotna, lewostronna czy prawostronna zostanie wybrana do odwrócenia składnika.
Aby poprawnie wyznaczyć odwrotną transformatę ZET należy po rozłożeniu funkcji
X(z) na ułamki proste określić dla każdego składnika jego obszar zbieżności
.
Polega to na określeniu dla każdego bieguna jego położenia względem obszaru zbieżności
funkcji
X
(
z
).
• Jeżeli OZ funkcji
X
(
z
) ma promień większy niż biegun musimy wybrać
prawostronną
transformatę odwrotną.
• Jeżeli OZ funkcji X(z) na promień mniejszy niż biegun należy wybrać
lewostronną
transformatę odwrotną dla tego składnika.
CPS 5
2006/2007
-5 -
U
Przykład:
Należy wyznaczyć odwrotną transformatę ZET przy zadanym obszarze zbieżności
( )
(
)(
)(
)
1
2
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1 2
1
z
z
X z
OZ
z
z
z
z
−
−
−
−
−
−
+
=
<
−
−
−
<
Zastosujemy rozkład na ułamki proste:
( )
(
) (
) (
)
3
1
2
1
1
1
2
1
1 2
1
A
A
A
X z
z
z
−
−
=
+
+
−
−
−
1
z
−
(
)
( )
(
)(
)
(
)(
)
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1 2
1
1 2 4
1
1 2 2 1 2
z
z
A
z
X Z
z
z
z
z
−
=
−
−
=
−
−
= −
−
+
=
−
−
− +
=
=
− ⋅
−
(
)
( )
(
)(
)
(
)(
)
1
2
2
1
2
2
1
1
1
2
1
1
2
4
1
1
1
2
2
2
1 2
1
1
1
1
2
1
1
z
z
A
z
X Z
z
z
z
z
−
=
−
−
=
−
−
= −
−
+
=
−
−
− +
=
=
− ⋅
−
(
)
( )
(
)(
)
(
)(
)
1
3
1
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1 2
1 1 1
2
1
1 1 2 1
z
z
A
z
X Z
z
z
z
z
−
=
−
−
=
−
−
= −
−
+
=
−
−
− +
=
= −
− ⋅
− ⋅
Po wyznaczeniu współczynników
( )
(
) (
) (
)
1
1
1
2
1
2
1
1 2
1
X z
z
z
−
−
1
2
z
−
−
=
+
+
−
−
−
CPS 6
2006/2007
-6 -
Znajdziemy teraz odwrotną transformatę ZET dla każdego składnika X(z) biorąc pod
uwagę położenie biegunów względem obszaru zbieżności. Obszar zbieżności OZ oraz
położenie biegunów przestawia rysunek.
Im{z}
Re{z}
1/2
2
1
0
1. Obszar zbieżności ma promień
większy
niż biegun
1
2
z
=
, więc dla pierwszego
składnika X(z) zastosujemy
prawostronną
transformację odwrotną
( )
[ ]
1
2
1
1
2
1
1
1
n
Z
n
z
−
←⎯→
−
2. Obszar zbieżności ma promień mniejszy niż biegun
2
z
= , więc dla drugiego
składnika X(z) zastosujemy lewostronną transformację odwrotną
( )
[
]
1
2
2 2 1
1
1 2
n
Z
n
z
−
−
− − ←⎯→
−
3. Obszar zbieżności ma promień większy niż biegun
1
z
=
, więc dla trzeciego składnika
X(z) zastosujemy prawostronną transformację odwrotną
[ ]
1
2
2 1
1
Z
n
z
−
−
− ⋅
←⎯→
−
Sumując poszczególne składniki otrzymujemy ostatecznie
[ ]
( )
[ ]
( )
[
]
[ ]
1
2
1
2 2 1
1
2 1
n
n
x n
n
n
=
−
− − − ⋅ n
CPS 7
2006/2007
-7 -
U
Przykład:
Wyznaczyć odwrotną transformatę ZET
( )
3
2
2
10
4
4
1
2
2
4
z
z
z
X z
OZ z
z
z
−
−
+
=
<
−
−
Bieguny transformaty ZET znajdują się w punktach z=-1 oraz z=2. Obszar zbieżności oraz
położenie biegunów przestawia rysunek.
Im{z}
Re{z}
2
-1
0
Na wstępie należy przekształcić X(z) do postaci ilorazu wielomianów zmiennej z
P
-1
P
. Dokonamy
tego wyprowadzając przed nawias w liczniku z
P
3
P
i mianowniku 2z
P
2
P
( )
(
)
(
)
3
1
2
2
1
2
1
2
3
1
2
1 10
4
4
2
1
2
1
1 10
4
4
2
1
2
z
z
z
z
X z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
=
−
−
−
−
+
⎛
⎞
=
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠
3
Czynnik
1
2
z uwzględnimy później stosując właściwość przesunięcia w dziedzinie czasu.
CPS 8
2006/2007
-8 -
)
Stosując dzielenie wielomianów redukujemy stopień wielomianu w liczniku:
(
) (
1
3
2
1
2
1
3
2
1
2
1
2
1
1
2
3
4
4
10
1 : 2
4
2
2
6
8
1
6
3
3
5
2
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
−
+
−
−
+
+
−
−
−
+
−
−
+
−
−
1
( )
(
)(
)
1
1
1
2
1
1
1
1
2 5
2
3
1
2
2 5
2
3
1
1 2
z
W z
z
z
z
z
z
z
z
−
−
−
−
−
−
−
−
− −
= −
+ +
−
−
− −
= −
+ +
+
−
Dokonamy rozkładu na ułamki proste
(
)(
) (
)
1
1
1
1
2 5
1
3
1
1 2
1
1 2
z
z
z
z
−
−
−
−
− −
−
=
+
+
−
+
−
1
z
−
( )
(
)
1
1
1
1
3
2
3
1
1 2
W z
z
OZ z
z
z
−
−
−
1
−
= −
+ +
+
<
+
−
Promień obszaru zbieżności jest mniejszy niż promienie wszystkich biegunów, dlatego
zastosujemy lewostronną transformatę odwrotną:
[ ]
[
]
[ ]
( )
[
]
( )
[
]
2
1
3
1 1
1
3 2 1
1
n
n
w n
n
n
n
n
δ
δ
= −
− +
− −
− − +
− −
Ale
( )
( )
1
2
X z
zW z
=
Zgodnie z własnością przesunięcia w czasie
[ ]
[
]
1
2
1
x n
w n
=
+
Ostatecznie
[ ]
[ ]
[
]
( )
[
]
( )
[
]
1
1
3
1
2
2
1
1
1
2
3 2
1
2
n
n
x n
n
n
n
n
δ
δ
+
+
= −
+
+ − −
− − +
− −
CPS 9
2006/2007
-9 -
Odwracanie X(z) przez rozwinięcie w szereg potęgowy (sygnały jednostronne).
Jeżeli przedstawimy funkcję X(z) w postaci szeregu potęgowego zmiennej z
P
-1
P
lub z to
zgodnie z definicją transformaty ZET, współczynniki przy z
P
-n
P
są wartościami kolejnych próbek
sygnału x[n].
Metoda jest ograniczona dla przebiegów jednostronnych
, tzn. jeżeli obszar zbieżności
definiuje zależność |z|>a lub |z|<a.
• Jeżeli OZ jest |z|<a to X(z) jest szeregiem potęgowym zmiennej z i generuje ciąg
lewostronny.
• Jeżeli OZ jest |z|>a to X(z) jest szeregiem potęgowym zmiennej z
P
-1
P
i generuje ciąg
prawostronny.
Szereg potęgowy otrzymamy dzieląc wielomian w liczniku przez wielomian w mianowniku
X(z).
U
Przykład:
Wyznaczymy odwrotną transformatę ZET funkcji
( )
1
1
2
1
1
2
2
1
z
X z
OZ z
z
−
−
+
=
>
−
stosując rozwinięcie w szereg potęgowy
Im{z}
Re{z}
0
1/2
CPS 10
2006/2007
-10 -
Stosujemy dzielenie wielomianów zmiennej z
P
-1
P
, ponieważ obszar zbieżności dotyczy sygnału
prawostronnego:
1
1
1
2
1
1
2
2
:1
2
2
z
z
z
z
−
−
−
−
+
−
−
1
1
1
1
2
1
1
1
2
2
2 2
2
:1
2
2
2
z
z
z
z
z
z
z
z
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
−
−
−
1
2
3
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
2
2
3
1
2
3
1
2
2 2
..
2
: 1
2
2
2
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
.
+
+
+
+
+
−
−
−
−
Zatem obliczony szereg potęgowy
( )
1
2
3
1
2
2 2
X z
z
z
z
−
−
−
= +
+
+
+"
odpowiada sygnałowi:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
1
2
0
0
0
2
1
2
2
1
3
x n
dla n
x
x
x
x
=
<
=
=
=
=
#
CPS 11
2006/2007
-11 -
Jeżeli zmienimy obszar zbieżności dla tej samej funkcji
1
2
z
< rozwijamy X(z) względem
zmiennej z:
Im{z}
Re{z}
0
1/2
Rozwijamy funkcję w szereg potęgowy zmiennej z
1
1
1
2
1
2
2 :
1
2
4
z
z
z
−
−
−
−
+
−
+
−
2
3
1
1
1
2
1
2
2
2 8
16
32
2 :
1
2
4
4 8
8
8
16
16
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
−
−
−
− −
−
−
+
+
−
+
−
−
−
"
Otrzymujemy
( )
2
3
2 8
16
32
X z
z
z
z
= − −
−
−
+"
CPS 12
2006/2007
-12 -
wyrażenie to jest transformatą przebiegu:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
0
0
0
2
1
8
2
16
3
32
x n
dla n
x
x
x
x
=
>
= −
− = −
− = −
− = −
#
Metoda wykorzystująca szereg potęgowy do odwrócenia transformaty dotyczy również
wyrażeń, które nie są w postaci ilorazu wielomianów. Pokazuje to następujący przykład:
U
Przykład
Należy wyznaczyć ciąg, którego transformata ZET na postać
( )
2
z
X z
e OZ z
=
= ∞
Wykorzystamy zależność
0
!
k
a
k
a
e
k
∞
=
=
∑
Stąd funkcję X(z) można przedstawić w postaci szeregu:
( )
( )
2
0
2
0
!
!
k
k
k
k
z
X z
k
z
k
∞
=
∞
=
=
=
∑
∑
którego transformata odwrotna jest ciągiem lewostronnym przyjmującym następujące wartości:
[ ]
( )
2
0
0
1
!
n
dla n
i nieparzyste
x n
pozostale
>
⎧
⎪
= ⎨
⎪⎩
CPS 13
2006/2007
-13 -
Odwracanie X(z) z zastosowaniem metody residuów
Oznaczmy przez C dowolny okrąg położony wewnątrz pierścienia o promieniach a i b:
a
z
b
< <
i środku w punkcie z=0. Obliczymy całkę krzywoliniową z funkcji X(z) wzdłuż tego okręgu.
Na podstawie właściwości liniowości możemy zmieniać kolejność operacji całkowania
i sumowania.
( )
[ ]
[ ]
n
n
C
C
n
n
C
X z dz
x n z
dz
x n
z dz
∞
−
=−∞
∞
−
=−∞
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
∫
∫
∑
∫
v
v
v
Jeżeli zmienną
z
wyrazimy w postaci wykładniczej
j
z re
ϕ
=
całkowanie funkcji z
P
-n
P
po krzywej C wyrażone w układzie biegunowym przyjmie postać
( )
1
1
2
,
1
0,
1
j
j
z re
jn
n
n
C
j n
n
dz
jre d
z
r e
j
e
d
r
j n
n
ϕ
ϕ
π
ϕ
π
π
ϕ
π
ϕ
ϕ
π
=
−
−
−
−
⎧
⎨
⎩
=
=
=
=
≠
∫
∫
∫
v
CPS 14
2006/2007
-14 -
Zatem wykorzystując właściwość przesunięcia w czasie możemy napisać
( )
[ ]
2
1
C
X z dz
jx
π
=
∫v
( )
[ ]
2
2
C
zX z dz
jx
π
=
∫v
( )
[ ]
1
2
n
C
z X z dz
jx n
π
−
=
∫v
Ostatecznie kolejne wartości próbek sygnału otrzymamy rozwiązując wyrażenie całkowe
[ ]
( )
1
1
, 2, 1,0,1,2,
2
n
C
x n
z X z dz n
j
π
−
=
=
− −
∫
"
"
v
Powyższe wyrażenie całkowe jest przyjmowane jako
definicja odwrotnego
przekształcenia ZET
i jest stosowana do obliczenia transformaty odwrotnej. Do obliczania
całki po krzywej zamkniętej wykorzystuje się twierdzenie Cauchy’ego o residuach.
( )
( )
1
1
e
1
2
n
n
C
r s z X z
w biegunach wewnątrz C
z X z dz
j
π
−
−
⎡
⎤
⎣
⎦
=
∑
∫v
Wykorzystując twierdzenie Cauchy’ego o residuach, funkcję oryginalną można
wyznaczyć jako sumę residuów liczonych dla wszystkich biegunów
[ ]
( )
1
n
i
x n
res z X z
−
=
⎡
⎤
⎣
⎦
∑
gdzie dla r – krotnego bieguna d
B
i
B
( ) ( )
(
) ( )
1
1
1
1 !
i
i
r
r
i
r
d
z d
d
res F z
z d
F z
r
dz
−
−
=
⎡
⎤
=
−
⎡
⎤
⎣
⎦
⎣
⎦
−
CPS 15
2006/2007
-15 -
U
Przykład:
( )
z
X z
z
a
z a
=
>
−
Dla n większych lub równych 1:
[ ]
( )
1
n
i
i
z
x n
res z X z
res z
z a
−
1
n
−
⎡
⎤
=
=
⎡
⎤
⎣
⎦
⎢
⎥
−
⎣
⎦
∑
∑
(biegun 1 krotny równy a)
[ ]
(
)
[ ]
[ ]
1
lim
1
lim
1
n
n
z a
z a
z
n
x n
z a z
n
z
a
z a
−
=
=
⎡
⎤
=
−
⋅
=
=
⋅
⎡ ⎤
⎣ ⎦
⎢
⎥
−
⎣
⎦
n
U
Przykład:
( )
2
2
2
2
1
1
z
z
X z
z
z
z
+
+
=
>
+
( )
( )
(
)
(
)
2
1
2
2
2
1
1
1
n
n
z
z
z
F z
z X z
z
z z
−
+
+
=
=
+
>
1. dla
dwa bieguny d
B
1
B
=-1 (r=1) d
B
2
B
=0 (r=2)
0
n
=
[ ]
( )
( ) (
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
0
1
0
2
2
1
2
2
1
0
1
1
1
z
z
z
z
d
z
z
x
res F z
res F z
z
z
z z
dz
z z
−
=−
=
⎡
⎤
+
+
+
+
=
+
=
+
+
= +
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
+
+
⎣
⎦
1 1 2
=
2. dla
dwa bieguny d
B
1
B
=-1 (r=1) d
B
2
B
=0 (r=1)
1
n
=
[ ]
( )
( ) (
) ( )
(
)
2
2
1
0
1
0
2
2
1
2
2
1
1
1
1
1
z
z
z
z
z
z
x
res F z
res F z
z
z
z z
z z
−
=−
=
+
+
+
+
=
+
=
+
+
= − +
⎡
⎤
⎡
⎤
⎣
⎦
⎣
⎦
+
+
1 1 0
=
3. dla
jeden biegun d
B
1
B
=-1 (r=1)
2
n
≥
[ ]
( ) (
)
(
)
( )
[
]
2
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
n
n
z
z
z
x n
res F z
z
z
n
z z
−
−
−
=−
+
+
=
=
+
= −
⋅
⎡
⎤
⎣
⎦
+
1
2
−
CPS 16
2006/2007
-16 -
Obliczanie odwrotnej transformaty ZET w Matlab’ie
Funkcja MATLAB-a residuez pozwala rozkładać na ułamki proste transformatę ZET,
wyrażoną w postaci ilorazu dwóch wielomianów zmiennej z
P
-1
P
. Format polecenia jest
następujący:
[r, p, k] = residuez(b,a)
gdzie b, a są wektorami reprezentującymi współczynniki wielomianów w liczniku i
mianowniku w kierunku malejących potęg zmiennej z.
Wektor r reprezentuje współczynniki rozkładu na ułamki proste, odpowiednio do
biegunów danych jako wektor p.
Wektor k zawiera współczynniki odpowiadające składnikom związanym z kolejnymi
potęgami z
P
-1
P
, które pojawiają się gdy stopień licznika jest równy lub większy od stopnia
mianownika.
U
Przykład
U
obliczania transformaty odwrotnej:
( )
3
2
2
10
4
4
2
2
4
z
z
z
X z
z
z
−
−
+
=
−
−
Przed zastosowaniem obliczeń w MATLABIE należy wielomiany w liczniku i mianowniku
przedstawić względem zmiennej z
P
-1
P
:
( )
(
)
(
)
3
1
2
3
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1 10
4
4
1 10
4
4
2
1
2
1
2
z
z
z
z
z
z
z
X z
z
z
z
z
z
z
−
−
−
3
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
−
+
=
=
−
−
−
−
( )
( )
1
2
X z
zY z
=
( )
1
2
1
2
1 10
4
4
1
2
z
z
z
Y z
z
z
3
−
−
−
−
−
−
−
+
=
−
−
CPS 17
2006/2007
-17 -
Zastosujemy funkcję residuez do wyznaczenia rozkładu wyrażenia Y(z):
»[r,p,k] = residuez([1 –10 –4 4], [1 –1 -2])
r =
-3
1
p =
2
-1
k =
3 -2
Zatem rozkład jest następujący:
( )
1
1
1
3
1
3 2
1 2
1
Y z
z
z
z
−
−
−
−
=
+
+ −
−
+
Aby wyznaczyć transformatę odwrotną należy określić obszar zbieżności funkcji Y(z). Granice
obszaru zbieżności wyznaczają bieguny z
B
1
B
=2, z
B
2
B
=-1.
» zplane([1 -10 -4 4], [0 1 -1 -2])
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Real Part
Im
agi
na
ry
P
ar
t
CPS 18
2006/2007
-18 -
Jeżeli obszar zbieżności wybierzemy na zewnątrz okręgu o promieniu 2, to oryginał jest
funkcją czasu prawostronną, dla czasów od 0 do
∞.
( )
( )
[ ]
( )
[ ]
[ ]
[
]
3 2 1
1 1
3
2
1
n
n
y n
n
n
n
n
δ
δ
= −
+ −
+
−
−
ostatecznie uwzględniając współczynnik i przesunięcie:
( )
( )
[
]
( )
[
]
[
] [
1
1
3
3
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
n
n
]
x n
n
n
n
δ
δ
+
+
= −
+ + −
+ +
+ −
n
*)Przygotowano na podstawie:
S. Haykin, B.Van Veen „Signals and System” New York 1999
Document Outline