LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW
Ćwiczenie N 2
RÓWNOWAGA WZGLĘDNA W NACZYNIU WIRUJĄCYM
WOKÓŁ OSI PIONOWEJ
LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW
Ćwiczenie N 2
RÓWNOWAGA WZGLĘDNA W NACZYNIU WIRUJĄCYM
WOKÓŁ OSI PIONOWEJ
1. Cel ćwiczenia
Pomiar współrzędnych powierzchni swobodnej w naczyniu cylindrycznym wirującym
wokół osi pionowej oraz porównanie z wynikami teoretycznymi.
2. Podstawy teoretyczne
Ciecz jest w równowadze względnej wówczas, gdy pozostaje ona w stanie spoczynku
względem ścian poruszającego się naczynia. Występuje to wtedy, gdy naczynie porusza się
ruchem jednostajnym, jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym lub ruchem jednostajnie
obrotowym wokół osi pionowej. Efektem wizualnym równowagi względnej jest
ukształtowanie swobodnej powierzchni cieczy.
W naczyniu cylindrycznym, poruszającym się ruchem jednostajnie obrotowym wokół
osi pionowej, powierzchnia swobodna ma kształt paraboloidy obrotowej, o osi pokrywającej
się z osią obrotu naczynia.
Kształt tej powierzchni moŜna opisać teoretycznie, wychodząc z równania równowagi
płynu:
0
=
+
+
Zdz
Ydy
Xdx
,
(1)
gdzie:
X, Y, Z – współrzędne wektora jednostkowej siły masowej.
Na element płynu, znajdujący się w punkcie
M(x,y,z) (rys. poniŜej) działają jednostkowe siły
masowe o składowych:
g
Z
y
Y
x
X
−
=
=
=
2
2
ω
ω
Po podstawieniu tych wartości do równania (1) otrzymujemy równanie:
0
2
2
=
−
+
gdz
ydz
xdz
ω
ω
.
(2)
Po scałkowaniu i wprowadzeniu współrzędnych walcowych wyraŜenie przybierze postać:
C
gz
r
=
−
2
2
2
ω
.
(3)
ω
z
0
ω
2
x
g
z
x
R
x
y
ω
2
x
ω
2
y
r
ω
2
r
q
M
Stałą C moŜna wyznaczyć z warunków brzegowych (r = 0; z = z
0
), skąd wynika, Ŝe:
0
z
g
C
⋅
−
=
.
(4)
Swobodną powierzchnię cieczy opisuje równanie:
0
2
2
2
z
g
r
z
+
=
ω
,
(5)
gdzie:
ω
- prędkość kątowa naczynia.
Stałą z
0
moŜna obliczyć mając daną średnicę naczynia oraz wysokość jego napełnienia cieczą
w stanie spoczynku.
Z porównania objętości cieczy w spoczynku i w ruchu wynika, Ŝe:
h
h
2
1
1
=
, stąd:
h
H
z
2
1
0
−
=
.
(6)
Korzystając z równania paraboloidy otrzymamy:
g
R
H
z
2
2
1
2
2
0
ω
⋅
−
=
.
(7)
Po podstawieniu z
0
do wzoru (5) otrzymamy równanie opisujące kształt powierzchni
swobodnej cieczy w naczyniu o promieniu R, wypełnionym cieczą do wysokości H i
wirującym z prędkością kątową
ω
:
−
+
=
2
2
2
2
1
2
R
r
g
H
z
ω
[WW1]
3. Stanowisko pomiarowe
Schemat stanowiska pomiarowego przedstawiono na rys. 1.
Składa się ono z następujących elementów:
−
naczynie cylindryczne,
−
obudowa naczynia,
−
przyrząd do pomiaru współrzędnych paraboloidy,
−
silnik napędzający naczynie,
−
przekładnia,
−
zespół sterowania i pomiaru prędkości obrotowej naczynia.
M
Układ
steruj
ą
cy
x
z
H
z
’
x
Rys. 1. Schemat stanowiska pomiarowego.
Rys. 2. Urządzenie pomiarowe
4. Program i przebieg ćwiczenia
Pomiary współrzędnych paraboloidy obrotowej naleŜy wykonać dla trzech róŜnych
prędkości kątowych naczynia.
1. Suwmiarką poziomą znaleźć oś naczynia i ustawić „0.00” na wyświetlaczu
suwmiarki (średnica wewnętrzna naczynia Ø90).
2. Suwmiarką pionową przesunąć igłę pomiarową do powierzchni cieczy w naczyniu i
ustawić „0.00” na wyświetlaczu suwmiarki.
3. W obecności opiekuna grupy uruchomić układ sterujący obrotami naczynia.
Nastawić pierwszą prędkość obrotową.
4. Wykonać pierwszy pomiar dla osi naczynia poprzez opuszczenie suwmiarki
pionowej do zetknięcia igły z powierzchnią cieczy – zapisać współrzędne. Wycofać pionową
suwmiarkę do góry, zabezpieczyć przed opadnięciem śrubką.
5. Suwmiarkę poziomą przestawić o 1 mm w lewą stronę. Wykonać pomiar jak w p. 4.
6. Wykonać kolejne pomiary przesuwając igłę pomiarową od osi w kierunku ścianki
naczynia co 1 mm. Nie wykonywać ostatniego pomiaru (dla promienia 45mm).
7. Odczytać prędkość obrotową naczynia.
8. Nastawić drugą prędkość obrotową i wykonać pomiary wg p. 4-7.
W przypadku gdy w pobliŜu osi naczynia nie moŜna wykonać pomiaru naleŜy zacząć
pomiary od najniŜszego promienia na którym jest moŜliwy pomiar.
9. Nastawić trzecią prędkość obrotową i wykonać pomiary wg p. 4-7.
Wyniki pomiarów i obliczeń naleŜy zestawić w tabeli i przedstawić na wykresie.
Podstawą wykresu są krzywe teoretyczne (z = f(r) - linia ciągła na wykresie) uzyskane z
równania równowagi powierzchni swobodnej, wyznaczone dla prędkości obrotowych z
doświadczenia (wszystkie krzywe umieszczone są na wspólnym wykresie). Współrzędne
powierzchni uzyskane z doświadczenia na wykresie zaznacza się znakami „x”.
5. Przykładowe obliczenia:
H = 84,4 mm
x
z’
z
z
teor
Lp.
mm mm
mm
mm
1
33,43 9,04 93,44 88,30
2
3
4
5
z= 84,4 + 9 = 93,4 mm
mm
g
z
teor
3
,
88
2
45
4
,
33
2
2
,
27
4
,
84
2
2
2
=
−
+
=
1
27, 2
Dla
s
ω
=
Wykres:
10
20
30
40
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
r, mm
z
,
m
m