dr Agnieszka Bobrowska

1

Ekonomia matematyczna I

Wykład 7

Równowaga ogólna

1

Równowaga ogólna jest kategori

ą

stosowan

ą

do oznaczenia stanu gospodarki, w której na

wszystkich przedmiotowo wyodr

ę

bnionych homogenicznych rynkach ustaliły si

ę

ceny zapewniaj

ą

ce

dostosowanie poda

ż

y do popytu. Stan równowagi ogólnej rozumiany jest tak

ż

e jako dostosowanie si

ę

globalnego popytu do globalnej poda

ż

y na rynku danego kraju w przekroju asortymentowym,

przestrzennym i dynamicznym. Brak równowagi w którymkolwiek przekroju rynku oznacza brak

równowagi ogólnej. W realnej gospodarce równowaga jest stanem praktycznie niemo

ż

liwym do

zaistnienia, jest to jedynie stan docelowy. Na ogół we współczesnej gospodarce rynkowej obserwuje

si

ę

stany nierównowagi z nadwy

ż

k

ą

poda

ż

y, okre

ś

lane mianem rynku nabywcy. Rynek, na którym

wyst

ę

puje nadwy

ż

ka popytu, to rynek sprzedawcy.

Analiza uwarunkowa

ń

stanu równowagi, przejawów i skutków jej istnienia, jest bardzo istotnym

problemem teorii ekonomii i praktyki gospodarczej. Stan ten jest równie

ż

po

żą

dany, ze wzgl

ę

dów

politycznych, szczególnie gdy wyst

ę

puje równolegle ze wzrostem, czy szerzej rozwojem

gospodarczym.

Jednym z narz

ę

dzi opisu i analizy równowagi w gospodarce s

ą

modele matematyczne. Poniewa

ż

poj

ę

cie równowagi ogólnej w gospodarce jest do

ść

rygorystycznie definiowane, modele stanowi

ą

c

jego odzwierciedlenie z konieczno

ś

ci s

ą

daleko id

ą

cymi abstrakcjami, wymagaj

ą

cymi wielu zało

ż

e

ń

upraszczaj

ą

cych. Podstawowym takim zało

ż

eniem w przedstawianych przykładowych modelach

równowagi ogólnej jest przyj

ę

cie,

ż

e w gospodarce funkcjonuje doskonały rynek.

W modelach równowagi ogólnej uwzgl

ę

dnione zostaj

ą

wszystkie rodzaje dóbr wytwarzanych

w gospodarce. Gdy zało

ż

ymy,

ż

e na rynek dostarczanych jest n ró

ż

nych rodzajów dóbr, którym

odpowiada wektor cen

n

n

R

p

p

p

p

+

∈

=

)

,...,

,

(

2

1

, wówczas funkcje popytu

i

d

q

oraz poda

ż

y

i

s

q

i-tego

dobra mo

ż

emy wyrazi

ć

w postaci ogólnej jako funkcje wektora cen p odpowiednio:

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

2

1

2

1

n

i

s

i

s

n

i

d

i

d

p

p

p

q

q

p

p

p

q

q

=

=

.

Układ wszystkich funkcji popytu i poda

ż

y przyjmuje posta

ć

układu 2n równa

ń

:

1

Wykład opracowany na podstawie E. Panek: Ekonomia matematyczna, Akademia Ekonomiczna w Poznaniu, Pozna

ń

2000,

rozdział 3, O. Lange: Ekonometria, Dzieła , t.5, PWE, Warszawa 1976, s.349 i dalsze.

dr Agnieszka Bobrowska

2

Ekonomia matematyczna I





























=

=

=

=

=

=

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

n

n

s

n

s

n

s

s

n

s

s

n

n

d

n

d

n

d

d

n

d

d

p

p

p

q

q

p

p

p

q

q

p

p

p

q

q

p

p

p

q

q

p

p

p

q

q

p

p

p

q

q

M

M

,

natomiast warunek równowagi składa si

ę

z układu n równa

ń

:















=

−

=

−

=

−

0

0

0

2

2

1

1

n

s

n

d

s

d

s

d

q

q

q

q

q

q

M

.

Model równowagi ogólnej staje si

ę

zupełny, gdy rozwa

ż

amy wszystkie 3n równa

ń

ł

ą

cznie. Po

podstawieniu 2n równa

ń

z pierwszego układu do układu drugiego, otrzymujemy uproszony model

w postaci układu n równa

ń

zale

ż

nych:















=

−

=

−

=

−

0

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

0

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

0

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

2

1

1

2

1

1

n

n

s

n

n

d

n

s

n

d

n

s

n

d

p

p

p

q

p

p

p

q

p

p

p

q

p

p

p

q

p

p

p

q

p

p

p

q

M

7.1. Model Walrasa-Patinkina

Zanim przyst

ą

pimy do omówienia modelu Walrasa-Patinkina wprowad

ź

my nast

ę

puj

ą

ce oznaczenia:

i

x

~

- n-wymiarowy koszyk (wektor) towarów, który chciałby kupi

ć

i-ty konsument,

i

y

~

- k-wymiarowy koszyk (wektor) czynników produkcji, który chciałby sprzeda

ć

i-ty konsument,

j

x

- n-wymiarowy koszyk (wektor) towarów, który gotowy jest wyprodukowa

ć

j-ty producent,

j

y

- k-wymiarowy koszyk (wektor) czynników produkcji, który chciałby naby

ć

j-ty producent,

p

- wektor cen towarów,

v

- wektor cen czynników produkcji.

dr Agnieszka Bobrowska

3

Ekonomia matematyczna I

Model Walrasa-Patinkina jest jednym z wielu modeli równowagi ogólnej. Jest modelem, którego

zało

ż

enia wywiedzione zostały z neoklasycznej teorii ekonomii. Jest to przede wszystkim model

statyczny, w którym przyjmuje si

ę

natychmiastowe dostosowania poda

ż

y popytu i cen a wi

ę

c

doskonale działaj

ą

cy mechanizm rynkowy. Warte podkre

ś

lenia jest przyj

ę

te w tym modelu

rozdzielenie funkcji podmiotów rynkowych, a mianowicie wyodr

ę

bnia si

ę

konsumentów, którzy s

ą

jednocze

ś

nie nabywcami towarów konsumpcyjnych i jedynymi wła

ś

cicielami czynników wytwórczych.

Drug

ą

grup

ą

podmiotów rynkowych s

ą

producenci i jednocze

ś

nie sprzedawcy towarów

konsumpcyjnych, o których zakłada si

ę

,

ż

e nabywaj

ą

czynniki wytwórcze od konsumentów. Obie

grupy uczestników rynku maj

ą

cechy homo economicus, a celem ich działania jest w przypadku

konsumentów jest maksymalizacja poziomu zaspokojenia potrzeb, a producentów maksymalizacja

dochodu osi

ą

ganego ze sprzeda

ż

y wytworzonych towarów. Konsumenci znajduj

ą

si

ę

w sytuacji

niedosytu, co oznacza,

ż

e chc

ą

wydawa

ć

na zakupy dóbr cały swój bie

żą

cy dochód, którego jedynym

ź

ródłem s

ą

przychody ze sprzeda

ż

y lub dzier

ż

awienia czynników wytwórczych. Model skonstruowany

jest z dwóch segmentów, jeden opisuje tworzenie poda

ż

y na rynku towarów konsumpcyjnych, drugi

opisuje stron

ę

popytow

ą

na rynku konsumpcyjnym.

Zakładamy,

ż

e w gospodarce wyst

ę

puje m producentów maj

ą

cych mo

ż

liwo

ść

wyprodukowania n

ró

ż

nych rodzajów dóbr oraz l konsumentów, którzy s

ą

wła

ś

cicielami okre

ś

lonych czynników produkcji.

Konsumenci sprzedaj

ą

posiadane czynniki produkcji po cenach

v

, by móc nast

ę

pnie naby

ć

potrzebne

im towary dost

ę

pne na rynku po cenach

p

. Aby j-ty producent mógł wyprodukowa

ć

koszyk dóbr

j

x

,

który nast

ę

pnie mógłby sprzeda

ć

po cenie

p

, potrzebuje naby

ć

od konsumentów koszyk czynników

produkcji

j

y

po cenie

v

.

W wyniku produkcji koszyka dóbr

j

x

, a nast

ę

pnie jego sprzeda

ż

y po cenie

p

j-ty producent

uzyskuje dochód wielko

ś

ci:

j

j

j

j

j

v

p

y

v

x

p

y

x

,

,

)

,

(

,

−

=

ξ

.

Uwagi:

1. Iloczyn skalarny

j

x

p,

oznacza warto

ść

produkcji j-tego producenta wyra

ż

on

ą

w cenach

rynkowych.

2. Iloczyn skalarny

j

y

v,

oznacza wyra

ż

one warto

ś

ciowo nakłady, czyli koszt zu

ż

ytych

czynników produkcji j-tego producenta.

Niech funkcja produkcji j-tego producenta

1

:

R

R

R

F

k

n

j

→

×

+

+

,

1

C

F

j

∈

zadana b

ę

dzie w postaci

niejawnej:

dr Agnieszka Bobrowska

4

Ekonomia matematyczna I

0

)

,

(

=

j

j

j

y

x

F

.

Pami

ę

tamy,

ż

e ma ona cechy klasycznej funkcji produkcji, a wi

ę

c jest rosn

ą

ca wzgl

ę

dem nakładów,

dodatnio jednorodna stopnia 0, ci

ą

gła wraz z pochodnymi cz

ą

stkowymi stopnia pierwszego i drugiego,

a przy zerowych nakładach efekt produkcyjny jest te

ż

zerowy.

Celem j-tego producenta jest maksymalizacja swojego dochodu przy uwzgl

ę

dnieniu ogranicze

ń

technologicznych. Proces decyzyjny producenta opisuje klasyczny model programowania

matematycznego zło

ż

ony z funkcji celu i warunków ograniczaj

ą

cych.

Rozwi

ą

zanie zadania decyzyjnego producenta :

)

,

(

max

,

j

j

j

v

p

y

x

ξ

,

z uwzgl

ę

dnieniem procesu produkcyjnego opisywanego przez funkcj

ę

produkcji:

0

)

,

(

=

j

j

j

y

x

F

.

maksymalizuje dochód j-tego producenta. Mo

ż

emy je znale

źć

(o ile istnieje), szukaj

ą

c maksimum

warunkowego przy zastosowaniu funkcji Lagrange’a:

)

,

(

)

,

(

)

,

,

(

,

j

j

j

j

j

j

j

v

p

j

j

j

j

y

x

F

y

x

y

x

L

λ

ξ

λ

+

=

.

Aby wyznaczy

ć

optimum decyzyjne ka

ż

dego z producentów konieczne jest przyrównanie wszystkich

pochodnych cz

ą

stkowych funkcji Lagrange’a do zera, czyli rozwi

ą

zanie układu równa

ń

:

0

=

∂

∂

+

=

∂

∂

j

j

j

j

j

x

F

p

x

L

λ

0

=

∂

∂

+

−

=

∂

∂

j

j

j

j

j

y

F

v

L

λ

0

)

,

(

=

=

∂

∂

j

j

j

j

j

y

x

F

L

λ

,

gdzie:

j

- numer producenta i

{

}

m

j

,...,

2

,

1

∈

.

Traktuj

ą

c towary konsumpcyjne oraz czynniki produkcji ł

ą

cznie, mo

ż

emy mówi

ć

o rynku towarów

z przestrzeni

ą

towarów

k

n

R

+

+

, której elementami s

ą

wektory

)

~

,

~

(

~

i

i

i

y

x

z

=

.

W modelu Walrasa-Patinkina preferencje i-tego konsumenta okre

ś

lane s

ą

przy pomocy funkcji

u

ż

yteczno

ś

ci

1

:

R

R

R

u

k

n

i

→

×

−

+

, okre

ś

lonej na nieujemnych wektorach nabywanych towarów

i niedodatnich wektorów sprzedawanych czynników produkcji spełniaj

ą

cej warunek:

dr Agnieszka Bobrowska

5

Ekonomia matematyczna I

)

~

,

~

(

)

(

)

~

,

~

(

2

2

1

1

y

x

u

y

x

u

i

i

−

>

≥

−

.

Mówimy wówczas,

ż

e koszyk towarów

)

~

,

~

(

1

1

y

x

−

jest przez i-tego konsument słabo (silnie)

preferowany nad koszyk towarów

)

~

,

~

(

2

2

y

x

−

.

Znak ujemny wektorów sprzedawanych czynników produkcji tłumaczy si

ę

tym,

ż

e konsument

z tytułu sprzeda

ż

y czynników produkcji otrzymuje wprawdzie dochód, ale pozbywa si

ę

alternatywnych

mo

ż

liwo

ś

ci ich wykorzystania co ma negatywny wpływa na ogóln

ą

u

ż

yteczno

ść

konsumenta.

Celem ka

ż

dego konsumenta jest maksymalizacja u

ż

yteczno

ś

ci konsumpcji przy danym

ograniczeniu bud

ż

etowym. Zakładamy,

ż

e oprócz dochodu ze sprzeda

ż

y posiadanych czynników

produkcji, konsument otrzymuje równie

ż

dochody ze tytułu udziałów w dochodach poszczególnych

producentów. Tytułem do udziału w dochodach producenta jest na przykład bycie akcjonariuszem

spółki.

Przez wektor

)

1

,

0

(

),

,...,

,

(

1

2

1

∑

=

=

≥

=

l

i

i

j

i

j

i

m

i

i

i

s

s

s

s

s

s

b

ę

dziemy oznacza

ć

wektor udziałów i-

tego konsumenta w dochodach poszczególnych producentów, natomiast przez

)

,

(

,

y

x

v

p

ξ

b

ę

dziemy

oznacza

ć

wektor postaci

))

,

(

),...,

,

(

),

,

(

(

)

,

(

,

2

2

2

,

1

1

1

,

,

m

m

m

v

p

v

p

v

p

v

p

y

x

y

x

y

x

y

x

ξ

ξ

ξ

ξ

=

, przy czym

)

,

(

j

j

y

x

jest rozwi

ą

zaniem zadania maksymalizacji dochodu j-tego producenta.

Zadanie maksymalizacji dla i-tego konsumenta, przy przyj

ę

tych wy

ż

ej zało

ż

eniach, ma posta

ć

:

)

~

,

~

(

max

i

i

i

y

x

u

−

przy ograniczeniu bud

ż

etowym:

0

~

,

)

,

(

,

~

,

,

=

−

+

i

v

p

i

i

x

p

y

x

s

y

v

ξ

.

Nale

ż

y przypomnie

ć

,

ż

e struktura modelu decyzyjnego konsumenta wynika z zało

ż

enia o d

ąż

eniu

konsumenta do zaspokojenia potrzeb w stopniu maksymalny i z istnienia sytuacji niedosytu.

Podobnie jak w przypadku zadania maksymalizacji producenta, do znalezienia rozwi

ą

zania

powy

ż

szego zadania posługujemy si

ę

funkcj

ą

Lagrange’a:

(

)

i

v

p

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

x

p

y

x

s

y

v

y

x

u

y

x

L

~

,

)

,

(

,

~

,

~

)

~

,

~

(

)

~

,

~

,

~

(

~

,

−

+

+

−

=

ξ

λ

λ

i rozwi

ą

zujemy układ równa

ń

:

0

~

~

~

~

=

−

∂

∂

=

∂

∂

p

x

u

x

L

i

i

i

i

i

λ

dr Agnieszka Bobrowska

6

Ekonomia matematyczna I

0

~

~

~

~

=

+

∂

∂

−

=

∂

∂

v

y

u

y

L

i

i

i

i

i

λ

0

~

,

)

,

(

,

~

,

~

~

,

=

−

+

=

∂

∂

i

v

p

i

i

i

i

x

p

y

x

s

y

v

L

ξ

λ

,

gdzie:

i

- numer konsumenta i

{

}

l

i

,...,

2

,

1

∈

.

Wiemy ju

ż

zatem, jak szuka

ć

koszyków towarów maksymalizuj

ą

cych u

ż

yteczno

ść

konsumentów

oraz koszyków towarów maksymalizuj

ą

cych dochody producentów, nie mamy jednak pewno

ś

ci, czy

konsumenci kupi

ą

wszystkie towary oferowane przez producentów albo czy ilo

ś

ci oferowanych przez

producentów towarów nie oka

żą

si

ę

zbyt małe i tym samym nie zostan

ą

zaspokojone potrzeby

konsumentów. Nie ma równie

ż

gwarancji,

ż

e producenci kupi

ą

wszystkie znajduj

ą

ce si

ę

na rynku

czynniki produkcji. Mo

ż

e si

ę

tak

ż

e zdarzy

ć

,

ż

e ilo

ś

ci czynników, które zechc

ą

sprzeda

ć

konsumenci,

oka

żą

si

ę

niewystarczaj

ą

ce, aby producenci mogli wykona

ć

swoje plany produkcji.

Producentom i konsumentom uda si

ę

zrealizowa

ć

ich cele, o ile ceny

v

p,

ustal

ą

si

ę

na takim

poziomie, przy którym popyt konsumentów na towary konsumpcyjne zrówna si

ę

z poda

żą

tych

towarów (warunek (I)) oraz gdy jednocze

ś

nie popyt producentów na czynniki produkcji zrówna si

ę

z ich poda

żą

(warunek (II)):

(I)

∑

∑

=

=

=

m

j

j

l

i

i

x

x

1

1

~

,

(II)

∑

∑

=

=

=

m

j

j

l

i

i

y

y

1

1

~

.

O wektorach cen towarów

p

i cen czynników produkcji

v

oraz o wektorach

)

~

,

~

(

)

,

(

i

i

j

j

y

x

i

y

x

b

ę

d

ą

cych rozwi

ą

zaniem zada

ń

maksymalizacji dochodu przez

producentów i maksymalizacji u

ż

yteczno

ś

ci przez konsumentów spełniaj

ą

cych warunki (I) i (II)

zwane układem równa

ń

bilansowych mówimy,

ż

e tworz

ą

w modelu Walrasa-Patinkina

stan

równowagi konkurencyjnej

.

7.2. Model Walrasa-Walda

Wprowad

ź

my nast

ę

puj

ą

ce oznaczenia:

x

- n-wymiarowy wektor całkowitego popytu na towary,

y

- n-wymiarowy wektor wszystkich wytwarzanych na rynku towarów,

dr Agnieszka Bobrowska

7

Ekonomia matematyczna I

p

- n-wymiarowy wektor cen towarów,

v

- k-wymiarowy wektor cen czynników produkcji,

0

z

- dany dodatni k-wymiarowy wektor czynników produkcji (zadana poda

ż

czynników

produkcji),

{ }

n

m

n

R

R

R

+

+

→

×

0

\

:

*

ϕ

- funkcja popytu,

1

:

R

R

u

n

→

+

- społeczna funkcja u

ż

yteczno

ś

ci.

Model Walrasa-Walda podobnie jak w przypadku modelu Walrasa-Patinkina wyprowadzony jest

z neoklasycznych zało

ż

e

ń

dotycz

ą

cych rynku doskonałego.

Zakłada si

ę

w nim liniowo

ść

niektórych procesów ekonomicznych oraz istnienie globalnych funkcji

u

ż

yteczno

ś

ci i popytu w skali całej gospodarki, co w znacznym stopniu upraszcza sposób dowodzenia

istnienia równowagi w gospodarce. Zało

ż

enie to stanowi podstawow

ą

ró

ż

nic

ę

w stosunku do modelu

Walrasa-Walda.

Zakłada si

ę

ponadto,

ż

e w gospodarce wytwarza si

ę

n ró

ż

nych asortymentów towarów

(konsumpcyjnych) i zu

ż

ywa si

ę

k ró

ż

nych czynników produkcji, których poda

ż

jest ograniczona. Celem

producentów jest maksymalizacja warto

ś

ci produkcji, a nie jak dotychczas maksymalizacja dochodu.

Wobec tego producenci podejmuj

ą

decyzje dotycz

ą

ce produkowanych ilo

ś

ci i asortymentów. Decyzje

produkcyjne producentów i stosowane przez nich technologie determinuj

ą

wielko

ść

i struktur

ę

zapotrzebowania na czynniki wytwórcze.

Producenci mog

ą

naby

ć

czynniki produkcji od konsumentów, którzy podobnie ja w modelu

Walrasa-Patinkina s

ą

ich jedynymi wła

ś

cicielami, a sprzeda

ż

posiadanych czynników produkcji jest

ź

ródłem ich dochodów.

O funkcji popytu

ϕ

zadanej wzorem:

)

(

max

arg

)

,

(

0

,

,

x

u

v

p

x

o

x

z

v

x

p

≥

≤

=

=

ϕ

zakładamy, ze jest ci

ą

gła i dodania na obszarze okre

ś

lono

ś

ci. Posta

ć

funkcji popytu wynika

z zało

ż

enia,

ż

e konsumenci maksymalizuj

ą

u

ż

yteczno

ś

ci pozyskiwane z rynku i znajduj

ą

si

ę

w sytuacji

niedosytu.

Zadanie maksymalizacji wielko

ś

ci produkcji przez producentów przy danym poziomie cen towarów

p

mo

ż

emy zapisa

ć

w sposób nast

ę

puj

ą

cy:

Szukamy:

y

p,

max

,

przy ograniczeniu:

dr Agnieszka Bobrowska

8

Ekonomia matematyczna I

0

,

0

≥

≤

y

z

By

,

gdzie:

)

,

(

)

(

n

k

ij

b

B

=

jest macierz

ą

nakładów czynników produkcji; przez

ij

b

rozumiemy niezb

ę

dny do

wyprodukowania jednej jednostki j-tego towaru nakład i-tego czynnika produkcji. Iloczyn

By

- charakteryzuje popyt na czynniki produkcji zgłaszany przez producentów chc

ą

cych

wyprodukowa

ć

wektor towarów

y

.

Macierz

B

charakteryzuje bezpo

ś

rednio technologie produkcji stosowane w gospodarce.

Nazywana jest te

ż

macierz

ą

norm zu

ż

ycia czynników wytwórczych.

O wektorach cen towarów

p

i cen czynników produkcji

v

(

v

p,

- ceny równowagi) oraz

o wektorach popytu i poda

ż

y

0

,

>

y

x

spełniaj

ą

cych w modelu Walrasa-Walda cztery kolejne

warunki:

(I) wektor

x

jest rozwi

ą

zaniem nast

ę

puj

ą

cego zadania maksymalizacji społecznej funkcji

u

ż

yteczno

ś

ci konsumpcji przy cenach równowagi:

)

(

max

x

u

,

przy ograniczeniu bud

ż

etowym:

0

,

,

,

0

≥

≤

x

z

v

x

p

,

(II) wektor

y

jest rozwi

ą

zaniem zadania maksymalizacji warto

ś

ci produkcji przy danych

cenach równowagi:

y

p,

max

,

przy ograniczeniu:

0

,

0

≥

≤

y

z

By

,

(III) spełniony jest bilans rzeczowy popytu i poda

ż

y towarów:

y

x

≤

(IV) spełnione s

ą

bilanse finansowe:

B

v

p

z

v

y

B

v

y

p

x

p

=

=

=

,

,

,

,

,

,

0

,

mówimy,

ż

e tworz

ą

stan równowagi konkurencyjnej

.

dr Agnieszka Bobrowska

9

Ekonomia matematyczna I

Warunki istnienia stanu równowagi w modelu Walrasa-Walda podaje twierdzenie 7.1.

Twierdzenie 7.1.

Gdy spełnione s

ą

jednocze

ś

nie nast

ę

puj

ą

ce warunki:

(I)

0

,

0

z

B

>

,

(II) funkcja u

ż

yteczno

ś

ci społecznej

u

jest wkl

ę

sła na obszarze okre

ś

lono

ś

ci, a zwi

ą

zana z ni

ą

funkcja popytu

ϕ

jest ci

ą

gła i dodatnia w swojej dziedzinie,

(III)

(

)

0

,

)

,

(

,

,

0

,

0

z

v

v

p

p

v

p

=

>

∀

>

∀

∩

∩

ϕ

(IV)

(

)

0

0

,

,

)

,

(

,

,

max

arg

'

:

'

,

,

0

,

0

0

z

v

y

p

vBy

v

p

p

y

p

y

y

y

v

p

y

z

By

+

=

+

















=

∈

∀

>

∀

>

∀

≥

≤

∩

∩

ϕ

to w modelu Walrasa-Walda istnieje stan równowagi konkurencyjnej.

Stan równowagi konkurencyjnej w rozwa

ż

anym modelu wyra

ż

any jest jako dostosowanie

agrestowej poda

ż

y i agregatowego popytu w gospodarce, w której istnieje konkurencja doskonała, ale

w infrakrótkim okresie poda

ż

czynników wytwórczych jest z góry dana (ograniczona).

7.3. Model Leontiefa-Walrasa

Zanim przejdziemy do opisu modelu Leontiefa-Walrasa przedstawimy w postaci tabelarycznej

klasyczne uj

ę

cie w statycznej postaci modelu przepływów mi

ę

dzygał

ę

ziowych Leontiefa. Ułatwi to

zrozumienie istoty modelu i wykazanie podstawowych zale

ż

no

ś

ci mi

ę

dzy kategoriami uwzgl

ę

dnianymi

w modelu. W modelu przepływów mi

ę

dzygał

ę

ziowych Leontiefa stosuje si

ę

kategorie ekonomiczne

wła

ś

ciwe dla systemu ewidencji produktu materialnego, takie jak na przykład: produkcja globalna,

przepływ mi

ę

dzygał

ę

ziowy, produkt finalny, macierz przepływów mi

ę

dzygał

ę

ziowych itd. Model

dotyczy tak zwanej sfery produkcji materialnej i pokazuje relacje jakie powinny wyst

ą

pi

ć

mi

ę

dzy

produkcj

ą

a nakładami, aby w gospodarce globalny popyt, co do ilo

ś

ci i struktury, zrównał si

ę

z globaln

ą

poda

żą

. Zakłada si

ę

liniow

ą

zale

ż

no

ść

pomi

ę

dzy wielko

ś

ci

ą

produkcji a nakładami

zu

ż

ywanymi w procesie produkcji. Bardzo wa

ż

ne w modelu jest uznanie,

ż

e producent oferuje

wytworzone przez siebie towary na rynku i jednocze

ś

nie jest nabywc

ą

niezb

ę

dnych do produkcji

czynników wytwórczych. Model przepływów mi

ę

dzygał

ę

ziowych Leontiefa w pierwotnej wersji był

skonstruowany w jednostkach naturalnych, co uniemo

ż

liwiało niektóre aspekty analizy. Zatem

przedstawimy jego wersj

ę

warto

ś

ciow

ą

.

W gospodarce wyodr

ę

bnia si

ę

okre

ś

lon

ą

liczb

ę

producentów, z których ka

ż

dy wytwarza

jednorodny produkt. Mo

ż

na sobie wyobrazi

ć

,

ż

e model b

ę

dzie konstruowany z dokładno

ś

ci

ą

do

pojedynczego wytwórcy, ale praktycznie gospodark

ę

dzieli si

ę

na wi

ę

ksze agregaty, którymi s

ą

bran

ż

e

czy gał

ę

zie produkcji. Ka

ż

da gał

ąź

wytwarza produkt globalny, który jest cz

ęś

ciowo wykorzystywany

dr Agnieszka Bobrowska

10

Ekonomia matematyczna I

przez inne gał

ę

zie do wytwarzania ich produktu, a reszta, która nie jest wykorzystywana produkcyjnie

w danym okresie tworzy tak zwany produkt finalny. Produkt finalny dzieli si

ę

na cz

ęść

przeznaczan

ą

na cele konsumpcyjne, cz

ęść

przeznaczan

ą

na inwestycje oraz cz

ęść

eksportowan

ą

. Wielko

ść

uzyskiwanego produktu finalnego przy danej produkcji globalnej jest tym mniejsza im wi

ę

cej jest faz

przetwarzania w procesie produkcji, czyli im wi

ę

cej wytwarzanego produktu zu

ż

ywa si

ę

w sferze

produkcji jako nakłady. Aby powstała produkcja globalna, w gał

ę

zi ponoszone musz

ą

by

ć

nakłady

towarów pochodz

ą

cych ze sfery produkcji, nakłady pracy, nakłady kapitału, ziemi, nakłady towarów

pochodz

ą

cych z importu. Jako element nakładów mo

ż

na uwzgl

ę

dnia

ć

równie

ż

podatki po

ś

rednie.

Podstawowe relacje mi

ę

dzy wyst

ę

puj

ą

cymi w modelu kategoriami przedstawia tabela 7.1., w której

przyj

ę

to nast

ę

puj

ą

ce oznaczenia:

i,j =1,2,…,n i jest – indeksem gał

ę

zi produkcji

X, X

j

- produkt globalny gał

ę

zi, przy czym j jest indeksem gał

ę

zi traktowanej jako nabywca

czynników wytwórczych, natomiast i stosujemy jako indeks gał

ę

zi traktowanej jako sprzedawca

wytworzonego przez siebie produktu,

x

ij

- okre

ś

la tzw. przepływ mi

ę

dzygał

ę

ziowy, czyli t

ę

cz

ęść

produktu pochodz

ą

cego z gał

ę

zi i,

która jest zu

ż

ywana produkcyjnie w gał

ę

zi j,

C- konsumpcja

I- inwestycje

E- eksport,

L-nakłady pracy

K- nakłady kapitału

R- nakłady ziemi,

M- import,

T- podatki po

ś

rednie,

x

ic

- oznacza konsumowan

ą

cz

ęść

produktu pochodz

ą

cego z i-tej gał

ę

zi

x

iI

- oznacza cz

ęść

produktu i-tej gał

ę

zi przeznaczanego na cele inwestycyjne,

x

iE

- oznacza cz

ęść

produktu tej gał

ę

zi przeznaczana na eksport,

x

Lj

- nakłady pracy wykorzystywane w j-tej gał

ę

zi

Produkcja globalna i-tej gał

ę

zi:

∑

=

+

+

+

=

n

j

iE

iI

iC

ij

i

X

X

X

X

X

1

, gdzie

n

i

,...,

2

,

1

=

Nakłady j-tej gał

ę

zi:

∑

=

+

+

+

+

+

=

n

i

Rj

Rj

Rj

Kj

Lj

ij

j

X

X

X

X

X

X

X

1

, gdzie

n

j

,...,

2

,

1

=

Produkcja globalna i nakłady dla tej samej gał

ę

zi s

ą

sobie równe:

dr Agnieszka Bobrowska

11

Ekonomia matematyczna I

j

i

X

X

=

, dla

)

,...,

2

,

1

,

(

n

j

i

j

i

=

=

.

Mi

ę

dzy elementami tablicy przepływów mi

ę

dzy gał

ę

ziowych zachodz

ą

nast

ę

puj

ą

ce

makroproporcje:

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

+

+

+

+

+

=

n

i

n

j

Tj

n

j

Mj

n

j

Rj

n

j

Kj

n

j

Lj

i

X

X

X

X

X

X

V

1

1

1

1

1

1

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

+

+

+

=

n

j

n

i

iE

n

i

iI

n

i

iC

j

X

X

X

X

V

1

1

1

1

Konsumpcja:

∑

=

=

n

i

iC

X

C

1

Inwestycje:

∑

=

=

n

i

iI

X

I

1

Eksport (netto):

∑

=

=

n

i

iE

X

E

1

Płace (brutto):

∑

=

=

n

j

Lj

X

L

1

Zyski (brutto):

∑

=

=

n

j

Kj

X

K

1

Renty gruntowe:

∑

=

=

n

j

Rj

X

R

1

Import (uzupełniaj

ą

cy):

∑

=

=

n

j

Mj

X

M

1

Podatki po

ś

rednie (minus subsydia):

∑

=

=

n

j

Tj

X

T

1

.

Warunek równowagi rynkowej w modelu przepływów mi

ę

dzygał

ę

ziowych ma posta

ć

:

E

I

C

T

M

R

K

L

+

+

=

+

+

+

+

Produkt krajowy brutto w cenach czynników produkcji:

R

K

L

PKB

+

+

=

Produkt krajowy brutto w cenach rynkowych:

T

R

K

L

PKB

+

+

+

=

.

dr Agnieszka Bobrowska

12

Ekonomia matematyczna I

Warunek równowagi mo

ż

na równie

ż

przedstawi

ć

w nast

ę

puj

ą

cej postaci:

E

I

C

M

PKB

+

+

=

+

.

dr Agnieszka Bobrowska

13

Ekonomia matematyczna I

Tablica 7.1. Tablica przepływów mi

ę

dzygał

ę

ziowych W.W. Leontiefa

Nakłady

n

K

3

2

1

Popyt finalny

K

o

n

s

u

m

p

c

ja

(

C

)

In

w

e

s

ty

c

je

(

I)

E

k

s

p

o

rt

(

E

)

Produkt globalny
i dochody

Numer

j

i

n

M

3

2

1

P

ro

d

u

k

c

ja

11

x

12

x

n

x

x

1

13

L

21

x

22

x

n

x

x

2

23

L

31

x

32

x

n

x

x

3

33

L

M

M

M

M

M

1

n

x

2

n

x

nn

n

x

x

L

3

E

I

C

x

x

x

1

1

1

E

I

C

x

x

x

2

2

2

E

I

C

x

x

x

3

3

3

M

M

M

nE

nI

nC

x

x

x

1

X

2

X

3

X

M

n

X

Praca (L)

Kapitał (K)

Ziemia (R)

Import (M)

Podatki

po

ś

rednie (T)

1

L

x

2

L

x

Ln

L

x

x

L

3

1

K

x

2

K

x

Kn

K

x

x

L

3

1

R

x

2

R

x

Rn

R

x

x

L

3

1

M

x

2

M

x

Mn

M

x

x

L

3

1

T

x

2

T

x

Tn

T

x

x

L

3

∑

=

n

j

Lj

x

1

(płace)

∑

=

n

j

Kj

x

1

(zyski)

∑

=

n

j

Rj

x

1

(renty

gruntowe)

∑

=

n

j

Mj

x

1

(import)

∑

=

n

j

Tj

x

1

(poda

tki)

Globalne
nakłady i
popyt finalny

1

X

2

X

n

X

X

L

3

∑

∑

∑

=

=

=

n

i

iE

n

i

iI

n

i

iC

x

x

x

1

1

1

V

dr Agnieszka Bobrowska

14

Ekonomia matematyczna I

Przedstawimy teraz nieco zmodyfikowane uj

ę

cie modelu przepływów mi

ę

dzygał

ę

ziowych zwane

modelem Leontiefa-Walrasa w postaci analitycznej.

W modelu Leontiefa-Walrasa zakładamy,

ż

e oprócz nakładów czynników produkcji (dobra

kapitałowe i siła robocza), do prowadzenia działalno

ś

ci produkcyjnej niezb

ę

dne s

ą

nakłady nietrwałych

czynników wytwórczych takich jak ró

ż

nego rodzaju usługi produkcyjne, surowce, materiały. Dobra

kapitałowe zwane s

ą

trwałymi czynnikami wytwórczymi i nie zu

ż

ywaj

ą

si

ę

całkowicie w pojedynczym

procesie wytwórczym, nietrwałe czynniki wytwórcze natomiast zu

ż

ywaj

ą

si

ę

całkowicie.

Wprowad

ź

my nast

ę

puj

ą

ce oznaczenia:

x

- n-wymiarowy wektor towarów wytwarzanych w gospodarce, które mog

ą

by

ć

zu

ż

ywane

w procesie produkcji lub zakupione do celów konsumpcyjnych,

y

- k-wymiarowy wektor czynników wytwórczych, który chc

ą

naby

ć

producenci by móc

wytworzy

ć

wektor towarów x,

p

- n-wymiarowy wektor cen towarów,

v

- k-wymiarowy wektor cen czynników produkcji,

)

,

(

)

(

n

n

ij

a

A

=

- macierz współczynników nakładów bie

żą

cych; element

ij

a

okre

ś

la nakład i-tego

towaru niezb

ę

dny do wyprodukowania jednej jednostki j-tego towaru,

)

,

(

)

(

n

k

ij

b

B

=

- macierz nakładów czynników produkcji (interpretacja taka jak dla modelu

Walrasa-Walda),

{ }

n

k

n

R

R

R

+

+

+

→

×

0

\

:

ϕ

- funkcja globalnego popytu na towary zadana wzorem:

(

)

T

n

v

p

v

p

v

p

v

p

)

,

(

),...,

,

(

),

,

(

)

,

(

2

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

, gdzie

)

,

(

v

p

i

ϕ

- popyt na i-ty towar,

k

k

n

R

R

R

+

+

+

→

×

:

ψ

- funkcja globalnej poda

ż

y czynników produkcji zadana wzorem:

(

)

T

k

v

p

v

p

v

p

v

p

)

,

(

),...,

,

(

),

,

(

)

,

(

2

1

ψ

ψ

ψ

ψ

=

.

Zakładamy,

ż

e gospodarka jest w stanie wytworzy

ć

wi

ę

cej towarów ni

ż

zu

ż

ywa. Warunek ten

zapisujemy nast

ę

puj

ą

co:

(I)

x

Ax

z

x

<

=

≥

∃

0

,

gdzie

z

oznacza nakłady potrzebne do wytworzenia wektora towarów

x

.

Przyjmujemy ponadto,

ż

e w gospodarce nie mo

ż

na wyodr

ę

bni

ć

całkowicie podgospodarki, która

mogłaby funkcjonowa

ć

jako samodzielna i niezale

ż

na gospodarka. Warunek ten mo

ż

na zapisa

ć

w postaci zdania logicznego:

(II)

{

}













=

∈

∀

∉

∀

∧

∅

≠

⊂

¬∃

)

0

(

,

,...,

2

,

1

ij

a

G

j

G

i

G

n

G

Warunek (II) czytamy: nie prawda,

ż

e istnieje wła

ś

ciwy, niepusty podzbiór zbioru towarów

{

}

n

,...,

2

,

1

,

składaj

ą

cy si

ę

z towarów, które mo

ż

na wytworzy

ć

bez u

ż

ywania towarów do niego nie nale

żą

cych.

dr Agnieszka Bobrowska

15

Ekonomia matematyczna I

Kolejne zało

ż

enie, które nale

ż

y poczyni

ć

przy omawianiu modelu Leontiefa-Walrasa, to znane ze

wcze

ś

niejszych wykładów zało

ż

enie dodatniej jednorodno

ś

ci stopnia 0 funkcji popytu

ϕ

oraz funkcji

poda

ż

y

ψ

. Dodatnia jednorodno

ść

stopnia 0 oznacza w tym przypadku,

ż

e popyt i poda

ż

nie reaguj

ą

na zmian

ę

bezwzgl

ę

dnego poziomu cen towarów i czynników produkcji, a jedynie na zmian

ę

ich

struktury, co zapisujemy w nast

ę

puj

ą

cy sposób:

(III)

(

)

)

,

(

)

,

(

0

v

p

v

p

ϕ

λ

λ

ϕ

λ

=

>

∀

oraz

(

)

)

,

(

)

,

(

0

v

p

v

p

ψ

λ

λ

ψ

λ

=

>

∀

.

O funkcjach popytu i poda

ż

y zakładamy ponadto,

ż

e s

ą

ci

ą

głe wraz z ich pierwszymi pochodnymi

cz

ą

stkowymi. Funkcja popytu spełnia ponadto nast

ę

puj

ą

cy warunek:

(IV)

0

0

)

,

(

=

⇒

=

v

v

p

ϕ

.

Natomiast funkcja poda

ż

y spełni warunek:

(V)

0

)

,

(

0

=

⇒

=

v

p

v

i

i

ψ

.

Warunek (IV) oznacza,

ż

e zerowy popyt jest przyczyn

ą

braku motywacji produkcyjnych, co jest

jednoznaczne z brakiem zainteresowania czynnikami produkcji ze strony producentów, sk

ą

d zerowe

ceny czynników produkcji. Warunek (V) mówi natomiast tyle,

ż

e zerowa cena czynnika produkcji nie

skłania jego wła

ś

ciciela do jego sprzeda

ż

y na rynku.

Przypomnijmy,

ż

e macierz

)

,

(

)

(

n

k

ij

b

B

=

jest nieujemn

ą

macierz

ą

nakładów czynników produkcji,

gdzie przez

ij

b

rozumiemy niezb

ę

dny do wyprodukowania jednej jednostki j-tego towaru nakład i-tego

czynnika produkcji. Wektor

Bx

y

=

charakteryzuje popyt na czynniki produkcji zgłaszany przez

producentów chc

ą

cych wyprodukowa

ć

wektor towarów

0

≥

x

. O macierzy

B

zakładamy dodatkowo,

ż

e w ka

ż

dym jej wierszu istnieje element dodatni, co oznacza,

ż

e ka

ż

dy czynnik jest wykorzystywany

przy wytwarzaniu przynajmniej jednego towaru.

Zało

ż

enia dotycz

ą

ce macierzy

A

i macierzy

B

oznaczaj

ą

,

ż

e w gospodarce ka

ż

dy wytworzony

towar jest elementem nakładów bie

żą

cych chocia

ż

by jednego producenta oraz nie istnieje czynnik

wytwórczy, który nie jest zu

ż

ywany w procesie produkcyjnym.

Zanim przejdziemy do okre

ś

lenia rozwi

ą

zania stanu równowagi w modelu Leontiefa-Walrasa

przypomnijmy jeszcze prawo Walrasa, które stanowi kolejny, ostatni konieczny do przyj

ę

cia warunek:

(VI)

(

)

)

,

(

,

)

,

(

,

0

,

v

p

v

v

p

p

v

p

ψ

ϕ

=

≥

∀

.

Mówimy,

ż

e

trójka wektorów

0

,

,

>

v

p

x

tworzy w modelu Leontiefa-Walrasa stan równowagi

,

je

ż

eli spełnione s

ą

warunki równowagi:

dr Agnieszka Bobrowska

16

Ekonomia matematyczna I

(i)

na rynku towarów popyt na towary przy cenach równowagi równa si

ę

poda

ż

y

towarów, czyli:

(ii)

(

)

x

A

E

v

p

−

=

)

,

(

ϕ

,

gdzie:

E

- macierz jednostkowa

n

n

×

(

),

(iii)

na rynku czynników wytwórczych popyt na czynniki wytwórcze przy cenach

równowagi jest równy ich poda

ż

y, czyli:

)

,

(

v

p

x

B

ψ

=

,

oraz gdy spełniony jest warunek:

(iv)

ceny towarów w warunkach równowagi kształtuj

ą

si

ę

na poziomie kosztów

wytworzenia, tj. sumy kosztu bie

żą

cego zu

ż

ycia towarów i kosztu zu

ż

ycia

czynników produkcji:

B

v

A

p

p

+

=

.

Twierdzenie 7.2.

Je

ż

eli spełnione s

ą

zało

ż

enia (I)-(VI), to w modelu Leontiefa-Walrasa istnieje

przynajmniej jeden stan równowagi konkurencyjnej.

Dzi

ę

ki przyj

ę

tym zało

ż

eniom (I)-(VI) mamy gwarancj

ę

,

ż

e w modelu Leontiefa-Walrasa istnieje co

najmniej jedno rozwi

ą

zanie równowagi (nie wiemy dokładnie ile), o czym traktuje twierdzenie 7.2.

(Dowód tego twierdzenia w ksi

ąż

ce: E. Panek, „Elementy ekonomii matematycznej. Statyka” , PWN,

Warszawa 1993, str. 130.)

Dla ekonomistów szczególnie interesuj

ą

cy jest przypadek, gdy stan równowagi w modelu jest

okre

ś

lony w sposób jednoznaczny. W tym celu przyjmuje si

ę

dodatkowe zało

ż

enie, które staje si

ę

tego

gwarantem. Zanim sformułujemy ten warunek (zało

ż

enie) wprowad

ź

my nast

ę

puj

ą

ce oznaczenia:

(

)

1

2

1

,...,

,

ˆ

−

=

k

v

v

v

v

,

(

)

T

k

v

p

v

p

v

p

)

1

,

ˆ

,

(

),...,

1

,

ˆ

,

(

)

1

,

ˆ

,

(

ˆ

1

1

−

=

ψ

ψ

ψ

)

1

,

(

)

,

(

ˆ

,

),

1

,

ˆ

,

(

−















∂

∂

=

∂

∂















∂

∂

=

∂

∂

=

k

n

j

i

n

n

j

i

v

v

p

p

v

p

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

,

)

1

,

1

(

)

,

1

(

ˆ

ˆ

ˆ

,

ˆ

ˆ

),

1

,

ˆ

,

(

ˆ

ˆ

−

−

−















∂

∂

=

∂

∂















∂

∂

=

∂

∂

=

k

k

j

i

n

k

j

i

v

v

p

p

v

p

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

.

dr Agnieszka Bobrowska

17

Ekonomia matematyczna I

Wówczas warunek (VII), który ł

ą

cznie z przyj

ę

tymi wcze

ś

niej zało

ż

eniami (I)-(VI) zapewnia

istnienie dokładnie jednego stanu równowagi konkurencyjnej z wektorami cen towarów i czynników

produkcji z dokładno

ś

ci

ą

do struktury brzmi nast

ę

puj

ą

co:

(VII) Macierz funkcyjna :

)

1

,

1

(

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

)

ˆ

,

(

−

+

−

+

























∂

∂

−

∂

∂

−

∂

∂

∂

∂

=

k

n

k

n

v

p

v

p

v

p

J

ψ

ψ

ϕ

ϕ

jest ujemnie półokre

ś

lona, tzn.:

{ }

(

)

0

)

ˆ

,

(

0

ˆ

,

,

0

\

1

<

>

∀

∈

∀

∩

−

+

T

k

n

v

p

J

v

p

R

λ

λ

λ

.

Porównanie i ustalenie podobie

ń

stw mi

ę

dzy modelem przepływów mi

ę

dzygał

ę

ziowych i modelem

Leontiefa-Walrasa pozostawiamy studentowi.

Podsumowanie:

1. Przedstawione modele stanowi

ą

prób

ę

uproszczonego z konieczno

ś

ci uj

ę

cia sformalizowanego

kategorii równowagi ogólnej w gospodarce.

2. Omówione modele s

ą

modelami statycznymi i zakładaj

ą

doskonałe dostosowania kategorii

rynkowych , czyli popytu, poda

ż

y i cen bez opó

ź

nie

ń

czasowych.

3. Centraln

ą

kategori

ę

omówionych modeli stanowi równowaga konkurencyjna w uj

ę

ciu

walrasowskim.

dr Agnieszka Bobrowska

18

Ekonomia matematyczna I

Pytania kontrolne:

1. Przedstaw zało

ż

enia modeli równowagi ogólnej.

2. Zdefiniuj stan równowagi ogólnej w rozumieniu Walrasa.

3. Posta

ć

modelu decyzyjnego producentów w modelu Walrasa-Walda.

4. Co oznacza,

ż

e otrzymujemy w modelu Leontiefa-Walrasa jako rozwi

ą

zanie modelu wektor cen

równowagi z dokładno

ś

ci

ą

do struktury?

5. Podaj i zinterpretuj układ równa

ń

bilansowych w modelu Walrasa-Patinkina.

6. W jaki sposób w modelu Walrasa-Walda i Walrasa-Leontiefa uwzgl

ę

dniane s

ą

technologie

produkcji?

7. Jakie implikacje powoduje uwzgl

ę

dnienie zało

ż

enia o niedosycie konsumenta w modelu

Walrasa-Patinkina?