Mec hanika kw antowa 1
ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ
Mechanika kwantowa (albo mechanika falowa) zajmuje si ruchami
mikroczsteczek i ich oddzia»ywaniami (o ile nie prowadz do zmiany liczby
i rodzaju mikroczstek)
Zajmiemy si mechanik kwantow nierelatywistyczn.
Hipoteza de Broglie’a (1924 r.)
Jeóeli Ñwiat»o ma dwoist falowo-czstkow natur,
- fale o czstoÑci i d»ugoÑci
- czstki o energii
i pdzie
to takóe czstki o niezerowej masie powinny mie tak natur.
Czstki takie, o energii i pdzie , zachowuj si jak
fale o czstoÑci
i d»ugoÑci
.
(E i p rozumiane s tu w sensie relatywistycznym:
,
)
DoÑwiadczenie Davissona i Germera - pierwsze potwierdzenie hipotezy de
Broglie'a (1927 r.)
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mec hanika kw antowa 2
S
k
- p»aszczyzny sieciowe
CD - r ó ó n i c a d r ó g c i g ó w
falowych P
1
B i P
2
B
Wzmocnienie, gdy
(warunek Braggów)
,
,
,
,
Wniosek:
Kaódej poruszajcej si czstce materialnej moóna przypisa fal materii,
której d»ugoÑ jest okreÑlona wzorem de Broglie'a
.
Materia, podobnie jak promieniowanie, wykazuje dualizm falowo-czstkowy.
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mec hanika kw antowa 3
Funkcja falowa
W mechanice kwantowej czstkom przypisuje si funkcje falowe
w ogólnoÑci bdce superpozycjami monochromatycznych fal de Broglie’a
Sens fizyczny funkcji falowej
Interpretacja Borna (1926 r.)
Sama funkcja falowa nie ma bezpoÑredniej interpretacji fizycznej.
Interpretacj fizyczn ma natomiast kwadrat modu»u funkcji falowej
tak, óe
gdzie
- prawdopodobie½stwo tego, óe czstka znajdzie si wewntrz
obszaru o objtoÑci
.
Funkcja Q czsto jest rozumiana jako funkcja znormalizowana
(unormowana), czyli spe»niajca warunek
(wtedy
)
GstoÑ prawdopodobie½stwa znalezienia czstki w danym elemencie
przestrzeni:
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mec hanika kw antowa 4
Opis ruchu czstki swobodnej za pomoc monochromatycznej fali de
Broglie’a
w jednym wymiarze, dla czstki
poruszajcej si wzd»uó os x
w przestrzeni trójwymiarowej, dla czstki
poruszajcej si w kierunku
Czstki opisane tak fal maj ÑciÑle okreÑlon energi i pd, ale ich
zaleónoÑ po»oóenia od czasu nie jest okreÑlona.
PrdkoÑ fazowa a prdkoÑ grupowa fal de Broglie'a
Wynik ten nie jest sprzeczny z teori wzgldnoÑci, gdyó aby mówi o
prdkoÑci czstki, naleóy jej przyporzdkowa nie fal monochromatyczn,
a grup fal. PrdkoÑ fazowa fal de Broglie’a zaleóy od ich d»ugoÑci fali
a wic fale te podlegaj dyspersji, czyli w konsekwencji prdkoÑ grupowa
jest róóna od prdkoÑci fazowej. PrdkoÑ grupowa fal de Broglie'a jest
równa prdkoÑci przemieszczania si czstki.
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mec hanika kw antowa 5
Opis ruchu czstki swobodnej za pomoc paczki falowej
Dla uproszczenia weïmy czstk poruszajc si równolegle do osi x, w jej
dodatnim kierunku. Takiej czstce moóna przypisa grup fal p»askich o
wartoÑciach modu»u wektora falowego zawartych w pewnym przedziale (o
szerokoÑci
) wokó» pewnej wartoÑci
Zwrómy uwag, óe rozmycie oznacza rozmycie pdu (bo
) oraz,
óe w takim przypadku wartoÑci czstoÑci s równieó rozmyte wewntrz
pewnego przedzia»u, co wynika relacji energii i pdu
Zasada nieokreÑlonoÑci Heisenberga
Aby dok»adniej przeanalizowa konsekwencje rozmycia energii i pdu w
paczce falowej, wykonajmy ca»kowanie we wzorze opisujcym paczk
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mec hanika kw antowa 6
,
,
Sens fizyczny ma kwadrat modu»u funkcji falowej
Std mamy
, gdzie
Dla czstki opisanej paczk falow mamy pewien zakres wartoÑci (nie
pojedyncz wartoÑ). Moóna w pierwszym przyblióeniu przyj, óe
nieokreÑlonoÑ wynosi co najmniej
czyli, óe
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mec hanika kw antowa 7
PokazaliÑmy, óe dla czstki swobodnej opisanej paczk falow
1. JeÑli ustalimy czas (
), to
6
6
6
W analogiczny sposób moóna otrzyma
Niemoóliwe jest jednoczesne okreÑlenie pdu i po»oóenia czstki
2. JeÑli ustalimy po»oóenie (
), to
6
6
6
Energia czstki w danym stanie moóe by okreÑlona z tym
wiksz dok»adnoÑci, im d»uóej czstka znajduje si w tym
stanie
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mec hanika kw antowa 8
Równanie Schrödingera (1926)
,
,
,
Funkcja
spe»nia warunek
, gdzie
. (gradient U ze znakiem minus jest
równy wypadkowej sile dzia»ajcej na czstk). JeÑli U nie zaleóy od
czasu, to
jest energi potencjaln czstki.
Funkcja falowa musi spe»nia tzw. warunki naturalne. Zgodnie z nimi
funkcja falowa musi by:
!
cig»a,
!
g»adka - pochodne
,
,
powinny by cig»e,
!
jednoznaczna,
!
ograniczona,
!
funkcja
powinna by ca»kowalna, tzn. ca»ka
powinna mie wartoÑ sko½czon.
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mec hanika kw antowa 9
Stan stacjonarny czstki stan, w któr ym
,
gstoÑ
prawdopodobie½stwa znalezienia czstki w
danym obszarze przestrzeni nie zaleóy od czasu.
Stan stacjonarny jest charakterystyczny dla stacjonarnego pola si»
. Dla stanu stacjonarnego funkcja falowa moóe by
zapisana jako iloczyn funkcji zaleónej tylko od wspó»rzdnych i funkcji
zaleónej tylko od czasu
gdzie E jest energi ca»kowit czstki
Posta równania Schrödingera dla stanu stacjonarnego
stacjonarne równanie Schrödingera,
równanie Schrödingera bez czasu.
Czsto wygodna jest posta równania Schrödingera po uporzdkowaniu
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 10
Równanie Schrödingera w zapisie operatorowym
operator energii ca»kowitej, operator
Hamiltona, hamiltonian
Posta równania Schrödingera z uóyciem operatora
bez czasu
z czasem
Zagadnienie w»asne
R
funkcja w»asna operatora
wartoÑ w»asna
Rozwizanie równania Schrödingera dla przypadku nieograniczonego ruchu
czstki wzd»uó osi x
W tym przypadku
. Przyjmijmy
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 11
- sta»e
Dla czstki poruszajcej si w dodatnim kierunku osi x
(przyjmujemy
)
Dla czstki poruszajcej si w ujemnym kierunku osi x
(przyjmujemy
)
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 12
Ograniczony ruch czstki wzd»uó osi x. Niesko½czenie g»boka jedno-
wymiarowa jama potencja»u
Warunek brzegowy dla
czyli
Warunek brzegowy dla
,
n - liczba kwantowa
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 13
Funkcja falowa czstki w niesko½czenie g»bokiej jednowymiarowej jamie
potencja»u
Warunek unormowania
- nieistotny czynnik fazowy
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 14
Skok potencja»u (bariera potencja»u o niesko½czonej szerokoÑci)
Za»óómy
, bo
sko½czona
Ostatecznie
fala
fala
fala wnikajca do obszaru
padajca
odbita
bariery
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 15
Obliczmy wspó»czynnik odbicia czstki
Z warunku cig»oÑci funkcji falowej w punkcie
Z warunku g»adkoÑci funkcji falowej w punkcie
Po dodaniu stronami otrzymanych równa½
Std
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 16
Odbicie czstki od skoku potencja»u w przypadku E > U
0
Za»óómy
, bo w obszarze II nie ma fali odbitej
Z warunku cig»oÑci i g»adkoÑci funkcji falowej w punkcie
mamy
Std
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 17
Bariera potencja»u o sko½czonej szerokoÑci
Za»óómy
, bo w obszarze III nie ma
fali odbitej
Cig»oÑ
G»adkoÑ
Na podstawie tych równa½ moóna wyznaczy wspó»czynnik transmisji T
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 18
PrzejÑcie czstki przez barier o dowolnym kszta»cie
Dla bariery prostoktnej o wysokoÑci U
0
i szerokoÑci l
Dla bariery prostoktnej o wysokoÑci U(x) i szerokoÑci
Dla bariery o dowolnym kszta»cie
efekt tunelowy -
przechodzenie czstki przez barier potencja»u
wyósz od energii czstki bez zmiany energii czstki
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 19
Kwantyzacja momentu pdu
W mechanice kwantowej kaódej wielkoÑci fizycznej przypisuje si operator.
Np.:
dla energii
dla pdu
dla po»oóenia
Aby zapewni przejÑcie mechaniki kwantowej w mechanik klasyczn przy
przechodzeniu do coraz wikszych uk»adów, jako postulat przyjmuje si
zasad odpowiednioÑci:
Relacje, w których nie wystpuj pochodne, spe»nione przez wielkoÑci
fizyczne w mechanice klasycznej zachodz równieó po zastpieniu tych
wielkoÑci odpowiadajcymi im operatorami kwantowymi.
W przypadku momentu pdu definiowanego klasycznie
W mechanice kwantowej dla momentu pdu waóne s cztery operatory:
,
oraz
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 20
Okazuje si, óe w mechanice kwantowej wielkoÑci rzutów wektora momentu
pdu
,
i
s wzajemnie sprzóone przez zasad nieokreÑlonoÑci
Heisenberga. W danym stanie ca»kowicie okreÑlony moóe by tylko jeden z
nich oraz modu» wektora momentu pdu. Kierunek wektora momentu pdu
pozostaje nieokreÑlony.
Analiz w»asnoÑci momentu pdu wygodnie jest prowadzi we
wspó»rzdnych sferycznych
Operatory
,
i
maj wtedy posta
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 21
Modu» momentu pdu
Operator
we wspó»rzdnych sferycznych przyjmuje posta
Rozwizanie równania w»asnego tego operatora
jest trudne. W wyniku otrzymuje si
- azymutalna (orbitalna) liczba kwantowa
Std wynika, óe modu» wektora momentu pdu moóe mie jedynie dyskretne
wartoÑci
Sta»a Plancka moóe by traktowana jako naturalna jednostka momentu
pdu. Moment pdu wszystkich cia» jest skwantowany. Jednakóe, na skutek
niewielkiej wartoÑci praktycznie nie moóna obserwowa niecig»oÑci
momentów pdu cia» makroskopowych.
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 22
Sk»adowa z momentu pdu
Sk»adow z momentu pdu stanowi wartoÑ w»asna
operatora
bdca
rozwizaniem równania
lub we wsp. sferycznych:
Z podstawienia
mamy
, a dalej
. Zatem
funkcja w»asna operatora
ma posta
C - pewna funkcja niezaleóna od
Z warunku jednoznacznoÑci funkcji falowej mamy
, czyli
Std
m - m a g n e t y c z n a
liczba kwantowa
Rzut wektora nie moóe by wikszy nió modu» tego wektora, czyli
Std
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 23
Kwantowanie przestrzenne momentu
pdu dla
. Kt azymutalny jest
dowolny.
Kierunek osi z jest kierunkiem wyróónio-
nym (np. przez kierunek zewntrznego
pola magnetycznego). Moment pdu
wykonuje precesj wokó» tego kierunku.
Std jego rzuty na osie x i y nie s
okreÑlone.
Funkcje w»asne operatorów
i
Operatory
i
posiadaj wspólne funkcje w»asne, które nosz nazw
funkcji kulistych (sferycznych) i s oznaczane
. Po unormowaniu
Funkcje
s tzw. stowarzyszonymi funkcjami Legendre’a
zwizanymi z wielomianami Legendre’a
poprzez równania
Zachodz wic relacje
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 24
Atom wodoru i jony wodoropodobne
S to uk»ady sk»adajce si z nieruchomego jdra o »adunku
( - liczba
ca»kowita) i poruszajcego si wokó» niego elektronu.
atom wodoru
jon wodoropodobny
Energia potencjalna elektronu
Równanie Schrödingera
Operator
we wspó»rzdnych sferycznych moóna zapisa w postaci
gdzie
Równanie Schrödingera we wspó»rzdnych sferycznych
Z postaci tego równania moóna wnosi, óe
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 25
W rezultacie otrzymujemy równanie:
Dwie funkcje róónych argumentów mog by toósamoÑciowo równe sobie
tylko wtedy, kiedy s one równe sta»ej. Przyjmiemy, óe kaóda ze stron
powyószego równania jest równa .
1) prawa strona
Std na podstawie poprzednich wyników wnioskujemy, óe
a)
,
b)
funkcje
s typu
.
2) lewa strona
lub
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 26
Interesuje nas stan zwizany elektronu z jdrem, czyli przypadek
. W
tych warunkach równanie to ma rozwizania dla dyskretnych wartoÑci
energii ca»kowitej. Energia elektronu w atomie wodoru lub jonie
wodoropodobnym jest skwantowana
n - g » ó w n a li c z ba
kwantowa
Rozwizania spe»niajce warunki naturalne moóna uzyska jedynie dla
wartoÑci
nie przekraczajcych
. Zatem azymutalna liczba
kwantowa moóe przyjmowa róónych wartoÑci
Dla danego , magnetyczna liczba kwantowa
moóe przyjmowa
róónych wartoÑci
Dla danego , stany kwantowe opisane funkcjami w»asnymi
o róónych wartoÑciach i
maj t sam energi.
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 27
stany zdegenerowane
(zwyrodnia»e)
-
stany o jednakowych energiach
krotnoÑ degeneracji
(zwyrodnienia)
-
liczba stanów o jednakowych
wartoÑciach energii
W atomie wodoru i jonie wodoropodobnym stan o danej wartoÑci jest
- krotnie zdegenerowany.
Stanom o róónych wartoÑciach , a takóe elektronom bdcym w tych
stanach przypisuje si umowne oznaczenia wed»ug schematu:
l
0
1
2
3
4
...
oznaczenie stanu
(elektronu)
s
p
d
f
g
...
Dla oznaczenia stanu elektronu, wartoÑ g»ównej liczby kwantowej podaje
si przed umownym oznaczeniem liczby kwantowej . Moóliwe s
nastpujce stany elektronu:
1s,
2s, 2p,
3s, 3p, 3d,
4s, 4p, 4d, 4f,
... ... ... ......
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 28
Emisja i absorpcja Ñwiat»a w atomie wodoru i jonie wodoropodobnym
Emisja i absorpcja Ñwiat»a zwizane s z przechodzeniem elektronu z
jakiegoÑ stanu do innego.
Regu»a wyboru dla liczby kwantowej :
Regu»a ta wynika z zasady zachowania momentu pdu. W trakcie
absorpcji foton dostarcza moment pdu do atomu, w trakcie emisji
zabiera.
Seria Lymena
Seria Balmera
,
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 29
Funkcje falowe opisujce poszczególne stany elektronu w atomie wodoru lub
jonie wodoropodobnym maj posta:
rzeczywiste,
zespolone
W stanach s (tj. dla
)
jest funkcj sta» niezaleón od i ,
tak wic funkcje falowe
zaleó tylko od r.
GstoÑ prawdopodobie½stwa D(r) znalezienia elektronu w odleg»oÑci r od
jdra
GstoÑ prawdopodobie½stwa znalezienia elektronu w punkcie
Aby znaleï
naleóy sca»kowa
po ca»ej powierzchni kuli o
promieniu
We wspó»rzdnych sferycznych zmiana któw i o
i
zwizana
jest na powierzchni kuli o promieniu z elementem powierzchni
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 30
Zak»adamy przy tym, óe funkcje falowe
i
s unormowane,
czyli óe
- promie½ Bohra
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 31
Orbital atomowy
-
funkcja falowa okreÑlajca stan elektronu
w atomie
Orbital molekularny
-
funkcja falowa okreÑlajca stan elektronu
w czsteczce
Kszta
»
ty orbitali s, p i d w zewn
trznym polu skierowanym wzd
»
u
ó
osi z
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 32
Moment magnetyczny elektronu
Podstawowe w»aÑciwoÑci magnetyczne
elektronu w atomie moóna objaÑni
pos»ugujc si prostym modelem Bohra
Dipolowy moment magnetyczny obwodu z prdem
Dla elektronu w atomie: - orbitalny moment magnetyczny elektronu
- stosunek óyromagnetyczny
- magneton Bohra
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 33
Moment magnetyczny w zewntrznym jednorodnym polu magnetycznym
Moment magnetyczny w zewntrznym niejednorodnym polu magnetycznym
- kierunek najwikszych zmian
- kt midzy i
DoÑwiadczenie Sterna i Gerlacha
DoÑwiadczenie to wykaza»o, óe kty wyznaczajce orientacj atomów
wzgldem pola magnetycznego mog przyjmowa jedynie wartoÑci
dyskretne, co oznacza, óe rzut momentu magnetycznego na kierunek pola
podlega kwantowaniu
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 34
Spin elektronu
Spin
- w»asny moment pdu
czstki, nie zwizany z
ruchem czstki w przestrzeni.
Spin elektronu - zapostulowany przez Uhlenbecka i Goudsmita w
1925 r. dla wyjaÑnienia rozszczepienia poziomów
energetycznych elektronu w atomach (tzw. struktury
subtelnej widm).
WartoÑ w»asnego momentu pdu (spinu) elektronu okreÑlona jest za
pomoc tzw. spinowej liczby kwantowej równej
Rzut spinu na zadany kierunek moóe przyjmowa skwantowane wartoÑci
róónice si od siebie o
(
)
Z doÑwiadcze½ (np. z anomalnego efektu Zeemana) wynika, óe ze spinem
elektronu zwizany jest spinowy moment magnetyczny
Stosunek óyromagnetyczny
dla spinu jest
dwa
razy
wikszy
nió
dla ruchu orbitalnego elektronu. Zachodzi wic
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Mechanika kwantowa 35
Rzut spinowego momentu magnetycznego elektronu na zadany kierunek
moóe mie dwie wartoÑci
Zasada wykluczania Pauliego
Stan kaódego elektronu w atomie opisany jest czterema liczbami
kwantowymi:
g»ówn
(
),
orbitaln
(
),
magnetyczn
(
),
spinow
(
),
Dla
jonu
wodoropodobnego energia stanu podstawowego
Zakaz (zasada wykluczania) Pauliego:
W jednym i tym samym atomie (lub w jakimÑ innym uk»adzie
kwantowym) nie moóe by dwóch elektronów opisywanych przez taki
sam zbiór czterech liczb kwantowych , ,
i
. Dwa elektrony nie
mog jednoczeÑnie znajdowa si w jednym i tym samym stanie
kwantowym.
Zakaz Pauliego pozwala np. wyjaÑni periodyczn powtarzalnoÑ w»asnoÑci
atomów.
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.