Książka/publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie 

 

 
 

 
 

 
 

 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 

Elżbieta Kotlicka-Dwurznik 

Bożenna Szkopińska 

Witold Walas 

__________________________ 

Elementy algebry  

i geometrii analitycznej 

                                                          
                                                            

                                                                                          
 

 
 

 

 
 

 
 

Łódź 2011 

 

 

   

 
 
Opiniodawca:   

dr hab. Artur Bartoszewicz, prof. PŁ 

 
Autorzy: 

 

dr inż. Elżbieta Kotlicka-Dwurznik 

                                   dr Bożenna Szkopińska 
                                   dr inż. Witold Walas 
 
 
Druk:   

 

arsa  pasja&kolor  Łódź 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podręcznik akademicki przygotowany w ramach projektu „Innowacyjna dydaktyka bez 
ograniczeń - zintegrowany rozwój Politechniki Łódzkiej - zarządzanie Uczelnią, nowoczesna 
oferta edukacyjna i wzmacnianie zdolności do zatrudniania, także osób niepełnosprawnych", 
współfinansowanego przez Unię Europejską w ramach europejskiego Funduszu Społecznego 
- Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki „Priorytet IV, poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie 
potencjału dydaktycznego uczelni". 
 

Skład wykonany w systemie  

. 

  

Rysunki wygenerowano za pomocą programu  MuPAD Pro 4.0. 
 
© Copyright by Politechnika Łódzka 
Łódź 2011 
 
 

Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicz-
nych,  mechanicznych,  kopiujących,  nagrywających  i  innych,  w  tym  również  nie  może  być  umieszczany  ani  rozpo-
wszechniany  w  postaci  cyfrowej  zarówno  w  Internecie,  jak  i  w  sieciach  lokalnych  bez  pisemnej  zgody  posiadacza 
praw autorskich. 

 
 
 
 
 
ISBN 978-83-62660-03-2 
 

Spis treści

14

Przedmowa

5

Rozdział 1.

Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb

zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.

Działania wewnętrzne, grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.

Ciała . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.

Ciało liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.

Sprzężenie i moduł liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.

Argument i postać trygonometryczna liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.

Postać wykładnicza liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7.

Zasadnicze twierdzenie algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Rozdział 2.

Macierze i wyznaczniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.1.

Macierze i ich rodzaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.

Operacje na macierzach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.

Wyznacznik macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.

Metoda Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5.

Macierz odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6.

Równoważna definicja wyznacznika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Rozdział 3.

Układy równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.1.

Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2.

Twierdzenie Cramera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.

Rząd macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4.

Metoda Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Rozdział 4.

Geometria analityczna w R

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

4.1.

Wektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.

Płaszczyzna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3.

Prosta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.4.

Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Rozdział 5.

Przestrzenie wektorowe i przekształcenia liniowe . . . . . . . . . . .

79

5.1.

Podstawowe definicje i własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2.

Liniowa zależność i liniowa niezależność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3.

Baza i wymiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.4.

Podprzestrzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.5.

Przekształcenia liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.6.

Macierz przekształcenia liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.7.

Wektory własne i wartości własne przekształcenia liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.8.

Diagonalizacja macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Wykaz oznaczeń

100

Literatura

102

Przedmowa

Niniejsza książka przeznaczona jest głównie dla studentów pierwszego roku uczelni

technicznych. Przedstawiony w niej materiał stanowi uzupełnienie i rozszerzenie treści
programowych realizowanych na wykładzie z przedmiotu „Algebra liniowa” prowadzonego
na Wydziale Elektrotechniki, Elektroniki, Informatyki i Automatyki Politechniki Łódzkiej
przez wykładowców Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki.

Materiał zawarty w tej publikacji dostosowany jest do aktualnego programu studiów

i obejmuje następujące zagadnienia:

• ogólne struktury algebraiczne,
• ciało liczb zespolonych,
• macierze i wyznaczniki,
• układy równań liniowych,
• elementy geometrii analitycznej,
• przestrzenie wektorowe i przekształcenia liniowe.

W każdym rozdziale oprócz twierdzeń i definicji znajdują się przykłady, ćwiczenia

oraz rysunki ilustrujące omawiane pojęcia, a także zadania do samodzielnego rozwiązania
z odpowiedziami. Na końcu książki dołączony jest skorowidz stosowanych oznaczeń oraz
wykaz literatury. Od czytelnika nie wymaga się znajomości innych kursów akademickich,
choć zapoznanie z podstawowymi pojęciami logiki, teorii mnogości i analizy matematycznej
może znacznie ułatwić przyswojenie zawartego tu materiału.

Uzupełnenie niniejszego skryptu stanowi, dostępny w wersji elektronicznej, zbiór zadań:

„Algebra liniowa — zestaw interaktywnych ćwiczeń”.

Autorzy uprzejmie proszą o przesyłanie wszelkich uwag i komentarzy dotyczących

prezentowanej publikacji.

Elżbieta Kotlicka-Dwurznik
Bożenna Szkopińska
Witold Walas

elzbieta.kotlicka@p.lodz.pl
bozena.szkopinska@p.lodz.pl
witold.walas@p.lodz.pl

,

Rozdział 1

Podstawowe struktury algebraiczne,
ciała, ciało liczb zespolonych

1.1. Działania wewnętrzne, grupy

Zbiory oznaczamy zwykle dużyli literami np. A, X, K. Fakt, że a jest elementem zbioru

A zapisujemy jako a ∈ A. Jeżeli a ∈ A i b ∈ B, to parą uporządkowaną o poprzedniku a
i następniku b nazywamy zbiór

(a, b)

def

= {{a}, {a, b}}.

Dwie pary (a, b) i (x, y) są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy a = x i b = y.

Zbiór wszystkich par uporządkowanych o poprzedniku z A i następniku z B nazywamy
iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B i oznaczamy przez A × B. Mamy więc

A × B

def

= {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Definicja 1.1. Niech A będzie niepustym zbiorem.

• Każdą funkcję

◦ : A × A → A

nazywamy działaniem (wewnętrznym) w zbiorze A.

• Jeżeli ◦ jest działaniem wewnętrznym w A, to uporządkowaną parę (A, ◦) nazywamy

strukturą algebraiczną.

Przykład 1.2. Zauważmy, że dodawanie i mnożenie liczb rzeczywitych są funkcjami

+ : R × R → R,

· : R × R → R,

tzn. dowolnej parze liczb rzeczywistych (a, b) przyporządkowujemy liczby rzeczywiste a+b
i a · b zwane odpowiednio sumą i iloczynem liczb a i b. W myśl powyższej definicji
dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi w R, a zatem pary (R, +) oraz (R, ·)
są strukturami algebraicznymi.

Definicja 1.3. Zbiór G wraz z działaniem ◦ : G × G → G nazywamy grupą, jeżeli
spełnione są warunki:

a) działanie ◦ jest łączne, tzn.

V

a,b,c ∈G

a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c,

b) istnieje dokładnie jeden element e ∈ G taki, że

V

a ∈G

a ◦ e = e ◦ a = a,

(1.1)

c)

V

a ∈G

W

b ∈G

a ◦ b = b ◦ a = e.

(1.2)

8

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Jeżeli G jest grupą, to element e, o którym mowa punkcie b), nazywamy elementem

neutralnym grupy G. Odnotujmy, iż jednoznaczność istnienia elementu neutralnego
wynika bezpośrednio z warunku (1.1). Ponadto można wykazać, że dla każdego a ∈ G
istnieje dokładnie jeden element b ∈ G taki, że zachodzi warunek (1.2) — nazywamy go
elementem odwrotnym do a i oznaczamy przez a

−1

.

Definicja 1.4. Grupę G nazywamy grupą abelową (przemienną), jeśli

V

a,b ∈G

a ◦ b = b ◦ a.

Przykład 1.5. Przykłady grup:

1) zbiór G = {e} z jedynym działaniem e ◦ e = e — jest to tzw. grupa trywialna;
2) zbiór liczb rzeczywistych R z dodawaniem i zerem jako elementem neutralnym;
3) zbiór R \ {0} z mnożeniem i jedynką jako elementem neutralnym;
4) zbiór D

n

wszystkich izometrii n-kąta foremnego (n ­ 3) wraz ze składaniem izometrii

oraz przekształceniem identycznościowym jako elementem neutralnym (jest to grupa
nieabelowa).

Uwaga 1.6. Można łatwo pokazać, że zbiór liczb naturalnych z dodawaniem i zerem (jak
również zbiór liczb całkowitych z mnożeniem i jedynką) nie stanowi grupy.

Przykład 1.7. Wykazać, że zbiór R z działaniem ⊕ określonym następująco

a ⊕ b = a + b + 1 dla a, b ∈ R,

jest grupą abelową.

Rozwiązanie: Nietrudno sprawdzić, że działanie ⊕ jest wewnętrzne, przemienne i łączne.
Aby struktura (R, ⊕) była grupą, trzeba jeszcze wykazać, że spełnione są warunki b) i c)
w definicji 1.3. Najpierw znajdziemy element neutralny — ze względu na przemienność
działania ⊕ wystarczy znaleźć taką liczbę x ∈ R, że a ⊕ x = a. Wprost z definicji mamy

a + x + 1 = a

i stąd x = −1. Elementem neutralnym jest więc liczba e = −1.

Niech a ∈ R. Wyznaczymy element odwrotny do a, tzn. taką liczbę x ∈ R, że a⊕x = e.

Stąd

a + x + 1 = −1,

a zatem x = −a − 2, co oznacza, że elementem odwrotnym do a jest liczba a

−1

= −a − 2.

Definicja 1.8. Niech G będzie grupą z działaniem ◦. Niepusty podzbiór H ⊂ G nazywamy
podgrupą grupy G, jeżeli H z działaniem ◦ też jest grupą.

Twierdzenie 1.9. Niepusty podzbiór H ⊂ G jest podgrupą grupy G wtedy i tylko wtedy,
gdy spełnione są warunki:

a)

V

a,b ∈H

a ◦ b ∈ H,

b)

V

a ∈H

a

−1

∈ H.

Przykład 1.10. Przykłady podgrup.

1) Jeżeli G jest dowolną grupą z elementem neutralnym e, to {e} i G są podgrupami G.
2) Zbiory liczb całkowitych i wymiernych są podgrupami grupy R z dodawaniem.
3) Zbiory S

0

= {−1, 1} oraz Q \ {0} są podgrupami grupy R \ {0} z mnożeniem.

4) Niech S

n

oznacza zbiór obrotów wokół środka symetrii n-kąta foremnego (n ­ 3).

Wówczas S

n

jest podgrupą abelową grupy D

n

.

1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb zespolonych

9

Przykład 1.11. Rozpatrzmy zbiór przekształceń trójkąta równobocznego ABC składa-
jący się z obrotów wokół punktu O: a

0

= O

0

, a

1

= O

2
3

π

, a

2

= O

4
3

π

, oraz symetrii a

3

, a

4

, a

5

odpowiednio względem osi AP , BQ, CR. Zbiór ten, wraz z działaniem ◦ zdefiniowanym
jako składanie przekształceń, jest nieprzemienną podgrupą grupy D

3

, co ilustruje poniższa

tabela:

◦

a

0

a

1

a

2

a

3

a

4

a

5

a

0

a

0

a

1

a

2

a

3

a

4

a

5

a

1

a

1

a

2

a

0

a

4

a

5

a

3

a

2

a

2

a

0

a

1

a

5

a

3

a

4

a

3

a

3

a

5

a

4

a

0

a

2

a

1

a

4

a

4

a

3

a

5

a

1

a

0

a

2

a

5

a

5

a

4

a

3

a

2

a

1

a

0

O

A

B

R

Q

P

C

1.2. Ciała

Definicja 1.12. Ciałem nazywamy dowolny zbiór K z działaniami wewnętrznymi

⊕ : K × K → K,

 : K × K → K,

zwanymi odpowiednio dodawaniem i mnożeniem, spełniającymi poniższe warunki:

a) zbiór K z działaniem ⊕ jest grupą abelową z elementem neutralnym 0,

b) zbiór K \ {0} z działaniem  jest grupą abelową z elementem neutralnym 1,

c) działanie  jest rozdzielne względem ⊕, tzn.

V

a,b,c ∈K

a  (b ⊕ c) = (a  b) ⊕ (a  c) .

Formalnie ciało zapisujemy jako uporządkowaną trójkę postaci (K, ⊕, ). Jeżeli

a ∈ K, to element b z K taki, że a ⊕ b = 0 nazywamy elementem przeciwnym do a.
Jeśli natomiast a ∈ K \ {0}, to element b z K taki, że a  b = 1 nazywamy elementem
odwrotnym do a.

Przykład 1.13. Przykłady ciał:

1) zbiór liczb rzeczywistych ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem;
2) zbiór liczb wymiernych ze zwykłym dodawaniam i mnożeniem;
3) zbiór Z

2

= {0, 1} z działaniami zdefiniowanymi w poniższych tabelkach:

⊕

0 1

0

0 1

1

1 0



0 1

0

0 0

1

0 1

Definicja 1.14. Podzbiór L ⊂ K nazywamy podciałem ciała (K, ⊕, ), jeżeli (L, ⊕, )
wraz z wyróżnionymi elementami 0, 1 ∈ L też jest ciałem.

Przykład 1.15. Niech Q[

√

2] oznacza zbiór liczb postaci a + b

√

2, gdzie a, b ∈ Q. Można

wykazać, że zbiór ten jest podciałem ciała R ze zwykłym dodawaniem, mnożeniem,
0 i 1. Ponadto ciało Q[

√

2] jest najmniejszym (w sensie inkluzji) podciałem ciała R

zawierającym ciało liczb wymiernych oraz liczbę

√

2.

10

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Twierdzenie 1.16. Niech (K, ⊕, ) będzie dowolnym ciałem. Wówczas

1) 0 6= 1;

2)

V

a,b ∈K

[a  b = 0 ⇔ (a = 0 ∨ b = 0)];

3)

V

a ∈K

a  0 = 0.

Uwaga 1.17. Zbiór Z

4

= {0, 1, 2, 3} z działaniami zdefiniowanymi w poniższych tabelkach

nie jest ciałem. Mamy bowiem 2  2 = 0, co stanowi sprzeczność z twierdzeniem 1.16 pkt
2).

⊕

0 1 2 3

0

0 1 2 3

1

1 2 3 0

2

2 3 0 1

3

3 0 1 2



0 1 2 3

0

0 0 0 0

1

0 1 2 3

2

0 2 0 2

3

0 3 2 1

1.3. Ciało liczb zespolonych

Definicja 1.18. Ciałem liczb zespolonych nazywamy zbiór C = R

2

wraz z wyróżnio-

nymi elementami 0 = (0, 0) i 1 = (1, 0) oraz działaniami + i · zdefiniowanymi poniżej:

(a, b) + (x, y)

def

=

(a + x, b + y)

dla (a, b), (x, y) ∈ R

2

,

(a, b) · (x, y)

def

=

(ax − by, ay + bx)

dla (a, b), (x, y) ∈ R

2

.

Bez trudu można sprawdzić łączność i przemienność dodawania i mnożenia, rozdziel-

ność mnożenia względem dodawania oraz fakt, iż liczbą przeciwną do (x, y) jest

− (x, y) = (−x, −y) ,

zaś odwrotną do (x, y) 6= 0 jest

(x, y)

−1

= (

x

x

2

+ y

2

, −

y

x

2

+ y

2

).

Ciało liczb zespolonych spełnia warunki a) – c) w definicji 1.12, stanowi zatem przykład
kolejnego ciała.

W dalszym ciągu zero zespolone 0 i jedynkę zespoloną 1 będziemy oznaczać po prostu

przez 0 i 1. Przyjmujemy też oznaczenie:

i

def

= (0, 1) .

Uwaga 1.19. Zauważmy, że

i

2

= (0, 1) · (0, 1) = (0 − 1, 0 + 0) = (−1, 0) = − (1, 0) = −1,

co oznacza, że w zbiorze liczb zespolonych równanie

z

2

= −1

posiada rozwiązanie — jest nim liczba i. Łatwo sprawdzić, że drugim rozwiązaniem tego
równania jest liczba −i.

Uwaga 1.20. Liczbę zespoloną (x, 0) będziemy utożsamiać z liczbą rzeczywistą x.
W konsekwencji ciało (R, +, ·) można traktować jako podciało ciała (C, +, ·). Dodajmy,
że ciało liczb zespolonych jest najmniejszym (w sensie inkluzji) ciałem zawierającym ciało
liczb rzeczywistych oraz liczbę urojoną i.

1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb zespolonych

11

Definicja 1.21. Ciałem liczbowym nazywamy ciało (C, +, ·) oraz każde jego podciało.

Najmniejszym (w sensie inkluzji) podciałem ciała (C, +, ·) jest ciało (Q, +, ·).

Uwaga 1.22. Liczb zespolonych nie porównujemy ze sobą w relacji mniejszości <. Mówiąc
dokładniej, nie istnieje taka relacja w zbiorze C, która by zachowywała własności relacji
< ze zbioru R.

Jeśli z = (x, y) jest liczbą zespoloną, to

(x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) · (y, 0) = x + iy.

A zatem każdą liczbę zespoloną z = (x, y), gdzie x, y ∈ R, można jednoznacznie przed-
stawić w postaci z = x + iy, zwanej postacią kartezjańską liczby zespolonej. Liczbę
postaci z = iy, gdzie y ∈ R \ {0}, nazywamy liczbą czysto urojoną.

0

x

y

z = x + iy

y

x

Rys. 1.1. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej

Liczbę zespoloną z = x + iy, gdzie x, y ∈ R, można graficznie traktować jako punkt

(x, y) lub jako wektor [x, y] zaczepiony w punkcie (0, 0) (rys. 1.1). Z tego powodu zbiór
liczb zespolonych nazywamy też płaszczyzną zespoloną (płaszczyzną Gaussa, pła-
szczyzną Arganda), zaś dodawanie (odejmowanie) liczb zespolonych interpretujemy
jako dodawanie (odejmowanie) wektorów (rys. 1.2).

0

x

y

z + w

w

z

Rys. 1.2. Dodawanie liczb zespolonych

Przykład 1.23. Niech z = 2 − i oraz w = 3 + 4i. Obliczyć sumę, różnicę i iloczyn liczb
z i w.

Rozwiązanie: Podstawowe działania na liczbach zespolonych w postaci kartezjańskiej

12

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

wykonujemy tak, jakbyśmy działali na wyrażeniach algebraicznych ze zmienną i uwzglę-
dniając fakt, że i

2

= −1. Mamy zatem:

z + w = (2 − i) + (3 + 4i) = (2 + 3) + (−i + 4i) = 5 + 3i;

z − w = z + (−w) = (2 − i) + (−3 − 4i) = (2 − 3) + (−i − 4i) = −1 − 5i;

z · w = (2 − i) · (3 + 4i) = 2 · 3 + 2 · 4i − 3 · i − i · 4i = 6 + 8i − 3i − 4i

2

= 6 + 5i + 4 =

= 10 + 5i.

Definicja 1.24. Niech z = x + iy, gdzie x, y ∈ R. Wówczas

• liczbę x nazywamy częścią rzeczywistą liczby z i oznaczamy przez Re z, a zatem

Re z

def

= x;

• liczbę y nazywamy częścią urojoną liczby z i oznaczamy przez Im z, czyli

Im z

def

= y.

Uwaga 1.25. Niech z, w ∈ C. Wówczas

z = w

⇔ (Re z = Re w ∧ Im z = Im w) .

Przykład 1.26. Dla jakich liczb rzeczywistych a i b zachodzi równość:

a − 4 + (b − 1) i = (2 − i)(3 − 4i) ?

Rozwiązanie: Niech z = a − 4 + (b − 1) i oraz w = (2 − i)(3 − 4i). Wówczas mamy:

Re z = a − 4,

Im z = b − 1,

Re w = 2 · 3 + 4i

2

= 2,

Im w = −8 − 3 = −11.

Korzystając z uwagi 1.25 wnioskujemy, że

z = w

⇔ (a − 4 = 2 ∧ b − 1 = −11) ⇔ (a = 6 ∧ b = −10)

1.4. Sprzężenie i moduł liczby zespolonej

Definicja 1.27. Sprzężeniem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y ∈ R, nazy-
wamy liczbę zespoloną

z

def

= x − iy.

0

Rez

Imz

z = x + iy

z = x − iy

yi

−yi

x

Rys. 1.3. Sprzężenie liczby zespolonej

1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb zespolonych

13

Twierdzenie 1.28. Niech z, w ∈ C. Wówczas

1)

z ± w = z ± w;

2) z · w = z · w;

3) (

z

w

) =

z

w

, o ile w 6= 0;

4) (z) = z;

5) z +

z = 2 Re z;

6) z − z = 2i Im z.

Przykład 1.29. Obliczyć z + w i z · w, jeśli z = 2 − i oraz w = 3 + 4i.

Rozwiązanie:
z + w = (2 + i) + (3 − 4i) = 5 − 3i;

z · w = (2 + i) · (3 − 4i) = 2 · 3 − 2 · 4i + i · 3 − i · 4i = 10 − 5i.

Wyznaczając iloczyn sprzężeń liczb zespolonych można również wykorzystać twierdzenie
1.28 pkt 2) oraz obliczenia z przykładu 1.23 — wówczas mamy:

z · w = z · w = 10 + 5i = 10 − 5i.

Definicja 1.30. Modułem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y ∈ R, nazywamy liczbę
rzeczywistą

|z|

def

=

q

x

2

+ y

2

.

Zauważmy, że jeżeli z jest liczbą rzeczywistą, to

|z| = |x + 0 · i| =

√

x

2

= |x| ,

gdzie |x| oznacza wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x.

0

Rez

Imz

z = x + iy

yi

|z|

|x|

|y|

x

Rys. 1.4. Interpretacja geometryczna modułu liczby zespolonej

Geometrycznie moduł liczby zespolonej z = x + iy interpretujemy jako odległość

punktu (x, y) od początku układu współrzędnych lub jako długość wektora [x, y] (patrz
rys. 1.4). Ponadto dla dowolnej liczby zespolonej z

0

= x

0

+ iy

0

mamy

|z − z

0

| = |x + iy − x

0

− iy

0

| = |x − x

0

+ (y − y

0

)i| =

q

(x − x

0

)

2

+ (y − y

0

)

2

,

co oznacza, że liczba |z − z

0

| równa jest odległości między punktami (x, y) i (x

0

, y

0

).

W konsekwencji dla ustalonego z

0

∈ C i r > 0 zbiory

O(z

0

, r) = {z ∈ C : |z − z

0

| = r} oraz K(z

0

, r) = {z ∈ C : |z − z

0

| ¬ r}

14

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

określają na płaszczyźnie zespolonej odpowiednio okrąg oraz koło o środku w z

0

i promieniu

r.

Twierdzenie 1.31. Niech z, w ∈ C. Wówczas

1) |z| = |−z| = |z| ;

2) |z · w| = |z| · |w| ;

3)






z

w






=

|z|

|w|

, o ile w 6= 0;

4) |z + w| ¬ |z| + |w|

(tzw. nierówność trójkąta);

5) ||z| − |w|| ¬ |z − w| ;

6) |Re z| ¬ |z| , |Im z| ¬ |z| ;

7) z ·

z = |z|

2

.

Przykład 1.32. Obliczyć |z| , |w| , |z · w| i





z

w





, jeśli z = 2 − i oraz w = 3 + 4i.

Rozwiązanie:

|z| =

q

2

2

+ (−1)

2

=

√

5;

|w| =

√

3

2

+ 4

2

=

√

25 = 5;

|z · w| = |z| · |w| =

√

5 · 5 = 5

√

5;





z

w





=

|z|

|w|

=

√

5

5

.

Przykład 1.33. Obliczyć

z

w

i

w

z

, jeśli z = 2 − i oraz w = 3 + 4i.

Rozwiązanie: Wyznaczając iloraz liczb zespolonych wykorzystamy twierdzenie 1.31 pkt
7):

z

w

=

z·w

w·w

=

z·w

|w|

2

=

(2−i)·(3−4i)

25

=

6−8i−3i+4i

2

25

=

2−11i

25

=

2

25

−

11
25

i;

w

z

=

w·z

z·z

=

w·z
|z|

2

=

(3+4i)·(2+i)

5

=

6+3i+8i+4i

2

5

=

2+11i

5

=

2
5

+

11

5

i.

1.5. Argument i postać trygonometryczna liczby ze-

spolonej

Niech z = x + iy, gdzie x, y ∈ R i z 6= 0. Zauważmy, że

x

2

+ y

2

= |z|

2

,

co oznacza, że punkt o współrzędnych (x, y) leży na okręgu o promieniu |z| i środku
w początku układu współrzędnych (rys. 1.5). Istnieje zatem nieskończenie wiele liczb
rzeczywistych ϕ takich, że















cos ϕ =

x

|z|

,

sin ϕ =

y

|z|

.

(1.3)

Definicja 1.34.

• Jeżeli z = x + iy, gdzie x, y ∈ R i z 6= 0, to każdą liczbę ϕ ∈ R spełniającą równości

(1.3) nazywamy argumentem liczby zespolonej z. Zbiór wszystkich argumentów
liczby z oznaczamy przez arg z.

1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb zespolonych

15

• Spośród wszystkich argumentów liczby z 6= 0 dokładnie jeden należy do przedziału

[0, 2π) — nazywamy go argumentem głównym liczby z i oznaczamy symbolem
Arg z. (Wybór przedziału jest kwestią umowną — czasami przyjmuje się, że Arg z ∈
(−π, π]).

• Przyjmujemy dodatkowo, że Arg 0 = 0.

Łatwo widać, że zachodzi równość:

arg z = {Arg z + 2kπ : k ∈ Z}.

0

Rez

Imz

z = x + iy

|z|

yi

x

ϕ

Rys. 1.5. Argument liczby zespolonej

Jeżeli z = x + iy jest dowolną liczbą zespoloną, to z równości (1.3) wynika, że

x = |z| cos ϕ,

y = |z| sin ϕ,

gdzie ϕ ∈ arg z. Stąd dostajemy

z = x + iy = |z| cos ϕ + i |z| sin ϕ = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) .

A zatem każdą liczbę zespoloną z można przedstawić w postaci:

z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) ,

gdzie ϕ ∈ arg z,

zwanej postacią trygonometryczną liczby zespolonej.

Przykład 1.35. Zapisać liczby zespolone: z

1

= −4, z

2

= −i oraz z

3

= −1+

√

3i w postaci

trygonometrycznej.

Rozwiązanie: Zaobserwujmy najpierw, że jeśli liczba zespolona leży na jednej z osi
układu, to jej argument równy jest wielokrotności

π

2

. Tak się dzieje w przypadku liczb z

1

i z

2

, dla których mamy: Arg z

1

= π oraz Arg z

2

=

3π

2

. Ponieważ |z

1

| = 4, |z

2

| = 1, a zatem

z

1

= 4(cos π + i sin π),

z

2

= cos

3π

2

+ i sin

3π

2

.

W przypadku liczby z

3

zaczynamy od wyznaczenia jej modułu:

|z

3

| =

q

(−1)

2

+ (

√

3)

2

= 2,

a następnie zapisujemy równania, które spełnia jej argument ϕ:







cos ϕ =

−1

2

sin ϕ =

√

3

2

.

Rozwiązaniem otrzymanego układu równań należącym do przedziału [0, 2π) jest liczba

2π

3

. Stąd mamy

z

3

= 2(cos

2π

3

+ i sin

2π

3

).

16

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Twierdzenie 1.36. Jeżeli z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) oraz w = |w| (cos ψ + i sin ψ), to

1) z · w = |z| |w| (cos (ϕ + ψ) + i sin (ϕ + ψ)) ;

2)

z

w

=

|z|

|w|

(cos (ϕ − ψ) + i sin (ϕ − ψ)) ,

o ile w 6= 0.

0

Rez

Imz

1

z · w

|z||w|

|w|

|z|

z

w

|z||w|

|w|

=

|z|

1

Rys. 1.6. Interpretacja geometryczna iloczynu liczb zespolonych

Wniosek 1.37. Jeżeli z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) oraz n ∈ Z, to

z

n

= |z|

n

(cos (nϕ) + i sin (nϕ)) .

W szczególności, jeśli |z| = 1 oraz n ∈ N, to

z

n

= cos (nϕ) + i sin (nϕ) .

(wzór de Moivre’a)

Uwaga 1.38. Niech z

0

= |z

0

| (cos ϕ

0

+i sin ϕ

0

) będzie ustaloną liczbą zespoloną. Wówczas

dla dowolnej liczby z = cos ϕ + i sin ϕ mamy:

z

0

· z = |z

0

| (cos ϕ

0

+ i sin ϕ

0

) · (cos ϕ + i sin ϕ) = |z

0

| (cos(ϕ

0

+ ϕ) + i sin(ϕ

0

+ ϕ)),

|z

0

· z| = |z

0

| .

A zatem mnożenie liczby z

0

przez liczbę (cos ϕ + i sin ϕ) geometrycznie możemy inter-

pretować jako obraz z

0

w obrocie wokół początku układu współrzędnych o kąt ϕ (rys.

1.7).

0

Rez

Imz

z

0

· (cos ϕ + i sin ϕ)

|z

0

|

z

0

ϕ

Rys. 1.7.

Przykład 1.39. Wykorzystując dwumianowy wzór Newtona i wzór de Moivre’a można
szybko wyprowadzić tożsamości trygonometryczne pozwalające wyrazić sin nϕ oraz cos nϕ
za pomocą sin ϕ i cos ϕ. Dla przykładu dla n = 3 z jednej strony zachodzi równość:

(cos ϕ + i sin ϕ)

3

= (i sin ϕ)

3

+ 3 cos ϕ (i sin ϕ)

2

+ 3 cos

2

ϕ (i sin ϕ) + cos

3

ϕ =

= −i sin

3

ϕ − 3 cos ϕ sin

2

ϕ + 3i cos

2

ϕ sin ϕ + cos

3

ϕ,

1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb zespolonych

17

z drugiej strony natomiast ze wzoru de Moivre’a wynika, że

(cos ϕ + i sin ϕ)

3

= cos 3ϕ + i sin 3ϕ.

Porównując odpowiednio części rzeczywiste i urojone oraz stosując jedynkę trygonome-
tryczną dostajemy:

cos 3ϕ = −3 cos ϕ sin

2

ϕ + cos

3

ϕ = −3 cos ϕ



1 − cos

2

ϕ



+ cos

3

ϕ = −3 cos ϕ + 4 cos

3

ϕ,

sin 3ϕ = − sin

3

ϕ + 3 cos

2

ϕ sin ϕ = 3



1 − sin

2

ϕ



sin ϕ − sin

3

ϕ = 3 sin ϕ − 4 sin

4

ϕ.

Definicja 1.40. Niech z ∈ C i n ∈ N. Mówimy, że liczba zespolona w jest pierwiastkiem
stopnia n z liczby z, gdy w

n

= z. Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby z oznaczamy

przez

n

√

z.

Przykład 1.41. Wyznaczyć zbiór pierwiastków stopnia drugiego z liczby z = 3 + 4i.

Rozwiązanie: Z definicji wynika, że liczba w jest pierwiastkiem stopnia drugiego z liczby
z, gdy w

2

= z. Przyjmijmy, że w = x + yi, gdzie x, y ∈ R \ {0}. Wówczas

w

2

= (x + yi)

2

= x

2

+ 2xyi + y

2

i

2

= x

2

− y

2

+ 2xyi,

a zatem

w

2

= 3 + 4i

⇔ x

2

− y

2

+ 2xyi = 3 + 4i

⇔ (x

2

− y

2

= 3 ∧ 2xy = 4)

Rozwiązujemy otrzymany układ równań:

(

x

2

− y

2

= 3

xy = 2

⇔

(

x

2

− y

2

= 3

y =

2
x

⇔

(

x

2

−

4

x

2

= 3

y =

2
x

⇔

⇔

(

x

4

− 3x

2

− 4 = 0

y =

2
x

⇔

(

x = 2 ∨ x = −2
y =

2
x

⇔

⇔

(

x = 2
y = 1

∨

(

x = −2
y = −1

To oznacza, że

√

3 + 4i = {2 + i, −2 − i}.

Przykład 1.42. Niech a ∈ R \ {0}. Wyznaczyć zbiór pierwiastków stopnia drugiego
z liczby z = −a

2

.

Rozwiązanie: Zauważmy, że

z = −a

2

= i

2

a

2

= (ia)

2

= (−ia)

2

,

a zatem liczby w

1

= ia oraz w

2

= −ia są pierwiastkami stopnia drugiego z liczby z.

Pozostaje tylko rozstrzygnąć, czy są to jedyne pierwiastki z podanej liczby — w tym
celu możemy postąpić podobnie jak w poprzednim przykładzie lub wykorzystać poniższe
twierdzenie.

Twierdzenie 1.43. Jeżeli z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) jest liczbą zespoloną różną od zera,
to dla każdego n ∈ N istnieje dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n z liczby z.
Pierwiastki te są postaci:

w

k

=

n

q

|z|

 

cos

ϕ + 2kπ

n

+ i sin

ϕ + 2kπ

n

!

,

k = 0, 1, . . . , n − 1.

18

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Przykład 1.44. Wyznaczyć zbiór pierwiastków stopnia trzeciego z liczby z = −8.

Rozwiązanie: Na mocy twierdzenia 1.43 istnieją trzy pierwiastki stopnia trzeciego z
liczby z — oznaczmy je przez w

0

, w

1

, w

2

. Ponieważ |z| = 8 oraz Arg z = π zatem

w

k

=

3

√

8



cos

π+2kπ

3

+ i sin

π+2kπ

3



dla k ∈ {0, 1, 2}.

Stąd mamy:

w

0

= 2(cos

π

3

+ i sin

π

3

) = 1 + i

√

3,

w

1

= 2(cos

π+2π

3

+ i sin

π+2π

3

) =

= 2(cos π + i sin π) = −2,

w

2

= 2(cos

π+4π

3

+ i sin

π+4π

3

) =

= 2(cos

5π

3

+ i sin

5π

3

) =

= 2(cos(2π −

π

3

) + i sin(2π −

π

3

)) =

= (cos

π

3

− i sin

π

3

) = 1 − i

√

3.

Rez

Imz

−8

2

w

0

w

1

w

2

ϕ

3

=

Arg z

3

Uwaga 1.45. Bezpośrednio z postaci pierwiastków stopnia n z liczby z wynika, że

|w

0

| = |w

1

| = . . . = |w

n−1

| =

n

q

|z|

oraz

Arg w

1

− Arg w

0

= Arg w

2

− Arg w

1

= . . . = Arg w

n−1

− Arg w

0

=

2π

n

.

To oznacza, że liczby w

0

, w

1

, . . . , w

n−1

leżą na okręgu o środku w 0 i promieniu

n

q

|z|

oraz dzielą ten okrąg na n łuków o tej samej długości począwszy od pierwiastka w

0

, dla

którego Arg w

0

=

Arg z

n

.

Przykład 1.46. Naszkicować zbiór pierwiastków stopnia czwartego z liczby (1 + i)

4

.

Rozwiązanie: Łatwo zauważyć, że jednym z czterech poszukiwanych pierwiastków jest
liczba w

0

= 1 + i. Ponieważ

|w

0

| =

√

2 oraz Arg w

0

=

π

4

,

więc pozostałe pierwiastki w

1

, w

2

, w

3

leżą na okręgu O(0,

√

2), zaś ich argumenty główne

są odpowiednio równe:

Arg w

1

= Arg w

0

+

2π

4

=

π

4

+

2π

4

=

3π

4

,

Arg w

2

= Arg w

1

+

2π

4

=

5π

4

,

Arg w

3

= Arg w

2

+

2π

4

=

7π

4

.

−

i

i

Rez

Imz

1

−1

w

0

w

1

w

3

w

2

2π

4

Arg w

0

1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb zespolonych

19

1.6. Postać wykładnicza liczby zespolonej

Wprowadźmy oznaczenie

e

iϕ def

= cos ϕ + i sin ϕ,

gdzie e jest liczbą niewymierną, równą granicy ciągu



1 +

1

n



n

(w przybliżeniu równą

2, 72). Wówczas dowolną liczbę zespoloną z można zapisać w postaci

z = |z| e

iϕ

,

gdzie ϕ ∈ arg z,

zwanej postacią wykładniczą liczby zespolonej z.

Twierdzenie 1.47. Jeżeli z = |z| e

iϕ

oraz w = |w| e

iψ

, to

1) −z = |z| e

i(ϕ+π)

;

2) z = |z| e

−iϕ

;

3)

1

z

=

1

|z|

e

−iϕ

, o ile z 6= 0;

4) z · w = |z| |w| e

i(ϕ+ψ)

;

5) z

n

= |z|

n

e

inϕ

dla n ∈ N;

6)

z

w

=

|z|

|w|

e

i(ϕ−ψ)

, o ile w 6= 0.

Twierdzenie 1.48 (Wzory Eulera). Dla dowolnego x ∈ R zachodzą równości:

sin x =

1

2i



e

ix

− e

−ix



,

cos x =

1
2



e

ix

+ e

−ix



.

1.7. Zasadnicze twierdzenie algebry

Twierdzenie 1.49 (Zasadnicze twierdzenie algebry). Każdy wielomian stopnia doda-
tniego n o współczynnikach zespolonych ma w ciele C dokładnie n (niekoniecznie różnych)
pierwiastków.

Wniosek 1.50. Każdy wielomian W stopnia dodatniego n o współczynnikach zespolonych
można rozłożyć na czynniki liniowe, tzn.

W (z) = a

n

(z − z

1

) (z − z

2

) ... (z − z

n

) ,

gdzie a

n

, z

1

, ..., z

n

∈ C.

Przykład 1.51. Rozłożyć na czynniki następujące wielomiany:

a) W (z) = z

4

− 16;

b) W (z) = iz

3

+ 2z.

Rozwiązanie: W rozkładzie podanych wielomianów wykorzystamy przekształcenia alge-
braiczne, wzory skróconego mnożenia oraz odpowiednie pierwiastki kwadratowe.

a) W (z) = (z

2

)

2

−4

2

= (z

2

−4)(z

2

+4) = (z−2)(z+2)(z−2i)(z+2i), bo

√

−4 = {−2i, 2i}.

b) W (z) = iz(z

2

+

2

i

) = iz(z

2

− 2i) = iz(z + 1 + i)(z − 1 − i), bo

√

2i = {−1 − i, 1 + i}.

20

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Uwaga 1.52. Z zasadniczego twierdzenia algebry wynika, że w dziedzinie zespolonej
funkcja kwadratowa posiada zawsze dwa, niekoniecznie różne, pierwiastki. W praktyce
pierwiastki funkcji postaci:

W (z) = az

2

+ bz + c,

gdzie a, b, c ∈ C oraz a 6= 0, wyznaczamy podobnie jak w dziedzienie rzeczywistej,
pamiętając, że w dziedzinie zespolonej istnieją pierwiastki kwadratowe z liczb rzeczy-
wistych ujemnych. Jeśli ∆ = b

2

− 4ac 6= 0, to wielomian W posiada dwa różne pierwiastki

określone wzorami:

z

1

=

−b + δ

1

2a

,

z

2

=

−b + δ

2

2a

,

gdzie δ

1

i δ

2

są pierwiastkami kwadratowymi z liczby zespolonej ∆. Istotnie:

a(z − z

1

)(z − z

2

) = a(z −

−b+δ

1

2a

)(z −

−b+δ

2

2a

) =

n

δ

2

=−δ

1

, bo pierwiastki kwadratowe

są liczbami przeciwnymi

o

=

= a(z −

−b+δ

1

2a

)(z −

−b−δ

1

2a

) = a((z +

b

2a

) −

δ

1

2a

)((z +

b

2a

) +

δ

1

2a

) =

= a((z +

b

2a

)

2

−

δ

2

1

4a

2

) = a(z +

b

2a

)

2

−

∆

4a

= W (z).

Jeśli ∆ = 0, to z

1

= z

2

=

−b

2a

.

Przykład 1.53. Rozwiązać równania:

a) z

2

− z + 1 = 0;

b) (2 + i)z

2

− (2 − 2i)z − 2 = 0;

c) (iz + z + 1)(z

2

+ 2

√

2z + 2 − i) = 0.

Rozwiązanie:

a) Niech W (z) = z

2

− z + 1. Ponieważ ∆ = 1 − 4 = −3 6= 0 oraz

√

∆ = {−

√

3i,

√

3i},

zatem W posiada dwa różne pierwiastki:

z

1

=

−b+δ

1

2a

=

1−

√

3i

2

=

1
2

−

√

3

2

i,

z

2

=

−b+δ

2

2a

=

1+

√

3i

2

=

1
2

+

√

3

2

i.

Stąd mamy:

z

2

− z + 1 = 0 ⇔ W (z) = 0 ⇔



z =

1
2

−

√

3

2

i ∨ z =

1
2

+

√

3

2

i



b) Niech W (z) = (2 + i)z

2

− (2 − 2i)z − 2. Kolejno otrzymujemy:

∆ = (−(2 − 2i))

2

− 4 · (−2) · (2 + i) = (2 − 2i)

2

+ 8(2 + i) = 4 − 8i + 4i

2

+ 16 + 8i =

= 16 6= 0,

√

∆ = {−4, 4},

z

1

=

−b+δ

1

2a

=

(2−2i)−4

2(2+i)

=

−2−2i

4+2i

= −

3
5

−

1
5

i,

z

2

=

−b+δ

2

2a

=

(2−2i)+4

2(2+i)

=

6−2i
4+2i

= 1 − i.

A zatem

(2 + i)z

2

− (2 − 2i)z − 2 = 0 ⇔ W (z) = 0 ⇔



z = −

3
5

−

1
5

i ∨ z = 1 − i



c) Zauważmy, że

(iz + z + 1)(z

2

+ 2

√

2z + 2 − i) = 0 ⇔ (iz + z + 1 = 0 ∨ z

2

+ 2

√

2z + 2 − i = 0)

Rozwiązujemy najpierw równanie liniowe:

iz + z + 1 = 0

⇔ (i + 1)z = −1 ⇔ z =

−1

i+1

⇔ z = −

1
2

+

1
2

i

1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb zespolonych

21

Dalej wyznaczamy pierwiastki równania kwadratowego:

∆ = 4i,

√

∆ = {− (1 + i)

√

2, (1 + i)

√

2},

z

1

=

−2

√

2−(1+i)

√

2

2

= −

3

√

2

2

−

√

2

2

i,

z

2

=

−2

√

2+(1+i)

√

2

2

= −

√

2

2

+

√

2

2

i.

Ostatecznie mamy:

(iz + z + 1)(z

2

+ 2

√

2z + 2 − i) = 0 ⇔

a

⇔



z = −

1
2

+

1
2

i ∨ z = −

3

√

2

2

−

√

2

2

i ∨ z −

√

2

2

+

√

2

2

i



Przykład 1.54. Rozłożyć na czynniki następujące wielomiany zakładając, że a ∈ R:

a) W (z) = z

3

+ a

3

;

b) W (z) = z

4

+ a

4

.

Rozwiązanie:

a) W (z) =

n

wzór na sumę
sześcianów

o

= (z + a)(z

2

− az + a

2

) =

W (z)

=



∆=−3a

2

=−3|a|

2

√

∆={−

√

3|a|i,

√

3|a|i}



= (z + a)(z −

a+

√

3|a|i

2

)(z −

a−

√

3|a|i

2

).

b) W (z) = z

4

+ 2z

2

a

2

+ a

4

− 2z

2

a

2

= (z

2

+ a

2

)

2

− 2z

2

a

2

= (z

2

+ a

2

)

2

− (

√

2za)

2

=

W (z)

= (z

2

+ a

2

−

√

2za)(z

2

+ a

2

+

√

2za) =

n

∆=−2a

2

√

∆={−

√

2|a|i,

√

2|a|i}

o

=

W (z)

= (z −

√

2a−

√

2|a|i

2

)(z −

√

2a+

√

2|a|i

2

)(z +

√

2a−

√

2|a|i

2

)(z +

√

2a+

√

2|a|i

2

).

Pierwiastki rozważanych wielomianów można również znaleźć wyznaczając zbiory

3

√

−a

3

i

4

√

−a

4

.

Uwaga 1.55. Jeżeli W jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych i z

0

jest jego

pierwiastkiem zespolonym, to liczba

z

0

jest również pierwiastkiem wielomianu W , przy

czym krotności pierwiastków z

0

i z

0

są sobie równe.

Przykład 1.56. Wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu W określonego wzorem

W (z) = z

4

− 2z

3

+ 3z

2

+ 4z − 10,

jeśli wiadomo, że jednym z pierwiastków jest liczba z

1

= 1 + 2i.

Rozwiązanie: Na mocy powyższej uwagi drugim pierwiastkiem wielomianu W jest liczba
z

2

= z

1

= 1 − 2i. Stąd wnioskujemy, że

W (z) = (z − 1 − 2i)(z − 1 + 2i)P (z),

gdzie P jest pewną funkcją kwadratową. Funkcję tę wyznaczymy wykonując dzielenie
wielomianów:

P (z) =

W (z)

(z−1−2i)(z−1+2i)

=

z

4

−2z

3

+3z

2

+4z−10

z

2

−2z+5

= z

2

− 2.

Ostatecznie mamy:

W (z) = (z − 1 − 2i)(z − 1 + 2i)(z −

√

2)(z +

√

2).

Wniosek 1.57. Każdy wielomian stopnia dodatniego o współczynnikach rzeczywistych
można rozłożyć na czynniki liniowe postaci: (ax + b) lub kwadratowe postaci: (x

2

+ px + q),

gdzie ∆ = p

2

− 4q < 0, a, b, p, q ∈ R.

Wniosek 1.58. Każdy wielomian stopnia nieparzystego o współczynnikach rzeczywistych
ma pierwiastek rzeczywisty.

22

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Zadania

Zadanie 1.1. Wykonać działania:

a) 4 − 5i + i(2 + i);

b) (1 − i

√

2)(

√

2 + i);

c) (2 + 3i)

2

− (1 − i)

2

;

d)

4−i
i+2

;

e)

1

i

+

1

i+1

;

f)

3−i
2−i

−

2−i
2+i

;

g)

(1+2i)

3

(2−i)

3

;

h) (1 + i)

100

.

Zadanie 1.2. Wyznaczyć Re z oraz Im z, jeżeli:

a) z = ((1 − i)(1 + i))

3

;

b) z =



1−i
1+i



3

;

c) z =



2+i

5

1+i

19



2

;

d) z =



i

1+i



3

.

Zadanie 1.3. Dane są liczby zespolone z = 2 − i oraz w = 1 + 2i. Obliczyć:

a) w + z · w;

b) z

2

w;

c)

1

z·w

;

d)

z+1

w

;

e)





w

z





;

f)





z

|z|





.

Zadanie 1.4. Przedstawić liczbę

w

z+1

+ Re( z

2

w ) + |w + z|

w postaci kartezjańskiej, jeśli z = 3 − i oraz w = 2 + 4i.

Zadanie 1.5. Znaleźć liczby rzeczywiste a i b takie, aby zachodziła równość:

a) a (3 + i) − b (2 − 3i) = 4 − 2i;

b)

a−4+(b−1)i

1+i

= 2 + |3 − 4i| i.

Zadanie 1.6. Wyznaczyć zbiór wszystkich liczb zespolonych z, dla których liczba z

2

i jest

a) liczbą rzeczywistą;

b) liczbą czysto urojoną.

Zadanie 1.7. Rozwiązać równania w dziedzinie zespolonej:

a) iz = z + 3 − i;

b) (1 − i) z = (3 − i) z + 2 + 3i ;

c) 3z − (1 − 2i) =

z+i
1−i

;

d)

iz+2

z

= 2 + i.

Zadanie 1.8. Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone

a) sprzężone do swojego kwadratu;

b) sprzężone do swojego sześcianu.

Zadanie 1.9. Zapisać podane liczby zespolone w postaci trygonometrycznej:

a) z = 4;

b) z = −3i;

c) z =

√

2 +

√

2i;

d) z = i − 1;

e) z = 1 −

√

3i;

f) z = −2

√

3 − 2i.

1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb zespolonych

23

Zadanie 1.10. Obliczyć moduł liczby zespolonej

z =

√

x

2

+y

2

+i

√

2xy

(x−y)+2i

√

xy

,

gdzie x, y ∈ R.

Zadanie 1.11. Niech w będzie ustaloną liczbą zespoloną taką, że Im w 6= 0. Znaleźć
wszystkie liczby zespolone z dla których zachodzi równość:





z−w
z−w





= 1.

Podać interpretację geometryczną tego zadania.

Zadanie 1.12. Znaleźć moduł i argument główny liczby zespolonej

z =

1+cos α+i sin α
1+cos α−i sin α

,

gdzie α ∈ [0, 2π).

Zadanie 1.13. Które z podanych liczb zespolonych należą do zbioru A, jeśli

A = {z ∈ C :

π

4

¬ Arg z ¬ π} :

z

1

= 3(cos

π

4

− i sin

π

4

);

z

2

= 3(sin

π

6

+ i cos

π

6

);

z

3

= (cos

π

4

+ i sin

π

4

) · (1 − i);

z

4

=

1

cos

π

3

+i sin

π

3

;

z

5

=

2(cos

π

4

+i sin

π

4

)

−i

;

z

6

= (cos

π

6

+ i sin

π

6

)

33

.

Zadanie 1.14. Które z podanych liczb zespolonych należą do zbioru A, jeśli

A = {z ∈ C : Re z ­ 0 ∧ Im z < 0} :

z

1

= 2(cos

π

3

+ i sin

π

3

);

z

2

= (cos

π

4

+ i sin

π

4

) · (1 − i);

z

3

= (cos

π

4

+ i sin

π

4

) · (1 + i)

14

;

z

4

= (cos

π

6

+ i sin

π

6

)

21

.

Zadanie 1.15. Naszkicować na płaszczyźnie zespolonej zbiory:

A = {z ∈ C : Im z = 2i

4

};

B = {z ∈ C : 2 Re z ¬ Im z ¬

1
2

Re z};

C = {z ∈ C : Im (z (1 − i) + 3 − i) < 1};
D = {z ∈ C : |z − 2| ¬ 2 ∧ |z| ­ 2};
E = {z ∈ C : |z + i| < 2 ∨ |z − 2i| < 1};
F = {z ∈ C : Arg (z − 1 − 2i) =

π

4

};

G = {z ∈ C : 1 ¬ |z| ¬ 3 ∧

π

2

¬ Arg z ¬

5
4

π};

H = {z ∈ C : Re z ¬ (Im z)

2

∧ |z| < 3};

I = {z ∈ C : | Arg z| <

π

4

∧ | Re z| ¬ 3}.

Zadanie 1.16. Naszkicować na płaszczyźnie zespolonej zbiory:

A = {z ∈ C \ {0} :

1
2

¬ |

1
z

| < 1};

B = {z ∈ C : |z| = Re z};
C = {z ∈ C \ {0} : 0 ¬ Re(

1
z

) ¬

1
2

};

D = {z ∈ C \ {0} : Im(

4−4i

z

) ­ 1};

24

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

E = {z ∈ C : |z| − |z − i| = 1};
F = {z ∈ C : Re(z

2

) > 0}.

Zadanie 1.17. Naszkicować zbiór {z ∈ C : |z − z

1

| = |z − z

2

|}, gdzie z

1

, z

2

są dowolnymi

i różnymi liczbami zespolnymi.

Zadanie 1.18. Przedstawić w postaci kartezjańskiej następujące liczby zespolone:

a) (1 +

√

3i)

2003

;

b) (1 − i)

107

;

c)



1+

√

3i

1−i



20

;

d)



4

√

3i−1



12

;

e) (

√

6 +

√

2 + (

√

6 −

√

2)i)

26

;

f) (

q

2 +

√

2 +

q

2 −

√

2 i)

17

.

Zadanie 1.19. Wyrazić sin 4ϕ oraz cos 4ϕ w zależności od sin ϕ i cos ϕ.

Zadanie 1.20. Wyznaczyć podane pierwiastki korzystając z definicji:

a)

√

−4;

b)

√

9i;

c)

√

1 + 2i;

d)

q

2 −

√

5i.

Zadanie 1.21. Wyznaczyć podane pierwiastki:

a)

√

−3;

b)

√

−i;

c)

q

1 +

√

3i;

d)

√

5 − 12i;

e)

3

√

i;

f)

3

√

−1;

g)

4

√

1;

h)

4

√

−16.

Zadanie 1.22. Wyznaczyć z oraz

8

√

z, jeśli wiadomo, że jednym z pierwiastków ósmego

stopnia z liczby zespolonej z jest w = 1 − i.

Zadanie 1.23. Wyrażenie

(a

2

+ 1)(b

2

+ 1)(c

2

+ 1)

przedstawić w postaci sumy dwóch kwadratów.

Zadanie 1.24. Zapisać podane wielomiany w postaci iloczynowej zakładając, że
W : C → C

a) W (z) = z

2

− 4z + 5;

b) W (z) = z

2

− 3iz + 4;

c) W (z) = (2 + i) z

2

− (5 − i) z + 2 − 2i;

d) W (z) = z

2

+ (2i − 7) z + 13 − i;

e) W (z) = z

3

− 4iz

2

− 4z;

f) W (z) = z

3

+ z

2

+ 9z + 9;

g) W (z) = (4iz − 8)(3z

2

− 13z +

194

12

);

h) W (z) = (z

3

+ iz

2

+ 2z + 2i) (z

2

+ 4z + 29) ;

i) W (z) = (z − 3)

2

− 2i;

j) W (z) = iz

5

− 8z

2

.

Zadanie 1.25. Rozwiązać równania w dziedzinie zespolonej:

a) z

2

+ z + 1 = 0;

b) z

2

− (2 − i)z − i = 0;

c) (1 + i)z

2

+ (2 − i)z − i = 0;

d) (iz + z − 2)(z

2

− (4 + i)z + 4 + 2i) = 0;

e) (z

2

+ 16) (iz

2

+ iz + i + 1) = 0;

f) z

3

+ 8 = 0;

1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb zespolonych

25

g) z

4

+ 5z

2

+ 4 = 0;

h) z

4

+ 8iz = 0;

i) z

3

− z

2

− 5i (z

2

− z) − 6 (z − 1) = 0;

j) z

4

+ 16 = 0.

Zadanie 1.26. Zbadać, dla jakich m ∈ R części urojone pierwiastków równania

(m + 5) z

2

− 2mz + m + 1 = 0,

z ∈ C,

są liczbami różnymi od zera.

Zadanie 1.27. Zbadać, dla jakich wartości k ∈ C pierwiastki równania

z

2

− 2 (3 + i) z + k = 0,

z ∈ C,

są liczbami równymi.

Zadanie 1.28. Wyznaczyć pierwiastki równania

z

3

− z

2

+ 4z − 8 = 0

należące do zbioru A = {z ∈ C : |z| = Re z}. Naszkicować zbiór A.

Zadanie 1.29. Wyznaczyć zbiory:

A = {z ∈ C : |z| + z = 8 + 4i ∧ Re (z − 1) = 2 Re (z − 4)};
B = {z ∈ C : z

2

− 2iz + 3 = 0 ∧ |z − 2 + i| > 2};

C = {z ∈ C : (z

2

− 2iz − 2) (2z − 14 + 6i) = 0 ∧ 1 < |z| ¬ 5} .

Zadanie 1.30. Wykazać, że elementem neutralnym w zbiorze R z działaniem  określonym
następująco

a  b = a + b + ab dla a, b ∈ R,

jest liczba 0.

Zadanie 1.31. Wykazać, że nie istnieje element neutralny w zbiorze R z działaniem ◦
określonym następująco

a ◦ b =

1
2

(a + b) dla a, b ∈ R.

Zadanie 1.32. Sprawdzić, czy zbiór G wraz z działaniem ◦ zdefiniowanym w tabeli jest
grupą.

a) G = {a, b, c}

◦

a b

c

a

b

a c

b

b

c

a

c

c

a b

b) G = {a, b, c, d}

◦

a b

c

d

a

a b

c

d

b

a b

c

d

c

d d d d

d

d d d d

Zadanie 1.33. Wykazać, że zbiór G = {−1, 1, −i, i} z mnożeniem jest grupą przemienną.

Zadanie 1.34. Dla ustalonego n ∈ N wyznaczyć zbiór A

n

=

n

√

1. Uzasadnić, że zbiór ten

wraz z mnożeniem stanowi grupę abelową (jako podgrupa grupy C \ {0}).

26

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Zadanie 1.35. Wykazać, że zbiór (R, ⊕, ) z działaniami zdefiniowanymi następująco:

a ⊕ b = a + b + 1,

a  b = a + b + ab dla a, b ∈ R,

jest ciałem.

Zadanie 1.36. Zbadać czy zbiór {a + b

3

√

2 : a, b ∈ Q} jest podciałem ciała R.

Zadanie 1.37. Wykazać, że zbiór {z ∈ C : Im z = 0} (z dodawaniem i mnożeniem
liczb zespolonych) jest ciałem liczbowym, zaś zbiór {z ∈ C : Re z = 0} nie jest ciałem
liczbowym.

Odpowiedzi

1.1. a) 3 − 3i;

b) 2

√

2 − i;

c) −5 + 14i;

d)

7
5

−

6
5

i;

e)

1
2

−

3
2

i;

f)

4
5

+ i;

g) −i;

h) −2

50

.

1.2. a) Re z = 8, Im z = 0;

b) Re z = 0, Im z = 1;

c) Re z = −2, Im z =

3
2

;

d) Re z = −

1
4

, Im z =

1
4

.

1.3. a) 5 + 5i;

b) 11 + 2i;

c)

4

25

−

3

25

i;

d) 1 + i;

e) 1;

f) 1.

1.4.

√

34 −

124

17

−

14
17

i.

1.5. a) a =

8

11

, b = −

10
11

;

b) a = 1, b = 8.

1.6. a) z ∈ {x + ix : x ∈ R} ∪ {x − ix : x ∈ R};

b) z ∈ (R ∪ {ix : x ∈ R}) \ {0}.

1.7. a) z = −2 − i;

b) z = −1 +

3
2

i;

c) z =

4

13

−

7

13

i;

d) z = 1.

1.8. a) {0, 1, −

1
2

−

√

3

2

i, −

1
2

+

√

3

2

i};

b) {0, −1, 1, −i, i}.

1.9. a) z = 4(cos 0 + i sin 0);

b) z =

√

3(cos

3
2

π + i sin

3
2

π);

c) z = 2(cos

π

4

+ i sin

π

4

);

d) z =

√

2(cos

3
4

π + i sin

3
4

π);

e) z = 2(cos

5
3

π + i sin

5
3

π);

f) z = 4(cos

7
6

π + i sin

7
6

π).

1.10. |z| = 1.

1.11. z ∈ R.
1.12. |z| = 1, Arg z = α.

1.13. Arg z

1

=

7
4

π; Arg z

2

=

π

3

; Arg z

3

= 0; Arg z

4

=

5
3

π; Arg z

5

=

3
4

π; Arg z

6

=

3
2

π.

Zatem z

2

, z

5

∈ A.

1.14. z

3

, z

4

∈ A.

1.15. a)

b)

c)

a

i

Rez

Imz

1

i

Rez

Imz

1

i

Rez

Imz

1

−2

1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb zespolonych

27

d)

e)

f)

a

i

Rez

Imz

1 2

4

i

Rez

Imz

1

i

i

Rez

Imz

1

2

g)

h)

i)

a

i

Rez

Imz

1

i

Rez

Imz

1

i

Rez

Imz

1

1.16. a)

b)

c)

a

ii

Rez

Imz

1

i

Rez

Imz

1

i

Rez

Imz

1

d)

e)

f)

a

i

Rez

Imz

1

i

Rez

Imz

1

i

Rez

Imz

1

1.17. wskazówka: wykorzystać interpretację geometryczną modułu różnicy dwóch liczb ze-

spolonych.

1.18. a) 2

2002

(1 −

√

3i);

b) −2

53

(1 + i);

c) 2

9

(1 −

√

3i);

d) 2

12

;

e) 2

48

(

√

3 + i)

(wskazówka: z

26

= (z

2

)

13

);

f) 2

16

(

q

2 +

√

2 +

q

2 −

√

2i).

1.19. sin 4ϕ = 4 cos

3

ϕ sin ϕ − 4 cos ϕ sin

3

ϕ,

cos 4ϕ = cos

4

ϕ − 6 cos

2

ϕ sin

2

ϕ + sin

4

ϕ

(wskazówka: patrz przykład 1.39).

1.20. a) {−2i, 2i};

b) {−

3
2

√

2 −

3
2

√

2i,

3
2

√

2 +

3
2

√

2i};

c) {−

q

1
2

√

5 −

1
2

−

q

1
2

√

5 +

1
2

i,

q

1
2

√

5 −

1
2

+

q

1
2

√

5 +

1
2

i};

d) {−

√

10

2

+

√

2

2

i,

√

10

2

−

√

2

2

i}

(wskazówka: patrz przykład 1.41).

1.21. a)

{−

√

3i,

√

3i};

b)

{−

√

2

2

+

√

2

2

i,

√

2

2

−

√

2

2

i};

c)

{−

√

6

2

−

√

2

2

i,

√

6

2

+

√

2

2

i};

d) {−3 + 2i, 3 − 2i};

e) {−i, −

√

3

2

+

1
2

i,

√

3

2

+

1
2

i};

f) {

1
2

+

√

3

2

i,

1
2

−

√

3

2

i, −1};

g) {−i, i, −1, 1};

h) {

√

2 −

√

2i, −

√

2 −

√

2i, −

√

2 +

√

2i,

√

2 +

√

2i}.

28

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

1.22. z = (1 − i)

8

= 16,

8

√

z = {1 + i, 1 − i, −1 − i, −1 + i, −i

√

2, i

√

2, −

√

2,

√

2}.

1.23. (abc − a − b − c)

2

+ (ab + bc + ca − 1)

2

(wskazówka: wykorzystać fakt, że moduł iloczynu

liczb zespolonych równy jest iloczynowi modułów).

1.24. a) W (z) = (z − 2 − i)(z − 2 + i);

b) W (z) = (z + i)(z − 4i);

c) W (z) = (2 + i)(z −

4
5

+

2
5

i)(z − 1 + i);

d) W (z) = (z − 2 − i)(z − 5 + 3i);

e) W (z) = z(z − 2i)

2

;

f) W (z) = 12i(z + 2i)(z −

13

6

+

5
6

i)(z −

13

6

−

5
6

i);

g) W (z) = (z + 1)(z + 3i)(z − 3i);
h) W (z) = (z + i) (z −

√

2i)(z +

√

2i) (z + 2 + 5i) (z + 2 − 5i);

i) W (z) = (z − 4 − i) (z − 2 + i) ;

j) W (z) = iz

2

(z −

√

3 + i)(z +

√

3 + i)(z − 2i).

1.25. a) z ∈ {−

1
2

+

√

3

2

i, −

1
2

−

√

3

2

i};

b) z ∈ {1 −

1
2

i +

√

3

2

, 1 −

1
2

i −

√

3

2

};

c) z ∈ {i, −

1
2

+

1
2

i};

d) z ∈ {2 + i, 1 − i, 2};

e) z ∈ {−4i, 4i, −1 − i, i};

f) z ∈ {1 +

√

3i, 1 −

√

3i, −2};

g) z ∈ {2i, −2i, i, −i};

h) z ∈ {2i, −

√

3 − i,

√

3 − i, 0};

i) z ∈ {2i, 3i, 1};

j) z ∈ {

√

2 (1 − i) , −

√

2 (1 + i) , −

√

2 (1 − i) ,

√

2 (1 + i)}.

1.26. m ∈ (−

5
6

, +∞).

1.27. k = 8 + 6i.

1.28. pierwiastki równania: z

1

= 2i, z

2

= −2i, z

3

= 2; z

3

∈ A.

1.29. A = ∅; B = {3i}; C = {−1 + i, 1 + i}.

1.32. W obydwu przypadkach G nie jest grupą, gdyż nie istnieje element neutralny.

1.33. Wskazówka: G ⊂ C, a zatem wystarczy pokazać, że G jest podgrupą grupy (C, ·).

·

−1

1

−i

i

−1

1 −1

i

−i

1

−1

1

−i

i

−i

i

−i −1

1

i

−i

i

1 −1

1.34. A

n

= {cos

2kπ

n

+ i sin

2kπ

n

: k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}}.

1.36. Nie, gdyż mnożenie w tym zbiorze nie jest działaniem wewnętrznym.

Rozdział 2

Macierze i wyznaczniki

2.1. Macierze i ich rodzaje

W tym rozdziale wprowadzimy pojęcie macierzy, omówimy różne typy macierzy oraz

własności działań, które można wykonywać na macierzach. Macierze wykorzystywane są
w różnych działach matematyki — służą do uporządkowanego zapisu danych, takich jak
np. współczynniki układu równań liniowych (paragraf 3.1), czy też pochodne cząstkowe
drugiego rzędu funkcji wielu zmiennych. W dalszej części tego skryptu definiowane w
tym rozdziale działania i operacje na macierzach znajdą swoje zastosowanie głównie w
rozwiązywaniu układów równań liniowych (rozdział 3) oraz w opisywaniu przekształceń
liniowych (rozdział 5).

Definicja 2.1. Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem oraz m, n ∈ N. Macierzą
o m wierszach i n kolumnach (m × n-macierzą, macierzą wymiaru m × n) o wyrazach
w zbiorze X nazywamy dowolną funkcję

A : {1, . . . , m} × {1, . . . , n} → X.

Jeżeli X = R (X = C), to mówimy wtedy o macierzy rzeczywistej (zespolonej). Liczby
m i n nazywamy wymiarami macierzy A. Zbiór wszystkich macierzy wymiaru m × n
o wyrazach ze zbioru X oznaczamy symbolem M

m,n

(X) (w szczególności M

m,n

(R) oznacza

zbiór wszystkich m × n macierzy rzeczywistych). Jeśli zbiór X jest ustalony, to dla
skrócenia zapisu będziemy używać notacji M

m,n

.

Przyjmujemy następujące oznaczenie

a

ij

def

= A (i, j) .

Wówczas macierz A reprezentujemy w postaci tablicy

A =














a

11

a

12

. . .

a

1j

. . .

a

1n

a

21

a

22

. . .

a

2j

. . .

a

2n

..

.

..

.

..

.

..

.

a

i1

a

i2

. . .

a

ij

. . .

a

in

..

.

..

.

..

.

..

.

a

m1

a

m2

. . . a

mj

. . . a

mn














← i-ty wiersz

↑

j-ta kolumna

i zapisujemy krótko

A = [a

ij

]

i=1,...,m

j=1,...,n

lub

A = [a

ij

] .

30

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Przykład 2.2. Przykłady macierzy:

• macierz zespolona wymiaru 2 × 3:

A =

"

2 + i −1

−i

0

1

1 + i

#

;

• macierz rzeczywista wymiaru 4 × 4:

B =








2

0

√

7 3

−1

2

π

1

0

−3

2

e

1

2

3

4








;

• macierz funkcyjna wymiaru 2 × 2:

C =

"

e

−x

x

2

−e

−x

2x

#

.

Uwaga 2.3. Mówimy, że macierze A = [a

ij

] , B = [b

ij

] ∈ M

m,n

(X) są równe i piszemy

A = B, gdy

a

ij

= b

ij

dla i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

Definicja 2.4.

• Macierz A = [a

ij

] ∈ M

m,n

(X), gdzie X = R lub X = C nazywamy macierzą zerową,

jeżeli a

ij

= 0 dla wszystkich i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Oznaczamy ją przez 0

m,n

lub

po prostu przez 0, gdy wymiary macierzy są ustalone.

• Jeżeli A = [a

ij

] ∈ M

m,n

(X) i m = n, to A nazywamy macierzą kwadratową. Ciąg

wyrazów a

11

, a

22

, . . . , a

nn

nazywamy główną przekątną macierzy A.

Definicja 2.5. Załóżmy, że A = [a

ij

] jest rzeczywistą (zespoloną) macierzą kwadratową

stopnia n, gdzie n ­ 2.

• Macierz A nazywamy macierzą trójkątną górną (dolną), gdy

a

ij

= 0 dla i > j (i < j),

czyli gdy pod (nad) główną przekątną są same zera, tzn.

A =











a

11

a

12

a

13

. . . a

1n

0

a

22

a

23

. . . a

2n

0

0

a

33

. . . a

3n

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

0

0

0

0

a

nn











lub

A =











a

11

0

0

. . .

0

a

21

a

22

0

. . .

0

a

31

a

32

a

33

. . .

0

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

a

n1

a

n2

a

n3

. . . a

nn











.

• Macierz A nazywamy macierzą diagonalną, jeśli

a

ij

= 0 dla i 6= j,

czyli gdy poza główną przekątną są same zera

A =











a

11

0

0

. . .

0

0

a

22

0

. . .

0

0

0

a

33

. . .

0

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

0

0

0

0

a

nn











.

2. Macierze i wyznaczniki

31

Jeśli przy tym a

ii

= 1 dla i = 1, 2, . . . , n, to A nazywamy macierzą jednostkową

stopnia n i oznaczamy symbolem I

n

I

n

def

=











1 0 0 . . . 0
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0

..

.

..

.

..

.

. .. ...

0 0 0 . . . 1











.

• Macierz A nazywamy macierzą symetryczną, gdy

a

ij

= a

ji

dla i > j,

czyli gdy wyrazy macierzy A leżą symetrycznie względem głównej przekątnej

A =











a

11

a

12

a

13

. . . a

1n

a

12

a

22

a

23

. . . a

2n

a

13

a

23

a

33

. . . a

3n

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

a

1n

a

2n

a

3n

. . . a

nn











.

• Macierz A nazywamy macierzą antysymetryczną, gdy

a

ii

= 0 dla i = 1, . . . , n

oraz

a

ij

= −a

ji

dla i > j

A =











0

a

12

a

13

. . . a

1n

−a

12

0

a

23

. . . a

2n

−a

13

−a

23

0

. . . a

3n

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

−a

1n

−a

2n

−a

3n

. . .

0











.

2.2. Operacje na macierzach

W tym paragrafie zajmiemy się jedynie macierzami nad ciałem K, gdzie K = R lub

K = C.

Definicja 2.6. Niech A, B ∈ M

m,n

, A = [a

ij

], B = [b

ij

].

• Sumą macierzy A i B nazywamy macierz A + B ∈ M

m,n

taką, że

A + B

def

= [a

ij

+ b

ij

] .

• Jeśli α ∈ K, to iloczynem macierzy A przez liczbę α nazywamy macierz αA ∈

M

m,n

taką, że

αA

def

= [αa

ij

] .

Twierdzenie 2.7. Jeśli A, B, C są macierzami rzeczywistymi (zespolonymi) tego samego
wymiaru, zaś α, β dowolnymi liczbami rzeczywistymi (zespolonymi), to

1) A + B = B + A;

2) A + (B + C) = (A + B) + C;

3) A + 0 = A;

4) A + (−A) = 0, gdzie −A = [−a

ij

], jeśli A = [a

ij

] ;