Spis zagadnień egzaminacyjnych z przedmiotu:

27. Pierścienie, pierścienie wielomianów, pierścienie Z

, homomorfizm pierścieni.

Pierścieniem abstrakcyjnym nazywamy algebrę <S,+,

> wyposażoną w relację równości i taką że:

1. <S,+> jest grupą abelową
2. <S,



> jest grupoidem

3. zachodzi rozdzielność działania „•” względem działania „+”.

x,y,z: x(y+z)=(xy)+(xz)

Jeżeli dodatkowo:
x,yS: xy=yx, to pierścień <S,+,



> nazywamy abelowym (przemiennym).

<S,

> jest półgrupą to pierścień <S,+,



> nazywamy łącznym.

<S,

> jest monoidem to pierścień <S,+,



> nazywamy pierścieniem z jednością (unitarnym).

istnieją elementy x,yєS takie, że x≠0, y≠0, ale x•y=0, to x i y nazywamy dzielnikami zera.
Pierścień nie posiadający dzielników zera nazywamy pierścieniem całkowitym.

Pierścień wielomianów jest pierścieniem całkowitym.
Jeśli <S/{0},



> jest półgrupą to pierścień <S,+,



> jest całkowity.

Z[x] - pierścień wielomianów wielomianów o współczynnikach całkowitych
Q[x] - pierścień wielomianów wielomianów o współczynnikach wymiennych
R[x] - pierścień wielomianów wielomianów o współczynnikach rzeczywistych

C[x] - pierścień wielomianów wielomianów o współczynnikach zespolonych

Przykłady pierścieni







0 1 2 3



0 1 2 3

dzielnik zera : 2

0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 2 3 0

1 0 1 2 3

2 3 0 1

2 0 2 0 2

3 0 1 2

3 0 3 2 1







0 1 2 3 4



0 1 2 3 4

brak dzielników zera

0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 2 3 4 0

1 0 1 2 3 4

2 3 4 0 1

2 0 2 4 1 3

3 4 0 1 2

3 0 3 1 4 2

4 0 1 2 3

4 0 4 3 2 1

Homomorfizm pierścieni:

Niech

)

(





)

(





będą pierścieniami. Funkcję h: AB nazywamy homomorfizmem pierścienia A w pierścień B, jeśli

spełnia ona warunki:

1. h(a

a

)=h(a

)

h(a

)

2. h(a

a

)=h(a

)



h(a

)

3. h(0)=e

4. h(1)=e

28. Ciała, ciało Galois, rozszerzenie ciała, ciało ułamków nad pierścieniem.

Ciałem nazywamy taki pierścień <S,+,



,0,1> w którym <S\{0},







> jest grupą.

Jeżeli w ciele „

” jest przemienne to ciało nazywamy polem.

Niezerowy pierścień utylitarny (z 1) jest ciałem wtedy i tylko wtedy gdy każdy jego element różny od 0 posiada element

odwrotny. Każdy skończony pierścień całkowity jest ciałem.

Ciało Galois – ciało mające skończoną liczbę elementów
Tw. o reprezentacji: Pierścień <Z



,0,1> jest ciałem wtedy i tylko wtedy gdy n jest liczbą pierwszą. Takie ciało

nazywamy ciałem Galois GF(n).

Każde ciało skończone jest rozszerzeniem pewnego ciała Galois GF(n), co więcej każde z tych rozszerzeń liczy q=n

elementów, gdzie n jest liczbą pierwszą a m





Przykłady ciała Galois:

GF(2)

0 1



0 1

0 0 0

1 0

1 0 1

GF(4)

0 1 A B



0 1 A B

0 0 0 0 0

1 0 B A

1 0 1 A B

A A B 0 1

A 0 A B 1

B B A 1 0

B 0 B 1 A

Ciało ułamków nad pierścieniem
Weźmy pierścień <S,+> - jest on łączny, przemienny i bez dzielników zera oraz rozważmy równanie q



x=p gdzie p

S

S\{0}. Bez względu czy istnieje rozwiązanie tego równania definiujemy x=(p,q) x=p/q

T=S(S\{0}). W zbiorze T definiujemy relację (p,q)~(r,s)ps=qr.

Własności tej relacji:
1. zwrotność (p,q)~(p,q) p

q=qp

2. symetria (p,g)~(r,s)(r,s)~(p,g) p

s=qrrq=sp

3. przechodniość (p,g)~(r,s)

(r,s)~(x,y)(p,g)~(x,y) ps=qr ry=sx psry=qrsx (sr)(py)=(sr)(qx) (p,g)~(x,y)

Definicja ta jest relacją równoważności i dzieli zbiór T na klasy abstrakcji. Każdy element klasy abstrakcji nazywamy ułamkiem

















działanie to indukuje działanie w zbiorze T.

Zbiór <T|n,+,

,

,> jest ciałem. Nazywamy je ciałem ułamków nad pierścieniem i oznaczamy <Fr(S),+,

>.

29. Określić przestrzeń liniową (

wektorową) i podać przykłady przestrzeni liniowej.

Niech będzie dane ciało przemienne <S,+,

,0,1>. Ciało to nazywamy ciałem skalarów (zazwyczaj R lub C) i niech będzie

dany zbiór V, który nie jest zbiorem pustym. W zbiorze V określone są 2 działania:
1.

:(VV)



V

. 



V)



V

takie że (własności działań):
1. <V,

,> - jest grupą abelową z elementem neutralnym 



v,s

S





V





v=r



v)=(r







r,s

S





u,v

V

(r+s)



v=(r



(s



v)=(r



(r



Wówczas system <S,V,

,



> nazywamy przestrzenią wektorową nad ciałem S.

Jeżeli v

V to v nazywamy wektorem.

Przykłady przestrzeni wektorowych:
a) macierze np. 3



1 0 0 1

1 1 0 1

0 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 0

1 0 1 0

0 0 0 1

1 0 1 1







 





 





 





 



1 0 1 1

0 0 0 0

1 0 0 1

0 0 0 0

1 1 1 1

0 0 0 0







 





 





 





 



b) ciągi n-elementowe R

,…,x

] [y

,…,y

]

c) ciągi nieskończone R



d) dowolne ciało S i V={v}

30. Liniowa zależność i liniowa niezależność wektorów.

Niech będą dane wektory v

,…,v

V i s

,…,s

S.

Sumę







nazywamy liniową kombinacją wektorów v

,…,v

Jeżeli z równania







 wynika, że s

=…=s

=0 to o wektorach v

,…,v

mówimy, że są liniowo niezależne.

Jeżeli istnieje układ skalarów s’

,s’

,…,s’

s

0 , ale







to v

,…,v

są liczbowo niezależne.

Układ wektorów (v

,…,v

)=U jest liniowo zależny w tedy i tylko w tedy gdy istnieje wektor tego układu, który jest

kombinacją liniową pozostałych wektorów.

31. Powłoka liniowa układu wektorów.

Niech będzie dany układ wektorów U. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu U nazywamy powłoką

liniową wektorów tego układu i oznaczamy przez span(u)

lub lin(u).

32. Wymiar przestrzeni liniowej i jej baza.

Bazą przestrzeni liniowej V nazywamy układ liniowo niezależnych wektorów B taki, że span(B)=V. Bazą przestrzeni

wektorowej nazywamy maksymalny układ liniowo niezależnych wektorów tej przestrzeni tzn. taki, że dodanie do tego układu
dowolnego wektora powoduje utratę liniowej niezależności.

W przestrzeni liniowej liczba wektorów bazowych jest stała i nazywamy ją wymiarem tej przestrzeni. |B|=n dim(V)=n.

Jeżeli V jest przestrzenią wektorową i B jest bazą tej przestrzeni, a jej wymiar jest n, tzn. że baza składa się z wektorów
B=( v

,…,v

). Każdy wektor przestrzeni V ma dokładnie jedno przedstawienie w postaci kombinacji liniowej wektorów

bazowych v=







. Współczynniki przedstawienia danego wektora w postaci kombinacji liniowej wektorów danej bazy

nazywamy współrzędnymi tego wektora. Liczba współrzędnych jest równa liczbie wektorów bazowych a zatem równa jest

wymiarowi przestrzeni.

Baza standardowa – baza do której można odnosić wszystkie inne bazy.

33. Omów zagadnienie przejścia z bazy do bazy przestrzeni liniowej.

Niech będą dane dwie bazy przestrzeni n-wymiarowej

=(



,…,



)

=(



,…,



). Każdy wektor



z bazy

jest

kombinacją liniową wektorów bazy











, j=1,2,…,n. Zatem istnieje macierz przejścia z bazy do bazy -

macierz

kwadratowa stopnia n równa wymiarowi przestrzeni (liczbie wektorów bazowych przestrzeni) umożliwiająca przeliczenie

współrzędnych wektora w jednej bazie na współrzędne w innej bazie.

































A - macierz przejścia z bazy

 do bazy 

Własności macierzy przejścia z bazy do bazy:
1. macierz przejścia z dowolnej bazy

 do dowolnej bazy  tej samej przestani liniowej V jest nieosobliwa (odwracalna).

2. jeśli A jest macierzą przejścia z bazy

 do bazy  A: (



,…,



)

B(



,…,



) a macierz B jest macierzą przejścia z

bazy

 do bazy

 B:

(



,…,



)

 (



,…,



) to macierz B



A jest macierzą przejścia z bazy

 do bazy





B): (



,…,



)

 (



,…,



)

3. Jeżeli A jest macierzą przejścia z bazy

 do bazy  A: (



,…,



)

(



,…,



) to macierz odwrotna A

-1

jest macierzą

przejścia od bazy

 do bazy  A

-1

: (



,…,



)

(



,…,



)

34. Określić odwzorowanie (

przekształcenie) liniowe.

Niech U i V będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Przekształcenie A:U

V nazywamy liniowym, gdy jest ono

homomorfizmem przestrzeni U w przestrzeń V, czyli:
1.

x,yU A(x+y)=A(x)+A(y) - (addytywność),

cK xU A(cx)=cA(x) - (jednorodność).

Jądrem przekształcenia liniowego A:U

V nazywamy zbiór Ker(A)={xU : Ax=}. Jądro nie może być zbiorem pustym.

Należy do niego na pewno wektor zerowy.

35. Związek odwzorowania liniowego z macierzą.

Dla każdego przekształcenia istnieje macierz zwana macierzą przekształcenia taka że f(x)=A

v (A- macierz, v-wektor) związek

ten pokazuje że macierz jest funkcją.

36. Wektor własny przekształcenia liniowego.

Niech A będzie przestrzenią liniową nad ciałem K i niech x

A. Jeżeli równanie Ax=x , gdzie C, jest spełnione to wektor x

nazywamy wektorem własnym macierzy (przekształcenia), a liczbę

 – wartością własną macierzy.

x-x=

x-Ex=

A-E)x=

Jest to macierz układu n równań z n niewiadomymi. Macierzą współczynników tego układu jest macierz A-

E, a układ jest

jednorodny zatem ma rozwiązanie. Jeżeli jest to układ Cramera to ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest to rozwiązanie
zerowe, ale wektor zerowy nie może być wektorem własnym. Wynika z tego, że powyższy układ nie jest układem Cramera.

























































37. Równanie charakterystyczne macierzy i jego pierwiastki – wartości własne macierzy.

Wyznacznik macierzy A-

E w postaci rozwiniętej jest wielomianem zmiennej  stopnia n:

















(-1)



n-1



n-1

+ C

n-2



n-2

+…+ C

+C

Równanie charakterystyczne macierzy: (-1)



n-1



n-1

+ C

n-2



n-2

+…+ C

+C

Pierwiastki tego równania nazywamy wartościami własnymi macierzy.

38. Podać twierdzenie Ceyleya – Hamiltona (dowód).

Jeżeli A jest macierzą kwadratową, a wielomian C(

) jest wielomianem charakterystycznym to C(A)=0

(macierz zerowa)

Dowód:
Niech będzie dana macierz A=[a

]

m

i wieloman charakterystyczny macierzy A C(

)=C



+ C

n-1



n-1

+…+ C

+C

=(-1)

)

det(A-

E)=C()

Weźmy macierz A-

E i jej dopełnienie algebraiczne. Dopełnienie algebraiczne A

macierzy A-

E jest wielomianem zmiennej 

stopnia co najwyrzej n-1.
A

=(A-

E)

[(A-

E)]

n-1



n-1

n-2



n-2

+…+D

+D

, gdzie D

są macierzami stopnia



(A-

E)[(A-E)]

=det(A-

E)E=C(E

E=(A-E)(D

n-1



n-1

n-2



n-2

+…+D

+D

)

Z drugiej strony C(

E=(C

E)

+(C

n-1

E)

n-1

+…+(C

E)+C

E

-D

n-1



= C

E

-D

n-1

= C

E /A

D

n-1

- D

n-2

= C

n-1

E /A

n-1

D

n-2

- D

n-3

= C

n-2

E /A

n-2

… A

D

- D

= C

E /A

D

= C

E

- A

D

n-1

= C

E A

D

n-1

- A

n-1

D

n-2

= C

n-1

A

n-1

D

n-2

- A

n-2

D

n-3

= C

n-1

A

n-2

… A

D

- A

D

= C

A

D

= C

E

0= C

A

+ C

n-1

A

n-1

+…+ C

A +C

E

C(A)=0

Zastosowanie twierdzenia Caley’a-Hamiltona: dzięki temu twierdzeniu możemy w łatwy sposób wyznaczyć wartości

wielomianu.

39. Określić iloczyn skalarny w przestrzeni liniowej.

Iloczyn skalarny wektorów wyraża się wzorem



cos











Wynik iloczynu skalarnego jest liczbą.
Iloczyn skalarny wyrażony przez współrzędne wektorów a i b wygląda następująco:









]

[

]

[









Jeżeli dwa wektory są prostopadłe (ortogonalne) to iloczyn skalarny jest równy 0.

40. Macierze podobne. Diagonalizacja macierzy.

Dwie macierze kwadratowe A i B (n

n) nazywamy macierzami podobnymi jeżeli istnieje macierz nieosobliwa P (nn) taka,

że B=P

-1

AP. Macierze podobne A i B są macierzami tego samego odwzorowania liniowego A:R

R

, B:R

R

ale macierz A

jest macierzą przekształcenia w bazie standardowej a macierz B jest macierzą tego samego przekształcenia ale w innej bazie,

zaś macierz P jest macierzą przejścia z bazy do bazy.

Jeżeli macierz A(n

n) jest podobna do macierzy diagonalnej D to mówimy że macierz A jest diagonalizowalną. Proces

znajdowania macierzy D i P nazywamy diagonalizacją macierzy.

Macierz kwadratowa A(n

n) jest podobna do macierzy diagonalnej w tedy i tylko w tedy gdy istnieje baza B={w

,…,w

}

złożona z wektorów własnych macierzy A.

41. Określić działania na wektorach w przestrzeni trójwymiarowej.

Wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów.
Cechy wektora:

- kierunek (kierunek prostej na której leży wektor) 2 wektory mają ten sam kierunek, jeżeli leżą na dwóch równoległych

prostych.

- zwrot (jeden z dwóch sposobów uporządkowania punktów na prostej)
- odległość (odległość początku od końca wektora) szczególnym przypadkiem jest wektor zerowy. Jego długość jest równa 0 i

może przyjąć dowolny kierunek i zwrot.

Działania na wektorach:
- dodawanie wektorów (v

, v

) + (u

, u

) =(v

, v

+ u

) , reguła równoległoboku.

- mnożenie wektora przez liczbę







- iloczyn skalarny



cos





























Własności:
-













 

- ortogonalność

- iloczyn skalarny jest dodatni gdy kąt między wektorami jest z przedziału (0,



) ujemny gdy (





- iloczyn wektorowy – iloczynem wektorowym 2 wektorów nazywamy wektor, który jest prostopadły do płaszczyzny

utworzonej przez te wektory, a jego zwrot jest zgodny z regułą śruby prawostronnej. Długość wektora wyraża się wzorwm:



sin















Własności:
-



 v









- kolinearność

- wartość liczbowa iloczynu wektorowego jest równa wartości liczbowej pola powierzchni równoległoboku rozpiętego przez

wektory, które są czynnikami tego iloczynu wektorowego.

- iloczyn mieszany











)

(

Własności:
-

)

(















wektory



leżą w jednej płaszczyźnie – komplanarność

- wartość bezwzględna iloczynu mieszanego jest równa objętości równoległościanu rozpiętego przez te wektory

42. Określić wektor w postaci analitycznej (w układzie kartezjańskim).







, gdzie wektory



są wektorami jednostkowymi osi x, y, z.

43. Podać sposoby wyliczania iloczynu wektorowego wektorów.







44. Warunki równoległości i prostopadłości wektorów.

Wektory są prostopadłe gdy ich iloczyn skalarny jest równy 0 :













 

- ortogonalność

Wektory są równoległe gdy ich iloczyn wektorowy jest równy 0 :



 v









- kolinearność

45. Podać znane postaci równania płaszczyzny. Wyprowadzić równanie parametryczne płaszczyzny.

- równanie normalne płaszczyzny przechodzącej przez punkt P

=(x

) i prostopadłej do wektora



=[A,B,C] ma postać :

: A(x-x

)+B(y-y

)+ C(z-z

)=0

- równanie ogólne płaszczyzny

: Ax+By+Cz+D=0 A

- równanie parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez punkt P

=(x

) i rozpiętej na wektorach



=[u

]



=[v

] ma postać:

x=x

+tu

+kv

:

y=y

+tu

+kv

gdzie k,t

R

z=z

+tu

+kv

- równanie odcinkowe płaszczyzny odcinającej na osiach 0x, 0y, 0z układu współrzędnych odpowiednie odcinki a, b ,c ma

postać:

:





Wyprowadzenie równania parametrycznego płaszczyzny:

Niech dana będzie płaszczyzna



rozpięta na dwóch wektorach



=[u

]



=[v

] i przechodząca przez punkt

=(x

). Oznaczmy dowolny punkt P(x,y,z) tej płaszczyzny. Wektor











. Wektory wodzące tych punktów

wynoszą





=[x

] oraz





=[x,y,z]. Zgodnie z regułą równoległoboku otrzymujemy





co po

podstawianiu daje równanie wektorowe płaszczyzny:











. Podstawiając współrzędne wektorów otrzymujemy

równanie (x,y,z)=( x

)+ t

(u

)+k

(v

). Następie to równanie można przedstawić w formie rozwiniętej:

:









































46. Wyprowadzić wzór na obliczanie odległości punktu od płaszczyzny.

Odległość punktu P=(x

, y

, z

) od płaszczyzny

: Ax+By+Cz+D=0 przedstawia wzór: d(P,)=



47. Równania prostej w przestrzeni trójwymiarowej.

- równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt P

=(x

) i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku



=[v

] ma postać:

x=x

+tv

y=y

+tv

gdzie t

R

z=z

+tv

- równanie kierunkowe prostej: l:











- równanie krawędziowe prostej która jest częścią wspólną dwóch nierównoległych płaszczyzn





: A

x+B

y+C

z+D

=0 i





: A

x+B

y+C

z+D

=0 ma postać:















48. Wyprowadzić równanie prostej w postaci parametrycznej i kierunkowej.

Niech będzie dana prosta l przechodząca przez punkt P

=(x

) i o wektorze kierunkowym



=[v

]. Wektor wodzący

punkt P

ma postać





=[x

]. Obierzmy dowolny punkt P(x,y,z) należący do tej prostej i o wektorze wodzącym





=[x,y,z]. Wektor







. Zgodnie z regułą równoległoboku otrzymujemy



co po podstawianiu

daje równanie wektorowe prostej







. Rozpisując to równanie na współrzędne otrzymujemy (x,y,z)=( x

(v

). Następie to równanie można przedstawić w formie rozwiniętej:

:





























. Równanie kierunkowe prostej

otrzymujemy po wyrugowaniu parametru t:































































49. Omówić wzajemne położenie prostych, płaszczyzn oraz prostej i płaszczyzny w przestrzeni

trójwymiarowej

1. położenie dwóch płaszczyzn

- odległość między płaszczyznami równoległymi





: Ax+By+

z+D

=0 i





: Ax+By+Cz+D

=0 wyraża się równaniem:

)

(









- kąt między dwoma płaszczyznami





: A

x+B

y+C

z+D

=0 i





: A

x+B

y+C

z+D

o wektorach normalnych



=[A



=[A

] :

cos





















lub

arccos













2. położenie prostej i płaszczyzny

- kąt nachylenia prostej l o wektorze kierunkowym



do płaszczyzny

 o wektorze normalnym



wyraża się wzorem:















arcsin

)

(

3. położenie dwóch prostych

- kąt miedzy prostymi l

o wektorach kierunkowych



wyraża się wzorem:

arccos

)

(













50. Definicja okręgu i jego równanie.

Niech S = (x

) będzie ustalonym punktem, zaś r odcinkiem o dodatniej długości. Okręgiem nazywamy zbiór punktów

płaszczyzny euklidesowej odległych od punktu S o zadaną odległość r.
Równania okręgu:

(

−

)

+ (

−

)

- jest to wzór geometrii analitycznej obowiązujący w kartezjańskim układzie

współrzędnych. W tym samym układzie współrzędnych okrąg może być opisany również za pomocą równania

parametrycznego:

















sin

cos

gdzie parametr (0,2). Podstawiając do wzoru geometrii analitycznej



otrzymujemy równanie: x

-2x

x-2y

y+c=0

51. Definicja hiperboli i jej równanie

Hiperbola jest krzywą stożkową, będąca zbiorem punktów takich, że bezwzględna wartość różnicy odległości tych punktów

od dwóch punktów, nazywanych ogniskami hiperboli, jest stała. Jeżeli ogniska hiperboli mają współrzędne (-c,0) i (c,0) to

hiperbola jest opisana równaniem:





gdzie a, to połowa odległości pomiędzy wierzchołkami hiperboli, zaś b to

połowa odległości pomiędzy wierzchołkami urojonymi. Zachodzi również związek:

−

. Hiperbole można jeszcze

opisać równaniem:











Jeżeli a = b to hiperbolę nazywamy równoosiową.

52. Definicja paraboli i jej równanie.

Parabola to krzywa stożkowa utworzona przez przecięcie stożka płaszczyzną równoległą do tworzącej stożka. Parabolę

można też zdefiniować jako miejsce geometryczne punktów równo odległych od prostej (zwanej kierownicą paraboli) i
pewnego punktu (ogniska paraboli) nie leżącego na tej prostej. W kartezjańskim układzie współrzędnych, parabola z osią

symetrii równoległą do osi

, wierzchołkiem o współrzędnych (

), ogniskiem (

), i kierownicą

opisana jest

równaniem: (x-h)

=2p(y-k). Parabolę można również opisać wzorem:









. Parabola ma jedną oś symetrii, która

przechodzi przez ognisko i wierzchołek i jest prostopadła do kierownicy paraboli.

53. Kwadrygi – ich klasyfikacja.

Niech będzie dany układ kartezjański OXYZ. Powierzchnią stopnia drugiego nazywamy miejsce geometryczne punktów,

których współrzędne spełniają równanie : a

+2a

xy+2a

xz+2a

x+2a

y+2a

z+a

=0 przy

założeniu, że a

>0.

1. Sfera:





;

)

(

)

(

)

(













gdzie a, b, c to współrzędne środka sfery.

2. Elipsoida:





gdzie a, b, c to „promienie” odpowiednio na osiach OX, OY, OZ

3. Walce:

Eliptyczny (równoległy do z):





Paraboliczny:



gdzie p to parametr





Hiperboliczny:





4. Hiperbola jedno powłokowa:







5. Paraboloida eliptyczna:





gdy p>0 to jest skierowany do góry a jak p<0 to w dół.

6. Paraboloida hiperboliczna:





gdy p<0 to wygląda jak siodło, a jak p>0 to nie wiem.

7. Hiperboloida dwu powłokowa:





54. Podać równanie sfery i elipsoidy. Które z tych powierzchni są obrotowe?

Sfera:





;

)

(

)

(

)

(













, gdzie a, b, c to współrzędne środka sfery

Elipsoida:





, gdzie a, b, c to „promienie” odpowiednio na osiach OX, OY, OZ

Co o do powierzchni obrotowych to nie jestem pewien, ale z zadań które były liczone to wynika ze elipsoida jest (dwie
spośród a, b, c musi być liczbą niewymierną, np. a i c).

55. Wymień znane paraboloidy i podaj ich równania

Paraboloida to nieograniczona powierzchnia drugiego stopnia posiadająca jedną oś symetrii.
Wyróżnia się 3 typy paraboloid:

- paraboloida obrotowa x

+ y

= a

- paraboloida eliptyczna





paraboloida hiperboliczna





56. Wymień znane hiperboloidy i podaj ich równania.

Hiperboloida - nieograniczona, nierozwijalna powierzchnia drugiego stopnia (kwadryka), powstała przez obrót hiperboli

wokół osi rzędnych (hiperboloida jednopowłokowa) lub osi odciętych (hiperboloida dwupowłokowa), a także każda otrzymana
z takiej przez przekształcenie afiniczne przestrzeni. Każda hiperboloida ma środek symetrii oraz co najmniej trzy osie i trzy

płaszczyzny symetrii.

- hiperboloida jednopowłokowa







- hiperboloida dwupowłokowa





- hiperboloida której obie powłoki mają dokładnie jeden punkt wspólny







57. Określić powierzchnię walcową i napisać równania znanych walców.

Powierzchnię walcową nazywamy powierzchnię utworzona przez zbiór prostych (tworzących powierzchnię walcową)

równoległych do danej prostej i przechodzących przez punkty krzywej L (kierownicy).

- walec eliptyczny:





- walec paraboliczny:



, gdzie p to parametr





- walec hiperboliczny:





58. Określić powierzchnię stożkową i napisać równania znanych stożków.

Powierzchnia stożkowa - powierzchnia powstała przez połączenie prostymi (tzw. tworzące) zadanego punktu w przestrzeni
(tzw. wierzchołek) z każdym punktem na pewnej zadanej krzywej, zwanej kierującą.