2009-03-17

1

Wykład 4

Rozkład normalny
i standaryzacja zmiennych

Marcin Kocór

WSE, Kraków 2008/2009

Krótka notka historyczna

Stosowane nazwy
• rozkład normalny
• krzywa Gaussa / Gaussa-Laplace’a
• krzywa dzwonowa

Postacie dramatu
• Abraham de Moivre, The Doctrine of Chances (1738) – rozkład normalny

jako przybliżenie rozkładu dwumianowego dla dużych n

• Piotr-Szymon markiz de Laplace – teoria błędów pomiarowych
• Karol Fryderyk Gauss – pomiary geodezyjne w Królestwie Hanoweru

(1818)

2009-03-17

2

Rozkład normalny jako
granica rozkładu dwumianowego

0
1

1/2
1/2

00
01
10
11

1/4

2/4

1/4

000
001
010
100
011
101
110
111

1/8

3/8

3/8

1/8

0
1

0

1/2

1

0

1/3

2/3

1

n=1

n=3

n=2

p=1/2

5

=1/32≈0,031

p=1/2

10

=1/1024

≈0,001

p=1/2

20

=1/1048576

≈0,000001

Krzywa rozkładu normalnego

 

2

2

2

)

(

2

1

















x

e

x

P

Rozkład normalny ma 2 parametry:

• średnią μ

• odchylenie standardowe σ

W rozkładzie występują 2 stałe:
• liczba Pi

π=3,14159…

• liczba Eulera

e=2,17828…

Dystrybuanta
rozkładu
normalnego

2009-03-17

3

Rozkłady normalne

Rozkłady normalne różnią się średnią i odchyleniem standardowym.

Wikipedia

Właściwości rozkładu normalnego

• symetria
• jednomodalnośd

• średnia = mediana = modalna

• μ+σ

i

μ-σ

stanowią

punkty przegięcia

rozkładu

• zmienna może przyjmowad

dowolnie małe/duże wartości

μ+σ

μ–σ

μ

2009-03-17

4

Powierzchnie pod krzywą

μ+1,96σ

μ–1,96σ

μ

95%

μ–2,58σ

μ–2,58σ

99%

Przypadki
odstające

Przypadki
odstające

cała

powierzchnia

pod krzywą

=100%

Rozkład teoretyczny a rozkłady empiryczne

http://www.shodor.org/interactivate/activities/NormalDistribution/

Zmienne będące wypadkową niezależnych oddziaływao losowych mają
rozkład zbliżony do normalnego.

2009-03-17

5

Standaryzacja zmiennej

Przekształcenie zmiennej do takiej postaci,
by jej

średnia była równa 0

,

a

odchylenie standardowe

(i wariancja)

równe 1

.









x

z











x

z

1

lub

Jaka jest jednostka miary dla zmiennej standaryzowanej?

to sprowadza średnią z do zera

to sprowadza odchylenie standardowe do jedności

Jak to osiągnąd?

Standaryzacja zmiennej: przykład

Test ze statystyki:









x

z

4

6

7

8

9

10

11

12

13

14

16

17

18

19

20

3

4

6

7

8

9

10

11

12

13

14

16

17

19

7

9

10

11

12

13

14

16

11

12

13

14

16

12

13

12

12

15

15

15

15

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

16

17

18

19

20

0

1

2

3

15

1

2

3

4

5

6

7

μ=12

σ=4

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

4

5

6

7

8

-12

-11

-10

-9

-8

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

4

5

6

7

8

-9

-8

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

4

5

7

-5

-3

-2

-1

0

1

2

4

-1

0

1

2

4

0

1

0

0

3

3

3

3

3

-2

-1,75 -1,5 -1,25

-1

-0,75 -0,5 -0,25

0

0,25

0,5

1

1,25

1,5

1,75

2

-3

-2,75 -2,5 -2,25

-2

-1,5 -1,25

-1

-0,75 -0,5 -0,25

0

0,25

0,5

1

1,25

1,5

1,75

2

-2,25

-2

-1,5 -1,25

-1

-0,75 -0,5 -0,25

0

0,25

0,5

1

1,25

1,75

-1,25

-0,75 -0,5 -0,25

0

0,25

0,5

1

-0,25

0

0,25

0,5

1

0

0,25

0

0

0,75

0,75

0,75

0,75

0,75

wyniki surowe

odchylenia od średniej

wyniki standaryzowane

–

12

=

0

–

12

=

4

÷

4

=

0

÷

4

=

1

μ

μ

+

σ

μ

–

σ

μ=0

σ=4

μ=0

σ=1

2009-03-17

6

Powierzchnie pod krzywą

μ+1,96σ

μ–1,96σ

μ

95%

μ–2,58σ

μ–2,58σ

99%

Przypadki
odstające

Przypadki
odstające

cała

powierzchnia

pod krzywą

=100%

1,96

-1,96

2,58

-2,58

0

Po standaryzacji:

μ=0
σ=1

Tabela
rozkładu
normalnego

(

standaryzowanego)

0

1,96

47,5%

2009-03-17

7

Przykład
zastosowania

Jaki procent populacji
ma wzrost
powyżej 2m?

0

3

49,87%

Wzrost:

μ=170cm

σ=10cm

3

10

170

200







z

0,13%

Przykład
zastosowania

Jaki procent populacji
jest w przedziale
185-190cm?

0

1,5

43,32%

Wzrost:

μ=170cm

σ=10cm

5

,

1

10

170

185

1







z

4,4%

2

10

170

190

2







z

2

47,72%

2009-03-17

8

Przykład
zastosowania

Jaki jest wzrost 20%
najbardziej typowych
jednostek?

0

0,25

10%

Wzrost:

μ=170cm

σ=10cm

5

,

167

10

25

,

0

170

1









x

-0,25

10%

20%

5

,

172

10

25

,

0

170

2









x

Przykład
zastosowania

Jaki jest wzrost 20%
jednostek najniższych?

0

0,84

30%

Wzrost:

μ=170cm

σ=10cm

6

,

161

10

84

,

0

170









x

-0,84

20%

20%

2009-03-17

9

Przypadki odstające (dowolny rozkład)





1

1

Pr

2







w

w

z

Nierówność Czebyszewa

obustronna

(w>0)





2

1

Pr

w

w

z





Nierówność Cantellego

jednostronna

(w>0)









%

25

4

1

2

Pr





z









%

20

5

1

2

Pr





z