RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Budownictwo, studia I stopnia, semestr III
rok akademicki 2010/2011
Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
Ewa Pabisek
Adam Wosatko
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Skalar
Definicja
Skalar
– wielkość fizyczna (lub geometryczna) opisywana
jedną liczbą (wartością).
Do skalarów należą: energia, masa, temperatura, potencjał.
Tarcza 2D
Rozkład temperatury
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
A jeśli do opisu potrzebny jest kierunek?
Inne wielkości, np. przemieszczenie, prędkość, siła, przyspieszenie
nie mogą być wyznaczane tylko przez ich wartości, gdyż zależą dodatkowo
od ich kierunku. Wówczas mówimy o
wielkościach wektorowych
.
Tarcza (belko-ściana)
Pole wektorowe (kierunki) naprężeń głównych
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Definicja
Wektor
zwrot
kierunek
punkt zaczepienia
mo
duł
W celu zdefiniowania wektora należy podać:
kierunek (prostą na której leży wektor)
długość (moduł)
zwrot (określony przez kolejność punktów A i B)
punkt przyłożenia
Nie wszystkie wielkości wektorowe wymagają określenia wyżej
wymienionych cech.
A
B
~a
Istnieje kilka sposobów notacji wektora:
[A, B] =
−→
AB = ~a = a = a.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Długość wektora
Wektory dzieli się na:
1
swobodne
2
zaczepione/związane
Składowymi wektora nazywa się różnice odpowiednich współrzędnych
jego końca B i początku A.
Długość wektora |a|
jest długością odcinka AB (odległość).
Długość jest zawsze liczbą dodatnią.
~a
|a|
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Wektor jednostkowy
Wektor, którego długość wynosi 1, nazywamy
wektorem jednostkowym
.
Jeśli np. e jest wektorem jednostkowym, to |e| = 1.
Wektor jednostkowy, który ma ten sam kierunek co wektor a,
oznaczamy przez a
o
.
Każdy wektor a można przedstawić za pomocą wektora jednostkowego a
o
:
a = |a| a
o
.
|a|
|a
o
| = 1
a
o
a
Wektor jednostkowy a
o
o tym samym kierunku
co wektor a nazywa się
wersorem
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Działania na wektorach
Mnożenie wektora przez liczbę
Przez
b = αa
rozumiemy wektor b, który:
1
dla α > 0 ma ten sam kierunek co wektor a
i jest od niego α razy dłuższy/krótszy
2
dla α < 0 ma kierunek przeciwny do wektora a
i jest od niego α razy dłuższy/krótszy
3
dla α = 0, a = 0.
Dla mnożenia przez skalar zachodzą następujące prawa:
1
α a = a α
2
α (β a) = (α β) a = α β a
3
α (a + b) = α a + α b
4
(α + β) a = α a + β a
5
1 a = a, 0 a = 0, α 0 = 0
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Działania na wektorach
Dodawanie i odejmowanie wektorów
Sumę dwu wektorów oznaczamy w następujący sposób:
c = a + b
a
c =
a +
b
b
Dwa wektory swobodne dodaje się w ten sposób, że punkt początkowy
drugiego przesuwa się równolegle do końca pierwszego – ich suma jest
wektorem zaczynającym się w początku pierwszego a kończącym w końcu
drugiego.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Działania na wektorach
Dodawanie i odejmowanie wektorów
Przemienność, łączność
c =
a +
b
b
a
b
b
a
c
a
+
b
+
c
a
+
b
b + c
a
1
Dla sumy obowiązują prawa:
przemienności
: a + b = b + a,
łączności
: (a + b) + c = a + (b + c) .
2
Takie same prawa obowiązują przy dodawaniu n wektorów.
3
Odejmowanie określone jest jako dodawanie wektora przeciwnego.
Mnożenie dwóch wektorów może być określone jako:
iloczyn skalarny
,
iloczyn wektorowy
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Działania na wektorach
Rzut wektora na oś
Wektor a
s
nazywamy rzutem prostokątnym wektora a na daną oś s.
P
1
P
2
a
α
s
a
s
Długość tego rzutu wynosi:
|a
s
| = |a| | cos α|
a wektor określamy jako:
a
s
= |a| cos α · s
gdzie: s – wektor jednostkowy.
Wielkość |a| cos α nazywamy
składową
lub
współrzędną
wektora a
względem tej osi oznaczoną przez:
a
s
= |a| cos α.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Współrzędne (składowe) kartezjańskie wektora
Wektory
a
1
e
1
, a
2
e
2
, a
3
e
3
nazywamy
składowymi wektorowymi
wektora a.
Liczby a
1
, a
2
, a
3
są współrzędnymi lub składowymi wektora
a
.
x
2
x
1
a
a
2
e
2
e
2
e
1
a
3
e
3
e
3
a
1
e
1
x
3
a
=
a
1
e
1
+
a
2
e
2
+
a
3
e
3
,
w skrócie:
a = [a
1
, a
2
, a
3
]
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Iloczyn skalarny
Iloczyn skalarny
Iloczyn skalarny
– operator na przestrzeni liniowej (operacja oznaczona ·)
przypisujący 2 argumentom z tej przestrzeni rzeczywistą wartość skalarną.
a · b =
(
|a| |b| cos ϕ
jeśli
a, b 6= 0
0
jeśli
a = 0 lub b = 0, lub a ⊥ b
gdzie: |a|, |b| – długości wektorów,
0 ¬ ϕ ¬ π – kąt pomiędzy nimi zawarty w płaszczyźnie
wyznaczonej przez te wektory.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Iloczyn skalarny
Właściwości iloczynu skalarnego
1
Z definicji współrzędnej wektora względem osi wynika:
a · b = |a| b
a
= |b| a
b
= b · a.
2
Jeżeli jeden z wektorów iloczynu skalarnego jest
wektorem jednostkowym e, to:
e · a = |a| cos(e, a) = a
e
.
3
W celu otrzymania składowej wektora a wzdłuż pewnej osi, należy
ten wektor pomnożyć skalarnie przez wektor jednostkowy e,
który wyznacza kierunek dodatni tej osi.
4
Jeżeli obydwa wektory są sobie równe:
a · a = |a| |a| cos 0 = |a|
2
;
stąd widać zależność:
|a| =
√
a · a
.
5
Iloczyn skalarny dwóch wektorów prostopadłych
względem siebie jest równy 0.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Iloczyn skalarny
Praca jako iloczyn skalarny
Jeśli stała siła F przesunie ciało z punktu P
1
do punktu P
2
, to wykona
ona pewną pracę.
L = |F| |S| cos ϕ = F · S,
gdzie
S =
−−−→
P
1
, P
2
Praca ta jest równa iloczynowi długości drogi przez składową siły wzdłuż
tej drogi.
Jeśli F = F
1
+ F
2
jest wypadkową dwóch sił działających na ten sam
punkt materialny, to praca:
L = F · S = (F
1
+ F
2
) · S = F
1
· S + F
2
· S.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Cosinusy kierunkowe wersora
x
1
e
3
e
2
e
1
x
2
x
3
e
α
γ
β
Weźmy wektor jednostkowy e i wyznaczmy kąty α, β, γ jakie tworzy z
osiami układu. Wyrażając e przez wektory bazowe e
1
= [1, 0, 0],
e
2
= [0, 1, 0], e
3
= [0, 0, 1] otrzymujemy:
e = e
1
e
1
+ e
2
e
2
+ e
3
e
3
,
gdzie:
e
1
= e · e
1
= |e||e
1
| cos α = cos α
e
2
= e · e
2
= |e||e
2
| cos β = cos β
e
3
= e · e
3
= |e||e
3
| cos γ = cos γ,
stąd
e = e
1
cos α + e
2
cos β + e
3
cos γ.
Wynika z tego, że współrzędnymi wektora jednostkowego są jego
cosinusy kierunkowe: e = [cos α, cos β, cos γ]
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Iloczyn skalarny
Iloczyn skalarny wyrażony przez współrzędne
Jeżeli 2 wektory w bazie e
1
, e
2
, e
3
są wyrażone za pomocą
współrzędnych:
a
= a
1
e
1
+ a
2
e
2
+ a
3
e
3
= a
i
e
i
czyli
a = [a
1
, a
2
, a
3
],
b
= b
1
e
1
+ b
2
e
2
+ b
3
e
3
= b
j
e
j
czyli
b = [b
1
, b
2
, b
3
],
dla
i , j = 1, 2, 3.
to iloczyn skalarny wynosi:
a · b = (a
1
e
1
+ a
2
e
2
+ a
3
e
3
) · (b
1
e
1
+ b
2
e
2
+ b
3
e
3
) =
3
X
i =1
a
i
b
i
.
Jeżeli obydwa wektory iloczynu są jednakowe to:
a · b = a
2
= a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
=
3
X
i =1
a
2
i
,
wówczas długość wektora wynosi: a = |a| =
√
a · a =
q
P
3
i =1
a
2
i
.
Z iloczynu skalarnego wynika:
cos ϕ =
a · b
|a| |b|
=
P
3
i =1
a
i
b
i
q
P
3
i =1
a
2
i
q
P
3
i =1
b
2
i
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Zmiana bazy
Wprowadźmy 2 obrócone względem siebie unormowane ortogonalne
układy współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni dwuwymiarowej.
x
0
2
x
1
x
2
x
0
2
x
0
1
x
P
e
2
x
1
e
0
2
α
α
α
x
0
1
x
2
e
0
1
e
1
Osie tych układów tworzą ze sobą kąt α.
Wektor x można przedstawić:
1)
x
= x
1
e
1
+ x
2
e
2
2)
x
=
x
0
1
e
0
1
+ x
0
2
e
0
2
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Zmiana bazy
Na podstawie właściwości wektorów jednostkowych – współrzędnymi są
cosinusy kierunkowe: q
ji
= e
0
j
· e
i
= cos(e
0
j
, e
i
).
Otrzymujemy wzory transformacyjne:
e
0
j
= q
ji
e
i
,
e
i
= q
ji
e
0
j
.
Stąd:
e
1
= q
11
e
0
1
+ q
21
e
0
2
,
e
2
= q
12
e
0
1
+ q
22
e
0
2
.
ponieważ
x
0
=
x
1
e
1
+ x
2
e
2
otrzymujemy
x
0
=
x
1
(q
11
e
0
1
+ q
21
e
0
2
) + x
2
(q
12
e
0
1
+ q
22
e
0
2
) =
(q
11
x
1
+ q
12
x
2
)e
0
1
+ (q
21
x
1
+ q
22
x
2
)e
0
2
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Zmiana bazy
Zapis macierzowy
Wektorem x nazywamy wielkość, której współrzędne x
1
, x
2
transformują
się przy obrocie o kąt α według:
x
0
1
x
0
2
=
q
11
q
12
q
21
q
22
x
1
x
2
.
x
0
= Q x
(x = Q
T
x
0
)
gdzie
Q =
cos α
sin α
− sin α
cos α
.
lub
x
0
i
=
2
X
j =1
q
ij
x
j
,
i = 1, 2.
Macierz Q jest macierzą (ortogonalną) kosinusów kątów, określających
wzajemne zorientowanie osi obu układów:
Q
T
= Q
−1
,
det Q = ±1,
T
= I.
Ogólnie (3 wymiary) mamy:
x
0
i
=
3
X
j =1
q
ij
x
j
,
i = 1, 2, 3.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Znaczenie transformacji wektora
Wektor jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje składowe
(współrzędne): x = [x
1
, x
2
, x
3
].
Macierz Q można uważać za pewien operator, który każdemu
wektorowi x przyporządkowuje ściśle określony wektor x
0
.
Operator Q oznacza obrót samego układu,
natomiast wektor nie zmienia swojego położenia.
Można też uważać, że operator działa na na wektor, powodując jego
obrót, natomiast układ współrzędnych nie zmienia się:
x
1
x
2
x
x
0
α
x
2
x
1
x
0
2
x
0
1
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Iloczyn skalarny
Iloczyn skalarny jako niezmiennik
Jeżeli wykonamy pewną transformację współrzędnych :
x
0
= f
i
(x
1
, x
2
, x
3
),
i = 1, 2, 3,
to dla pewnych funkcji F (x
1
, x
2
, x
3
) może zachodzić zależność:
F (x
1
, x
2
, x
3
) = F (x
0
1
, x
0
2
, x
0
3
),
i = 1, 2, 3.
Funkcje te zachowują tą samą wartość, gdy w miejsce zmiennych x
i
podstawimy nowe zmienne x
0
i
.
Takie funkcje nazywamy
niezmiennikami
względem danej transformacji.
Dla 2 wektorów:
x
1
=
x
1
e
1
+ y
1
e
2
+ z
1
e
3
= x
0
1
e
0
1
+ y
0
1
e
0
2
+ z
0
1
e
0
3
,
x
2
=
x
2
e
1
+ y
2
e
2
+ z
2
e
3
= x
0
2
e
0
1
+ y
0
2
e
0
2
+ z
0
2
e
0
3
,
⇒ x
1
· x
2
= x
1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2
= x
0
1
x
0
2
+ y
0
1
y
0
2
+ z
0
1
z
0
2
.
Iloczyn skalarny jest niezmiennikiem względem transformacji
ortogonalnych
(gdy drugi układ powstaje przez obrót układu pierwszego).
Stąd wynika, że długości wektorów i kąt między dwoma wektorami
są także niezmiennikami względem transformacji ortogonalnych.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Iloczyn wektorowy
Iloczyn wektorowy
Definicja
Iloczyn wektorowy wektorów a i b – operator na przestrzeni liniowej
(przekształcenie oznaczone × ) przypisujący parze wektorów z tej
przestrzeni wektor c spełniający następujące warunki:
1
Wektor c jest prostopadły do wektorów a, b.
2
Długość wektora c wynosi:
|c| = |a × b| = |a| |b| sin ϕ
gdzie: ϕ - kąt pomiędzy wektorami a, b.
3
Wektor c tworzy z wektorami a, b układ prawoskrętny.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Iloczyn wektorowy
Iloczyn wektorowy
Interpretacja geometryczna
Iloczyn |a| |b| sin ϕ równa się wielkości pola równoległoboku
zbudowanego na wektorach a i b.
c
e
b
a
e
c
a
b
ϕ
ϕ
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Iloczyn wektorowy
Właściwości iloczynu wektorowego
1
Z definicji iloczynu wektorowego wynika, że a × b i b × a mają
przeciwne zwroty , natomiast równe długości, wobec tego:
a × b = −b × a.
2
Z definicji iloczynu wektorowego wynika, że
a × b = 0
gdy a = 0 lub b = 0 lub sin ϕ = 0
co oznacza, że a jest równoległy do b.
3
Ponieważ iloczyn wektorowy jest wektorem, można go znów
pomnożyć przez wektor; lecz w tym przypadku nie zachodzi prawo
łączności:
a × (b × c) 6= (a × b) × c.
Można się o tym przekonać przyjmując a = b.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Iloczyn wektorowy
Iloczyn wektorowy wyrażony przez współrzędne
Iloczyny wektorowe wektorów bazy jednostkowej e
1
, e
2
, e
3
mają
następujące wartości:
e
1
× e
1
=
e
2
× e
2
=
e
3
× e
3
=
0,
e
1
× e
2
=
−e
2
× e
1
=
e
3
,
e
2
× e
3
=
−e
3
× e
2
=
e
1
,
e
3
× e
1
=
−e
1
× e
3
=
e
2
.
Dla wektorów:
a = a
x
e
1
+ a
y
e
2
+ a
z
e
3
,
b = b
x
e
1
+ b
y
e
2
+ b
z
e
3
,
iloczyn wektorowy:
a × b
=
(a
x
b
z
− a
z
b
y
)e
2
× e
3
+ (a
z
b
x
− a
x
b
z
)e
3
× e
1
+ (a
x
b
y
− a
y
b
x
)e
1
× e
2
=
(a
x
b
z
− a
z
b
y
)e
1
+ (a
z
b
x
− a
x
b
z
)e
2
+ (a
x
b
y
− a
y
b
x
)e
3
=
a
y
a
z
b
y
b
z
e
1
+
a
z
a
x
b
z
b
x
e
2
+
a
x
a
y
b
x
b
y
e
3
.
a × b =
e
1
e
2
e
3
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Zestawienie właściwości iloczynów
skalarnego i wektorowego
Iloczyn skalarny
Iloczyn wektorowy
1.
a · b = a b cos ϕ
1.
a × b = a b sin ϕe
Iloczyn skalarny jest skalarem
Iloczyn wektorowy jest wektorem
2.
a · b = b · a
2.
a × b = −b × a
Iloczyn skalarny jest przemienny
Iloczyn wektorowy nie jest przemienny
3.
a · b = 0
3.
a × b = 0
Warunek prostopadłości
Warunek równoległości
dwóch wektorów właściwych
dwóch wektorów właściwych
W iloczynach zachodzi prawo rozdzielności względem dodawania:
4.
a · (b + c) = a · b + a · c
4.
a × (b + c) = a × b + a × c
(a + b) · (c + d) =
(a + b) × (c + d) =
a · c + a · d + b · c + b · d
a × c + a × d + b × c + b × d
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Zestawienie właściwości iloczynów
skalarnego i wektorowego
Iloczyn skalarny
Iloczyn wektorowy
Postać iloczynów wyrażona przez składowe skalarne:
5.
a · b = a
x
b
x
+ a
y
b
y
+ a
z
b
z
5.
a × b =
e
1
e
2
e
3
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
6.
a · b
6.
{a × (b × c)} × · · ·
Iloczyn skalarny istnieje
Iloczyn wektorowy istnieje dla
tylko dla dwóch wektorów
dowolnej liczby czynników
7.
a · b = a
x
b
x
+ a
y
b
y
+ a
z
b
z
7.
a × b =
e
1
e
2
e
3
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
= a
0
x
b
0
x
+ a
0
y
b
0
y
+ a
0
z
b
0
z
=
e
0
1
e
0
2
e
0
3
a
0
x
a
0
y
a
0
z
b
0
x
b
0
y
b
0
z
Ilocz. skal. jest niezmiennikiem
Ilocz. wekt. nie jest niezmiennikiem
względem transformacji
względem transf. ortogonalnej
ortogonalnej układu
układu, jest on pseudowektorem
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Tensor
Tensory
są uogólnieniem pojęcia skalara i wektora.
Używa się ich np. do opisu odkształceń i naprężeń.
W pewnym uproszczeniu tensor T możemy sobie wyobrażać jako
liniowy operator działający na wektor a i produkujący z niego
nowy wektor v o innym zwrocie, kierunku i wartości:
v = T a.
Operacja działania tensorem na wektor to coś więcej niż :
mnożenie wektora przez liczbę - operacja nie zmienia kierunku wektora,
mnożenie skalarne wektorów - bo w wyniku otrzymujemy skalar.
Przykładem operacji tensorowej jest mnożenie wektorowe wektorów.
Wielkości tensorowe są zwykle reprezentowane jako macierze kwadratowe.
Wymiar macierzy nazywamy w tym wypadku rzędem tensora:
wielkość skalarna to tensor rzędu zerowego ma tylko jedną składową,
wektor jest tensorem rzędu pierwszego,
tensor rzędu 2 ma postać macierzy 3 × 3.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Tensor I rzędu
Dany jest wektor a o module |a| i i kierunku v. Po zrzutowaniu wektora
na kierunek µ mamy skalar a
µ
nazywany składową wektora a dla
kierunku µ.
a
µ
= a · µ = |a| |µ| cos(a, µ).
P
v
a
a
µ
µ
Wektorem (tensorem I rzędu) a nazywamy taką wielkość określoną
w punkcie P, która dowolnemu kierunkowi µ przyporządkowuje skalar a
µ
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Tensor II rzędu
Tensorem II rzędu a nazywamy taką wielkość określoną w punkcie P,
która dowolnemu kierunkowi µ przyporządkowuje wektor t
µ
(czyli jest to operator liniowy odwzorujący wektor w wektor)
według relacji:
t
µ
= T · µ
.
Dziewięć składowych tensora T można zapisać w postaci macierzowej:
t
11
t
12
t
13
t
21
t
22
t
23
t
31
t
32
t
33
,
która jest reprezentacją tensora T.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Transformacje tensorów
Transformacje współrzędnych tensora a rzędu I (wektora)
a
0
i
=
X
j
α
ij
a
j
= α
ij
a
j
,
i , j = 1, 2, 3
co w zapisie macierzowym ma postać:
a
0
1
a
0
2
a
0
3
=
α
11
α
12
α
13
α
21
α
22
α
23
α
31
α
32
α
33
a
1
a
2
a
3
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Transformacje tensorów
Transformacje współrzędnych tensora t II rzędu
t
0
ij
=
X
k j
α
ik
α
jl
t
kl
= α
ik
α
jl
t
kl
,
i , j , k, l = 1, 2, 3.
Szczegółowo np. składowa t
0
13
:
t
0
13
= α
1k
α
3l
t
kl
=α
11
α
31
t
11
+ α
11
α
32
t
12
+ α
11
α
33
t
13
+
α
12
α
31
t
21
+ α
12
α
32
t
22
+ α
12
α
33
t
23
+
α
13
α
31
t
31
+ α
13
α
32
t
32
+ α
13
α
33
t
33
.
Wzory transformacyjne wyrażają podstawową cechę wielkości
tensorowych:
niezależność od wyboru układu współrzędnych
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Działania na tensorach
Dodawanie tensorów:
t
ij
+ p
ij
= s
ij
.
Podczas tej operacji dodaje się odpowiednie składowe,
podobnie jak przy dodawaniu macierzy.
Mnożenie tensora przez skalar:
1
c t
ij
= t
ij
c,
2
a(b t
ij
) = (ab)t
ij
,
3
(a + b) t
ij
= a t
ij
+ b t
ij
,
4
a(t
ij
+ s
ij
) = a t
ij
+ a s
ij
.
Iloczyn zewnętrzny dwóch tensorów:
1
a
i
b
j
= c
ij
2
a
ij
b
km
= c
ijkm
.
Rząd powstałego tensora jest równy
sumie rzędów mnożnej i mnożnika.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Działania na tensorach
Iloczyn wewnętrzny (zwężenie, kontrakcja) dwóch tensorów.
Gdy mnożąc dwa tensory ich wskaźniki się powtarzają, otrzymamy tzw.
iloczyn wewnętrzny:
t
ijk
p
km
= s
ijm
(kontrakcja),
gdzie rząd powstałego tensora jest mniejszy od sumy rzędów mnożnej i
mnożnika o wielokrotność 2 powtarzających się indeksów.
W przykładzie 3 + 2 − 2 · 1 = 3.
W wyniku zwężenia iloczynu dwóch tensorów otrzymuje się skalar:
a
i
b
i
= A · B = s
Ślad tensora
:
t
ij
· δ
ij
= t
ii
= t
11
+ t
22
+ t
33
= tr(T).
Iloczyn skalarny tensorów (tensor rzędu 0) ma następujące właściwości:
1
t
ij
s
ij
= s
ij
t
ij
,
2
t
ij
(s
ij
+ u
ij
) = t
ij
s
ij
+ t
ij
u
ij
,
3
a(t
ij
u
ij
) = (a t
ij
)u
ij
+ t
ij
(a u
ij
).
Iloczyn wewnętrzny dwóch tensorów II rzędu zazwyczaj nie jest przemienny:
t
ij
s
jk
6= s
jk
t
ij
.
Wyjątkiem jest t
ij
δ
jk
= δ
jk
t
ij
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Symetria i antysymetria, aksjator i dewiator
Symetria i antysymetria tensora.
1
Tensor jest symetryczny gdy t
ij
= t
ji
.
2
Tensor jest antysymetryczny gdy t
ij
= −t
ji
.
3
Iloczyn tensorów z których jeden jest symetryczny, a drugi
antysymetryczny jest zawsze równy 0.
Aksjator i dewiator.
Każdy tensor rzędu drugiego można rozłożyć na sumę dwóch
tensorów –
aksjatora
i
dewiatora
:
tensor T
=
aksjator
+
dewiator
t
11
t
21
t
31
t
12
t
22
t
32
t
13
t
23
t
33
=
t
0
0
0
t
0
0
0
t
+
t
11
− t
t
21
t
31
t
12
t
22
− t
t
32
t
13
t
23
t
33
− t
,
gdzie: t = 1/3(t
11
+ t
22
+ t
33
) = 1/3 tr(T).
W mechanice aksjator jest związany ze zmianą objętości,
a dewiator – ze zmianą postaci deformacji.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE