1

BLOK 9 odpowiedzi do zada

ń

do samodzielnego rozwi

ą

zania

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Odpowiedzi do zestawu zada

ń

do samodzielnego rozwi

ą

zania:

1. Moment siły:

F

r

M

r

r

r

×

=

. Poniewa

ż

na brył

ę

działaj

ą

dwie siły, to całkowity moment siły

działaj

ą

cy na t

ę

brył

ę

wynosi

2

1

M

M

M

r

r

r

+

=

, gdzie moment

siły

1

F

r

:

1

1

1

F

r

M

r

r

r

×

=

, a moment siły

2

F

r

:

2

2

2

F

r

M

r

r

r

×

=

. Na

rysunku zaznaczone zostały ramiona sił – wektory

2

1

r

,

r

r

r

.

Pami

ę

taj! Rami

ę

siły

F

r

to wektor prostopadły do osi obrotu,

którego pocz

ą

tek le

ż

y na tej osi, a koniec znajduje si

ę

w

punkcie przyło

ż

enia siły

F

r

. Moment siły jest zatem obliczany

zawsze wzgl

ę

dem jakiej

ś

osi.

Z definicji iloczynu wektorowego oba momenty

1

M

r

i

2

M

r

s

ą

skierowane prostopadle do płaszczyzny rysunku (poniewa

ż

wektor b

ę

d

ą

cy iloczynem

wektorowym dwóch innych wektorów jest zawsze prostopadły do płaszczyzny tworzonej przez

te wektory). Moment

1

M

r

jest zwrócony przed rysunek, a moment

2

M

r

jest zwrócony za

rysunek.
Obierzmy o

ś

OY prostopadł

ą

do płaszczyzny rysunku i zwrócon

ą

przed ten rysunek. Wówczas

igrekowa współrz

ę

dna wypadkowego momentu sił jest równa:

2

1

y

M

M

M

−

=

, gdzie

1

1

1

1

1

1

1

F

r

)

F

,

r

(

sin

F

r

M

=

∠

=

r

r

, a

2

2

2

2

2

2

2

F

r

)

F

,

r

(

sin

F

r

M

=

∠

=

r

r

. Z danych pochodz

ą

cych z

rysunku w tre

ś

ci zadania:

1

1

L

r

=

, a

2

1

2

2

2

L

L

r

−

=

. Ostatecznie:

2

1

2

2

2

1

1

y

L

L

F

L

F

M

−

−

=

. A poniewa

ż

2

1

F

F

=

, to

)

L

L

(L

F

M

2

1

2

2

1

1

y

−

−

=

2. Z uogólnionej formy II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego wiemy,

ż

e

t

L

M

∆

∆

=

r

r

, dlatego

je

ś

li

const

M

i

0

M

=

≠

r

r

, to

L

r

zmienia si

ę

liniowo w czasie (wzrasta lub maleje).

Odp.: D

3. Moment bezwładno

ś

ci cienko

ś

ciennej rurki wzgl

ę

dem osi, która nie jest jej osi

ą

symetrii mo

ż

emy obliczy

ć

z tw. Steinera. W takim przypadku musimy znale

źć

tak

ą

o

ś

, która jednocze

ś

nie jest osi

ą

symetrii rurki (O) i jest równoległa do osi

(A) okre

ś

lonej w zadaniu.

Moment bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem osi A:

2

O

A

Ma

I

I

+

=

, gdzie

M

- masa rurki,

natomiast

a

- odległo

ść

mi

ę

dzy osiami A i O (w naszym przypadku odległo

ść

ta jest równa promieniowi rurki,

R

). Moment bezwładno

ś

ci cienko

ś

ciennej

rurki wzgl

ę

dem jej osi symetrii mo

ż

na znale

źć

w tablicach:

2

O

MR

I

=

Ostatecznie:

2

2

2

A

MR

2

MR

MR

I

=

+

=

.

Blok 9:

Moment bezwładno

ś

ci. Moment siły.

Zasada zachowania momentu p

ę

du

2

BLOK 9 odpowiedzi do zada

ń

do samodzielnego rozwi

ą

zania

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

4. Poniewa

ż

moment sił zewn

ę

trznych działaj

ą

cych na układ jest równy zeru, to mo

ż

emy

skorzysta

ć

z zasady zachowania momentu p

ę

du:

k

p

L

L

r

r

=

, czyli moment p

ę

du układu nie

ulega zmianie.

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym dana jest wzorem:

2

I

E

2

K

ω

⋅

=

, a moment p

ę

du:

ω

⋅

=

I

L

, sk

ą

d mo

ż

emy wyprowadzi

ć

wzór:

I

2

L

E

2

K

⋅

=

.

Iloraz ko

ń

cowej i pocz

ą

tkowej energii kinetycznej ruchu obrotowego tego układu jest równy:

k

p

p

2

k

2

Kp

Kk

I

I

I

2

L

I

2

L

E

E

=

⋅

⋅

=

(poniewa

ż

moment p

ę

du układu na ko

ń

cu jest taki sam, jak moment p

ę

du

układu na pocz

ą

tku,

k

p

L

L

=

. Poniewa

ż

ω

⋅

=

I

L

, to

k

k

p

p

I

I

ω

⋅

=

ω

⋅

, gdzie

p

I

jest

pocz

ą

tkowym momentem bezwładno

ś

ci układu: człowiek-krzesło obrotowe, a

k

I

- jest

ko

ń

cowym bezwładno

ś

ci p

ę

du tego układu. W trakcie opuszczania r

ą

k przez człowieka maleje

moment bezwładno

ś

ci całego układu,

k

p

I

I

>

, poniewa

ż

człowiek przybli

ż

a swoje r

ę

ce (cz

ęść

masy układu) do osi obrotu.

St

ą

d wnioskujemy,

ż

e

Kp

Kk

E

E

>

, czyli energia kinetyczna układu wzrasta.

Odp.: D

5. Okres obrotu bryły wokół stałej osi:

ω

π

=

2

T

, a warto

ść

pr

ę

dko

ś

ci k

ą

towej

ω

mo

ż

na obliczy

ć

z

warto

ś

ci momentu p

ę

du

L

:

I

L

I

L

=

ω

⇒

ω

⋅

=

.

Zatem okres:

L

I

2

2

T

⋅

π

=

ω

π

=

Odp.: C