Odpowiedzi do zestawu 19 - Funkcja wielu zmiennych

16 maja 2011

Zadanie 1.

1. Zbiór domknięty, nieograniczony, spójny, niewypukły, niezwarty.

2. Zbiór otwarty, nieograniczony, spójny, niewypukły, niezwarty. UWAGA: bez linii y =

−3

x

2

!

1

3. Zbiór niedomknięty i nieotwarty, nieograniczony, spójny, niewypukły, niezwarty. UWAGA: bez linii y = −x

2

+

4!

4. Zbiór domknięty, nieograniczony, spójny, niewypukły, niezwarty.

2

5. Zbiór niedomknięty i nieotwarty, ograniczony, spójny, wypukły, niezwarty. UWAGA: bez punktu (0, 0)!

6. Zbiór otwarty, ograniczony, spójny, wypukły, niezwarty. UWAGA: bez brzegów!

3

7. Zbiór domknięty, nieograniczony, spójny, wypukły, niezwarty.

8. Zbiór otwarty, nieograniczony, niespójny, niewypukły, niezwarty. UWAGA: bez linii y = x

2

!

Zadanie 2.

4

1. Warstwicami są krzywe postaci x

2

+ y

2

= 16 − 8C

2

dla C ∈ [0,

√

2]. Dla C =

√

2 warstwicą jest jeden punkt

(0, 0).

2. Warstwicami są krzywe postaci y = −

1

C

2

x

2

+

4

C

2

− 2. UWAGA: Punkty (−2, −2) i (2, −2) nie należą do

dziedziny!

5

3. Warstwicami są krzywe postaci y = x

2

+ e

C

dla C ∈ R. UWAGA: Krzywa y = x

2

nie należy do dziedziny!

4. Warstwicami są krzywe postaci y =

1−e

C

x

2

. UWAGA: Krzywa y =

1

x

2

nie należy do dziedziny, dla C = 0

warstwicą są linie OX i OY .

Zadanie 3. Wyznacz gradient (∇f (x, y)) i hesjan (H(f (x, y))) funkcji:

1. ∇f (x, y) =

"

3x

2

y − 5y

2

+ ln y + 2y + 4

x

3

− 10xy +

x
y

+ 2x + 5

#

H(f (x, y)) =

"

6xy

3x

2

− 10y +

1
y

+ 2

3x

2

− 10y +

1
y

+ 2

−10x −

x

y

2

#

2. ∇f (x, y) =

"

y

2

(x+y)

2

x

2

(x+y)

2

#

H(f (x, y)) =

"

2y

2

(x+y)

3

2xy

(x+y)

3

2xy

(x+y)

3

2x

2

(x+y)

3

#

3. ∇f (x, y) =

"

2x ln(x

3

− 2y) +

3x

4

x

3

−2y

−2x

2

x

3

−2y

#

H(f (x, y)) =

"

2 ln(x

3

− 2y) +

3x

6

−24x

3

y

(x

3

−2y)

2

2x

4

+8xy

(x

3

−2y)

2

2x

4

+8xy

(x

3

−2y)

2

−4x

2

(x

3

−2y)

2

#

4. ∇f (x, y) =

"

2xy

3

e

x

2

−5y

y

2

(3 − 5y)e

x

2

−5y

#

H(f (x, y)) =

"

2y

3

(1 + 2x

2

)e

x

2

−5y

2xy

2

(3 − 5y)e

x

2

−5y

2xy

2

(3 − 5y)e

x

2

−5y

6y − 30y

2

+ 25y

3

e

x

2

−5y

#

6

5. ∇f (x, y) =

"

e

x

e

x

+e

y

e

y

e

x

+e

y

#

H(f (x, y)) =

"

e

x

e

y

(e

x

+e

y

)

2

−e

x

e

y

(e

x

+e

y

)

2

−e

x

e

y

(e

x

+e

y

)

2

e

x

e

y

(e

x

+e

y

)

2

#

Zadanie 4. Sprawdź, czy zachodzi relacja

1. Tak

2. Nie

3. Nie

Zadanie 5. Znajdź ekstrema lokalne funkcji

1. (0, 2) jest minimum lokalnym, a (0, −2) jest maksimum lokalnym

2. (−1, 2) jest maksimum lokalnym

3. (−1, 0) jest minimum lokalnym

Zadanie 6. W (1, 1) nie, w (3, 3) tak.

Zadanie 7. W żadnym z tych punktów funkcja nie posiada ekstremów.

Zadanie 8. Funkcja ta ma powierzchnię funkcyjną wypukłą na zbiorze A = {(x, y) ∈ R

2

: x, y > 0, xy >

1
4

}, a

wklęsłą na zbiorze B = {(x, y) ∈ R

2

: x, y < 0, xy >

1
4

}

Zadanie 9. Maksimum lokalne warunkowe w punkcie (−1, 0), minimum lokalne warunkowe w punkcie (

7
2

,

3

√

2

).

Zadanie 10. Maksimum lokalne warunkowe w punkcie (0, −1), minima lokalne warunkowe w punktach (2, 3) i

(−2, 3).

Zadanie 11. Maksima lokalne warunkowe w punktach (1, 1) i (−1, −1), minima lokalne warunkowe w punktach

(−1, 1) i (1, −1).

Zadanie 12. Maksima lokalne warunkowe w punktach (2, 2) i (−2, −2), minima lokalne warunkowe w punktach

(−2, 2) i (2, −2).

Zadanie 13. Minima lokalne warunkowe w punktach (−2, 2) i (2, −2).

Zadanie 14. Wartość największą równą 6 funkcja przyjmuje w punktach (0, −3) i (−3, 0), a najmniejszą w

punkcie (−1, −1) równą −1.

Zadanie 15. Wartość największą równą 1 +

√

2 funkcja przyjmuje w punktach (

π

2

,

π

4

) i (

π

4

,

π

2

), a najmniejszą w

punkcie (0, 0) równą 0.

Zadanie 16. Wartość największą równą 1 funkcja przyjmuje w punktach (

√

2

2

,

√

2

2

) i (−

√

2

2

, −

√

2

2

), a najmniejszą

w punkcie (0, 0) równą 0.

Zadanie 17.

7

Wartości największe i najmniejsze:

1. Wartość największa jest osiągana w punkcie (2, 7) i jest równa 25, wartość najmniejsza jest osiągana w punkcie

(0, 1) i jest równa 3.

2. Wartość największa jest osiągana w punkcie (0, 1) i jest równa −2, najmniejsza wartość jest osiągana na

odcinku pomiędzy punktami (2, 7) i (6, 3) i jest równa −18.

Zadanie 18.

Wartości największe i najmniejsze:

1. Wartości największej nie posiada, najmniejsza wartość jest osiągana w punkcie (1, 3) i jest równa 11.

2. Wartości najmniejszej nie posiada, najmniejsza wartość jest osiągana na odcinku pomiędzy punktami (3, 1) i

(1, 3) i jest równa −8.

8