2wekten w02

background image

Skalary

Wektory

Tensory

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

Budownictwo, studia I stopnia, semestr III

rok akademicki 2010/2011

Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

Ewa Pabisek

Adam Wosatko

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Skalar

Definicja

Skalar

– wielkość fizyczna (lub geometryczna) opisywana

jedną liczbą (wartością).

Do skalarów należą: energia, masa, temperatura, potencjał.

Tarcza 2D

Rozkład temperatury

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

A jeśli do opisu potrzebny jest kierunek?

Inne wielkości, np. przemieszczenie, prędkość, siła, przyspieszenie
nie mogą być wyznaczane tylko przez ich wartości, gdyż zależą dodatkowo
od ich kierunku. Wówczas mówimy o

wielkościach wektorowych

.

Tarcza (belko-ściana)

Pole wektorowe (kierunki) naprężeń głównych

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Definicja

Wektor

zwrot

kierunek

punkt zaczepienia

mo

duł

W celu zdefiniowania wektora należy podać:

kierunek (prostą na której leży wektor)
długość (moduł)
zwrot (określony przez kolejność punktów A i B)
punkt przyłożenia

Nie wszystkie wielkości wektorowe wymagają określenia wyżej
wymienionych cech.

A

B

~a

Istnieje kilka sposobów notacji wektora:

[A, B] =

−→

AB = ~a = a = a.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Długość wektora

Wektory dzieli się na:

1

swobodne

2

zaczepione/związane

Składowymi wektora nazywa się różnice odpowiednich współrzędnych
jego końca B i początku A.

Długość wektora |a|

jest długością odcinka AB (odległość).

Długość jest zawsze liczbą dodatnią.

~a

|a|

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Wektor jednostkowy

Wektor, którego długość wynosi 1, nazywamy

wektorem jednostkowym

.

Jeśli np. e jest wektorem jednostkowym, to |e| = 1.

Wektor jednostkowy, który ma ten sam kierunek co wektor a,
oznaczamy przez a

o

.

Każdy wektor a można przedstawić za pomocą wektora jednostkowego a

o

:

a = |a| a

o

.

|a|

|a

o

| = 1

a

o

a

Wektor jednostkowy a

o

o tym samym kierunku

co wektor a nazywa się

wersorem

.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Działania na wektorach

Mnożenie wektora przez liczbę

Przez

b = αa

rozumiemy wektor b, który:

1

dla α > 0 ma ten sam kierunek co wektor a
i jest od niego α razy dłuższy/krótszy

2

dla α < 0 ma kierunek przeciwny do wektora a
i jest od niego α razy dłuższy/krótszy

3

dla α = 0, a = 0.

Dla mnożenia przez skalar zachodzą następujące prawa:

1

α a = a α

2

α (β a) = (α β) a = α β a

3

α (a + b) = α a + α b

4

(α + β) a = α a + β a

5

1 a = a, 0 a = 0, α 0 = 0

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Działania na wektorach

Dodawanie i odejmowanie wektorów

Sumę dwu wektorów oznaczamy w następujący sposób:

c = a + b

a

c =

a +

b

b

Dwa wektory swobodne dodaje się w ten sposób, że punkt początkowy
drugiego przesuwa się równolegle do końca pierwszego – ich suma jest
wektorem zaczynającym się w początku pierwszego a kończącym w końcu
drugiego.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Działania na wektorach

Dodawanie i odejmowanie wektorów

Przemienność, łączność

c =

a +

b

b

a

b

b

a

c

a

+

b

+

c

a

+

b

b + c

a

1

Dla sumy obowiązują prawa:

przemienności

: a + b = b + a,

łączności

: (a + b) + c = a + (b + c) .

2

Takie same prawa obowiązują przy dodawaniu n wektorów.

3

Odejmowanie określone jest jako dodawanie wektora przeciwnego.

Mnożenie dwóch wektorów może być określone jako:

iloczyn skalarny

,

iloczyn wektorowy

.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Działania na wektorach

Rzut wektora na oś

Wektor a

s

nazywamy rzutem prostokątnym wektora a na daną oś s.

P

1

P

2

a

α

s

a

s

Długość tego rzutu wynosi:

|a

s

| = |a| | cos α|

a wektor określamy jako:

a

s

= |a| cos α · s

gdzie: s – wektor jednostkowy.

Wielkość |a| cos α nazywamy

składową

lub

współrzędną

wektora a

względem tej osi oznaczoną przez:

a

s

= |a| cos α.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Współrzędne (składowe) kartezjańskie wektora

Wektory

a

1

e

1

, a

2

e

2

, a

3

e

3

nazywamy

składowymi wektorowymi

wektora a.

Liczby a

1

, a

2

, a

3

są współrzędnymi lub składowymi wektora

a

.

x

2

x

1

a

a

2

e

2

e

2

e

1

a

3

e

3

e

3

a

1

e

1

x

3

a

=

a

1

e

1

+

a

2

e

2

+

a

3

e

3

,

w skrócie:

a = [a

1

, a

2

, a

3

]

.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny

– operator na przestrzeni liniowej (operacja oznaczona ·)

przypisujący 2 argumentom z tej przestrzeni rzeczywistą wartość skalarną.

a · b =

(

|a| |b| cos ϕ

jeśli

a, b 6= 0

0

jeśli

a = 0 lub b = 0, lub a b

gdzie: |a|, |b| – długości wektorów,

0 ¬ ϕ ¬ π – kąt pomiędzy nimi zawarty w płaszczyźnie

wyznaczonej przez te wektory.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Iloczyn skalarny

Właściwości iloczynu skalarnego

1

Z definicji współrzędnej wektora względem osi wynika:

a · b = |a| b

a

= |b| a

b

= b · a.

2

Jeżeli jeden z wektorów iloczynu skalarnego jest
wektorem jednostkowym e, to:

e · a = |a| cos(e, a) = a

e

.

3

W celu otrzymania składowej wektora a wzdłuż pewnej osi, należy
ten wektor pomnożyć skalarnie przez wektor jednostkowy e,
który wyznacza kierunek dodatni tej osi.

4

Jeżeli obydwa wektory są sobie równe:

a · a = |a| |a| cos 0 = |a|

2

;

stąd widać zależność:

|a| =

a · a

.

5

Iloczyn skalarny dwóch wektorów prostopadłych
względem siebie jest równy 0.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Iloczyn skalarny

Praca jako iloczyn skalarny

Jeśli stała siła F przesunie ciało z punktu P

1

do punktu P

2

, to wykona

ona pewną pracę.

L = |F| |S| cos ϕ = F · S,

gdzie

S =

−−−→

P

1

, P

2

Praca ta jest równa iloczynowi długości drogi przez składową siły wzdłuż
tej drogi.

Jeśli F = F

1

+ F

2

jest wypadkową dwóch sił działających na ten sam

punkt materialny, to praca:

L = F · S = (F

1

+ F

2

) · S = F

1

· S + F

2

· S.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Cosinusy kierunkowe wersora

x

1

e

3

e

2

e

1

x

2

x

3

e

α

γ

β

Weźmy wektor jednostkowy e i wyznaczmy kąty α, β, γ jakie tworzy z
osiami układu. Wyrażając e przez wektory bazowe e

1

= [1, 0, 0],

e

2

= [0, 1, 0], e

3

= [0, 0, 1] otrzymujemy:

e = e

1

e

1

+ e

2

e

2

+ e

3

e

3

,

gdzie:

e

1

= e · e

1

= |e||e

1

| cos α = cos α

e

2

= e · e

2

= |e||e

2

| cos β = cos β

e

3

= e · e

3

= |e||e

3

| cos γ = cos γ,

stąd

e = e

1

cos α + e

2

cos β + e

3

cos γ.

Wynika z tego, że współrzędnymi wektora jednostkowego są jego
cosinusy kierunkowe: e = [cos α, cos β, cos γ]

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny wyrażony przez współrzędne

Jeżeli 2 wektory w bazie e

1

, e

2

, e

3

są wyrażone za pomocą

współrzędnych:

a

= a

1

e

1

+ a

2

e

2

+ a

3

e

3

= a

i

e

i

czyli

a = [a

1

, a

2

, a

3

],

b

= b

1

e

1

+ b

2

e

2

+ b

3

e

3

= b

j

e

j

czyli

b = [b

1

, b

2

, b

3

],

dla

i , j = 1, 2, 3.

to iloczyn skalarny wynosi:

a · b = (a

1

e

1

+ a

2

e

2

+ a

3

e

3

) · (b

1

e

1

+ b

2

e

2

+ b

3

e

3

) =

3

X

i =1

a

i

b

i

.

Jeżeli obydwa wektory iloczynu są jednakowe to:

a · b = a

2

= a

2
1

+ a

2
2

+ a

2
3

=

3

X

i =1

a

2
i

,

wówczas długość wektora wynosi: a = |a| =

a · a =

q

P

3
i =1

a

2
i

.

Z iloczynu skalarnego wynika:

cos ϕ =

a · b

|a| |b|

=

P

3
i =1

a

i

b

i

q

P

3
i =1

a

2
i

q

P

3
i =1

b

2

i

.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Zmiana bazy

Wprowadźmy 2 obrócone względem siebie unormowane ortogonalne
układy współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni dwuwymiarowej.

x

0

2

x

1

x

2

x

0

2

x

0

1

x

P

e

2

x

1

e

0

2

α

α

α

x

0

1

x

2

e

0

1

e

1

Osie tych układów tworzą ze sobą kąt α.
Wektor x można przedstawić:

1)

x

= x

1

e

1

+ x

2

e

2

2)

x

=

x

0

1

e

0

1

+ x

0

2

e

0

2

.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Zmiana bazy

Na podstawie właściwości wektorów jednostkowych – współrzędnymi są
cosinusy kierunkowe: q

ji

= e

0
j

· e

i

= cos(e

0
j

, e

i

).

Otrzymujemy wzory transformacyjne:

e

0
j

= q

ji

e

i

,

e

i

= q

ji

e

0
j

.

Stąd:

e

1

= q

11

e

0

1

+ q

21

e

0

2

,

e

2

= q

12

e

0

1

+ q

22

e

0

2

.

ponieważ

x

0

=

x

1

e

1

+ x

2

e

2

otrzymujemy

x

0

=

x

1

(q

11

e

0

1

+ q

21

e

0

2

) + x

2

(q

12

e

0

1

+ q

22

e

0

2

) =

(q

11

x

1

+ q

12

x

2

)e

0

1

+ (q

21

x

1

+ q

22

x

2

)e

0

2

.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Zmiana bazy

Zapis macierzowy

Wektorem x nazywamy wielkość, której współrzędne x

1

, x

2

transformują

się przy obrocie o kąt α według:



x

0

1

x

0

2



=



q

11

q

12

q

21

q

22

 

x

1

x

2



.

x

0

= Q x

(x = Q

T

x

0

)

gdzie

Q =



cos α

sin α

sin α

cos α



.

lub

x

0

i

=

2

X

j =1

q

ij

x

j

,

i = 1, 2.

Macierz Q jest macierzą (ortogonalną) kosinusów kątów, określających
wzajemne zorientowanie osi obu układów:

Q

T

= Q

1

,

det Q = ±1,

QQ

T

= I.

Ogólnie (3 wymiary) mamy:

x

0

i

=

3

X

j =1

q

ij

x

j

,

i = 1, 2, 3.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Znaczenie transformacji wektora

Wektor jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje składowe
(współrzędne): x = [x

1

, x

2

, x

3

].

Macierz Q można uważać za pewien operator, który każdemu
wektorowi x przyporządkowuje ściśle określony wektor x

0

.

Operator Q oznacza obrót samego układu,
natomiast wektor nie zmienia swojego położenia.

Można też uważać, że operator działa na na wektor, powodując jego
obrót, natomiast układ współrzędnych nie zmienia się:

x

1

x

2

x

x

0

α

x

2

x

1

x

0

2

x

0

1

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny jako niezmiennik

Jeżeli wykonamy pewną transformację współrzędnych :

x

0

= f

i

(x

1

, x

2

, x

3

),

i = 1, 2, 3,

to dla pewnych funkcji F (x

1

, x

2

, x

3

) może zachodzić zależność:

F (x

1

, x

2

, x

3

) = F (x

0

1

, x

0

2

, x

0

3

),

i = 1, 2, 3.

Funkcje te zachowują tą samą wartość, gdy w miejsce zmiennych x

i

podstawimy nowe zmienne x

0

i

.

Takie funkcje nazywamy

niezmiennikami

względem danej transformacji.

Dla 2 wektorów:

x

1

=

x

1

e

1

+ y

1

e

2

+ z

1

e

3

= x

0

1

e

0

1

+ y

0

1

e

0

2

+ z

0

1

e

0

3

,

x

2

=

x

2

e

1

+ y

2

e

2

+ z

2

e

3

= x

0

2

e

0

1

+ y

0

2

e

0

2

+ z

0

2

e

0

3

,

x

1

· x

2

= x

1

x

2

+ y

1

y

2

+ z

1

z

2

= x

0

1

x

0

2

+ y

0

1

y

0

2

+ z

0

1

z

0

2

.

Iloczyn skalarny jest niezmiennikiem względem transformacji
ortogonalnych

(gdy drugi układ powstaje przez obrót układu pierwszego).

Stąd wynika, że długości wektorów i kąt między dwoma wektorami
są także niezmiennikami względem transformacji ortogonalnych.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy

Definicja

Iloczyn wektorowy wektorów a i b – operator na przestrzeni liniowej
(przekształcenie oznaczone × ) przypisujący parze wektorów z tej
przestrzeni wektor c spełniający następujące warunki:

1

Wektor c jest prostopadły do wektorów a, b.

2

Długość wektora c wynosi:

|c| = |a × b| = |a| |b| sin ϕ

gdzie: ϕ - kąt pomiędzy wektorami a, b.

3

Wektor c tworzy z wektorami a, b układ prawoskrętny.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy

Interpretacja geometryczna

Iloczyn |a| |b| sin ϕ równa się wielkości pola równoległoboku
zbudowanego na wektorach a i b.

c

e

b

a

e

c

a

b

ϕ

ϕ

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Iloczyn wektorowy

Właściwości iloczynu wektorowego

1

Z definicji iloczynu wektorowego wynika, że a × b i b × a mają
przeciwne zwroty , natomiast równe długości, wobec tego:

a × b = b × a.

2

Z definicji iloczynu wektorowego wynika, że

a × b = 0

gdy a = 0 lub b = 0 lub sin ϕ = 0
co oznacza, że a jest równoległy do b.

3

Ponieważ iloczyn wektorowy jest wektorem, można go znów
pomnożyć przez wektor; lecz w tym przypadku nie zachodzi prawo
łączności:

a × (b × c) 6= (a × b) × c.

Można się o tym przekonać przyjmując a = b.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy wyrażony przez współrzędne

Iloczyny wektorowe wektorów bazy jednostkowej e

1

, e

2

, e

3

mają

następujące wartości:

e

1

× e

1

=

e

2

× e

2

=

e

3

× e

3

=

0,

e

1

× e

2

=

e

2

× e

1

=

e

3

,

e

2

× e

3

=

e

3

× e

2

=

e

1

,

e

3

× e

1

=

e

1

× e

3

=

e

2

.

Dla wektorów:

a = a

x

e

1

+ a

y

e

2

+ a

z

e

3

,

b = b

x

e

1

+ b

y

e

2

+ b

z

e

3

,

iloczyn wektorowy:

a × b

=

(a

x

b

z

− a

z

b

y

)e

2

× e

3

+ (a

z

b

x

− a

x

b

z

)e

3

× e

1

+ (a

x

b

y

− a

y

b

x

)e

1

× e

2

=

(a

x

b

z

− a

z

b

y

)e

1

+ (a

z

b

x

− a

x

b

z

)e

2

+ (a

x

b

y

− a

y

b

x

)e

3

=




a

y

a

z

b

y

b

z




e

1

+




a

z

a

x

b

z

b

x




e

2

+




a

x

a

y

b

x

b

y




e

3

.

a × b =






e

1

e

2

e

3

a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z






MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Zestawienie właściwości iloczynów

skalarnego i wektorowego

Iloczyn skalarny

Iloczyn wektorowy

1.

a · b = a b cos ϕ

1.

a × b = a b sin ϕe

Iloczyn skalarny jest skalarem

Iloczyn wektorowy jest wektorem

2.

a · b = b · a

2.

a × b = b × a

Iloczyn skalarny jest przemienny

Iloczyn wektorowy nie jest przemienny

3.

a · b = 0

3.

a × b = 0

Warunek prostopadłości

Warunek równoległości

dwóch wektorów właściwych

dwóch wektorów właściwych

W iloczynach zachodzi prawo rozdzielności względem dodawania:

4.

a · (b + c) = a · b + a · c

4.

a × (b + c) = a × b + a × c

(a + b) · (c + d) =

(a + b) × (c + d) =

a · c + a · d + b · c + b · d

a × c + a × d + b × c + b × d

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Zestawienie właściwości iloczynów

skalarnego i wektorowego

Iloczyn skalarny

Iloczyn wektorowy

Postać iloczynów wyrażona przez składowe skalarne:

5.

a · b = a

x

b

x

+ a

y

b

y

+ a

z

b

z

5.

a × b =






e

1

e

2

e

3

a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z






6.

a · b

6.

{a × (b × c)} × · · ·

Iloczyn skalarny istnieje

Iloczyn wektorowy istnieje dla

tylko dla dwóch wektorów

dowolnej liczby czynników

7.

a · b = a

x

b

x

+ a

y

b

y

+ a

z

b

z

7.

a × b =




e

1

e

2

e

3

a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z




= a

0

x

b

0

x

+ a

0

y

b

0

y

+ a

0

z

b

0

z

=





e

0

1

e

0

2

e

0

3

a

0

x

a

0

y

a

0

z

b

0

x

b

0

y

b

0

z





Ilocz. skal. jest niezmiennikiem

Ilocz. wekt. nie jest niezmiennikiem

względem transformacji

względem transf. ortogonalnej

ortogonalnej układu

układu, jest on pseudowektorem

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Tensor

Tensory

są uogólnieniem pojęcia skalara i wektora.

Używa się ich np. do opisu odkształceń i naprężeń.

W pewnym uproszczeniu tensor T możemy sobie wyobrażać jako
liniowy operator działający na wektor a i produkujący z niego
nowy wektor v o innym zwrocie, kierunku i wartości:

v = T a.

Operacja działania tensorem na wektor to coś więcej niż :

mnożenie wektora przez liczbę - operacja nie zmienia kierunku wektora,

mnożenie skalarne wektorów - bo w wyniku otrzymujemy skalar.

Przykładem operacji tensorowej jest mnożenie wektorowe wektorów.

Wielkości tensorowe są zwykle reprezentowane jako macierze kwadratowe.
Wymiar macierzy nazywamy w tym wypadku rzędem tensora:

wielkość skalarna to tensor rzędu zerowego ma tylko jedną składową,

wektor jest tensorem rzędu pierwszego,

tensor rzędu 2 ma postać macierzy 3 × 3.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Tensor I rzędu

Dany jest wektor a o module |a| i i kierunku v. Po zrzutowaniu wektora
na kierunek µ mamy skalar a

µ

nazywany składową wektora a dla

kierunku µ.

a

µ

= a · µ = |a| |µ| cos(a, µ).

P

v

a

a

µ

µ

Wektorem (tensorem I rzędu) a nazywamy taką wielkość określoną
w punkcie P, która dowolnemu kierunkowi µ przyporządkowuje skalar a

µ

.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Tensor II rzędu

Tensorem II rzędu a nazywamy taką wielkość określoną w punkcie P,
która dowolnemu kierunkowi µ przyporządkowuje wektor t

µ

(czyli jest to operator liniowy odwzorujący wektor w wektor)
według relacji:

t

µ

= T · µ

.

Dziewięć składowych tensora T można zapisać w postaci macierzowej:

t

11

t

12

t

13

t

21

t

22

t

23

t

31

t

32

t

33

,

która jest reprezentacją tensora T.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Transformacje tensorów

Transformacje współrzędnych tensora a rzędu I (wektora)

a

0
i

=

X

j

α

ij

a

j

= α

ij

a

j

,

i , j = 1, 2, 3

co w zapisie macierzowym ma postać:

a

0

1

a

0

2

a

0

3

=

α

11

α

12

α

13

α

21

α

22

α

23

α

31

α

32

α

33

a

1

a

2

a

3

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Transformacje tensorów

Transformacje współrzędnych tensora t II rzędu

t

0

ij

=

X

k j

α

ik

α

jl

t

kl

= α

ik

α

jl

t

kl

,

i , j , k, l = 1, 2, 3.

Szczegółowo np. składowa t

0

13

:

t

0

13

= α

1k

α

3l

t

kl

=α

11

α

31

t

11

+ α

11

α

32

t

12

+ α

11

α

33

t

13

+

α

12

α

31

t

21

+ α

12

α

32

t

22

+ α

12

α

33

t

23

+

α

13

α

31

t

31

+ α

13

α

32

t

32

+ α

13

α

33

t

33

.

Wzory transformacyjne wyrażają podstawową cechę wielkości
tensorowych:

niezależność od wyboru układu współrzędnych

.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Działania na tensorach

Dodawanie tensorów:

t

ij

+ p

ij

= s

ij

.

Podczas tej operacji dodaje się odpowiednie składowe,
podobnie jak przy dodawaniu macierzy.

Mnożenie tensora przez skalar:

1

c t

ij

= t

ij

c,

2

a(b t

ij

) = (ab)t

ij

,

3

(a + b) t

ij

= a t

ij

+ b t

ij

,

4

a(t

ij

+ s

ij

) = a t

ij

+ a s

ij

.

Iloczyn zewnętrzny dwóch tensorów:

1

a

i

b

j

= c

ij

2

a

ij

b

km

= c

ijkm

.

Rząd powstałego tensora jest równy
sumie rzędów mnożnej i mnożnika.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Działania na tensorach

Iloczyn wewnętrzny (zwężenie, kontrakcja) dwóch tensorów.

Gdy mnożąc dwa tensory ich wskaźniki się powtarzają, otrzymamy tzw.
iloczyn wewnętrzny:

t

ijk

p

km

= s

ijm

(kontrakcja),

gdzie rząd powstałego tensora jest mniejszy od sumy rzędów mnożnej i
mnożnika o wielokrotność 2 powtarzających się indeksów.
W przykładzie 3 + 2 2 · 1 = 3.
W wyniku zwężenia iloczynu dwóch tensorów otrzymuje się skalar:
a

i

b

i

= A · B = s

Ślad tensora

:

t

ij

· δ

ij

= t

ii

= t

11

+ t

22

+ t

33

= tr(T).

Iloczyn skalarny tensorów (tensor rzędu 0) ma następujące właściwości:

1

t

ij

s

ij

= s

ij

t

ij

,

2

t

ij

(s

ij

+ u

ij

) = t

ij

s

ij

+ t

ij

u

ij

,

3

a(t

ij

u

ij

) = (a t

ij

)u

ij

+ t

ij

(a u

ij

).

Iloczyn wewnętrzny dwóch tensorów II rzędu zazwyczaj nie jest przemienny:
t

ij

s

jk

6= s

jk

t

ij

.

Wyjątkiem jest t

ij

δ

jk

= δ

jk

t

ij

.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY

background image

Skalary

Wektory

Tensory

Symetria i antysymetria, aksjator i dewiator

Symetria i antysymetria tensora.

1

Tensor jest symetryczny gdy t

ij

= t

ji

.

2

Tensor jest antysymetryczny gdy t

ij

= −t

ji

.

3

Iloczyn tensorów z których jeden jest symetryczny, a drugi
antysymetryczny jest zawsze równy 0.

Aksjator i dewiator.

Każdy tensor rzędu drugiego można rozłożyć na sumę dwóch
tensorów –

aksjatora

i

dewiatora

:

tensor T

=

aksjator

+

dewiator

t

11

t

21

t

31

t

12

t

22

t

32

t

13

t

23

t

33

=

t

0

0

0

t

0

0

0

t

+

t

11

− t

t

21

t

31

t

12

t

22

− t

t

32

t

13

t

23

t

33

− t

,

gdzie: t = 1/3(t

11

+ t

22

+ t

33

) = 1/3 tr(T).

W mechanice aksjator jest związany ze zmianą objętości,
a dewiator – ze zmianą postaci deformacji.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RACHUNEK WEKTOROWY I TENSOROWY


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
RBD W02
w02
RBD W02
c cxx w02
Gazownictwo w02
inf2 w02
AISD W02
KiDUM p w02 CG
Biochemia - W02 - 09.10.2000, Wykład II
anl1 w02 zima2012 id 65272 Nieznany (2)
anl1 w02 lato2009 id 65271 Nieznany (2)
KZ BD w02
AM23 w02 Szeregi liczbowe cz 1 Nieznany
imw w02 strukturysp analiza przeplywow
IMW W02 analiza stanow id 21233 Nieznany
W02 SCR historia pojecia definicje
Antropologia kulturowa W02
af-w02

więcej podobnych podstron