04 Dynamika
56
D Y N A M I K A
DYNAMIKA
: badanie ruchu ciał materialnych oraz związków
pomiędzy siłami i ruchem, korzystając z pojęć kinematyki.
SIŁA – pojęcie pierwotne
SIŁA – wynik wzajemnego mechanicznego oddziaływania
na siebie co najmniej dwóch ciał. Oddziaływania te przeja-
wiają się przez wyprowadzenie ciała ze stanu spoczynku
lub zmianę parametrów ruchu ciała już poruszającego się.
PRAWA NEWTONA (1687)
I prawo Newtona (prawo bezwładności)
II prawo Newtona (prawo zmienności ruchu)
III prawo Newtona (prawo akcji i reakcji)
Prawa Newtona są słuszne przy założeniu istnienia NIERU-
CHOMEGO UKŁADU ODNIESIENIA, związanego z ABSO-
LUTNĄ PRZESTRZENIĄ oraz czasu niezależnego od układu
odniesienia - CZASU ABSOLUTNEGO.
Układ Galileusza, układ bezwładnościowy (inercyjny)
W ZAGADNIENIACH TECHNICZNYCH
UKŁADEM ODNIESIENIA JEST ZIEMIA
(w pewnych przypadkach –
SŁOŃCE).
04 Dynamika
57
DYNAMICZNE RÓWNANIE RUCHU
PUNKTU MATERIALNEGO
m a
P
SKALARNIE:
ma = P
MASA [kg]
PRZYSPIESZENIE [m/s
2
]
SIŁA: P = m a =
kg
m
s
2
= 1 NEWTON (niuton)
ZASADA NIEZALEZNOŚCI DZIAŁANIA SIŁ
Przyspieszenie punktu materialnego na który działają siły
P P
P
n
1
2
,
,....,
, równe jest sumie geometrycznej przyspieszeń, któ-
re miał ten punkt, gdyby każda z tych sił działała na niego
osobno.
MASA
(stały współczynnik pro-
porcjonalności)
PRZYSPIESZENIE PUNKTU
wywołane oddziaływaniem siły P
SIŁA DZIAŁAJĄCA NA
PUNKT MATERIALNY
04 Dynamika
58
ZAGADNIENIE (ZADANIE) PROSTE
Znane skutki – nieznane przyczyny
Rozwiązywanie zagadnień prostych:
Dane: równania ruchu
x
x t
y
y t
z
z t
( ),
( ),
( )
Szukane
: siły
P
m x
P
m y
P
m z
x
y
z
Wypadkowa wartość siły:
P
P
P
P
x
y
z
2
2
2
Cosinusy kierunkowe wypadkowej:
cos( , )
, cos( , )
, cos( , )
P x
P
P
P y
P
P
P z
P
P
x
y
z
ZAGADNIENIE (ZADANIE) ODWROTNE
Znane przyczyny – nieznane skutki
Rozwiązywanie zagadnień odwrotnych:
Dane
: siły
P
P t
( ), współrzędne położenia (x, y, z), prędkość
P
P t x x
( , , )
Szukane: równania ruchu
x
x t
y
y t
z
z t
( ),
( ),
( )
m x
P
m y
P
m z
P
x
y
z
METODY NUMERYCZNE
ZAŁOŻENIE: P = const
x t y t z t
( ), ( ), ( )
P
OBIEKT
(punkt, ciało)
04 Dynamika
59
RUCH SWOBODNY
Ruch swobodny
nie jest ograniczony działaniem więzów.
P
a
m
RUCH PROSTOLINIOWY PUNKTU MATERIALNEGO:
II prawo Newtona:
P
a
m
P
a
m
P
a
m
x
x
Zależności z kinematyki:
x
v
a
x
v
x
x
x
Dynamika:
)
x
,
x
,
t
(
P
P
)
x
,
x
,
t
(
P
x
m
x = x(t, C
1
, C
2
)
Warunki początkowe:
0
0
t
0
0
t
v
)
x
(
,
x
)
x
(
RUCH KRZYWOLINIOWY PUNKTU MATERIALNEGO.
RZUT UKO
ŚNY W PRÓŻNI
Równania dynamiczne ruchu dla osi X i Y:
P
x
= 0
0
x
m
1
x
C
x
v
2
1
C
t
C
x
P
y
= –G = –mg
mg
y
m
3
y
C
gt
y
v
4
3
2
C
t
C
2
gt
y
Warunki początkowe:
cos
v
)
v
(
0
)
x
(
0
0
t
x
0
t
sin
v
)
v
(
0
)
y
(
0
0
t
y
0
t
04 Dynamika
60
Stałe całkowania:
C
v
C
1
0
2
0
cos
C
v
C
3
0
4
0
sin
v
v
x
v
t
x
0
0
cos
(
cos )
v
v
gt
y
v
t
gt
y
0
0
2
2
sin
(
sin )
Równanie toru:
2
2
2
0
x
cos
v
2
g
tg
x
y
Analiza ruchu:
45
dla
g
v
a
2
sin
g
v
a
a
x
0
y
2
0
max
2
0
90
dla
g
2
v
h
sin
g
2
v
h
h
y
a
2
1
x
2
0
max
2
2
0
(rzut pionowy w górę)
RUCH NIESWOBODNY
Ruch swobodny ograniczony działaniem więzów i ich reakcji.
R
P
a
m
RUCH PROSTOLINIOWY PUNKTU MATERIALNEGO:
Równanie dynamiczne ruchu dla osi X:
T
sin
G
x
m
Równanie dynamiczne ruchu dla osi Y:
cos
G
N
y
m
0
y
cos
G
N
T
,
cos
G
N
Przyspieszenie ciała w ruchu nieswobodnym:
)
cos
(sin
g
a
)
cos
(sin
G
a
m
.
04 Dynamika
61
SIŁA BEZWŁADNOŚCI
m a
P
P
m a
0
Siłę
m a
, równą co do wartości iloczynowi masy
i przy
spieszenia punktu materialnego, skierowaną
przeciwnie
do przyspieszenia, nazywa się
siłą bezwładności lub siłą d’Alemberta.
ZASADA D’ALEMBERTA
Podczas ruchu punktu materialnego w każdej chwili
wszystkie siły rzeczywiste działające na punkt materialny
oraz jego siła bezwładności pozostają w równowadze.
Działanie siły d’Alemberta
Dzięki zasadzie d’Alemberta równaniom różniczkowym
ruchu punktu materialnego nadana zostaje postać
rów
nań równowagi (równań statyki)
Fikcyjna siła
SIŁA
BEZWŁADNOŚCI
Wypadkowa sił
czynnych działają-
cych na punkt
04 Dynamika
62
ZASTOSOWANIE ZASADY D’ALEMBERTA
Przykład:
Przez gładki krążek przerzucono lekki, doskonale wiotki sznur, do
którego
jednego końca przymocowano ciało 1 o masie m
1
, a drugi
koniec przymocowano do ciała 2 o masie m
2
leżącego na chropowa-
tej poziomej płaszczyźnie o współczynniku tarcia . Wyznaczyć siłę
napięcia S w linie oraz wartość przyspieszenia a, z jakim poruszać
się będą oba ciała.
Równania dynamiczne ruchu:
m a
m g
S
m a
S
T
1
1
2
T
N
N
m g
T
m g
,
2
2
a
g m
m
m
m
S
m m g
m
m
(
)
(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Równania statyki z zastosowa-
niem siły d’Alemberta:
0
P
a
m
S
0
)
y
(
P
0
)
x
(
P
)
1
(
1
Q
N
0
)
y
(
P
0
a
m
T
S
0
)
x
(
P
)
2
(
2
g
m
P
g
m
Q
Q
P
)
1
(
Q
P
S
Q
P
Q
P
g
a
1
2
04 Dynamika
63
DYNAMIKA
UKŁADU CIAŁ SZTYWNYCH
Układy punktów materialnych
Dla układu punktów materialnych w jednorodnym
polu grawitacyjnym środek masy pokrywa się ze
środkiem ciężkości.
SIŁY ZEWNĘTRZNE I WEWNĘTRZNE W UKŁADZIE CIAŁ
SIŁY ZEWNĘTRZNE CZYNNE I BIERNE
Siły zewnętrzne czynne – wywołują ruch.
Siły zewnętrzne bierne (reakcje więzów) – przeciwdziałają ru-
chowi.
Układ (zbiór) ciał sztywnych – układ mechaniczny
SIŁY WEWNĘTRZNE W UKŁADZIE MECHANICZNYM – siły
oddzi
aływania między elementami układu (siły zewnętrzne dla
danego elementu).
ZASADA RUCHU ŚRODKA MASY
Środek masy ciała (układu ciał) porusza się jak punkt o
masie równej masie całego układu, do którego przyło-
żono wszystkie siły zewnętrzne działające na ciało
(układ ciał).
04 Dynamika
64
PĘD I POPĘD
Prędkość ciała w ruchu jednostajnie przyspieszonym:
v = v
0
+ at.
Na podstawie II prawa Newtona:
mv - mv
0
= Ft.
PĘD CIAŁA (ilość ruchu): iloczyn masy i prędkości mv.
POPĘD CIAŁA (impuls): iloczyn siły i czasu jej działania Ft.
TWIERDZENIE O PĘDZIE I POPĘDZIE:
Przyrost pędu ciała równa się
popędowi udzielonemu temu ciału.
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU:
Jeżeli w układzie dwóch ciał działają tylko siły wewnętrzne,
wówczas suma pędów tych ciał pozostaje zawsze stała.
Siły wewnętrzne – siły wewnątrz układu (pomija się siły pocho-
dzące od ciał nie należących do układu).
Pęd ciała 1: p
1
= m
1
v
1
Pęd ciała 2: p
2
= m
2
v
2
Siły wywołujące zmianę pędu: F
1
, F
2
III prawo Newtona: F
1
+ F
2
= 0
Stąd:
m
1
v
1
+ m
2
v
2
= const.
04 Dynamika
65
PRACA SIŁY
Pracą siły stałej co do wartości i kierunku na prostolinio-
wym przesunięciu punktu przyłożenia tej siły nazywa się
iloczyn war
tości bezwzględnej przesunięcia i miary rzutu tej
siły na kierunek tego przesunięcia.
L
P s
L
P
s
P s
( cos )
cos
Gdy = 0
L = P s [N m]
[ ]
L
kg m
s
m
kg m
s
N m
J
1
1
1
1
1
2
2
2
L
P s
P
s
P s
P s
x
x
y
y
z
z
L
P s
P
s
P s
P
s
P
s
i
i
i n
n
1
1
2
Prac wypadkowej sił przyłożonych do danego punktu
jest równa sumie prac poszczególnych sił.
PRACA SIŁY W RUCHU OBROTOWYM
Praca siły w ruchu obrotowym równa jest iloczynowi momentu
siły względem osi obrotu i kąta, o jakie obróci się ciało:
L
M
L
M
L
–
moment siły względem osi obrotu
04 Dynamika
66
PRACA SIŁ CIĘŻKOŚCI
Jednorodne pole sił ciężkości (w obszarze o rozmiarach
małych w porównaniu z promieniem Ziemi R = 6 371 km).
Praca wzdłuż łuku A
1
A
2
:
)
dz
P
dy
P
dx
P
(
L
z
y
A
A
x
2
1
Praca wykonana przez siłę ciężkości m g działającą na punkt
materialny o masie m,
przy przejściu punktu z A
1
do A
2
.
Założenie:
P
P
P
m g
x
y
z
0
Praca siły
P
na skończonym odcinku łuku A
1
A
2
:
L
P dx P dy
P dz
m g
dz
m g
z
z
x
A A
y
z
A A
(
)
(
)
1
2
1
2
1
2
L
m g h
Praca L nie zależy od kształtu toru po którym poruszał
się punkt materialny.
Pra
ca L w jednorodnym polu sił ciężkości (grawitacyj-
nych) nazywa się energią potencjalną.
L
V
V
mg z
z
mgh
1
2
1
2
(
)
04 Dynamika
67
MOC SIŁY
Moc –
praca wykonana przez siłę w ciągu jednostki czasu
N
dL
dt
P
ds
dt
P v
N
P v
P v
cos
gdy
0
N
P v
[ ]
N
J
s
W
1
1
1
WAT
Przykład: Obliczyć pracę wykonana w t = 5 min przez
koło pasowe o r = 1,8 m wykonujące n = 120 obr/min.
Siły naciągu w pasach wynoszą: S
1
= 3600 N, S
2
=
7200 N. Obliczyć moc wykonywaną przez koło pasowe.
L
M
M
S
r
M
N m
0
0
1
2
0
7200
3600 1 8
6480
(S
)
(
) ,
PRACA:
droga w czasie t = 5 min:
2
2
120 5
3769 9
n t
rad
,
L
M
0
7
6480 3769 9
2 443 10
,
,
MOC = PRACA/CZAS
t = 5 60 = 300 s
N
L
t
W
kW
2 443 10
300
8 143 10
81 43
7
4
,
,
,
Inaczej:
N
M
M
n
W
0
0
4
2
60
6480 2
120
60
8 143 10
,
dL
P ds
ds
dt
v
04 Dynamika
68
SPRAWNOŚĆ
L – praca (energia) dostarczona do ur
ządzenia (maszyny)
L
u
–
praca użyteczna
L
s
– straty pracy (energii), tarcie, opory
L = L
u
+ L
s
Sprawnością maszyny nazywa się stosunek:
%
L
L
,
L
L
u
u
100
.
Maszyna idealna: = 1.
Sprawność maszyny złożonej: =
1
2
3
….
n
.
Definicja
sprawności oparta o moc:
%
N
N
,
N
N
u
u
100
Moc użyteczna maszyny: N
u
= N.
ENERGIA KINETYCZNA
Z prawa pędu i popędu, dla v
0
= 0:
Ft = mv - m 0.
Droga przebyta przez ciało w czasie t
równa się iloczynowi średniej prędkości v
śr
i czasu:
.
t
v
t
v
v
t
v
s
śr
2
1
2
0
Praca wykonana na rozpędzenie ciała i nadanie prędkości v:
2
2
1
2
1
2
v
m
v
v
m
t
v
t
v
m
s
F
L
.
W ruchu postępowym ciało o masie m i prędkości v posiada
energię kinetyczną E
k
, równą nagromadzonej pracy:
2
2
1
mv
E
k
.
04 Dynamika
69
ENERGIA KINETYCZNA
Energia kinetyczna i – tego punktu materialnego:
E
m
v
i
i
i
2
2
.
Energia kinetyczna układu punktów materialnych:
E
E
m
v
i
i
i
i
i
2
2
.
Energia kinetyczna ciała w ruchu postępowym:
E
m v
S
2
2
m –
masa ciała, v
S
–
prędkość środka masy ciała
Energia kinetyczna ciała w ruchu obrotowym:
E
J
L
2
2
J
L
–
moment bezwładności ciała względem osi obrotu
– prędkość kątowa ciała
Energia kinetyczna ciała sztywnego w ruchu ogól-
nym:
E
m v
J
S
L
2
2
2
2
.
v
S
–
prędkość środka masy
J
L
–
moment bezwładności ciała względem osi chwilowego
obrotu, przechodzącej przez środek masy,
– chwilowa prędkość kątowa wokół osi chwilowego obrotu.
04 Dynamika
70
TWIERDZENIE
O RÓWNOWAŻNOŚCI
PRACY I ENERGII KINETYCZNEJ
Przyrost energii kinetyczn
ej ciała sztywnego w skończonym
przedziale czasu
jest równy sumie prac, które wykonały w
tym samym cza
sie wszystkie siły zewnętrzne działające na
to ciało.
E
E
L
1
2
1 2
E
2
– energia kinetyczna w chwili t
2
,
E
1
– energia kinetyczna w chwili t
1
,
t
2
> t
1
ENERGIA MECHANICZNA
:
suma energii kinetycznej i potencjalnej E + V.
W czasie ruchu punktu materialnego w zachowawczym polu sił
energia mechaniczna pozostaje wielkością stałą.
Pole zachowawcze (potencjalne) –
pole sił, w którym praca
za
leży od położenia początkowego i końcowego, nie zależy od
postaci toru punktu (patrz: praca sił ciężkości).
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ
Podczas ruchu punktu materialnego w zachowawczym
polu
sił, jego energia mechaniczna jest wielkością stałą.
1
1
2
2
2
1
2
1
V
E
V
E
V
V
E
E
SIŁY ZACHOWAWCZE I NIEZACHOWAWCZE
SIŁY ZACHOWAWCZE (POTENCJALNE) – praca wykonana
przez te siły nad punktem materialnym poruszającym się po
dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru (siły ciężkości).
04 Dynamika
71
SIŁY NIEZACHOWAWCZE – praca wykonana przez te siły nad
punktem materialnym poruszającym się po dowolnej drodze
zamkniętej nie jest równa zeru (opór powietrza, siły tarcia).
04 Dynamika
72
MOMENTY BEZWŁADNOŚCI
Momenty bezwładności charakteryzują rozkład w prze-
strzeni masy danego układu punktów materialnych lub
bryły.
Na skutek nierównomiernego rozkładu masy, przy tej
samej masie
występują różne rodzaje ruchu.
x
xdV
m
y
ydV
m
z
zdV
m
c
V
c
V
c
V
xdV
xdV
xdV
V
V
V
,
,
momenty statyczne
m
dm
dV
V
V
– gęstość ciała
Momenty bezwładności charakteryzują rozkład w prze-
strzeni masy ciała materialnego.
Bryła
jednorodna
RUCH
POSTĘPOWY
Bryła
niejednorodna
RUCH
PŁASKI
(postępowy +
obrotowy)
04 Dynamika
73
DEFINICJA:
J
h dm
h dV
x
y dV
Z
V
V
V
2
2
2
2
J
y
z dV
X
V
2
2
J
z
x dV
Y
V
2
2
J
z dV
y dV
J
z dV
x dV
J
x dV
y dV
X
V
V
Y
V
V
Z
V
V
2
2
2
2
2
2
x dm
x dV
y dm
y dV
z dm
z dV
V
V
V
V
V
V
2
2
2
2
2
2
,
,
,
– mom
enty bezwładności względem płaszczyzn układu współ-
rzędnych.
Wymiar momentu bezwładności: 1kg m.
Moment bezwładności względem osi równy jest sumie momen-
tów względem dowolnych dwóch wzajemnie prostopadłych
płaszczyzn przecinających się wzdłuż tej osi.
BIEGUNOWY MOMENT BEZWŁADNOŚCI:
J
r dm
x
y
z dV
J
J
J
X
Y
Z
V
V
0
2
2
2
2
1
2
Myślowo wydzielony
element
ciała