ROZCIĄGANIE PRĘTÓW PROSTYCH

1

1. SFORMUŁOWANIE ZAGADNIENIA

Założenia: pręt pryzmatyczny (tzn. o stałym przekroju), x

1

(x) - oś podłużna pręta, x

2

(y), x

3

(z) -

osie główne, centralne przekroju, siły masowe są pominięte, pobocznica wolna od obciążeń.

Pręt prosty obciążony jest w taki sposób, że obciążenie zewnętrzne redukuje się do siły
podłużnej N

( )

N

dA

z

q

A

=

∫∫

( )

0

M

dA

z

z

q

A

=

=

∫∫

2. NAPRĘŻENIA W PRĘCIE ROZCIĄGANYM

Rozkład naprężenia

σ

x

w dowolnym przekroju

α-α musi spełniać warunek

( )

N

dA

z

A

x

=

σ

∫∫

Założenia

:

z

rozkład naprężenia jest stały i niezależny od postaci obciążenia zewnętrznego q(z), poza
niewielkim obszarem przyległym do miejsca przyłożenia obciążenia (zasada de Saint-Venanta)

z

(

)

0

;

0

yz

xz

xy

z

y

23

13

12

33

22

=

τ

=

τ

=

τ

=

σ

=

σ

=

τ

=

τ

=

τ

=

σ

=

σ

A

N

N

dA

x

A

x

=

σ

⇒

=

σ

∫∫

3. ODKSZTAŁCENIA W PRĘCIE ROZCIĄGANYM (równania Hooke'a)

(

)

[

]

ε

ν σ

ν σ

δ

i j

i j

k k

i j

E

=

+

−

1

1

np.

(

)

(

)

[

]

E

1

E

1

x

33

22

11

11

x

11

σ

=

σ

+

σ

+

σ

ν

−

σ

ν

+

=

ε

=

ε

A

E

N

x

=

ε

A

E

N

E

x

x

y

22

ν

−

=

ε

ν

−

=

σ

ν

−

=

ε

=

ε

A

E

N

y

ν

−

=

ε

A

E

N

E

x

x

z

33

ν

−

=

ε

ν

−

=

σ

ν

−

=

ε

=

ε

A

E

N

z

ν

−

=

ε

0

yz

xz

xy

=

ε

=

ε

=

ε

z

x

q(z)

α

α

σ

x

(z)

N

ROZCIĄGANIE PRĘTÓW PROSTYCH

2

4. DEFORMACJA PRĘTA O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYM

L

L

x

∆

=

ε

⇒

A

E

L

N

L

=

∆

⇒

∆

ν

−

=

∆

=

ε

L

L

b

b

y

A

E

b

N

b

ν

=

∆

⇒

∆

ν

−

=

∆

=

ε

L

L

h

h

z

A

E

h

N

h

ν

=

∆

5. ANALIZA ROZWIĄZANIA

h

b

L

∆

x

1

x

2

x

3

L

b

x

2

x

3

b

∆

2

b

∆

2

h

x

2

x

3

h

∆

2

h

∆

2

ROZCIĄGANIE PRĘTÓW PROSTYCH

3

z

Stan naprężenia opisany przez macierz T

σ

to jednorodny (identyczny w każdym punkcie ciała) i

jednoosiowy stan naprężenia (tylko jeden element macierzy naprężenia jest niezerowy)





















=

σ

0

0

0

0

0

0

0

0

A

N

T

Diagonalna postać macierzy naprężenia świadczy o tym, że jedyne niezerowe naprężenie

σ

11

jest

maksymalnym naprężeniem normalnym spośród wszystkich możliwych odpowiadających
dowolnym płaszczyznom przekroju pręta.

z

Stan odkształcenia opisany przez macierz T

ε

to jednorodny (identyczny w każdym punkcie ciała) i

trójosiowy (niezerowe składowe w 3 wzajemnie prostopadłych kierunkach) stan odkształcenia

x

E

0

0

0

E

0

0

0

E

1

σ

×





















ν

−

ν

−

=

ε

T

Diagonalna postać macierzy odkształcenia świadczy, że rozciąganiu towarzyszą jedynie
odkształcenia liniowe. Włókna równoległe do osi x wydłużają się najbardziej, a równoległe do y i z
najmniej.