Przykłady na sprowadzanie równania różniczkowego cząstkowego drugiego rzędu do postaci
kanonicznej
u
xx
+ 4 cos 2xu
xy
− 4 sin
2
2xu
yy
− 4 sin 2xu
y
= 0
Au
xx
+ Bu
xy
+ Cu
yy
+ . . . = 0
A = 1, B = 4 cos 2x, C = −4 sin
2
2x, ∆ = 16 cos
2
2x + 16 sin
2
2x = 16 > 0, równanie jest wszędzie
typu hiperbolicznego.
Równanie charakterystyczne: A dy
2
−B dy dx+C dx
2
= 0, tzn. dy
2
−4 cos 2x dy dx−4 sin
2
2x dx
2
= 0,
czyli
dy
dx
2
− 4 sin
2
2x
dy
dx
− 4 sin
2
2x = 0.
dy
dx
=
B ∓
√
∆
2A
=
4 cos 2x ∓ 4
2
= 2 cos 2x ∓ 2, stąd y = sin 2x ∓ 2x + C
∓
lub y − sin 2x ± 2x = C
∓
.
Wprowadzamy nowe zmienne ξ = y − sin 2x + 2x, η = y − sin 2x − 2x, wtedy otrzymamy postać
kanoniczną typu u
ξη
+ składniki niższych rzędów = 0, w szczególnych przypadkach gdy tych składników
niższego rzędu nie będzie można łatwo otrzymać wszystkie rozwiązania (choć w przypadku równań
różniczkowych cząstkowych zwykle zależy nam nie na tym aby otrzymać wszystkie rozwiązania, ale
takie rozwiązanie które spełnia zadane warunki początkowe i brzegowe).
Ewentualnie, jeżeli okaże się że ułatwia (upraszcza) to dalsze rachunki, możemy wziąć sumę i
różnicę lub połowę sumy i różnicy tych zmiennych, wtedy postacią kanoniczną będzie u
ξξ
− u
ηη
+
składniki niższych rzędów = 0. (W przypadku hiperbolicznym są możliwe dwie postaci kanoniczne.)
Idąc za tą pierwszą ze wspomnianych możliwości, dostajemy na podstawie wyprowadzonych już
wzorów na pochodne pierwszego i drugiego rzędu przy takim przekształceniu (a mianowicie:
u
x
= u
ξ
ξ
x
+ u
η
η
x
,
u
y
= u
ξ
ξ
y
+ u
η
η
y
u
xx
= u
ξξ
(ξ
x
)
2
+ 2u
ξη
ξ
x
η
x
+ u
ηη
(η
x
)
2
+ u
ξ
ξ
xx
+ u
η
η
xx
u
xy
= u
ξξ
ξ
x
ξ
y
+u
ξη
(ξ
x
η
y
+ξ
y
η
x
)+u
ηη
η
x
η
y
+u
ξ
ξ
xy
+u
η
η
xy
, u
yy
= u
ξξ
(ξ
y
)
2
+2u
ξη
ξ
y
η
y
+u
ηη
(η
y
)
2
+u
ξ
ξ
yy
+u
η
η
yy
,
lub, w postaci jeszcze dogodniejszej do zastosowania:
u
x
= ξ
x
u
ξ
+ η
x
u
η
,
u
y
= ξ
y
u
ξ
+ η
y
u
η
u
xx
= (ξ
x
)
2
u
ξξ
+ 2ξ
x
η
x
u
ξη
+ (η
x
)
2
u
ηη
+ ξ
xx
u
ξ
+ η
xx
u
η
u
xy
= ξ
x
ξ
y
u
ξξ
+ (ξ
x
η
y
+ ξ
y
η
x
)u
ξη
+ η
x
η
y
u
ηη
+ ξ
xy
u
ξ
+ η
xy
u
η
,
u
yy
= (ξ
y
)
2
u
ξξ
+ 2ξ
y
η
y
u
ξη
+ (η
y
)
2
u
ηη
+ ξ
yy
u
ξ
+ η
yy
u
η
Tak więc w naszym przypadku
ξ
x
= 2 − 2 cos 2x, ξ
y
= 1, η
x
= −2 − 2 cos 2x, η
y
= 1
ξ
xx
= 4 sin 2x, ξ
xy
= 0, ξ
yy
= 0, η
xx
= 4 sin 2x, η
xy
= 0, η
yy
= 0
i otrzymujemy
u
x
= (2 − 2 cos 2x)u
ξ
+ (−2 − 2 cos 2x)u
η
u
y
= u
ξ
+ u
η
u
xx
= (2 − 2 cos 2x)
2
u
ξξ
+ 2(4 cos
2
2x − 4)u
ξη
+ (2 + 2 cos 2x)
2
u
ηη
+ 4 sin 2xu
ξ
+ 4 sin 2xu
η
u
xy
= (2 − 2 cos 2x)u
ξξ
− 4 cos 2xu
ξη
+ (−2 − 2 cos 2x)u
ηη
u
yy
= u
ξξ
+ 2u
ξη
+ u
ηη
.
Po podstawieniu do równania,
przy u
ξξ
dostajemy współczynnik
4 − 8 cos 2x + 4 cos
2
3x + 8 cos 2x − 8 cos
2
2x − 4 sin
2
2x = 4 − 4 cos
2
2x − 4 sin
2
2x, czyli 0;
przy u
ξη
współczynnik
8 cos
2
2x − 8 − 16 cos
2
2x − 8 sin
2
2x = −8 − 8 cos
2
2x − 8 sin
2
2x, czyli − 16;
1
przy u
ηη
współczynnik
4 + 8 cos 2x + 4 cos
2
2x − 8 cos 2x − 8 cos
2
2x − 4 sin
2
2x = 4 − 4 cos
2
2x − 4 sin
2
2x, czyli 0;
przy u
ξ
współczynnik 4 sin 2x − 4 sin 2x, czyli 0;
przy u
η
współczynnik 4 sin 2x − 4 sin 2x, czyli 0.
Tak więc w nowych zmiennych równanie przybiera postać −16u
ξη
= 0, czyli u
ξη
= 0.
Jeżeli natomiast przyjąć ξ = y − sin 2x, η = 2x, to mamy
ξ
x
= −2 cos 2x, ξ
y
= 1, η
x
= 2, η
y
= 0
ξ
xx
= 4 sin 2x, ξ
xy
= 0, ξ
yy
= 0, η
xx
= 2, η
xy
= 0, η
yy
= 0.
Wtedy
u
x
= −2 cos 2xu
ξ
+ 2u
η
u
y
= u
ξ
u
xx
= 4 cos
2
2xu
ξξ
− 8 cos 2xu
ξη
+ 4u
ηη
+ 4 sin 2xu
ξ
u
xy
= −2 cos 2xu
ξξ
+ 2u
ξη
u
yy
= u
ξξ
.
Po podstawieniu do wyjściowego równania otrzymujemy
przy u
ξξ
współczynnik 4 cos
2
2x − 8 cos
2
2x − 4 sin
2
2x = −4 cos
2
2x − 4 sin
2
2x = −4;
przy u
ξη
współczynnik −8 cos 2x + 8 cos 2x = 0;
przy u
ηη
współczynnik 4;
przy u
ξ
współczynnik 4 sin 2x − 4 sin 2x = 0;
przy u
η
współczynnik 0.
A więc przy tym wyborze przejścia do nowych zmiennych, jako postać kanoniczną dostajemy
−4u
ξξ
+ 4u
ηη
= 0 lub równoważnie, u
ξξ
− u
ηη
= 0.
9y
4
u
xx
− 6y
2
u
xy
+ 2u
yy
− 6u
y
= 0, y 6= 0
A = 9y
4
, B = −6y
2
, C = 2
∆ = 36y
4
− 72y
4
= −36y
4
< 0, a więc dla y 6= 0 równanie jest typu eliptycznego.
√
∆ = ±6iy
2
Równanie charakterystyczne 9y
4
dy
2
+ 6y
2
dy dx + 2dx
2
= 0
dy
dx
=
−6y
2
∓ 6iy
2
18y
4
=
−1 ∓ i
3y
2
3y
2
dy = (−1 ∓ i)dx
y
3
= (−1 ∓ i)x + C
∓
y
3
+ (1 ± i)x + C
∓
ξ = y
3
+ x, η = x
ξ
x
= 1, ξ
y
= 3y
2
, η
x
= 1, η
y
= 0
ξ
xx
= 0, ξ
xy
= 0, ξ
yy
= 6y, η
x
x = 0, η
xy
= 0, η
yy
= 0
Wtedy
u
x
= u
ξ
+ u
η
,
u
y
= 3y
2
u
ξ
,
u
xx
= u
ξξ
+ 2u
ξη
+ u
ηη
,
u
xy
= 3y
2
u
ξξ
+ 3y
2
u
ξη
u
yy
= 9y
4
u
ξξ
+ 6yu
ξ
.
Równanie przybiera postać (9y
4
− 18y
4
+ 18y
4
)u
ξξ
+ (18y
4
− 18y
4
)u
ξη
+ 9y
4
u
ηη
+ (12y − 18y
2
)u
ξ
= 0,
czyli 9y
4
u
ξξ
+ 9y
4
u
ηη
+ (12y − 18y
2
)u
ξ
= 0. Po podzieleniu przez 3y: 3y
3
(u
ξξ
+ u
ηη
) + 2(2 − 3y)u
ξ
= 0.
Ale u
3
= ξ − η, 2 − 3y = 2 − 3
3
√
ξ − η, więc po podzieleniu przez 3(ξ − η) dostajemy
u
ξξ
+ u
ηη
+
2
3
2 − 3
3
√
ξ − η
ξ − η
= 0.
2
y
4
u
xx
+ 2xy
2
u
xy
+ x
2
u
yy
− y
2
u
y
= 0
∆ = 4x
2
y
4
− 4x
2
y
4
= 0, równanie jest typu parabolicznego wszędzie z wyjątkiem początku układu,
gdzie A i B jednocześnie się zerują.
Równanie charakterystyczne: y
4
dy
2
− 2xy
2
dy dx + x
2
dx
2
= 0, czyli y
4
dy
dx
2
− 2xy
2
dy
dx
+ x
2
= 0,
dy
dx
=
x
y
2
.
y
2
dy = x dx,
1
3
y
3
=
1
2
x
2
+ C, 2y
3
− 3x
2
= e
C, ξ = 2y
3
− 3x
2
, η = x (łatwo sprawdzić że jakobian jest
różny od zera).
ξ
x
= −6x, ξ
y
= 6y
2
, η
x
= 1, η
y
= 0
ξ
xx
= −6, ξ
xy
= 0, ξ
yy
= 12y, η
xx
= 0, η
xy
= 0, η
yy
= 0
u
x
= −6xu
ξ
+ u
η
,
u
y
= 6y
2
u
ξ
,
u
xx
= 36x
2
u
ξξ
− 12xu
ξη
+ u
ηη
− 6u
ξ
,
u
xy
= −36xy
2
u
ξξ
+ 6y
2
u
ξη
;
u
yy
= 36y
4
u
ξξ
.
Po podstawieniu do równania otrzymujemy (36x
2
y
4
− 72x
2
y
4
+ 36x
2
y
4
)u
ξξ
+ (−12xy
4
+ 12xy
4
)u
ξη
+
y
4
u
ηη
− 6y
4
u
ξ
= 0, czyli u
ηη
− 6u
ξ
= 0.
e
2x
u
xx
+ 2e
x+y
u
xy
+ e
2y
u
yy
− x u = 0
A = e
2x
, B = 2e
x+y
, C = e
2y
∆ = 4e
2x+2y
− 4e
2x+2y
= 0, równanie paraboliczne wszędzie.
dy
dx
=
e
y
e
x
dy
e
y
=
dx
e
x
−e
−y
dy = −e
−x
dx
e
−y
= e
−x
+ C
ξ = e
−x
− e
−y
, η = x
ξ
x
= −e
−x
, ξ
y
= e
−y
, η
x
= 1, η
y
= 0,
ξ
xx
= e
−x
, ξ
xy
= 0, ξ
yy
= −e
−y
, η
xx
= η
xy
= η
yy
= 0
u
xx
= e
−2x
u
ξξ
− 2e
−x
u
ξη
+ u
ηη
+ e
−x
u
ξ
, ·e
2x
u
xy
= −e
−x
e
−y
u
ξξ
+ e
−y
u
ξη
, ·2e
x
e
y
u
yy
= e
−2y
u
ξξ
− e
−y
u
ξ
, ·e
2y
u = u, ·(−x)
(1 − 2 + 1)u
ξξ
+ (−2e
x
+ 2e
x
)u
ξη
+ u
ηη
+ (e
x
− e
y
)u
ξ
− x u = 0
u
ηη
+ (e
x
− e
y
)u
ξ
− x u = 0
e
x
= e
η
, e
−y
= e
−x
− ξ = e
−η
− ξ
e
y
=
1
e
−η
− ξ
=
e
η
1 − ξe
η
e
x
− e
y
= e
η
−
e
η
1 − ξe
η
=
e
η
− ξe
2η
− e
η
1 − ξe
η
= −
ξe
2η
1 − ξe
η
Postać kanoniczna: u
ηη
−
ξe
2η
1 − ξe
η
u
ξ
− η u = 0.
3