Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu

Laboratorium

BŁĘDY W POMIARACH
BEZPOŚREDNICH

Instrukcja do ćwiczenia nr 2

Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery

Wrocław, listopad 2010 r.

2

Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Ćwiczenie laboratoryjne nr 2

BŁĘDY W POMIARACH BEZPOŚREDNICH

1.C

EL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie niepewności rozszerzonej pomiaru grubości ścianki
przewodu.

2.W

STĘP [1,2,3]

Metoda

pomiarowa bezpośrednia to metoda, w której wartość wielkości mierzonej

otrzymuje się bezpośrednio, bez potrzeby wykonywania dodatkowych obliczeń opartych na

zależnościach funkcyjnych wielkości mierzonej [1]. Przykłady: pomiar temperatury, ciśnienia
statycznego

płynącego gazu w rurociągu, pomiar wilgotności powietrza atmosferycznego,

pomiar

ciśnienia barometrycznego, pomiar długości za pomocą suwmiarki.

Wynik

pomiaru bezpośredniego, dla serii pomiarów x

1

,x

2

…x

N

tej samej wielkości

fizycznej,

można przedstawić za pomocą ogólnego równania [1]:

X = ( X�

s

+ ΣP) ± U(X)

(1)

gdzie:

X�

s

-

średni wynik surowy , bez korekcji błędu systematycznego X�

s

=

∑

x

i

N

i=1

N

,

Σ𝑃- suma poprawek kompensujących wyznaczalne błędy systematyczne,

U(

X)- niepewność rozszerzona pomiaru wielkości X.

Niepewność rozszerzoną pomiaru wielkości X wyraża równanie:

U(X) = k ∙ u(X)

(2)

w którym:
k -

współczynnik rozszerzenia, który dla rozkładu normalnego przyjmuje najczęściej wartość

z przedziału k ∈ < 2, 3 >,
u(X) – niepew

ność standardowa złożona wielkości X.

Uwzględniając istotne źródła niepewności równanie (1) można przedstawić w postaci [1]:

X = W

� + P

w

+ P

rw

+ P

ws

(3)

gdzie:
• W

� -średnia wskazań przyrządu,

• P

W

– poprawka wskazania

przyrządu

• P

rw

–

poprawka kompensująca błąd rozdzielczości przyrządu

• P

ws

- poprawka

związana z warunkami środowiskowymi

Niepewność standardową złożoną wyznacza się z równania:

u(X) = ��

∂X

∂W

���

�

2

u

2

(W

� ) + �

∂X

∂P

w

�

2

u

2

(P

w

) + �

∂X

∂P

rw

�

2

u

2

(P

rw

) + �

∂X

∂P

ws

�

2

u

2

(P

ws

)

(4)

Po przekształceniach otrzymamy:

u(X) = �u

2

(W

� ) + u

2

(P

w

) + u

2

(P

rw

) + u

2

(P

ws

)

(5)

w którym:
• u(W

� )- niepewność wskazania

• u(P

W

)-

niepewność poprawki wskazania

3

• u(P

rw

)-

niepewność rozdzielczości przyrządu

• u(P

ws

)-

niepewność związana z warunkami środowiskowymi

3.O

BLICZENIA SKŁADOWYCH NIEPEWNOŚCI RÓWNANIA (5) [1]

u(

𝐖

� ) – niepewność tą oblicza się najczęściej z rozrzutu wyników wskazania, metodą typu A,

z równania:

u(W

� ) = �

∑

(w

i

−W

��� )

2

N

i=1

N(N−1)

(6)

gdzie: w

i

- pojedyncze

wskazanie przyrządu

N- liczba pomiarów
u(P

w

) -

korzysta się z tablic poprawek lub krzywej kalibracji; jeżeli nie dysponujemy

poprawkami wskazań przyjmuje się , że poprawka wynosi P

w

= 0

, a niepewność tej poprawki

wyznacza się metodą typu B znając błąd graniczny Δ

g

.

Zakładając, że błędy graniczne mają rozkład prostokątny jak na rysunku 1, to odchylenie

standardowe takiego rozkładu, które jest niepewnością standardową typu B wynosi:

Rys 1. Rozkład jednostajny błędów granicznych

u

B

=

∆

g

√3

(7)

u(P

rw

)-

przyjmuje się, że poprawka wynosi 0, a błędy rozdzielczości mają rozkład jak na

rysunku 2.

Rys.2.

Rozkład jednostajny błędów rozdzielczości

Odchylenie

standardowe takiego rozkładu, które jest niepewnością standardową typu B

wynosi:

u

B

=

d

√12

(8)

0

d

1/d

f(

d)

-

Δ

g

+Δ

g

1/(2 Δ

g

)

f(

Δ)

4

u(P

ws

) -

jeżeli poprawką związaną z warunkami środowiskowymi jest poprawka

temperaturowa to można ja wyznaczyć z następującego równania [1]:

P

ws

= Wαδt

(9)

gdzie: W-

wskazanie przyrządu

α - usredniony wspólczynnik rozszerzalności cieplnej

δt - różnica temperatur przyrządu i mierzonego elementu

Niepewność poprawki temperatury wyznacza równanie [1]:

u(P

ws

) = Wαu(δt)

(10)

4. U

LTRADŹWIĘKOWY POMIAR GRUBOŚCI ŚCIANKI PRZEWODU

Grubość ścianki przewodu g wyznaczana jest z równania (11) poprzez pomiar czasu

przejścia τ echa podłużnej fali ultradźwiękowej od czujnika do tylnej ścianki przewodu i z

powrotem. Do wyznaczenia grubości ścianki potrzebna jest również znajomość prędkości fali

podłużnej c w danym materiale. Dla podstawowych materiałów przedstawia je tabela 1.

g=c

∙τ/2

(11)

Rys.

1. Sposób wyznaczenia grubości ścianki przewodu

Tabela 1.

Prędkość podłużnej fali ultradźwiękowej w wybranych materiałach

Rodzaj materiału

Prędkość podłużnej

fali ultradźwiękowej

polietylen

c =2000 m/s

szkło organiczne

c = 2720 m/s

mosiądz

c= 4450 m/s

miedź

c= 4700 m/s

nikiel

c= 5630 m/s

stal

c= 5940 m/s

aluminium

c= 6260 m/s

g

τ

warstwa

sprzęgająca

c

czujnik

ultradźwiękowy

5

R

ysunek 1. Przedstawia zdjęcie grubościomierza ultradźwiękowego.

Rys.1. Grubościomierz ultradźwiękowy

5. SPOSÓB REALIZACJI

ĆWICZENIA

1.

Wprowadzić do pamięci grubościomierza rodzaj materiału z jakiego wykonano
przewód

2.

Zmierzyć 11 krotnie grubość ścianki przewodu g

1

…g

11

3.

Sprawdzić analitycznie czy któryś z otrzymanych wyników nie jest błędem

nadmiernym (omyłką)

4.

Na podstawie rozrzutu wyników wyznaczyć z równania (6) metodą typu A

niepewność wskazania, przyjmując: 𝑊

� = 𝑔̅ , w

i

=g

i,

u(

W

� )=u(g�)

5.

Wyznaczyć z równania (7) metodą typu B niepewność poprawki wskazania u(P

w

),

korzystając z danych grubościomierza zamieszczonych na rysunku 1.

6.

Wyznaczyć metodą typu B z równania (8) niepewność rozdzielczości u(P

rw

)

przyjmując rozdzielczość przyrządu d=0,1 mm

7.

Obliczyć niepewność standardową złożoną z równania (5)

8.

Dobrać współczynnik rozszerzenia k

9.

Zapisać poprawnie wynik pomiaru

6.P

ROCEDURA SPRAWDZENIA OMYŁKI [2]

Z serii otrzymanych wyników g

1

,g

2,…

g

11,

wątpliwy może być wynik o najmniejszej lub

największej wartości. Odrzucamy ten wynik- liczebność próby wynosi wtedy N=10.

1.

Liczymy wartość średnią dla N=10 g� =

∑

g

i

N

i=1

N

2. Obliczamy odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru z równania:

σ = �

1

N−1

∑ (g

i

− g�)

2

N

1

Dane

Grubościomierza ultradźwiękowego

Sono M610

Zakres pomiarowy:
I od 1 do 199,9 mm
II od 2 do 199,9 mm

Błąd graniczny dla I i II zakresu :

Δ

g

=±1% wskazania ± 0,1 mm

Zakres

prędkości fali ultradźwiękowej w

badanym materiale:
c = 1000-20000 m/s
Zakres pracy

głowic:

Od -10

°

C do +40

°

C

Czujnik

ultradźwiękowy

6

3.

Wyznaczamy przedział ufności P�g� − t

qm

σ < 𝑔 < g� + t

qm

σ� = α, przyjąć

α=0,95

4.

Dla niedużej ilości pomiarów wartość współczynnika 𝑡

𝑞𝑚

wyznacz

yć z rozkładu

Studenta (z tabeli 2) dla parametrów:
q= 1-

𝛼 oraz m= N-1

5.

Sprawdzić czy podejrzany wynik mieści się w przedziale ufności: jeżeli tak to nie

jest on omyłką, jeżeli nie to jest omyłką i należy odrzucić go w dalszej analizie

niepewności.

6.

Tabela Rozkładu Studenta wg [2]

Tabela 2. Rozkład studenta [2]

7.POPRAWKA u(P

ws

)-

ZWIĄZANA Z WARUNKAMI ŚRODOWISKOWYMI

Poprawkę tą należałoby uwzględnić, w przypadku gdy pomiar odbywa się w temperaturze

innej niż ta dla której przyrząd wzorcowano-20 °C±1°C. Zmienia się wtedy prędkość fali

ultradźwiękowej i mogą wystąpić błędy związane z pomiarem czasu przejścia echa. Jednak
zmiany temperatury w granicach ±

kilka stopni od temperatury wzorcowania nie wpływają

znacząco na wartość prędkości fali ultradźwiękowej w danym materiale i można przyjąć iż
wynosi ona P

ws

=0 oraz jej niepewność u(P

ws

)=0.

m/q

m

7

8. D

OBÓR WSPÓŁCZYNNIKA ROZSZERZENIA k

Przyjmujemy, że dla więcej niż 3 zmiennych wchodzących w skład równania (5) wypadkowy

ich rozkład dąży do rozkładu normalnego (wg Centralnego Twierdzenia Granicznego). Zatem

dla α=0,95 k=2.

W przypadku gdy niepewność wynikająca z rozrzutu wyników pomiarów u(W

� ), a liczona z

równania (6),

jest większa od niepewności związanej z rozdzielczością u(P

rw

) to tą ostatnią

można pominąć, ponieważ zawiera się ona w niepewności wynikającej z rozrzutu wyników.
Równanie (5) przybiera wtedy

postać:

u(X) = �u

2

(W

� ) + u

2

(P

w

)

(12)

Zawiera ono

dwie składowe o rozkładach normalnym i jednostajnym. Współczynnik

rozszerzenia oblicza się wtedy [1] badając relacje miedzy odchyleniami standardowymi dla
pojedynczego pomiaru:
dla rozkładu normalnego σ

N

= √N ∙ u(W

� )

dla rozkładu jednostajnego σ

J

= u

B

.

Jeżeli σ

N

>

σ

J

to

współczynnik rozszerzenia przyjmuje się jak dla rozkładu normalnego tj. k= 2

dla α= 0,95 lub k=3 dla α=0,99. W przeciwnym razie k = √3 α.

Przykład tabeli pomocniczej do obliczeń niepewności

i

g

rubość ścianki g

i

mm

g

i

-

g�

mm

(𝑔

𝑖

− 𝑔̅)

2

mm

2

1

2

…

10

Σ

-

9. P

RZYKŁADOWE PYTANIA KONTROLNE

1. Definicja metody

bezpośredniej

2. Równanie na wynik pomiaru z

wyjaśnieniem wielkości wchodzących w jego skład

3. Równani

e na niepewność standardową z wyjaśnieniem wielkości wchodzących w jego

skład

4. Sposób wy

znaczenia niepewności wskazania

5. Sposób wyznaczenia poprawek

wchodzących w skład równania na niepewność

standardową

6.

Procedura sprawdzania omyłki

7.

Zasada działania grubościomierza ultradźwiękowego

7. LITERATURA

1. Jerzy Arendarski:

Niepewność pomiarów, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej 2006

2. Danuta Turzeniecka:

Ocena niepewności wyniku pomiaru, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej

1977
3. John.R. Taylor:

Wstęp do analizy błędu pomiarowego, PWN, Warszawa 1999

Data wykonania instrukcji:

18.10.2010