algebra Skrypt Algebra KSzW 201 Nieznany

Książka/publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie

Elżbieta Kotlicka-Dwurznik

Bożenna Szkopińska

Witold Walas

__________________________

Elementy algebry

i geometrii analitycznej

Łódź 2011

Opiniodawca:

dr hab. Artur Bartoszewicz, prof. PŁ

Autorzy:

dr inż. Elżbieta Kotlicka-Dwurznik

dr Bożenna Szkopińska
dr inż. Witold Walas

Druk:

arsa pasja&kolor Łódź

Podręcznik akademicki przygotowany w ramach projektu „Innowacyjna dydaktyka bez
ograniczeń - zintegrowany rozwój Politechniki Łódzkiej - zarządzanie Uczelnią, nowoczesna
oferta edukacyjna i wzmacnianie zdolności do zatrudniania, także osób niepełnosprawnych",
współfinansowanego przez Unię Europejską w ramach europejskiego Funduszu Społecznego
- Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki „Priorytet IV, poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie
potencjału dydaktycznego uczelni".

Skład wykonany w systemie

Rysunki wygenerowano za pomocą programu MuPAD Pro 4.0.

© Copyright by Politechnika Łódzka
Łódź 2011

Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicz-
nych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych, w tym również nie może być umieszczany ani rozpo-
wszechniany w postaci cyfrowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnych bez pisemnej zgody posiadacza
praw autorskich.

ISBN 978-83-62660-03-2

Spis treści

Przedmowa

Rozdział 1.

Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb

zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.

Działania wewnętrzne, grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.

Ciała . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.

Ciało liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.

Sprzężenie i moduł liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.

Argument i postać trygonometryczna liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.

Postać wykładnicza liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7.

Zasadnicze twierdzenie algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Rozdział 2.

Macierze i wyznaczniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.

Macierze i ich rodzaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.

Operacje na macierzach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.

Wyznacznik macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.

Metoda Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5.

Macierz odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6.

Równoważna definicja wyznacznika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Rozdział 3.

Układy równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.

Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2.

Twierdzenie Cramera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.

Rząd macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4.

Metoda Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Rozdział 4.

Geometria analityczna w R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.

Wektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.

Płaszczyzna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3.

Prosta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.4.

Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Rozdział 5.

Przestrzenie wektorowe i przekształcenia liniowe . . . . . . . . . . .

5.1.

Podstawowe definicje i własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2.

Liniowa zależność i liniowa niezależność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3.

Baza i wymiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.4.

Podprzestrzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.5.

Przekształcenia liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.6.

Macierz przekształcenia liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.7.

Wektory własne i wartości własne przekształcenia liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.8.

Diagonalizacja macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Wykaz oznaczeń

100

Literatura

102

Przedmowa

Niniejsza książka przeznaczona jest głównie dla studentów pierwszego roku uczelni

technicznych. Przedstawiony w niej materiał stanowi uzupełnienie i rozszerzenie treści
programowych realizowanych na wykładzie z przedmiotu „Algebra liniowa” prowadzonego
na Wydziale Elektrotechniki, Elektroniki, Informatyki i Automatyki Politechniki Łódzkiej
przez wykładowców Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki.

Materiał zawarty w tej publikacji dostosowany jest do aktualnego programu studiów

i obejmuje następujące zagadnienia:

• ogólne struktury algebraiczne,
• ciało liczb zespolonych,
• macierze i wyznaczniki,
• układy równań liniowych,
• elementy geometrii analitycznej,
• przestrzenie wektorowe i przekształcenia liniowe.

W każdym rozdziale oprócz twierdzeń i definicji znajdują się przykłady, ćwiczenia

oraz rysunki ilustrujące omawiane pojęcia, a także zadania do samodzielnego rozwiązania
z odpowiedziami. Na końcu książki dołączony jest skorowidz stosowanych oznaczeń oraz
wykaz literatury. Od czytelnika nie wymaga się znajomości innych kursów akademickich,
choć zapoznanie z podstawowymi pojęciami logiki, teorii mnogości i analizy matematycznej
może znacznie ułatwić przyswojenie zawartego tu materiału.

Uzupełnenie niniejszego skryptu stanowi, dostępny w wersji elektronicznej, zbiór zadań:

„Algebra liniowa — zestaw interaktywnych ćwiczeń”.

Autorzy uprzejmie proszą o przesyłanie wszelkich uwag i komentarzy dotyczących

prezentowanej publikacji.

Elżbieta Kotlicka-Dwurznik
Bożenna Szkopińska
Witold Walas

elzbieta.kotlicka@p.lodz.pl
bozena.szkopinska@p.lodz.pl
witold.walas@p.lodz.pl

Rozdział 1

Podstawowe struktury algebraiczne,
ciała, ciało liczb zespolonych

1.1. Działania wewnętrzne, grupy

Zbiory oznaczamy zwykle dużyli literami np. A, X, K. Fakt, że a jest elementem zbioru

A zapisujemy jako a ∈ A. Jeżeli a ∈ A i b ∈ B, to parą uporządkowaną o poprzedniku a
i następniku b nazywamy zbiór

(a, b)

def

= {{a}, {a, b}}.

Dwie pary (a, b) i (x, y) są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy a = x i b = y.

Zbiór wszystkich par uporządkowanych o poprzedniku z A i następniku z B nazywamy
iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B i oznaczamy przez A × B. Mamy więc

A × B

def

= {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Definicja 1.1. Niech A będzie niepustym zbiorem.

• Każdą funkcję

◦ : A × A → A

nazywamy działaniem (wewnętrznym) w zbiorze A.

• Jeżeli ◦ jest działaniem wewnętrznym w A, to uporządkowaną parę (A, ◦) nazywamy

strukturą algebraiczną.

Przykład 1.2. Zauważmy, że dodawanie i mnożenie liczb rzeczywitych są funkcjami

+ : R × R → R,

· : R × R → R,

tzn. dowolnej parze liczb rzeczywistych (a, b) przyporządkowujemy liczby rzeczywiste a+b
i a · b zwane odpowiednio sumą i iloczynem liczb a i b. W myśl powyższej definicji
dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi w R, a zatem pary (R, +) oraz (R, ·)
są strukturami algebraicznymi.

Definicja 1.3. Zbiór G wraz z działaniem ◦ : G × G → G nazywamy grupą, jeżeli
spełnione są warunki:

a) działanie ◦ jest łączne, tzn.

a,b,c ∈G

a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c,

b) istnieje dokładnie jeden element e ∈ G taki, że

a ∈G

a ◦ e = e ◦ a = a,

(1.1)

a ∈G

b ∈G

a ◦ b = b ◦ a = e.

(1.2)

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Jeżeli G jest grupą, to element e, o którym mowa punkcie b), nazywamy elementem

neutralnym grupy G. Odnotujmy, iż jednoznaczność istnienia elementu neutralnego
wynika bezpośrednio z warunku (1.1). Ponadto można wykazać, że dla każdego a ∈ G
istnieje dokładnie jeden element b ∈ G taki, że zachodzi warunek (1.2) — nazywamy go
elementem odwrotnym do a i oznaczamy przez a

−1

Definicja 1.4. Grupę G nazywamy grupą abelową (przemienną), jeśli

a,b ∈G

a ◦ b = b ◦ a.

Przykład 1.5. Przykłady grup:

1) zbiór G = {e} z jedynym działaniem e ◦ e = e — jest to tzw. grupa trywialna;
2) zbiór liczb rzeczywistych R z dodawaniem i zerem jako elementem neutralnym;
3) zbiór R \ {0} z mnożeniem i jedynką jako elementem neutralnym;
4) zbiór D

wszystkich izometrii n-kąta foremnego (n  3) wraz ze składaniem izometrii

oraz przekształceniem identycznościowym jako elementem neutralnym (jest to grupa
nieabelowa).

Uwaga 1.6. Można łatwo pokazać, że zbiór liczb naturalnych z dodawaniem i zerem (jak
również zbiór liczb całkowitych z mnożeniem i jedynką) nie stanowi grupy.

Przykład 1.7. Wykazać, że zbiór R z działaniem ⊕ określonym następująco

a ⊕ b = a + b + 1 dla a, b ∈ R,

jest grupą abelową.

Rozwiązanie: Nietrudno sprawdzić, że działanie ⊕ jest wewnętrzne, przemienne i łączne.
Aby struktura (R, ⊕) była grupą, trzeba jeszcze wykazać, że spełnione są warunki b) i c)
w definicji 1.3. Najpierw znajdziemy element neutralny — ze względu na przemienność
działania ⊕ wystarczy znaleźć taką liczbę x ∈ R, że a ⊕ x = a. Wprost z definicji mamy

a + x + 1 = a

i stąd x = −1. Elementem neutralnym jest więc liczba e = −1.

Niech a ∈ R. Wyznaczymy element odwrotny do a, tzn. taką liczbę x ∈ R, że a⊕x = e.

Stąd

a + x + 1 = −1,

a zatem x = −a − 2, co oznacza, że elementem odwrotnym do a jest liczba a

−1

= −a − 2.

Definicja 1.8. Niech G będzie grupą z działaniem ◦. Niepusty podzbiór H ⊂ G nazywamy
podgrupą grupy G, jeżeli H z działaniem ◦ też jest grupą.

Twierdzenie 1.9. Niepusty podzbiór H ⊂ G jest podgrupą grupy G wtedy i tylko wtedy,
gdy spełnione są warunki:

a,b ∈H

a ◦ b ∈ H,

a ∈H

−1

∈ H.

Przykład 1.10. Przykłady podgrup.

1) Jeżeli G jest dowolną grupą z elementem neutralnym e, to {e} i G są podgrupami G.
2) Zbiory liczb całkowitych i wymiernych są podgrupami grupy R z dodawaniem.
3) Zbiory S

= {−1, 1} oraz Q \ {0} są podgrupami grupy R \ {0} z mnożeniem.

4) Niech S

oznacza zbiór obrotów wokół środka symetrii n-kąta foremnego (n  3).

Wówczas S

jest podgrupą abelową grupy D

1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb zespolonych

Przykład 1.11. Rozpatrzmy zbiór przekształceń trójkąta równobocznego ABC składa-
jący się z obrotów wokół punktu O: a

= O

, a

= O

2
3

, a

= O

4
3

, oraz symetrii a

, a

odpowiednio względem osi AP , BQ, CR. Zbiór ten, wraz z działaniem ◦ zdefiniowanym
jako składanie przekształceń, jest nieprzemienną podgrupą grupy D

, co ilustruje poniższa

tabela:

◦

1.2. Ciała

Definicja 1.12. Ciałem nazywamy dowolny zbiór K z działaniami wewnętrznymi

⊕ : K × K → K,

: K × K → K,

zwanymi odpowiednio dodawaniem i mnożeniem, spełniającymi poniższe warunki:

a) zbiór K z działaniem ⊕ jest grupą abelową z elementem neutralnym 0,

b) zbiór K \ {0} z działaniem jest grupą abelową z elementem neutralnym 1,

c) działanie jest rozdzielne względem ⊕, tzn.

a,b,c ∈K

a (b ⊕ c) = (a b) ⊕ (a c) .

Formalnie ciało zapisujemy jako uporządkowaną trójkę postaci (K, ⊕, ). Jeżeli

a ∈ K, to element b z K taki, że a ⊕ b = 0 nazywamy elementem przeciwnym do a.
Jeśli natomiast a ∈ K \ {0}, to element b z K taki, że a b = 1 nazywamy elementem
odwrotnym do a.

Przykład 1.13. Przykłady ciał:

1) zbiór liczb rzeczywistych ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem;
2) zbiór liczb wymiernych ze zwykłym dodawaniam i mnożeniem;
3) zbiór Z

= {0, 1} z działaniami zdefiniowanymi w poniższych tabelkach:

⊕

0 1

1 0

0 1

0 0

0 1

Definicja 1.14. Podzbiór L ⊂ K nazywamy podciałem ciała (K, ⊕, ), jeżeli (L, ⊕, )
wraz z wyróżnionymi elementami 0, 1 ∈ L też jest ciałem.

Przykład 1.15. Niech Q[

√

2] oznacza zbiór liczb postaci a + b

√

2, gdzie a, b ∈ Q. Można

wykazać, że zbiór ten jest podciałem ciała R ze zwykłym dodawaniem, mnożeniem,
0 i 1. Ponadto ciało Q[

√

2] jest najmniejszym (w sensie inkluzji) podciałem ciała R

zawierającym ciało liczb wymiernych oraz liczbę

√

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Twierdzenie 1.16. Niech (K, ⊕, ) będzie dowolnym ciałem. Wówczas

1) 0 6= 1;

a,b ∈K

[a b = 0 ⇔ (a = 0 ∨ b = 0)];

a ∈K

a 0 = 0.

Uwaga 1.17. Zbiór Z

= {0, 1, 2, 3} z działaniami zdefiniowanymi w poniższych tabelkach

nie jest ciałem. Mamy bowiem 2 2 = 0, co stanowi sprzeczność z twierdzeniem 1.16 pkt
2).

⊕

0 1 2 3

1 2 3 0

2 3 0 1

3 0 1 2

0 1 2 3

0 0 0 0

0 1 2 3

0 2 0 2

0 3 2 1

1.3. Ciało liczb zespolonych

Definicja 1.18. Ciałem liczb zespolonych nazywamy zbiór C = R

wraz z wyróżnio-

nymi elementami 0 = (0, 0) i 1 = (1, 0) oraz działaniami + i · zdefiniowanymi poniżej:

(a, b) + (x, y)

def

(a + x, b + y)

dla (a, b), (x, y) ∈ R

(a, b) · (x, y)

def

(ax − by, ay + bx)

dla (a, b), (x, y) ∈ R

Bez trudu można sprawdzić łączność i przemienność dodawania i mnożenia, rozdziel-

ność mnożenia względem dodawania oraz fakt, iż liczbą przeciwną do (x, y) jest

− (x, y) = (−x, −y) ,

zaś odwrotną do (x, y) 6= 0 jest

(x, y)

−1

= (

+ y

, −

+ y

Ciało liczb zespolonych spełnia warunki a) – c) w definicji 1.12, stanowi zatem przykład
kolejnego ciała.

W dalszym ciągu zero zespolone 0 i jedynkę zespoloną 1 będziemy oznaczać po prostu

przez 0 i 1. Przyjmujemy też oznaczenie:

def

= (0, 1) .

Uwaga 1.19. Zauważmy, że

= (0, 1) · (0, 1) = (0 − 1, 0 + 0) = (−1, 0) = − (1, 0) = −1,

co oznacza, że w zbiorze liczb zespolonych równanie

= −1

posiada rozwiązanie — jest nim liczba i. Łatwo sprawdzić, że drugim rozwiązaniem tego
równania jest liczba −i.

Uwaga 1.20. Liczbę zespoloną (x, 0) będziemy utożsamiać z liczbą rzeczywistą x.
W konsekwencji ciało (R, +, ·) można traktować jako podciało ciała (C, +, ·). Dodajmy,
że ciało liczb zespolonych jest najmniejszym (w sensie inkluzji) ciałem zawierającym ciało
liczb rzeczywistych oraz liczbę urojoną i.

1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb zespolonych

Definicja 1.21. Ciałem liczbowym nazywamy ciało (C, +, ·) oraz każde jego podciało.

Najmniejszym (w sensie inkluzji) podciałem ciała (C, +, ·) jest ciało (Q, +, ·).

Uwaga 1.22. Liczb zespolonych nie porównujemy ze sobą w relacji mniejszości <. Mówiąc
dokładniej, nie istnieje taka relacja w zbiorze C, która by zachowywała własności relacji
< ze zbioru R.

Jeśli z = (x, y) jest liczbą zespoloną, to

(x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) · (y, 0) = x + iy.

A zatem każdą liczbę zespoloną z = (x, y), gdzie x, y ∈ R, można jednoznacznie przed-
stawić w postaci z = x + iy, zwanej postacią kartezjańską liczby zespolonej. Liczbę
postaci z = iy, gdzie y ∈ R \ {0}, nazywamy liczbą czysto urojoną.

z = x + iy

Rys. 1.1. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej

Liczbę zespoloną z = x + iy, gdzie x, y ∈ R, można graficznie traktować jako punkt

(x, y) lub jako wektor [x, y] zaczepiony w punkcie (0, 0) (rys. 1.1). Z tego powodu zbiór
liczb zespolonych nazywamy też płaszczyzną zespoloną (płaszczyzną Gaussa, pła-
szczyzną Arganda), zaś dodawanie (odejmowanie) liczb zespolonych interpretujemy
jako dodawanie (odejmowanie) wektorów (rys. 1.2).

z + w

Rys. 1.2. Dodawanie liczb zespolonych

Przykład 1.23. Niech z = 2 − i oraz w = 3 + 4i. Obliczyć sumę, różnicę i iloczyn liczb
z i w.

Rozwiązanie: Podstawowe działania na liczbach zespolonych w postaci kartezjańskiej

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

wykonujemy tak, jakbyśmy działali na wyrażeniach algebraicznych ze zmienną i uwzglę-
dniając fakt, że i

= −1. Mamy zatem:

z + w = (2 − i) + (3 + 4i) = (2 + 3) + (−i + 4i) = 5 + 3i;

z − w = z + (−w) = (2 − i) + (−3 − 4i) = (2 − 3) + (−i − 4i) = −1 − 5i;

z · w = (2 − i) · (3 + 4i) = 2 · 3 + 2 · 4i − 3 · i − i · 4i = 6 + 8i − 3i − 4i

= 6 + 5i + 4 =

= 10 + 5i.

Definicja 1.24. Niech z = x + iy, gdzie x, y ∈ R. Wówczas

• liczbę x nazywamy częścią rzeczywistą liczby z i oznaczamy przez Re z, a zatem

Re z

def

= x;

• liczbę y nazywamy częścią urojoną liczby z i oznaczamy przez Im z, czyli

Im z

def

= y.

Uwaga 1.25. Niech z, w ∈ C. Wówczas

z = w

⇔ (Re z = Re w ∧ Im z = Im w) .

Przykład 1.26. Dla jakich liczb rzeczywistych a i b zachodzi równość:

a − 4 + (b − 1) i = (2 − i)(3 − 4i) ?

Rozwiązanie: Niech z = a − 4 + (b − 1) i oraz w = (2 − i)(3 − 4i). Wówczas mamy:

Re z = a − 4,

Im z = b − 1,

Re w = 2 · 3 + 4i

= 2,

Im w = −8 − 3 = −11.

Korzystając z uwagi 1.25 wnioskujemy, że

z = w

⇔ (a − 4 = 2 ∧ b − 1 = −11) ⇔ (a = 6 ∧ b = −10)

1.4. Sprzężenie i moduł liczby zespolonej

Definicja 1.27. Sprzężeniem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y ∈ R, nazy-
wamy liczbę zespoloną

def

= x − iy.

Rez

Imz

z = x + iy

z = x − iy

−yi

Rys. 1.3. Sprzężenie liczby zespolonej

1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb zespolonych

Twierdzenie 1.28. Niech z, w ∈ C. Wówczas

z ± w = z ± w;

2) z · w = z · w;

3) (

) =

, o ile w 6= 0;

4) (z) = z;

5) z +

z = 2 Re z;

6) z − z = 2i Im z.

Przykład 1.29. Obliczyć z + w i z · w, jeśli z = 2 − i oraz w = 3 + 4i.

Rozwiązanie:
z + w = (2 + i) + (3 − 4i) = 5 − 3i;

z · w = (2 + i) · (3 − 4i) = 2 · 3 − 2 · 4i + i · 3 − i · 4i = 10 − 5i.

Wyznaczając iloczyn sprzężeń liczb zespolonych można również wykorzystać twierdzenie
1.28 pkt 2) oraz obliczenia z przykładu 1.23 — wówczas mamy:

z · w = z · w = 10 + 5i = 10 − 5i.

Definicja 1.30. Modułem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y ∈ R, nazywamy liczbę
rzeczywistą

|z|

def

+ y

Zauważmy, że jeżeli z jest liczbą rzeczywistą, to

|z| = |x + 0 · i| =

√

= |x| ,

gdzie |x| oznacza wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x.

Rez

Imz

z = x + iy

|z|

|x|

|y|

Rys. 1.4. Interpretacja geometryczna modułu liczby zespolonej

Geometrycznie moduł liczby zespolonej z = x + iy interpretujemy jako odległość

punktu (x, y) od początku układu współrzędnych lub jako długość wektora [x, y] (patrz
rys. 1.4). Ponadto dla dowolnej liczby zespolonej z

= x

+ iy

mamy

|z − z

| = |x + iy − x

− iy

| = |x − x

+ (y − y

)i| =

(x − x

)

+ (y − y

)

co oznacza, że liczba |z − z

| równa jest odległości między punktami (x, y) i (x

, y

W konsekwencji dla ustalonego z

∈ C i r > 0 zbiory

O(z

, r) = {z ∈ C : |z − z

| = r} oraz K(z

, r) = {z ∈ C : |z − z

| ¬ r}

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

określają na płaszczyźnie zespolonej odpowiednio okrąg oraz koło o środku w z

i promieniu

Twierdzenie 1.31. Niech z, w ∈ C. Wówczas

1) |z| = |−z| = |z| ;

2) |z · w| = |z| · |w| ;

|z|

|w|

, o ile w 6= 0;

4) |z + w| ¬ |z| + |w|

(tzw. nierówność trójkąta);

5) ||z| − |w|| ¬ |z − w| ;

6) |Re z| ¬ |z| , |Im z| ¬ |z| ;

7) z ·

z = |z|

Przykład 1.32. Obliczyć |z| , |w| , |z · w| i

, jeśli z = 2 − i oraz w = 3 + 4i.

Rozwiązanie:

|z| =

+ (−1)

√

|w| =

√

+ 4

√

25 = 5;

|z · w| = |z| · |w| =

√

5 · 5 = 5

√

|z|

|w|

√

Przykład 1.33. Obliczyć

, jeśli z = 2 − i oraz w = 3 + 4i.

Rozwiązanie: Wyznaczając iloraz liczb zespolonych wykorzystamy twierdzenie 1.31 pkt
7):

z·w

w·w

z·w

|w|

(2−i)·(3−4i)

6−8i−3i+4i

2−11i

−

11
25

w·z

z·z

w·z
|z|

(3+4i)·(2+i)

6+3i+8i+4i

2+11i

2
5

1.5. Argument i postać trygonometryczna liczby ze-

spolonej

Niech z = x + iy, gdzie x, y ∈ R i z 6= 0. Zauważmy, że

+ y

= |z|

co oznacza, że punkt o współrzędnych (x, y) leży na okręgu o promieniu |z| i środku
w początku układu współrzędnych (rys. 1.5). Istnieje zatem nieskończenie wiele liczb
rzeczywistych ϕ takich, że











cos ϕ =

|z|

sin ϕ =

|z|

(1.3)

Definicja 1.34.

• Jeżeli z = x + iy, gdzie x, y ∈ R i z 6= 0, to każdą liczbę ϕ ∈ R spełniającą równości

(1.3) nazywamy argumentem liczby zespolonej z. Zbiór wszystkich argumentów
liczby z oznaczamy przez arg z.

1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb zespolonych

• Spośród wszystkich argumentów liczby z 6= 0 dokładnie jeden należy do przedziału

[0, 2π) — nazywamy go argumentem głównym liczby z i oznaczamy symbolem
Arg z. (Wybór przedziału jest kwestią umowną — czasami przyjmuje się, że Arg z ∈
(−π, π]).

• Przyjmujemy dodatkowo, że Arg 0 = 0.

Łatwo widać, że zachodzi równość:

arg z = {Arg z + 2kπ : k ∈ Z}.

Rez

Imz

z = x + iy

|z|

Rys. 1.5. Argument liczby zespolonej

Jeżeli z = x + iy jest dowolną liczbą zespoloną, to z równości (1.3) wynika, że

x = |z| cos ϕ,

y = |z| sin ϕ,

gdzie ϕ ∈ arg z. Stąd dostajemy

z = x + iy = |z| cos ϕ + i |z| sin ϕ = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) .

A zatem każdą liczbę zespoloną z można przedstawić w postaci:

z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) ,

gdzie ϕ ∈ arg z,

zwanej postacią trygonometryczną liczby zespolonej.

Przykład 1.35. Zapisać liczby zespolone: z

= −4, z

= −i oraz z

= −1+

√

3i w postaci

trygonometrycznej.

Rozwiązanie: Zaobserwujmy najpierw, że jeśli liczba zespolona leży na jednej z osi
układu, to jej argument równy jest wielokrotności

. Tak się dzieje w przypadku liczb z

i z

, dla których mamy: Arg z

= π oraz Arg z

3π

. Ponieważ |z

| = 4, |z

| = 1, a zatem

= 4(cos π + i sin π),

= cos

3π

+ i sin

3π

W przypadku liczby z

zaczynamy od wyznaczenia jej modułu:

| =

(−1)

+ (

√

= 2,

a następnie zapisujemy równania, które spełnia jej argument ϕ:







cos ϕ =

−1

sin ϕ =

√

Rozwiązaniem otrzymanego układu równań należącym do przedziału [0, 2π) jest liczba

2π

. Stąd mamy

= 2(cos

2π

+ i sin

2π

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Twierdzenie 1.36. Jeżeli z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) oraz w = |w| (cos ψ + i sin ψ), to

1) z · w = |z| |w| (cos (ϕ + ψ) + i sin (ϕ + ψ)) ;

|z|

|w|

(cos (ϕ − ψ) + i sin (ϕ − ψ)) ,

o ile w 6= 0.

Rez

Imz

z · w

|z||w|

|w|

|z|

|z||w|

|w|

|z|

Rys. 1.6. Interpretacja geometryczna iloczynu liczb zespolonych

Wniosek 1.37. Jeżeli z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) oraz n ∈ Z, to

= |z|

(cos (nϕ) + i sin (nϕ)) .

W szczególności, jeśli |z| = 1 oraz n ∈ N, to

= cos (nϕ) + i sin (nϕ) .

(wzór de Moivre’a)

Uwaga 1.38. Niech z

= |z

| (cos ϕ

+i sin ϕ

) będzie ustaloną liczbą zespoloną. Wówczas

dla dowolnej liczby z = cos ϕ + i sin ϕ mamy:

· z = |z

| (cos ϕ

+ i sin ϕ

) · (cos ϕ + i sin ϕ) = |z

| (cos(ϕ

+ ϕ) + i sin(ϕ

+ ϕ)),

· z| = |z

| .

A zatem mnożenie liczby z

przez liczbę (cos ϕ + i sin ϕ) geometrycznie możemy inter-

pretować jako obraz z

w obrocie wokół początku układu współrzędnych o kąt ϕ (rys.

1.7).

Rez

Imz

· (cos ϕ + i sin ϕ)

Rys. 1.7.

Przykład 1.39. Wykorzystując dwumianowy wzór Newtona i wzór de Moivre’a można
szybko wyprowadzić tożsamości trygonometryczne pozwalające wyrazić sin nϕ oraz cos nϕ
za pomocą sin ϕ i cos ϕ. Dla przykładu dla n = 3 z jednej strony zachodzi równość:

(cos ϕ + i sin ϕ)

= (i sin ϕ)

+ 3 cos ϕ (i sin ϕ)

+ 3 cos

ϕ (i sin ϕ) + cos

ϕ =

= −i sin

ϕ − 3 cos ϕ sin

ϕ + 3i cos

ϕ sin ϕ + cos

ϕ,

1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb zespolonych

z drugiej strony natomiast ze wzoru de Moivre’a wynika, że

(cos ϕ + i sin ϕ)

= cos 3ϕ + i sin 3ϕ.

Porównując odpowiednio części rzeczywiste i urojone oraz stosując jedynkę trygonome-
tryczną dostajemy:

cos 3ϕ = −3 cos ϕ sin

ϕ + cos

ϕ = −3 cos ϕ

1 − cos

+ cos

ϕ = −3 cos ϕ + 4 cos

ϕ,

sin 3ϕ = − sin

ϕ + 3 cos

ϕ sin ϕ = 3

1 − sin

sin ϕ − sin

ϕ = 3 sin ϕ − 4 sin

ϕ.

Definicja 1.40. Niech z ∈ C i n ∈ N. Mówimy, że liczba zespolona w jest pierwiastkiem
stopnia n z liczby z, gdy w

= z. Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby z oznaczamy

przez

√

Przykład 1.41. Wyznaczyć zbiór pierwiastków stopnia drugiego z liczby z = 3 + 4i.

Rozwiązanie: Z definicji wynika, że liczba w jest pierwiastkiem stopnia drugiego z liczby
z, gdy w

= z. Przyjmijmy, że w = x + yi, gdzie x, y ∈ R \ {0}. Wówczas

= (x + yi)

= x

+ 2xyi + y

= x

− y

+ 2xyi,

a zatem

= 3 + 4i

⇔ x

− y

+ 2xyi = 3 + 4i

⇔ (x

− y

= 3 ∧ 2xy = 4)

Rozwiązujemy otrzymany układ równań:

(

− y

= 3

xy = 2

⇔

(

− y

= 3

y =

2
x

⇔

(

−

= 3

y =

2
x

⇔

(

− 3x

− 4 = 0

y =

2
x

⇔

(

x = 2 ∨ x = −2
y =

2
x

⇔

(

x = 2
y = 1

∨

(

x = −2
y = −1

To oznacza, że

√

3 + 4i = {2 + i, −2 − i}.

Przykład 1.42. Niech a ∈ R \ {0}. Wyznaczyć zbiór pierwiastków stopnia drugiego
z liczby z = −a

Rozwiązanie: Zauważmy, że

z = −a

= i

= (ia)

= (−ia)

a zatem liczby w

= ia oraz w

= −ia są pierwiastkami stopnia drugiego z liczby z.

Pozostaje tylko rozstrzygnąć, czy są to jedyne pierwiastki z podanej liczby — w tym
celu możemy postąpić podobnie jak w poprzednim przykładzie lub wykorzystać poniższe
twierdzenie.

Twierdzenie 1.43. Jeżeli z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) jest liczbą zespoloną różną od zera,
to dla każdego n ∈ N istnieje dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n z liczby z.
Pierwiastki te są postaci:

|z|

cos

ϕ + 2kπ

+ i sin

ϕ + 2kπ

k = 0, 1, . . . , n − 1.

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Przykład 1.44. Wyznaczyć zbiór pierwiastków stopnia trzeciego z liczby z = −8.

Rozwiązanie: Na mocy twierdzenia 1.43 istnieją trzy pierwiastki stopnia trzeciego z
liczby z — oznaczmy je przez w

, w

. Ponieważ |z| = 8 oraz Arg z = π zatem

√

cos

π+2kπ

+ i sin

π+2kπ

dla k ∈ {0, 1, 2}.

Stąd mamy:

= 2(cos

+ i sin

) = 1 + i

√

= 2(cos

π+2π

+ i sin

π+2π

) =

= 2(cos π + i sin π) = −2,

= 2(cos

π+4π

+ i sin

π+4π

) =

= 2(cos

5π

+ i sin

5π

) =

= 2(cos(2π −

) + i sin(2π −

)) =

= (cos

− i sin

) = 1 − i

√

Rez

Imz

−8

Arg z

Uwaga 1.45. Bezpośrednio z postaci pierwiastków stopnia n z liczby z wynika, że

| = |w

| = . . . = |w

n−1

| =

|z|

oraz

Arg w

− Arg w

= Arg w

− Arg w

= . . . = Arg w

n−1

− Arg w

2π

To oznacza, że liczby w

, w

, . . . , w

n−1

leżą na okręgu o środku w 0 i promieniu

|z|

oraz dzielą ten okrąg na n łuków o tej samej długości począwszy od pierwiastka w

, dla

którego Arg w

Arg z

Przykład 1.46. Naszkicować zbiór pierwiastków stopnia czwartego z liczby (1 + i)

Rozwiązanie: Łatwo zauważyć, że jednym z czterech poszukiwanych pierwiastków jest
liczba w

= 1 + i. Ponieważ

| =

√

2 oraz Arg w

więc pozostałe pierwiastki w

, w

leżą na okręgu O(0,

√

2), zaś ich argumenty główne

są odpowiednio równe:

Arg w

= Arg w

2π

3π

Arg w

= Arg w

2π

5π

Arg w

= Arg w

2π

7π

−

Rez

Imz

−1

2π

Arg w

1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb zespolonych

1.6. Postać wykładnicza liczby zespolonej

Wprowadźmy oznaczenie

iϕ def

= cos ϕ + i sin ϕ,

gdzie e jest liczbą niewymierną, równą granicy ciągu

1 +

(w przybliżeniu równą

2, 72). Wówczas dowolną liczbę zespoloną z można zapisać w postaci

z = |z| e

iϕ

gdzie ϕ ∈ arg z,

zwanej postacią wykładniczą liczby zespolonej z.

Twierdzenie 1.47. Jeżeli z = |z| e

iϕ

oraz w = |w| e

iψ

, to

1) −z = |z| e

i(ϕ+π)

;

2) z = |z| e

−iϕ

;

|z|

−iϕ

, o ile z 6= 0;

4) z · w = |z| |w| e

i(ϕ+ψ)

;

5) z

= |z|

inϕ

dla n ∈ N;

|z|

|w|

i(ϕ−ψ)

, o ile w 6= 0.

Twierdzenie 1.48 (Wzory Eulera). Dla dowolnego x ∈ R zachodzą równości:

sin x =

− e

−ix

cos x =

1
2

+ e

−ix

1.7. Zasadnicze twierdzenie algebry

Twierdzenie 1.49 (Zasadnicze twierdzenie algebry). Każdy wielomian stopnia doda-
tniego n o współczynnikach zespolonych ma w ciele C dokładnie n (niekoniecznie różnych)
pierwiastków.

Wniosek 1.50. Każdy wielomian W stopnia dodatniego n o współczynnikach zespolonych
można rozłożyć na czynniki liniowe, tzn.

W (z) = a

(z − z

) (z − z

) ... (z − z

) ,

gdzie a

, z

, ..., z

∈ C.

Przykład 1.51. Rozłożyć na czynniki następujące wielomiany:

a) W (z) = z

− 16;

b) W (z) = iz

+ 2z.

Rozwiązanie: W rozkładzie podanych wielomianów wykorzystamy przekształcenia alge-
braiczne, wzory skróconego mnożenia oraz odpowiednie pierwiastki kwadratowe.

a) W (z) = (z

)

−4

= (z

−4)(z

+4) = (z−2)(z+2)(z−2i)(z+2i), bo

√

−4 = {−2i, 2i}.

b) W (z) = iz(z

) = iz(z

− 2i) = iz(z + 1 + i)(z − 1 − i), bo

√

2i = {−1 − i, 1 + i}.

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Uwaga 1.52. Z zasadniczego twierdzenia algebry wynika, że w dziedzinie zespolonej
funkcja kwadratowa posiada zawsze dwa, niekoniecznie różne, pierwiastki. W praktyce
pierwiastki funkcji postaci:

W (z) = az

+ bz + c,

gdzie a, b, c ∈ C oraz a 6= 0, wyznaczamy podobnie jak w dziedzienie rzeczywistej,
pamiętając, że w dziedzinie zespolonej istnieją pierwiastki kwadratowe z liczb rzeczy-
wistych ujemnych. Jeśli ∆ = b

− 4ac 6= 0, to wielomian W posiada dwa różne pierwiastki

określone wzorami:

−b + δ

gdzie δ

i δ

są pierwiastkami kwadratowymi z liczby zespolonej ∆. Istotnie:

a(z − z

)(z − z

) = a(z −

−b+δ

)(z −

−b+δ

) =

=−δ

, bo pierwiastki kwadratowe

są liczbami przeciwnymi

= a(z −

−b+δ

)(z −

−b−δ

) = a((z +

) −

)((z +

) +

) =

= a((z +

)

−

) = a(z +

)

−

∆

= W (z).

Jeśli ∆ = 0, to z

= z

−b

Przykład 1.53. Rozwiązać równania:

a) z

− z + 1 = 0;

b) (2 + i)z

− (2 − 2i)z − 2 = 0;

c) (iz + z + 1)(z

+ 2

√

2z + 2 − i) = 0.

Rozwiązanie:

a) Niech W (z) = z

− z + 1. Ponieważ ∆ = 1 − 4 = −3 6= 0 oraz

√

∆ = {−

√

3i,

√

3i},

zatem W posiada dwa różne pierwiastki:

−b+δ

1−

√

1
2

−

√

−b+δ

√

1
2

√

Stąd mamy:

− z + 1 = 0 ⇔ W (z) = 0 ⇔

z =

1
2

−

√

i ∨ z =

1
2

√

b) Niech W (z) = (2 + i)z

− (2 − 2i)z − 2. Kolejno otrzymujemy:

∆ = (−(2 − 2i))

− 4 · (−2) · (2 + i) = (2 − 2i)

+ 8(2 + i) = 4 − 8i + 4i

+ 16 + 8i =

= 16 6= 0,

√

∆ = {−4, 4},

−b+δ

(2−2i)−4

2(2+i)

−2−2i

4+2i

= −

3
5

−

1
5

−b+δ

(2−2i)+4

2(2+i)

6−2i
4+2i

= 1 − i.

A zatem

(2 + i)z

− (2 − 2i)z − 2 = 0 ⇔ W (z) = 0 ⇔

z = −

3
5

−

1
5

i ∨ z = 1 − i

c) Zauważmy, że

(iz + z + 1)(z

+ 2

√

2z + 2 − i) = 0 ⇔ (iz + z + 1 = 0 ∨ z

+ 2

√

2z + 2 − i = 0)

Rozwiązujemy najpierw równanie liniowe:

iz + z + 1 = 0

⇔ (i + 1)z = −1 ⇔ z =

−1

i+1

⇔ z = −

1
2

1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb zespolonych

Dalej wyznaczamy pierwiastki równania kwadratowego:

∆ = 4i,

√

∆ = {− (1 + i)

√

2, (1 + i)

√

2},

−2

√

2−(1+i)

√

= −

√

−

√

−2

√

2+(1+i)

√

= −

√

Ostatecznie mamy:

(iz + z + 1)(z

+ 2

√

2z + 2 − i) = 0 ⇔

⇔

z = −

1
2

i ∨ z = −

√

−

√

i ∨ z −

√

Przykład 1.54. Rozłożyć na czynniki następujące wielomiany zakładając, że a ∈ R:

a) W (z) = z

+ a

;

b) W (z) = z

+ a

Rozwiązanie:

a) W (z) =

wzór na sumę
sześcianów

= (z + a)(z

− az + a

) =

W (z)

∆=−3a

=−3|a|

√

∆={−

√

3|a|i,

√

3|a|i}

= (z + a)(z −

√

3|a|i

)(z −

a−

√

3|a|i

b) W (z) = z

+ 2z

+ a

− 2z

= (z

+ a

)

− 2z

= (z

+ a

)

− (

√

2za)

W (z)

= (z

+ a

−

√

2za)(z

+ a

√

2za) =

∆=−2a

√

∆={−

√

2|a|i,

√

2|a|i}

W (z)

= (z −

√

2a−

√

2|a|i

)(z −

√

2a+

√

2|a|i

)(z +

√

2a−

√

2|a|i

)(z +

√

2a+

√

2|a|i

Pierwiastki rozważanych wielomianów można również znaleźć wyznaczając zbiory

√

−a

√

−a

Uwaga 1.55. Jeżeli W jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych i z

jest jego

pierwiastkiem zespolonym, to liczba

jest również pierwiastkiem wielomianu W , przy

czym krotności pierwiastków z

i z

są sobie równe.

Przykład 1.56. Wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu W określonego wzorem

W (z) = z

− 2z

+ 3z

+ 4z − 10,

jeśli wiadomo, że jednym z pierwiastków jest liczba z

= 1 + 2i.

Rozwiązanie: Na mocy powyższej uwagi drugim pierwiastkiem wielomianu W jest liczba
z

= z

= 1 − 2i. Stąd wnioskujemy, że

W (z) = (z − 1 − 2i)(z − 1 + 2i)P (z),

gdzie P jest pewną funkcją kwadratową. Funkcję tę wyznaczymy wykonując dzielenie
wielomianów:

P (z) =

W (z)

(z−1−2i)(z−1+2i)

−2z

+3z

+4z−10

−2z+5

= z

− 2.

Ostatecznie mamy:

W (z) = (z − 1 − 2i)(z − 1 + 2i)(z −

√

2)(z +

√

2).

Wniosek 1.57. Każdy wielomian stopnia dodatniego o współczynnikach rzeczywistych
można rozłożyć na czynniki liniowe postaci: (ax + b) lub kwadratowe postaci: (x

+ px + q),

gdzie ∆ = p

− 4q < 0, a, b, p, q ∈ R.

Wniosek 1.58. Każdy wielomian stopnia nieparzystego o współczynnikach rzeczywistych
ma pierwiastek rzeczywisty.

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Zadania

Zadanie 1.1. Wykonać działania:

a) 4 − 5i + i(2 + i);

b) (1 − i

√

2)(

√

2 + i);

c) (2 + 3i)

− (1 − i)

;

4−i
i+2

;

i+1

;

3−i
2−i

−

2−i
2+i

;

(1+2i)

(2−i)

;

h) (1 + i)

100

Zadanie 1.2. Wyznaczyć Re z oraz Im z, jeżeli:

a) z = ((1 − i)(1 + i))

;

b) z =

1−i
1+i

;

c) z =

2+i

1+i

;

d) z =

1+i

Zadanie 1.3. Dane są liczby zespolone z = 2 − i oraz w = 1 + 2i. Obliczyć:

a) w + z · w;

b) z

z·w

;

z+1

;

|z|

Zadanie 1.4. Przedstawić liczbę

z+1

+ Re( z

w ) + |w + z|

w postaci kartezjańskiej, jeśli z = 3 − i oraz w = 2 + 4i.

Zadanie 1.5. Znaleźć liczby rzeczywiste a i b takie, aby zachodziła równość:

a) a (3 + i) − b (2 − 3i) = 4 − 2i;

a−4+(b−1)i

1+i

= 2 + |3 − 4i| i.

Zadanie 1.6. Wyznaczyć zbiór wszystkich liczb zespolonych z, dla których liczba z

i jest

a) liczbą rzeczywistą;

b) liczbą czysto urojoną.

Zadanie 1.7. Rozwiązać równania w dziedzinie zespolonej:

a) iz = z + 3 − i;

b) (1 − i) z = (3 − i) z + 2 + 3i ;

c) 3z − (1 − 2i) =

z+i
1−i

;

iz+2

= 2 + i.

Zadanie 1.8. Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone

a) sprzężone do swojego kwadratu;

b) sprzężone do swojego sześcianu.

Zadanie 1.9. Zapisać podane liczby zespolone w postaci trygonometrycznej:

a) z = 4;

b) z = −3i;

c) z =

√

2 +

√

2i;

d) z = i − 1;

e) z = 1 −

√

3i;

f) z = −2

√

3 − 2i.

1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb zespolonych

Zadanie 1.10. Obliczyć moduł liczby zespolonej

z =

√

2xy

(x−y)+2i

√

gdzie x, y ∈ R.

Zadanie 1.11. Niech w będzie ustaloną liczbą zespoloną taką, że Im w 6= 0. Znaleźć
wszystkie liczby zespolone z dla których zachodzi równość:

z−w
z−w

= 1.

Podać interpretację geometryczną tego zadania.

Zadanie 1.12. Znaleźć moduł i argument główny liczby zespolonej

z =

1+cos α+i sin α
1+cos α−i sin α

gdzie α ∈ [0, 2π).

Zadanie 1.13. Które z podanych liczb zespolonych należą do zbioru A, jeśli

A = {z ∈ C :

¬ Arg z ¬ π} :

= 3(cos

− i sin

);

= 3(sin

+ i cos

);

= (cos

+ i sin

) · (1 − i);

cos

+i sin

;

2(cos

+i sin

)

−i

;

= (cos

+ i sin

)

Zadanie 1.14. Które z podanych liczb zespolonych należą do zbioru A, jeśli

A = {z ∈ C : Re z  0 ∧ Im z < 0} :

= 2(cos

+ i sin

);

= (cos

+ i sin

) · (1 − i);

= (cos

+ i sin

) · (1 + i)

;

= (cos

+ i sin

)

Zadanie 1.15. Naszkicować na płaszczyźnie zespolonej zbiory:

A = {z ∈ C : Im z = 2i

};

B = {z ∈ C : 2 Re z ¬ Im z ¬

1
2

Re z};

C = {z ∈ C : Im (z (1 − i) + 3 − i) < 1};
D = {z ∈ C : |z − 2| ¬ 2 ∧ |z|  2};
E = {z ∈ C : |z + i| < 2 ∨ |z − 2i| < 1};
F = {z ∈ C : Arg (z − 1 − 2i) =

};

G = {z ∈ C : 1 ¬ |z| ¬ 3 ∧

¬ Arg z ¬

5
4

π};

H = {z ∈ C : Re z ¬ (Im z)

∧ |z| < 3};

I = {z ∈ C : | Arg z| <

∧ | Re z| ¬ 3}.

Zadanie 1.16. Naszkicować na płaszczyźnie zespolonej zbiory:

A = {z ∈ C \ {0} :

1
2

¬ |

1
z

| < 1};

B = {z ∈ C : |z| = Re z};
C = {z ∈ C \ {0} : 0 ¬ Re(

1
z

) ¬

1
2

};

D = {z ∈ C \ {0} : Im(

4−4i

) 1};

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

E = {z ∈ C : |z| − |z − i| = 1};
F = {z ∈ C : Re(z

) > 0}.

Zadanie 1.17. Naszkicować zbiór {z ∈ C : |z − z

| = |z − z

|}, gdzie z

, z

są dowolnymi

i różnymi liczbami zespolnymi.

Zadanie 1.18. Przedstawić w postaci kartezjańskiej następujące liczby zespolone:

a) (1 +

√

3i)

2003

;

b) (1 − i)

107

;

√

1−i

;

√

3i−1

;

e) (

√

6 +

√

2 + (

√

6 −

√

2)i)

;

f) (

2 +

√

2 +

2 −

√

2 i)

Zadanie 1.19. Wyrazić sin 4ϕ oraz cos 4ϕ w zależności od sin ϕ i cos ϕ.

Zadanie 1.20. Wyznaczyć podane pierwiastki korzystając z definicji:

√

−4;

√

9i;

√

1 + 2i;

2 −

√

5i.

Zadanie 1.21. Wyznaczyć podane pierwiastki:

√

−3;

√

−i;

1 +

√

3i;

√

5 − 12i;

√

−1;

√

−16.

Zadanie 1.22. Wyznaczyć z oraz

√

z, jeśli wiadomo, że jednym z pierwiastków ósmego

stopnia z liczby zespolonej z jest w = 1 − i.

Zadanie 1.23. Wyrażenie

+ 1)(b

+ 1)(c

+ 1)

przedstawić w postaci sumy dwóch kwadratów.

Zadanie 1.24. Zapisać podane wielomiany w postaci iloczynowej zakładając, że
W : C → C

a) W (z) = z

− 4z + 5;

b) W (z) = z

− 3iz + 4;

c) W (z) = (2 + i) z

− (5 − i) z + 2 − 2i;

d) W (z) = z

+ (2i − 7) z + 13 − i;

e) W (z) = z

− 4iz

− 4z;

f) W (z) = z

+ z

+ 9z + 9;

g) W (z) = (4iz − 8)(3z

− 13z +

194

);

h) W (z) = (z

+ iz

+ 2z + 2i) (z

+ 4z + 29) ;

i) W (z) = (z − 3)

− 2i;

j) W (z) = iz

− 8z

Zadanie 1.25. Rozwiązać równania w dziedzinie zespolonej:

a) z

+ z + 1 = 0;

b) z

− (2 − i)z − i = 0;

c) (1 + i)z

+ (2 − i)z − i = 0;

d) (iz + z − 2)(z

− (4 + i)z + 4 + 2i) = 0;

e) (z

+ 16) (iz

+ iz + i + 1) = 0;

f) z

+ 8 = 0;

1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb zespolonych

g) z

+ 5z

+ 4 = 0;

h) z

+ 8iz = 0;

i) z

− z

− 5i (z

− z) − 6 (z − 1) = 0;

j) z

+ 16 = 0.

Zadanie 1.26. Zbadać, dla jakich m ∈ R części urojone pierwiastków równania

(m + 5) z

− 2mz + m + 1 = 0,

z ∈ C,

są liczbami różnymi od zera.

Zadanie 1.27. Zbadać, dla jakich wartości k ∈ C pierwiastki równania

− 2 (3 + i) z + k = 0,

z ∈ C,

są liczbami równymi.

Zadanie 1.28. Wyznaczyć pierwiastki równania

− z

+ 4z − 8 = 0

należące do zbioru A = {z ∈ C : |z| = Re z}. Naszkicować zbiór A.

Zadanie 1.29. Wyznaczyć zbiory:

A = {z ∈ C : |z| + z = 8 + 4i ∧ Re (z − 1) = 2 Re (z − 4)};
B = {z ∈ C : z

− 2iz + 3 = 0 ∧ |z − 2 + i| > 2};

C = {z ∈ C : (z

− 2iz − 2) (2z − 14 + 6i) = 0 ∧ 1 < |z| ¬ 5} .

Zadanie 1.30. Wykazać, że elementem neutralnym w zbiorze R z działaniem określonym
następująco

a b = a + b + ab dla a, b ∈ R,

jest liczba 0.

Zadanie 1.31. Wykazać, że nie istnieje element neutralny w zbiorze R z działaniem ◦
określonym następująco

a ◦ b =

1
2

(a + b) dla a, b ∈ R.

Zadanie 1.32. Sprawdzić, czy zbiór G wraz z działaniem ◦ zdefiniowanym w tabeli jest
grupą.

a) G = {a, b, c}

◦

a b

a c

a b

b) G = {a, b, c, d}

◦

a b

d d d d

Zadanie 1.33. Wykazać, że zbiór G = {−1, 1, −i, i} z mnożeniem jest grupą przemienną.

Zadanie 1.34. Dla ustalonego n ∈ N wyznaczyć zbiór A

√

1. Uzasadnić, że zbiór ten

wraz z mnożeniem stanowi grupę abelową (jako podgrupa grupy C \ {0}).

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Zadanie 1.35. Wykazać, że zbiór (R, ⊕, ) z działaniami zdefiniowanymi następująco:

a ⊕ b = a + b + 1,

a b = a + b + ab dla a, b ∈ R,

jest ciałem.

Zadanie 1.36. Zbadać czy zbiór {a + b

√

2 : a, b ∈ Q} jest podciałem ciała R.

Zadanie 1.37. Wykazać, że zbiór {z ∈ C : Im z = 0} (z dodawaniem i mnożeniem
liczb zespolonych) jest ciałem liczbowym, zaś zbiór {z ∈ C : Re z = 0} nie jest ciałem
liczbowym.

Odpowiedzi

1.1. a) 3 − 3i;

b) 2

√

2 − i;

c) −5 + 14i;

7
5

−

6
5

1
2

−

3
2

4
5

+ i;

g) −i;

h) −2

1.2. a) Re z = 8, Im z = 0;

b) Re z = 0, Im z = 1;

c) Re z = −2, Im z =

3
2

;

d) Re z = −

1
4

, Im z =

1
4

1.3. a) 5 + 5i;

b) 11 + 2i;

−

d) 1 + i;

e) 1;

f) 1.

1.4.

√

34 −

124

−

14
17

1.5. a) a =

, b = −

10
11

;

b) a = 1, b = 8.

1.6. a) z ∈ {x + ix : x ∈ R} ∪ {x − ix : x ∈ R};

b) z ∈ (R ∪ {ix : x ∈ R}) \ {0}.

1.7. a) z = −2 − i;

b) z = −1 +

3
2

c) z =

−

d) z = 1.

1.8. a) {0, 1, −

1
2

−

√

i, −

1
2

√

i};

b) {0, −1, 1, −i, i}.

1.9. a) z = 4(cos 0 + i sin 0);

b) z =

√

3(cos

3
2

π + i sin

3
2

π);

c) z = 2(cos

+ i sin

);

d) z =

√

2(cos

3
4

π + i sin

3
4

π);

e) z = 2(cos

5
3

π + i sin

5
3

π);

f) z = 4(cos

7
6

π + i sin

7
6

π).

1.10. |z| = 1.

1.11. z ∈ R.
1.12. |z| = 1, Arg z = α.

1.13. Arg z

7
4

π; Arg z

; Arg z

= 0; Arg z

5
3

π; Arg z

3
4

π; Arg z

3
2

π.

Zatem z

, z

∈ A.

1.14. z

, z

∈ A.

1.15. a)

Rez

Imz

Rez

Imz

Rez

Imz

−2

1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała, ciało liczb zespolonych

Rez

Imz

1 2

Rez

Imz

Rez

Imz

Rez

Imz

Rez

Imz

Rez

Imz

1.16. a)

Rez

Imz

Rez

Imz

Rez

Imz

Rez

Imz

Rez

Imz

Rez

Imz

1.17. wskazówka: wykorzystać interpretację geometryczną modułu różnicy dwóch liczb ze-

spolonych.

1.18. a) 2

2002

(1 −

√

3i);

b) −2

(1 + i);

c) 2

(1 −

√

3i);

d) 2

;

e) 2

(

√

3 + i)

(wskazówka: z

= (z

)

);

f) 2

(

2 +

√

2 +

2 −

√

2i).

1.19. sin 4ϕ = 4 cos

ϕ sin ϕ − 4 cos ϕ sin

ϕ,

cos 4ϕ = cos

ϕ − 6 cos

ϕ sin

ϕ + sin

(wskazówka: patrz przykład 1.39).

1.20. a) {−2i, 2i};

b) {−

3
2

√

2 −

3
2

√

2i,

3
2

√

2 +

3
2

√

2i};

c) {−

1
2

√

5 −

1
2

−

1
2

√

5 +

1
2

√

5 −

1
2

√

5 +

1
2

i};

d) {−

√

−

√

(wskazówka: patrz przykład 1.41).

1.21. a)

{−

√

3i,

√

3i};

{−

√

−

√

i};

{−

√

−

√

i};

d) {−3 + 2i, 3 − 2i};

e) {−i, −

√

1
2

√

1
2

i};

f) {

1
2

√

1
2

−

√

i, −1};

g) {−i, i, −1, 1};

h) {

√

2 −

√

2i, −

√

2 −

√

2i, −

√

2 +

√

2i,

√

2 +

√

2i}.

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

1.22. z = (1 − i)

= 16,

√

z = {1 + i, 1 − i, −1 − i, −1 + i, −i

√

2, i

√

2, −

√

2}.

1.23. (abc − a − b − c)

+ (ab + bc + ca − 1)

(wskazówka: wykorzystać fakt, że moduł iloczynu

liczb zespolonych równy jest iloczynowi modułów).

1.24. a) W (z) = (z − 2 − i)(z − 2 + i);

b) W (z) = (z + i)(z − 4i);

c) W (z) = (2 + i)(z −

4
5

2
5

i)(z − 1 + i);

d) W (z) = (z − 2 − i)(z − 5 + 3i);

e) W (z) = z(z − 2i)

;

f) W (z) = 12i(z + 2i)(z −

5
6

i)(z −

−

5
6

i);

g) W (z) = (z + 1)(z + 3i)(z − 3i);
h) W (z) = (z + i) (z −

√

2i)(z +

√

2i) (z + 2 + 5i) (z + 2 − 5i);

i) W (z) = (z − 4 − i) (z − 2 + i) ;

j) W (z) = iz

(z −

√

3 + i)(z +

√

3 + i)(z − 2i).

1.25. a) z ∈ {−

1
2

√

i, −

1
2

−

√

i};

b) z ∈ {1 −

1
2

i +

√

, 1 −

1
2

i −

√

};

c) z ∈ {i, −

1
2

i};

d) z ∈ {2 + i, 1 − i, 2};

e) z ∈ {−4i, 4i, −1 − i, i};

f) z ∈ {1 +

√

3i, 1 −

√

3i, −2};

g) z ∈ {2i, −2i, i, −i};

h) z ∈ {2i, −

√

3 − i,

√

3 − i, 0};

i) z ∈ {2i, 3i, 1};

j) z ∈ {

√

2 (1 − i) , −

√

2 (1 + i) , −

√

2 (1 − i) ,

√

2 (1 + i)}.

1.26. m ∈ (−

5
6

, +∞).

1.27. k = 8 + 6i.

1.28. pierwiastki równania: z

= 2i, z

= −2i, z

= 2; z

∈ A.

1.29. A = ∅; B = {3i}; C = {−1 + i, 1 + i}.

1.32. W obydwu przypadkach G nie jest grupą, gdyż nie istnieje element neutralny.

1.33. Wskazówka: G ⊂ C, a zatem wystarczy pokazać, że G jest podgrupą grupy (C, ·).

−1

−i

−1

1 −1

−i

−1

−i

−i −1

−i

1 −1

1.34. A

= {cos

2kπ

+ i sin

2kπ

: k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}}.

1.36. Nie, gdyż mnożenie w tym zbiorze nie jest działaniem wewnętrznym.

Rozdział 2

Macierze i wyznaczniki

2.1. Macierze i ich rodzaje

W tym rozdziale wprowadzimy pojęcie macierzy, omówimy różne typy macierzy oraz

własności działań, które można wykonywać na macierzach. Macierze wykorzystywane są
w różnych działach matematyki — służą do uporządkowanego zapisu danych, takich jak
np. współczynniki układu równań liniowych (paragraf 3.1), czy też pochodne cząstkowe
drugiego rzędu funkcji wielu zmiennych. W dalszej części tego skryptu definiowane w
tym rozdziale działania i operacje na macierzach znajdą swoje zastosowanie głównie w
rozwiązywaniu układów równań liniowych (rozdział 3) oraz w opisywaniu przekształceń
liniowych (rozdział 5).

Definicja 2.1. Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem oraz m, n ∈ N. Macierzą
o m wierszach i n kolumnach (m × n-macierzą, macierzą wymiaru m × n) o wyrazach
w zbiorze X nazywamy dowolną funkcję

A : {1, . . . , m} × {1, . . . , n} → X.

Jeżeli X = R (X = C), to mówimy wtedy o macierzy rzeczywistej (zespolonej). Liczby
m i n nazywamy wymiarami macierzy A. Zbiór wszystkich macierzy wymiaru m × n
o wyrazach ze zbioru X oznaczamy symbolem M

m,n

(X) (w szczególności M

m,n

(R) oznacza

zbiór wszystkich m × n macierzy rzeczywistych). Jeśli zbiór X jest ustalony, to dla
skrócenia zapisu będziemy używać notacji M

m,n

Przyjmujemy następujące oznaczenie

def

= A (i, j) .

Wówczas macierz A reprezentujemy w postaci tablicy

A =














. . .

. . . a














← i-ty wiersz

↑

j-ta kolumna

i zapisujemy krótko

A = [a

]

i=1,...,m

j=1,...,n

lub

A = [a

] .

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Przykład 2.2. Przykłady macierzy:

• macierz zespolona wymiaru 2 × 3:

A =

2 + i −1

−i

1 + i

;

• macierz rzeczywista wymiaru 4 × 4:

B =








√

7 3

−1

−3








;

• macierz funkcyjna wymiaru 2 × 2:

C =

−x

−e

−x

Uwaga 2.3. Mówimy, że macierze A = [a

] , B = [b

] ∈ M

m,n

(X) są równe i piszemy

A = B, gdy

= b

dla i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

Definicja 2.4.

• Macierz A = [a

] ∈ M

m,n

(X), gdzie X = R lub X = C nazywamy macierzą zerową,

jeżeli a

= 0 dla wszystkich i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Oznaczamy ją przez 0

m,n

lub

po prostu przez 0, gdy wymiary macierzy są ustalone.

• Jeżeli A = [a

] ∈ M

m,n

(X) i m = n, to A nazywamy macierzą kwadratową. Ciąg

wyrazów a

, a

, . . . , a

nazywamy główną przekątną macierzy A.

Definicja 2.5. Załóżmy, że A = [a

] jest rzeczywistą (zespoloną) macierzą kwadratową

stopnia n, gdzie n  2.

• Macierz A nazywamy macierzą trójkątną górną (dolną), gdy

= 0 dla i > j (i < j),

czyli gdy pod (nad) główną przekątną są same zera, tzn.

A =











. . . a

. ..











lub

A =











. . .

. ..

. . . a











• Macierz A nazywamy macierzą diagonalną, jeśli

= 0 dla i 6= j,

czyli gdy poza główną przekątną są same zera

A =











. . .

. ..











2. Macierze i wyznaczniki

Jeśli przy tym a

= 1 dla i = 1, 2, . . . , n, to A nazywamy macierzą jednostkową

stopnia n i oznaczamy symbolem I

def











1 0 0 . . . 0
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0

. .. ...

0 0 0 . . . 1











• Macierz A nazywamy macierzą symetryczną, gdy

= a

dla i > j,

czyli gdy wyrazy macierzy A leżą symetrycznie względem głównej przekątnej

A =











. . . a

. ..

. . . a











• Macierz A nazywamy macierzą antysymetryczną, gdy

= 0 dla i = 1, . . . , n

oraz

= −a

dla i > j

A =











. . . a

−a

. . . a

−a

. . . a

. ..

−a

. . .











2.2. Operacje na macierzach

W tym paragrafie zajmiemy się jedynie macierzami nad ciałem K, gdzie K = R lub

K = C.

Definicja 2.6. Niech A, B ∈ M

m,n

, A = [a

], B = [b

• Sumą macierzy A i B nazywamy macierz A + B ∈ M

m,n

taką, że

A + B

def

= [a

+ b

] .

• Jeśli α ∈ K, to iloczynem macierzy A przez liczbę α nazywamy macierz αA ∈

m,n

taką, że

αA

def

= [αa

] .

Twierdzenie 2.7. Jeśli A, B, C są macierzami rzeczywistymi (zespolonymi) tego samego
wymiaru, zaś α, β dowolnymi liczbami rzeczywistymi (zespolonymi), to

1) A + B = B + A;

2) A + (B + C) = (A + B) + C;

3) A + 0 = A;

4) A + (−A) = 0, gdzie −A = [−a

], jeśli A = [a

] ;

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

5) (α + β) A = αA + βA;

6) α (A + B) = αA + αB;

7) α (βB) = (αβ) B;

8) 1A = A.

Definicja 2.8. Jeżeli A ∈ M

m,r

i B ∈ M

r,n

, A = [a

], B = [b

], to iloczynem macierzy

A i B nazywamy macierz AB = [c

] ∈ M

m,n

, gdzie

k=1

= a

+ a

+ ... + a

dla i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

Uwaga 2.9. Zauważmy, że iloczyn macierzy A i B powstaje w ten sposób, że wyraz
c

jest równy iloczynowi skalarnemu (patrz def. 4.10) wektora [a

, . . . , a

] przez wektor

, . . . , b

Uwaga 2.10. Zamiast A · . . . · A

}

n razy

piszemy A

Przykład 2.11. Obliczyć iloczyn macierzy A i B, gdy

a) A =






−2

1
4






, B =

3 1

;

b) A =

2 −1 4
3

, B =






1 −3
2

3 −2






;

c) A =






−2

1 + i

−1






, B =






2
1

−i






Rozwiązanie:

a) AB =






−2

1
4






3 1






−2 · 3 −2 · 1

1 · 3

1 · 1

4 · 3

4 · 1











−6 −2






;

b) AB =

2 −1 4
3






1 −3
2

3 −2






2 · 1 + (−1) · 2 + 4 · 3 2 · (−3) + (−1) · 4 + 4 · (−2)

3 · 1 + 2 · 2 + 5 · 3

3 · (−3) + 2 · 4 + 5 · (−2)

12 −18
22 −11

;

c) AB =






−2

1 + i

−1











2
1

−i











1 · 2 + i · 1 + (−2) · (−i)

(1 + i) · 2 + 0 · 1 + 1 · (−i)

(−1) · 2 + 2i · 1 + 0 · (−i)











2 + 3i

2 + i

−2 + 2i






Twierdzenie 2.12. Jeśli A, B, C są dowolnymi macierzami rzeczywistymi (zespolonymi)
oraz poniższe działania są wykonalne, to

1) A (B + C) = AB + AC;

2) (A + B) C = AC + BC;

3) α (AB) = (αA) B = A (αB) dla dowolnej liczby α;

2. Macierze i wyznaczniki

4) A (BC) = (AB) C;

5) I

A = AI

= A, gdy A ∈ M

m,n

Uwaga 2.13. Mnożenie macierzy nie jest przemienne, co ilustruje poniższy przykład.

Przykład 2.14. Niech A =

0 1
0 2

i B =

3 4
0 0

. Wówczas BA =

0 11
0

, zaś

AB = 0, przy czym A 6= 0 i B 6= 0.

Definicja 2.15. Jeżeli A ∈ M

m,n

, to macierzą transponowaną do A nazywamy macierz

= [b

] ∈ M

n,m

taką, że

= a

dla i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.

Transponowanie macierzy polega na zamianie kolejnych wierszy na kolumny.

Przykład 2.16. Obliczyć A − 2B

, jeśli

A =

2 −3 0
1

2 4

, B =






3 −1
0






Rozwiązanie:

A − 2B

2 −3 0
1

2 4

− 2






3 −1
0






2 −3 0
1

2 4

− 2

3 0 1

−1 2 3

2 −3 0
1

2 4

−

6 0 2

−2 4 6

−4 −3 −2

3 −2 −2

Twierdzenie 2.17. Jeśli A, B są dowolnymi macierzami rzeczywistymi (zespolonymi)
oraz poniższe działania są wykonalne, to

1) (A + B)

= A

+ B

;

2) (αA)

= αA

dla dowolnej liczby α;

= A;

4) (AB)

= B

;

5) macierz kwadratowa A jest symetryczna (antysymetryczna) wtedy i tylko wtedy, gdy

= A (A

= −A).

2.3. Wyznacznik macierzy

Definicja 2.18. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n, rzeczywistej lub
zespolonej, nazywamy liczbę det A określoną następująco:

• gdy n = 1, A = [a

det A

def

= a

;

• gdy n = 2, A =

det A

def

= a

− a

;

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

• gdy n  3, to

det A

def

= (−1)

1+1

+ (−1)

1+2

+ . . . + (−1)

1+n

gdzie W

oznacza wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia n − 1, powstałej z A

przez skreślenie pierwszego wiersza i j-tej kolumny.

Jeżeli A = [a

], to zapisujemy

det A =

. . . a

. ..

. . . a

Przykład 2.19. Obliczyć wyznacznik macierzy

A =






1 0 −2
3 1

−3 5






Rozwiązanie: Korzystając z definicji wyznacznika mamy:

det A =

1 0 −2
3 1

−3 5

= 1 · (−1)

1+1

1 1
5 1

+ 0 · (−1)

1+2

3 1

−3 1

+ (−2) · (−1)

1+3

3 1

−3 5

= (1 − 5) − 2 · (15 − (−3)) = −4 − 36 = −40.

Uwaga 2.20. Do obliczania wyznacznika macierzy stopnia 3 można użyć tzw. metody
Sarrusa:

−

+ a

)

− (a

+ a

)

Przykład 2.21. Korzystając z metody Sarrusa obliczyć wyznacznik macierzy

A =






0 −2

−3 5






2. Macierze i wyznaczniki

Rozwiązanie: Zgodnie z powyższą uwagą mamy:

det A =

1 0 −2
3 1

−3 5

1 0 −2
3 1

= 1 · 1 · 1 + 3 · 5 · (−2) + (−3) · 0 · 1 − ((−2) · 1 · (−3) + 1 · 5 · 1 + 1 · 0 · 3) =

= 1 − 30 + 0 − (6 + 5 + 0) = −40.

Twierdzenie 2.22 (Geometryczna interpretacja wyznacznika).

1) Jeżeli A ∈ M

2,2

(R), to |det A| jest równe polu powierzchni równoległoboku D rozpiętego

na wierszach (kolumnach) macierzy A (interpretowanych jako odpowiednie wektory w

— patrz rys. 2.1), tzn.

|D| =

det

Rys. 2.1.

a = [a

, a

] ,

b = [a

, a

]

W szczególności, jeśli det A = 0, to wektory a i b są równoległe.

2) Jeżeli A ∈ M

3,3

(R), to |det A| jest równe objętości równoległościanu V rozpiętego na

wierszach (kolumnach) macierzy A (interpretowanych jako odpowiednie wektory w R

— patrz rys. 2.2), tzn.

|V | =

det











Rys. 2.2. a = [a

, a

] , b = [a

, a

] , c = [a

, a

]

W szczególności, jeśli det A = 0, to wektory a, b i c leżą w jednej płaszczyźnie.

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Twierdzenie 2.23 (Własności wyznacznika macierzy).

1) det A = det A

, tzn.

. . .

. ..

. . . a

. . .

. ..

. . . a

2) Jeżeli pewien wiersz (kolumna) macierzy A składa się z samych zer, to det A = 0.

. . . 0 . . . a

= 0

3) Jeżeli macierz A ma dwa takie same wiersze (kolumny), to det A = 0.

. . . . . . . . . . . .

. . . α

. . . . . . . . . . . .

= 0

4) Jeżeli macierz A ma dwa proporcjonalne wiersze (kolumny), to det A = 0.

. . .

βα

. . . βα

. . .

= 0

5) Jeżeli macierz A jest trójkątna (dolna lub górna), to wyznacznik A jest równy iloczynowi

elementów z głównej przekątnej, czyli

det A = a

· . . . · a

W szczególności det I

= 1.

. . .

. ..

. . . a

= a

· a

· . . . · a

1 0 . . . 0
0 1 . . . 0

. .. ...

0 0 . . . 1

= 1

6) Jeżeli macierz B powstaje z A przez przestawienie dwóch dowolnych wierszy (kolumn),

det B = − det A.

Zamianę wierszy w

i w

(kolumn k

i k

) oznaczać będziemy przez w

↔ w

↔ k

) :

i-ty wiersz

→

j-ty wiersz

→

. . . . . . . . . . . .

. . . α

. . .

. . . . . . . . . . . .

= {

↔w

} = −

. . . . . . . . . . . .

. . .

. . . α

. . . . . . . . . . . .

2. Macierze i wyznaczniki

7) Jeżeli macierz B powstaje z A przez przemnożenie pewnego wiersza (kolumny) macierzy

A przez liczbę α, to

det B = α det A.

W szczególności, jeśli A jest macierzą n-tego stopnia, to

det (αA) = α

det A.

. . .

αa

. . . αa

. . .

= α

. . . a

. . .

. . . a

αa

. . . αa

αa

. . . αa

αa

. . . αa

= α

. . . a

8) Wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie, jeśli do pewnego wiersza (kolumny) dodamy

inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez dowolną liczbę α. Dodanie do elementów
wiersza w

odpowiadających im elementów wiersza w

pomnożonych przez liczbę α

będziemy oznaczać przez w

+ αw

(analogicznie dla kolumn: k

+ αk

), np.

. . . a

= {

+αk

} =

. . .

+ αa

. . . a

. . .

+ αa

. . . a

+ αa

. . . a

Definicja 2.24. Niech A = [a

] będzie macierzą kwadratową stopnia n  2. Dopełnie-

niem algebraicznym elementu a

nazywamy liczbę

∗
ij

= (−1)

i+j

gdzie W

jest wyznacznikiem macierzy powstałej z A przez skreślenie i-tego wiersza i

j-tej kolumny.

Twierdzenie 2.25 (Laplace’a o rozwijaniu wyznacznika względem wiersza lub
kolumny). Jeżeli A jest macierzą kwadratową stopnia n, gdzie n  2, to dla dowolnych
i

, j

∈ {1, . . . , n} zachodzą równości:

det A =

j=1

∗
i

= a

∗
i

+ a

∗
i

+ . . . + a

∗
i

(rozwinięcie względem wiersza i

)

det A =

i=1

∗
ij

= a

∗
1j

∗
2j

+. . .+a

∗
nj

(rozwinięcie względem kolumny j

)

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Przykład 2.26. Obliczyć wyznacznik stosując rozwinięcie Laplace’a względem wskazanego
wiersza (kolumny):

−2 1

— wiersz 1;

0 −2

−3 5

— kolumna 2;

1 −2

−2

0 −1

−1 1

— wiersz 3.

Rozwiązanie:

−2 1

= (−2) · (−1)

1+1

· 3 + 1 · (−1)

1+2

· 2 = −6 − 2 = −8;

0 −2

−3 5

= 0·(−1)

1+2

−3 1

+1·(−1)

2+2

−2

−3

+5·(−1)

3+2

1 −2
3

0 −2

−3 5

= 0 + 1 · (1 − 6) − 5 · (1 + 6) = −40;

1 −2

−2

0 −1

−1 1

= 4 · (−1)

3+1

1 −2

−2

+ 0 · (−1)

3+2

−2

−1

+ (−1) · (−1)

3+3

2 −2

−1 1

+ 0 · (−1)

3+4

1 −2

−1 1

1 −2

−2

0 −1

−1 1

= 4 ·

1 −2

−2

−

2 −2

−1 1

1 −2

−2

0 −1

−1 1

= {

np. metoda Sarrusa

} = 4 · 32 − 24 = 128 − 24 = 104.

Przykład 2.27. Obliczyć wyznacznik macierzy

A =








−3

−1 1

−3

−2 −2

−1 −2 0








2. Macierze i wyznaczniki

Rozwiązanie: Korzystając z własności wyznaczników mamy:

det A =

−3

−1 1

−3

−2 −2

−1 −2 0

−2w

−w

−3

−1 1

−2

−3

−1 −2 0

rozwinięcie Laplace’a
względem czwartej kolumny

= 1 · (−1)

1+4

3 −2

1 −3

3 −1 −2

= {

metoda Sarrusa

} = − (18 − 4 − 6 − (−36 − 3 + 4)) = −43.

Przykład 2.28. Obliczyć wyznacznik macierzy

A =










−

1
2

−

7
2

2 −2

−3 1

−7










Rozwiązanie: Stosując kolejno rozwinięcie Laplace’a, np. względem pierwszego wiersza,
otrzymujemy:

det A =

−

1
2

−

7
2

2 −2

−3 1

−7

= 4 · (−1)

1+5

−

1
2

2 −2

−3 1

−7

= 4 ·

−

1
2

· (−1)

1+4

2 −2

−3 1

= 2 · 1 · (−1)

1+3

−3 1

= 2 · 2 · (−1)

1+2

· (−3) = 12.

Twierdzenie 2.29 (Cauchy’ego). Jeżeli A i B są macierzami kwadratowymi tego
samego stopnia, to

det (AB) = det A · det B.

Definicja 2.30. Macierzą Vandermonde’a nazywamy macierz kwadratową stopnia n
postaci

V =











1 x

2
1

. . . x

n−1
1

1 x

2
2

. . . x

n−1
2

1 x

2
3

. . . x

n−1
3

. ..

1 x

2
n

. . . x

n−1
n











gdzie x

, ..., x

∈ K (K = R lub K = C). Jej wyznacznik nazywamy wyznacznikiem

Vandermonde’a.

Uwaga 2.31. Można wykazać, że

det V =

1¬i<j¬n

− x

) .

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Przykład 2.32. Zgodnie z powyższą uwagą wyznacznik macierzy

A =








1 3

1 4 16

1 5 25 125
1 6 36 216








jest równy

det A = (4 − 3) · (5 − 3) · (6 − 3) · (5 − 4) · (6 − 4) · (6 − 5) =

= 1 · 2 · 3 · 1 · 2 · 1 = 12.

2.4. Metoda Gaussa

Definicja 2.33. Operacjami elementarnymi na wierszach macierzy nazywamy następujące
działania:

• przestawienie dwóch wierszy w

oraz w

↔ w

);

• pomnożenie wiersza w

przez liczbę α różną od zera (αw

);

• dodanie do elementów wiersza w

odpowiadających im elementów wiersza w

pomno-

żonych przez liczbę α (w

+ αw

Podane operacje na wierszach stanowią podstawę metody Gaussa stosowanej do obli-

czania wyznacznika macierzy, wyznaczania macierzy odwrotnej (patrz przykład 2.45)
i rozwiązywania układów równań liniowych (paragraf 3.4). Jej istotę prześledzimy na
przykładach.

Przykład 2.34. Obliczyć wyznacznik macierzy A stosując metodę Gaussa, jeśli

A =








−1

−4 −2

−1








Rozwiązanie: Wykorzystując operacje elementarne na wierszach przekształcimy macierz
A (przekształacając jej kolejne kolumny) do macierzy trójkątnej górnej. Jednocześnie
będziemy uwzględniać odpowiednie własności wyznaczników. Element a

jest różny od

zera, więc za pomocą wiersza w

możemy ”wyzerować” pozostałe elementy pierwszej

kolumny w następujący sposób:

det A =

−1

−4 −2

−1

+2w

−1 2

−1

0 −2 −1

−1

W drugim kroku za pomocą wiersza w

”wyzerujemy” elementy drugiej kolumny stojące

poniżej głównej przekątnej, itd. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy i-ty wyraz wiersza w

jest różny od zera. Jeśli tak nie jest, to najpierw zamieniamy wiersz w

z odpowiednim

2. Macierze i wyznaczniki

wierszem w

, j > i. W naszym przykładzie mamy taką właśnie sytuację w drugim kroku:

det A =

−1 2

−1

0 −2 −1

−1

= {

↔w

} = −

−1 2

−1

0 −2 −1

−1

= {

−

1
4

} = −

−1 2

−1

0 −2 −1

1
4

−

5
4

Dalej przekształcamy trzecią kolumnę i uzyskujemy odpowiedź:

det A = −

−1 2

−1

0 −2 −1

1
4

−

5
4

= {

1
8

} = −

−1 2

−1

0 −2

−1

−

= (−1)

· 4 · 2 ·

= 11.

Uwaga: jeśli na jakimkolwiek etapie przekształcania macierzy A uzyskamy kolumny lub
wiersze zerowe lub proporcjonalne, to z własności wyznaczników wiadomo, że det A = 0.

Przykład 2.35. Obliczyć podany wyznacznik metodą Gaussa:

0 −2

−1

Rozwiązanie: Postępujemy w podobny sposób jak we wcześniejszym przykładzie:

0 −2

−1

= {

↔w

} = −

−1

0 −2

−1

= {

−2w

} = −

−1

0 −2

−1

0 −1

+2w

= −

1 2 −1 1
0 1

0 0

= {

−w

} = −

1 2 −1 1
0 1

0 0

= 0.

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

2.5. Macierz odwrotna

Definicja 2.36. Mówimy, że macierz kwadratowa A stopnia n jest odwracalna, jeżeli
istnieje taka macierz B, że

AB = BA = I

Taka macierz B jest jednoznacznie wyznaczona — nazywamy ją macierzą odwrotną do
A i oznaczamy symbolem A

−1

. Zatem

−1

= A

−1

A = I

Definicja 2.37. Macierz kwadratową A nazywamy nieosobliwą, jeżeli

det A 6= 0;

w przeciwnym wypadku A nazywamy macierzą osobliwą.

Zauważmy, że jeśli A jest odwracalna, to jest nieosobliwa, przy czym det A

−1

det A

Istotnie

1 = det I

= det

−1

= det A · det A

−1

i stąd

det A

−1

det A

Zachodzi też fakt odwrotny: jeśli macierz A jest nieosobliwa, to jest odwracalna. Dostajemy
więc

Twierdzenie 2.38. Macierz kwadratowa A jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy jest
odwracalna. Ponadto jeśli det A 6= 0, to

−1

det A

∗
ij

gdzie

∗
ij

oznacza macierz dopełnień algebraicznych wyrazów macierzy A.

Przykład 2.39. Niech A =

a b

c d

będzie macierzą nieosobliwą. Wówczas

−1

det A

−c

−b

ad−bc

−b

−c

Przykład 2.40. Korzystając z powyższego przykładu wyznaczyć macierz odwrotną do
macierzy A, jeśli

a) A =

2 2
3 2

;

b) A

cos ϕ − sin ϕ

sin ϕ

cos ϕ

, ϕ ∈ R.

Rozwiązanie:

a) A jest macierzą nieosobliwą, bo det A = −2 6= 0, zatem

−1

= −

1
2

2 −2

−3

−1

3
2

−1

b) Macierz A jest nieosobliwa, gdyż

det A

= cos

ϕ + sin

ϕ = 1

i stąd

−1
ϕ

cos ϕ

sin ϕ

− sin ϕ cos ϕ

2. Macierze i wyznaczniki

Zauważmy, że

−1
ϕ

cos (−ϕ) − sin (−ϕ)

sin (−ϕ)

cos (−ϕ)

= A

−ϕ

Przykład 2.41. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A, jeśli

A =






1 −2 3
0






Rozwiązanie: A jest odwracalna, gdyż det A = 2. Wyznaczymy najpierw macierz D
dopełnień algebraicznych elementów macierzy A:

D =
















(−1)

1+1

1 2
0 2

(−1)

1+2

0 2
0 2

(−1)

1+3

0 1
0 0

(−1)

2+1

−2 3

0 2

(−1)

2+2

1 3
0 2

(−1)

2+3

1 −2
0

(−1)

3+1

−2 3

1 2

(−1)

3+2

1 3
0 2

(−1)

3+3

1 −2
0





















0 0

2 0

−7 −2 1






Stąd

−1

det A

1
2






0 0

2 0

−7 −2 1






1
2






2 4 −7
0 2 −2
0 0











1 2 −

7
2

0 1 −1
0 0

1
2






Proponujemy sprawdzić, że istotnie AA

−1

= I

Twierdzenie 2.42 (Własności macierzy odwrotnej). Jeżeli A i B są macierzami
nieosobliwymi tego samego stopnia, to

1) det (A

−1

) = (det A)

−1

;

−1

= (A

−1

)

;

3) (AB)

−1

= B

−1

;

4) (A

−1

)

−1

= A;

5) (αA)

−1

dla dowolnej liczby α 6= 0.

Niech GL (n, R) oznacza zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy nieosobliwych

stopnia n. Z własności podanych w twierdzeniach 2.12 i 2.42 łatwo wynika, że zbiór
ten wraz z mnożeniem macierzy i macierzą jednostkową I

jest grupą. Nazywamy ją

pełną grupą liniową. Jeżeli n  2, to jest to grupa nieabelowa (por. przykład 2.14).
Analogicznie określamy grupę GL (n, C).

Przykład 2.43. Przykłady podgrup grupy GL (n, R) (GL(n, C)):

1) O (n, R) = {A ∈ GL (n, R) : A

= A

−1

} — jest to tzw. grupa ortogonalna;

2) SL (n, R) = {A ∈ GL (n, R) : det A = 1} — jest to tzw. grupa specjalna;
3) SO (n, R) = O (n, R) ∩ SL (n, R) = {A ∈ O (n, R) : det A = 1} — specjalna grupa

ortogonalna;

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

4) GL (n, R)

= {A ∈ GL (n, R) : det A > 0} — grupa macierzy zachowujących

naturalną orientację przestrzeni R

;

5) podobnie jak poprzednio określamy grupy O (n, C), SL (n, C), SO (n, C) ;
6) U (n) = {A ∈ GL (n, C) : (A)

= A

−1

} — jest to tzw. grupa unitarna (jeśli

A = [a

], to A = [a

]);

7) SU (n) = {A ∈ U (n) : det A = 1} — specjalna grupa unitarna.

Uwaga 2.44. Jeżeli macierz A jest macierzą nieosobliwą, to macierz odwrotną do A
można również wyznaczyć stosując metodę Gaussa: za pomocą operacji elementarnych na
wierszach sprowadzamy macierz postaci [A|I] do macierzy [I|B] . Wówczas B = A

−1

Przykład 2.45. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A stosując metodę Gaussa,
jeśli

A =






2 −2

−2

0 −1






Rozwiązanie: Zauważmy, że det A = −4, a zatem A jest nieosobliwa. Zgodnie z powyższą
uwagą mamy:

[A|I] =






2 −2

| 1 0 0

−2 | 0 1 0

0 −1

| 0 0 1






−→






2 −2

| 1 0 0

−2 | 0 1 1

0 −1

| 0 0 1






↔w

−→






2 −2

| 1 0 0

0 −1

| 0 0 1

−2 | 0 1 1






−w

−→

−

1
2






2 −2 1 | 1

0 | 0

−1

1 | 0 −

1
2

−

1
2






−w

−→






2 −2 0 | 1

1
2

0 | 0

−1

1 | 0 −

1
2

−

1
2






+2w

−→






2 0 0 | 1

1
2

−

3
2

0 1 0 | 0

−1

0 0 1 | 0 −

1
2

−

1
2






1
2

−→






1 0 0 |

1
2

1
4

−

3
4

0 1 0 | 0

−1

0 0 1 | 0 −

1
2

−

1
2






= [I|B] ,

przy czym

B =






1
2

1
4

−

3
4

−1

0 −

1
2

−

1
2






jest macierzą odwrotną do A. Istotnie:

AB =






2 −2

−2

0 −1











1
2

1
4

−

3
4

−1

0 −

1
2

−

1
2











1 0 0
0 1 0
0 0 1






Przykład 2.46. Rozwiązać podane równanie macierzowe:

a) X

2 1
3 2






−2

−1






;






−2

2 −1

2 −2






X + 3X =






−2

3
4






;

2. Macierze i wyznaczniki

2 −1
2

− X

−2 1

4 −2

1 0 −2
2 3

Rozwiązanie:

a) Jeżeli

A =

2 1
3 2

B =






−2

−1






to powyższe równanie możemy zapisać w postaci

XA = B.

Zauważmy, że det A = 1, a zatem macierz A jest odwracalna. Mnożąc prawostronnie
stronami przez A

−1

(ze względu na fakt, że mnożenie macierzy nie jest przemienne

należy zwrócić uwagę na to, z której strony mnożymy przez A

−1

) otrzymujemy:

XA = B | · A

−1

XAA

−1

= BA

−1

= BA

−1

czyli

X = BA

−1

Wyznaczamy macierz odwrotną do A:

−1

−3

Ostatecznie

X =






−2

3 −1






−1

−3






−4

9 −5






b) Wprowadźmy oznaczenia

A =






−2

2 −1

2 −2






B =






−2

3
4






Rozważane równanie możemy zapisać w postaci

AX + 3X = B

i dalej równoważnie jako

(A + 3I

) X = B.

Niech

= A + 3I






−2

2 −1

2 −2






+ 3






1 0 0
0 1 0
0 0 1











−2

2 −1

2 −2











3 0 0
0 3 0
0 0 3











1 0 0
2 2 0
3 2 1






Stąd mamy

CX = B,

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

przy czym macierz C jest odwracalna (det C = 2). Mnożąc lewostronnie stronami
przez C

−1

dostajemy

CX = B | C

−1

CX = C

−1

X = C

−1

X = C

−1

Wyznaczamy macierz odwrotną do C:

−1






−1

1
2

−1 −1 1






i ostatecznie

X =






−1

1
2

−1 −1 1











−2

3
4











−2

7
2






c) Niech

A =

2 −1
2

, B =

−2 1

4 −2

i C =

1 0 −2
2 3

Rozważane równanie możemy więc zapisać w postaci

(XA − X)

= BC

Korzystając z własności transponowania macierzy mamy

(XA − X)

XA − X = CB

i stąd

X (A − I

) = CB

Niech

D = A − I

2 −1
2

−

1 0
0 1

1 −1
2

Macierz D jest nieosobliwa (det D = 4), a więc jest odwracalna — jej macierzą
odwrotną jest macierz

−1

1
4

−2 1

Otrzymujemy więc

XD = CB

| · D

−1

czyli

X = CB

−1

1 0 −2
2 3






−2






1
4

−2 1

−

1
4

−

2. Macierze i wyznaczniki

2.6. Równoważna definicja wyznacznika

Na koniec tego rozdziału przedstawiamy inną definicję wyznacznika, równoważną defi-

nicji 2.18. Przypomnijmy, że definicja 2.18 ma charakter rekurencyjny — podaje ona
prostą metodę obliczania wyznaczników opartą na rozwinięciu Laplace’a. Natomiast defi-
nicja 2.47 wprowadza pojęcie wyznacznika za pomocą permutacji. Przy dużym stopniu
macierzy jest ona mało przydatna do obliczeń; głównie wykorzystywana jest do przepro-
wadzania dowodów własności wyznaczników.

Definicja 2.47. Niech P (n) = {1, . . . , n}, gdzie n ∈ N. n-elementową permutacją
nazywamy każde wzajemnie jednoznaczne odwozorowanie σ : P (n) → P (n). Permutację
σ zapisujemy w postaci

σ =

. . .

. . . σ

Zbiór wszystkich n-elementowych permutacji oznaczamy symbolem S (n).

Przykład 2.48.

• Jeżeli n = 2, to mamy dwie permutacje

σ =

1 2
1 2

τ =

1 2
2 1

• Jeżeli n = 3, to mamy 6 permutacji

1 2 3
1 2 3

1 2 3
1 3 2

1 2 3
2 1 3

1 2 3
2 3 1

1 2 3
3 1 2

1 2 3
3 2 1

Twierdzenie 2.49. Jest n! n-elementowych permutacji. Zbiór S (n) wraz ze składaniem
odwzorowań i permutacją identycznościową jest grupą (dla n > 2 jest to grupa nieabelowa).

Definicja 2.50. Niech dana będzie permutacja σ.

• Mówimy, że para (i, j) tworzy inwersję (nieporządek) permutacji σ, gdy

i < j oraz σ (i) > σ (j) .

• Znakiem permutacji σ nazywamy liczbę (−1)

, gdzie k oznacza liczbę inwersji

permutacji σ. Znak σ oznaczamy symbolem sgn σ.

Przykład 2.51.

• sgn

1 2
1 2

= (−1)

= 1;

• sgn

1 2
2 1

= (−1)

= −1;

• sgn

1 2 3
3 1 2

= (−1)

= 1;

• sgn

1 2 3 4 5
2 1 5 3 4

= (−1)

= −1.

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Twierdzenie 2.52. Jeżeli σ i τ są permutacjami n-elementowymi, to

sgn (τ ◦ σ) = sgn τ · sgn σ

(◦ oznacza tutaj złożenie odwzorowań).

Definicja 2.53. Niech A będzie kwadratową macierzą rzeczywistą (zespoloną) stopnia n.
Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę

det A

def

σ∈S(n)

sgn σ · a

1σ

2σ

· . . . · a

nσ

Przykład 2.54. Niech A =

. Mamy dwie 2-elementowe permutacje

σ =

1 2
1 2

τ =

1 2
2 1

przy czym sgn σ = 1 i sgn τ = −1. Zatem

det A = sgn σ · a

1σ

2σ

+ sgn τ · a

1τ

2τ

= a

− a

Zadania

Zadanie 2.1. Wykonać działania:

−2

2
3

−

1
3

+ 2

3
2

−2 1 −

1
2

;











0 −2
1






− 5

2
5

−1 0

3
5






Zadanie 2.2. Wyznaczyć macierz C =

− I

B, jeśli

A =

2 2 −i
0

B =

−1 + i

Zadanie 2.3. Sprawdzić, czy przemienne jest mnożenie macierzy A i B, jeśli

a) A =

1 0
1 1

B =

1 1
0 1

;

b) A =






−1 0 0

0 1 0
0 0 1






B =






0 1 0
1 0 0
1 1 1






;

c) A =

cos ϕ − sin ϕ

sin ϕ

cos ϕ

B =

cos ψ − sin ψ

sin ψ

cos ψ

Zadanie 2.4. Obliczyć iloczyny A (BC) i (AB) C, gdzie

A =






1 3 −1
0 1

0 1






B =






−1 0

−2 3






C =

−1

2. Macierze i wyznaczniki

Zadanie 2.5. Obliczyć AB, BA, det A, det B, det (AB) i det (BA), jeśli

A =






2 −1

−1






B =






2 1

2 0

−1 0 0






Zadanie 2.6. Obliczyć A

−1

BA, ABA

−1

, det B, det (A

−1

BA), jeśli

A =






2 −1 1
0






B =






−1 0

−1






Zadanie 2.7. Wyznaczyć A

, jeśli

a) A =

1 1
0 1

;

b) A =

cos ϕ − sin ϕ

sin ϕ

cos ϕ

Zadanie 2.8. Obliczyć wyznaczniki:

1 2 −1

0 1 −2

1 1

−2

0 1

;

0 1 2 3
3 0 1 2
2 3 0 1
1 2 3 0

;

2 −1 0

1 −2 3

1 −1 2

2 −1 0

;

−2 −1

−1

−2

−2 −1

Zadanie 2.9. Obliczyć wyznaczniki zakładając, że a, b, c ∈ R:

0 0 c
0 b 0
a 0 0

;

0 1 c
1 b 1
a 1 0

;

a a a a

0 0

d 0 0 0

;

a 0 0 d
a b 0 0
0 b

c 0

0 0 c d

Zadanie 2.10. Rozwiązać równania w dziedzinie zespolonej:

−1 z

1 z + 1

= 0;

z 0 −1
1 0

1 z

z −1
1

Zadanie 2.11. Wyznaczyć, o ile to możliwe, macierz A

−1

jeśli

a) A =

;

b) A =






0 0 1
0 1 0
1 0 0






;

c) A =






2 2 2
0 2 2
0 0 2






;

d) A =






−1 0 1

1 2

2 3






Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Zadanie 2.12. Wyznaczyć, w zależności od parametrów a, b, c ∈ R, macierz A

−1

a) A =






a 0 0
0 b 0
0 0 c






;

b) A =






a a a
0

0 0






Zadanie 2.13. Stosując rachunek macierzowy rozwiązać równania:

1 − i

−2i

1 + i 5i

+ X

3 − i −1

4 − i

−1

;






−1

2 −3






− 3X =






−2 −1 −1

−7






;

1 2
2 3

X =

−1 −2 1

;






0 1 2
0 0 1
0 0 0






X − 2X =

2 −2 3
2

;

e) X






3 3

0 3 −2
0 0






−1 2 3

1 2

= X






1 0 3
0 1 0
0 0 0






+ X.

Zadanie 2.14. Stosując rachunek macierzowy rozwiązać układy równań:











5 2
3 1

2
2

= I

2 1

= 0











2 3
1 2

−

2 1
1 2

0 1
1 0

−1 0

1 −1
1

3 2
1 1

Zadanie 2.15. Wykazać, że dla dowolnej macierzy kwadratowej A zachodzi równość

− I = (A − I) (A + I) ,

gdzie I oznacza macierz jednostkową.

Zadanie 2.16. Wykazać, że (A ± B)

= A

± 2AB + B

, o ile macierze A i B są

przemienne (tzn. AB = BA).

Zadanie 2.17. Podać przykład takiej macierzy kwadratowej A, że A

6= 0 i A

= 0.

Zadanie 2.18. Wykazać, że jeżeli macierze A i B są macierzami nieosobliwymi, to

a) (AB)

−1

= B

−1

;

b) (A

−1

)

−1

Zadanie 2.19. Wykazać, że zbiór M z dodawaniem i mnożeniem macierzy stanowi ciało,
jeśli

a) M = {

a −b

: a, b ∈ R};

b) M = {

2b a

: a, b ∈ Q}.

2. Macierze i wyznaczniki

Odpowiedzi

2.1. a)






−3 −1






;






1 −8
5 −5
1 −1






2.2. C =

−10 + 6i

−2 − 6i

2.3. a) nie, gdyż AB =

1 1
1 2

BA =

2 1
1 1

;

b) nie: AB =






0 −1 0
1






BA =






1 0

−1 0 0
−1 1 1






;

c) tak: AB = BA =

cos (ϕ + ψ) − sin (ϕ + ψ)

sin (ϕ + ψ)

cos (ϕ + ψ)

2.4. A (BC) = (AB) C =






−1

−14

−7






2.5. AB =






−1

10 3






BA =






6 1

1 2

−2 1 0






det A = −14,

det B = 2,

det (AB) = det (BA) = −28.

2.6. A

−1

BA =






−

−11 −15

−2






ABA

−1






−1

−15

−

1
2

3
2

−2






det B = 10,

det A

−1

BA = det B = 10.

2.7. a) A

1 4
0 1

;

b) A

cos (4ϕ) − sin (4ϕ)

sin (4ϕ)

cos (4ϕ)

2.8. a) 12;

b) −96;

c) −8;

d) 0.

2.9. a) −abc;

b) a + c − abc;

c) abcd;

d) 0.

2.10. a) z ∈ {−2, 0, 1};

b) z ∈ {−1, −i, i}.

2.11. a) A

−1

−i

;

b) A

−1






0 0 1
0 1 0
1 0 0






;

c) A

−1







1
2

−

1
2

−

1
2







;

d) A

−1

nie istnieje.

2.12. W obu przypadkach macierz odwrotna istnieje tylko gdy abc 6= 0.

a) A

−1







1
a







;

b) A

−1







1
a

−







2.13. a) X =






1 − i

−1 + 2i

−1 + i

−1 − 5i






;

b) X =






1 −1 −1
1

−1

1 −1 −1






;

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

c) X =

−5 −13

−1

;

d) X =







−

1
4

−

7
4

−

3
2

−

1
2







;

e) X =

1 −5 −6
0 −1 −2

2.14. a) X =

−1 −1

Y =

−1 1

;

b) X =

−2 −

Y =

1 −

1
3

4
3

Rozdział 3

Układy równań liniowych

3.1. Podstawowe definicje

Definicja 3.1. Niech m, n ∈ N.

• Układem m równań liniowych z n niewiadomymi x

, ..., x

nazywamy każdy układ

równań postaci











+ a

+ ... + a

+ a

+ ... + a

+ a

+ ... + a

= b

(3.1)

gdzie współczynniki a

, b

, i = 1, ..., m, j = 1, ..., n, są ustalonymi liczbami rzeczywi-

stymi (zespolonymi).

• Rozwiązaniem układu równań liniowych (3.1) nazywamy każdy ciąg (x

, ..., x

)

liczb rzeczywistych (zespolonych) spełniający ten układ.

Definicja 3.2. Mówimy, że układ równań (3.1) jest

• sprzeczny, gdy nie ma rozwiązań,
• oznaczony, gdy ma dokładnie jedno rozwiązanie,
• nieoznaczony, gdy ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Łatwo sprawdzić, że układ równań liniowych (3.1) można zapisać w tzw. postaci

macierzowej

AX = B,

(3.2)

gdzie

A =









...

... a









X =

















B =

















Macierz A nazywamy macierzą układu (3.1), zaś macierz B — kolumną wyrazów
wolnych.

Definicja 3.3. Układ równań liniowych postaci

AX = 0

nazywamy układem jednorodnym.

Uwaga 3.4. Jednym z rozwiązań układu jednorodnego jest rozwiązanie zerowe postaci

X =









0
0









Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

3.2. Twierdzenie Cramera

Definicja 3.5. Niech n ∈ N, A ∈ M

n,n

oraz B ∈ M

n,1

. Układem równań Cramera

nazywamy układ

AX = B,

w którym A jest macierzą nieosobliwą.

Twierdzenie 3.6 (Cramera). Układ równań Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie

X =

















gdzie W = det A oraz W

, j = 1, . . . , n, oznacza wyznacznik macierzy, która powstaje

przez zastąpienie j-tej kolumny macierzy A kolumną wyrazów wolnych, tzn.

. . . a

1j−1

1j+1

. . . a

2j−1

2j+1

. . . a

nj−1

nj+1

. . .

Wniosek 3.7. Jedynym rozwiązaniem jednorodnego układu Cramera jest rozwiązanie
zerowe.

Uwaga 3.8. Jeżeli układ postaci AX = B jest układem Cramera, to

X = A

−1

Przykład 3.9. Zbadać, czy podany układ równań liniowych jest układem Cramera











x + y + z = 1

2x + 3y − 2z = 0
4x + 9y + 4z = 1

Rozwiązanie: Wystarczy sprawdzić, czy macierz układu jest nieosobliwa. W tym przy-
padku

A =






1 1 1
2 3 −2
4 9 4






a zatem A

jest macierzą Vandermonde’a. Zgodnie z uwagą 2.31 mamy

det A = det A

= (3 − 2) · (−2 − 2) · (−2 − 3) = 20 6= 0,

co oznacza, że badany układ jest układem Cramera.

Przykład 3.10. Rozwiązać układ równań liniowych











x + y + z = 1

2x − y + z = 6

3x − 2z = −1

Rozwiązanie: Niech A oznacza macierz podanego układu, czyli

A =






1 1

2 −1 1
3 0 −2






3. Układy równań liniowych

Obliczamy jej wyznacznik (np. metodą Sarrusa):

W = det A =

1 1

2 −1 1
3 0 −2

= 2 + 3 − (−3 − 4) = 12 6= 0.

Ponieważ macierz A jest nieosobliwa, możemy zastosować twierdzenie Cramera. Obliczamy
kolejno wyznaczniki W

, W

i W

6 −1 1

−1 0 −2

= 12,

1 1

2 6

3 −1 −2

= −24,

1 1

2 −1 6
3 0 −1

= 24.

Stąd otrzymujemy

x =

= 1,

y =

= −2,

z =

= 2.

Rozwiązaniem układu jest zatem trójka liczb (1, −2, 2).

To samo rozwiązanie otrzymamy stosując wyłącznie rachunek macierzowy, gdyż zgodnie

z uwagą 3.8 mamy






x
y






= A

−1






1
6

−1











1
6

−

1
4

−

1
4











1
6

−1











−2






3.3. Rząd macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego

Definicja 3.11. Niech m, n, r ∈ N oraz r ¬ min{m, n}. Minorem stopnia r macierzy
A ∈ M

m,n

nazywamy wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A poprzez skreślenie

pewnej ilości wierszy i/lub kolumn. W szczególności, jeśli A jest macierzą kwadratową
stopnia n, to det A jest jej minorem stopnia n.

Definicja 3.12. Rzędem macierzy A ∈ M

m,n

nazywamy najwyższy ze stopni niezero-

wych minorów macierzy A. Rząd macierzy A oznaczamy przez R (A).

Przykład 3.13. Korzystając z definicji wyznaczyć rząd macierzy

A =






3 −2 1

−1 1 −

1
2

2 −1

1
2






Rozwiązanie: Zauważmy, że macierz A ma jeden minor stopnia trzeciego (jest to po
prostu wyznacznik macierzy A), 9 minorów stopnia drugiego oraz 9 minorów stopnia
pierwszego. Stąd wnioskujemy, że R(A) może być co najwyżej równy 3. Rząd macierzy A
nie jest równy 3, bo

det A =

3 −2 1

−1 1 −

1
2

2 −1

1
2

= 0.

Dalej badamy, czy rząd macierzy A jest równy 2. W tym celu obliczamy kolejne minory
stopnia drugiego szukając minora niezerowego (W

oznacza wyznacznik macierzy, która

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

powstaje z A przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny). Mamy więc

1 −

1
2

−1

1
2

= 0,

−1 −

1
2

= −

+ 1 =

6= 0,

co oznacza, że R (A) = 2.

Obliczanie rzędu macierzy z definicji, szczególnie w przypadku macierzy o dużych

wymiarach, może być zadaniem żmudnym i czasochłonnym. W takim przypadku przydatne
staje się więc poniższe twierdzenie:

Twierdzenie 3.14 (Własności rzędu macierzy). Niech A ∈ M

m,n

1) 0 ¬ R (A) ¬ min{m, n}, przy czym R (A) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A jest macierzą

zerową.

2) Jeżeli A jest macierzą kwadratową stopnia n, to

R (A) = n

⇔

det A 6= 0.

3) Jeżeli macierz D powstaje z macierzy A poprzez

• transponowanie,
• skreślenie zerowego wiersza (kolumny),
• skreślenie jednego z dwóch identycznych wierszy (kolumn),
• skreślenie jednego z dwóch proporcjonalnych wierszy (kolumn),
• zamianę dwóch dowolnych wierszy (kolumn),
• dodanie do pewnego wiersza (kolumny) macierzy A innego wiersza (kolumny)

pomnożonego przez pewną liczbę,

to R (D) = R (A) .

Przykład 3.15. Obliczyć R(A) wykorzystując odpowiednie własności rzędu macierzy,
jeśli

A =








1 0 −2 5 −1

−2 2 2 −4 1 −2

1 −3 1 6 −2 3
2 −2 1 4








Rozwiązanie: Zauważmy, że druga, czwarta i szósta kolumna są proporcjonalne, czyli
rząd macierzy A będzie równy rzędowi macierzy, która powstaje przez skreślenie czwartej
i szóstej kolumny

R (A) = R








1 0 5

−2 2 2 1

1 −3 1 −2
2 −2 1 3








Rząd otrzymanej macierzy nie zmieni się również, jeśli dalej do trzeciego wiersza dodamy
pierwszy wiersz

R (A) = R








1 0 5

−2 2 2 1

2 −2 1 3
2 −2 1 3








W efekcie dwa ostatnie wiersze są takie same, jeden z nich możemy więc wykreślić:

R (A) =






1 0 5

−2 2 2 1

2 −2 1 3






3. Układy równań liniowych

Następnie mamy

R (A) =

−k

−5k

= R






0 0 0

−2 4 2 11

2 −4 1 −7






+2w

−2w

= R






1 0 0 0
0 4 2 11
0 −4 1 −7






}

= R






1 0 0 0
0 4 2 11
0 0 3 4






(

1 0 0
0 4 2
0 0 3

6= 0

)

= 3.

Definicja 3.16. Macierzą uzupełnioną układu

AX = B

nazywamy macierz

def









. . . a









którą też krótko zapisujemy w postaci U = [A|B].

Twierdzenie 3.17 (Kroneckera-Capellego). Układ m równań z n niewiadomymi postaci

AX = B

ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

R (A) = R (U ) .

Wówczas rozwiązania układu zależą od n − r parametrów, gdzie r = R (A) = R (U ).
W szczególności, jeśli r = n, to układ posiada jedno rozwiązanie.

Przykład 3.18. Rozwiązać układ równań liniowych











x − y + 2z − w = 1

2x − 2y + 2z + w = 0

−x + y − 2z + w = −1

3x − 3y + 4z = 1

Rozwiązanie: Obliczamy rząd macierzy A

R (A) = R








1 −1 2 −1
2 −2 2

−1 1 −2 1

3 −3 4








wiersze w

i w

są proporcjonalne

— wykreślamy wiersz trzeci

= R






1 −1 2 −1
2 −2 2 1
3 −3 4 0






}

= R






1 −1 2 −1
3 −3 4 0
3 −3 4 0






wiersze w

i w

są takie same

— wykreślamy wiersz trzeci

= R

1 −1 2 −1
3 −3 4 0

1 2
3 4

= −2 6=0

= 2.

W podobny sposób wyznaczamy rząd macierzy uzupełnionej U , gdzie

U =








1 −1 2 −1 1
2 −2 2

−1 1 −2 1 −1

3 −3 4








Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Dostajemy R(U ) = 2 = R(A). Z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika zatem, iż
badany układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch para-
metrów (n − r = 4 − 2 = 2). Dalej tworzymy układ pomocniczy (3.3) w następujący
sposób:

• obliczając rząd macierzy A wykreśliliśmy dwa ostatnie wiersze — to oznacza, że

w rozważanym układzie pomijamy dwa ostatnie równania,

• wskazany w macierzy A niezerowy minor stopnia drugiego został otrzymany przez

wykreślenie drugiej i czwartej kolumny — w konsekwencji niewiadome y i w będą
w nowym układzie traktowane jak parametry.

parametry

↓











x − y + 2z − w = 1

2x − 2y + 2z + w = 0

−x + y − 2z + w = −1

3x − 3y + 4z

= 1

W efekcie otrzymujemy układ Cramera z niewiadomymi x i z:

(

x + 2z = 1 + y + w

2x + 2z = 2y − w

(3.3)

którego rozwiązaniem jest para

(

x = y − 2w − 1
z =

3
2

w + 1

Ostatecznie mamy











x = s − 2t − 1
y = s
z =

3
2

t + 1

w = t

gdzie s i t są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Przykład 3.19. Rozwiązać poniższy układ równań w zależności od parametru a ∈ R











ax − 2y + 2z = 2a

(a + 1) y − z = 0

x + z = a

Rozwiązanie: Obliczamy wyznacznik macierzy układu

det A =

a −2

0 a + 1 −1
1

= a (a − 1) .

Jeżeli a ∈ R \ {0, 1}, to badany układ jest układem Cramera i ma dokładnie jedno
rozwiązanie:











x =

a−1

y =

a−2
a−1

z =

(a−2)(a+1)

a−1

3. Układy równań liniowych

Jeżeli a = 0, to otrzymujemy układ jednorodny posiadający nieskończenie wiele rozwiązań
zależnych od jednego parametru:











x = t
y = −t
z = −t

, t ∈ R.

Gdy a = 1, to R [A] = 2 6= 3 = R [U ], a zatem układ jest sprzeczny.

Przykład 3.20. Wyznaczyć R (A) i R [A|B] oraz podać jedno z rozwiązań układu równań
postaci AX = B, jeśli wiadomo, że rozwiązania tego układu można opisać w następujący
sposób:











x = 1 + t
y = 1 − t
z = t

, t ∈ R.

Rozwiązanie: W tym przypadku rozważamy układ równań z trzema niewiadomymi
oraz wiemy, iż rozwiązania układu zależą od jednego parametru. Stąd wynika, że R (A) =
R [A|B] = 2. Jedno z rozwiązań otrzymamy wstawiając np. t = 1, czyli











x = 1 + 1 = 2
y = 1 − 1 = 0
z = 1

3.4. Metoda Gaussa

Bezpośrednio z własności rzędu (por. twierdzenie 3.14) wynika, że rząd macierzy nie

ulega zmianie przy wykonywaniu operacji elementarnych na wierszach określonych w
definicji 2.33. Do obliczania rzędu macierzy można więc także zastosować metodę Gaussa.

Przykład 3.21. Obliczyć rząd macierzy A metodą Gaussa, jeśli

A =








1 0 −2 5 −1

−2 2 2 −4 1 −1

1 −3 1 6 −2 3
2 −2 1 4








Rozwiązanie:

R (A) = R








1 0 −2 5 −1

−2 2 2 −4 1 −1

1 −3 1 6 −2 3
2 −2 1 4








(

+2w

−w

−2w

)

= R








1 1 0 −2 5 −1
0 4 2 −8 11 −3
0 −4 1 8 −7 4
0 −4 1 8 −7 4








= R








1 1 0 −2 5 −1
0 4 2 −8 11 −3
0 0 3 0

0 0 3 0








−w

}

= R








1 1 0 −2 5 −1
0 4 2 −8 11 −8
0 0 3 0

0 0 0 0








(

1 1 0
0 4 2
0 0 3

= 12 6= 0

)

= 3.

Definicja 3.22. Niech będą dane macierze A ∈ M

m,n

, B ∈ M

m,1

, A

∈ M

oraz

∈ M

. Mówimy, że układy równań AX = B i A

X = B

są równoważne, jeżeli mają

ten sam zbiór rozwiązań.

Twierdzenie 3.23. Niech będzie dany układ równań AX = B. Jeżeli macierz [A

]

powstaje z macierzy [A|B] poprzez

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

• zamianę kolejności wierszy (w

↔ w

• pomnożenie wiersza przez różną od zera liczbę α (αw

• dodanie do elementów jednego wiersza odpowiadających im elementów innego wiersza

pomnożonych przez pewną liczbę α (w

+ αw

• wykreślenie zerowego wiersza lub jednego z dwóch proporcjonalnych wierszy ( /

to układy równań AX = B i A

X = B

są równoważne.

Powyższe twierdzenie stanowi podstawę metody (elimancji) Gaussa służącej do rozwią-

zywania układów równań liniowych. Mówiąc ogólnie metoda ta polega na „eliminowaniu”
z kolejnych równań kolejnych niewiadomych. W przypadku dwóch równań z dwoma niewia-
domymi jest to znana ze szkoły średniej metoda przeciwnych współczynników.

Przykład 3.24. Stosując metodę eliminacji rozwiązać układ równań:











x + y + z = 1

2x − y + z = 6

3x − 2z = −1

;











y − z + w = 1

x + y + z = −1

x − y + w = 1

x + y − 2z + 3w = 0

;











x − y + 2z − w = 1

2x − 2y + 2z + w = 0

−x + y − 2z + w = −1

3x − 3y + 4z = 1

Rozwiązanie:











x + y + z = 1

2x − y + z = 6

3x − 2z = −1

−2w

⇐⇒

−3w











x + y + z = 1

−3y − z = 4

−3y − 5z = −4

−w

⇐⇒











x + y + z = 1

−3y − z = 4

−4z = −8

−

1
4

⇐⇒











x + y + z = 1

−3y − z = 4

z = 2

⇐⇒











x + y + z = 1

−3y = 6

z = 2

−

1
3

⇐⇒











x + y + z = 1

y = −2
z = 2

−w

⇐⇒











x = 1

y = −2
z = 2

Zauważmy, że zamiast zapisywać układy równoważne, możemy stosować krótszy zapis
posługując się jedynie macierzami uzupełnionymi kolejnych układów. Rozwiązanie
wygląda wówczas następująco:

[A|B]






1 1

1 | 1

2 −1 1 | 6
3 0 −2 | −1






−2w

−3w

−→






1 1

1 | 1

0 −3 −1 | 4
0 −3 −5 | −4






−w

−→






1 1

1 | 1

0 −3 −1 | 4
0 0 −4 | −8






−

1
4

−→






1 1

1 | 1

0 −3 −1 | 4
0 0

1 | 2






−→






1 1 1 | 1
0 −3 0 | 6
0 0 1 | 2






−

1
3

−→






1 1 1 | 1
0 1 0 | −2
0 0 1 | 2






−w

−→






1 0 1 | 3
0 1 0 | −2
0 0 1 | 2






−w

−→






1 0 0 | 1
0 1 0 | −2
0 0 1 | 2






= [A

] .

Aby uzyskać odpowiedź wystarczy na koniec zapisać układ równań odpowiadający
macierzy [A

3. Układy równań liniowych











y − z + w = 1

x + y + z = −1

x − y + w = 1

x + y − 2z + 3w = 0

↔w

⇐⇒











x + y + z = −1

y − z + w = 1

x − y + w = 1

x + y − 2z + 3w = 0

−w

⇐⇒











x + y + z = −1

y − z + w = 1

−2y − z + w = 2

−3z + 3w = 1

+2w

⇐⇒











x + y + z = −1

y − z + w = 1
−3z + 3w = 4
−3z + 3w = 1

−w

⇐⇒











x + y + z = −1

y − z + w = 1
−3z + 3w = 4

0 = −3

Uzyskana w ostatnim równaniu sprzeczność oznacza, że badany układ jest sprzeczny.











x − y + 2z − w = 1

2x − 2y + 2z + w = 0

−x + y − 2z + w = −1

3x − 3y + 4z = 1

−2w

−3w

⇐⇒











x − y + 2z − w = 1

−2z + 3w = −2

0 = 0

−2z + 3w = −2

⇐⇒

(

x − y + 2z − w = 1

−2z + 3w = −2

w=t

⇐⇒

(

x − y + 2z = 1 + t

−2z = −2 − 3t

−

1
2

⇐⇒

(

x − y + 2z = 1 + t

z = 1 +

3
2

−2w

⇐⇒

(

x − y = −1 − 2t

z = 1 +

3
2

y=s

⇐⇒

(

x = −1 − 2t + s

z = 1 +

3
2

Ostatecznie rozwiązania układu są postaci











x = −1 − 2t + s
y = s
z = 1 +

3
2

w = t

, gdzie s, t ∈ R.

Zadania

Zadanie 3.1. Obliczyć rząd macierzy:






2 −1 3 3

−1

2 0 1

1 −1 3 4






;






3 0 −1

−1 −2 −3 0

6 0 −2






;








−1

2 −3 −1 −1
2








;








−1 0 1

1 2 3
0 2 4
1 4 7








;






1 −1 1 −1

1 1

1 −1 1

3 −3 1






;






0 1

−1

1 1

1 −1 −3 −1 1






Zadanie 3.2. Korzystając z twierdzenia Cramera rozwiązać układ równań:

(

x − 2y = 0

2x + 3y = 1

;











x + y + z = 2

2x − y + z = 2
x + y + 3z = 0

;

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej











x + z = 2
x + y = 1

y + z = 5

;











x − y + z + 2w = 4

2x + y − z = 0

y − 3z − w = −2

x + 2y + w = 2

Zadanie 3.3. Korzystając z twierdzenia Kroneckera-Capellego rozwiązać układ równań:

(

x + 2y − z = 0

x − y + z = 0

;

(

x − y + z = 1

2x − y + 2z = 0

;











x + y − z = 2

x − y + 2z = 1

3x + y = 5

;











x − 2y + z = 1

2x − y + 3z = 1

5x − 4y + 7z = 1

;











x + y + z = 1

2x − y + z = 2

3x + 2z = 3

x − y − z = 0

;











x − y + z = 0
x + y − z = 0

x + 3y − 3z = 0

y − z = 0

x + y + z = 0

;











x + y − z + w = 1
x − y + z + w = 1

x + w = 1

;











x − y − z + w = 0
x + y + z − w = 0
x + y − z + w = 0

;

Zadanie 3.4. Rozwiązać układ równań metodą eliminacji:











x − y + 2z = 1
2x − y + z = 0

x − y − z = 2

;











x + y − z + u − w = 0

y + u + 2w = 1

x + z + w = 1

;











x + y + z + w = 1

x − y − z + w = 1

2x + z + w = 1

y + z + w = 2

;











y + z = 1

x − y − 2z = 0

2x + z = 2

y − z = 2

Zadanie 3.5. Rozwiązać układ równań w zależności od parametru a, gdzie a ∈ R











x − y + 2z = a

y − 2z = 1

x + y − 2z = 1

Zadanie 3.6. Dany jest jednorodny układ równań liniowych postaci AX = 0, gdzie

A =






0 a

+ 1

− 1






a ∈ R.

Rozwiązać układ równań w zależności od parametru a.

Zadanie 3.7. Rozwiązania układu równań AX = B mają postać











x = t
y = 2 − t
z = −1 + t

, t ∈ R.

Wyznaczyć R (A), R [A|B] oraz podać jedno z rozwiązań tego układu.

3. Układy równań liniowych

Zadanie 3.8. Rozwiązania układu równań AX = B mają postać











x = 2t + 1
y = 0
z = 4 − 2t
w = t

, t ∈ R.

Wyznaczyć R (A), R [A|B] oraz podać jedno z rozwiązań tego układu.

Odpowiedzi

3.1. a) 3;

b) 1;

c) 3;

d) 2;

e) 2;

f) 3.

3.2. a) x =

2
7

, y =

1
7

;

b) x = 2, y = 1, z = −1;

c) x = −1, y = 2, z = 3;

d) x = 0, y = 0, z = 0, w = 2.

3.3. a) układ nieoznaczony, rozwiązania zależą od jednego parametru, np.

x = −

1
3

t, y =

2
3

t, z = t, t ∈ R;

b) układ nieoznaczony, rozwiązania zależą od jednego parametru, np.

x = t, y = −2, z = −t − 1, t ∈ R;

c) układ nieoznaczony, rozwiązania zależą od jednego parametru, np.

x =

3
2

−

1
2

t, y =

1
2

3
2

t, z = t, t ∈ R;

d) układ sprzeczny;
e) układ oznaczony, x =

1
2

, y = −

1
4

, z =

3
4

;

f) układ oznaczony, x = 0, y = 0, z = 0;
g) układ nieoznaczony, rozwiązania zależą od dwóch parametrów, np.

x = 1 − t, y = s, z = s, w = t, s, t ∈ R;

h) układ nieoznaczony, rozwiązania zależą od jednego parametru, np.

x = 0, y = 0, z = t, w = t, t ∈ R.

3.4. a) układ oznaczony, x = −

4
3

, y = −3, z = −

1
3

;

b) układ nieoznaczony, rozwiązania zależą od dwóch parametrów, np.

x = t, y = 1 − 2t − s, z = 1 − 2t, u = s, w = t, s, t ∈ R;

c) układ oznaczony, x = −1, y = −1, z = 1, w = 2;
d) układ sprzeczny.

3.5. Dla a ∈ R \ {−1} układ sprzeczny;

dla a = −1 układ nieoznaczony, x = 0, y = 1 + 2t, z = t, t ∈ R.

3.6. Dla a ∈ R \ {−1, 1} jednorodny układ Cramera, rozwiązanie zerowe: x = y = z = 0;

dla a = −1 układ nieoznaczony, rozwiązania zależą od dwóch parametrów, np.

x = t + s, y = s, z = t, t, s ∈ R;

dla a = 1 układ nieoznaczony, rozwią zania zależą od jednego parametru, np

x = −t, y = 0, z = t, t ∈ R.

3.7. R (A) = R [A|B] = 2, rozwiązaniem układu jest np. trójka (x = 1, y = 1, z = 0).

3.8. R (A) = R [A|B] = 3, rozwiązaniem układu jest np. czwórka (x = 1, y = 0, z = 4, w =

0).

Rozdział 4

Geometria analityczna w R

4.1. Wektory

Definicja 4.1. Przestrzenią R

nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych trójek

liczb rzeczywistych, tzn.

3 def

= {(x, y, z) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R}.

Rys. 4.1. a) Układ lewoskrętny

b) Układ prawoskrętny

Elementy przestrzeni R

będziemy, w zależności od potrzeby, geometrycznie traktować

jako:

• punkty

(wówczas będziemy je oznaczać przez A, B, P, Q, (a

, a

), (b

, b

) itd.),

• wektory zaczepione w punkcie (0, 0, 0)

(w tym przypadku stosujemy oznaczenia a, b, −

→

a ,

−

→

b , [a

, a

], [b

, b

] itd.),

• wektory swobodne.

Elementy przestrzeni R będziemy nazywać skalarami.

Definicja 4.2.

• Wektor 0

def

= [0, 0, 0] nazywamy wektorem zerowym.

• Wektory:

def

= [1, 0, 0],

def

= [0, 1, 0],

def

= [0, 0, 1],

nazywamy wersorami odpowiednio na osiach Ox, Oy i Oz.

4. Geometria analityczna w R

Definicja 4.3. Niech a = [a

, a

]. Wówczas

• liczbę

|a|

def

+ a

nazywamy długością wektora a,

• wektor

−a

def

= [−a

, −a

]

nazywamy wektorem przeciwnym do wektora a.

Uwaga 4.4. Mówimy, że wektory a = [a

, a

] i b = [b

, b

] są równe, gdy a

= b

oraz a

= b

Definicja 4.5 (Działania na wektorach). Niech a = [a

, a

], b = [b

, b

] ∈ R

oraz

α ∈ R.

• Sumą wektorów a i b nazywamy wektor określony wzorem:

a + b

def

= [a

+ b

, a

+ b

, a

+ b

• Iloczynem wektora a przez skalar α nazywamy wektor określony wzorem:

αa

def

= [αa

, αa

W szczególności mamy: −a = (−1)a oraz a − b = a+(−b).

Definicja 4.6. Mówimy, że wektory a i b są równoległe (współliniowe, kolinearne),
gdy istnieje liczba α ∈ R taka, że a = αb.

Uwaga 4.7. Każdy wektor a = [a

, a

] można jednoznacznie przedstawić w postaci

sumy wektorów

a = a

i + a

j + a

Wektory te nazywamy składowymi wektora a.

, a

)

, a

, 0)

Rys. 4.2. Składowe wektora

Uwaga 4.8. Kątami kierunkowymi niezerowego wektora a = [a

, a

] nazywamy

kąty ϕ

, ϕ

, jakie wektor a tworzy odpowiednio z osiami Ox, Oy i Oz (rys. 4.3).

Kosinusy tych kątów określone wzorami:

cos ϕ

|a|

dla i = 1, 2, 3,

nazywamy kosinusami kierunkowymi wektora a.

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Rys. 4.3. Kąty kierunkowe wektora

Łatwo sprawdzić, że

cos

+ cos

= 1.

Twierdzenie 4.9 (Własności działań na wektorach). Dla dowolnych a, b, c ∈ R

oraz α, β ∈ R mamy:

1) a + (b + c) = (a + b) + c

(łączność);

2) a + b = b + a

(przemienność);

3) a + 0 = a

(wektor zerowy jest elementem neutralnym dodawania);

4) a + (−a) = 0

(istnienie elementu przeciwnego);

5) 1a = a;

6) (αβ)a = α(βa);

7) (α + β)a = αa + βa;

8) α(a + b) = αa + αb.

Definicja 4.10. Niech a = [a

, a

], b = [b

, b

] ∈ R

. Iloczynem skalarnym

wektorów a i b nazywamy liczbę a ◦ b określoną wzorem:

a ◦ b

def

= a

+ a

Uwaga 4.11. W analogiczny sposób można wprowadzić pojęcie iloczynu skalarnego
wektorów w przestrzeni R

, gdzie n ∈ N:

, ..., a

] ◦ [b

, ..., b

]

def

= a

+ ... + a

Twierdzenie 4.12 (Własności iloczynu skalarnego). Dla dowolnych a, b, c ∈ R

oraz α ∈ R mamy:

1) a ◦ b = b ◦ a

(przemienność);

2) (αa) ◦ b = α(a ◦ b)

(a + b) ◦ c = a ◦ b + a ◦ c;

3) a ◦ a = |a|

, a stąd (a ◦ a = 0 ⇔ a = 0);

4) a ◦ b = |a| |b| cos

] (a, b), gdzie ] (a, b) jest kątem między wektorami a i b (przyjmu-

jemy dodatkowo, że kątem między wektorem zerowym a dowolnym wektorem a jest
dowolna liczba z przedziału [0, π]);

5) |a ◦ b| ¬ |a| |b| ;

4. Geometria analityczna w R

6) a ◦ b = 0

⇔

a ⊥ b.

Definicja 4.13. Niech a = [a

, a

], b = [b

, b

] ∈ R

. Iloczynem wektorowym

wektorów a i b nazywamy wektor a × b określony wzorem:

a × b

def

i −

j +

Uwaga 4.14. Lewą stronę powyższego wzoru można łatwo zapamiętać w postaci
„wyznacznika”:

j k

Uwaga 4.15. Orientacja wektorów: a, b i u = a × b jest zgodna z orientacją układu
współrzędnych Oxyz.

Rys. 4.4. Iloczyn wektorowy w układzie: a) lewoskrętnym,

b) prawoskrętnym

Twierdzenie 4.16 (Własności iloczynu wektorowego). Dla dowolnych a, b, c ∈ R

oraz α ∈ R mamy:

1) a × b = −b × a;

2) a × b ⊥ a oraz a × b ⊥ b;

3) (αa) × b = α(a × b)

(a + b) × c = a × b + a × c;

4) |a × b| = |a| |b| sin

] (a, b) ;

5) a × b = 0 ⇔ a k b;

6) jeśli wektory a i b nie są równoległe, to długość wektora a × b równa jest polu

równoległoboku rozpiętego na wektorach a i b.

Przykład 4.17. Dane są wektory a = [2, −2, 1] i b =

2 −

√

3, −4, 2

√

3 + 1

. Wyznaczyć:

|a|, |b|, a ◦ b, a × b, cos ] (a, b), sin ] (a, b). Obliczyć pole równoległoboku rozpiętego na
wektorach a i b.

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Rozwiązanie: Wprost z definicji mamy:

|a| =

+ (−2)

+ 1

√

9 = 3,

|b| =

2 −

√

+ (−4)

√

3 + 1

4 − 4

√

3 + 3 + 16 + 12 + 4

√

3 + 1 =

√

36 = 6,

a ◦ b = 4 − 2

√

3 + 8 + 2

√

3 + 1 = 13,

a × b =

−2

−4 2

√

3 + 1

, −

2 −

√

3 2

√

3 + 1

−2

2 −

√

3 −4

−4

√

3 − 2 + 4, −

√

3 + 2 − 2 +

√

, −8 + 4 − 2

√

−4

√

3 + 2, −5

√

3, −4 − 2

√

Korzystając dalej z własności iloczynu skalarnego (twierdzenie 4.12 pkt 5)) otrzymujemy

cos

] (a, b) =

a◦b

|a||b|

3·6

13
18

Z jedynki trygonometrycznej wnioskujemy, że

sin

] (a, b) = 1 − cos

] (a, b) = 1 −

13
18

155
324

Stąd, uwzględniając fakt, iż

] (a, b) ∈ [0, π] , mamy:

sin

] (a, b) =

√

155

ϕ = ] (a, b)

Rys. 4.5.

Pole równoległoboku D rozpiętego na wektorach a i b obliczamy stosując odpowiednią
własność iloczynu wektorowego (twierdzenie 4.16 pkt 4)):

|D| = |a × b| = |a| |b| sin ] (a, b) = 3 · 6 ·

√

155

√

155.

Przykład 4.18. Wsród podanych wektorów wskazać pary wektorów równoległych lub
prostopadłych:

a = [2, −2, 1] , b = [2, 0, −1], c = [2, 2, 0] , d = [−4, 0, 2].

Rozwiązanie: Zauważmy, że

d = −2b, co oznacza, że d k b. Dalej, wykorzystując

4. Geometria analityczna w R

iloczyn skalarny wektorów (por. twierdzenie 4.12 pkt 7)) badamy prostopadłość pozosta-
łych par wektorów:

a ◦ b = 2 · 2 + (−2) · 0 + 1 · (−1) = 3,

a ◦ c = 2 · 2 + (−2) · 2 + 1 · 0 = 0,

a ◦ d = 2 · (−4) + (−2) · 0 + 1 · 2 = −6,

b ◦ c = 2 · 2 + 0 · 2 + (−1) · 0 = 4,

c ◦ d = 2 · (−4) + 2 · 0 + 0 · 2 = −8.

Stąd wynika, że a ⊥ c.

Definicja 4.19. Niech a, b, c ∈ R

. Iloczynem mieszanym wektorów a, b i c nazywamy

liczbę (a, b, c) określoną wzorem:

(a, b, c)

def

= (a × b) ◦ c.

Twierdzenie 4.20 (Własności iloczynu mieszanego). Dla dowolnych a, b, c ∈ R

mamy:

1) (a × b) ◦ c = a ◦ (b × c);

(a × b) ◦ c = (b × c) ◦ a = (c × a) ◦ b;

2) jeśli a = [a

, a

], b = [b

, b

] oraz c = [c

, c

], to

(a × b) ◦ c =

;

3) jeśli (a × b) ◦ c = 0, to wektory a, b, c są współpłaszczyznowe (komplanarne),

tzn. leżą w jednej płaszczyźnie;

4) (interpretacja geometryczna) jeśli niezerowe wektory a, b, c nie są współpłaszczy-

znowe, to moduł iloczynu mieszanego (a × b) ◦ c równy jest objętości równoległościanu
rozpiętego na wektorach a, b, c (por. tw. 2.22).

Przykład 4.21. Zbadać, czy podane trójki wektorów są współpłaszczyznowe:

a) a = [−1, 2, 3], b = [4, −1, 2], c = [2, 3, 8] ;

b) a = [1, 1, 1], b = [1, 2, −3], c = [1, 4, 9]

Rozwiązanie:

a) Wykorzystując dpowiednią włsnosność iloczynu mieszanego (twierdzenie 4.20 pkt 3)),

otrzymujemy

(a, b, c) =

−1 2 3

4 −1 2
2

3 8

= 0,

a zatem wektory a, b i c są współpłaszczyznowe.

b) W tym przypadku

(a, b, c) =

1 1 1
1 2 −3
1 4 9

wyznacznik
Vandermonde’a

= (2 − 1) (−3 − 1) (−3 − 2) = 20 6= 0,

czyli wektory a, b i c nie są współpłaszczyznowe. Istnieje zatem równoległościan
rozpięty na wektorach a, b i c, a jego objętość równa jest 20.

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

4.2. Płaszczyzna

Równania parametryczne płaszczyzny
Niech π będzie płaszczyzną przechodzącą przez punkt P

= (x

, y

, z

) i rozpiętą na

niewspółliniowych wektorach a = [a

, a

] i b = [b

, b

]. Wówczas dowolny punkt

P = (x, y, z) należący do płaszczyzny π można zapisać w postaci:

P = P

+ sa + tb,

gdzie s, t ∈ R. W formie rozwiniętej otrzymujemy tzw. równania parametryczne
płaszczyzny:

π :











x = x

+ sa

+ tb

y = y

+ sa

+ tb

z = z

+ sa

+ tb

s, t ∈ R.

Równanie ogólne płaszczyzny
Niech π będzie płaszczyzną przechodzącą przez punkt P

i rozpiętą na niewspółliniowych

wektorach a i b. Wówczas dla dowolnego (x, y, z) ∈ π mamy [x − x

, y − y

, z − z

] ⊥ a × b,

a zatem

[x − x

, y − y

, z − z

] ◦ (a × b) = 0.

Wektor n = a × b nazywamy wektorem normalnym płaszczyzny π. Jeśli przyjmiemy,
że n = [A, B, C] 6= 0, to powyższe równanie przyjmuje postać:

A(x − x

) + B(y − y

) + C(z − z

) = 0.

Przyjmując D = −Ax

− By

− Cz

otrzymujemy równanie ogólne płaszczyzny:

π :

Ax + By + Cz + D = 0.

Równanie odcinkowe płaszczyzny
Każdą płaszczyznę przecinającą osie układu Oxyz w punktach: (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c),
gdzie a, b, c ∈ R \ {0}, można opisać równaniem:

π :

= 1.

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty
Jeśli płaszczyzna π zawiera trzy niewspółliniowe punkty:

= (x

, y

, z

), P

= (x

, y

, z

), P

= (x

, y

, z

to równanie ją opisujące przyjmuje postać:

π :

x y z 1

= 0.

Przykład 4.22. Równania wybranych płaszczyzn:

• x = 0 — równanie płaszczyzny Oyz,
• y = 0 — równanie płaszczyzny Oxz,
• z = 0 — równanie płaszczyzny Oxy,
• Ax + By + Cz = 0 — równanie płaszczyzny zawierającej punkt (0, 0, 0),
• By + Cz = 0 — równanie płaszczyzny zawierającej oś Ox,
• By + Cz + D = 0 — równanie płaszczyzny równoległej do osi Ox,
• Cz + D = 0 — równanie płaszczyzny równoległej do płaszczyzny Oxy.

4. Geometria analityczna w R

Przykład 4.23. Podać równania: ogólne, parametryczne i odcinkowe płaszczyzny π
przechodzącej przez punkt P = (3, −1, 2) i prostopadłej do wektora n = [2, 4, −3].

Rozwiązanie: Najpierw zapisujemy równanie płaszczyzny π w postaci:

2 (x − 3) + 4 (y + 1) − 3 (z − 2) = 0.

Po przekształceniu otrzymujemy równanie ogólne:

2x + 4y − 3z + 4 = 0.

Aby wyznaczyć równania parametryczne płaszczyzny π musimy wskazać dwa niewspółli-
niowe wektory r

i r

prostopadłe do wektora n. Przyjmijmy np.

= [0, 3, 4] ,

= [−4, 2, 0] .

Tak wybrane wektory nie są równoległe, gdyż nie mają proporcjonalnych odpowiadających
sobie współrzędnych. Łatwo też sprawdzić, że r

× r

= [−8, −16, 12] = −4n, a zatem jest

to wektor równoległy do n. Równania parametryczne płaszczyzny są więc postaci:











x = 3 − 4t
y = −1 + 3s + 2t
z = 2 + 4s

, s, t ∈ R.

Równanie odcinkowe płaszczyzny π otrzymujemy przekształcając równanie ogólne w nastę-
pujący sposób:

2x + 4y − 3z + 4 = 0

⇔ 2x + 4y − 3z = −4 | : (−4) ⇔

−2

−1

4
3

= 1.

Twierdzenie 4.24. Odległość punktu P

= (x

, y

, z

) od płaszczyzny π opisanej równa-

niem Ax + By + Cz + D = 0 wyraża się wzorem:

d(P

, π) =

|Ax

+ By

+ Cz

+ D|

√

+ B

+ C

Definicja 4.25. Pękiem plaszczyzn wyznaczonym przez dwie nierównoległe płaszczyzny
π

i π

nazywamy zbiór wszystkich płaszczyzn zawierających prostą będącą cześcią wspólną

tych płaszczyzn.

Twierdzenie 4.26. Niech π

i π

będą dowolnymi nierównoległymi płaszczyznami o

równaniach:

: A

x + B

y + C

z + D

= 0,

: A

x + B

y + C

z + D

= 0.

Wówczas prosta π należy do pęku płaszczyzn wyznaczonego przez π

i π

wtedy i tylko

wtedy, gdy płaszczyzna π jest opisana równaniem:

x + B

y + C

z + D

) + λ

x + B

y + C

z + D

) = 0,

gdzie λ

, λ

są pewnymi liczbami rzeczywistymi takimi, że λ

2
1

+ λ

2
2

> 0.

4.3. Prosta

Równania parametryczne prostej
Niech l będzie prostą przechodzącą przez punkt P

= (x

, y

, z

) i równoległą do wektora

r = [a, b, c] 6= 0. Wówczas dowolny punkt P = (x, y, z) należący do prostej l można
zapisać w postaci:

P = P

+ tr, t ∈ R.

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

W formie rozwiniętej otrzymujemy tzw. równania parametryczne prostej:

l :











x = x

+ ta,

y = y

+ tb,

z = z

+ tc,

t ∈ R.

Równania kierunkowe prostej
Równania prostej wyznaczonej przez punkt P

= (x

, y

, z

) i wektor r = [a, b, c] taki, że

a, b, c ∈ R \ {0}, można przekształcić otrzymując równania kierunkowe prostej:

l :

x − x

y − y

z − z

Równania krawędziowe prostej
Prostą l będącą częścią wspólną dwóch nierównoległych płaszczyzn o równaniach:

: A

x + B

y + C

z + D

= 0,

: A

x + B

y + C

z + D

= 0,

będziemy opisywać w następujący sposób:

l :

(

x + B

y + C

z + D

= 0,

x + B

y + C

z + D

= 0.

W tym przypadku prosta l jest równoległa do wektora r, gdzie r = [A

, B

, C

]×[A

, B

, C

Przykład 4.27. Podać równania: parametryczne, kierunkowe i krawędziowe prostej l
przechodzącej przez punkt P = (2, −1, 3) i równoległej do wektora r = [−3, 5, 4].

Rozwiązanie: Na początek zapisujemy równania parametryczne prostej l:











x = 2 − 3t
y = −1 + 5t
z = 3 + 4t

, t ∈ R.

Wyznaczając t z każdego z powyższych równań otrzymujemy równania kierunkowe:

x−2

−3

y+1

z−3

Na koniec wyznaczamy równania krawędziowe. W tym celu równania kierunkowe prostej
l zapisujemy w postaci układu równań, które dalej przekształcamy tak, aby otrzymać
równania ogólne dwóch płaszczyzn:







x−2

−3

y+1

z−3

⇔

(

5(x − 2) = −3(y + 1)
4(y + 1) = 5(z − 3)

⇔

(

5x + 3y − 7 = 0
4y − 5z + 19 = 0

Łatwo sprawdzić, że wektory normalne tych płaszczyzn n

= [5, 3, 0] i n

= [0, 4, −5] nie

są równoległe, a zatem rozważane płaszczyzny też nie są równoległe. Co więcej, wektor
n

× n

= [−15, 25, 20], czyli n

× n

k r.

Zwracamy uwagę, iż równania krawędziowe prostej nie są wyznaczone jednoznaczne, gdyż
ta sama prosta może być częścią wspólną różnych par płaszczyzn (płaszczyzny te należą
do jednego pęku płaszczyzn). Proponujemy sprawdzić, że prostą l można również opisać

równaniami:

(

3x + y + z = 8
2x + 2y − z = −1

Przykład 4.28. Obliczyć odległość punktu P = (−2, 3, 1) od prostej l, jeśli

l :

x−2

= z − 1, y = 2.

Rozwiązanie: Zauważmy, że punkt P nie leży na prostej l. Niech Q oznacza rzut

4. Geometria analityczna w R

prostopadły punktu P na prostą l, tzn. Q jest takim punktem na prostej l, że wektor

−→

P Q

jest prostopadły do prostej l. Zapisujemy równania prostej l w postaci parametrycznej:











x = 2 + 3t
y = 2
z = 1 + t

, t ∈ R.

Skoro Q leży na prostej l, to jego współrzędne są równe (2 + 3t, 2, 1 + t) dla pewnego
t ∈ R. Wektorem kierunkowym prostej l jest wektor r = [3, 0, 1]. Poszukujemy takiego t,
żeby wektory

−→

P Q = [3t + 4, −1, t] i r były prostopadłe, tzn. by spełniony był warunek

−→

P Q ◦ r = 0.

Stąd otrzymujemy równanie

(3t + 4) · 3 + (−1) · 0 + t · 1 = 0,

którego rozwiązaniem jest t = −

12
10

. Wektor

−→

P Q ma więc współrzędne

, −1, −

12
10

Ostatecznie odległość P od prostej l jest równa

d(P, l) =

−→

P Q

+ (−1)

−

12
10

√

260

√

4.4. Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn

Wzajemne położenie dwóch płaszczyzn
Niech dane będą płaszczyzny π

i π

opisane równaniami:

: A

x + B

y + C

z + D

= 0,

: A

x + B

y + C

z + D

= 0.

Wówczas mamy:

• π

k π

⇔ [A

, B

, C

] k [A

, B

, C

];

• π

⊥ π

⇔ [A

, B

, C

] ⊥ [A

, B

, C

Ponadto układ równań

(

x + B

y + C

z + D

= 0,

x + B

y + C

z + D

= 0

(∗)

posiada następującą interpretację geometryczną:

układ równań (∗)

wzajemne położenie płaszyzn π

i π

sprzeczny

k π

6= π

nieoznaczony

płaszczyzny przecinają się wzdłuż

(rozwiązania zależą od jednego parametru)

pewnej prostej

nieoznaczony
(rozwiązania zależą od dwóch parametrów) π

= π

Wzajemne położenie dwóch prostych
Niech dane będą proste l

i l

opisane równaniami:











x = x

+ ta

y = y

+ tb

z = z

+ tc

t ∈ R,











x = x

+ sa

y = y

+ sb

z = z

+ sc

s ∈ R.

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Wówczas mamy:

• l

k l

⇔ [a

, b

, c

] k [a

, b

, c

];

• l

⊥ l

⇔ [a

, b

, c

] ⊥ [a

, b

, c

Jeśli proste l

i l

nie są równoległe i nie mają punktu wspólnego, to mówimy, że są to

proste skośne.

Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny
Niech dane będą: płaszczyzna π i prosta l, opisane równaniami:

π : Ax + By + Cz + D = 0,

l :











x = x

+ ta,

y = y

+ tb,

z = z

+ tc,

t ∈ R.

Wówczas mamy:

• π k l ⇔ [A, B, C] ⊥ [a, b, c];
• π ⊥ l ⇔ [A, B, C] k [a, b, c].

Przykład 4.29. Wyznaczyć odległość między prostymi l

i l

, jeśli

a) l











x = −2 − 6t
y = 3
z = 1 − 2t

, t ∈ R,

x−2

= z − 1, y = 2;

b) l











x = 1 + 2t
y = −1 + 3t
z = t

, t ∈ R,

(

x − y + z = 0
x + y − 2z = 2

Rozwiązanie:

a) Wektorami kierunkowymi prostych l

i l

są odpowiednio wektory:

= [−6, 0, −2] ,

= [3, 0, 1] .

Zauważmy, że są to wektory równoległe, a zatem proste l

i l

też są równoległe.

Odległość l

od l

jest więc równa odległości dowolnego punktu leżącego na l

prostej l

. Wstawiając w równaniach parametrycznych opisujących prostą l

wartość

t = 0, dostajemy punkt P = (−2, 3, 1) należący do prostej l

. Z poprzedniego

przykładu wynika, że

d (l

, l

) = d (P, l

) =

√

b) Zauważmy, że proste l

i l

nie są ani równoległe ani prostopadłe, gdyż ich wektory

kierunkowe:

= [2, 3, 1] ,

= [1, −1, 1] × [1, 1, −2] = [1, 3, 2] ,

nie posiadają takich własności. Ponadto proste l

i l

nie przecinają się. Istotnie:

gdyby istniał punkt wspólny tych prostych, to należałby do prostej l

, czyli miałby

współrzędne (x

, y

, z

), gdzie x

= 1 + 2t, y

= −1 + 3t, z

= t dla pewnego t ∈ R.

Prowadziłoby to do sprzeczności, gdyż x

− y

+ z

= 1 + 2t − (−1 + 3t) + t = 2,

co oznacza, że (x

, y

, z

) /

∈ l

. Proste l

i l

są więc skośne. Odległość między nimi

obliczymy wyznaczając odległość między prostą l

a płaszczyzną π zawierającą prostą

i równoległą do l

. Niech

n = r

× r

= [2, 3, 1] × [1, 3, 2] = [3, −3, 3] .

4. Geometria analityczna w R

Z własności iloczynu wektorowego wynika, że wektor n jest prostopadły do obu
prostych. Punkt P = (1, 1, 0) leży na prostej l

, a więc równanie

3 (x − 1) − 3 (y − 1) + 3z = 0

opisuje szukaną płaszczyznę π. Po przekształceniu do postaci ogólnej mamy

π : x − y + z + 2 = 0.

Ostatecznie

d (l

, l

) = d (Q, π) =

|1+1+0+2|

√

2
3

√

gdzie Q = (1, −1, 0) jest dowolnie wybranym punktem należącym do prostej l

Przykład 4.30. Podać interpretację geometryczną podanego układu równań:











x − y + 3z = 7

−x + y + 2z = 3

−3x + 3y + z = −1

Rozwiązanie: Niech A oraz [A|B] oznaczają odpowiednio macierz i macierz uzupełnioną
układu. Wówczas R (A) = R [A|B] = 2. W układzie występują trzy niewiadome, a zatem
z tw. Kroneckera-Capellego wynika, że układ jest nieoznaczony — jego rozwiązania zależą
od jednego parametru i są postaci:











x = t
y = −1 + t
z = 2

, t ∈ R.

Rozważany układ możemy zatem geometrycznie zinterpretować w następujący sposób:
trzy płaszczyzny opisane równaniami:

x − y + 3z = 7,

−x + y + 2z = 3,

−3x + 3y + z = −1

przecinają się wzdłuż prostej wyznaczonej przez punkt (0, −1, 2) i wektor [1, 1, 0].

Zadania

Zadanie 4.1. Wyznaczyć środki boków trójkąta o wierzchołkach: A = (−3, −2, 1) ,
B = (2, 4, −1) , C = (4, 4, 4).

Zadanie 4.2. Obliczyć kosinus i sinus kąta między wektorami a oraz b, jeśli

a) a = [−1, 2, 2] ,

b = [−3, 0, 4];

b) a = [0, −2, 2] ,

b = [1, 2, −1].

Zadanie 4.3. Zbadać, które z podanych par wektorów są równoległe lub prostopadłe:

a) a = [3, 1, −2] ,

b = [−6, −2, 4];

b) a = [3, 2, −1] ,

b = [−2, 2, −2];

c) a = [2, −1, 4] ,

b = [3, −2, 3];

d) a = [12, −4, 6] ,

b = [18, −6, 9].

Zadanie 4.4. Dane są punkty A = (1, −2, 3) i B = (4, 3, −7). Na odcinku AB wskazać
punkt C, który dzieli ten odcinek w stosunku 2 : 3.

Zadanie 4.5. Obliczyć pole równoległoboku ABCD, jeśli A = (2, 1, 3) , B = (−2, 3, 1) ,
C = (3, 3, 1).

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Zadanie 4.6. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach: A = (−3, −2, 1) , B = (2, 4, 1) ,
C = (2, 2, 2).

Zadanie 4.7. Obliczyć objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach u = [2, 3, −1] ,
v = [2, −1, 4] , w = [3, 4, 5].

Zadanie 4.8. Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach: A = (3, 3, 1) , B =
(2, −1, 3) , C = (3, 2, 2) , D = (3, −1, 4).

Zadanie 4.9. Zbadać, czy podane punkty są współliniowe, tzn. czy leżą na jednej prostej:

a) P = (0, 0, 0), Q = (1, 1, 1), R = (3, 3, 3);

b) P = (0, 1, 2), Q = (1, 0, 1), R = (3, 2, 0);

c) P = (1, 0, 1), Q = (2, 1, 0), R = (0, −1, 2).

Zadanie 4.10. Wyznaczyć równania parametryczne i kierunkowe prostej l przechodzącej
przez punkty A = (3, 2, −1) i B = (1, 4, 2).

Zadanie 4.11. Wyznaczyć równania kierunkowe i krawędziowe prostej l, jeśli

l :











x = 1 − t
y = −2
z = 2 +

1
3

, t ∈ R.

Zadanie 4.12. Wyznaczyć wektory kierunkowe prostych:

a) l :

(

2x − y + 3z + 6 = 0
4x − 2y + z − 1 = 0

;

b) l :

(

x + y − z − 2 = 0

2x + y − 2z + 1 = 0

Zadanie

4.13. Wyznaczyć równanie płaszczyzny π

przechodzącej przez punkt

P = (2, −1, 3) i prostopadłej do prostej

l :

x−2

= −y + 2 =

z+1

Zadanie 4.14. Wyznaczyć równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkty:
A = (3, 2, −1), B = (−2, −2, 3), C = (5, 3, 1).

Zadanie

4.15. Wyznaczyć równanie płaszczyzny π

przechodzącej przez punkt

P = (1, 1, 2) i zawierającej prostą l, jeśli

l :











x = 1 − t

y = 2 + t
z = 2 + t

, t ∈ R.

Zadanie

4.16. Wyznaczyć równanie płaszczyzny π

przechodzącej przez punkt

P = (1, 1, −2) i zawierającej oś Ox.

Zadanie

4.17. Wyznaczyć równanie płaszczyzny π

przechodzącej przez punkt

P = (1, 2, 1) , prostopadłej do płaszczyzny π i równoległej do prostej l, jeśli

π : 3x − y + z + 1 = 0,

l :

x+1

= 2y = z − 1.

Zadanie 4.18. Wyznaczyć obraz punktu P = (2, 3, −1) w symetrii względem płaszczyzny
π : 3x + 2y − z + 1 = 0.

Zadanie 4.19. Zbadać, czy proste l

i l

są równoległe, jeśli

a) l











x = −3 +

1
2

y = 2 − t
z = −3 +

3
2

t ∈ R,











x = 3 − t
y = 4 + 2t
z = −3t

t ∈ R;

4. Geometria analityczna w R

b) l

: x =

y−1

= −

z
4

(

2x + y + z = 0
2x + 2y + 4 = 0

;

c) l

(

3x − y + z = 1
x + y − 2z = 2

: x − 2 = −

5−y

z−4

Zadanie 4.20. Dla jakiej wartości parametru p podane proste są prostopadłe:

(

px − y + 2z = 1

x + 3y − z = 2

x
2

= y − 1 = −z.

Zadanie 4.21. Obliczyć odległość prostej k od prostej l, jeśli

k :

x − 1

= y + 1 = z − 1,

l :

(

x − 2y = 1

x + y − z = 2

Zadanie 4.22. Wyznaczyć odległość między płaszczyznami π

: x − 2y + z + 1 = 0 oraz

: 2x − 4y + 2z − 5 = 0.

Zadanie 4.23. Zbadać wzajemne położenie prostej l i płaszczyzny π, jeśli

a) l :

(

−x + 2y + z = 0

x + y + 3z = 1

π : 2x − y + 2z − 3 = 0;

b) l :











x = 1 − t
y = 2t
z = −2 + 3t

, t ∈ R,

π : 3x − y + z − 3 = 0;

c) l :

x−1

= −y + 1 = 2z,

π : 6x − 2y + z + 2 = 0.

Zadanie 4.24. Podać interpretację geometryczną zbioru rozwiązań poniższego układu
równań

(

x − y + z = 1

−x + y + 2z = 5

Zadanie 4.25. Sprawdzić, czy geometrycznym obrazem zbioru rozwiązań podanego
układu równań jest prosta l przechodząca przez punkt P = (0, −1, 2) i równoległa do
wektora r = [1, 1, 0] :











x − y + 3z = 7

−x + y + 2z = 3

−3x + 3y + z = −1

Odpowiedzi

4.1. Środki boków AB, BC i AC mają współrzędne odpowiednio równe:

−

1
2

, 1, 0

3, 4,

3
2

1
2

, 1,

5
2

4.2. a) cos ] (a, b) =

11
15

, sin

] (a, b) =

√

;

b) cos

] (a, b) = −

√

, sin

] (a, b) =

1
2

4.3. a) równoległe;

b) prostopadłe;

c) nie są równoległe ani prostopadłe;

d) równoległe.

4.4. C =

, 0, −1

4.5. 10

√

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

4.6.

√

161

4.7. 47.

4.8.

1
6

4.9. a) tak;

b) nie;

c) tak. (wskazówka: wystarczy zbadać, czy P Q k QR)

4.10. równania parametryczne:











x = 3 − 2t
y = 2 + 2t
z = −1 + 3t

, t ∈ R,

równania kierunkowe:

x−3

−2

y−2

z+1

4.11. równania kierunkowe:

x−1

−1

z−2

1
3

, y = −2,

równania krawędziowe:

(

x + 3z − 7 = 0
y + 2 = 0

4.12. a) [5, 10, 0];

b) [−1, 0, −1]

(lub inne wektory równoległe do podanych).

4.13. 3x − y + 2z − 13 = 0.

4.14. −4x + 6y + z + 1 = 0.

4.15. x + z − 3 = 0.

4.16. 2y − z − 2 = 0.

4.17. −3x − 2y + 7z = 0.

4.18. (−4, −1, 1).

4.19. a) tak;

b) nie;

c) tak.

4.20. p = −

9
2

4.21. d =

√

4.22. d =

√

4.23. a) równoległe;

b) nie są równoległe i nie są prostopadłe;

c) prostopadłe.

4.24. prosta postaci:











x = −1 + t
y = t
z = 2

, t ∈ R.

4.25. tak.

Rozdział 5

Przestrzenie wektorowe i
przekształcenia liniowe

5.1. Podstawowe definicje i własności

Definicja 5.1. Przestrzenią wektorową (liniową) X nad ciałem K nazywamy zbiór
X taki, że

• X jest grupą abelową, tzn. dane jest działanie:

+ : X × X → X,

(x, y) 7→ (x + y)

oraz wyróżniony element 0 ∈ X takie, że

x,y,z∈X

x + (y + z) = (x + y) + z,

x,y∈X

x + y = y + x,

x∈X

x + 0 = x,

x∈X

y∈X

x + y = 0,

• dane jest odwzorowanie

· : K × X → X,

(λ, x) 7→ λ · x

takie, że

α,β∈K

x∈X

(αβ) · x = α · (β · x),

α,β∈K

x∈X

(α + β) · x = α · x + β · x,

α∈K

x,y∈X

α · (x + y) = α · x + α · y,

x∈X

1 · x = x.

Ciało K nazywamy ciałem współczynników przestrzeni X, a jego elementy — skalarami.
Elementy zbioru X nazywamy wektorami.

Uwaga 5.2. W tym rozdziale 0 i 1 będą oznaczać odpowiednio zero i jedynkę z ciała K,
natomiast 0 — wektor zerowy z przestrzeni X.

Przykład 5.3. Przykłady przestrzeni wektorowych.

1) Jeżeli L jest podciałem ciała K, to K jest przestrzenią wektorową nad L. W szczególności

każde ciało K jest przestrzenią liniową samo nad sobą.

2) Przestrzeń X = {0} nazywamy przestrzenią trywialną.

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

3) Niech X = K

= K × . . . × K

}

n razy

. Dla [x

, . . . , x

] , [y

, . . . , y

] ∈ K

i λ ∈ K działania

+ oraz · definiujemy w następujący sposób:

, . . . , x

] + [y

, . . . , y

]

def

= [x

+ y

, . . . , x

+ y

] ,

λ · [x

, . . . , x

]

def

= [λx

, . . . , λx

] .

Łatwo widać, że działania te wprowadzają w X strukturę przestrzeni wektorowej nad
ciałem K — wektorem zerowym jest 0 = [0, . . . , 0], zaś wektorem przeciwnym do
x = [x

, . . . , x

] jest −x = [−x

, . . . , −x

4) Niech C

([0, 1]) będzie zbiorem funkcji ciągłych działających z przedziału [0, 1] w R.

Jeżeli f, g ∈ C

([0, 1]) oraz λ ∈ R, to działania definiujemy następująco:

(f + g) (t)

def

= f (t) + g (t) dla t ∈ [0, 1] ,

(λf ) (t)

def

= λf (t) dla t ∈ [0, 1] .

([0, 1]) jest rzeczywistą przestrzenią wektorową, przy czym wektorem zerowym jest

funkcja: 0 (t)

def

= 0 dla t ∈ [0, 1], zaś funkcją przeciwną do f jest funkcja (−f ) określona

wzorem:

(−f ) (t)

def

= −f (t) dla t ∈ [0, 1] .

Analogicznie definiujemy przestrzeń C

([0, 1]) funkcji różniczkowalnych o ciągłej po-

chodnej i ogólniej, przestrzeń C

([0, 1]) funkcji k-krotnie różniczkowalnych, których

k-ta pochodna jest ciągła. Symbolem C

∞

([0, 1]) oznaczamy przestrzeń funkcji

nieskończenie wiele razy różniczkowalnych.

5) Zbiory M

m,n

(R) i M

m,n

(odpowiednio nad ciałem liczb rzeczystych i zespolonych) z dodawaniem macierzy i
mnożeniem macierzy przez liczbę.

6) Niech X oznacza zbiór wszystkich ciągów (a

)

n∈N

o wyrazach rzeczywistych takich,

że lim

n→∞

= 0. W zbiorze X wprowadzamy działania:

) + (b

)

def

= (a

+ b

) ,

α (a

)

def

= (αa

) ,

α ∈ R.

Można sprawdzić, że zbiór X jest rzeczywistą przestrzenią wektorową, przy czym
wektorem zerowym jest ciąg stały o wyrazie ogólnym równym zero, zaś wektorem
przeciwnym do (a

) jest wektor

− (a

)

def

= (−a

) .

Twierdzenie 5.4. Jeżeli X jest przestrzenią wektorową nad ciałem K, to

x ∈X

0 · x = 0.

α ∈K

α · 0 = 0.

x ∈X

(−1) · x = −x.

α,β ∈K

x ∈X

(α − β) · x = α · x − β · x = α · x + (−β) · x.

5. Przestrzenie wektorowe i przekształcenia liniowe

Uwaga 5.5. Załóżmy, że X jest przestrzenią wektorową nad ciałem K oraz dane jest
odwzorowanie · : X ×X → X. Mówimy, że X jest algebrą, jeżeli spełnione są następujące
warunki:

x,y,z ∈X

x · (y + z) = x · y + x · z,

x,y,z ∈X

(x + y) · z = x · z + y · z,

x,y ∈X

α ∈K

α (x · y) = (αx) · y = x · (αy).

Przykładem algebry nad ciałem R (C) jest przestrzeń rzeczywistych (zespolonych) macierzy
kwadratowych z mnożeniem macierzy.

5.2. Liniowa zależność i liniowa niezależność

Niech X będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K.

Definicja 5.6.

• Niech x

, . . . , x

będą wektorami z przestrzeni X. Wektor x ∈ X nazywamy kom-

binacją liniową wektorów x

, . . . , x

, jeżeli

x =

i=1

= α

+ α

+ . . . + α

gdzie α

, . . . , α

∈ K. Skalary α

, . . . , α

nazywamy współczynnikami tej kombi-

nacji liniowej. Jeśli co najmniej jeden współczynnik kombinacji jest różny od zera,
to mówimy, że jest to nietrywialna kombinacja liniowa; w przeciwnym wypadku
nazywamy ją trywialną.

• Niech S będzie dowolnym niepustym podzbiorem przestrzeni X. Mówimy, że wektor

x ∈ X jest kombinacją liniową wektorów ze zbioru S, jeżeli istnieją wektory
x

, . . . , x

∈ S takie, że x jest kombinacją liniową tych wektorów. Zbiór wszystkich

kombinacji liniowych wektrów z S oznaczamy przez lin(S). Podzbiór S nazywamy
układem generatorów (zbiorem generatorów) przestrzeni X, jeżeli X = lin(S),
tzn. każdy wektor z przestrzeni X jest kombinacją liniową wektorów ze zbioru S.

Definicja 5.7. Niech x

, . . . , x

będą wektorami z przestrzeni X.

• Mówimy, że wektory x

, . . . , x

są liniowo zależne, jeżeli wektor zerowy jest nietry-

wialną kombinacją liniową tych wektorów, tzn.

i=1

= 0,

gdzie α

, . . . , α

∈ K oraz co najmniej jeden ze współczynników kombinacji jest

niezerowy.

• Mówimy, że wektory x

, . . . , x

są liniowo niezależne, jeżeli nie są liniowo zależne,

tzn. z równości:

i=1

= 0,

gdzie α

, . . . , α

∈ K, wynika, że α

= . . . = α

= 0.

Definicja 5.8. Niech S będzie dowolnym niepustym podzbiorem przestrzeni wektorowej
X. Mówimy, że zbiór S jest liniowo zależny, jeżeli istnieją wektory x

, . . . , x

∈ S,

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

które są liniowo zależne oraz, że zbiór S jest liniowo niezależny, jeżeli nie jest liniowo
zależny.

Twierdzenie 5.9 (Własności zbiorów liniowo zależnych i niezależnych). Niech S
będzie dowolnym niepustym podzbiorem przestrzeni wektorowej X.

1) Jeżeli 0 ∈ S, to S jest zbiorem liniowo zależnym.

2) Każdy podzbiór zbioru liniowo niezależnego jest liniowo niezależny.

3) Każdy nadzbiór zbioru liniowo zależnego jest liniowo zależny.

4) Zbiór S jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy pewien wektor x ∈ S jest

kombinacją liniową wektorów ze zbioru S \ {x}.

5) Zbiór S jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor x ∈ X można

przedstawić w co najwyżej jeden sposób jako kombinację liniową wektorów ze zbioru
S.

Przykład 5.10. Zbadać liniową niezależność podanych wektorów z przestrzeni R

a) x

= [3, 2, 0] , x

= [0, 2, −1] , x

= [5, 1, 1] ;

b) x

= [1, 2, 0] , x

= [10, 2, −1] , x

= [−7, 0, −1] , x

= [9, 1, 1] .

Rozwiązanie:

a) Zauważmy najpierw, że w tym przypadku równanie α

+ α

= 0 można

zapisać w postaci jednorodnego układu równań z niewiadomymi α

, α











3α

+ 5α

= 0

2α

+ 2α

+ α

= 0

−α

+ α

= 0

Ponieważ wyznacznik główny tego układu

det [x

, x

] = det






3 0 5
2 2 1
0 −1 1






= −1 6= 0,

zatem na mocy twierdzenia Cramera jedynym jego rozwiązaniem jest rozwiązanie
zerowe: α

= α

= 0. To oznacza, że wektory x

, x

są liniowo niezależne.

b) Wektory x

, x

są liniowo zależne, bowiem w przestrzeni R

każde cztery wektory

są liniowo zależne. Wynika to z faktu, iż układ postaci

+ α

= 0

jako jednorodny układ trzech równań liniowych z czterema niewiadomymi jest układem
nieoznaczonym, zatem ma rozwiązania niezerowe.

Przykład 5.11. Zbadać, czy podane funkcje są liniowo niezależne jako wektory z prze-
strzeni C

(R):

a) f

(x) = 1, f

(x) = sin

x, f

(x) = cos

b) f

(x) = 1, f

(x) = x, f

(x) = x

Rozwiązanie:

a) Zauważmy, że

−f

(x) + f

(x) = −1 + sin

x + cos

x = 0 dla x ∈ R,

zatem

−f

+ f

= 0.

5. Przestrzenie wektorowe i przekształcenia liniowe

Stąd wnioskujemy, że wektory: f

, f

są liniowo zależne.

b) Pokażemy, że wektory f

, f

są liniowo niezależne. Załóżmy zatem, że zachodzi

równość α

+ α

= 0, tzn.

+ α

x + α

= 0 dla x ∈ R.

Wstawiając do powyższej równości kolejno np. x = 0, x = 1 i x = −1 otrzymujemy
układ trzech równań:











= 0

+ α

= 0

− α

+ α

= 0

Jako układ Cramera posiada on jedynie rozwiązanie zerowe: α

= α

= 0. To

oznacza, że badany układ funkcji jest liniowo niezależny.

Twierdzenie 5.12. Rząd macierzy o wyrazach rzeczywistych (zespolonych) jest równy
maksymalnej ilości liniowo niezależnych wierszy (kolumn) tej macierzy traktowanych jako
wektory.

Wniosek 5.13. Wektory x

, . . . , x

, gdzie k ¬ n, są liniowo niezależne w przestrzeni

wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy, której wierszami (kolumnami) są wektory

, . . . , x

, jest równy k.

Przykład 5.14. Niech x

= [1, −1, 0, 2, 3], x

= [0, 1, 1, 2, −1] i x

= [2, −1, 0, 0, 0].

Wówczas wektory x

, x

są liniowo niezależne w R

. Istotnie,






1 −1 0 2

1 1 2 −1

2 −1 0 0






= 3.

Przykład 5.15. Niech x

, x

będą wektorami z przestrzeni R

takimi, że

+ 8x

= 0 i x

+ x

= 0.

Zbadać, czy wektory x

, x

są liniowo niezależne. Oszacować rząd [x

, x

] .

Rozwiązanie: Z założenia wnioskujemy, że wektory x

, x

są liniowo zależne, zatem na

mocy twierdzenia 5.9 pkt 3) wektory x

, x

są również liniowo zależne. Ponadto

korzystając z własności rzędu macierzy mamy

R [x

, x

] = R [−8x

, x

, −x

] = R [x

, x

] ¬ 2.

5.3. Baza i wymiar

Definicja 5.16. Zbiór B ⊂ X nazywamy bazą przestrzeni wektorowej X, jeżeli B jest
zbiorem liniowo niezależnym i B generuje przestrzeń X. Oznacza to, że dowolny wektor
x ∈ X można jednoznacznie przedstawić w postaci

x = α

+ α

+ . . . + α

dla pewnych skalarów α

, . . . , α

∈ K oraz wektorów x

, . . . , x

∈ B. Współczynniki

, . . . , α

nazywamy współrzędnymi wektora x względem bazy B.

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Przykład 5.17. Można łatwo sprawdzić, że wektory

= [1, 0, 0, . . . , 0] ,

= [0, 1, 0, . . . , 0] ,

= [0, 0, . . . , 0, 1]

tworzą bazę przestrzeni R

. Jest to tzw. baza kanoniczna. Jeśli x = [x

, . . . , x

] ∈ R

to zachodzi równość:

x = x

+ x

+ . . . + x

a zatem współczynniki x

, . . . , x

są współrzędnymi wektora x w bazie kanonicznej prze-

strzeni R

Twierdzenie 5.18. Każda nietrywialna przestrzeń wektorowa X ma bazę. Jeżeli X ma
n-elementową bazę, gdzie n ∈ N, to każda baza przestrzeni X składa się z n elementów.
Jeżeli X ma nieskończoną bazę, to każda baza przestrzeni X jest nieskończona.

Definicja 5.19. Jeżeli X ma skończoną n-elementową bazę, to liczbę n nazywamy
wymiarem przestrzeni X i piszemy dim X = n. Dodatkowo przyjmujemy, że jeżeli
X = {0} jest przestrzenią trywialną, to dim X = 0, a jeśli X nie ma skończonej bazy, to
piszemy dim X = ∞.

Przykład 5.20.

• dim R

= n,

• dim M

m,n

(R) = m · n,

• dim C

([0, 1]) = ∞.

Przykład 5.21. Zauważmy, że wymiar przestrzeni zależy również od ciała, nad którym
dana przestrzeń jest rozważana. Jeżeli chcemy zaznaczyć, że X jest przestrzenią nad
ciałem K, to wymiar X oznaczamy wtedy przez dim

• Jeżeli K jest dowolnym ciałem, to dim K = dim

K = 1.

• dim

C = 1, ale dim

C = 2.

• dim

R = ∞.

Twierdzenie 5.22. Niech n ∈ N. Następujące warunki są sobie równoważne:

1) wektory x

, . . . , x

tworzą bazę przestrzeni R

;

2) wektory x

, . . . , x

są liniowo niezależne w przestrzeni R

;

3) det [x

, . . . , x

] 6= 0.

Przykład 5.23. Niech x

= [1, 0, 0], x

= [2, 2, 0] , x

= [2, 3, 1]. Wówczas B = {x

, x

}

jest bazą przestrzeni R

, bowiem

det [x

, x

] =

1 0 0
2 2 0
2 3 1

= 2 6= 0.

Wyznaczymy współrzędne wektora x = [2, 0, −1] w tej bazie. Poszukujemy współczynników
α, β, γ takich, że

x = αx

+ βx

+ γx

tzn.

[2, 0, −1] = α [1, 0, 0] + β [2, 2, 0] + γ [2, 3, 1] .

5. Przestrzenie wektorowe i przekształcenia liniowe

Porównując odpowiednie współrzędne wektorów otrzymujemy układ równań:











α + 2β + 2γ = 2

0α + 2β + 3γ = 0

0α + 0β + γ = −1

Jest to układ Cramera i jego jedynym rozwiązaniem jest trójka (α, β, γ) = (1,

3
2

, −1).

5.4. Podprzestrzenie

Definicja 5.24. Niech X będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K z ustalonym
działaniem +. Niepusty podzbiór X

⊂ X nazywamy podprzestrzenią przestrzeni X,

jeżeli X

(z działaniem +) jest również przestrzenią wektorową nad ciałem K.

Twierdzenie 5.25. Niepusty podzbiór X

⊂ X jest podprzestrzenią przestrzeni X nad

ciałem K, jeżeli spełnione są warunki:

x,y∈X

x + y ∈ X

x∈X

α∈K

α · x ∈ X

Twierdzenie 5.26. Jeżeli X

jest podprzestrzenią przestrzeni X nad ciałem K, to

dim

¬ dim

Przykład 5.27.

1) Niech X

= {[x, y, 0] ∈ R

: x, y ∈ R}. Łatwo widać, że X

jest podprzestrzenią

przestrzeni X = R

oraz dim X

= 2. Utożsamiając wektor [x, y] ∈ R

z wektorem

[x, y, 0] możemy traktować R

jako podprzestrzeń R

2) Niech X oznacza zbiór wszystkich ciągów (a

) o wyrazach rzeczywistych takich, że

lim

n→∞

= 0. Przyjmijmy

= {(a

) :

∞

n=1

jest zbieżny}.

Wówczas X

jest podprzestrzenią przestrzeni X.

3) Łatwo widać, że zachodzą inkluzje:

([0, 1]) ⊃ C

([0, 1]) ⊃ . . . ⊃ C

∞

([0, 1]).

Mamy więc tu określony cały ciąg podprzestrzeni przestrzeni C

([0, 1]).

4) Niech A ∈ M

n,n

(R) będzie ustaloną macierzą. Ponieważ elementy przestrzeni R

możemy traktować jako macierze jednokolumnowe, więc dla x ∈ R

określone jest

mnożenie Ax, gdzie

x =

















oraz

Ax =









. . . a

























Nietrudno sprawdzić, że zbiór

V = {x ∈ R

: Ax = 0}

jest podprzestrzenią przestrzeni R

. Jeśli B ∈ M

n,1

(R), to zbiór

H = {x ∈ R

: Ax = B}

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

można przedstawić w postaci

H = x

+ V = {x

+ x : x ∈ V },

gdzie x

jest jakimkolwiek rozwiązaniem równania Ax = B.

5.5. Przekształcenia liniowe

Definicja 5.28. Niech X i Y będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem K. Odwzoro-
wanie ϕ : X → Y nazywamy przekształceniem liniowym, jeżeli spełnione są warunki:

x,y∈X

ϕ (x + y) = ϕ (x) + ϕ (y)

(addytywność),

x∈X

α∈K

ϕ (αx) = αϕ (x)

(jednorodność).

Jeżeli Y = K, to odwzorowanie ϕ nazywamy funkcjonałem liniowym.

Twierdzenie 5.29. Jeżeli ϕ : X → Y jest przekształceniem liniowym, to

1) ϕ (0

) = 0

, gdzie 0

, 0

oznaczają odpowiednio wektory zerowe w przestrzeniach X

i Y ;

x∈X

ϕ (−x) = −ϕ (x) ;

∈X

,α

∈K

ϕ (α

+ α

) = α

ϕ (x

) + α

ϕ (x

) .

Uwaga 5.30. Znana ze szkoły funkcja liniowa określona wzorem: f (x) = ax+b dla x ∈ R,
nie musi być przekształceniem liniowym w sensie definicji 5.28. Jeśli bowiem b 6= 0, to
f (0) 6= 0, co pozostaje w sprzeczności z twierdzeniem 5.29 pkt 1). Można łatwo wykazać,
że funkcja liniowa jest przekształceniem liniowym (a dokładniej, funkcjonałem liniowym)
wtedy i tylko wtedy, gdy b = 0.

Uwaga 5.31. W przypadku gdy ϕ jest przekształceniem określonym w R

dla uproszczenia

zapisu zamiast ϕ([x

, x

, . . . , x

]) będziemy pisać ϕ(x

, x

, . . . , x

Przykład 5.32.

1) Odwzorowanie ϕ : R

→ R

określone wzorem:

ϕ (x) = [2x

− x

, x

+ x

]

dla x = [x

, x

] ,

jest przekształceniem liniowym. Istotnie: niech x = [x

, x

] , y = [y

, y

] ∈ R

oraz α ∈ R. Wówczas mamy:

ϕ (x + y) = ϕ(x

+ y

, x

+ y

, x

+ y

) =

= [2(x

+ y

) − (x

+ y

), x

+ y

+ x

+ y

] =

= [2x

− x

+ 2y

− y

, x

+ x

+ y

] =

= [2x

− x

, x

+ x

] + [2y

− y

, y

+ y

] = ϕ (x) + ϕ (y) ,

ϕ (αx) = ϕ(αx

, αx

) = [2αx

− αx

, αx

+ αx

] =

= α [2x

− x

, x

+ x

] = αϕ (x) .

2) Odwzorowanie ϕ : R

→ R określone wzorem:

ϕ (x) = x

+ x

+ 2

dla x = [x

, x

] ,

nie jest przekształceniem liniowym, gdyż ϕ (0, 0) = 2 6= 0 (por. tw. 5.29 pkt 1)).

5. Przestrzenie wektorowe i przekształcenia liniowe

3) Niech ϕ : C

([0, 1]) → C

([0, 1]) oraz

ϕ (f ) = f

dla f ∈ C

([0, 1]).

Z własności pochodnej wynika, że ϕ jest przekształceniem liniowym.

4) Niech ϕ : C

([0, 1]) → R oraz

ϕ (f ) =

f (x) dx

dla f ∈ C

([0, 1]).

Z własności całki oznaczonej wynika, że ϕ jest przekształceniem liniowym.

Twierdzenie 5.33. Niech X, Y, Z będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K.

1) Jeżeli ϕ

, ϕ

: X → Y są przekształceniami liniowymi oraz α

, α

∈ K, to odwzoro-

wanie α

+ α

jest przekształceniem liniowym.

2) Jeżeli ϕ : X → Y , ψ : Y → Z są przekształceniami liniowymi, to złożenie ψ ◦ ϕ :

X → Z jest przekształceniem liniowym.

5.6. Macierz przekształcenia liniowego

Niech X i Y będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem R lub C. Załóżmy, że

dim X = n, dim Y = m oraz {x

, . . . , x

} jest bazą przestrzeni X, zaś {y

, . . . , y

} —

bazą przestrzeni Y . Niech ϕ : X → Y będzie przekształceniem liniowym. Wówczas dla
każdego j = 1, . . . , n istnieją współczynniki α

, . . . , α

takie, że

ϕ (x

) =

i=1

W ten sposób odwzorowanie ϕ wyznacza macierz [α

] wymiarów m × n, którą dalej

będziemy oznaczać przez M (ϕ). Jest to tzw. macierz przekształcenia liniowego ϕ
przy ustalonych bazach przestrzeni X i Y .

Odwrotnie, jeśli dana jest pewna macierz M = [α

] wymiarów m×n, to odwzorowanie

ϕ (x) =

i=1





j=1





dla x =

j=1

jest przekształceniem liniowym, przy czym M (ϕ) = M .

Przykład 5.34. Niech ϕ : R

→ R

będzie określone wzorem:

ϕ (x

, x

) = [2x

+ x

, −x

+ 3x

, −2x

] .

Wówczas

ϕ (e

) = ϕ (1, 0) = [2, −1, 0] = 2e

+ (−1) e

+ 0e

ϕ (e

) = ϕ (0, 1) = [1, 3, −2] = e

+ 3e

+ (−2) e

Oznacza to, że macierzą przekształcenia ϕ w bazach kanonicznych przestrzeni R

i R

jest

M (ϕ) =






−1

0 −2






Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Przykład 5.35. Wyznaczyć przekształcenie liniowe ϕ : R

→ R

takie, że

ϕ(1, 0) = [1, 0, 3] oraz ϕ(0, 1) = [−1, 2, 1].

Rozwiązanie: Niech x = [x

, x

] będzie dowolnym wektorem z R

. Zapiszmy go w bazie

kanonicznej

, x

] = x

[1, 0] + x

[0, 1] .

Z liniowości przekształcenia ϕ mamy

ϕ (x

, x

) = ϕ (x

[1, 0] + x

[0, 1]) = x

ϕ (1, 0) + x

ϕ (0, 1) =

= x

[1, 0, 3] + x

[−1, 2, 1] = [x

− x

, 2x

, 3x

+ x

] .

Twierdzenie 5.36. Niech X, Y, Z będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami wekto-
rowymi nad ciałem K, gdzie K = R lub K = C, z ustalonymi bazami.

1) Jeśli ϕ

, ϕ

: X → Y są przekształceniami liniowymi oraz α

, α

∈ K, to macierzą

przekształcenia liniowego α

+ α

jest macierz α

M (ϕ

) + α

M (ϕ

), tzn.

M (α

+ α

) = α

M (ϕ

) + α

M (ϕ

) .

2) Jeśli ϕ : X → Y i ψ : Y → Z są przekształceniami liniowymi, to macierzą złożenia

ψ ◦ ϕ jest macierz M (ψ) · M (ϕ), tzn.

M (ψ ◦ ϕ) = M (ψ) · M (ϕ) .

3) Jeżeli ϕ : X → Y jest odwracalnym przekształceniem liniowym i ϕ

−1

: Y → X jest

przekształceniem odwrotnym do ϕ, to ϕ

−1

jest liniowe oraz

−1

= M (ϕ)

−1

Przykład 5.37. Podać dziedzinę i zbiór wartości przekształcenia określonego wzorem
ϕ(x) = M x, gdzie

M =






1 0 1
0 5 3

−2 0 4






Zbadać, czy istnieje przekształcenie odwrotne do ϕ.

Rozwiązanie: Macierz M przekształcenia ϕ jest macierzą nieosobliwą, a zatem odwra-
calną. Na mocy powyższego twierdzenia macierz odwrotna

−1






2
3

0 −

1
6

−

1
5

−

1
3

1
6






wyznacza odwzorowanie odwrotne do ϕ:

−1

: R

→ R

−1

(x) = M

−1

Przekształcenie ϕ odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie R

na R

Przykład 5.38. Wiadomo, że macierz M =






1 −1
0 2
3 1






jest macierzą przekształcenia linio-

wego ϕ w bazach kanonicznych. Co można powiedzieć o tym przekształceniu?

Rozwiązanie: Z definicji macierzy przekształcenia wynika, że ϕ : R

→ R

jest postaci

ϕ (x

, x

) = [x

− x

, 2x

, 3x

+ x

] .

Z postaci przekształcenia można wywnioskować, że jest ono różnowartościowe.

5. Przestrzenie wektorowe i przekształcenia liniowe

Załóżmy dalej, że dim X = n i dane są dwie bazy przestrzeni X: {x

, . . . , x

} i

0
1

, . . . , x

0
n

}. Wówczas dowolny wektor x

0
j

, j = 1, . . . , n, można jednoznacznie zapisać

w postaci

0
j

i=1

Macierz kwadratową A = [α

] nazywamy macierzą przejścia od bazy {x

, . . . , x

} do

bazy {x

0
1

, . . . , x

0
n

Twierdzenie 5.39.

1) Macierz przejścia A jest macierzą nieosobliwą.
2) Macierzą przejścia od bazy {x

0
1

, . . . , x

0
n

} do bazy {x

, . . . , x

} jest macierz A

−1

Twierdzenie 5.40. Dla x ∈ X oznaczmy przez ξ

, . . . , ξ

współrzędne wektora x w bazie

, . . . , x

} oraz przez ξ

, . . . , ξ

współrzędne x w bazie {x

0
1

, . . . , x

0
n

}, tzn. niech

x =

i=1

oraz x =

i=1

0
i

Wówczas dla i = 1, . . . , n mamy

j=1

co w postaci macierzowej można zapisać następująco:



















. . . α



















Niech dim Y = m i niech B oznacza macierz przejścia od bazy {y

, . . . , y

} do bazy

0
1

, . . . , y

0
m

} przestrzeni Y .

Twierdzenie 5.41. Niech ϕ : X → Y będzie przekształceniem liniowym i niech M (ϕ)
oznacza macierz przekształcenia ϕ w bazach {x

, . . . , x

}, {y

, . . . , y

} oraz M

(ϕ) —

macierz przekształcenia ϕ w bazach {x

0
1

, . . . , x

0
n

}, {y

0
1

, . . . , y

0
m

}. Wówczas

(ϕ) = B

−1

M (ϕ) A.

Przykład 5.42. Dane jest przekształcenie liniowe ϕ : R

→ R

określone wzorem:

ϕ(x

, x

) = [3x

− x

, x

+ x

Wyznaczyć macierz tego przekształcenia

a) w bazie kanonicznej przestrzeni R

;

b) w bazie {[1, 1], [1, 0]}.

Rozwiązanie:

a) Baza kanoniczna R

jest postaci {e

, e

}. Ponieważ

ϕ (e

) = ϕ (1, 0) = [3, 1] = [3, 0] + [0, 1] = 3e

+ e

ϕ (e

) = ϕ (0, 1) = [−1, 1] = [−1, 0] + [0, 1] = −e

+ e

więc szukana macierz ma postać

M (ϕ) =

3 −1
1 1

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

b) Wyznaczmy macierz przejścia od bazy kanonicznej do nowej bazy. Niech e

0
1

= [1, 1] i

0
2

= [1, 0] oznaczają nową bazę przestrzeni R

. Wówczas mamy

0
1

= [1, 1] = [1, 0] + [0, 1] = e

+ e

0
2

= [1, 0] = [1, 0] + [0, 0] = e

+ 0 · e

Macierzą przejścia od bazy kanonicznej do nowej bazy jest macierz

A =

1 1
1 0

Z twierdzenia o zamianie baz wynika, że macierzą przekształcenia ϕ w nowej bazie
jest macierz

(ϕ) = A

−1

M (ϕ) A =

1 −1

3 −1
1

1 1
1 0

2 −2

1 1
1 0

2 1
0 2

Uwaga. W tym przypadku macierz ϕ w nowej bazie można również wyznaczyć wprost
z definicji, gdyż

ϕ (e

0
1

) = ϕ (1, 1) = [2, 2] = 2 [1, 1] = 2e

0
1

ϕ (e

0
2

) = ϕ (1, 0) = [3, 1] = [1, 1] + 2 [1, 0] = e

0
1

+ 2e

0
2

5.7. Wektory własne i wartości własne przekształcenia

liniowego

Niech K = R lub K = C.

Definicja 5.43. Niech A ∈ M

n,n

(K). Wartością własną macierzy A nazywamy liczbę

λ ∈ K taką, że

det (A − λI) = 0.

Powyższe równanie nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A.

Łatwo zauważyć, że det (A − λI) jest wielomianem stopnia n zmiennej λ. A zatem

bezpośrednio z zasadniczego twierdzenia algebry (tw. 1.49) wynika natychmiast następu-
jące twierdzenie:

Twierdzenie 5.44. Każda macierz zespolona ma wartości własne.

Twierdzenie 5.45. Wartością własną macierzy A jest 0 wtedy i tylko wtedy, gdy macierz
A jest osobliwa.

Twierdzenie 5.46 (Cayleya-Hamiltona). Każda macierz kwadratowa rzeczywista lub
zespolona A jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego, tzn.

W (A) = 0,

gdzie W (λ) = det (A − λI) .

Przykład 5.47. Stosując powyższe twierdzenie wyznaczyć A

, jeśli

A =

2 1
3 1

5. Przestrzenie wektorowe i przekształcenia liniowe

Rozwiązanie: Wyznaczymy najpierw wielomian charakterystyczny macierzy A:

W (λ) = det(A − λI

) =

2 − λ

1 − λ

= (2 − λ) (1 − λ) − 3 = λ

− 3λ − 1.

Z twierdzenia Cayleya-Hamiltona wynika, że W (A) = 0, czyli

− 3A − I

= 0.

Stąd A

= 3A + I

, a zatem

= A

· A

= (3A + I

) (3A + I

) = 9A

+ 6A + I

= 9 (3A + I

) + 6A + I

= 33A + 10I

66 33
99 33

10 0

0 10

76 33
99 43

Przykład 5.48. Dla macierzy A =






1 0 1
2 1 1
3 0 2






wyznaczyć macierze A

oraz A

−1

Rozwiązanie: Wielomian charakterystyczny macierzy A jest postaci:

W (λ) = det(A − λI

) =

1 − λ

2 − λ

= −λ

+ 4λ

− 2λ − 1.

Na mocy twierdzenia Cayleya-Hamiltona zachodzi równość:

− A

+ 4A

− 2A − I

= 0.

(5.4)

Stąd A

= 4A

− 2A − I

, a zatem

= 4






4 0 3
7 1 5
9 0 7






− 2






1 0 1
2 1 1
3 0 2






−






1 0 0
0 1 0
0 0 1











13 0 10
24 1 18
30 0 23






Ponieważ det A = −1 6= 0, zatem istnieje macierz odwrotna A

−1

. Wykorzystując odpo-

wiednie własności macierzy odwrotnej i równość (5.4) otrzymujemy:

−1

= A

−1

· I

= A

−1

· (−A

+ 4A

− 2A) = −A

+ 4A − 2I

= −






4 0 3
7 1 5
9 0 7






+ 4






1 0 1
2 1 1
3 0 2






− 2






1 0 0
0 1 0
0 0 1











−2 0 1

1 1 −1
3 0 −1






Przykład 5.49. Dla macierzy A =

1 1
0 1

wyznaczyć A

dla dowolnego n ∈ N.

Rozwiązanie: Wielomian charakterystyczny macierzy A jest postaci:

W (λ) = det(A − λI

) =

1 − λ

= λ

− 2λ + 1,

a zatem dla macierzy A zachodzi równość

− 2A + I

= 0.

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Stąd wyznaczamy kolejne potęgi macierzy A:

= 2A − I

= A

· A = (2A − I

) · A = 2A

− A = 2(2A − I

) − A = 3A − 2I

= A

· A = (3A − 2I

) · A = 3A

− 2A = 3(2A − I

) − 2A = 4A − 3I

Stawiamy hipotezę, że

= nA − (n − 1)I

dla n ∈ N.

Pokazaliśmy już, że powyższy wzór jest spełniony dla n ∈ {2, 3, 4}. Aby go udowodnić dla
dowolnego n naturalnego, zastosujemy metodę indukcji zupełnej. Przypuśćmy, że

= kA − (k − 1)I

dla dowolnego ustalonego k ∈ N.

Wykażemy, że A

k+1

= (k + 1)A − kI

. Istotnie,

k+1

= A

· A = (kA − (k − 1)I

) · A = kA

− (k − 1)A = k(2A − I

) − (k − 1)A =

= (k + 1)A − kI

Ostatecznie

= n

1 1
0 1

− (n − 1)

1 0
0 1

n n

0 n

−

n − 1

1 n
0 1

Załóżmy dalej, że X jest n-wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem K, gdzie

K = R lub K = C.

Definicja 5.50. Jeżeli ϕ : X → X jest przekształceniem liniowym, to wektor x ∈ X \ {0}
nazywamy wektorem własnym przekształcenia ϕ, jeżeli istnieje skalar λ ∈ K taki,
że

ϕ (x) = λx.

Skalar λ nazywamy wartością własną odwzorowania ϕ, zaś o wektorze x mówimy, że
jest on wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ.

Twierdzenie 5.51. Liczba λ ∈ K jest wartością własną przekształcenia ϕ wtedy i tylko
wtedy, gdy λ jest wartością własną macierzy M (ϕ).

Przykład 5.52. Niech ϕ : R

→ R

będzie przekształceniem określonym wzorem:

ϕ (x

, x

) = [2x

+ x

, x

+ 2x

] .

Wykorzystując powyższe twierdzenie zbadamy, czy tak zdefiniowane przekształcenie po-
siada wartości własne. Macierzą przekształcenia ϕ w bazie kanonicznej przestrzeni R

jest

macierz

M =

2 1
1 2

Ponieważ

M − λI

2 1
1 2

−

λ 0

0 λ

2 − λ

więc wielomian charakterystyczny macierzy M jest postaci

W (λ) = det(M − λI

) = (2 − λ)

− 1 = (λ − 1)(λ − 3).

A zatem macierz M (i na mocy twierdzenia 5.51 także przekształcenie ϕ) posiada dwie
różne rzeczywiste wartości własne: λ

= 1 oraz λ

= 3, będące rozwiązaniami równania

charakterystycznego

(λ − 1)(λ − 3) = 0.

5. Przestrzenie wektorowe i przekształcenia liniowe

Wektory własne przekształcenia ϕ wyznaczamy w następujący sposób:

ϕ(x

, x

) = λ

, x

]

⇔ [2x

+ x

, x

+ 2x

] = [x

, x

]

⇔

(

+ x

= x

+ 2x

= x

⇔

⇔ x

= −x

oraz

ϕ(x

, x

) = λ

, x

]

⇔ [2x

+ x

, x

+ 2x

] = 3[x

, x

]

⇔

(

+ x

= 3x

+ 2x

= 3x

⇔

⇔ x

= x

Wartości własnej λ

odpowiadają więc wektory własne postaci [t, −t] , gdzie t ∈ R \ {0},

zaś wartości λ

— wektory postaci [t, t] , gdzie t ∈ R \ {0}.

Przykład 5.53. Wyznaczyć wartości własne i wektory własne przekształcenia ϕ : R

→

określonego wzorem:

ϕ (x

, x

) = [x

, −x

] .

Rozwiązanie: Macierzą przekształcenia ϕ w bazie kanonicznej przestrzeni R

jest macierz

M =

0 1

−1 0

oraz

M − λI

0 1

−1 0

−

λ 0

0 λ

−λ 1

−1 −λ

A zatem równanie charakterystyczne macierzy M jest postaci

−λ 1

−1 −λ

= 0,

tzn. jest to równanie kwadratowe

+ 1 = 0.

Wiadomo, iż ma ono rozwiązania jedynie w dziedzinie zespolonej, zatem macierz M

• nie ma wartości własnych nad ciałem R;
• ma dwie wartości własne λ

= i oraz λ

= −i nad ciałem C.

Stąd wynika, że wektory własne istnieją tylko dla przekształcenia ϕ : C

→ C

reprezento-

wanego przez macierz M . Dla przykładu wyznaczymy wektory własne odpowiadające
wartości własnej λ

: poszukujemy więc takich wektorów postaci [x

, x

], aby zachodziła

równość

ϕ (x

, x

) = λ

, x

] ,

tzn.

, −x

] = [ix

, ix

] .

Równoważnie

(

= ix

−x

= ix

co oznacza, że x

= ix

. Wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ

jest

zatem każdy wektor postaci [t, it] , gdzie t ∈ C \ {0}.

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Przykład 5.54. Wyznaczyć wartości własne i wektory własne przekształcenia ϕ : R

→

określonego wzorem:

ϕ(x

, x

) = [3x

− x

, x

+ x

Zbadać, czy istnieje baza przestrzeni R

złożona z wektorów własnych przekształcenia ϕ.

Rozwiązanie: Macierzą przekształcenia ϕ w bazie kanonicznej jest macierz

M =

3 −1
1 1

Zatem wielomian charakterystyczny jest postaci

W (λ) = det (M − λI

) =

3 − λ −1

1 − λ

= (3 − λ) (1 − λ)+1 = 3−4λ+λ

+1 = (λ − 2)

Wartością własną przekształcenia ϕ jest λ

= 2 (jest to pierwiastek podwójny równania

charakterystycznego), a odpowiadające jej wektory własne są postaci [t, t] , t ∈ R \ {0}.
Nie można wybrać bazy przestrzeni R

złożonej z wektorów własnych przekształcenia ϕ,

gdyż taka baza musi się składać z dwóch wektorów liniowo niezależnych, zaś dwa dowolnie
wybrane wektory własne są w tym przypadku liniowo zależne.

Twierdzenie 5.55. Jeśli ϕ : X → X jest przekształceniem liniowym, to wektory własne
x

, x

, . . . , x

odpowiadające różnym wartościom własnym λ

, λ

, . . . , λ

są liniowo nieza-

leżne.

Wniosek 5.56. Jeśli dim X = n i ϕ : X → X jest przekształceniem liniowym posia-
dającym n różnych wartości własnych, to wektory własne x

, x

, . . . , x

odpowiadające tym

wartościom własnym stanowią bazę przestrzeni X.

5.8. Diagonalizacja macierzy

Niech X będzie n-wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem K, gdzie K = R

lub K = C. W paragrafie 5.5 pokazaliśmy, że przy ustalonej bazie przestrzeni X każde
przekształcenie liniowe ϕ : X → X jest jednoznacznie rezprezentowane przez macierz
M (ϕ) oraz że operacje na przekształceniach liniowych (takie jak dodawanie, składanie czy
odwracanie) można sprowadzić do odpowiednich działań na macierzach tych przekształceń
(por. tw. 5.36). Zauważmy, że najszybciej takie działania wykonuje się na macierzach
diagonalnych — istotnie, jeśli macierze A i B są postaci

A =









0 . . . 0

0 a

. . . 0

. .. ...

0 a









B =









0 . . . 0

0 b

. . . 0

. .. ...

0 b









• A + B =









+ b

. . .

+ b

. . .

. ..

0 a

+ b









5. Przestrzenie wektorowe i przekształcenia liniowe

• A · B =









. . .

. ..

0 a









• A









k
11

0 . . . 0

0 a

k
22

. . . 0

. .. ...

0 a

k
nn









, gdzie k ∈ N,

• A

−1









0 . . . 0

. . . 0

. .. ...









, gdy a

· a

· . . . · a

6= 0,

Ponadto wartościami własnymi macierzy diagonalnej są liczby leżące na głównej przekątnej
tej macierzy.

Dalej pokażemy jak, w przypadku gdy macierz M (ϕ) przekształcenia liniowego ϕ nie

jest diagonalna, poszukiwać nowej bazy P przestrzeni X, w której M

(ϕ) będzie macierzą

diagonalną. Taka macierz na mocy twierdzenia 5.41 spełniałaby warunek:

(ϕ) = P

−1

M (ϕ)P,

(5.5)

gdzie P jest macierzą przejścia od starej bazy do nowej.

Definicja 5.57. Macierze A, B ∈ M

n,n

(K) nazywamy macierzami podobnymi i zapi-

sujemy A ∼ B, gdy istnieje nieosobliwa macierz P ∈ M

n,n

(K) taka, że

B = P

−1

AP.

Uwaga 5.58. Macierze podobne mają taki sam wielomian charakterystyczny, a zatem
posiadają takie same wartości własne. Wobec równości (5.5) oznacza to, że wartości własne
przekształcenia liniowego nie zależą od wyboru bazy przestrzeni X (por. tw. 5.51).

Twierdzenie 5.59. Jeśli macierz A ∈ M

n,n

(K) ma n różnych wartości własnych, to

istnieje macierz diagonalna podobna do macierzy A.

Istotnie. Niech ϕ : X → X będzie przekształceniem liniowym wyznaczonym przez

macierz A, zaś x

, x

, . . . , x

będą wektorami własnymi przekształcenia ϕ odpowiadającymi

różnym wartościom własnym macierzy A. Na mocy twierdzenia 5.55 wektory x

, x

, . . . , x

są liniowo niezależne, a zatem macierz P = [x

, x

, . . . , x

] jest nieosobliwa (patrz tw. 5.13

i tw. 3.14). Można pokazać, że macierz P

−1

AP jest diagonalna.

Macierz diagonalną podobną do danej macierzy nazywamy jej postacią diagonalną,

a proces znajdowania postaci diagonalnej — diagonalizacją macierzy.

Przykład 5.60. Wyznaczyć postać diagonalną macierzy A, jeśli

a) A =

1 3
2 2

b) A =

1 0
2 0

Rozwiązanie:

a) Macierz A posiada dwie różne wartości własne: λ

= −1, λ

= 4, a zatem na mocy

powyższego twierdzenia można ją zdiagonalizować. Wybierzmy dwa wektory własne
odpowiadające wartościom własnym λ

i λ

= [−

3
2

, 1],

= [1, 1].

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Niech P = [x

, x

] =

−

3
2

1 1

. Wówczas P

−1

−

2
5

3
5

oraz

B = P

−1

AP =

−1 0

0 4

A zatem wyznaczyliśmy macierz diagonalną B taką, że A ∼ B.

b) Macierz A jest macierzą osobliwą, zatem jedną z jej wartości własnych jest λ

= 0.

To oznacza, że w postaci diagonalnej macierzy A również otrzymamy macierz osobliwą.
Tworząc wielomian charakterystyczny wyznaczamy drugą wartość własną λ

= 1.

Otrzymanym wartościom własnym odpowiadają wektory własne:

= [0, 1],

= [1, 2].

Przyjmujemy P = [x

, x

] =

0 1
1 2

. Stąd

B = P

−1

AP =

0 0
0 1

Uwaga 5.61. Jeśli macierz A ∈ M

n,n

(K) nie posiada n różnych wartości własnych, to

może nie istnieć postać diagonalna macierzy, co ilustruje poniższy przykład.

Przykład 5.62. Wyznaczyć postać diagonalną macierzy A, jeśli

a) A =






1 1 0
0 1 0
0 0 −2






b) A =






4 0 6
2 1 4

−1 0 −1






Rozwiązanie:

a) Wielomian charakterystyczny macierzy A jest postaci

W (λ) = − (λ + 2) (λ − 1)

a zatem macierz A stopnia trzeciego posiada tylko dwie różne wartości własne:
λ

= 1 i λ

= −2, którym odpowiadają wektory własne postaci: [t, 0, 0], [0, 0, t],

gdzie t ∈ R \ {0}. W tej sytuacji trzy dowolnie wybrane wektory własne będą liniowo
zależne, a zatem utworzona z nich macierz będzie osobliwa. To oznacza, że nie istnieje
postać diagonalna macierzy A.

b) W tym przypadku macierz A również posiada tylko dwie różne wartości własne: λ

= 1

i λ

= 2. Odpowiadające im wektory własne są teraz jednak postaci: [−3t, −2t, t],

gdzie t ∈ R \ {0} oraz [−2s, t, s], gdzie t, s ∈ R i t

+ s

> 0. Można zatem wybrać

sposród nich trzy wektory liniowo niezależne, np.

= [−3, −2, 1],

= [0, 1, 0],

= [−2, 0, 1].

Wówczas P = [x

, x

] =






−3 0 −2
−2 1 0

1 0 1






, P

−1






−1 0 −2
−2 1 −4

1 0 3






oraz

B = P

−1

AP =






2 0 0
0 1 0
0 0 1






5. Przestrzenie wektorowe i przekształcenia liniowe

Zauważmy na koniec, że macierz diagonalna nie jest wyznaczona jednoznacznie.

Jeśli przyjmiemy P

= [x

, x

] =






0 −2 −3
1 0 −2
0 1






, to B






1 0 0
0 1 0
0 0 2






jest również

postacią diagonalną macierzy A.

Zadania

Zadanie 5.1. Zbadać, który z podanych podzbiorów jest podprzestrzenią przestrzeni R

a) {[0, s, 2s] : s ∈ R};

b) {[s, −s, s + 1] : s ∈ R};

c) {[s, t, s + t] : s, t ∈ R};

d) {[s − t, s + t, 0] : s, t ∈ R};

e) {[s

, t, 0] : s, t ∈ R};

f) {[2s, s + 2t, u − s] : s, t, u ∈ R}.

Zadanie 5.2. Zbadać, czy V jest podprzestrzenią przestrzeni X, jeśli

a) V = {[s, t] ∈ R

: st = 1},

X = R

;

b) V = {[s, t, u, v] ∈ R

: s + u = t ∨ v + 2t = 0},

X = R

;

c) V = {A ∈ M

2,2

(R) : det A 6= 0},

X = M

2,2

(R) ;

d) V = {A ∈ M

n,n

(R) : A

= −A},

X = M

n,n

(R) ;

e) V = {(a

) : ciąg (a

) jest ograniczony},

X – zbiór wszystkich ciągów o wyrazach

rzeczywistych;

f) V = {f ∈ C

(R) : f

(1) = 0},

X = C

(R) ;

g) V = {f ∈ C

(R) :

x∈R

(x) + p (x) f (x) = 0}, gdzie p jest ustaloną funkcją ciągłą,

X = C

(R) ;

h) V = {f ∈ R [x] : wielomian f jest podzielny przez dwumian (x − 1)},

X = R [x] .

Zadanie 5.3. Zbadać, czy podane wektory są liniowo niezależne w przestrzeni X:

a) x

√

, x

−

√

3, 1

X = R

;

b) x

= [2, 0, 1] , x

= [−1, 3, 2] , x

= [1, 3, 3] ,

X = R

;

c) x

= [−1, 3, 2, 0] , x

= [0, 1, 2, 2] , x

= [1, 2, 4, 1] ,

X = R

;

d) A

2 0
0 −2

, A

0 1
1 0

, A

1 3
3 −1

X = M

2,2

(R) ;

e) A

1 + i 0

−1 1

, A

1 −i
1 0

, A

i 0

0 1

X = M

2,2

f) f

= 1, f

= cos x, f

= cos

x, f

= cos 2x,

X = C

(R) ;

g) f

(x) = 1 + x, f

(x) = x + x

, f

(x) = x

+ x

, f

(x) =

1
2

X = R [x] .

Zadanie 5.4. Zbadać, czy podane przekształcenie jest liniowe:

a) ϕ : R →R

ϕ (x) = [2x, −x] ;

b) ϕ : R

→ R

ϕ(x

, x

) = [2x

− x

, x

+ 2];

c) ϕ : R

→ R

ϕ(x

, x

) = [x

− 2x

, x

2
2

];

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

d) ϕ : R

→ R

ϕ(x

, x

) = [x

− x

, 2x

− x

+ 3x

];

e) ϕ : M

n,n

(R) → R,

ϕ(A) = det A;

f) ϕ : M

n,n

(R) → M

n,n

(R),

ϕ(A) = A

;

g) ϕ : M

n,n

(R) → R,

ϕ(A) =

i=1

, gdzie A = [a

];

h) ϕ : C

(R) → R,

ϕ(f ) = f

(0);

i) ϕ : C

([a, b]) → C

([a, b]),

ϕ(f ) = 1 + f

;

j) ϕ : X → R,

ϕ((a

)) = lim

n→∞

gdzie X oznacza przestrzeń zbieżnych ciągów

liczbowych.

Zadanie 5.5. Wyznaczyć wartości własne macierzy:

a) A =

0 −2
1 0

;

b) A =

2 3
1 2

;

c) A =

−1 −2

;

d) A =






1 2 −1
0 −2 −2
0 0






;

e) A =






0 0 1

−1 0 0

0 1 0






;

f) A =






1 −1 0
1 1 0
0 0 1






Zadanie 5.6. Wyznaczyć wartości własne macierzy:

a) A =

a a
a a

, a ∈ R \ {0};

b) A =

0 a

b 0

, a, b ∈ R \ {0};

c) A =






a 0 0
0 b 0
0 0 c






, a, b, c ∈ R \ {0};

Zadanie 5.7. Wyznaczyć wartości własne i wektory własne podanych przekształceń:

a) ϕ(x

, x

) = [x

+ x

, x

− x

];

b) ϕ(x

, x

) = [x

+ 2x

, 3x

];

c) ϕ(x

, x

) = [2x

+ 2x

, 2x

+ 2x

];

d) ϕ(x

, x

) = [3x

, 3x

];

e) ϕ(x

, x

) = [x

, x

, 2x

];

f) ϕ(x

, x

) = [x

+ x

, 2x

+ x

, x

Zadanie 5.8. Zbadać, czy podana macierz A ma postać diagonalną, jeśli

a) A =

2 1
4 −1

;

b) A =

1 0
1 1

;

c) A =

1 2
1 0

;

d) A =






7 −12 6

10 −19 10
12 −24 13






;

5. Przestrzenie wektorowe i przekształcenia liniowe

e) A =






6 −5 −3
3 −2 −2
2 −2 0






Zadanie 5.9. Zbadać, czy istnieje baza przestrzeni R

, w której macierz przekształcenia

ϕ : R

→ R

określonego wzorem

ϕ(x

, x

) = [4x

+ 2x

, 3x

+ 5x

]

jest macierzą diagonalną.

Odpowiedzi

5.1. a) jest;

b) nie jest;

c) jest;

d) jest;

e) nie jest;

f) jest.

5.2. a) nie jest;

b) jest;

c) nie jest;

d) jest;

e) jest;

f) jest;

g) jest;

h) jest.

5.3. a) liniowo niezależne;

b) liniowo zależne;

c) liniowo niezależne;

d) liniowo

zależne;

e) liniowo niezależne;

f) liniowo zależne;

g) liniowo niezależne.

5.4. a) jest;

b) nie jest;

c) nie jest;

d) jest;

e) nie jest;

f) jest;

g) jest;

h) jest;

i) nie jest;

j) jest.

5.5. a) λ

= i

√

2, λ

− i

√

b) λ

= 2 −

√

3, λ

= 2 +

√

c) λ

= 1;

d) λ

= −2, λ

= 1, λ

= 3;

e) λ

= −1, λ

1
2

√

3, λ

1
2

−

1
2

√

f) λ

= 1, λ

= 1 − i, λ

= 1 + i.

5.6. a) dla każdego parametru a dwie różne wartości własne: λ

= 2a, λ

= 0;

b) gdy ab > 0 dwie wartości własne rzeczywiste: λ

= −

√

ab, λ

√

ab,

gdy ab < 0 dwie wartości własne zespolone: λ

= −i

√

−ab, λ

= i

√

−ab;

c) λ

= a, λ

= b, λ

= c.

5.7. a) λ

= −

√

2, [x

, x

] = [(1 −

√

2)t, t], t ∈ R \ {0},

√

2, [x

, x

] = [(

√

2 + 1)t, t], t ∈ R \ {0};

b) λ

= −2, [x

, x

] = [−

2
3

t, t], t ∈ R \ {0},

= 3, [x

, x

] = [t, t], t ∈ R \ {0};

c) λ

= 0, [x

, x

] = [−t, t], t ∈ R \ {0},

= 4, [x

, x

] = [t, t], t ∈ R \ {0};

d) λ

= 3, [x

, x

] = [t, s], s, t ∈ R, s

+ t

> 0;

e) λ

= 1, [x

, x

] = [t, s, 0], s, t ∈ R, s

+ t

> 0,

= 2, [x

, x

] = [0, 0, t], t ∈ R \ {0};

f) λ

= 1, [x

, x

] = [s, −t, t], s, t ∈ R, s

+ t

> 0,

= 2, [x

, x

] = [t, t, 0], t ∈ R \ {0}.

5.8. a) tak, np.

−2 0

0 3

;

b) nie ma;

c) tak, np.

−1 0

0 2

;

d) tak, np.






−1 0 0

0 1 0
0 0 1






;

e) nie ma.

5.9. tak, np. baza złożona z wektorów x

= [1, −1], x

= [2, 3].

100

Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej

Wykaz oznaczeń

Symbole logiczne:

∧ – symbol koniunkcji
∨ – symbol alternatywy
⇒ – symbol implikacji
⇔ – symbol równoważności

– symbol kwantyfikatora ogólnego

ϕ(x) – czyt. dla każdego x zachodzi ϕ(x)

– symbol kwantyfikatora szczegółowego (egzystencjonalnego)

ϕ(x) – czyt. istnieje x taki, że zachodzi ϕ(x)

Wyróżnione zbiory:

∅ – zbiór pusty

N = {1, 2, 3, . . .} – zbiór liczb naturalnych
N

= N ∪ {0}

Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} – zbiór liczb całkowitych
Q = {

: l, m ∈ Z, m 6= 0} – zbiór liczb wymiernych

R – zbiór liczb rzeczywistych
C – zbiór liczb zespolonych
(x, y) – przedział otwarty w R
[x, y] – przedział domknięty w R
[x, y) – przedział lewostronnie domknięty
(x, y] – przedział prawostronnie domknięty

Oznaczenia stosowane w teorii mnogości:

A, B, X, Y, . . . – typowe oznaczenia zbiorów
a ∈ X – czyt. a należy do zbioru X lub a jest elementem zbioru X
a /

∈ X – czyt. a nie należy do zbioru X

X ⊂ Y – czyt. zbiór X jest podzbiorem zbioru Y
X = Y – czyt. zbiory X i Y są równe
X ∪ Y – suma zbiorów X i Y
X ∩ Y – iloczyn (część wspólna) zbiorów X i Y
X \ Y – różnica zbiorów X i Y
{a, b} – para nieuporządkowana: zbiór, którego elementami są a i b
(a, b) – para uporządkowana

X × Y – iloczyn kartezjański zbiorów X i Y

= X × . . . × X

}

n razy

)

n∈N

– ciąg o wyrazie ogólnym a

f, g, h, . . . – typowe oznaczenia funkcji
f (x) – wartość funkcji f w punkcie x
f : X → Y – czyt. funkcja f przekształca zbiór X w zbiór Y
f : x 7→ y – czyt. funkcja f elementowi x przyporządkowuje element y

101

([0, 1]) – zbiór funkcji ciągłych działających z przedziału [0, 1] w R

([0, 1]) – zbiór funkcji działających z przedziału [0, 1] w R i posiadających ciągłą k-tą

pochodną

∞

([0, 1]) – zbiór funkcji działających z przedziału [0, 1] w R i posiadających pochodne

wszystkich rzędów

R[x] – zbiór wielomianów

Oznaczenia stosowane w strukturach algebraicznych:

(A, ◦) – struktura algebraiczna z działaniem wewnętrznym ◦

e – element neutralny w danej strukturze algebraicznej

−1

– element odwrotny do elementu a w danej strukturze algebraicznej

(K, ⊕, ) – ciało K z działaniami wewnętrznymi ⊕ i

(C, +, ·) – ciało liczb zespolonych z dodawaniem i mnożeniem

i – jednostka urojona

Re z, Im z – część rzeczywista i urojona liczby zespolonej z

z – sprzężenie liczby zespolonej z

|z| – moduł liczby zespolonej z

arg z (Arg z) – argument (argument główny) liczby zespolonej z

m,n

(X) – zbiór wszystkich macierzy wymiaru m × n o wyrazach ze zbioru X

A =[a

], B =[b

], . . . – typowe oznaczenia macierzy

– macierz jednostkowa stopnia n

– macierz transponowana do macierzy A

det A – wyznacznik macierzy A

−1

– macierz odwrotna do macierzy A

R(A) – rząd macierzy A

P, Q, . . . , (a

, a

), (b

, b

), . . . – typowe oznaczenia punktów w przestrzeni R

a, b, . . . ,[a

, a

, . . . , a

],[b

, b

, . . . , b

], . . . – typowe oznaczenia wektorów w przestrzeni

0 = [0, 0, . . . , 0] – wektor zerowy w przestrzeni R

|a| – długość wektora a

i, j, k – wersory w przestrzeni R

a ◦ b – iloczyn skalarny wektorów a i b

a × b – iloczyn wektorowy wektorów a i b

(a, b, c) – iloczyn mieszany wektorów a, b i c

a k b – czyt. wektory a i b są równoległe
a ⊥ b – czyt. wektory a i b są prostopadłe
(X, K, +) – przestrzeń X nad ciałem K

+ α

+ . . . + α

– liniowa kombinacja wektorów x

, x

, . . . , x

dim X – wymiar przestrzeni wektorowej X

, e

, . . . , e

– baza kanoniczna przestrzeni R

M (ϕ) – macierz przekształcenia liniowego ϕ

Literatura

[1] K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka 1, HELPMATH, Łódź

1997.

[2] K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka 2, HELPMATH, Łódź

1997.

[3] B. Gleichgewicht, Algebra, PWN, Warszawa 1975.
[4] T. Jurlewicz, Zb. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Definicje, twierdzenia, wzory, Oficyna

Wydawnicza GiS, Wrocław 2000.

[5] J. Klukowski, I. Nabiałek, Algebra dla studentów, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,

Warszawa 1999.

[6] M. Wasilewski, K. Lisiecki, Elementy algebry i geometrii analitycznej, LIWA, Łódź

2000.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Egzamin 2011 algebra id 151848 Nieznany
ALGEBRA Z GEOMETRIA I SEMESTR i Nieznany
egzamin algebra 3 id 151950 Nieznany
algebra 4 id 57032 Nieznany (2)
algebra Algebra id 618346 Nieznany (2)
Algebra opracowanie zagadnien n Nieznany
2012 Skrypt cwiczenia 01 10 201 Nieznany
algebra 2 id 57026 Nieznany (2)
Algebra Geometria analityczna i Nieznany (2)
2009 Algebra konspektid 26848 Nieznany (2)
Egzamin 2011 algebra id 151848 Nieznany
Egzamin pisemny BHP styczen 201 Nieznany
04 Egzamin Poprawkowy 2010 201 Nieznany (2)
cyw1 skrypt zobowiazania id 126 Nieznany
BIOCHEMIA skrypt 2010 id 86508 Nieznany
HIGIENA, CWICZENIE 7, 13 11 201 Nieznany
prawo pracy skrypt 2009 2010 id Nieznany

więcej podobnych podstron