LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW

Ćwiczenie N 2

RÓWNOWAGA WZGLĘDNA W NACZYNIU WIRUJĄCYM

WOKÓŁ OSI PIONOWEJ

1. Cel ćwiczenia

Pomiar współrzędnych powierzchni swobodnej w naczyniu cylindrycznym wirującym

wokół osi pionowej oraz porównanie z wynikami teoretycznymi.

2. Podstawy teoretyczne

Ciecz jest w równowadze względnej wówczas, gdy pozostaje ona w stanie spoczynku

względem ścian poruszającego się naczynia. Występuje to wtedy, gdy naczynie porusza się
ruchem jednostajnym, jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym lub ruchem jednostajnie
obrotowym wokół osi pionowej. Efektem wizualnym równowagi względnej jest
ukształtowanie swobodnej powierzchni cieczy.

W naczyniu cylindrycznym, poruszającym się ruchem jednostajnie obrotowym wokół

osi pionowej, powierzchnia swobodna ma kształt paraboloidy obrotowej, o osi pokrywającej
się z osią obrotu naczynia.

Kształt tej powierzchni można opisać teoretycznie, wychodząc z równania równowagi

płynu:

0

=

+

+

Zdz

Ydy

Xdx

,

(1)

gdzie:
X, Y, Z – współrzędne wektora jednostkowej siły masowej.

Na element płynu, znajdujący się w punkcie

M(x,y,z) (rys. poniżej) działają jednostkowe siły

masowe o składowych:

g

Z

y

Y

x

X

−

=

=

=

2

2

ω

ω

Po podstawieniu tych wartości do równania (1) otrzymujemy równanie:

0

2

2

=

−

+

gdz

ydz

xdz

ω

ω

.

(2)

Po scałkowaniu i wprowadzeniu współrzędnych walcowych wyrażenie przybierze postać:

C

gz

r

=

−

2

2

2

ω

.

(3)

ω

z

0

ω

2

x

g

z

x

R

x

y

ω

2

x

ω

2

y

r

ω

2

r

q

M

Stałą C można wyznaczyć z warunków brzegowych (r = 0; z = z

0

), skąd wynika, że:

0

z

g

C

⋅

−

=

.

(4)

Swobodną powierzchnię cieczy opisuje równanie:

0

2

2

2

z

g

r

z

+

=

ω

,

(5)

gdzie:

ω

- prędkość kątowa naczynia.

Stałą z

0

można obliczyć mając daną średnicę naczynia oraz wysokość jego napełnienia cieczą

w stanie spoczynku.

Z porównania objętości cieczy w spoczynku i w ruchu wynika, że:

h

h

2

1

1

=

, stąd:

h

H

z

2

1

0

−

=

.

(6)

Korzystając z równania paraboloidy otrzymamy:

g

R

H

z

2

2

1

2

2

0

ω

⋅

−

=

.

(7)

Po podstawieniu z

0

do wzoru (5) otrzymamy równanie opisujące kształt powierzchni

swobodnej cieczy w naczyniu o promieniu R, wypełnionym cieczą do wysokości H i
wirującym z prędkością kątową

ω

:













−

+

=

2

2

2

2

1

2

R

r

g

H

z

ω

[WW1]

3. Stanowisko pomiarowe

Schemat stanowiska pomiarowego przedstawiono na rys. 1.
Składa się ono z następujących elementów:

−

naczynie cylindryczne,

−

obudowa naczynia,

−

przyrząd do pomiaru współrzędnych paraboloidy,

−

silnik napędzający naczynie,

−

przekładnia,

−

zespół sterowania i pomiaru prędkości obrotowej naczynia.

M

Układ

steruj

ą

cy

x

z

H

z

’

x

Rys. 1. Schemat stanowiska pomiarowego.

Rys. 2. Urządzenie pomiarowe

4. Program i przebieg ćwiczenia

Pomiary współrzędnych paraboloidy obrotowej należy wykonać dla trzech różnych

prędkości kątowych naczynia.

1. Suwmiarką poziomą znaleźć oś naczynia i ustawić „0.00” na wyświetlaczu

suwmiarki (średnica wewnętrzna naczynia Ø90).

2. Suwmiarką pionową przesunąć igłę pomiarową do powierzchni cieczy w naczyniu i

ustawić „0.00” na wyświetlaczu suwmiarki.

3. W obecności opiekuna grupy uruchomić układ sterujący obrotami naczynia.

Nastawić pierwszą prędkość obrotową.

4. Wykonać pierwszy pomiar dla osi naczynia poprzez opuszczenie suwmiarki

pionowej do zetknięcia igły z powierzchnią cieczy – zapisać współrzędne. Wycofać pionową
suwmiarkę do góry, zabezpieczyć przed opadnięciem śrubką.

5. Suwmiarkę poziomą przestawić o 1 mm w lewą stronę. Wykonać pomiar jak w p. 4.
6. Wykonać kolejne pomiary przesuwając igłę pomiarową od osi w kierunku ścianki

naczynia co 1 mm. Nie wykonywać ostatniego pomiaru (dla promienia 45mm).

7. Odczytać prędkość obrotową naczynia.
8. Nastawić drugą prędkość obrotową i wykonać pomiary wg p. 4-7.
W przypadku gdy w pobliżu osi naczynia nie można wykonać pomiaru należy zacząć

pomiary od najniższego promienia na którym jest możliwy pomiar.

9. Nastawić trzecią prędkość obrotową i wykonać pomiary wg p. 4-7.

Wyniki pomiarów i obliczeń należy zestawić w tabeli i przedstawić na wykresie.

Podstawą wykresu są krzywe teoretyczne (z = f(r) - linia ciągła na wykresie) uzyskane z
równania równowagi powierzchni swobodnej, wyznaczone dla prędkości obrotowych z
doświadczenia (wszystkie krzywe umieszczone są na wspólnym wykresie). Współrzędne
powierzchni uzyskane z doświadczenia na wykresie zaznacza się znakami „x”.

5. Przykładowe obliczenia:


H = 84,4 mm

x

z’

z

z

teor

Lp.

mm mm

mm

mm

1

33,43 9,04 93,44 88,30

2

3

4

5

z= 84,4 + 9 = 93,4 mm

mm

g

z

teor

3

,

88

2

45

4

,

33

2

2

,

27

4

,

84

2

2

2

=













−

+

=

1

27, 2

Dla

s

ω

=

Wykres:

10

20

30

40

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

r, mm

z

,

m

m