Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Punkt przebicia płaszczyzny prostą
Punkt przebicia płaszczyzny
prostą b, to punkt (jeżeli istnieje) należący
jednocześnie zarówno do płaszczyzny jak i do prostej. Poszukiwanie tego punktu
rozgranicza się do dwóch przypadków:
przypadek płaszczyzny
dowolnej
– wymagający zastosowania
płaszczyzny pomocniczej,
Przypadki, gdy płaszczyzna
jest rzutująca – wtedy punkt przebicia
wyznacza się bezpośrednio.
Zadanie 1
Dana jest dowolna płaszczyzna
opisana śladami h
i v
oraz dowolna prosta b
przedstawiona r
zutami b’ i b’’.
Wyznaczyć punkt przebicia płaszczyzny
prostą b (rys.1).
x
v
h
X
b''
b'
Rys.1
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Do rozwiązania zadania należy posłużyć się pomocniczą płaszczyzną
charakterystyczną
. Może to być płaszczyzna poziomo-rzutująca lub pionowo-
rzutująca. Na rys. 2 przez prostą b przeprowadzono płaszczyznę poziomo-rzutującą
.
x
v
h
X
b''
b'
v
h
X
Rys.2
Ślad poziomy h
płaszczyzny
jednoczy się z rzutem poziomym b’ prostej b, węzeł
X
określony jest przez punkt przecięcia rzutu b’ z osią węzłów, a ślad pionowy v
ma
kierunek prostopadły do osi węzłów.
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Wprowadzona płaszczyzna
przecina się z daną płaszczyzną
wzdłuż krawędzi k.
Wyznaczenie tej krawędzi jest możliwe dzięki łatwemu ustaleniu dwóch punktów
wspólnych obu płaszczyzn: V
k
i H
k
(rys.3) w obu ich rzutach.
x
v
h
X
b''
b'
v
h
X
H
k
=H'
k
H''
k
V
k
=V''
k
V'
k
Rys.3
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Przez tak uzyskane punkty prowadzi się krawędź k przecięcia płaszczyzn
oraz
(rys.4).
x
v
h
X
b''
b'
v
h
X
H
k
=H'
k
H''
k
V
k
=V''
k
V'
k
k''
k'
Rys.4
Krawędź ta jednoczy się w swym rzucie poziomym k’ ze śladem poziomym
płaszczyzny pomocniczej h
oraz rzutem prostej
b’, przechodząc przez rzuty
poziome punktów H
k
=H’
k
i
V’
k
. W rzucie pionowym
k’’ przeprowadzona jest przez
rzuty pionowe punktów: H’’
k
oraz V
k
=V’’
k
.
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Punkt przebicia płaszczyzny
prostą b wyznaczony jest przez punkt przecięcia
krawędzi k i prostej b (rys.5).
x
v
h
X
b''
b'
v
h
X
H
k
=H'
k
H''
k
V
k
=V''
k
V'
k
k''
k'
P'
P''
Rys.5
Wprost wyznacza się rzut pionowy P’’ tego punktu, zaś na prostej odnoszącej
odnajduje się rzut poziomy P’. Dla podniesienia czytelności rysunku można
uwzględnić widoczność prostej b, analizując wysokości punktów tej prostej w
kontekście krawędzi k.
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Warto rozpatrzyć wybrane przypadki, w których punkt przebicia płaszczyzny przez
prostą wyznaczany jest bezpośrednio. Występują one wówczas, gdy płaszczyzny są
płaszczyznami charakterystycznymi.
Zadanie 2
Dana jest płaszczyzna poziomo-rzutująca
opisana śladami h
i v
oraz dowolna
prosta b, przedstawiona rzutami b’ i b’’.
Wyznaczyć punkt przebicia płaszczyzny
prostą b (rys.6,7).
x
v
h
X
b''
b'
Rys.6
x
v
h
X
b''
b'
P'
P''
Rys.7
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Zadanie 3
Dana jest płaszczyzna pozioma
opisana śladem v
, jednoczącym się z jego
rzutem pionowym
’’ oraz dowolna prosta b, przedstawiona rzutami b’ i b’’.
Wyznaczyć punkt przebicia płaszczyzny
prostą b (rys.8,9).
x
v
b''
b'
Rys. 8
x
v
b''
b'
P''
P'
Rys.9
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Zadanie 4
Dana jest płaszczyzna czołowa
opisana śladem h
, jednoczącym się z jego rzutem
poziomym
’ oraz dowolna prosta b, przedstawiona rzutami b’ i b’’.
Wyznaczyć punkt przebicia płaszczyzny
prostą b (rys.10,11).
x
h
b''
b'
Rys.10
x
h
b''
b'
P''
P'
Rys.11
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Powyższe wiadomości umożliwiają rozwiązywanie zadań bardziej złożonych, niż
wcześniej zaprezentowane, z wykorzystaniem konstrukcji podstawowych.
Zadanie 5
Dana jest płaszczyzna dowolna
opisana śladami h
i v
oraz płaszczyzna
wyznaczona przez trzy punkty A, B i C trójkąta. Wykreślić krawędź przecinania się
obu płaszczyzn (rys.12).
x
v
h
X
A''
B''
C''
A'
B'
C'
Rys.12
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Jedną z metod rozwiązania zadania jest wprowadzenie pomocniczych płaszczyzn
poziomych
1
oraz
2
, przecinających obie płaszczyzny (rys.13).
x
v
h
X
v
''
v
''
A''
B''
C''
A'
B'
C'
Rys.13
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Płaszczyzna
1
przecina płaszczyznę
wzdłuż krawędzi k
1
, która w rzucie pionowym
k’’
1
jednoczy się ze śladem v
1
, a w rzucie poziomym
k’
1
ma kierunek równoległy do
śladu poziomego h
. (rys.14).
x
v
h
X
v
''
v
''
A''
B''
C''
A'
B'
C'
V
k1
=V''
k1
V'
k1
k
1
''
k
1
'
Rys.14
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Płaszczyzna
1
przecina także płaszczyznę
wzdłuż krawędzi k
2
, na której w rzucie
pionowym widoczne są pomocnicze punkty 1’’ na boku A’’B’’ i 2’’ na boku B’’C’’ .
Rzuty poziome punktów 1’ i 2’ odnajduje się na prostych odnoszących, do ich
przecięcia odpowiednio z rzutami boków A’B’ oraz B’C’. Krawędź k
2
w swym rzucie
pionowym k
2
’’ jednoczy się z rzutem krawędzi k1’’, natomiast jej rzut poziomy
poprowadzony jest przez rzuty punktów 1’ i 2’ (rys.15).
x
v
h
X
v
''
v
''
A''
B''
C''
A'
B'
C'
V
k1
=V''
k1
V'
k1
1''
2''
k
1
''=k
2
''
k
1
'
k
2
'
2'
1'
Rys.15
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Krawędzie k
1
i k
2
przecinają się w punkcie P
1
, który jest punktem wspólnym trzech
płaszczyzn: zadanych
i
oraz pomocniczej
1
. Rzut poziomy P
1
’ punktu P1
znajduje się na przecięciu rzutów poziomych krawędzi k
1
’ oraz k
2
’. Rzut pionowy P
1
’’
tego punktu znajduje się na przecięciu prostej odnoszącej do P
1
’ i jednoczących się
rzutów pionowych krawędzi k
1
’’ oraz k
2
’’ (rys.16).
x
v
h
X
v
''
v
''
A''
B''
C''
A'
B'
C'
V
k1
=V''
k1
V'
k1
1''
2''
k
1
''=k
2
''
k
1
'
k
2
'
2'
1'
P
1
''
P
1
'
Rys.16
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Podobnie płaszczyzna
2
przecina płaszczyznę
wzdłuż krawędzi k
3
, która w rzucie
pionowym
k’’
3
jednoczy się ze śladem v
2
, a w rzucie poziomym
k’
3
ma kierunek
równoległy do śladu poziomego h
. (rys.17).
x
v
h
X
v
''
v
''
A''
B''
C''
A'
B'
C'
V
k1
=V''
k1
V'
k1
1''
2''
k
1
''=k
2
''
k
1
'
k
2
'
2'
1'
P
1
''
P
1
'
V
k3
=V''
k3
V'
k3
k
3
''
k
3
'
Rys.17
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Analogicznie także do przeprowadzonych działań płaszczyzna
2
przecina również
płaszczyznę
wzdłuż krawędzi k
4
, na której w rzucie pionowym widoczne są
pomocnicze punkty
3’’ na boku A’’B’’ i 4’’ na boku B’’C’’ . Rzuty poziome punktów 3’ i
4’ odnajduje się na prostych odnoszących, do ich przecięcia odpowiednio z rzutami
boków A’B’ oraz B’C’. Krawędź k
4
w swym rzucie pionowym k
4
’’ jednoczy się z
rzutem krawędzi k
3
’’, natomiast jej rzut poziomy poprowadzony jest przez rzuty
punktów 3’ i 4’ (rys.18).
x
v
h
X
v
''
v
''
A''
B''
C''
A'
B'
C'
V
k1
=V''
k1
V'
k1
1''
2''
k
1
''=k
2
''
k
1
'
k
2
'
2'
1'
P
1
''
P
1
'
V
k3
=V''
k3
V'
k3
k
3
''=k
4
''
k
3
'
k
4
'
3''
4''
3'
4'
Rys.18
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Krawędzie k
3
i k
4
przecinają się w punkcie P
2
, który jest punktem wspólnym trzech
płaszczyzn: zadanych
i
oraz pomocniczej
2
. Rzut poziomy P
2
’ punktu P1
znajduje się na przecięciu rzutów poziomych krawędzi k
3
’ oraz k
4
’. Rzut pionowy P
2
’’
tego punktu znajduje się na przecięciu prostej odnoszącej do P
2
’ i jednoczących się
rzutów pionowych krawędzi k
3
’’ oraz k
4
’’. Przez punkty P1 i p2 w obu rzutach
przeprowadzić można krawędź płaszczyzn
i
(rys.19).
x
v
h
X
v
''
v
''
A''
B''
C''
A'
B'
C'
V
k1
=V''
k1
V'
k1
1''
2''
k
1
''=k
2
''
k
1
'
k
2
'
2'
1'
P
1
''
P
1
'
V
k3
=V''
k3
V'
k3
k
3
''=k
4
''
k
3
'
k
4
'
3''
4''
3'
4'
P
2
''
P
2
'
k'
k''
Rys.19
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Zadanie 6
Dana jest płaszczyzna dowolna
wyznaczona przez trzy punkty A, B i C trójkąta
oraz prosta b. Znaleźć punkt przebicia oraz określić widoczność prostej względem
płaszczyzny (rys. 20).
x
A''
B''
C''
C'
B'
A'
b''
b'
Rys.20
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Rozwiązanie zadania można zrealizować w sposób w sposób standardowy: należy
przyjąć pomocniczą płaszczyznę
rzutującą, na przykład pionowo-rzutującą,
przechodzącą przez prostą b. Jej ślad pionowy v
będzie się jednoczył z rzutem
pionowym
b’ prostej b (rys.21).
x
A''
B''
C''
C'
B'
A'
b''
b'
v
h
X
Rys.21
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Następnie należy wyznaczyć krawędź k przecięcia płaszczyzny pomocniczej
z
płaszczyzną trójkąta. Krawędź ta w rzucie pionowym przechodzić będzie przez
pomocnicze punkty
1’’ i 2’’ przecięcia śladu v
z bokami
A’’B’’ oraz B’’C’’. Rzuty te
odniesione do rzutni poziomej wyznaczają rzuty poziome odpowiednio 1’ i 2’ punktów
rzutu
k’ krawędzi (rys.22).
x
A''
B''
C''
C'
B'
A'
b''
b'
v
h
X
1''
2''
1'
2'
k''
k'
Rys.22
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Punkt przebicia P prostej b
i płaszczyzny
wyznaczony jest bezpośrednio w rzucie
poziomym przez punkt przecięcia rzutu k’ krawędzi oraz rzut b’ prostej b. Rzut
pionowy tego punktu znaleziony zostanie na prostej odnoszącej od P’ do rzutu b’’
(rys.23).
x
A''
B''
C''
C'
B'
A'
b''
b'
v
h
X
1''
2''
1'
2'
k''
k'
P'
P''
Rys.23
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Aby określić widoczność prostej b względem płaszczyzny
należy rozpatrzyć
wybrany fragment przestrzeni. I tak np. w rzucie pionowym rzut boku
B’’C’’ przecina
się z rzutem pionowym b’’ prostej - jest to punkt 2’’, który jednak w rzucie poziomym
okazuje się być niejednoznacznym. Oznaczenie 2’ dotyczy bowiem przynależności
do boku
B’C’, a nie do rzutu b’ prostej. Wprowadzić zatem należy kolejny punkt 3,
który w rzucie pionowym 3’’ jednoczy się z 2’’, natomiast w rzucie poziomym
zachowujący jednoznaczność. Ponieważ głębokość rzutu 3’ należącego do rzutu
prostej
b’ jest większa niż głębokość rzutu 2’, należącego do boku B’C’, zatem w
rzucie pionowym widoczność między punktem 2’’=3’’, a punktem przebicia,
zachowuje prosta
b’’ (rys.24).
x
A''
B''
C''
C'
B'
A'
b''
b'
v
h
X
1''
2''
1'
2'
k''
k'
P'
P''
=3''
3'
Rys.24
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Wprowadzając pomocnicze punkty 4 i 5 w swoich rzutach zauważyć można, że 4’ i 5’
jednoczą się w rzucie poziomym. Rzut pionowy jednak rozstrzyga, że 5’’ przynależny
do
b’’ ma większą wysokość niż 4’’ przynależny do A’’C’’ . Stąd w rzucie poziomym
widoczny jest odcinek prostej
b’ zawarty miedzy rzutami 4’=5’ a rzutem punktu
przebicia
P’ (rys.25).
x
A''
B''
C''
C'
B'
A'
b''
b'
v
h
X
1''
2''
1'
2'
k''
k'
P'
P''
=3''
3'
4'=5'
4''
5''
Rys.25
Projekt Podbeskidzka
Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Zadanie do wykonania
Dany jest trójkąt ABC, wyznaczający płaszczyznę
oraz trójkąt DEF, wyznaczający
płaszczyznę
. Wykreślić krawędź przecinania się płaszczyzn.
x
A'
B'
C'
D'
E'
F'
A''
C''
B''
D''
F''
E''
Bibliografia
Lewandowski Z.: Geometria Wykreślna. PWN, Warszawa 1987