WYKŁAD 9
CAŁKI OZNACZONE
CAŁKI NIEWŁAŚCIWE
WYKŁAD 9
CAŁKI OZNACZONE
CAŁKI NIEWŁAŚCIWE
2
CAŁKI OZNACZONE
Definicja (całka oznaczona)
Całkę oznaczoną funkcji f w przedziale
]
,
[
b
a
oznaczamy symbolem :
∫
b
a
dx
x
f
)
(
.
Twierdzenie
Funkcja ograniczona w przedziale domkniętym oraz ciągła w nim z wyjątkiem co najwyŜej skończonej
liczby punktów jest całkowalna.
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej
JeŜeli w przedziale
]
,
[
b
a
jest
0
)
(
≥
x
f
to pole obszaru ograniczonego krzywą
)
((x
f
y
=
, odcinkiem osi
Ox
oraz prostymi
b
x
a
x
=
=
,
równa się całce oznaczonej
∫
b
a
dx
x
f
)
(
. JeŜeli zaś w przedziale
]
,
[
b
a
jest
0
)
(
≤
x
f
, to analogiczne pole równa się -
∫
b
a
dx
x
f
)
(
.
Własności całki oznaczonej
♦
∫
b
a
dx
x
f
)
(
=
∫
−
a
b
dx
x
f
)
(
;
♦
∫
=
a
a
dx
x
f
0
)
(
;
♦
JeŜeli funkcja f jest całkowalna oraz:
-- jest nieparzysta, to dla a>0 mamy
∫
−
=
a
a
dx
x
f
0
)
(
-- jest parzysta, to dla a>0 mamy
∫
∫
−
=
a
a
a
dx
x
f
dx
x
f
0
)
(
2
)
(
-- jest okresowa o okresie T, to dla
R
∈
a
mamy
∫
∫
+
=
T
T
a
a
dx
x
f
dx
x
f
0
)
(
)
(
♦
JeŜeli
c
b
a
≤
≤
to
∫
∫
∫
+
=
c
a
b
a
c
b
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
(Addytywność względem przedziału całkowania)
♦
Dla
R
∈
β
α
,
,
g
f ,
- funkcji całkowalnych
=
+
∫
dx
x
g
x
f
b
a
)]
(
)
(
[
β
α
∫
∫
+
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
)
(
)
(
β
α
(Liniowość)
3
♦
Twierdzenie (o wartości średniej)
JeŜeli funkcja f jest ciągła na przedziale
]
,
[
b
a
,to
∫
b
a
dx
x
f
)
(
)
(
a
b
K
−
=
gdzie
)
(c
f
K
=
dla
pewnego
)
,
(
b
a
c
∈
.
(Wartość średnia funkcji f na przedziale
]
,
[
b
a
jest wysokością prostokąta o podstawie długości b-a ,
którego pole jest równe polu trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresem funkcji f, osią Ox
oraz prostymi x =a, x=b.)
♦
Definicja (funkcja górnej granicy całkowania)
Niech funkcja f będzie ciągła na przedziale
]
,
[
b
a
.
Funkcja
∫
=
x
a
dt
t
f
x
F
)
(
)
(
(funkcja górnej granicy całkowania) jest ciągła i róŜniczkowalna
względem zmiennej
x
w przedziale
]
,
[
b
a
i w kaŜdym punkcie tego przedziału zachodzi związek:
)
(
)
(
'
x
f
x
F
=
.
♦
Twierdzenie Newtona-Leibnitza (związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną)
JeŜeli F jest funkcją pierwotną funkcji f , ciągłej w przedziale
]
,
[
b
a
, tzn. jeśli
)
(
)
(
'
x
f
x
F
=
, to
zachodzi wzór:
∫
−
=
b
a
a
F
b
F
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
=
b
a
x
F
)]
(
[
.
♦
Twierdzenie (Całkowanie przez części)
JeŜeli
v
u, są funkcjami zmiennej
x
mającymi ciągłą pochodną to
∫
∫
−
=
b
a
b
a
b
a
v
u
uv
uv
'
]
[
'
.
♦
Twierdzenie (Całkowanie przez podstawienie)
JeŜeli
)
(
' x
g
jest funkcją ciągłą,
)
( x
g
funkcją rosnącą w przedziale
]
,
[
b
a
, a
)
(u
f
funkcją ciągłą
w przedziale
)]
(
),
(
[
b
g
a
g
, to zachodzi następujący wzór :
∫
∫
=
b
a
b
g
a
g
du
u
f
dx
x
g
x
g
f
)
(
)
(
)
(
)
(
'
))
(
(
.
Linia określona parametrycznie
Jeśli x i y są funkcjami ciągłymi tej samej zmiennej t:
(*)
),
(
),
(
t
g
y
t
f
x
=
=
gdzie t przybiera wartości z pewnego przedziału, to mówimy, Ŝe funkcje te określają krzywą na płaszczyźnie.
Zmienna t nazywa się parametrem. Na przykład, gdy t oznacza czas, to równania (*) są równaniami ruchu
punktu zakreślającego pewną krzywą. O krzywej tej mówimy, Ŝe równania (*) są równaniami parametrycznymi
tej krzywej.
RóŜne równania parametryczne mogą przedstawiać tę samą krzywą. Parametr moŜna rozumieć niekoniecznie
jako czas, np. w niektórych zadaniach parametr ma znaczenie geometryczne (kąt, odcinek).
Krzywa (lub jej łuk) moŜe być traktowana jako wykres pewnej funkcji
)
(x
h
y
=
, gdy kaŜda prosta równoległa
do osi Oy ma z nią co najwyŜej jeden punkt wspólny. W takim przypadku równania (*) określają równieŜ y jako
funkcję zmiennej x.
4
ZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH
Długość łuku krzywej
JeŜeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci
)
(x
f
y
=
, przy czym funkcja f ma w przedziale
b
x
a
≤
≤
ciągłą pochodną, to długość łuku w tym przedziale wyraŜa się wzorem:
dx
dx
dy
L
b
a
∫
+
=
2
1
JeŜeli krzywa dana jest parametrycznie za pomocą równań
)
(
),
(
t
y
y
t
x
x
=
=
, przy czym funkcje
( ) ( )
t
y
t
x
,
mają w przedziale
β
α
≤
≤
t
ciągłe pochodne oraz łuk nie ma części wielokrotnych , to długość
łuku wyraŜa się wzorem:
dt
dt
dy
dt
dx
L
∫
+
=
β
α
2
2
Obliczanie pól ograniczonych krzywymi
JeŜeli krzywe wyznaczone są równaniami
)
(x
f
y
=
,
)
(x
g
y
=
przy czym funkcje f ,g mają w
przedziale
b
x
a
≤
≤
ciągłe pochodne oraz
( )
)
(x
f
x
g
≤
, to pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego
wykresami tych funkcji oraz prostymi x=a, x=b wyraŜa się wzorem:
( ) ( )
[
]
dx
x
g
x
f
P
b
a
∫
−
=
JeŜeli dana jest krzywa określona równaniami w postaci parametrycznej
)
(
),
(
t
y
y
t
x
x
=
=
, gdzie funkcje
( ) ( )
t
y
t
x
,
są ciągłe na przedziale
β
α
≤
≤
t
, a przy tym funkcja
)
(t
x
jest rosnąca i ma w tym przedziale
pochodną ciągłą, to pole obszaru ograniczonego łukiem krzywej, odcinkiem osi
Ox
oraz prostymi
( )
α
x
x
=
,
( )
β
x
x
=
, wyraŜa się wzorem
dt
t
x
t
y
P
)
(
)
(
′
⋅
=
∫
β
α
JeŜeli przy tych samych załoŜeniach funkcja
)
(t
x
jest malejąca w przedziale
β
α
≤
≤
t
, to pole obszaru
wyraŜa się wzorem
dt
t
x
t
y
P
)
(
)
(
′
⋅
−
=
∫
β
α
Objętość i pole powierzchni brył obrotowych
Niech dany będzie łuk AB krzywej o równaniu
)
(x
f
y
=
gdzie f jest funkcją ciągłą i nieujemną w
przedziale
b
x
a
≤
≤
. Wówczas objętość bryły obrotowej ograniczonej powierzchnią powstałą w
wyniku obrotu łuku AB dookoła osi
Ox
wyraŜa się wzorem:
∫
=
b
a
y
V
2
π
dx
.
Pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót łuku AB wokół osi
Ox
obliczamy według wzoru:
dx
dx
dy
y
S
b
a
∫
+
=
2
1
2
π
.
5
JeŜeli równanie łuku krzywej jest dane w postaci parametrycznej , tzn.
β
α
≤
≤
=
=
t
t
y
y
t
x
x
),
(
),
(
to:
( )
dt
t
x
y
V
∫
′
=
β
α
π
2
oraz
dt
dt
dy
dt
dx
y
S
t
t
∫
+
=
2
1
2
2
2
π
.
CAŁKI NIEWŁAŚCIWE
Całki funkcji nieograniczonych
JeŜeli funkcja f jest ograniczona i całkowalna w kaŜdym przedziale
h
c
x
a
−
≤
≤
,
0
>
h
oraz w
kaŜdym przedziale
0
,
>
≤
≤
+
k
b
x
k
c
i jeŜeli istnieją granice:
0
lim
→
h
∫
−
h
c
a
dx
x
f
)
(
oraz
∫
+
→
b
k
c
k
dx
x
f
)
(
lim
0
,
to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale
]
,
[
b
a
i oznaczamy symbolem
∫
b
a
dx
x
f
)
(
. JeŜeli któraś z powyŜszych granic nie istnieje, to mówimy, Ŝe całka niewłaściwa jest
rozbieŜna.
Całki oznaczone w przedziale nieskończonym
JeŜeli funkcja f jest ograniczona i całkowalna w kaŜdym przedziale skończonym
,
v
x
a
≤
≤
(
a
-
ustalone,
v
- dowolne ) oraz istnieje granica
∫
∞
→
v
a
v
dx
x
f
)
(
lim
,
to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale
+∞
≤
≤
x
a
i oznaczamy symbolem
∫
+∞
a
dx
x
f
)
(
. Analogicznie określa się znaczenie symbolu :
∫
∞
−
b
dx
x
f
)
(
jako granicę
∫
−∞
→
b
u
u
dx
x
f
)
(
lim
.