Odpowiedzi do zestawu 19 - Funkcja wielu zmiennych
16 maja 2011
Zadanie 1.
1. Zbiór domknięty, nieograniczony, spójny, niewypukły, niezwarty.
2. Zbiór otwarty, nieograniczony, spójny, niewypukły, niezwarty. UWAGA: bez linii y =
−3
x
2
!
1
Odpowiedzi do zestawu 19 - Funkcja wielu zmiennych
16 maja 2011
Zadanie 1.
1. Zbiór domknięty, nieograniczony, spójny, niewypukły, niezwarty.
2. Zbiór otwarty, nieograniczony, spójny, niewypukły, niezwarty. UWAGA: bez linii y =
−3
x
2
!
1
3. Zbiór niedomknięty i nieotwarty, nieograniczony, spójny, niewypukły, niezwarty. UWAGA: bez linii y = −x
2
+
4!
4. Zbiór domknięty, nieograniczony, spójny, niewypukły, niezwarty.
2
5. Zbiór niedomknięty i nieotwarty, ograniczony, spójny, wypukły, niezwarty. UWAGA: bez punktu (0, 0)!
6. Zbiór otwarty, ograniczony, spójny, wypukły, niezwarty. UWAGA: bez brzegów!
3
7. Zbiór domknięty, nieograniczony, spójny, wypukły, niezwarty.
8. Zbiór otwarty, nieograniczony, niespójny, niewypukły, niezwarty. UWAGA: bez linii y = x
2
!
Zadanie 2.
4
1. Warstwicami są krzywe postaci x
2
+ y
2
= 16 − 8C
2
dla C ∈ [0,
√
2]. Dla C =
√
2 warstwicą jest jeden punkt
(0, 0).
2. Warstwicami są krzywe postaci y = −
1
C
2
x
2
+
4
C
2
− 2. UWAGA: Punkty (−2, −2) i (2, −2) nie należą do
dziedziny!
5
3. Warstwicami są krzywe postaci y = x
2
+ e
C
dla C ∈ R. UWAGA: Krzywa y = x
2
nie należy do dziedziny!
4. Warstwicami są krzywe postaci y =
1−e
C
x
2
. UWAGA: Krzywa y =
1
x
2
nie należy do dziedziny, dla C = 0
warstwicą są linie OX i OY .
Zadanie 3. Wyznacz gradient (∇f (x, y)) i hesjan (H(f (x, y))) funkcji:
1. ∇f (x, y) =
"
3x
2
y − 5y
2
+ ln y + 2y + 4
x
3
− 10xy +
x
y
+ 2x + 5
#
H(f (x, y)) =
"
6xy
3x
2
− 10y +
1
y
+ 2
3x
2
− 10y +
1
y
+ 2
−10x −
x
y
2
#
2. ∇f (x, y) =
"
y
2
(x+y)
2
x
2
(x+y)
2
#
H(f (x, y)) =
"
2y
2
(x+y)
3
2xy
(x+y)
3
2xy
(x+y)
3
2x
2
(x+y)
3
#
3. ∇f (x, y) =
"
2x ln(x
3
− 2y) +
3x
4
x
3
−2y
−2x
2
x
3
−2y
#
H(f (x, y)) =
"
2 ln(x
3
− 2y) +
3x
6
−24x
3
y
(x
3
−2y)
2
2x
4
+8xy
(x
3
−2y)
2
2x
4
+8xy
(x
3
−2y)
2
−4x
2
(x
3
−2y)
2
#
4. ∇f (x, y) =
"
2xy
3
e
x
2
−5y
y
2
(3 − 5y)e
x
2
−5y
#
H(f (x, y)) =
"
2y
3
(1 + 2x
2
)e
x
2
−5y
2xy
2
(3 − 5y)e
x
2
−5y
2xy
2
(3 − 5y)e
x
2
−5y
6y − 30y
2
+ 25y
3
e
x
2
−5y
#
6
5. ∇f (x, y) =
"
e
x
e
x
+e
y
e
y
e
x
+e
y
#
H(f (x, y)) =
"
e
x
e
y
(e
x
+e
y
)
2
−e
x
e
y
(e
x
+e
y
)
2
−e
x
e
y
(e
x
+e
y
)
2
e
x
e
y
(e
x
+e
y
)
2
#
Zadanie 4. Sprawdź, czy zachodzi relacja
1. Tak
2. Nie
3. Nie
Zadanie 5. Znajdź ekstrema lokalne funkcji
1. (0, 2) jest minimum lokalnym, a (0, −2) jest maksimum lokalnym
2. (−1, 2) jest maksimum lokalnym
3. (−1, 0) jest minimum lokalnym
Zadanie 6. W (1, 1) nie, w (3, 3) tak.
Zadanie 7. W żadnym z tych punktów funkcja nie posiada ekstremów.
Zadanie 8. Funkcja ta ma powierzchnię funkcyjną wypukłą na zbiorze A = {(x, y) ∈ R
2
: x, y > 0, xy >
1
4
}, a
wklęsłą na zbiorze B = {(x, y) ∈ R
2
: x, y < 0, xy >
1
4
}
Zadanie 9. Maksimum lokalne warunkowe w punkcie (−1, 0), minimum lokalne warunkowe w punkcie (
7
2
,
3
√
2
).
Zadanie 10. Maksimum lokalne warunkowe w punkcie (0, −1), minima lokalne warunkowe w punktach (2, 3) i
(−2, 3).
Zadanie 11. Maksima lokalne warunkowe w punktach (1, 1) i (−1, −1), minima lokalne warunkowe w punktach
(−1, 1) i (1, −1).
Zadanie 12. Maksima lokalne warunkowe w punktach (2, 2) i (−2, −2), minima lokalne warunkowe w punktach
(−2, 2) i (2, −2).
Zadanie 13. Minima lokalne warunkowe w punktach (−2, 2) i (2, −2).
Zadanie 14. Wartość największą równą 6 funkcja przyjmuje w punktach (0, −3) i (−3, 0), a najmniejszą w
punkcie (−1, −1) równą −1.
Zadanie 15. Wartość największą równą 1 +
√
2 funkcja przyjmuje w punktach (
π
2
,
π
4
) i (
π
4
,
π
2
), a najmniejszą w
punkcie (0, 0) równą 0.
Zadanie 16. Wartość największą równą 1 funkcja przyjmuje w punktach (
√
2
2
,
√
2
2
) i (−
√
2
2
, −
√
2
2
), a najmniejszą
w punkcie (0, 0) równą 0.
Zadanie 17.
7
Wartości największe i najmniejsze:
1. Wartość największa jest osiągana w punkcie (2, 7) i jest równa 25, wartość najmniejsza jest osiągana w punkcie
(0, 1) i jest równa 3.
2. Wartość największa jest osiągana w punkcie (0, 1) i jest równa −2, najmniejsza wartość jest osiągana na
odcinku pomiędzy punktami (2, 7) i (6, 3) i jest równa −18.
Zadanie 18.
Wartości największe i najmniejsze:
1. Wartości największej nie posiada, najmniejsza wartość jest osiągana w punkcie (1, 3) i jest równa 11.
2. Wartości najmniejszej nie posiada, najmniejsza wartość jest osiągana na odcinku pomiędzy punktami (3, 1) i
(1, 3) i jest równa −8.
8