Wyznaczenie odstępu geoidy od elipsoidy
metodą grawimetryczną
Systemy wysokości w geodezji
- wzór Stokesa
]
3
[
)
,
(
4
1
∫∫
⋅
=
ds
S
Ag
R
N
ψ
ρ
γ
π
=
∂
∂
+
∂
∂
−
=
′
]
2
[
]
1
[
1
0
0
0
0
γ
γ
γ
P
Q
T
N
T
n
n
T
Ag
2
∑
∞
=
+
−
+
−
+
−
+
=
−
+
=
2
2
2
1
2
cos
ln
cos
3
3
cos
5
1
2
)
(cos
1
1
2
)
,
(
n
n
n
n
R
r
R
r
R
r
P
R
n
n
S
ρ
ψ
ρ
ρ
ψ
ρ
ψ
ρ
ψ
ρ
ψ
ρ
2
sin
2
ψ
R
r
=
dA
d
R
ds
ψ
ψ
sin
2
=
4
∫∫
s
R
γ
π
Konieczne założenia dla wzoru Stokesa
Uproszczenie dla stanowiska na geoidzie (
ρ
=R):
1
3
]
4
[
)
(
4
1
∫∫
⋅
=
s
ds
S
Ag
R
N
κ
γ
π
)
sin
ln(sin
2
cos
5
1
sin
6
cos
1
)
(
2
κ
κ
κ
κ
κ
κ
+
−
+
−
=
S
2
ψ
κ
=
]
5
[
sin
2
dA
d
R
ds
ψ
ψ
=
Odstęp dla szczególnych warunków:
1. W
0
≠
U
0
i spełnione pozostałe warunki (Pizzetti):
]
6
[
2
1
)
(
4
1
1
_
∫∫
−
⋅
=
s
Pizeetti
ds
S
Ag
R
N
κ
γ
π
2. W
0
≠
U
0
, różne środki mas i różne masy geoidy i elipsoidy (T
1
) (Pizzetti):
[
]
]
7
[
)
(
2
1
)
(
4
1
0
0
1
2
_
γ
γ
κ
γ
π
U
W
T
ds
S
Ag
R
N
Pizeetti
−
+
+
−
⋅
=
∫∫
4
[
]
]
7
[
1
)
(
4
2
_
γ
γ
κ
γ
π
ds
S
Ag
R
N
s
Pizeetti
+
+
−
⋅
=
∫∫
Odstęp dla funkcji Helmarta i współrzędnych biegunowych (
ψ
,A):
]
8
[
)
(
2
0
2
0
∫ ∫
⋅
=
π π
ψ
ψ
πγ
dA
d
F
Ag
R
N
]
9
[
2
sin
)
(
2
1
)
sin(
)
2
(
2
1
)
(
ψ
ψ
κ
κ
ψ
S
S
F
=
=
Uzupełnienie dla Ziemi elipsoidalnej (R
→
(a,b)):
]
10
[
4
sin
3
1
2
2
e
N
N
N
e
ϕ
−
+
=
Praktyczne wykorzystanie wzoru Stokesa:
]
11
[
)
(
2
0
1
1
1
∑∑ ∫ ∫
=
=
+
+
⋅
=
n
i
m
j
A
A
ij
i
i
j
j
dA
d
F
Ag
R
N
ψ
ψ
ψ
ψ
πγ
Wydzielenie składowych odstępu geoidy od elipsoidy:
]
12
[
DTM
Stokes
GM
N
N
N
N
+
+
=
)
2
;
0
(
)
;
0
(
π
π
ψ
∈
∈
A
∑∑
+
=
max
]
14
[
)
(sin
)
sin
cos
(
n
n
P
m
S
n
C
R
N
ϕ
λ
λ
]
13
[
DTM
Stokes
GM
wp
Ag
Ag
Ag
Ag
+
+
=
]
16
[
DTM
GM
wp
Stokes
Ag
Ag
Ag
Ag
−
−
=
∑∑
=
=
+
=
max
2
0
]
14
[
)
(sin
)
sin
cos
(
n
nm
m
nm
nm
GM
P
m
S
n
C
R
N
ϕ
λ
λ
∑
∑
=
=
+
−
=
max
2
0
]
15
[
)
(sin
)
sin
cos
(
)
1
(
n
n
nm
n
m
nm
nm
GM
P
m
S
n
C
n
G
Ag
ϕ
λ
λ
5
Uproszczenie dla niewielkiego obszaru -
aproksymacja geoidy płaszczyzną w bliskim otoczeniu (s):
]
17
[
2
2
2
sin
1
)
(
s
R
S
pł
≈
≈
≈
ψ
ψ
ψ
]
18
[
P
w
Ag
G
s
N
≈
]
19
[
2
2
2
y
x
G
Ag
N
xy
+
=
π
∫ ∫
⋅
=
π π
ψ
ψ
πγ
0
2
0
)
(
2
dA
d
F
Ag
R
N
(x,y)
6
]
20
[
)
(
0
0
0
ζ
ζ
−
+
=
−
∫
P
P
P
dh
H
H
W
A
A
P
f.p.Z.
Postulaty dla wyboru systemu wysokościowego:
Systemy wysokości w geodezji
7
W
0
W
A
O
B
W
i+1
W
i
g
i
dh
i
dh
1
dH
A
dH
P
(mareograf)
Wartość geopotencjalna i cecha (wysokość) geopotencjalna
W
A
A
P
W
i+1
W
i
f.p.Z.
g
i
dh
i
dH
A
dH
P
geop
i
8
W
0
O
B
dh
1
geoida
(mareograf)
Niwelacja: OAP lub OBP lub OP(dh)
→
różne wyniki
Wartość geopotencjalna punktu P:
]
21
[
0
0
∫
=
−
=
P
P
P
gdh
W
W
C
]
22
[
1
∫
=
=
P
P
g
gdh
C
H
9
]
22
[
1
0
∫
=
=
k
k
P
g
P
gdh
C
H
γ
γ
Podział na część geometryczną i geoidalną (g=
γ
k
+(g-
γ
k
) [23]):
∫
∫
−
+
=
P
k
k
P
g
P
dh
g
dh
H
0
0
)
(
1
γ
γ
]
24
[
)
(
1
.
.
0
∫
−
=
P
k
k
P
dh
g
G
P
γ
γ
S
P
R
P
g
R
P
G
P
h
H
−
−
−
+
∆
=
∆
.
.
]
25
[
)
(
1
.
.
∑
∆
−
=
−
R
P
i
i
k
k
R
P
h
g
G
P
γ
γ
Dla przewyższenia:
Własności wysokości geopotencjalnej i teoretyczna odchyłka ciągu
zamkniętego
10
Wysokość (cecha) dynamiczna – redukcja wysokości
]
26
[
1
0
45
0
45
0
∫
=
=
P
P
d
P
gdh
C
H
γ
γ
Wysokość jest zatem odniesiona do powierzchni elipsoidy poziomowej na
równoleżniku 45
°
.
]
27
[
1
45
45
45
∫
=
−
=
∆
−
R
R
P
d
R
P
gdh
C
C
H
γ
γ
γ
11
]
27
[
45
0
45
0
45
0
∫
=
−
=
∆
−
P
R
P
gdh
H
γ
γ
γ
]
28
[
)
(
1
45
0
45
0
∑
∑
∆
−
+
∆
=
∆
−
R
P
R
P
i
i
d
R
P
h
g
h
H
γ
γ
]
29
[
)
(
1
.
45
0
45
0
∑
∆
−
=
−
R
P
i
R
P
h
g
D
P
γ
γ
Własności:
Wysokości ortometryczne
]
30
[
1
0
0
∫
=
−
=
=
P
P
P
P
P
P
o
P
gdh
g
g
W
W
g
C
H
W
A
A
P
W
f.p.Z.
dh
M
12
W
0
O
B
W
i+1
W
i
g
i
dh
i
dh
1
H
o
P
geoida
geop
i
(mareograf)
g
p
g
Pi
M
∫
∫
∫
=
=
P
B
P
P
o
i
P
P
dh
g
dH
g
gdh
0
0
dH
o
Problem obliczenia przeciętnej wartości przyspieszenia:
1.
Metoda Helmerta
]
31
[
)
)(
2
(
2
)
(
M
P
M
P
P
M
H
H
G
H
H
h
g
g
g
−
⋅
−
−
∂
∂
+
=
σ
π
4
GM
Wykorzystanie jednorodnej kulistej Ziemi (R
Z
,
σ
Z
):
13
]
34
[
2
.
2
R
g
h
g
P
≈
∂
∂
]
33
[
2
3
)
(
2
)
(
2
Z
M
P
P
Z
M
P
P
P
M
P
R
H
H
g
H
H
g
g
G
H
H
G
−
=
−
=
−
σ
σ
σ
π
σ
π
]
32
[
3
4
.
1
2
Z
Z
Z
Z
P
R
G
R
GM
g
σ
π
=
=
]
35
[
3
2
1
−
−
−
+
=
Z
M
P
Z
Z
M
P
P
M
R
H
H
R
H
H
g
g
σ
σ
Przeciętna wartość przyspieszenia:
]
36
[
3
2
1
1
0
0
P
M
P
Z
M
P
Z
Z
M
P
o
P
P
P
M
M
o
P
M
G
dH
R
H
H
R
H
H
H
g
dH
g
H
g
=
−
−
−
+
=
=
∫
∫
σ
σ
]
37
[
1
2
3
1
+
=
−
+
=
Z
o
P
P
Z
o
P
Z
Z
o
P
P
P
R
H
g
R
H
R
H
g
G
τ
σ
σ
]
38
[
2
3
1
Z
σ
σ
τ
−
=
14
]
39
[
1
0
∫
=
P
P
o
P
gdh
G
H
Wysokość ortometryczna:
Wydzielenie części geometrycznej i geoidalnej:
]
40
[
)
(
)
(
C
i
P
C
P
i
g
g
G
g
G
g
−
+
−
+
=
]
41
[
)
(
1
1
1
1
∑
∑
∑
=
=
=
∆
−
+
∆
−
+
∆
=
n
i
i
C
i
P
n
i
i
P
P
C
n
i
i
o
P
h
g
g
G
h
G
G
g
h
H
)
(
.
0
m
np
const
g
C
ϕ
γ
=
=
Różnica wysokości ortometrycznych oraz teoretyczna odchyłka zamknięcia
ciągu niwelacyjnego
]
42
[
1
2
2
∑
∑
∆
−
+
+
∆
=
∆
−
R
P
R
P
i
i
R
Z
R
P
Z
P
i
o
R
P
g
h
G
H
R
H
R
h
H
τ
τ
(
)
]
43
[
1
1
.
2
2
∑
∆
−
−
=
−
R
P
i
i
R
R
P
P
Z
R
P
g
h
G
H
H
R
O
P
τ
τ
15
2. Metoda Ramsayera i Niethammera – dla obszarów górskich i wysokogórskich
a) Inny sposób obliczania przyspieszenia przeciętnego na drodze geoida-f.p.Z.
]
44
[
2
T
T
B
wp
R
R
Rg
Rg
g
G
′
+
+
+
+
=
dla M czyli 1/2H; brak R
T
we wzorach Helmerta
b) Inny sposób sumowania
∑
=
∆
−
n
i
i
C
i
h
g
g
1
)
(
]
45
[
)
(
)
(
)
(
∫
∫
−
−
−
−
=
−
R
P
P
C
P
R
C
R
R
P
C
Hdg
H
g
g
H
g
g
dh
g
g
16
]
46
[
)
(
1
1
1
1
∑
∑
∑
=
=
=
∆
−
+
∆
−
+
∆
=
n
i
i
C
i
P
n
i
i
P
P
C
n
i
i
o
P
h
g
g
G
h
G
G
g
h
H
∫
∫
−
−
−
−
=
−
R
P
P
c
P
R
c
R
R
P
c
Hdg
H
g
g
H
g
g
dh
g
g
)
(
)
(
)
(
]
48
[
)
(
1
∑
∑
∑
∆
−
+
∆
−
+
−
+
∆
=
∆
n
R
R
c
R
P
n
o
h
g
g
h
G
g
H
G
G
h
H
]
47
[
1
2
2
1
∑
∑
∆
−
∆
−
∆
+
−
+
∆
=
∆
=
R
P
i
i
R
TR
P
TP
R
Z
R
P
Z
P
n
i
i
o
P
g
H
G
H
G
g
H
G
g
H
R
H
R
h
H
τ
τ
P.O. - Ramsayer
17
]
48
[
)
(
1
1
1
∑
∑
∑
=
=
∆
−
+
∆
−
+
−
+
∆
=
∆
i
i
c
i
R
P
i
R
R
c
P
R
R
P
i
i
o
P
h
g
g
G
h
G
G
g
H
G
G
G
h
H
P.O. - Niethammer
Wysokości normalne Mołodeńskiego – system wysokości normalnych
]
49
[
1
0
0
∫
=
−
=
=
P
P
P
P
P
P
n
P
gdh
W
W
C
H
γ
γ
γ
W
P
P
W
f.p.Z.
U
]
50
[
2
0
0
Z
n
R
H
h
γ
γ
γ
γ
γ
−
=
∂
∂
−
=
18
W
0
O
B
W
2
W
1
g
i
dh
i
dH
n
geoida
elipsoida
(mareograf)
U
1
γγγγ
i
sferop
1
U
2
U
0
γγγγ
0
Wysokości normalne Mołodeńskiego
]
51
[
0
0
0
T
P
P
U
U
U
U
W
W
−
=
−
≠
−
W
P
P
W
f.p.Z.
T
γγγγ
T
U
U
T
= W
P
19
W
0
O
B
W
2
W
1
g
i
dh
i
dH
n
geoida
elipsoida
(mareograf)
U
1
γγγγ
i
γγγγ
T
U
2
U
0
γγγγ
0
Wysokości normalne Mołodeńskiego
W
P
P
W
f.p.Z.
T
γγγγ
T
U
U
T
= W
P
(t)
]
52
[
1
0
0
∫
=
−
=
P
P
P
T
n
P
gdh
U
U
H
γ
γ
]
51
[
0
0
T
P
P
U
U
W
W
C
−
=
−
=
20
W
0
O
B
W
2
W
1
g
i
dh
i
dH
n
geoida
elipsoida
(mareograf)
U
1
γγγγ
i
γγγγ
T
U
2
U
0
γγγγ
0
γγγγ
0P
N
P
]
54
[
)
(
)
(
0
dh
g
dh
dh
gdh
U
U
dC
T
γ
γ
γ
γ
−
+
−
+
=
=
−
=
]
53
[
2
γ
γ
γ
γ
γ
γ
d
H
dC
d
C
dC
dH
n
n
−
=
−
=
∫
=
−
=
=
P
P
P
P
P
P
n
P
gdh
W
W
C
H
0
0
1
γ
γ
γ
Własności telluroidy (t):
21
]
56
[
dh
g
d
H
dh
dh
dH
n
n
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
−
+
−
−
+
=
]
55
[
)
(
)
(
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
dC
dh
g
dh
dh
gdh
=
−
+
−
+
=
]
56
57
[
=
−
+
−
−
+
=
dh
g
d
H
dh
dh
dH
n
n
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
]
58
[
T
P
g
Ag
g
γ
γ
−
=
=
−
]
59
[
)
(
)
(
0
0
0
0
∫
∫
−
≈
−
P
P
P
P
dh
dh
γ
γ
γ
γ
γ
γ
h
H
n
−
22
]
60
[
0
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
d
h
d
H
dh
n
−
=
−
−
]
61
[
0
dh
g
d
h
dh
dH
n
γ
γ
γ
γ
−
+
−
=
]
62
[
.
.N
P
h
H
i
R
P
n
R
P
+
∆
=
∆
∑
−
]
63
[
)
(
1
)
(
1
.
.
0
0
i
R
P
i
R
P
i
i
P
R
P
h
g
h
N
P
∑
∑
∆
−
+
−
−
=
−
γ
γ
γ
γ
γ
h
i
– średnia wysokość odcinka (i)
23
]
64
[
)
(
.
.
0
0
0
0
R
B
P
A
i
R
P
P
i
R
P
H
H
h
g
N
P
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
−
−
−
+
∆
−
=
∑
−
]
65
[
.
.
.
.
45
0
45
0
45
0
45
0
R
B
P
A
R
P
R
P
H
H
D
P
N
P
γ
γ
γ
γ
γ
γ
−
−
−
+
=
−
−
Schemat dla wysokości normalnej i elipsoidalnej
24
]
66
[
P
n
P
P
H
h
ζ
+
=
Zamiana wysokości w różnych systemach wysokościowych
X
P
X
P
enie
przyspiesz
C
H
)
(
=
]
67
[
)
(
X
X
P
P
enie
przyspiesz
H
C
⋅
=
]
68
[
45
,
0
P
n
P
P
o
P
d
P
P
H
G
H
H
C
γ
γ
⋅
=
⋅
=
⋅
=
γ
γ
γ
γ
25
]
69
[
45
,
0
45
,
0
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
P
d
P
P
P
P
d
P
P
P
n
P
o
P
G
H
G
H
G
H
H
γ
γ
γ
γ
γ
AB
niw
AB
n
AB
N
P
h
H
.
.
+
∆
=
∆
AB
niw
AB
o
AB
O
P
h
H
.
.
+
∆
=
∆
]
70
[
.
.
.
.
AB
AB
o
AB
n
AB
O
P
N
P
H
H
−
=
∆
−
∆
A
A
n
A
h
H
ζ
−
=
B
B
n
B
h
H
ζ
−
=
]
71
[
B
A
n
AB
H
ζ
ζ
−
=
∆
A
A
o
A
N
h
H
−
=
B
B
o
B
N
h
H
−
=
]
72
[
B
A
o
AB
N
N
H
−
=
∆
Odstęp quasi-geoidy od geoidy
26
]
73
[
)
(
)
(
A
A
B
B
B
A
B
A
o
AB
n
AB
N
N
N
N
H
H
ζ
ζ
ζ
ζ
−
−
−
=
+
−
−
=
∆
−
∆
]
74
[
)
(
)
(
A
N
B
N
o
AB
n
AB
H
H
ζ
ζ
∆
−
∆
=
∆
−
∆
]
75
[
.
.
.
.
)
(
)
(
AB
AB
A
N
B
N
O
P
N
P
−
=
∆
−
∆
ζ
ζ
]
76
[
)
(
)
(
45
0
45
0
B
B
B
A
A
A
A
N
B
N
H
G
H
G
γ
γ
γ
γ
ζ
ζ
−
−
−
=
∆
−
∆
]
77
[
o
N
H
G
γ
γ
ζ
−
=
∆
Rozwinięcie wzoru i uproszczenia:
o
n
B
o
o
N
H
H
h
Rg
H
h
g
g
H
G
γ
γ
γ
γ
γ
ζ
)
2
(
2
0
∂
∂
−
−
+
∂
∂
+
=
−
=
∆
Γ
=
∂
∂
=
∂
∂
h
G
h
g
γ
=
Γ
−
−
+
−
+
=
Γ
−
−
+
+
=
∆
o
n
B
o
o
o
n
B
o
N
H
H
Rg
H
G
GH
g
H
H
Rg
H
G
g
γ
γ
γ
γ
ζ
)
2
(
2
)
2
(
2
0
0
=
−
−
+
Γ
+
=
−
Γ
+
−
+
+
=
o
o
o
B
o
o
n
B
wp
H
H
G
N
H
Ag
H
H
G
H
Rg
Rg
g
ζ
γ
2
2
2
2
)
(
0
o
o
o
B
H
N
H
G
H
Ag
ζ
)
(
)
(
2
−
Γ
+
−
Γ
+
27
=
=
=
o
o
H
H
γ
γ
2
2
2
2
B
H
H
H
γ
γ
γ
2
2
+
+
]
78
[
2
2
)
(
2
o
N
o
o
B
N
H
H
G
H
Ag
γ
γ
γ
ζ
ζ
∆
⋅
Γ
+
−
Γ
+
=
∆
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
3 0 Wyznaczenie odstępu geoidy od elipsoidy, systemy wysokości fizycznych
(Temat 2 Wyznaczenie odstępu quasi geoidy od geoidy na punktach sieci geodynamicznej)
Temat2 wyznaczenie odstepu quasi geoidy od geoidy na pkt sieci geodynamicznej
macierze i wyznaczniki lista nr Nieznany
OI05 Wyznaczanie modulu sztywno Nieznany
31 Srodki metodyczne, gajdzisnk Nieznany
31 przetwarzanie zdjec cyfrowyc Nieznany (2)
30 31 ROZ w spr informacji Nieznany (2)
III15 Wyznaczanie stosunku em i Nieznany
OI12 Wyznaczanie stosunku cpcv Nieznany
31 Dobieranie maszyn i urzadzen Nieznany
1 wyznaczenie silid 10116 Nieznany (2)
31 10 id 34922 Nieznany
OI14 Wyznaczanie sily elektromo Nieznany
31 Wyznaczanie stałej Rydberga i stałej Plancka z widma liniowego wodoru
Cw 31 Symulacja zaklocen elektr Nieznany
31 Sortowanie szybkie (Quicksor Nieznany (2)
więcej podobnych podstron