Rozdział 9

Rozdział 9

Kryteria zniszczenia dla

Kryteria zniszczenia dla

betonu

betonu

Tensor naprężenia

σ

ij

ma 9 składników (

σ

12

=

σ

21

,

σ

23

=

σ

32

,

σ

13

=

σ

31

)

11

12

13

21

22

23

31

31

33

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ



ů



ę



ę



ę



ű

Z uwagi na fakt, że tensor naprężenia ma 9 składników, trudno jest
go przedstawić w przestrzeni. Dlatego stosuje się współrzędne
głównych naprężeń

σ

1

,

σ

2

,

σ

3

. Taka przestrzeń nazywa się

przestrzenią Haigha-Westergaarda. W tej przestrzeni każdy punkt
materialny ma więc współrzędne

σ

1

,

σ

2

,

σ

3

.

1

2

3

0

0

0

0

0

0

σ

σ

σ



ů



ę



ę



ę



ű

Tensor naprężenia może być rozłożony na część

Tensor naprężenia może być rozłożony na część

hydrostatyczną

hydrostatyczną

σ

σ

m

m

i deviatorową

i deviatorową

s

s

ij

ij

ij

ij

m ij

s

σ

σ δ

=

+

11

22

33

1

1

1

(

)

3

3

m

I

σ

σ

σ

σ

=

+

+

=

ij

ij

m ij

s

σ

σ δ

=

−

Niezmienniki tensora naprężeń (nie zależą od wyboru systemu
współrzędnych osi odniesienia):

1

11

22

33

1

2

3

I

σ

σ

σ

σ

σ

σ

=

+

+

=

+

+

2

2

2

2

11

22

22

33

33 11

12

23

31

(

) (

)

I

σ σ

σ σ

σ σ

σ

σ

σ

=

+

+

−

+

+

3

3

1

1

1

1

1

3

2

6

ij

jk

ki

ij

ji

I

I

I

σ σ σ

σ σ

=

−

+

3 niezmienniki tensora naprężeń

3 niezmienniki tensora naprężeń

1

1

2

3

I

σ

σ

σ

=

+

+

2

1 2

2

3

3 1

I

σ σ

σ σ

σ σ

=

+

+

3

1 2

3

I

σ σ σ

=

Niezmienniki tensor dewiatora naprężeń

Niezmienniki tensor dewiatora naprężeń

s

s

ij

ij

1

0

ij

i

J

s

s

=

=

=

2

1

2

ij ij

J

s s

=

2

1

3

ij jk ki

J

s s s

=

Płaszczyzna oktaedralna (ośmiościanu) jest płaszczyzną,

Płaszczyzna oktaedralna (ośmiościanu) jest płaszczyzną,

której normalne tworzą te same kąty z każdym kierunkiem osi

której normalne tworzą te same kąty z każdym kierunkiem osi

głównych.

głównych.

Oktaedralne (ośmiościenne) naprężenia

1

1

3

oct

m

I

σ

σ

=

=

2

2
3

oct

J

τ

=

Kierunek

τ

oct

jest definiowany przez kąt Lodego (zmienia się między

0

≤

θ

≤π

/3)

3

3/ 2

2

3 3

cos

2

J

J

θ =

Między naprężeniami głównymi a wielkościami na płaszczyźnie
oktaedralnej zachodzą związki

1

2

2

3

cos

2

2

cos(

)

3

3

2

cos(

)

3

oct

oct

oct

J

θ

σ

σ

σ

σ

θ

π

σ

σ

θ

π



ě

ď

ď





ě

ě

ď

ď

ď ď ď

ď

ď

ď

=

+

−

  







ď ď ď

ď

ď

ď





ţ

ţ

ď

ď

+

ď

ď



ţ

Interpretacja geometryczna naprężeń

Interpretacja geometryczna naprężeń

i niezmienników

i niezmienników

Stan naprężenia w punkcie odwzorowany na płaszczyźnie dewiatorowej

Stan naprężenia w punkcie odwzorowany na płaszczyźnie dewiatorowej

Linia hydrostatyczna oznacza linię przechodząca przez początek
układu i tworząca ten sam kąt z osiami współrzędnych (

σ

1

=

σ

2

=

σ

3

).

Płaszczyzna prostopadła do osi hydrostatycznej nazywa się płaszczyzną
dewiatorową:

1

2

3

3c

σ

σ

σ

+

+

=

gdzie c jest odległością od początku układu do płaszczyzny.
Powierzchnia dewiatorowa przechodząca przez początek układu
nazywa się płaszczyzną

π

.

1

1

2

3

1

(

)

3

3

3

I

ON

p

σ

σ

σ

=

+

+

=

=

1

2

3

(

)

NP

s

s

s

=

+

+

Punkt P reprezentuje stan naprężeń. Wektor naprężeń OP
może być rozłożony na dwa wektory: ON i NP

, (9.3)

2

2

2 1/ 2

1

2

3

2

(

)

2

3

oct

NP

s

s

s

J

ρ

τ

=

=

+

+

=

=

1

1

3

3

3

oct

m

ON

I

ξ

σ

σ

=

=

=

=

Długość wektora

NP

Długość

wektora

ON

Wektory reprezentują składniki hydrostatyczne (

Wektory reprezentują składniki hydrostatyczne (

p

p

δ

δ

ij

ij

) i składniki

) i składniki

dewiatorowi (

dewiatorowi (

s

s

ij

ij

).

).

'

ON

p

=

'

'

3

N P

s

=

Odwzorowanie wektora ON i NP na oś

σ

3

Fizyczna

i

geometryczna

Fizyczna

i

geometryczna

interpretacja (

interpretacja (

ξ

ξ

,

,

ρ

ρ

,

,

θ

θ

)

)

oraz (

oraz (

σ

σ

,

,

τ

τ

θ

θ

)

)

Odwzorowanie wektora NP w kierunku wektora jednostkowego

e

3

'

1

2

3

1

1

3

cos

(2 ,

,

)

2

6

NQ

s

s

s

s

ρ

θ

=

=

−

−

=

Kąt Lodego (zmienia się między

0

≤

θ

≤π

/3)

3

1

3/ 2

2

2

3

3 3

cos

2

2

J

s

J

J

θ

=

=

1

2

3

1

1

1

(

)

3

3

m

I

σ

σ

σ

σ

=

+

+

=

2

2

2 1/ 2

1

2

2

3

3

1

1

[(

)

(

)

(

) ]

15

m

τ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

=

−

+

−

+

−

Średnie naprężenie normalne i

styczne

Modele betonu jedno- i

dwuparametrowe

Kryterium Treski (1864) (jednoparametrowe, nie uwzględnia

wpływu ciśnienia)

1

2

2

3

3

1

1

1

1

max( |

|, |

|, |

|)

2

2

2

k

σ

σ

σ

σ

σ

σ

−

−

−

=

0

60

o

o

θ

Ł Ł

( , )

sin(

) 2

0

3

f

k

π

ρ θ

ρ

θ

=

+

−

=

0

60

o

o

θ

Ł Ł

2

2

( , ) 2

sin(

) 2

0

3

f J

J

k

π

θ

θ

=

+

−

=

Maksymalne naprężenie styczne

Maksymalne naprężenie styczne

2

2

max

(

)

2

xx

yy

xy

k

σ

σ

τ

τ

−

=

+

=

Reprezentacja na płaszczyźnie

Reprezentacja na płaszczyźnie

σ

σ

1

1

-

-

σ

σ

2

2

Reprezentacja na płaszczyźnie dewiatorowej

Reprezentacja na płaszczyźnie dewiatorowej

Reprezentacja w przestrzeni naprężeń głównych

Reprezentacja w przestrzeni naprężeń głównych

Reprezentacja na płaszczyźnie

Reprezentacja na płaszczyźnie

σ

σ

xx

xx

-

-

τ

τ

xy

xy

Reprezentacja na płaszczyźnie

Reprezentacja na płaszczyźnie

ξ

ξ

-

-

ρ

ρ

Kryterium Rankine’a (1876) (jednoparametrowe,

Kryterium Rankine’a (1876) (jednoparametrowe,

nie uwzględnia wpływ ciśnienia)

nie uwzględnia wpływ ciśnienia)

1

2

3

max(

,

,

, )

t

f

σ σ σ

=

1

2

2

1

( , , ) 2 3

cos

3

0

t

f I J

J

I

f

θ

θ

=

+ −

=

0

60

o

o

θ

Ł Ł

3
2

t

t

f

ρ

=

Kryterium von Misesa (1913) (dwuparametrowe, nie

Kryterium von Misesa (1913) (dwuparametrowe, nie

uwzględnia wpływu ciśnienia)

uwzględnia wpływu ciśnienia)

2

2

2

( )

0

f J

J

k

=

−

=

2

2

2

2

2

2

2

1

1

[(

)

(

)

(

) ]

2

6

ij ij

x

y

y

z

z

x

xy

yz

zx

J

s s

σ

σ

σ

σ

σ

σ

τ

τ

τ

=

=

−

+

−

+

−

+

+

+

2

2

2

3

3

oct

J

k

τ

=

=

Dla

jednoosiowego

Dla

jednoosiowego

rozciągania

rozciągania

3

o

k

σ

=

Kryterium Mohra-Coulomba (dwuparametrowe, uwzględnia

Kryterium Mohra-Coulomba (dwuparametrowe, uwzględnia

wpływ ciśnienia)

wpływ ciśnienia)

tan

c

τ

σ

φ

= −

1

3

1

3

1

1

(

) cos

[ (

)sin ]tan

2

2

c

σ

σ

φ

σ

σ

φ

φ

−

= −

+

3

1

1

r

c

f

f

σ

σ

−

=

2 cos

1 sin

t

c

f

φ

φ

=

+

2 cos

1 sin

c

c

f

φ

φ

=

−

1

3

c

m

f

σ

σ

−

=

1 sin
1 sin

c

t

f

m

f

φ
φ

+

=

=

−

2

1

2

1

2

1

( , , )

sin

sin(

)

cos(

)sin

cos

0

3

3

3

3

J

f I J

I

J

c

π

π

θ

φ

θ

θ

φ

θ

=

+

+

+

+

−

=

0

60

o

o

θ

Ł Ł

1

2

1

2

( , )

0

f I J

I

J

k

α

=

+

− =

2sin

3(3 sin )

φ

α

φ

=

−

6 cos

3(3 sin )

c

k

φ

φ

=

−

( , )

6

2

0

f

k

ξ ρ

α ξ ρ

=

+ −

=

Kryterium Druckera-Pragera
(dwuparametrowe, uwzględnia wpływ ciśnienia)

,

Połączenie kryterium Mohra-Coulomba (ściskanie)
i Rankine’a (rozciąganie)

2

1

3

1

3

1

3

( ,

) [

]

0

c

c

f

m

c

f

f

σ

σ

σ

σ

σ σ

−

+

=

+

− =

2

2

2

( , , ) [ 2

sin(

)]

[

cos(

)

]

0

3

3

3

3

c

c

c

f

m

c

f

f

f

ρ

π

ρ

π

ξ

ξ ρ θ

θ

θ

=

+

+

+

+

− =

Modele

betonu

Modele

betonu

trzyparametrowe

trzyparametrowe

Model Leona (1935)

Model Leona (1935)

Model

Breslera-Pistera

Model

Breslera-Pistera

(1958)

(1958)

2

(

,

)

(

)

(

)

0

oct

oct

oct

oct

oct

c

c

c

f

a b

c

f

f

f

τ

σ

σ

σ

τ

=

= −

+

=

1

(

, , )

1 0

( )

m

m

m

m

c

f

A f

σ

τ

σ τ θ

ρ θ

=

+

− =

2

1

1

2

( , , )

(

cos3 )(

) 1 0

c

c

J

I

f I J

a

b

f

f

θ

θ

=

+

−

− =

2

1

3

1

1

3

( , ) [

]

0

c

c

f

m

c

f

f

σ σ

σ

σ σ

−

=

+

− =

Model Willama-Warnke

(1974)

Model Aryrisa et al.

(1974)

Model Hoeka-Browna (1980)

2

2

1

1

2

2

( , , )

1 0

c

c

c

J

J

I

f I J

a

b

f

f

f

θ

λ

=

+

+

− =

1

1

2

1

cos[ cos ( cos3 )]

3

k

k

λ

θ

−

=

cos3 0

θ

ł

1

1

2

1

cos[

cos (

cos 3 )]

3 3

k

k

π

λ

θ

−

=

−

−

cos3

0

θ

Ł

Modele wieloparametrowe

4-parametrowy model Ottosena (1977)

2

2

1

1

1

2

1

2

( , , )

1 0

c

c

c

c

J

J

I

f I J

a

b

c

d

f

f

f

f

σ

σ

=

+

+

+

− =

4-parametrowy model Hsieha et al.

(1979)

(

, , )

5

1 0

(

, )

m

m

m

m

f

τ

σ τ θ

ρ σ θ

=

− =

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 (

) cos

(2

)[4(

) cos

5

4

]

( )

4(

) cos

(

2 )

c

c

t

c

t

c

c

t

t

c

t

c

t

c

t

ρ ρ

ρ

θ ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

θ

ρ

ρ ρ

ρ θ

ρ

ρ

θ

ρ

ρ

−

+

−

−

+

−

=

−

+

−

2

1

2

(

)

(

)

5

t

m

t

m

m

o

c

c

c

c

a

a

a

f

f

f

f

τ

ρ

σ

σ

=

=

+

+

2

1

2

(

)

(

)

5

c

m

c

m

m

o

c

c

c

c

b

b

b

f

f

f

f

τ

ρ

σ

σ

=

=

+

+

5-parametrowy

model

Willama-Warnke

5-parametrowy

model

Willama-Warnke

(1974)

(1974)

2

2

( , , ) [ 1.5

]

[

( , )

]

0

6

3

c

c

c

f

m

r

e

c

f

f

f

ρ

ρ

ξ

ξ ρ θ

θ

=

+

+

− =

2

2

2

2

2

2

2

1/ 2

4(1

) cos

(2

1)

2(1

) cos

(2

1)[4(1

) cos

5

4 ]

e

e

r

e

e

e

e

e

θ

θ

θ

−

+

−

=

−

+

−

−

+

−

2

2

( )

( )

3

1

c

t

c t

f

f

e

m

f f

e

−

=

+

3- parametrowy model Menetreya-Willama (1995)

3- parametrowy model Menetreya-Willama (1995)

1

c

=

Wpływ parametru

Wpływ parametru

e

e

na wytrzymałość

na wytrzymałość

dwuosiową w modelu Willama-Menetreya

dwuosiową w modelu Willama-Menetreya

Wpływ parametru

Wpływ parametru

e

e

kształt powierzchni dewiatorowej w modelu

kształt powierzchni dewiatorowej w modelu

Willama-Menetreya: a)

Willama-Menetreya: a)

e

e

=0.5, b)

=0.5, b)

e

e

=0.6

=0.6

a

a

b

b

Uogólniona

forma:

2

( , , ) (

)

[

]

0

f

f

f

f

A

m B r C

c

ξ ρ θ

ρ

ρ

ξ

=

+

+

− =

Redukcja

kryterium

zniszczenia

Kryterium

A

f

B

f

C

f

m

e

Hubera-

Misesa

0

0

1

1

Druckera-

Pragera

0

1

1

Rankine’a

0

1

0.5

Mohra-

Coulomba

0

1

Leona

0

1

brak

Willama-

Menetreya

3 1
2

c

f

3

8

c

t

c t

f

f

f f

+

3
2

c

t

c t

f

f

f f

−

1

6

c

f

1

3

t

f

2

1

6

c

t

c t

f

f

f f

+

1

3

c

t

c t

f

f

f f

−

2

2

c

t

c

t

f

f

f

f

+

+

1.5

c t

f f

3

c

t

c t

f

f

f f

−

1.5

c

f

1

6

c

f

1

3

c

f

2

2

3

1

c

t

c t

f

f

e

f f

e

−

+