Mec hanika kw antowa 1

ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ

Mechanika kwantowa (albo mechanika falowa) zajmuje si“ ruchami
mikroczsteczek i ich oddzia»ywaniami (o ile nie prowadz do zmiany liczby
i rodzaju mikroczstek)

Zajmiemy si“ mechanik kwantow nierelatywistyczn.

Hipoteza de Broglie’a (1924 r.) 

Jeóeli Ñwiat»o ma dwoist falowo-czstkow natur“, 

- fale o cz“stoÑci   i d»ugoÑci 

- czstki o energii 

 i p“dzie 

to takóe czstki o niezerowej masie powinny mieƒ tak natur“.
Czstki takie, o energii   i p“dzie  , zachowuj si“ jak

fale o cz“stoÑci  

 i d»ugoÑci 

.

(E i p rozumiane s tu w sensie relatywistycznym: 

, 

)

DoÑwiadczenie Davissona i Germera - pierwsze potwierdzenie hipotezy de

Broglie'a (1927 r.)

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mec hanika kw antowa 2

S

k 

  - p»aszczyzny sieciowe

CD - r ó ó n i c a   d r ó g   c i  g ó w

falowych  P

1

B i P

2

B

Wzmocnienie, gdy 

   (warunek Braggów)

,    

,   

, 

,

Wniosek:

Kaódej poruszajcej si“ czstce materialnej moóna przypisaƒ fal“ materii,

której d»ugoу jest okreÑlona wzorem de Broglie'a 

.

Materia, podobnie jak promieniowanie, wykazuje dualizm falowo-czstkowy.

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mec hanika kw antowa 3

Funkcja falowa

W mechanice kwantowej czstkom przypisuje si“ funkcje falowe

 

w ogólnoÑci b“dce superpozycjami monochromatycznych fal de Broglie’a

Sens fizyczny funkcji falowej

Interpretacja Borna (1926 r.)

Sama funkcja falowa nie ma bezpoÑredniej interpretacji fizycznej.
Interpretacj“  fizyczn  ma  natomiast  kwadrat modu»u funkcji falowej

 tak, óe

gdzie 

 - prawdopodobie½stwo tego, óe czstka znajdzie si“ wewntrz

obszaru o obj“toÑci 

.

Funkcja  Q cz“sto jest rozumiana jako funkcja znormalizowana
(unormowana), czyli spe»niajca warunek

(wtedy  

)

G“stoу prawdopodobie½stwa znalezienia czstki w danym elemencie
przestrzeni:

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mec hanika kw antowa 4

Opis ruchu czstki swobodnej za pomoc monochromatycznej fali de
Broglie’a

w jednym wymiarze, dla czstki

poruszajcej si“ wzd»uó os x

w przestrzeni trójwymiarowej, dla czstki

poruszajcej si“ w kierunku 

Czstki opisane tak fal maj ÑciÑle okreÑlon energi“ i p“d, ale ich
zaleónoу po»oóenia od czasu nie jest okreÑlona.

Pr“dkoу fazowa a pr“dkoу grupowa fal de Broglie'a 

Wynik ten nie jest sprzeczny z teori wzgl“dnoÑci, gdyó aby mówiƒ o
pr“dkoÑci czstki, naleóy jej przyporzdkowaƒ nie fal“ monochromatyczn,
a grup“ fal. Pr“dkoу fazowa fal de Broglie’a zaleóy od ich d»ugoÑci fali

a wi“c fale te podlegaj dyspersji, czyli w konsekwencji pr“dkoу grupowa
jest róóna od pr“dkoÑci fazowej. Pr“dkoу grupowa fal de Broglie'a jest
równa pr“dkoÑci przemieszczania si“ czstki.

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mec hanika kw antowa 5

Opis ruchu czstki swobodnej za pomoc paczki falowej

Dla uproszczenia weïmy czstk“ poruszajc si“ równolegle do osi x, w jej
dodatnim kierunku. Takiej czstce moóna przypisaƒ grup“ fal p»askich o
wartoÑciach modu»u wektora falowego zawartych w pewnym przedziale (o
szerokoÑci 

) wokó» pewnej wartoÑci 

Zwróƒmy uwag“, óe rozmycie   oznacza rozmycie p“du (bo 

) oraz,

óe w takim przypadku wartoÑci cz“stoÑci   s równieó rozmyte wewntrz

pewnego przedzia»u, co wynika relacji energii i p“du

Zasada nieokreÑlonoÑci Heisenberga 

Aby dok»adniej przeanalizowaƒ konsekwencje rozmycia energii i p“du w
paczce falowej, wykonajmy ca»kowanie we wzorze opisujcym paczk“

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mec hanika kw antowa 6

,

,

Sens fizyczny ma kwadrat modu»u funkcji falowej 

 

Std mamy  

,    gdzie

 

Dla czstki opisanej paczk falow mamy pewien zakres wartoÑci   (nie

pojedyncz wartoу).  Moóna w pierwszym przyblióeniu przyjƒ, óe
nieokreÑlonoу   wynosi co najmniej 

czyli, óe

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mec hanika kw antowa 7

PokazaliÑmy, óe dla czstki swobodnej opisanej paczk falow

1. JeÑli ustalimy czas (

), to

 

6

6

6

 

W analogiczny sposób moóna otrzymaƒ

Niemoóliwe jest jednoczesne okreÑlenie p“du i po»oóenia czstki

2. JeÑli ustalimy po»oóenie (

), to

 

  6

6

6

Energia czstki w danym stanie moóe byƒ okreÑlona z tym
wi“ksz dok»adnoÑci, im d»uóej czstka znajduje si“ w tym
stanie

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mec hanika kw antowa 8

Równanie Schrödingera  (1926)

,

,

,

Funkcja 

 spe»nia warunek 

, gdzie

.  (gradient U ze znakiem minus jest

równy wypadkowej sile dzia»ajcej na czstk“). JeÑli U nie zaleóy od

czasu, to 

 jest energi potencjaln czstki.

Funkcja falowa musi spe»niaƒ tzw. warunki naturalne. Zgodnie z nimi
funkcja falowa musi byƒ:

!

cig»a,

!

g»adka - pochodne 

, 

, 

powinny byƒ cig»e,

!

jednoznaczna,

!

ograniczona,

!

funkcja 

powinna byƒ ca»kowalna, tzn. ca»ka

 

powinna mieƒ wartoу sko½czon.

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mec hanika kw antowa 9

Stan stacjonarny czstki stan, w któr ym  

,  

g“stoу

prawdopodobie½stwa znalezienia czstki w
danym obszarze przestrzeni nie zaleóy od czasu.

Stan stacjonarny jest charakterystyczny dla stacjonarnego pola si»

. Dla stanu stacjonarnego funkcja falowa moóe byƒ

zapisana jako iloczyn funkcji zaleónej tylko od wspó»rz“dnych i funkcji
zaleónej tylko od czasu

gdzie E jest energi ca»kowit czstki

Postaƒ równania Schrödingera dla stanu stacjonarnego

    

stacjonarne równanie Schrödingera,
równanie Schrödingera bez czasu.

Cz“sto wygodna jest postaƒ równania Schrödingera po uporzdkowaniu

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 10

Równanie Schrödingera w zapisie operatorowym

operator energii ca»kowitej, operator

Hamiltona, hamiltonian

Postaƒ równania Schrödingera z uóyciem operatora 

 

 bez czasu

  z czasem

Zagadnienie w»asne

R

funkcja w»asna operatora 

wartoу w»asna

Rozwizanie równania Schrödingera dla przypadku nieograniczonego ruchu
czstki wzd»uó osi x

W tym przypadku  

.  Przyjmijmy 

 

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 11

 - sta»e

Dla czstki poruszajcej si“ w dodatnim kierunku osi x

(przyjmujemy 

)

Dla czstki poruszajcej si“ w ujemnym kierunku osi x

(przyjmujemy 

)

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 12

Ograniczony ruch czstki wzd»uó osi x. Niesko½czenie g»“boka jedno-
wymiarowa jama potencja»u 

Warunek brzegowy dla 

czyli   

Warunek brzegowy dla 

  

 

    

   

,   

       

      n - liczba kwantowa

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 13

Funkcja falowa czstki w niesko½czenie g»“bokiej jednowymiarowej jamie
potencja»u

Warunek unormowania

     

  -  nieistotny czynnik fazowy

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 14

Skok potencja»u (bariera potencja»u o niesko½czonej szerokoÑci) 

Za»óómy 

   

, bo 

 sko½czona

Ostatecznie

fala

fala

fala wnikajca do obszaru 

padajca

odbita

bariery

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 15

Obliczmy wspó»czynnik odbicia czstki

Z warunku cig»oÑci funkcji falowej w punkcie 

Z warunku g»adkoÑci funkcji falowej w punkcie 

Po dodaniu stronami otrzymanych równa½

Std

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 16

Odbicie czstki od skoku potencja»u w przypadku E > U

0

 

Za»óómy 

  

, bo w obszarze II nie ma fali odbitej

Z warunku cig»oÑci i g»adkoÑci funkcji falowej w punkcie 

 mamy

Std

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 17

Bariera potencja»u o sko½czonej szerokoÑci

Za»óómy 

, bo w obszarze III nie ma

fali odbitej

Cig»oу

   

G»adkoу

   

Na podstawie tych równa½ moóna wyznaczyƒ wspó»czynnik transmisji T

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 18

PrzejÑcie czstki przez barier“ o dowolnym kszta»cie

Dla bariery prostoktnej o wysokoÑci U

0

 i szerokoÑci l

Dla bariery prostoktnej o wysokoÑci U(x) i szerokoÑci 

Dla bariery o dowolnym kszta»cie

efekt tunelowy    -

przechodzenie czstki przez barier“ potencja»u
wyósz od energii czstki bez zmiany energii czstki

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 19

Kwantyzacja momentu p“du

W mechanice kwantowej kaódej wielkoÑci fizycznej przypisuje si“ operator.
Np.:

dla energii

dla p“du

dla po»oóenia

Aby zapewniƒ przejÑcie mechaniki kwantowej w mechanik“ klasyczn przy
przechodzeniu do coraz wi“kszych uk»adów, jako postulat przyjmuje si“
zasad“ odpowiednioÑci:

Relacje, w których nie wyst“puj pochodne, spe»nione przez wielkoÑci
fizyczne w mechanice klasycznej zachodz równieó po zastpieniu tych
wielkoÑci odpowiadajcymi im operatorami kwantowymi.

W przypadku momentu p“du definiowanego klasycznie

W mechanice kwantowej dla momentu p“du waóne s cztery operatory:

,

    

oraz

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 20

Okazuje si“, óe w mechanice kwantowej wielkoÑci rzutów wektora momentu
p“du 

, 

 i 

 s wzajemnie sprz“óone przez zasad“ nieokreÑlonoÑci

Heisenberga. W danym stanie ca»kowicie okreÑlony moóe byƒ tylko jeden z
nich oraz modu» wektora momentu p“du. Kierunek wektora momentu p“du
pozostaje nieokreÑlony.

Analiz“ w»asnoÑci momentu p“du wygodnie jest prowadziƒ we
wspó»rz“dnych sferycznych

Operatory 

, 

 i 

 maj wtedy postaƒ 

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 21

Modu» momentu p“du

Operator

  

we wspó»rz“dnych sferycznych przyjmuje postaƒ

Rozwizanie równania w»asnego tego operatora

jest trudne. W wyniku otrzymuje si“

  - azymutalna (orbitalna) liczba kwantowa

Std wynika, óe modu» wektora momentu p“du moóe mieƒ jedynie dyskretne
wartoÑci

Sta»a Plancka   moóe byƒ traktowana jako naturalna jednostka momentu

p“du. Moment p“du wszystkich cia» jest skwantowany. Jednakóe, na skutek
niewielkiej wartoÑci   praktycznie nie moóna obserwowaƒ niecig»oÑci

momentów p“du cia» makroskopowych.

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 22

Sk»adowa z momentu p“du

Sk»adow z momentu p“du stanowi wartoу w»asna 

 operatora 

 b“dca

rozwizaniem równania

lub we wsp. sferycznych: 

Z podstawienia 

 mamy 

, a dalej 

. Zatem

funkcja w»asna operatora 

 ma postaƒ

C - pewna funkcja niezaleóna od 

Z warunku jednoznacznoÑci funkcji falowej mamy 

, czyli

Std

 

m  - m a g n e t y c z n a

liczba kwantowa

Rzut wektora nie moóe byƒ wi“kszy nió modu» tego wektora, czyli

Std

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 23

Kwantowanie przestrzenne momentu
p“du dla 

. Kt azymutalny   jest

dowolny.

Kierunek osi z jest kierunkiem wyróónio-
nym (np. przez kierunek zewn“trznego
pola magnetycznego). Moment p“du
wykonuje precesj“ wokó» tego kierunku.
Std  jego rzuty na osie x i y nie s
okreÑlone.

Funkcje w»asne operatorów 

i 

Operatory  

i 

 posiadaj wspólne funkcje w»asne, które nosz nazw“

funkcji kulistych (sferycznych) i s oznaczane 

. Po unormowaniu

Funkcje 

 s tzw. stowarzyszonymi funkcjami Legendre’a

zwizanymi z wielomianami Legendre’a 

 poprzez równania

  

Zachodz wi“c relacje

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 24

Atom wodoru i jony wodoropodobne

S to uk»ady sk»adajce si“ z nieruchomego jdra o »adunku 

 (  - liczba

ca»kowita) i poruszajcego si“ wokó» niego elektronu.

atom wodoru

jon wodoropodobny

Energia potencjalna elektronu

Równanie Schrödingera

 

Operator 

 we wspó»rz“dnych sferycznych moóna zapisaƒ w postaci

gdzie 

Równanie Schrödingera we wspó»rz“dnych sferycznych

Z postaci tego równania moóna wnosiƒ, óe

 

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 25

W rezultacie otrzymujemy równanie:

Dwie funkcje róónych argumentów mog byƒ toósamoÑciowo równe sobie
tylko wtedy, kiedy s one równe sta»ej. Przyjmiemy, óe kaóda ze stron
powyószego równania jest równa  . 

1) prawa strona 

Std na podstawie poprzednich wyników wnioskujemy, óe
a)

 

,

b)

funkcje 

 s typu 

.

2) lewa strona

lub

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 26

Interesuje nas stan zwizany elektronu z jdrem, czyli przypadek 

. W

tych warunkach równanie to ma rozwizania dla dyskretnych wartoÑci
energii ca»kowitej. Energia elektronu w atomie wodoru lub jonie
wodoropodobnym jest skwantowana

n  - g » ó w n a   li c z ba

kwantowa

Rozwizania spe»niajce warunki naturalne moóna uzyskaƒ jedynie dla
wartoÑci 

 nie przekraczajcych 

. Zatem azymutalna liczba

kwantowa   moóe przyjmowaƒ   róónych wartoÑci

Dla danego  , magnetyczna liczba kwantowa 

 moóe przyjmowaƒ 

róónych wartoÑci

Dla danego  , stany kwantowe opisane funkcjami w»asnymi 

o róónych wartoÑciach  i 

 maj t“ sam energi“.

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 27

stany zdegenerowane
(zwyrodnia»e)

-

stany o jednakowych energiach

krotnoу degeneracji
(zwyrodnienia)

-

liczba stanów o jednakowych
wartoÑciach energii

W  atomie wodoru i jonie wodoropodobnym stan o danej wartoÑci   jest

 - krotnie zdegenerowany.

Stanom o róónych wartoÑciach  , a takóe elektronom b“dcym w tych

stanach przypisuje si“ umowne oznaczenia wed»ug schematu:

l

0

1

2

3

4

...

oznaczenie stanu

(elektronu)

s

p

d

f

g

...

Dla oznaczenia stanu elektronu, wartoу g»ównej liczby kwantowej podaje
si“ przed umownym oznaczeniem liczby kwantowej  . Moóliwe s

nast“pujce stany elektronu:

1s,
2s,  2p,
3s,  3p,  3d,
4s,  4p,  4d,  4f,
...    ...    ...    ......

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 28

Emisja i absorpcja Ñwiat»a w atomie wodoru i jonie wodoropodobnym

Emisja i absorpcja Ñwiat»a zwizane s z przechodzeniem elektronu z
jakiegoÑ stanu do innego.

Regu»a wyboru dla liczby kwantowej  :

Regu»a ta wynika z zasady zachowania momentu p“du. W trakcie
absorpcji foton dostarcza moment p“du do atomu, w trakcie emisji
zabiera.

Seria Lymena

Seria Balmera

,

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 29

Funkcje falowe opisujce poszczególne stany elektronu w atomie wodoru lub
jonie wodoropodobnym maj postaƒ:

rzeczywiste,

zespolone

W stanach s (tj. dla 

) 

 jest funkcj sta» niezaleón od   i  ,

tak wi“c funkcje falowe 

 zaleó tylko od r.

G“stoу prawdopodobie½stwa D(r) znalezienia elektronu w odleg»oÑci r od
jdra

G“stoу prawdopodobie½stwa znalezienia elektronu w punkcie 

Aby znale

naleóy sca»kowaƒ 

po ca»ej powierzchni   kuli o

promieniu 

We wspó»rz“dnych sferycznych zmiana któw   i   o 

 i 

zwizana

jest na powierzchni kuli o promieniu   z elementem powierzchni

      

     

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 30

Zak»adamy przy tym, óe funkcje falowe 

 i 

 s unormowane,

czyli óe

 

 - promie½ Bohra

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 31

Orbital atomowy 

-

funkcja falowa okreÑlajca stan elektronu
w atomie

Orbital molekularny

-

funkcja falowa okreÑlajca stan elektronu
w czsteczce

Kszta

»

ty orbitali s, p i d w zewn

“

trznym polu skierowanym wzd

»

u

ó

 osi z

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 32

Moment magnetyczny elektronu

Podstawowe w»aÑciwoÑci magnetyczne
elektronu w atomie moóna objaÑniƒ
pos»ugujc si“ prostym modelem Bohra

Dipolowy moment magnetyczny obwodu z prdem

Dla elektronu w atomie:    - orbitalny moment magnetyczny elektronu

  - stosunek óyromagnetyczny

 -  magneton Bohra

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 33

Moment magnetyczny w zewn“trznym jednorodnym polu magnetycznym

Moment magnetyczny w zewn“trznym niejednorodnym polu magnetycznym

 -  kierunek najwi“kszych zmian 

 -  kt mi“dzy   i 

DoÑwiadczenie Sterna  i Gerlacha

DoÑwiadczenie to wykaza»o, óe kty wyznaczajce orientacj“ atomów
wzgl“dem pola magnetycznego mog przyjmowaƒ jedynie wartoÑci
dyskretne, co oznacza, óe rzut momentu magnetycznego na kierunek pola
podlega kwantowaniu

 

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 34

Spin elektronu

Spin    

      - w»asny moment p“du 

 czstki, nie zwizany z

ruchem czstki w przestrzeni.

Spin elektronu - zapostulowany przez Uhlenbecka i Goudsmita w

1925 r. dla wyjaÑnienia rozszczepienia poziomów
energetycznych elektronu w atomach (tzw. struktury
subtelnej widm).

Wartoу w»asnego momentu p“du (spinu) elektronu okreÑlona jest za

pomoc tzw. spinowej liczby kwantowej   równej 

Rzut spinu na zadany kierunek moóe przyjmowaƒ skwantowane wartoÑci
róónice si“ od siebie o   

(

)

Z doÑwiadcze½ (np. z anomalnego efektu Zeemana) wynika, óe ze spinem
elektronu zwizany jest spinowy moment magnetyczny 

Stosunek óyromagnetyczny 

dla spinu jest 

dwa 

razy 

wi“kszy 

nió 

dla ruchu orbitalnego elektronu. Zachodzi wi“c

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

Mechanika kwantowa 35

Rzut spinowego momentu magnetycznego elektronu na zadany kierunek
moóe mieƒ dwie wartoÑci

Zasada wykluczania Pauliego

Stan kaódego elektronu w atomie opisany jest czterema liczbami
kwantowymi:

g»ówn

(

),

orbitaln

(

),

magnetyczn

(

),

spinow

(

),

Dla 

jonu 

wodoropodobnego energia stanu podstawowego 

Zakaz (zasada wykluczania) Pauliego:

W jednym i tym samym atomie (lub w jakimÑ innym uk»adzie
kwantowym) nie moóe byƒ dwóch elektronów opisywanych przez taki
sam zbiór czterech liczb kwantowych  ,  , 

 i 

. Dwa elektrony nie

mog jednoczeÑnie znajdowaƒ si“ w jednym i tym samym stanie
kwantowym.

Zakaz Pauliego pozwala np. wyjaÑniƒ periodyczn powtarzalnoу w»asnoÑci
atomów.

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.