Microsoft PowerPoint - 16

Odkształcenia trwałe

powstają w skutek przemieszczania się

przemieszczania się

poszczególnych atomów w siatce krystalograficznej z jednej w

drugie położenie równowagi. Przemieszczenia takie odbywają się w

uprzywilejowanych płaszczyznach, najczęściej w płaszczyznach

najgęstszego ułożenia atomów, nazywa się je płaszczyznami

płaszczyznami

poślizgu.

Powstanie poślizgów jest związane jest związane z ruchem w siatce

atomowej zakłóceń, zwanych dyslokacjami.

dyslokacjami.

Odkształcenia trwałe

mają charakter postaciowy

postaciowy

, a nie

objętościowy. Dalszy wzrost obciążeń powoduje w rezultacie utratę

spójności materiału

, czyli złom

złom

. Jeżeli złom powstaje w

płaszczyźnie poślizgu

, to nazywamy go złomem poślizgowym,

złomem poślizgowym,

jeżeli w innych płaszczyznach - złomem rozdzielczym

złomem rozdzielczym

. Gdy złomu

rozdzielczego nie poprzedza znaczne odkształcenie trwałe,

wówczas złom taki określa się jako złom kruchy

złom kruchy

Ogół zmian w stanie fizycznym ciała prowadzący do powstania

trwałych odkształceń

i zniszczenia spójności

zniszczenia spójności

określa się jako

wytężenie.

Stawia się hipotezę, że można utworzyć

funkcję W

określającą

wytężenie

. Jej argumentami są

składowe stanu ośrodka ciągłego

w danym punkcie (z reguły składowe stanu naprężenia

, ...,

...) i

parametry charakteryzujące materiał

,...)

W = F(

, ...,

, ..., C

, ...)

Graniczne wartości wytężenia

(na granicy plastyczności) i W

(na granicy wytrzymałości) uważa się najczęściej za

niebezpieczne

dla konstrukcji. Stosunek wytężenia granicznego W

lub W

wytężenia W nazywa się współczynnikiem bezpieczeństwa

współczynnikiem bezpieczeństwa

(jego odwrotność nazywa się współczynnikiem zagrożenia

współczynnikiem zagrożenia

)

(1)

składowe normalne stanu naprężania

działające w

płaszczyźnie, do której normalną jest odpowiednio oś x, y, z,

- składowe styczne stanu naprężenia

składowe styczne stanu naprężenia

Tensor stanu naprężenia

[ ]

σ τ τ

τ σ τ
τ τ σ

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

[ ]

σ σ σ
σ σ σ

σ σ σ

⎡

⎤

⎢

⎥ ⎡ ⎤

= ⎣ ⎦

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

→

σ σ

σ τ

→

[ ]

0 0 0

σ τ

τ σ

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

Płaski stan naprężenia

Naprężenia główne

[ ]

0 0

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

→

aby

σ
σ

→

≠

dla i

Czy możliwe są takie kierunki

Tensor
stanu
naprężenia

1,2,3

naprężenia główne

p
p
p

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

⎧

⎫ ⎡

⎤ ⎧

⎫

⎪

⎪ ⎢

⎥ ⎪

⎪

⎨

⎬

⎨

⎬

⎢

⎥

⎪

⎢

⎥

⎩

⎭ ⎣

⎦ ⎩

⎭

σ σ

σ τ

→

p
p
p

σ σ σ
σ σ τ

σ σ σ

⎧

⎫

⎧

⎫

⎡

⎤

⎪

⎢

⎥

⎨

⎬

⎨

⎬

⎢

⎥

⎪

⎢

⎥

⎣

⎦

⎩

⎭

⎩

⎭

p
p
p

σα

σα
σα

=
=

0
0
0

α
α
α

−

⎡

⎤

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎧

⎫

⎧ ⎫

⎪

⎪ ⎪ =

⎨ ⎬

⎨

⎬

⎪ ⎪

⎦

⎪

⎩ ⎭

⎩

⎣

⎪

⎭

Równanie wiekowe (sekularne):

−

III

−

11 22

22 33

33 11

11 22 33

12 23 31

11 23

22 31

33 13

III

s
s
s

σ σ

σ σ σ

σ σ

−

Niezmienniki stanu naprężenia:

Dowolny stan naprężenia

określić można trzema składowymi

głównymi

. Zbiór wszystkich stanów naprężenia w

analizowanym punkcie ciała można traktować jak

trójwymiarową

przestrzeń.

Każdemu punktowi tej przestrzeni o współrzędnych

odpowiada określony stan naprężenia, któremu

przyporządkowane jest wytężenie W(

wytężenie W(

,C),

(rys.1).

Stanowi naprężenia o stałym stosunku

i rosnących

wartościach składowych głównych odpowiada prosta wychodząca z

początku układu współrzędnych. W przypadku

jednoosiowego

stanu naprężenia

pokrywa się ona z jedną z osi

układu

współrzędnych.

Zbiór punktów zawierających stan naprężenia, które powodują

jednakowe wytężenie, tworzy powierzchnię o równaniu W=

const

A zatem stan naprężenia odpowiadające punktom A i B (rys.1)

wywołują identyczne wytężenie.

powierzchnia jednakowego
wytężenia W=const

prosta jednoosiowego stanu naprężenia

W’(

red

, 0, 0,C)

red

Rys.1

prosta stanów naprężenia
σ

=const

Można dzięki temu zredukować (czyli zastąpić) dowolny stan
naprężenia o wytężeniu

,C)

- punkt A, do jednoosiowego

stanu naprężenia o takim samym wytężeniu

W’(

red

, 0, 0,C)

- punkt B.

Z równania W(

,C)=

W’(

red

, 0, 0,C)

wyznacza się naprężenia

redukowane

red

red

=F(

,C)

,C)

W przypadku przestrzeni sześciowymiarowej wytężenie w

ogólnym stanie naprężenia F(

, ...,

, ..., C, ...) i wytężenie w

jednoosiowym rozciąganiu F(

, 0, 0, 0, 0, 0, C, ...) są również

są również

sobie równe

, ...,

, ..., C, ...) = F(

, 0, 0, 0, 0, 0, C, ...)

wówczas rozwiązując tę nierówność ze względu na

, otrzymuje

się

= f(

, C, ...)

(2)

Prawą stronę równania (2) nazywa się naprężeniem zredukowanym

naprężeniem zredukowanym

red

lub naprężeniem zastępczym

naprężeniem zastępczym

red

=f(

, C, ...)

(3)

Naprężenia zredukowane

red

jest to wielkość charakteryzująca

dany stan naprężenia pod względem wytężenia. Do oceny

współczynnika bezpieczeństwa

w trójosiowym stanie naprężenia

należy wyznaczyć

red

i porównać je z odpowiednim naprężeniem

niebezpiecznym dla jednoosiowego stanu naprężenia (rozciągania).

Ogólnie

warunek wytrzymałościowy

można wyrazić w postaci

nieb

dop

red

≤

(4)

gdzie

dop

dopuszczalna wartość naprężenia w jednoosiowym

rozciąganiu

Hipoteza największego naprężenia stycznego

, zaproponowana

przez Coulomba i rozwinięta Tresca i Guesta dotyczy granicy

plastyczności i granicy wytrzymałości. Zakłada ona, że miarą

miarą

wytężenia materiału jest największe naprężenie styczne.

Największe naprężenie
styczne w dowolnym
stanie naprężenia
wynosi

min

max

−

max

W prostym rozciąganiu
maksymalne naprężenie
styczne wynosi

Dla równych naprężeń stycznych
wytężenia w obu stanach naprężeń są
równe; przyrównując prawe strony
podanych wzorów na

max

, otrzymuje

się

min

max

−

Naprężenie zredukowane wyraża się
w postaci

(8)

min

max

−

red

Aby w danym stanie

naprężenia nie wystąpiły

trwałe odkształcenia

, musi być

spełniony warunek

min

max

≤

−

(9)

Warunek zaś zachowania

zachowania

wytrzymałości materiału

wyraża

się w postaci

min

max

≤

−

(10)

W celu wyznaczenia

wyznaczenia

powierzchni granicznych

wytrzymałości materiałów

układzie

(nie

przesądzając z góry, które z

naprężeń głównych osiąga

wartości największe i

najmniejsze) wyraża się

warunek (9) w postaci sześciu

nierówności (lub równań) przy

założeniu, że

= -

≤

−

≤

−

≤

−

≤

−

≤

−

≤

−

(11)

Powierzchnię graniczną

stanowią boki graniastosłupa

sześciobocznego o osi

, jednakowo nachylonej do

osi

≠0, σ

≠0, . Dla

stanu naprężenia warunek

(10)

przedstawia się w postaci

Rys.2

≤

−

≤

−

≤

−

≤

−

(12)

W płaskim układzie

sześć równań (a, b, c, d, e, f)

)

(

)

(

−

)

(

)

(

−

)

(

)

(

−

wyznacza sześć prostych (rys.2), tworzących

kontur graniczny w

postaci sześcioboku.

Jeżeli płaski stan naprężenia

płaski stan naprężenia

jest określony ogólnie przez składowe to

naprężenie główne

wyznacza się ze wzoru

(

)

(

)

−

Rozpatrzymy jako pierwszy przypadek,

gdy znaki

są różne

wówczas

<0 ,

.Aby przypadek ten zaistniał,

składowe

naprężenia

muszą spełniać warunek

(

)

−

co po przekształceniach

można zapisać

(13)

Wówczas

max

min

. Na

naprężenie zredukowane

uzyskuje się wzór

(

)

red

−

(14)

Jeżeli znaki naprężeń
głównych są

jednakowe

>0 , a więc

i gdy ponadto

, wówczas

max

, zaś

min

= 0

. Na naprężenia

naprężenia

zredukowane

otrzymujemy wzór

(15)

(

)

(

)

red

−

(16)

Gdy zaś

, wówczas

max

= 0 , zaś

min

. Na naprężenia

naprężenia

zredukowane

uzyskujemy wzór

(

)

(

)

red

−

(17)

Dla prostego ścinania

max

min

i wzór na naprężenie zredukowane

naprężenie zredukowane

przyjmuje postać

red

Stąd wniosek, że

Hipoteza ta opiera się na założeniu, że i można ją stosować tylko

dla materiałów spełniających ten warunek.

Doświadczenia przeprowadzone dla materiałów plastycznych

materiałów plastycznych

(

złom poślizgowy

), szczególnie dla płaskich stanów naprężeń,

dla płaskich stanów naprężeń,

wystarczająco potwierdzają tę hipotezę.

Kryteria tych hipotez zostały sformułowane w naprężeniach

naprężeniach

głównych.

Naprężenia główne

są pierwiastkami równania sekularnego, które

można rozwiązać wyłącznie przez zastosowanie przekształceń

hiperbolicznych lub trygonometrycznych. Pociąga to za sobą

trudności otrzymania rozwiązania w postaci ogólnej

. Dlatego nie

można sformułować ogólnych wzorów na

red

, jeżeli stan naprężenia

jest określony sześcioma składowymi

Energia sprężysta właściwa

• Właściwa energia sprężysta =

= energia sprężysta przypadająca na jednostkę

objętości

11 11

22 22

33 33

σ ε

Φ =

⎡

⎤

⎣

⎦

(

)

(

)

11 22

1 1

[

)

]

ν σ

σ σ

Φ =

+ +

−

lub

Energia sprężysta właściwa

energia sprężysta właściwa odkształcenia objętościowego

Φ = Φ + Φ

energia sprężysta właściwa odkształcenia postaciowego

Φ =

(

)

1 2

ν σ σ σ

−

Φ =

(

) (

)

(

)

ν σ σ

+ ⎡

Φ =

−

⎣

⎤⎦

Hipoteza energetyczna

zakłada, że w miarę wytężenia należy

wytężenia należy

uważać właściwą energię odkształcenia

. Początkowo uwzględniono

całkowitą energię odkształcenia, później ograniczono się do energii

odkształcenia postaciowego; w tej formie zyskała ona najszersze

zastosowanie i nazywana jest ona od nazwisk jej autorów hipotezą

Hubera, Misesa, Hencky’ego

Wielkością decydującą o wytężeniu materiału jest tu właściwa

właściwa

energia odkształcenia postaciowego

, która w ogólnym stanie

naprężenia wynosi

)]

(

)

(

)

(

)

[(

2
yz

−

Dla jednoosiowego stanu naprężenia (

=0,

) energia ta się wyraża

Jeżeli wytężenia te są równe, można przyrównać prawe strony

powyższych równań i stąd wyznaczymy

red

w sposób najbardziej

ogólny

)

(

2
yz

2
y

red

−

(18)

Dla płaskiego stanu naprężenia

płaskiego stanu naprężenia

≠0, σ

≠0 σ

≠0, τ

≠0 τ

≠0

2
y

red

−

(19)

Dla często spotykanych w praktyce technicznej

w praktyce technicznej

stanów naprężeń

σ≠ 0, σ

= 0,

τ ≠ 0, τ

uzyskuje się wzór

red

a dla ścinania

red

Stąd wniosek, że

nieb

Hipoteza ta jako kryterium plastyczności materiału stała się

podstawowym prawem teorii plastyczności

. Zastosowana zaś do

granic wytrzymałości daje w przypadku

złomu poślizgowego

wyniki

dobrze pokrywające się z wynikami doświadczeń.

Energię właściwą odkształcenia
postaciowego można wyrazić przez

niezmienniki

stanu naprężenia

)

(

ΙΙ

−

lub przez naprężenie styczne

naprężenie styczne

płaszczyźnie jednakowo
nachylonej do kierunków
głównych

okt

Korzystając z powyższych zależności, można otrzymać wzory na

naprężenia zredukowane

w postaci

ΙΙ

red

−

okt

red

(20)

Przy czym wprowadzone tu niezmienniki są kombinacjami znanych

nam już niezmienników s

III

)

(

−

)

(

2
yz

2
y

−

(21)

2
yz

III

−

Przyjmuje się jednak, że wpływ niezmiennika u

jest bardzo

nieznaczny, tak że z wystarczającą dokładnością można wytężenie

wytężenie

sformułować jako funkcję tylko dwóch niezmienników s i t

(22)

)

( t

Funkcję tę można przedstawić wykreślnie w układzie s-t jak na rys.5

gdzie krzywa

krzywa

jest

wykresem funkcji wytężenia

dla jego granicznej

wartości

Można wykazać, że odrzucenie niezmiennika u

sprowadza się do

założenia, że

powierzchnia graniczna jest powierzchnią obrotową

osi obrotu jednakowo nachylonej do osi

o promieniu

w odległości mierzonej na osi obrotu

Krzywa wytężenia

w układzie s-t jest po prostu południkiem

powierzchni granicznej.

Ściskanie
równomierne
przestrzenne

Rozciąganie
równomierne
przestrzenne

zci

ąga

nie

rów

nomi

ern

e p

łask

ąg

Czyste

ścinanie

Śc

isk

jed

iow

’

κσ

Rys.5

Punkty odpowiadające
temu rodzajowi stanu
naprężenia muszą
leżeć na prostej l

o współczynniku
kierunkowym

Dla równomiernego

płaskiego rozciągania

(

σ, σ

=0,

)

niezmienniki

wynoszą

Podobnie dla

jednoosiowego

rozciągania

(

σ, σ

= 0,

=0,

)

niezmienniki

przyjmują wartości

a prostą l

wyznacza

współczynnik
kierunkowy

Dla jednoosiowego

jednoosiowego

ściskania

(

= -

σ, σ

= 0,

=0,

) otrzymuje

się

−

zaś prostą l

wyznacza

współczynnik

kierunkowy

−

W uproszczonej hipotezie

hipotezie

Burzyńskiego

krzywą między punktami

C i R (rys.5) aproksymuje się prosta W’ i otrzymuje się wzór na

naprężenie zredukowane

)

(

)

(

2
yz

2
y

red

−

(23)

Wzór ten można stosować do materiałów o różnych

wytrzymałościach na ściskanie

i rozciąganie

(

W przypadku gdy

κ=1,

wzór ten jest identyczny z

analogicznym wzorem wynikłym z hipotezy energii odkształcenia

postaciowego.

Za autorów hipotezy największego rozciągania

hipotezy największego rozciągania

uważa się

Galileusza i Leibnitza.

W myśl tej hipotezy

W myśl tej hipotezy miarą natężenia materiału jest największe

miarą natężenia materiału jest największe

naprężenie rozciągające

Warunek wytrzymałości materiału

ogólnym stanie naprężenia jest zachowany, jeżeli największe

naprężenie rozciągające

naprężenie rozciągające nie przekroczy

nie przekroczy

wartości granicy

wytrzymałości

przy jednoosiowym rozciąganiu

Z hipotezy tej wynikałoby, że w przypadku jednoosiowego

ściskania wytrzymałość materiału jest nieograniczona

nieograniczona

. Jest to

oczywiście sprzeczne z doświadczeniem.

Modyfikacją tej hipotezy jest

Modyfikacją tej hipotezy jest hipoteza największego naprężenia

hipoteza największego naprężenia

normalnego.

Wprowadza ona ograniczenia nie tylko dla dodatnich,

ale również i dla ujemnych wartości i naprężeń normalnych.

Warunek zachowania wytrzymałości

można zapisać w sposób

następujący

≤

(5)

Żadne więc z naprężeń

Żadne więc z naprężeń nie może

nie może

być większe

granicy

wytrzymałości przy jednoosiowym rozciąganiu

i mniejsze

mniejsze

od granicy wytrzymałości przy ściskaniu

Powierzchnię graniczną

w układzie

tworzą ściany

sześcianu o bokach

. Dla płaskiego stanu naprężenia

(

=0) konturem granicznym jest kwadrat o bokach

(rys.1)

Ścin

anie

Zbadajmy zgodnie z przytoczoną
hipotezą wytrzymałości przy

prostym ścinaniu

, w którym

Wówczas

−

Wynika stąd, że przy ścinaniu

ścinaniu

zostanie osiągnięta granica

granica

wytrzymałości

, gdy

τ = σ

. Doświadczenia zaś dla materiałów

sprężysto-plastycznych wykazują, że graniczne naprężenie

styczne przy ścinaniu

≈ 0,6 σ

Rys.1

Punktem wyjścia do oceny wytężenia w hipotezach odkształceń

właściwych jest nie stan naprężenia, lecz stan odkształcenia. Znane

są dwa warianty.

Wariant pierwszy de

Saint

Venanta

przyjmuje, że miarą

miarą

wytężenia jest największe wydłużenie

właściwe

. Warunek zachowania

wytrzymałości wyraża się w postaci

≤

(6)

W wariancie drugim

Grashoffa

warunek

zachowania wytrzymałości
przyjmuje postać

≤

(7)

- wydłużenie na granicy

wytrzymałości przy
prostym rozciąganiu.

- skrócenie względne na

granicy wytrzymałości przy
prostym ściskaniu.