MECHANIKA BUDOWLI
Wykład:
ZASADY PRAC WIRTUALNYCH
Prowadzący: dr inż. Wojciech Zielichowski-Haber
Fragmenty opracowane na podstawie wykładów Prof. P. Śniadego
Zasady prac wirtualnych
Plan wykładu
1. Informacje podstawowe nt. płaskich ustrojów prętowych,
2. I zasada prac wirtualnych,
3. II zasada prac wirtualnych,
4. Wnioski
Zasady prac wirtualnych
Informacje podstawowe
" Pręt jest takim dz
wigarem, którego jeden wymiar (długość) jest znacznie
większy w porównaniu z pozostałymi,
" Konstrukcja (ustrój) składający się z prętów nazywamy prętowym.
" Gdy pręty leżą w jednej płaszczyz
nie to nazywamy go płaskim ustrojem
prętowym. Rozważania ograniczymy do płaskich układów prętowych.
Zasady prac wirtualnych
Informacje podstawowe
" Układy prętowe dzielimy na:
kratownice układy ramowe
(belki, ramy, Å‚uki)
" W kratownicach:
qðwszystkie prÄ™ty poÅ‚Ä…czone sÄ… przegubowo,
qðsiÅ‚y zew. i ciężar wÅ‚asny w wÄ™zÅ‚ach,
qðw prÄ™tach wystÄ™pujÄ… siÅ‚y osiowe.
Zasady prac wirtualnych
Informacje podstawowe
" W układach ramowych:
qðwszystkie prÄ™ty prostoliniowe lub zakrzywione,
qðsiÅ‚y zew. i ciężar wÅ‚asny w wÄ™zÅ‚ach i na prÄ™tach,
qðw prÄ™tach wystÄ™pujÄ… momenty zginajÄ…ce, siÅ‚y podÅ‚użne (osiowe) i
poprzeczne (tnÄ…ce).
Zasady prac wirtualnych
Informacje podstawowe
" Siły powierzchniowe:
qðczynne (dziaÅ‚ajÄ…ce na ukÅ‚ad niezależne siÅ‚y zewnÄ™trzne),
qðbierne (reakcje, bÄ™dÄ…ce wynikiem dziaÅ‚ania siÅ‚ czynnych).
" Obciążenia:
qðrozÅ‚ożone (ciÄ…gÅ‚e),
qðskupione (punktowe) - obciążenie na maÅ‚ym obszarze.
" Natura obciążeń:
qðmechaniczne  (ciężar wÅ‚asny, siÅ‚y, momenty),
qðniemechaniczne  (temperatura, osiadanie, bÅ‚Ä™dy montażu).
Zasady prac wirtualnych
Informacje podstawowe
" W ramach mechaniki budowli będziemy wyznaczać siły przekrojowe -
wewnętrzne (momenty zginające, sił poprzeczne i podłużne), reakcje
podporowe oraz przemieszczenia.
" Ustroje prętowe które rozważamy są geometrycznie niezmienne (GN) 
nie sÄ… mechanizmami.
Układy prętowe dzielimy na:
qðstatycznie wyznaczalne (SW),
Układy prętowe SW można rozwiązać wyznaczając reakcje podporowe i
siły przekrojowe z warunków równowagi.
qðstatycznie niewyznaczalne (SN).
Układy prętowe SN nie można rozwiązać korzystając z warunków równowagi.
Konieczne jest zastosowanie specjalnych metod
np. Metoda sił, Metoda przemieszczeń, MES itd.
Zasady prac wirtualnych
Informacje podstawowe
" Przykłady a) belki, b) ramy, c) kratownicy - SW i SN.
Zasady prac wirtualnych
I zasada prac wirtulalnych
qðZasady prac wirtualnych sÄ… podstawowymi zasadami mechaniki
budowli.
Istnieją dwie zasady prac wirtualnych (ZPW) dla płaskich
odkształcalnych ustrojów prętowych.
qðzasada o pracy rzeczywistych obciążeÅ„ na wirtualnych
przemieszczeniach,
qðzasada o pracy wirtualnych obciążeÅ„ na rzeczywistych
przemieszczeniach.
Zasady prac wirtualnych
I zasada prac wirtualnych
" Rozpatruje się dowolny płaski ustrój prętowy SW lub SN. Ustrój jest
poddany działaniu obciążeń rzeczywistych (mechaniczne np. siły
skupione, momenty skupione, obciążenia rozłożone oraz niemechaniczne
np. przemieszczenia podpór, temperatura, imperfekcje geometryczne),
" Oznaczamy działające w miejscu i obciążenie Pi, reakcje w miejscu
k jako Rk.
" Działające obciążenie Pi wywołuje przemieszczenia i odkształcenia.
Wskutek tego powstają rzeczywiste siły przekrojowe (siły
wewnętrzne).
qðLinia przerywana 
rzeczywiste
przemieszczenie,
qðLinia peÅ‚na -
wirtualne
przemieszczenie.
Zasady prac wirtualnych
I zasada prac przygotowanych
W płaskim układzie prętowym pod obciążeniem powstają:
" siły przekrojowe:
M(moment zginający), N(siła podłużna), T(lub V siła poprzeczna).
" odkształcenia:
- kątowe "dĆ (wydłużenie i skrócenie
przeciwległych krawędzi),
- wzdłuż osi pręta "ds (wydłużenie, skrócenie),
- prostopadłe do osi pręta "dh (poprzeczne).
Zasady prac wirtualnych
I zasada prac przygotowanych
Przemieszczenie wirtualne musi spełniać warunki:
" jest założone jako dowolne, ale możliwe, tzn. kinematycznie
dopuszczalne,
" jest niezależne od czynników zewnętrznych (np. obciążeń),
" jest bardzo małe w porównaniu z wymiarami ustroju,
" jest niezależne od czasu,
" jest ciągłe (co najmniej raz różniczkowalne).
Przypominamy, że praca L to iloczyn siły P i przemieszczenia "
tj:
L = P * "
Np. L = P * " lub L = M * Ć
Zasady prac wirtualnych
I zasada prac wirtualnych
" "5ØCÜ5ØVÜoraz "5ØEÜ5ØXÜ oznaczajÄ…
przemieszczenia wirtualne
odpowiednio w miejscu
działającego obciążenia
Pi i reakcji Rk.
" Równanie pracy wirtualnej obciążeń rzeczywistych i
odpowiadających im sił przekrojowych na wirtualnych
przemieszczeniach i odpowiadajÄ…cych im wirtualnych
odkształceniach ma postać:
" W wypadku obciążeń ciągłych sumę po lewej stronie równania
należy zastąpić całką. Całkowania po prawej stronie równania
należy dokonać po całym ustroju prętowym.
Zasady prac wirtualnych
I zasada prac wirtualnych
I ZASADA PRACY WIRTUALNEJ
Rzeczywiste obciążenia wykonują pracę na wirtualnych
przemieszczeniach równą pracy uogólnionych sił przekrojowych
(wewnętrznych) na wirtualnych odkształceniach.
Zasady prac wirtualnych
II zasada prac wirtualnych
" Niech ustrój pod wpływem działającego obciążenia zewnętrznego
dozna rzeczywistych przemieszczeÅ„ "5ØCÜ (przemieszczeÅ„ podpór "5Ø_Ü)
oraz odkształceń
Ustrój zostaÅ‚ obciążony ukÅ‚adem siÅ‚ wirtualnych 5ØCÜ5ØVÜ wywoÅ‚ujÄ…cych reakcje 5ØEÜ5ØXÜ i
wirtualne siÅ‚y przekrojowe 5Ø@Ü, 5ØGÜ, 5ØAÜ.
Zasady prac wirtualnych
II zasada prac wirtualnych
ZASADA II PRACY WIRTUALNEJ
Praca zewnętrznych sił wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach
jest równa pracy wirtualnych sił przekrojowych na rzeczywistych
odkształceniach
1) Powyższe zasady prac wirtualnych są słuszne niezależnie od tego
czy ustrój prętowy jest wykonany z materiału sprężystego czy nie,
2) Często w literaturze zamiast terminu  wirtualne używa się
 przygotowane np. przemieszczenie przygotowane, obciążenie
przygotowane.
Zasady prac wirtualnych
Wnioski
" Wniosek ogólny  wstęp do twierdzeń o wzajemności
Jeżeli dane są dwa stany obciążenia
(określone przez obciążenia czynne, reakcje i siły przekrojowe)
oraz
odpowiadające im dwa stany przemieszczeń
(określone przez stany przemieszczenia i odkształcenia)
oraz
jeżeli jeden z nich jest stanem rzeczywistym
to praca obciążeń czynnych i reakcji jednego stanu na
przemieszczeniach drugiego stanu
jest równa
pracy sił przekrojowych jednego stanu na odkształceniach drugiego
stanu.