Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu
Laboratorium
BŁĘDY W POMIARACH
BEZPOŚREDNICH
Instrukcja do ćwiczenia nr 2
Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery
Wrocław, listopad 2010 r.
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu
Laboratorium
BŁĘDY W POMIARACH
BEZPOŚREDNICH
Instrukcja do ćwiczenia nr 2
Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery
Wrocław, listopad 2010 r.
2
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Ćwiczenie laboratoryjne nr 2
BŁĘDY W POMIARACH BEZPOŚREDNICH
1.C
EL ĆWICZENIA
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie niepewności rozszerzonej pomiaru grubości ścianki
przewodu.
2.W
STĘP [1,2,3]
Metoda
pomiarowa bezpośrednia to metoda, w której wartość wielkości mierzonej
otrzymuje się bezpośrednio, bez potrzeby wykonywania dodatkowych obliczeń opartych na
zależnościach funkcyjnych wielkości mierzonej [1]. Przykłady: pomiar temperatury, ciśnienia
statycznego
płynącego gazu w rurociągu, pomiar wilgotności powietrza atmosferycznego,
pomiar
ciśnienia barometrycznego, pomiar długości za pomocą suwmiarki.
Wynik
pomiaru bezpośredniego, dla serii pomiarów x
1
,x
2
…x
N
tej samej wielkości
fizycznej,
można przedstawić za pomocą ogólnego równania [1]:
X = ( X�
s
+ ΣP) ± U(X)
(1)
gdzie:
X�
s
-
średni wynik surowy , bez korekcji błędu systematycznego X�
s
=
∑
x
i
N
i=1
N
,
Σ𝑃- suma poprawek kompensujących wyznaczalne błędy systematyczne,
U(
X)- niepewność rozszerzona pomiaru wielkości X.
Niepewność rozszerzoną pomiaru wielkości X wyraża równanie:
U(X) = k ∙ u(X)
(2)
w którym:
k -
współczynnik rozszerzenia, który dla rozkładu normalnego przyjmuje najczęściej wartość
z przedziału k ∈ < 2, 3 >,
u(X) – niepew
ność standardowa złożona wielkości X.
Uwzględniając istotne źródła niepewności równanie (1) można przedstawić w postaci [1]:
X = W
� + P
w
+ P
rw
+ P
ws
(3)
gdzie:
• W
� -średnia wskazań przyrządu,
• P
W
– poprawka wskazania
przyrządu
• P
rw
–
poprawka kompensująca błąd rozdzielczości przyrządu
• P
ws
- poprawka
związana z warunkami środowiskowymi
Niepewność standardową złożoną wyznacza się z równania:
u(X) = ��
∂X
∂W
���
�
2
u
2
(W
� ) + �
∂X
∂P
w
�
2
u
2
(P
w
) + �
∂X
∂P
rw
�
2
u
2
(P
rw
) + �
∂X
∂P
ws
�
2
u
2
(P
ws
)
(4)
Po przekształceniach otrzymamy:
u(X) = �u
2
(W
� ) + u
2
(P
w
) + u
2
(P
rw
) + u
2
(P
ws
)
(5)
w którym:
• u(W
� )- niepewność wskazania
• u(P
W
)-
niepewność poprawki wskazania
3
• u(P
rw
)-
niepewność rozdzielczości przyrządu
• u(P
ws
)-
niepewność związana z warunkami środowiskowymi
3.O
BLICZENIA SKŁADOWYCH NIEPEWNOŚCI RÓWNANIA (5) [1]
u(
𝐖
� ) – niepewność tą oblicza się najczęściej z rozrzutu wyników wskazania, metodą typu A,
z równania:
u(W
� ) = �
∑
(w
i
−W
��� )
2
N
i=1
N(N−1)
(6)
gdzie: w
i
- pojedyncze
wskazanie przyrządu
N- liczba pomiarów
u(P
w
) -
korzysta się z tablic poprawek lub krzywej kalibracji; jeżeli nie dysponujemy
poprawkami wskazań przyjmuje się , że poprawka wynosi P
w
= 0
, a niepewność tej poprawki
wyznacza się metodą typu B znając błąd graniczny Δ
g
.
Zakładając, że błędy graniczne mają rozkład prostokątny jak na rysunku 1, to odchylenie
standardowe takiego rozkładu, które jest niepewnością standardową typu B wynosi:
Rys 1. Rozkład jednostajny błędów granicznych
u
B
=
∆
g
√3
(7)
u(P
rw
)-
przyjmuje się, że poprawka wynosi 0, a błędy rozdzielczości mają rozkład jak na
rysunku 2.
Rys.2.
Rozkład jednostajny błędów rozdzielczości
Odchylenie
standardowe takiego rozkładu, które jest niepewnością standardową typu B
wynosi:
u
B
=
d
√12
(8)
0
d
1/d
f(
d)
-
Δ
g
+Δ
g
1/(2 Δ
g
)
f(
Δ)
4
u(P
ws
) -
jeżeli poprawką związaną z warunkami środowiskowymi jest poprawka
temperaturowa to można ja wyznaczyć z następującego równania [1]:
P
ws
= Wαδt
(9)
gdzie: W-
wskazanie przyrządu
α - usredniony wspólczynnik rozszerzalności cieplnej
δt - różnica temperatur przyrządu i mierzonego elementu
Niepewność poprawki temperatury wyznacza równanie [1]:
u(P
ws
) = Wαu(δt)
(10)
4. U
LTRADŹWIĘKOWY POMIAR GRUBOŚCI ŚCIANKI PRZEWODU
Grubość ścianki przewodu g wyznaczana jest z równania (11) poprzez pomiar czasu
przejścia τ echa podłużnej fali ultradźwiękowej od czujnika do tylnej ścianki przewodu i z
powrotem. Do wyznaczenia grubości ścianki potrzebna jest również znajomość prędkości fali
podłużnej c w danym materiale. Dla podstawowych materiałów przedstawia je tabela 1.
g=c
∙τ/2
(11)
Rys.
1. Sposób wyznaczenia grubości ścianki przewodu
Tabela 1.
Prędkość podłużnej fali ultradźwiękowej w wybranych materiałach
Rodzaj materiału
Prędkość podłużnej
fali ultradźwiękowej
polietylen
c =2000 m/s
szkło organiczne
c = 2720 m/s
mosiądz
c= 4450 m/s
miedź
c= 4700 m/s
nikiel
c= 5630 m/s
stal
c= 5940 m/s
aluminium
c= 6260 m/s
g
τ
warstwa
sprzęgająca
c
czujnik
ultradźwiękowy
5
R
ysunek 1. Przedstawia zdjęcie grubościomierza ultradźwiękowego.
Rys.1. Grubościomierz ultradźwiękowy
5. SPOSÓB REALIZACJI
ĆWICZENIA
1.
Wprowadzić do pamięci grubościomierza rodzaj materiału z jakiego wykonano
przewód
2.
Zmierzyć 11 krotnie grubość ścianki przewodu g
1
…g
11
3.
Sprawdzić analitycznie czy któryś z otrzymanych wyników nie jest błędem
nadmiernym (omyłką)
4.
Na podstawie rozrzutu wyników wyznaczyć z równania (6) metodą typu A
niepewność wskazania, przyjmując: 𝑊
� = 𝑔̅ , w
i
=g
i,
u(
W
� )=u(g�)
5.
Wyznaczyć z równania (7) metodą typu B niepewność poprawki wskazania u(P
w
),
korzystając z danych grubościomierza zamieszczonych na rysunku 1.
6.
Wyznaczyć metodą typu B z równania (8) niepewność rozdzielczości u(P
rw
)
przyjmując rozdzielczość przyrządu d=0,1 mm
7.
Obliczyć niepewność standardową złożoną z równania (5)
8.
Dobrać współczynnik rozszerzenia k
9.
Zapisać poprawnie wynik pomiaru
6.P
ROCEDURA SPRAWDZENIA OMYŁKI [2]
Z serii otrzymanych wyników g
1
,g
2,…
g
11,
wątpliwy może być wynik o najmniejszej lub
największej wartości. Odrzucamy ten wynik- liczebność próby wynosi wtedy N=10.
1.
Liczymy wartość średnią dla N=10 g� =
∑
g
i
N
i=1
N
2. Obliczamy odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru z równania:
σ = �
1
N−1
∑ (g
i
− g�)
2
N
1
Dane
Grubościomierza ultradźwiękowego
Sono M610
Zakres pomiarowy:
I od 1 do 199,9 mm
II od 2 do 199,9 mm
Błąd graniczny dla I i II zakresu :
Δ
g
=±1% wskazania ± 0,1 mm
Zakres
prędkości fali ultradźwiękowej w
badanym materiale:
c = 1000-20000 m/s
Zakres pracy
głowic:
Od -10
°
C do +40
°
C
Czujnik
ultradźwiękowy
6
3.
Wyznaczamy przedział ufności P�g� − t
qm
σ < 𝑔 < g� + t
qm
σ� = α, przyjąć
α=0,95
4.
Dla niedużej ilości pomiarów wartość współczynnika 𝑡
𝑞𝑚
wyznacz
yć z rozkładu
Studenta (z tabeli 2) dla parametrów:
q= 1-
𝛼 oraz m= N-1
5.
Sprawdzić czy podejrzany wynik mieści się w przedziale ufności: jeżeli tak to nie
jest on omyłką, jeżeli nie to jest omyłką i należy odrzucić go w dalszej analizie
niepewności.
6.
Tabela Rozkładu Studenta wg [2]
Tabela 2. Rozkład studenta [2]
7.POPRAWKA u(P
ws
)-
ZWIĄZANA Z WARUNKAMI ŚRODOWISKOWYMI
Poprawkę tą należałoby uwzględnić, w przypadku gdy pomiar odbywa się w temperaturze
innej niż ta dla której przyrząd wzorcowano-20 °C±1°C. Zmienia się wtedy prędkość fali
ultradźwiękowej i mogą wystąpić błędy związane z pomiarem czasu przejścia echa. Jednak
zmiany temperatury w granicach ±
kilka stopni od temperatury wzorcowania nie wpływają
znacząco na wartość prędkości fali ultradźwiękowej w danym materiale i można przyjąć iż
wynosi ona P
ws
=0 oraz jej niepewność u(P
ws
)=0.
m/q
m
7
8. D
OBÓR WSPÓŁCZYNNIKA ROZSZERZENIA k
Przyjmujemy, że dla więcej niż 3 zmiennych wchodzących w skład równania (5) wypadkowy
ich rozkład dąży do rozkładu normalnego (wg Centralnego Twierdzenia Granicznego). Zatem
dla α=0,95 k=2.
W przypadku gdy niepewność wynikająca z rozrzutu wyników pomiarów u(W
� ), a liczona z
równania (6),
jest większa od niepewności związanej z rozdzielczością u(P
rw
) to tą ostatnią
można pominąć, ponieważ zawiera się ona w niepewności wynikającej z rozrzutu wyników.
Równanie (5) przybiera wtedy
postać:
u(X) = �u
2
(W
� ) + u
2
(P
w
)
(12)
Zawiera ono
dwie składowe o rozkładach normalnym i jednostajnym. Współczynnik
rozszerzenia oblicza się wtedy [1] badając relacje miedzy odchyleniami standardowymi dla
pojedynczego pomiaru:
dla rozkładu normalnego σ
N
= √N ∙ u(W
� )
dla rozkładu jednostajnego σ
J
= u
B
.
Jeżeli σ
N
>
σ
J
to
współczynnik rozszerzenia przyjmuje się jak dla rozkładu normalnego tj. k= 2
dla α= 0,95 lub k=3 dla α=0,99. W przeciwnym razie k = √3 α.
Przykład tabeli pomocniczej do obliczeń niepewności
i
g
rubość ścianki g
i
mm
g
i
-
g�
mm
(𝑔
𝑖
− 𝑔̅)
2
mm
2
1
2
…
10
Σ
-
9. P
RZYKŁADOWE PYTANIA KONTROLNE
1. Definicja metody
bezpośredniej
2. Równanie na wynik pomiaru z
wyjaśnieniem wielkości wchodzących w jego skład
3. Równani
e na niepewność standardową z wyjaśnieniem wielkości wchodzących w jego
skład
4. Sposób wy
znaczenia niepewności wskazania
5. Sposób wyznaczenia poprawek
wchodzących w skład równania na niepewność
standardową
6.
Procedura sprawdzania omyłki
7.
Zasada działania grubościomierza ultradźwiękowego
7. LITERATURA
1. Jerzy Arendarski:
Niepewność pomiarów, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej 2006
2. Danuta Turzeniecka:
Ocena niepewności wyniku pomiaru, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej
1977
3. John.R. Taylor:
Wstęp do analizy błędu pomiarowego, PWN, Warszawa 1999
Data wykonania instrukcji:
18.10.2010