Podstawowym i nieodzownym dla każdej konstrukcji technicznej

warunkiem jest zapewnienie jej dostatecznej wytrzymałości

(nośności).

Dla określenia nośności konstrukcji

nośności konstrukcji

stosujemy:

• doświadczenia

doświadczenia

(najpewniejszy sposób sprawdzenia). Wyznaczona w

doświadczeniu wartość końcowa obciążenia, podzielona przez
współczynnik bezpieczeństwa, jest obciążeniem dopuszczalnym

obciążeniem dopuszczalnym

.

Badanie na drodze eksperymentowania jest jednak dość długotrwałe i
kosztowne, a czasem niemożliwe.

•

•

korzystanie

z

z danych

danych

charakteryzujących właściwości materiału.

charakteryzujących właściwości materiału.

Wprawdzie dane materiałowe otrzymuje się również na drodze
eksperymentalnej, ale dzięki takiemu ujęciu zagadnienia konieczna
liczba eksperymentów niepomiernie maleje.

Odkształcenia trwałe

Odkształcenia trwałe

powstają w skutek przemieszczania się

przemieszczania się

poszczególnych atomów w siatce krystalograficznej z jednej w

drugie położenie równowagi. Przemieszczenia takie odbywają się w

uprzywilejowanych płaszczyznach, najczęściej w płaszczyznach

najgęstszego ułożenia atomów, nazywa się je płaszczyznami

płaszczyznami

poślizgu.

poślizgu.

Powstanie poślizgów jest związane jest związane z ruchem w siatce

atomowej zakłóceń, zwanych dyslokacjami.

dyslokacjami.

Odkształcenia trwałe

Odkształcenia trwałe

mają charakter postaciowy

postaciowy

, a nie

objętościowy. Dalszy wzrost obciążeń powoduje w rezultacie utratę

spójności materiału

spójności materiału

, czyli złom

złom

. Jeżeli złom powstaje w

płaszczyźnie poślizgu

płaszczyźnie poślizgu

, to nazywamy go złomem poślizgowym,

złomem poślizgowym,

jeżeli w innych płaszczyznach - złomem rozdzielczym

złomem rozdzielczym

. Gdy złomu

rozdzielczego nie poprzedza znaczne odkształcenie trwałe,

wówczas złom taki określa się jako złom kruchy

złom kruchy

Ogół zmian w stanie fizycznym ciała prowadzący do powstania

trwałych odkształceń

trwałych odkształceń

i zniszczenia spójności

zniszczenia spójności

określa się jako

wytężenie.

wytężenie.

Stawia się hipotezę, że można utworzyć

funkcję W

określającą

wytężenie

. Jej argumentami są

składowe stanu ośrodka ciągłego

składowe stanu ośrodka ciągłego

w danym punkcie (z reguły składowe stanu naprężenia

σ

x

, ...,

τ

xy

,

...) i

parametry charakteryzujące materiał

parametry charakteryzujące materiał

(C

1

,...)

W = F(

σ

x

, ...,

τ

xy

, ..., C

1

, ...)

Graniczne wartości wytężenia

Graniczne wartości wytężenia

W

W

p

p

(na granicy plastyczności) i W

W

z

z

(na granicy wytrzymałości) uważa się najczęściej za

niebezpieczne

dla konstrukcji. Stosunek wytężenia granicznego W

p

lub W

z

do

wytężenia W nazywa się współczynnikiem bezpieczeństwa

współczynnikiem bezpieczeństwa

(jego odwrotność nazywa się współczynnikiem zagrożenia

współczynnikiem zagrożenia

)

.

(1)

B

B

dz

dx

dy

σ

σ

x

x

τ

τ

xz

xz

τ

τ

xy

xy

σ

σ

x

x

τ

τ

xz

xz

τ

τ

xy

xy

σ

σ

y

y

τ

τ

yz

yz

τ

τ

yx

yx

σ

σ

y

y

τ

τ

yz

yz

τ

τ

yx

yx

σ

σ

z

z

τ

τ

zx

zx

τ

τ

zy

zy

σ

σ

z

z

τ

τ

zx

zx

τ

τ

zy

zy

σ

x

,

σ

y

,

σ

z

składowe normalne stanu naprężania

składowe normalne stanu naprężania

działające w

płaszczyźnie, do której normalną jest odpowiednio oś x, y, z,

τ

xy

,

τ

yx

,

τ

yz

,

τ

zy

,

τ

zx

,

τ

xz

- składowe styczne stanu naprężenia

składowe styczne stanu naprężenia

0

0

x

x

y

y

z

z

Tensor stanu naprężenia

[ ]

T

x

xy

xz

yx

y

yz

zx

zy

z

σ

σ τ τ

τ σ τ
τ τ σ

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

[ ]

11

12

13

21

22

23

31

32

33

T

ij

σ

σ σ σ
σ σ σ

σ

σ σ σ

⎡

⎤

⎢

⎥ ⎡ ⎤

=

= ⎣ ⎦

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

→

1

2

3

11

22

33

12

23

31

,

,

,

,

,

,

σ

σ σ

σ σ

σ

τ

σ τ

σ τ

σ

→

→

→

=

=

=

=

=

=

x

y

z

xy

yz

zx

x

x

y

x

z

x

ij

ji

σ

σ

=

xy

yx

yz

zy

zx

xz

τ

τ

τ

τ

τ

τ

=

=

=

[ ]

0

T

0

0 0 0

σ

σ τ

τ σ

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

x

xy

yx

y

Płaski stan naprężenia

Naprężenia główne

[ ]

1

2

3

0 0

T

0

0

0 0

σ

σ

σ

σ

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

→

aby

1

2

3

1,

2,

3

0,

σ
σ

σ

→

→

→

=

≠

=

ij

ii

i

x

x

x

dla i

j

Czy możliwe są takie kierunki

Tensor
stanu
naprężenia

,

1,2,3

i

i

σ

=

naprężenia główne

x

p
p
p

μ

μ

μ

μ

μ

μ

σ τ τ

α

τ σ τ

α

τ τ σ

α

⎧

⎫ ⎡

⎤ ⎧

⎫

⎪

⎪ ⎢

⎥ ⎪

⎪

=

⎨

⎬

⎨

⎬

⎢

⎥

⎪

⎪

⎪

⎪

⎢

⎥

⎩

⎭ ⎣

⎦ ⎩

⎭

x

xy

xz

x

y

yx

y

yz

y

z

zx

zy

z

z

1

2

3

11

22

33

12

23

31

,

,

,

,

,

,

σ

σ σ

σ σ

σ

τ

σ τ

σ τ

σ

→

→

→

=

=

=

=

=

=

x

y

z

xy

yz

zx

x

x

y

x

z

x

1

1

11

12

13

2

21

22

23

2

31

32

33

3

3

p
p
p

μ

μ

μ

μ

μ

μ

α

σ σ σ
σ σ τ

α

σ σ σ

α

⎧

⎫

⎧

⎫

⎡

⎤

⎪

⎪

⎪

⎪

⎢

⎥

=

⎨

⎬

⎨

⎬

⎢

⎥

⎪

⎪

⎪

⎪

⎢

⎥

⎣

⎦

⎩

⎭

⎩

⎭

1

1

2

2

3

3

p
p
p

μ

μ

μ

μ

μ

μ

σα

σα
σα

=

=
=

11

12

13

21

22

23

31

32

3

1

2

3

3

0
0
0

μ

μ

μ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

α
α
α

σ

σ

σ

σ

−

⎡

⎤

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎧

⎫

⎧ ⎫

⎪

⎪

⎪ ⎪ =

⎨ ⎬

⎨

⎬

⎪ ⎪

⎦

⎪

⎩ ⎭

⎩

⎣

⎪

⎭

Równanie wiekowe (sekularne):

Równanie wiekowe (sekularne):

11

12

13

21

22

23

31

32

33

0

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

−

−

=

−

3

2

0

I

II

III

s

s

s

σ

σ

σ

−

+

−

=

11

22

33

2

2

2

11 22

22 33

33 11

12

23

31

2

2

2

11 22 33

12 23 31

11 23

22 31

33 13

2

I

II

III

s
s
s

σ

σ

σ

σ σ

σ σ

σ σ

σ

σ

σ

σ σ σ

σ σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

=

+

+

=

+

+

−

−

−

=

+

−

−

−

Niezmienniki stanu naprężenia:

Dowolny stan naprężenia

Dowolny stan naprężenia

określić można trzema składowymi

głównymi

σ

σ

1

1

,

,

σ

σ

2

2

,

,

σ

σ

3

3

. Zbiór wszystkich stanów naprężenia w

analizowanym punkcie ciała można traktować jak

trójwymiarową

przestrzeń.

Każdemu punktowi tej przestrzeni o współrzędnych

σ

1

,

σ

2

,

σ

3

odpowiada określony stan naprężenia, któremu

przyporządkowane jest wytężenie W(

wytężenie W(

σ

σ

1

1

,

,

σ

σ

2

2

,

,

σ

σ

3

3

,C),

,C),

(rys.1).

Stanowi naprężenia o stałym stosunku

σ

1

:

σ

2

:

σ

3

i rosnących

wartościach składowych głównych odpowiada prosta wychodząca z

początku układu współrzędnych. W przypadku

jednoosiowego

stanu naprężenia

pokrywa się ona z jedną z osi

σ

1

,

σ

2

,

σ

3

układu

współrzędnych.

Zbiór punktów zawierających stan naprężenia, które powodują

Zbiór punktów zawierających stan naprężenia, które powodują

jednakowe wytężenie, tworzy powierzchnię o równaniu W=

jednakowe wytężenie, tworzy powierzchnię o równaniu W=

const

const

.

.

A zatem stan naprężenia odpowiadające punktom A i B (rys.1)

wywołują identyczne wytężenie.

σ

2

σ

2

σ

1

powierzchnia jednakowego
wytężenia W=const

prosta jednoosiowego stanu naprężenia

W’(

σ

red

, 0, 0,C)

σ

red

Rys.1

prosta stanów naprężenia
σ

1

:

σ

2

:

σ

3

=const

A

B

Można dzięki temu zredukować (czyli zastąpić) dowolny stan
naprężenia o wytężeniu

W(

σ

1

,

σ

2

,

σ

3

,C)

- punkt A, do jednoosiowego

stanu naprężenia o takim samym wytężeniu

W’(

σ

red

, 0, 0,C)

- punkt B.

Z równania W(

W(

σ

σ

1

1

,

,

σ

σ

2

2

,

,

σ

σ

3

3

,C)=

,C)=

W’(

W’(

σ

σ

red

red

, 0, 0,C)

, 0, 0,C)

wyznacza się naprężenia

redukowane

σ

σ

red

red

.

.

σ

red

=F(

σ

1

,

σ

2

,

σ

3

,C)

W(

σ

1

,

σ

2

,

σ

3

,C)

W przypadku przestrzeni sześciowymiarowej wytężenie w

ogólnym stanie naprężenia F(

σ

x

, ...,

τ

xy

, ..., C, ...) i wytężenie w

jednoosiowym rozciąganiu F(

σ

o

, 0, 0, 0, 0, 0, C, ...) są również

są również

sobie równe

sobie równe

F(

σ

x

, ...,

τ

xy

, ..., C, ...) = F(

σ

o

, 0, 0, 0, 0, 0, C, ...)

wówczas rozwiązując tę nierówność ze względu na

σ

o

, otrzymuje

się

σ

o

= f(

σ

x

,

σ

y

,

σ

z

,

τ

xy

,

τ

yz

,

τ

zx

, C, ...)

(2)

Prawą stronę równania (2) nazywa się naprężeniem zredukowanym

naprężeniem zredukowanym

σ

σ

red

red

lub naprężeniem zastępczym

naprężeniem zastępczym

σ

red

=f(

σ

x

,

σ

y

,

σ

z

,

τ

xy

,

τ

yz

,

τ

zx

, C, ...)

(3)

Naprężenia zredukowane

Naprężenia zredukowane

σ

σ

red

red

jest to wielkość charakteryzująca

jest to wielkość charakteryzująca

dany stan naprężenia pod względem wytężenia. Do oceny

dany stan naprężenia pod względem wytężenia. Do oceny

współczynnika bezpieczeństwa

współczynnika bezpieczeństwa

w trójosiowym stanie naprężenia

w trójosiowym stanie naprężenia

należy wyznaczyć

należy wyznaczyć

σ

σ

red

red

i porównać je z odpowiednim naprężeniem

i porównać je z odpowiednim naprężeniem

niebezpiecznym dla jednoosiowego stanu naprężenia (rozciągania).

niebezpiecznym dla jednoosiowego stanu naprężenia (rozciągania).

Ogólnie

Ogólnie

warunek wytrzymałościowy

warunek wytrzymałościowy

można wyrazić w postaci

można wyrazić w postaci

n

nieb

dop

red

σ

σ

σ

=

≤

(4)

gdzie

gdzie

σ

σ

dop

dop

-

-

dopuszczalna wartość naprężenia w jednoosiowym

dopuszczalna wartość naprężenia w jednoosiowym

rozciąganiu

rozciąganiu

Hipoteza największego naprężenia stycznego

Hipoteza największego naprężenia stycznego

, zaproponowana

przez Coulomba i rozwinięta Tresca i Guesta dotyczy granicy

plastyczności i granicy wytrzymałości. Zakłada ona, że miarą

miarą

wytężenia materiału jest największe naprężenie styczne.

wytężenia materiału jest największe naprężenie styczne.

Największe naprężenie
styczne w dowolnym
stanie naprężenia
wynosi

2

min

max

max

σ

σ

τ

−

=

2

0

σ

τ

=

max

W prostym rozciąganiu
maksymalne naprężenie
styczne wynosi

Dla równych naprężeń stycznych
wytężenia w obu stanach naprężeń są
równe; przyrównując prawe strony
podanych wzorów na

τ

max

, otrzymuje

się

min

max

σ

σ

σ

−

=

0

Naprężenie zredukowane wyraża się
w postaci

(8)

min

max

σ

σ

σ

−

=

red

Aby w danym stanie

naprężenia nie wystąpiły

trwałe odkształcenia

trwałe odkształcenia

, musi być

spełniony warunek

e

pr

min

max

R

=

≤

−

σ

σ

σ

(9)

Warunek zaś zachowania

zachowania

wytrzymałości materiału

wytrzymałości materiału

wyraża

się w postaci

zr

min

max

σ

σ

σ

≤

−

(10)

W celu wyznaczenia

wyznaczenia

powierzchni granicznych

powierzchni granicznych

wytrzymałości materiałów

wytrzymałości materiałów

w

układzie

σ

1

σ

2

σ

3

(nie

przesądzając z góry, które z

naprężeń głównych osiąga

wartości największe i

najmniejsze) wyraża się

warunek (9) w postaci sześciu

nierówności (lub równań) przy

założeniu, że

σ

Zc

= -

σ

Zr

Zr

1

3

Zr

Zr

3

2

Zr

Zr

2

1

Zr

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

≤

−

≤

−

≤

−

≤

−

≤

−

≤

−

(11)

Powierzchnię graniczną

stanowią boki graniastosłupa

sześciobocznego o osi

σ

1

,

σ

2

,

σ

3

, jednakowo nachylonej do

osi

σ

1

≠0, σ

2

≠0, σ

3

≠0, . Dla

stanu naprężenia warunek

stanu naprężenia warunek

(10)

przedstawia się w postaci

σ

Zr

σ

Zr

σ

2

σ

1

b

a

c

f

e

d

Rys.2

Zr

12

Zr

Zr

2

Zr

Zr

2

1

Zr

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

≤

≤

−

≤

≤

−

≤

−

≤

−

(12)

W płaskim układzie

sześć równań (a, b, c, d, e, f)

)

b

(

)

a

(

Zr

2

1

Zr

2

1

σ

σ

σ

σ

σ

σ

−

=

−

=

−

)

d

(

)

c

(

Zr

2

Zr

2

σ

σ

σ

σ

−

=

=

)

f

(

)

e

(

Zr

1

Zr

1

σ

σ

σ

σ

−

=

−

=

−

wyznacza sześć prostych (rys.2), tworzących

kontur graniczny w

postaci sześcioboku.

Jeżeli płaski stan naprężenia

płaski stan naprężenia

jest określony ogólnie przez składowe to

naprężenie główne

naprężenie główne

wyznacza się ze wzoru

(

)

(

)

2

xy

2

y

x

y

x

2

,

1

4

2

1

2

1

τ

σ

σ

σ

σ

σ

+

−

±

+

=

Rozpatrzymy jako pierwszy przypadek,

gdy znaki

σ

1

i

σ

2

są różne

wówczas

σ

1

σ

2

<0 ,

σ

3

=0

.Aby przypadek ten zaistniał,

składowe

naprężenia

σ

x

,

σ

y

,

τ

xy

,

muszą spełniać warunek

(

)

y

x

2

xy

2

y

x

4

σ

σ

τ

σ

σ

+

>

+

−

co po przekształceniach

można zapisać

2

xy

y

x

τ

σ

σ

<

(13)

Wówczas

σ

σ

1

1

=

=

σ

σ

max

max

,

,

σ

σ

2

2

=

=

σ

σ

min

min

. Na

naprężenie zredukowane

naprężenie zredukowane

uzyskuje się wzór

(

)

2

xy

2

y

x

red

4

τ

σ

σ

σ

+

−

=

(14)

Jeżeli znaki naprężeń
głównych są

jednakowe

σ

1

σ

2

>0 , a więc

2

xy

y

x

τ

σ

σ

>

i gdy ponadto

σ

1

+

σ

2

>0

, wówczas

σ

max

=

σ

1

, zaś

σ

min

= 0

. Na naprężenia

naprężenia

zredukowane

zredukowane

otrzymujemy wzór

(15)

(

)

(

)

2

x

2

y

x

y

x

red

4

2

1

2

1

τ

σ

σ

σ

σ

σ

+

−

+

+

=

(16)

Gdy zaś

σ

1

+

σ

2

<0

, wówczas

σ

max

= 0 , zaś

σ

min

=

σ

2

. Na naprężenia

naprężenia

zredukowane

zredukowane

uzyskujemy wzór

(

)

(

)

2

x

2

y

x

y

x

red

4

2

1

2

1

τ

σ

σ

σ

σ

σ

+

−

+

+

−

=

(17)

Dla prostego ścinania

σ

1

=

σ

max

,

σ

2

=

σ

min

i wzór na naprężenie zredukowane

naprężenie zredukowane

przyjmuje postać

τ

σ

2

red

=

Stąd wniosek, że

Zr

z

5

,

0

σ

τ

=

Hipoteza ta opiera się na założeniu, że i można ją stosować tylko

dla materiałów spełniających ten warunek.

Doświadczenia przeprowadzone dla materiałów plastycznych

materiałów plastycznych

(

złom poślizgowy

), szczególnie dla płaskich stanów naprężeń,

dla płaskich stanów naprężeń,

wystarczająco potwierdzają tę hipotezę.

Kryteria tych hipotez zostały sformułowane w naprężeniach

naprężeniach

głównych.

głównych.

Naprężenia główne

Naprężenia główne

są pierwiastkami równania sekularnego, które

można rozwiązać wyłącznie przez zastosowanie przekształceń

hiperbolicznych lub trygonometrycznych. Pociąga to za sobą

trudności otrzymania rozwiązania w postaci ogólnej

. Dlatego nie

można sformułować ogólnych wzorów na

σ

σ

red

red

, jeżeli stan naprężenia

jest określony sześcioma składowymi

σ

σ

x

x

,

,

σ

σ

y

y

,

,

σ

σ

z

z

,

,

τ

τ

xy

xy

,

,

τ

τ

yz

yz

,

,

τ

τ

zx

zx

.

Energia sprężysta właściwa

• Właściwa energia sprężysta =

= energia sprężysta przypadająca na jednostkę

objętości

11 11

22 22

33 33

12

12

23

23

31

31

1

2

2

2

2

σ ε

σ ε

σ ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

Φ =

+

+

+

+

+

⎡

⎤

⎣

⎦

(

)

(

)

2

11

22

33

2

2

2

12

23

31

11 22

11 22

11 22

1 1

[

2

(1

)

]

E

σ

σ

σ

ν σ

σ

σ

σ σ

σ σ

σ σ

Φ =

+

+

+

+ +

+

+

−

−

−

lub

Energia sprężysta właściwa

energia sprężysta właściwa odkształcenia objętościowego

V

f

Φ = Φ + Φ

energia sprężysta właściwa odkształcenia postaciowego

V

Φ =

f

Φ =

(

)

2

11

22

33

1 2

6

V

E

ν σ σ σ

−

Φ =

+

+

(

) (

) (

)

(

)

2

2

2

11

22

22

33

33

11

2

2

2

12

23

31

1

6

6

f

E

ν σ σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

+ ⎡

Φ =

−

+

−

+

−

+

⎣

+

+

+

⎤⎦

Hipoteza energetyczna

Hipoteza energetyczna

zakłada, że w miarę wytężenia należy

wytężenia należy

uważać właściwą energię odkształcenia

uważać właściwą energię odkształcenia

. Początkowo uwzględniono

całkowitą energię odkształcenia, później ograniczono się do energii

odkształcenia postaciowego; w tej formie zyskała ona najszersze

zastosowanie i nazywana jest ona od nazwisk jej autorów hipotezą

Hubera, Misesa, Hencky’ego

Wielkością decydującą o wytężeniu materiału jest tu właściwa

właściwa

energia odkształcenia postaciowego

energia odkształcenia postaciowego

, która w ogólnym stanie

naprężenia wynosi

)]

(

)

(

)

(

)

[(

2

zx

2
yz

2

xy

2

x

z

2

z

y

2

y

x

f

6

E

6

1

τ

τ

τ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

ν

Φ

+

+

+

−

+

−

+

−

+

=

Dla jednoosiowego stanu naprężenia (

σ

x

=

σ

0

,

σ

y

=

σ

z

=0,

τ

xy

=

τ

yz

=

τ

zx

=0

) energia ta się wyraża

2

0

f

2

E

6

1

σ

ν

Φ

+

=

Jeżeli wytężenia te są równe, można przyrównać prawe strony

powyższych równań i stąd wyznaczymy

σ

σ

red

red

w sposób najbardziej

ogólny

)

(

2

zx

2
yz

2

xy

x

z

z

y

y

x

2

z

2
y

2

x

red

3

τ

τ

τ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

+

+

+

−

−

−

+

+

=

(18)

Dla płaskiego stanu naprężenia

płaskiego stanu naprężenia

σ

x

≠0, σ

y

≠0 σ

z

≠0, τ

xy

≠0 τ

yz

≠0 τ

zx

≠0

2

xy

y

x

2
y

2

x

red

3

τ

σ

σ

σ

σ

σ

+

−

+

=

(19)

Dla często spotykanych w praktyce technicznej

w praktyce technicznej

stanów naprężeń

σ

x

=

σ≠ 0, σ

y

= 0,

σ

z

= 0,

τ

xy

=

τ ≠ 0, τ

yz

=

τ

zx

=0

uzyskuje się wzór

uzyskuje się wzór

2

2

red

3

τ

σ

σ

+

=

a dla ścinania

a dla ścinania

τ

σ

3

red

=

Stąd wniosek, że

Stąd wniosek, że

Zr

Zz

nieb

nieb

58

0

58

0

σ

τ

σ

τ

,

,

=

=

Hipoteza ta jako kryterium plastyczności materiału stała się

podstawowym prawem teorii plastyczności

podstawowym prawem teorii plastyczności

. Zastosowana zaś do

granic wytrzymałości daje w przypadku

złomu poślizgowego

wyniki

dobrze pokrywające się z wynikami doświadczeń.

Energię właściwą odkształcenia
postaciowego można wyrazić przez

niezmienniki

niezmienniki

stanu naprężenia

)

(

ΙΙ

Ι

ν

Φ

s

3

s

E

3

1

2

f

−

+

=

lub przez naprężenie styczne

naprężenie styczne

na

płaszczyźnie jednakowo
nachylonej do kierunków
głównych

2

okt

f

E

3

1

2

3

τ

ν

Φ

+

=

Korzystając z powyższych zależności, można otrzymać wzory na

naprężenia zredukowane

naprężenia zredukowane

w postaci

ΙΙ

Ι

σ

s

3

s

2

red

−

=

okt

red

2

3

τ

σ

=

(20)

σ

1

σ

3

σ

2

r

Rys.3

Hipotezę tę więc można sformułować jako hipotezę stycznego

hipotezę stycznego

naprężenia

naprężenia

oktaedrycznego

oktaedrycznego

.

.

Powierzchnię graniczną w
tej hipotezie tworzy walec

walec

kołowy

kołowy

(rys.3) o osi

jednakowo nachylonej do
osi układu o promieniu
koła

Zr

2

2

r

σ

=

σ

1

σ

2

σ

Zr

Ścina

nie

Rys.4

Dla płaskiego zaś stanu

Dla płaskiego zaś stanu

naprężenia

naprężenia

w układzie osi

otrzymuje się jako kontur

graniczny elipsę

elipsę

(rys.4) opisaną

na konturze granicznym (na

rysunku linia przerywana)

według hipotezy największych

naprężeń stycznych.

Rozszerzenie możliwości zastosowań wyników omawianej hipotezy

otrzymuje się w hipotezie Burzyńskiego. Przyjął on, że wytężenie

wytężenie

materiału wyraża funkcja trzech niezmienników stanu naprężenia

materiału wyraża funkcja trzech niezmienników stanu naprężenia

)

,

,

(

u

t

s

F

W

=

Przy czym wprowadzone tu niezmienniki są kombinacjami znanych

nam już niezmienników s

s

I

I

,

,

s

s

II

II

,

,

s

s

III

III

)

(

z

y

x

I

3

1

s

3

1

s

σ

σ

σ

+

+

=

=

=

−

=

2

II

2

I

s

3

s

3

2

t

)

(

2

zx

2
yz

2

xy

x

z

z

y

y

x

2

z

2
y

2

x

3

3

2

τ

τ

τ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

+

+

+

−

−

−

+

+

=

(21)

2

xy

z

2

zx

y

2
yz

x

zx

yz

xy

z

y

x

3

III

2

s

u

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

τ

τ

σ

σ

σ

−

−

−

+

=

=

Przyjmuje się jednak, że wpływ niezmiennika u

u

jest bardzo

nieznaczny, tak że z wystarczającą dokładnością można wytężenie

wytężenie

sformułować jako funkcję tylko dwóch niezmienników s i t

(22)

)

,

( t

s

F

W

=

Funkcję tę można przedstawić wykreślnie w układzie s-t jak na rys.5

gdzie krzywa

krzywa

W

W

jest

jest

wykresem funkcji wytężenia

wykresem funkcji wytężenia

dla jego granicznej

dla jego granicznej

wartości

wartości

W

W

z

z

.

.

Można wykazać, że odrzucenie niezmiennika u

u

sprowadza się do

założenia, że

powierzchnia graniczna jest powierzchnią obrotową

o

osi obrotu jednakowo nachylonej do osi

σ

1

,

σ

2

,

σ

3

o promieniu

w odległości mierzonej na osi obrotu

.

Krzywa wytężenia

Krzywa wytężenia

W

W

w układzie s-t jest po prostu południkiem

powierzchni granicznej.

t

3

r

=

s

3

=

ξ

Ściskanie
równomierne
przestrzenne

Rozciąganie
równomierne
przestrzenne

Ro

zci

ąga

nie

rów

nomi

ern

e p

łask

ie

R

oz

ci

ąg

an

ie

je

dn

oo

si

ow

e

Czyste

ścinanie

Śc

isk

an

ie

jed

no

os

iow

e

α

1

α

3

α

2

W

W

’

s

t

R

C

l

1

l

3

l

2

Zr

3

2

Zc

3

2

κσ

σ

=

Zr

3

1

Zc

3

1

κσ

σ

=

Zr

3

1

σ

S

C

S

R

Zr

3

2

σ

Rys.5

Punkty odpowiadające
temu rodzajowi stanu
naprężenia muszą
leżeć na prostej l

1

,

o współczynniku
kierunkowym

2

2

s

t

tg

a

1

1

=

=

=

α

Dla równomiernego

płaskiego rozciągania

płaskiego rozciągania

(

σ

x

=

σ, σ

y

=

σ, σ

z

=0,

τ

xy

=0,

τ

yz

=0,

τ

zx

=0

)

niezmienniki

niezmienniki

wynoszą

σ

σ

3

2

t

3

2

s

=

=

,

Podobnie dla

jednoosiowego

jednoosiowego

rozciągania

rozciągania

(

σ

x

=

σ, σ

y

= 0,

σ

z

=0,

τ

xy

=0,

τ

yz

=0,

τ

zx

=0

)

niezmienniki

niezmienniki

przyjmują wartości

σ

σ

3

2

t

3

1

s

=

=

,

a prostą l

2

wyznacza

współczynnik
kierunkowy

2

s

t

tg

a

2

2

=

=

=

α

Dla jednoosiowego

jednoosiowego

ściskania

ściskania

(

σ

x

= -

σ, σ

y

= 0,

σ

z

=0,

τ

xy

=0,

τ

yz

=0,

τ

zx

=0

) otrzymuje

się

σ

σ

3

2

t

3

1

s

=

−

=

,

zaś prostą l

3

wyznacza

współczynnik

kierunkowy

2

s

t

tg

a

3

3

−

=

=

=

α

W uproszczonej hipotezie

hipotezie

Burzyńskiego

Burzyńskiego

krzywą między punktami

C i R (rys.5) aproksymuje się prosta W’ i otrzymuje się wzór na

naprężenie zredukowane

)

(

)

(

z

y

x

2

zx

2
yz

2

xy

x

z

z

y

y

x

2

z

2
y

2

x

red

2

1

3

2

1

σ

σ

σ

κ

κ

τ

τ

τ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

κ

κ

σ

+

+

−

+

+

+

+

−

−

−

+

+

+

=

(23)

Wzór ten można stosować do materiałów o różnych

wytrzymałościach na ściskanie

σ

σ

Zc

Zc

i rozciąganie

σ

σ

Zr

Zr

(

(

σ

σ

Zc

Zc

/

/

σ

σ

Zr

Zr

=

=

κ

κ

).

).

W przypadku gdy

κ=1,

wzór ten jest identyczny z

analogicznym wzorem wynikłym z hipotezy energii odkształcenia

postaciowego.

Dla materiałów metalowych stosowanych powszechnie w technice,

a głównie dla

stali węglowych

, ogranicza się do badania

wytrzymałości w stanach naprężenia zbliżonych do ścinania. Na

podstawie uzyskanych wyników uważa się, że hipotezy energii

energii

odkształcenia postaciowego

odkształcenia postaciowego

oraz największych naprężeń stycznych

największych naprężeń stycznych

pozwalają na określenie z dostateczną dokładnością granicznych

stanów naprężenia do przejścia w stan plastyczny (kryterium

plastyczności) oraz dla złomu poślizgowego.

Doświadczenia dotyczące wytrzymałości zmęczeniowej

wytrzymałości zmęczeniowej

w

niejednoosiowych stanach naprężenia wskazują na dopuszczalność

stosowania hipotezy energii odkształcenia postaciowego

energii odkształcenia postaciowego

dla

stali

węglowej

. W przypadku

stali wysokostopowych

odstępstwa

wyników doświadczalnych od teoretycznych są większe niż dla

obciążenia statycznego.

Zwrócimy teraz uwagę, że dla stanów naprężenia bliskich

równomiernego, przestrzennego stanu naprężenia granica

plastyczności i wytrzymałości określona z hipotez największych

największych

naprężeń stycznych

naprężeń stycznych

i energii odkształcenia postaciowego

energii odkształcenia postaciowego

jest

bardzo duża, a przy równomiernym rozciąganiu nieskończenie

wielka, co nie jest możliwe. Przyjmuje się, że przy równomiernym

rozciąganiu powinien zawsze wystąpić złom rozdzielczy.

W przypadku materiałów „kruchych”

„kruchych”

i w zakresie stanów

naprężenia spełniających warunki złomu rozdzielczego w praktyce

technicznej stosuje się hipotezę największych naprężeń normalnych

największych naprężeń normalnych

lub hipotezę największych wydłużeń

hipotezę największych wydłużeń

.

Za autorów hipotezy największego rozciągania

hipotezy największego rozciągania

uważa się

Galileusza i Leibnitza.

W myśl tej hipotezy

W myśl tej hipotezy miarą natężenia materiału jest największe

miarą natężenia materiału jest największe

naprężenie rozciągające

naprężenie rozciągające

.

.

Warunek wytrzymałości materiału

Warunek wytrzymałości materiału

w

w

ogólnym stanie naprężenia jest zachowany, jeżeli największe

ogólnym stanie naprężenia jest zachowany, jeżeli największe

naprężenie rozciągające

naprężenie rozciągające nie przekroczy

nie przekroczy

wartości granicy

wartości granicy

wytrzymałości

wytrzymałości

przy jednoosiowym rozciąganiu

przy jednoosiowym rozciąganiu

σ

σ

Zr

Zr

=

=

R

R

m

m

.

.

Z hipotezy tej wynikałoby, że w przypadku jednoosiowego

ściskania wytrzymałość materiału jest nieograniczona

nieograniczona

. Jest to

oczywiście sprzeczne z doświadczeniem.

Modyfikacją tej hipotezy jest

Modyfikacją tej hipotezy jest hipoteza największego naprężenia

hipoteza największego naprężenia

normalnego.

normalnego.

Wprowadza ona ograniczenia nie tylko dla dodatnich,

Wprowadza ona ograniczenia nie tylko dla dodatnich,

ale również i dla ujemnych wartości i naprężeń normalnych.

ale również i dla ujemnych wartości i naprężeń normalnych.

Warunek zachowania wytrzymałości

Warunek zachowania wytrzymałości

można zapisać w sposób

można zapisać w sposób

następujący

następujący

Zr

3

Zc

Zr

2

Zc

Zr

1

Zc

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

≤

≤

≤

≤

≤

≤

(5)

Żadne więc z naprężeń

Żadne więc z naprężeń nie może

nie może

być większe

być większe

od

od

granicy

granicy

wytrzymałości przy jednoosiowym rozciąganiu

wytrzymałości przy jednoosiowym rozciąganiu

σ

σ

Zr

Zr

i

i mniejsze

mniejsze

od granicy wytrzymałości przy ściskaniu

od granicy wytrzymałości przy ściskaniu

σ

σ

Zc

Zc

=

=

R

R

c

c

.

.

Powierzchnię graniczną

Powierzchnię graniczną

w układzie

σ

1

,

σ

2

,

σ

3

tworzą ściany

sześcianu o bokach

σ

Zc

+

σ

Zr

. Dla płaskiego stanu naprężenia

(

σ

3

=0) konturem granicznym jest kwadrat o bokach

σ

Zc

+

σ

Zr

(rys.1)

Ścin

anie

σ

1

σ

2

σ

Zc

σ

Zr

σ

Z

c

σ

Z

r

Zbadajmy zgodnie z przytoczoną
hipotezą wytrzymałości przy

prostym ścinaniu

prostym ścinaniu

, w którym

σ

2

=

σ

1

.

Wówczas

1

1

2

1

2

2

2

σ

τ

σ

τ

σ

σ

τ

=

=

−

=

,

,

Wynika stąd, że przy ścinaniu

ścinaniu

zostanie osiągnięta granica

granica

wytrzymałości

wytrzymałości

, gdy

τ = σ

Zr

. Doświadczenia zaś dla materiałów

sprężysto-plastycznych wykazują, że graniczne naprężenie

styczne przy ścinaniu

τ

z

≈ 0,6 σ

Zr

Rys.1

Punktem wyjścia do oceny wytężenia w hipotezach odkształceń

właściwych jest nie stan naprężenia, lecz stan odkształcenia. Znane

są dwa warianty.

Wariant pierwszy de

de

Saint

Saint

-

-

-

-

Venanta

Venanta

przyjmuje, że miarą

miarą

wytężenia jest największe wydłużenie

wytężenia jest największe wydłużenie

właściwe

właściwe

. Warunek zachowania

wytrzymałości wyraża się w postaci

Zr

3

Zr

2

Zr

1

ε

ε

ε

ε

ε

ε

≤

≤

≤

(6)

W wariancie drugim

Grashoffa

Grashoffa

warunek

zachowania wytrzymałości
przyjmuje postać

Zr

3

Zc

Zr

2

Zc

Zr

1

Zc

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

≤

≤

≤

≤

≤

≤

(7)

ε

Zr

- wydłużenie na granicy

wytrzymałości przy
prostym rozciąganiu.

ε

Zc

- skrócenie względne na

granicy wytrzymałości przy
prostym ściskaniu.