Siła Lorentza

W przestrzeni istnieje pole

magnetyczne o indukcji B

. Na ładunek

próbny q

0

poruszający się w tej

przestrzeni z prędkością v działa siła F
wyrażona wzorem

)

(

0

B

v

q

F











(1)

Wartość bezwzględna tej siły wyraża się wzorem:

F

q vB



0

sin



x

y

z



F

B

v

F



B

F



v

(1a)

Działanie pola magnetycznego

na przewodnik z prądem

Prąd jest uporządkowanym ruchem ładunków

elektrycznych, należy się spodziewać, że pole
magnetyczne będzie wywierać siłę na przewodnik, przez
który płynie prąd. Jeżeli w jednostce objętości
przewodnika znajduje się n elektronów, to w przewodniku
o przekroju S i długości l zawartych jest

N = nSl

elektronów.

Na każdy elektron działa siła opisana wzorem

(1 )

.

Wartość wypadkowej siły działającej na przewodnik
wyniesie

F = evBsin



nSl

(2)

(3)

Natężenie prądu i można określić jako ładunek
przepływający w jednostce czasu przez przekrój poprzeczny
tego przewodnika S, możemy zapisać to wzorem

i = enSv

Z porównania wzorów

(2, 3, 4)

otrzymujemy

F = ilBsin



Wzór ten w zapisie wektorowym ma postać

F = i(l



B)

Na podstawie tego wzoru można wyznaczyć siłę
wzajemnego oddziaływania dwóch przewodników z
prądem.

(4)

(5)

(3a)

F

B

d

l

i

b

i

a

a

b

F

li i

d

b

o

a b







2

a

b

b

B

l

i

F











F

i lB

b

b

a



(6)

d

2

i

B

a

a





0



Prawo

Ampere’a

Cyrkulacja wektora natężenia pola

magnetycznego jest równa sumie
algebraicznej natężeń prądów płynących
wewnątrz konturu całkowania.

I

B

i

1

i

2

i

3

dl

B

C

i = i

1

- i

2

+ i

3

i -

suma prądów wewnątrz linii

C



B



dl =



0

i

C

Przenikalność magnetyczna próżni:



0

= 4



10-7 T



m/A

B - wektor indukcji magnetycznej
i -

natężenie prądu

dl -

wektor przesunięcia wzdłuż linii C

(7)

r

d

l

B



B



dl =



0

i = B



dl = B2



r

i

B

i

r







0

2

B || dl

(8)

(7a)

Indukcja magnetyczna wokół

przewodnika z prądem i

Prawo Biota - Savarta

P

r

dl

i

i

dB

3

0

4

r

r

l

d

i

B

d

















(9)

dB

i dl

r









0

2

4

sin

B

dB





Przykład 1.

Korzystając z prawa Biota - Savarta obliczyć wektor indukcji
magnetycznej B

dla dowolnego punktu leżącego na

zewnątrz prostoliniowego, cienkiego, nieskończenie
długiego przewodnika, przez który płynie prąd o natężeniu i.

(9a)

(10)

dB i B zapisane
skalarnie

i

dl



d



P

rd



r

sinθ

a

r



a

dl

rd







sin





B

i

a

d

i

a

i

a















 















0

0

0

0

0

4

4

2

sin

cos

dB

i dl

r









0

2

4

sin

(11)

(12)

(13)

 

Prawo indukcji Faradaya

E

d

dt

B

 



E

L

Indukowana w obwodzie SEM jest równa szybkości,

z jaką zmienia się strumień pola B, przechodzący przez
ten obwód. Znak „-” dotyczy kierunku indukowanej SEM.

•

•

(14)

Jeżeli podane równanie zastosować do zwojnicy o
N zwojach, to w każdym z nich pojawi się SEM i te
siły elektromotoryczne dodadzą się.

Strumień pola magnetycznego definiowany
jest w sposób następujący:









S

d

B

B





(14a)

(15)

t

N

t

N

E

B

B





















)

(

i

S

S

S

S

S

S

N

N

N

N

N

N

N

S

v

W przewodzie zaczyna
płynąć prąd o natężeniu i.

Powstające pole
przeciwdziała ruchowi
magnesu.

Reguła Lenza

Linie pola B wybiegają z

bieguna

N

Przykład 2.

Jaka siła elektromotoryczna SEM powstanie w w obwodzie o
kształcie prostokąta przesuwanym z prędkością v w
jednorodnym polu magnetycznym B?

           

           

           

           

           

           

i

v

l

x

F

1

F

2

F

3

F

2

= F

3

B



B

=Blx

Blv

dt

dx

Bl

Blx

dt

d

dt

d

SEM

B

















)

(

B



F



SEM



i

F

1



0

(16)

(17)

Jeżeli opór obwodu wynosi R, to w obwodzie zacznie płynąć
prąd o natężeniu i.

R

Blv

R

SEM

i





Siła F

1

przeciwdziałająca przesuwaniu się obwodu:

F

ilB

B l v

R

1

0

2 2

90





sin

Moc tracona:

P

F v

Blv

R





1

2

(

)

F

1

=il



B

(18)

(19)

(20)

       

       

       

       

       

       

     

Siła elektromotoryczna indukowana

w zmiennym polu magnetycznym






 

 
 





     

r

E

B

Szybkość zmian
pola B:

d

dt

B



 

E

r

2











l

d

E















dt

d

l

d

E

B





(21)

(21a)

(22)

 

ponieważ

zwój

Zmienne pole



magnetyczne wytwarza
pole elektryczne

Indukcyjność

Siła elektromotoryczna indukowana w cewce o N
zwojach:

Strumień pola magnetycznego cewki oddalonej od
wszelkich materiałów magnetycznych jest
proporcjonalny do natężenia prądu i płynącego przez
cewkę.

L -

indukcyjność, współczynnik proporcjonalności

między natężeniem prądu a strumieniem pola
magnetycznego cewki

(14a)

(23)

t

N

t

N

E

B

B





















)

(

Li

B





E

d N

dt

L

di

dt

L

B

 

 

(

)



Korzystając z prawa Faradaya indukowaną SEM
można przedstawić następująco:

A stąd indukcyjność L

L

E

di

dt

L

 

Jednostką indukcyjności
jest

(24)

(25)

A

s

V

[H]

henr

1





Kierunek SEM można otrzymać z reguły Lenza.

a)

b)

W przewodzie a) prąd maleje, a w przewodzie b) rośnie.
E

L

-

siła elektromotoryczna w obu przypadkach przeciwdziała

zmianie prądu.

i



i



E

L

E

L

Wyobraźmy sobie, że
nawinęliśmy cewkę.
Zauważamy różne
kierunki siły
elektromotorycznej E

L

.

a) Aby zapobiec zmniejszeniu się prądu, indukowana SEM
musi mieć ten sam kierunek co prąd. b) Jeżeli prąd wzrasta,
indukowana SEM musi mieć kierunek przeciwny.

Obliczanie indukcyjności cewki.

L

N

i

B





Indukcyjność ściśle
nawiniętej cewki:

Dla długiego solenoidu o
długości l, przekroju S i
ilości zwojów na jednostkę
długości n:

N

nlBS

B

 

Na podstawie prawa
Ampere’a można
wykazać, że indukcja
B solenoidu wynosi:

B

ni





0

(26)

(27)

(28)

Wstawiając B do wyrażenia na
strumień



B

i przekszta

łcając

otrzymujemy L solenoidu:

N

n liS

B

 



0

2

L

N

i

n lS

B









0

2

Obwód RL

R -

wartość oporu

L -

indukcyjność

E - SEM baterii

E

L

- SEM cewki

i -

natężenie prądu

(29)

(30)

E



i



R

L

E

L

Na podstawie II prawa Kirchoffa zapisujemy równanie
obwodu w postaci

E

L

+ iR = E

L

di

dt

iR

E

 

Rozwiązaniem drugiego równania różniczkowego jest

gdzie





L

R



nazywamy stałą czasową

(31)

(32)

(33)

(34)

i

e

E

R

t







(

)

1



a z tego wynika, że

Szybkość z jaką gromadzi się energia w polu
magnetycznym dW

B

/dt:

dW

dt

Li

di

dt

B



odpowiednio

W

dW

Lidi

Li

B

B

W

i

B











0

0

2

1

2

dW

B

= Lidi

Po scałkowaniu tego wyrażenia
otrzymamy całkowitą energię
pola magnetycznego zawartą w
cewce o indukcyjności L.

(35)

(36)

Iloczyn prądu i napięcia
na cewce

Przykład 3

Wyznaczyć gęstość energii pola magnetycznego w

B

cewki o

długości l i przekroju S.

B

ni





0

L =



0

n

2

lS

w

W

Sl

B

B



w

Li

Sl

B



1

2

2

Po uwzględnieniu tych związków
otrzymujemy gęstość energii pola
magnetycznego w

B

.

w

B

B



1

2

2

0



(37)

(37a)

(38)

Indukcja wzajemna

E

i

1

i

2

E

2

Nawijamy teraz dwie
cewki, umieszczamy
je w blisko siebie.

Dwie cewki umieszczone blisko siebie mogą na siebie
oddziaływać wzajemnie. Stały prąd i

1

płynący w jednej cewce

utworzy strumień pola magnetycznego



obejmuj

ącego drugą

cewk

ę.

Je

żeli zmienimy prąd i

1

w czasie, to w drugiej cewce pojawi

si

ę siła elektromotoryczna E. Zjawisko to nazywamy

indukcj

ą

wzajemn

ą

.

Cewka 2 jest oddzielnym zamkniętym obwodem elektrycznym,
która obejmuje strumień



21

. Definiujemy indukcj

ę wzajemną

cewki 2 wzgl

ędem 1 jako:

M

N

i

21

2

21

1





M

21

i

1

= N

2



21

Po zróżniczkowaniu względem
czasu otrzymamy:

M

di

dt

N

d

dt

21

1

2

2





(38)

(39)

Prawa strona tego równania jest zgodnie z prawem Faradaya
siłą elektromotoryczną E

2

pojawiającą się w cewce 2 dzięki

zmianom prądu w cewce 1.

Jeżeli zamienimy cewki rolami - odłączymy źródło napięcia z
obwodu cewki 1, a umieścimy je w obwodzie cewki 2, która
teraz wytworzy strumień



12

, to w obwodzie cewki 1 pojawi

się SEM.

E

M

di

dt

1

12

2

 

SEM w jednej z cewek jest proporcjonalna do
szybkości zmian prądu w drugiej cewki. Zwykle też

M

21

= M

12

= M

E

M

di

dt

2

21

1

 

E

M

di

dt

1

12

2

 

(40)

(41)

Indukowane pole magnetyczne -

pełne prawo Ampere’a

i

+

-









E

R

B

Pole elektryczne E i indukowane pole magnetyczne B w
trakcie

ładowania kondensatora płaskiego.

Prąd i
dopływa do
okładek



Pole magnetyczne
jest wytwarzane
przez

zmienny

strumień pola

elektrycznego

przepływ
prądu

Wcześniej przy obliczaniu indukcji wokół przewodnika z
prądem zakładano, że strumień pola elektrycznego jest
równy zeru.



o

E

d

dt



To wyrażenie ma wymiar prądu i
nosi nazwę prądu przesunięcia.

(42)

B dl

i

d

dt

E

 





 





0 0

0

Prąd przesunięcia

B dl

i

i

p

 







0

(

)

Koncepcja prądu przesunięcia pozwala na utrzymanie
zasady ciągłości prądu.

E

q

S





0

dE

dt

S

dq

dt

S

i





1

1

0

0





Różniczkujemy
po czasie

i

d

dt

d ES

dt

S

dE

dt

p

E

o













0

0



(

)

(42a)

(43)

(44)

(45)

Prąd przesunięcia jest
równy prądowi
przewodzenia w obwodzie
zewnętrznym.

Przykład 4.

Obli

czyć prąd przesunięcia kondensatora o okładkach

kołowych, promień okładek R = 5 cm, pole elektryczne
zmienia się z szybkością dE/dt =10

12

V/(m•s).

dt

dE

R

dt

d

i

E

p

2

0

0













i

C

N

m

V

m s

A

p

















( .

/ (

))( )( .

) (

/ (

))

.

8 9 10

5 0 10

10

0 07

12

2

2

2

2

12



i

S

S

i

i

p





(

)(

)





0

0

1

(46)

(47)

WEKTORY MAGNETYCZNE

• B - Indukcja magnetyczna – wszelkie

prądy

• H – Natężenie pola magnetycznego –

prądy rzeczywiste

• M – Namagnesowanie (dipolowy

moment magnetyczny na jednostkę
objętości)

(48)













l

d

M

i

l

d

B









0



Indukcja magnetyczna B

)

(

0

B

v

q

F











Def.

Jeżeli dodatni ładunek próbny

porusza się w stronę punktu P z
prędkością v i jeżeli na ten ładunek
działa siła F, to w punkcie p istnieje pole
B, gdzie B jest wektorem spełniającym
związek:

albo

B

l

i

F











Prawo Ampera może być zapisane w
sposób następujący:







0



l

d

H





gdzie H jest wektorem zależnym tylko od
prądów rzeczywistych. W próżni obowiązuje
zależność

(50)

, dla materiałów

magnetycznych

(51)

,

µ

m

– przenikalność

magnetyczna ośrodka.

H

B

o





H

B

m





0



(49)

(50)

(51)

W obecności materiałów magnetycznych
prawo ampera może być zapisane z
uwzględnieniem i

M

tzw. prądu

magnesującego:





M

i

i

l

d

B









0







Wprowadza się również wektor
magnetyczny M zwany magnetyzacją,
wówczas prawo Ampera przybiera
postać równoważną:













l

d

M

i

l

d

B









0

0





(52)

(48)

Równania Maxwella

• Prawo Gaussa dla

elektryczności

• Prawo Gaussa dla

magnetyzmu

• Prawo indukcji

Faradaya

• Prawo Ampere’a











dt

d

l

d

E

B





q

s

d

E











0









0

s

d

B





)

(

0

0

i

dt

d

l

d

B

E



















(54)