Siła Lorentza
W przestrzeni istnieje pole
magnetyczne o indukcji B
. Na ładunek
próbny q
0
poruszający się w tej
przestrzeni z prędkością v działa siła F
wyrażona wzorem
)
(
0
B
v
q
F
(1)
Siła Lorentza
W przestrzeni istnieje pole
magnetyczne o indukcji B
. Na ładunek
próbny q
0
poruszający się w tej
przestrzeni z prędkością v działa siła F
wyrażona wzorem
)
(
0
B
v
q
F
(1)
Wartość bezwzględna tej siły wyraża się wzorem:
F
q vB
0
sin
x
y
z
F
B
v
F
B
F
v
(1a)
Działanie pola magnetycznego
na przewodnik z prądem
Prąd jest uporządkowanym ruchem ładunków
elektrycznych, należy się spodziewać, że pole
magnetyczne będzie wywierać siłę na przewodnik, przez
który płynie prąd. Jeżeli w jednostce objętości
przewodnika znajduje się n elektronów, to w przewodniku
o przekroju S i długości l zawartych jest
N = nSl
elektronów.
Na każdy elektron działa siła opisana wzorem
(1 )
.
Wartość wypadkowej siły działającej na przewodnik
wyniesie
F = evBsin
nSl
(2)
(3)
Natężenie prądu i można określić jako ładunek
przepływający w jednostce czasu przez przekrój poprzeczny
tego przewodnika S, możemy zapisać to wzorem
i = enSv
Z porównania wzorów
(2, 3, 4)
otrzymujemy
F = ilBsin
Wzór ten w zapisie wektorowym ma postać
F = i(l
B)
Na podstawie tego wzoru można wyznaczyć siłę
wzajemnego oddziaływania dwóch przewodników z
prądem.
(4)
(5)
(3a)
F
B
d
l
i
b
i
a
a
b
F
li i
d
b
o
a b
2
a
b
b
B
l
i
F
F
i lB
b
b
a
(6)
d
2
i
B
a
a
0
Prawo
Ampere’a
Cyrkulacja wektora natężenia pola
magnetycznego jest równa sumie
algebraicznej natężeń prądów płynących
wewnątrz konturu całkowania.
I
B
i
1
i
2
i
3
dl
B
C
i = i
1
- i
2
+ i
3
i -
suma prądów wewnątrz linii
C
B
dl =
0
i
C
Przenikalność magnetyczna próżni:
0
= 4
10-7 T
m/A
B - wektor indukcji magnetycznej
i -
natężenie prądu
dl -
wektor przesunięcia wzdłuż linii C
(7)
r
d
l
B
B
dl =
0
i = B
dl = B2
r
i
B
i
r
0
2
B || dl
(8)
(7a)
Indukcja magnetyczna wokół
przewodnika z prądem i
Prawo Biota - Savarta
P
r
dl
i
i
dB
3
0
4
r
r
l
d
i
B
d
(9)
dB
i dl
r
0
2
4
sin
B
dB
Przykład 1.
Korzystając z prawa Biota - Savarta obliczyć wektor indukcji
magnetycznej B
dla dowolnego punktu leżącego na
zewnątrz prostoliniowego, cienkiego, nieskończenie
długiego przewodnika, przez który płynie prąd o natężeniu i.
(9a)
(10)
dB i B zapisane
skalarnie
i
dl
d
P
rd
r
sinθ
a
r
a
dl
rd
sin
B
i
a
d
i
a
i
a
0
0
0
0
0
4
4
2
sin
cos
dB
i dl
r
0
2
4
sin
(11)
(12)
(13)
Prawo indukcji Faradaya
E
d
dt
B
E
L
Indukowana w obwodzie SEM jest równa szybkości,
z jaką zmienia się strumień pola B, przechodzący przez
ten obwód. Znak „-” dotyczy kierunku indukowanej SEM.
•
•
(14)
Jeżeli podane równanie zastosować do zwojnicy o
N zwojach, to w każdym z nich pojawi się SEM i te
siły elektromotoryczne dodadzą się.
Strumień pola magnetycznego definiowany
jest w sposób następujący:
S
d
B
B
(14a)
(15)
t
N
t
N
E
B
B
)
(
i
S
S
S
S
S
S
N
N
N
N
N
N
N
S
v
W przewodzie zaczyna
płynąć prąd o natężeniu i.
Powstające pole
przeciwdziała ruchowi
magnesu.
Reguła Lenza
Linie pola B wybiegają z
bieguna
N
Przykład 2.
Jaka siła elektromotoryczna SEM powstanie w w obwodzie o
kształcie prostokąta przesuwanym z prędkością v w
jednorodnym polu magnetycznym B?
i
v
l
x
F
1
F
2
F
3
F
2
= F
3
B
B
=Blx
Blv
dt
dx
Bl
Blx
dt
d
dt
d
SEM
B
)
(
B
F
SEM
i
F
1
0
(16)
(17)
Jeżeli opór obwodu wynosi R, to w obwodzie zacznie płynąć
prąd o natężeniu i.
R
Blv
R
SEM
i
Siła F
1
przeciwdziałająca przesuwaniu się obwodu:
F
ilB
B l v
R
1
0
2 2
90
sin
Moc tracona:
P
F v
Blv
R
1
2
(
)
F
1
=il
B
(18)
(19)
(20)
Siła elektromotoryczna indukowana
w zmiennym polu magnetycznym
r
E
B
Szybkość zmian
pola B:
d
dt
B
E
r
2
l
d
E
dt
d
l
d
E
B
(21)
(21a)
(22)
ponieważ
zwój
Zmienne pole
magnetyczne wytwarza
pole elektryczne
Indukcyjność
Siła elektromotoryczna indukowana w cewce o N
zwojach:
Strumień pola magnetycznego cewki oddalonej od
wszelkich materiałów magnetycznych jest
proporcjonalny do natężenia prądu i płynącego przez
cewkę.
L -
indukcyjność, współczynnik proporcjonalności
między natężeniem prądu a strumieniem pola
magnetycznego cewki
(14a)
(23)
t
N
t
N
E
B
B
)
(
Li
B
E
d N
dt
L
di
dt
L
B
(
)
Korzystając z prawa Faradaya indukowaną SEM
można przedstawić następująco:
A stąd indukcyjność L
L
E
di
dt
L
Jednostką indukcyjności
jest
(24)
(25)
A
s
V
[H]
henr
1
Kierunek SEM można otrzymać z reguły Lenza.
a)
b)
W przewodzie a) prąd maleje, a w przewodzie b) rośnie.
E
L
-
siła elektromotoryczna w obu przypadkach przeciwdziała
zmianie prądu.
i
i
E
L
E
L
Wyobraźmy sobie, że
nawinęliśmy cewkę.
Zauważamy różne
kierunki siły
elektromotorycznej E
L
.
a) Aby zapobiec zmniejszeniu się prądu, indukowana SEM
musi mieć ten sam kierunek co prąd. b) Jeżeli prąd wzrasta,
indukowana SEM musi mieć kierunek przeciwny.
Obliczanie indukcyjności cewki.
L
N
i
B
Indukcyjność ściśle
nawiniętej cewki:
Dla długiego solenoidu o
długości l, przekroju S i
ilości zwojów na jednostkę
długości n:
N
nlBS
B
Na podstawie prawa
Ampere’a można
wykazać, że indukcja
B solenoidu wynosi:
B
ni
0
(26)
(27)
(28)
Wstawiając B do wyrażenia na
strumień
B
i przekszta
łcając
otrzymujemy L solenoidu:
N
n liS
B
0
2
L
N
i
n lS
B
0
2
Obwód RL
R -
wartość oporu
L -
indukcyjność
E - SEM baterii
E
L
- SEM cewki
i -
natężenie prądu
(29)
(30)
E
i
R
L
E
L
Na podstawie II prawa Kirchoffa zapisujemy równanie
obwodu w postaci
E
L
+ iR = E
L
di
dt
iR
E
Rozwiązaniem drugiego równania różniczkowego jest
gdzie
L
R
nazywamy stałą czasową
(31)
(32)
(33)
(34)
i
e
E
R
t
(
)
1
a z tego wynika, że
Szybkość z jaką gromadzi się energia w polu
magnetycznym dW
B
/dt:
dW
dt
Li
di
dt
B
odpowiednio
W
dW
Lidi
Li
B
B
W
i
B
0
0
2
1
2
dW
B
= Lidi
Po scałkowaniu tego wyrażenia
otrzymamy całkowitą energię
pola magnetycznego zawartą w
cewce o indukcyjności L.
(35)
(36)
Iloczyn prądu i napięcia
na cewce
Przykład 3
Wyznaczyć gęstość energii pola magnetycznego w
B
cewki o
długości l i przekroju S.
B
ni
0
L =
0
n
2
lS
w
W
Sl
B
B
w
Li
Sl
B
1
2
2
Po uwzględnieniu tych związków
otrzymujemy gęstość energii pola
magnetycznego w
B
.
w
B
B
1
2
2
0
(37)
(37a)
(38)
Indukcja wzajemna
E
i
1
i
2
E
2
Nawijamy teraz dwie
cewki, umieszczamy
je w blisko siebie.
Dwie cewki umieszczone blisko siebie mogą na siebie
oddziaływać wzajemnie. Stały prąd i
1
płynący w jednej cewce
utworzy strumień pola magnetycznego
obejmuj
ącego drugą
cewk
ę.
Je
żeli zmienimy prąd i
1
w czasie, to w drugiej cewce pojawi
si
ę siła elektromotoryczna E. Zjawisko to nazywamy
indukcj
ą
wzajemn
ą
.
Cewka 2 jest oddzielnym zamkniętym obwodem elektrycznym,
która obejmuje strumień
21
. Definiujemy indukcj
ę wzajemną
cewki 2 wzgl
ędem 1 jako:
M
N
i
21
2
21
1
M
21
i
1
= N
2
21
Po zróżniczkowaniu względem
czasu otrzymamy:
M
di
dt
N
d
dt
21
1
2
2
(38)
(39)
Prawa strona tego równania jest zgodnie z prawem Faradaya
siłą elektromotoryczną E
2
pojawiającą się w cewce 2 dzięki
zmianom prądu w cewce 1.
Jeżeli zamienimy cewki rolami - odłączymy źródło napięcia z
obwodu cewki 1, a umieścimy je w obwodzie cewki 2, która
teraz wytworzy strumień
12
, to w obwodzie cewki 1 pojawi
się SEM.
E
M
di
dt
1
12
2
SEM w jednej z cewek jest proporcjonalna do
szybkości zmian prądu w drugiej cewki. Zwykle też
M
21
= M
12
= M
E
M
di
dt
2
21
1
E
M
di
dt
1
12
2
(40)
(41)
Indukowane pole magnetyczne -
pełne prawo Ampere’a
i
+
-
E
R
B
Pole elektryczne E i indukowane pole magnetyczne B w
trakcie
ładowania kondensatora płaskiego.
Prąd i
dopływa do
okładek
Pole magnetyczne
jest wytwarzane
przez
zmienny
strumień pola
elektrycznego
przepływ
prądu
Wcześniej przy obliczaniu indukcji wokół przewodnika z
prądem zakładano, że strumień pola elektrycznego jest
równy zeru.
o
E
d
dt
To wyrażenie ma wymiar prądu i
nosi nazwę prądu przesunięcia.
(42)
B dl
i
d
dt
E
0 0
0
Prąd przesunięcia
B dl
i
i
p
0
(
)
Koncepcja prądu przesunięcia pozwala na utrzymanie
zasady ciągłości prądu.
E
q
S
0
dE
dt
S
dq
dt
S
i
1
1
0
0
Różniczkujemy
po czasie
i
d
dt
d ES
dt
S
dE
dt
p
E
o
0
0
(
)
(42a)
(43)
(44)
(45)
Prąd przesunięcia jest
równy prądowi
przewodzenia w obwodzie
zewnętrznym.
Przykład 4.
Obli
czyć prąd przesunięcia kondensatora o okładkach
kołowych, promień okładek R = 5 cm, pole elektryczne
zmienia się z szybkością dE/dt =10
12
V/(m•s).
dt
dE
R
dt
d
i
E
p
2
0
0
i
C
N
m
V
m s
A
p
( .
/ (
))( )( .
) (
/ (
))
.
8 9 10
5 0 10
10
0 07
12
2
2
2
2
12
i
S
S
i
i
p
(
)(
)
0
0
1
(46)
(47)
WEKTORY MAGNETYCZNE
• B - Indukcja magnetyczna – wszelkie
prądy
• H – Natężenie pola magnetycznego –
prądy rzeczywiste
• M – Namagnesowanie (dipolowy
moment magnetyczny na jednostkę
objętości)
(48)
l
d
M
i
l
d
B
0
Indukcja magnetyczna B
)
(
0
B
v
q
F
Def.
Jeżeli dodatni ładunek próbny
porusza się w stronę punktu P z
prędkością v i jeżeli na ten ładunek
działa siła F, to w punkcie p istnieje pole
B, gdzie B jest wektorem spełniającym
związek:
albo
B
l
i
F
Prawo Ampera może być zapisane w
sposób następujący:
0
l
d
H
gdzie H jest wektorem zależnym tylko od
prądów rzeczywistych. W próżni obowiązuje
zależność
(50)
, dla materiałów
magnetycznych
(51)
,
µ
m
– przenikalność
magnetyczna ośrodka.
H
B
o
H
B
m
0
(49)
(50)
(51)
W obecności materiałów magnetycznych
prawo ampera może być zapisane z
uwzględnieniem i
M
tzw. prądu
magnesującego:
M
i
i
l
d
B
0
Wprowadza się również wektor
magnetyczny M zwany magnetyzacją,
wówczas prawo Ampera przybiera
postać równoważną:
l
d
M
i
l
d
B
0
0
(52)
(48)
Równania Maxwella
• Prawo Gaussa dla
elektryczności
• Prawo Gaussa dla
magnetyzmu
• Prawo indukcji
Faradaya
• Prawo Ampere’a
dt
d
l
d
E
B
q
s
d
E
0
0
s
d
B
)
(
0
0
i
dt
d
l
d
B
E
(54)