dr Agnieszka Bobrowska 

 

1 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

Wykład 7 

 

Równowaga ogólna

1

 

Równowaga  ogólna  jest  kategori

ą

  stosowan

ą

  do  oznaczenia  stanu  gospodarki,  w  której  na 

wszystkich  przedmiotowo  wyodr

ę

bnionych  homogenicznych  rynkach  ustaliły  si

ę

  ceny  zapewniaj

ą

ce 

dostosowanie poda

Ŝ

y do popytu. Stan równowagi ogólnej rozumiany jest tak

Ŝ

e jako dostosowanie si

ę

 

globalnego  popytu  do  globalnej  poda

Ŝ

y  na  rynku  danego  kraju  w  przekroju  asortymentowym, 

przestrzennym  i  dynamicznym.  Brak  równowagi  w  którymkolwiek  przekroju  rynku  oznacza  brak 

równowagi  ogólnej.  W  realnej  gospodarce  równowaga  jest  stanem  praktycznie  niemo

Ŝ

liwym  do 

zaistnienia, jest to jedynie  stan docelowy.  Na ogół  we współczesnej gospodarce  rynkowej obserwuje 

si

ę

  stany  nierównowagi  z  nadwy

Ŝ

k

ą

  poda

Ŝ

y,  okre

ś

lane  mianem  rynku  nabywcy.  Rynek,  na  którym 

wyst

ę

puje nadwy

Ŝ

ka popytu, to rynek sprzedawcy. 

Analiza  uwarunkowa

ń

  stanu  równowagi,  przejawów  i  skutków  jej  istnienia,  jest  bardzo  istotnym 

problemem  teorii  ekonomii  i  praktyki  gospodarczej.  Stan  ten  jest  równie

Ŝ

  po

Ŝą

dany,  ze  wzgl

ę

dów 

politycznych,  szczególnie  gdy  wyst

ę

puje  równolegle  ze  wzrostem,  czy  szerzej  rozwojem 

gospodarczym. 

Jednym  z narz

ę

dzi opisu i  analizy równowagi  w gospodarce s

ą

 modele matematyczne. Poniewa

Ŝ

 

poj

ę

cie  równowagi  ogólnej  w  gospodarce  jest  do

ść

  rygorystycznie  definiowane,  modele  stanowi

ą

c 

jego  odzwierciedlenie  z  konieczno

ś

ci  s

ą

  daleko  id

ą

cymi  abstrakcjami,  wymagaj

ą

cymi  wielu  zało

Ŝ

e

ń

 

upraszczaj

ą

cych.  Podstawowym  takim  zało

Ŝ

eniem  w  przedstawianych  przykładowych  modelach 

równowagi ogólnej jest przyj

ę

cie, 

Ŝ

e w gospodarce funkcjonuje doskonały rynek.  

W  modelach  równowagi  ogólnej  uwzgl

ę

dnione  zostaj

ą

  wszystkie  rodzaje  dóbr  wytwarzanych 

w gospodarce.  Gdy  zało

Ŝ

ymy, 

Ŝ

e  na  rynek  dostarczanych  jest  n  ró

Ŝ

nych  rodzajów  dóbr,  którym 

odpowiada wektor cen 

n

n

R

p

p

p

p

+

∈

=

)

,...,

,

(

2

1

, wówczas funkcje popytu 

i

d

q

 oraz poda

Ŝ

y 

i

s

q

 i-tego 

dobra mo

Ŝ

emy wyrazi

ć

 w postaci ogólnej jako funkcje wektora cen p odpowiednio: 

 

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

2

1

2

1

n

i

s

i

s

n

i

d

i

d

p

p

p

q

q

p

p

p

q

q

=

=

. 

 
Układ wszystkich funkcji popytu i poda

Ŝ

y przyjmuje posta

ć

 układu 2n równa

ń

: 

                                                 

1

 Wykład opracowany na podstawie E. Panek: Ekonomia matematyczna, Akademia Ekonomiczna w Poznaniu, Pozna

ń

 2000, 

rozdział 3, O. Lange: Ekonometria, Dzieła , t.5, PWE, Warszawa 1976, s.349 i dalsze. 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

2 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

 





























=

=

=

=

=

=

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

n

n

s

n

s

n

s

s

n

s

s

n

n

d

n

d

n

d

d

n

d

d

p

p

p

q

q

p

p

p

q

q

p

p

p

q

q

p

p

p

q

q

p

p

p

q

q

p

p

p

q

q

M

M

, 

 

natomiast warunek równowagi składa si

ę

 z układu n równa

ń

: 

 















=

−

=

−

=

−

0

0

0

2

2

1

1

n

s

n

d

s

d

s

d

q

q

q

q

q

q

M

. 

 
Model  równowagi  ogólnej  staje  si

ę

  zupełny,  gdy  rozwa

Ŝ

amy  wszystkie  3n  równa

ń

  ł

ą

cznie.  Po 

podstawieniu  2n  równa

ń

  z  pierwszego  układu  do  układu  drugiego,  otrzymujemy  uproszony  model 

w postaci układu n równa

ń

 zale

Ŝ

nych: 

 















=

−

=

−

=

−

0

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

0

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

0

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

2

1

1

2

1

1

n

n

s

n

n

d

n

s

n

d

n

s

n

d

p

p

p

q

p

p

p

q

p

p

p

q

p

p

p

q

p

p

p

q

p

p

p

q

M

 

 
 

7.1. Model Walrasa-Patinkina 

Zanim przyst

ą

pimy do omówienia modelu Walrasa-Patinkina wprowad

ź

my nast

ę

puj

ą

ce oznaczenia: 

 

i

x

~

 - n-wymiarowy koszyk (wektor) towarów, który chciałby kupi

ć

 i-ty konsument, 

i

y

~

 - k-wymiarowy koszyk (wektor) czynników produkcji, który chciałby sprzeda

ć

 i-ty konsument, 

j

x

 - n-wymiarowy koszyk (wektor) towarów, który gotowy jest wyprodukowa

ć

 j-ty producent, 

j

y

 - k-wymiarowy koszyk (wektor) czynników produkcji, który chciałby naby

ć

 j-ty producent, 

p

 - wektor cen towarów, 

v

 - wektor cen czynników produkcji. 

 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

3 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

 

Model  Walrasa-Patinkina  jest  jednym  z  wielu  modeli  równowagi  ogólnej.  Jest  modelem,  którego 

zało

Ŝ

enia  wywiedzione  zostały  z  neoklasycznej  teorii  ekonomii.  Jest  to  przede  wszystkim  model 

statyczny,  w  którym  przyjmuje  si

ę

  natychmiastowe  dostosowania  poda

Ŝ

y  popytu  i  cen  a  wi

ę

c 

doskonale  działaj

ą

cy  mechanizm  rynkowy.  Warte  podkre

ś

lenia  jest  przyj

ę

te  w  tym  modelu 

rozdzielenie  funkcji  podmiotów  rynkowych,  a  mianowicie  wyodr

ę

bnia  si

ę

  konsumentów,  którzy  s

ą

 

jednocze

ś

nie nabywcami towarów konsumpcyjnych i  jedynymi  wła

ś

cicielami czynników  wytwórczych. 

Drug

ą

  grup

ą

  podmiotów  rynkowych  s

ą

  producenci  i  jednocze

ś

nie  sprzedawcy  towarów 

konsumpcyjnych,  o  których  zakłada  si

ę

, 

Ŝ

e  nabywaj

ą

  czynniki  wytwórcze  od  konsumentów.  Obie 

grupy  uczestników  rynku  maj

ą

  cechy  homo  economicus,  a  celem  ich  działania  jest  w  przypadku 

konsumentów  jest  maksymalizacja  poziomu  zaspokojenia  potrzeb,  a  producentów  maksymalizacja 

dochodu  osi

ą

ganego  ze  sprzeda

Ŝ

y  wytworzonych  towarów.  Konsumenci  znajduj

ą

  si

ę

  w  sytuacji 

niedosytu, co oznacza, 

Ŝ

e chc

ą

 wydawa

ć

 na zakupy dóbr cały swój bie

Ŝą

cy dochód, którego jedynym 

ź

ródłem s

ą

 przychody ze sprzeda

Ŝ

y lub dzier

Ŝ

awienia czynników wytwórczych. Model skonstruowany 

jest  z  dwóch  segmentów,  jeden  opisuje  tworzenie  poda

Ŝ

y  na  rynku  towarów  konsumpcyjnych,  drugi 

opisuje stron

ę

 popytow

ą

 na rynku konsumpcyjnym. 

 

Zakładamy, 

Ŝ

e  w  gospodarce  wyst

ę

puje  m  producentów  maj

ą

cych  mo

Ŝ

liwo

ść

  wyprodukowania  n 

ró

Ŝ

nych rodzajów dóbr oraz l konsumentów, którzy s

ą

 wła

ś

cicielami okre

ś

lonych czynników produkcji. 

Konsumenci sprzedaj

ą

 posiadane czynniki produkcji po cenach 

v

, by móc nast

ę

pnie naby

ć

 potrzebne 

im towary dost

ę

pne na rynku po cenach 

p

. Aby j-ty producent mógł wyprodukowa

ć

 koszyk dóbr 

j

x

, 

który nast

ę

pnie mógłby sprzeda

ć

 po cenie 

p

, potrzebuje naby

ć

 od konsumentów  koszyk czynników 

produkcji 

j

y

 po cenie 

v

.  

W  wyniku  produkcji  koszyka  dóbr 

j

x

  ,  a  nast

ę

pnie  jego  sprzeda

Ŝ

y  po  cenie 

p

  j-ty  producent 

uzyskuje dochód wielko

ś

ci: 

 

j

j

j

j

j

v

p

y

v

x

p

y

x

,

,

)

,

(

,

−

=

ξ

. 

 

Uwagi: 

1.  Iloczyn  skalarny 

j

x

p,

  oznacza  warto

ść

  produkcji  j-tego  producenta  wyra

Ŝ

on

ą

  w  cenach 

rynkowych. 

2.  Iloczyn  skalarny 

j

y

v,

  oznacza  wyra

Ŝ

one  warto

ś

ciowo  nakłady,  czyli  koszt  zu

Ŝ

ytych 

czynników produkcji j-tego producenta. 

 

Niech  funkcja  produkcji  j-tego  producenta 

1

:

R

R

R

F

k

n

j

→

×

+

+

, 

1

C

F

j

∈

  zadana  b

ę

dzie  w  postaci 

niejawnej: 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

4 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

 

0

)

,

(

=

j

j

j

y

x

F

. 

 
Pami

ę

tamy, 

Ŝ

e  ma  ona  cechy  klasycznej  funkcji  produkcji,  a  wi

ę

c  jest  rosn

ą

ca  wzgl

ę

dem  nakładów, 

dodatnio jednorodna stopnia 0, ci

ą

gła wraz z pochodnymi cz

ą

stkowymi stopnia pierwszego i drugiego, 

a przy zerowych nakładach efekt produkcyjny jest te

Ŝ

 zerowy. 

Celem  j-tego  producenta  jest  maksymalizacja  swojego  dochodu  przy  uwzgl

ę

dnieniu  ogranicze

ń

 

technologicznych.  Proces  decyzyjny  producenta  opisuje  klasyczny  model  programowania 

matematycznego zło

Ŝ

ony z funkcji celu i warunków ograniczaj

ą

cych.  

Rozwi

ą

zanie zadania decyzyjnego producenta : 

 

)

,

(

max

,

j

j

j

v

p

y

x

ξ

,  

 
z uwzgl

ę

dnieniem procesu produkcyjnego opisywanego przez funkcj

ę

 produkcji: 

 

0

)

,

(

=

j

j

j

y

x

F

. 

 
maksymalizuje  dochód  j-tego  producenta.  Mo

Ŝ

emy  je  znale

źć

  (o  ile  istnieje),  szukaj

ą

c  maksimum 

warunkowego przy zastosowaniu funkcji Lagrange’a: 

 

)

,

(

)

,

(

)

,

,

(

,

j

j

j

j

j

j

j

v

p

j

j

j

j

y

x

F

y

x

y

x

L

λ

ξ

λ

+

=

. 

 
Aby  wyznaczy

ć

  optimum  decyzyjne  ka

Ŝ

dego  z  producentów  konieczne  jest  przyrównanie  wszystkich 

pochodnych cz

ą

stkowych funkcji Lagrange’a do zera, czyli rozwi

ą

zanie układu równa

ń

: 

 

0

=

∂

∂

+

=

∂

∂

j

j

j

j

j

x

F

p

x

L

λ

 

0

=

∂

∂

+

−

=

∂

∂

j

j

j

j

j

y

F

v

L

λ

 

0

)

,

(

=

=

∂

∂

j

j

j

j

j

y

x

F

L

λ

, 

 

gdzie: 

j

 - numer producenta i 

{

}

m

j

,...,

2

,

1

∈

. 

 

Traktuj

ą

c  towary  konsumpcyjne  oraz  czynniki  produkcji  ł

ą

cznie,  mo

Ŝ

emy  mówi

ć

  o  rynku  towarów 

z przestrzeni

ą

 towarów 

k

n

R

+

+

, której elementami s

ą

 wektory 

)

~

,

~

(

~

i

i

i

y

x

z

=

. 

W  modelu  Walrasa-Patinkina  preferencje  i-tego  konsumenta  okre

ś

lane  s

ą

  przy  pomocy  funkcji 

u

Ŝ

yteczno

ś

ci 

1

:

R

R

R

u

k

n

i

→

×

−

+

,  okre

ś

lonej  na  nieujemnych  wektorach  nabywanych  towarów 

i niedodatnich wektorów sprzedawanych czynników produkcji spełniaj

ą

cej warunek: 

 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

5 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

)

~

,

~

(

)

(

)

~

,

~

(

2

2

1

1

y

x

u

y

x

u

i

i

−

>

≥

−

. 

 

Mówimy  wówczas, 

Ŝ

e  koszyk  towarów 

)

~

,

~

(

1

1

y

x

−

  jest  przez  i-tego  konsument  słabo  (silnie) 

preferowany nad koszyk towarów 

)

~

,

~

(

2

2

y

x

−

.  

Znak  ujemny  wektorów  sprzedawanych  czynników  produkcji  tłumaczy  si

ę

  tym, 

Ŝ

e  konsument 

z tytułu sprzeda

Ŝ

y czynników produkcji otrzymuje wprawdzie dochód, ale pozbywa si

ę

 alternatywnych 

mo

Ŝ

liwo

ś

ci ich wykorzystania co ma negatywny wpływa na ogóln

ą

 u

Ŝ

yteczno

ść

 konsumenta.  

Celem  ka

Ŝ

dego  konsumenta  jest  maksymalizacja  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  konsumpcji  przy  danym 

ograniczeniu  bud

Ŝ

etowym.  Zakładamy, 

Ŝ

e  oprócz  dochodu  ze  sprzeda

Ŝ

y  posiadanych  czynników 

produkcji,  konsument  otrzymuje  równie

Ŝ

  dochody  ze  tytułu  udziałów  w  dochodach  poszczególnych 

producentów.  Tytułem  do  udziału  w  dochodach  producenta  jest  na  przykład  bycie  akcjonariuszem 

spółki. 

Przez  wektor 

)

1

,

0

(

),

,...,

,

(

1

2

1

∑

=

=

≥

=

l

i

i

j

i

j

i

m

i

i

i

s

s

s

s

s

s

  b

ę

dziemy  oznacza

ć

  wektor  udziałów  i-

tego  konsumenta  w  dochodach  poszczególnych  producentów,  natomiast  przez 

)

,

(

,

y

x

v

p

ξ

  b

ę

dziemy 

oznacza

ć

  wektor  postaci 

))

,

(

),...,

,

(

),

,

(

(

)

,

(

,

2

2

2

,

1

1

1

,

,

m

m

m

v

p

v

p

v

p

v

p

y

x

y

x

y

x

y

x

ξ

ξ

ξ

ξ

=

,  przy  czym 

)

,

(

j

j

y

x

jest rozwi

ą

zaniem zadania maksymalizacji dochodu j-tego producenta. 

 

Zadanie maksymalizacji dla i-tego konsumenta, przy przyj

ę

tych wy

Ŝ

ej zało

Ŝ

eniach, ma posta

ć

: 

 

)

~

,

~

(

max

i

i

i

y

x

u

−

 

 
przy ograniczeniu bud

Ŝ

etowym: 

 

0

~

,

)

,

(

,

~

,

,

=

−

+

i

v

p

i

i

x

p

y

x

s

y

v

ξ

. 

 
Nale

Ŝ

y  przypomnie

ć

, 

Ŝ

e  struktura  modelu  decyzyjnego  konsumenta  wynika  z  zało

Ŝ

enia  o  d

ąŜ

eniu 

konsumenta do zaspokojenia potrzeb w stopniu maksymalny i z istnienia sytuacji niedosytu.  

Podobnie  jak  w  przypadku  zadania  maksymalizacji  producenta,  do  znalezienia  rozwi

ą

zania 

powy

Ŝ

szego zadania posługujemy si

ę

 funkcj

ą

 Lagrange’a: 

 

(

)

i

v

p

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

x

p

y

x

s

y

v

y

x

u

y

x

L

~

,

)

,

(

,

~

,

~

)

~

,

~

(

)

~

,

~

,

~

(

~

,

−

+

+

−

=

ξ

λ

λ

 

 

i rozwi

ą

zujemy układ równa

ń

: 

 

0

~

~

~

~

=

−

∂

∂

=

∂

∂

p

x

u

x

L

i

i

i

i

i

λ

 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

6 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

0

~

~

~

~

=

+

∂

∂

−

=

∂

∂

v

y

u

y

L

i

i

i

i

i

λ

 

0

~

,

)

,

(

,

~

,

~

~

,

=

−

+

=

∂

∂

i

v

p

i

i

i

i

x

p

y

x

s

y

v

L

ξ

λ

, 

 

gdzie: 

i

 - numer konsumenta i 

{

}

l

i

,...,

2

,

1

∈

.

 

 

Wiemy  ju

Ŝ

  zatem,  jak  szuka

ć

  koszyków  towarów  maksymalizuj

ą

cych  u

Ŝ

yteczno

ść

  konsumentów 

oraz  koszyków  towarów  maksymalizuj

ą

cych  dochody  producentów,  nie  mamy  jednak  pewno

ś

ci,  czy 

konsumenci kupi

ą

 wszystkie towary oferowane przez producentów albo czy ilo

ś

ci oferowanych przez 

producentów  towarów  nie  oka

Ŝą

  si

ę

  zbyt  małe  i  tym  samym  nie  zostan

ą

  zaspokojone  potrzeby 

konsumentów.  Nie  ma  równie

Ŝ

  gwarancji, 

Ŝ

e  producenci  kupi

ą

  wszystkie  znajduj

ą

ce  si

ę

  na  rynku 

czynniki  produkcji.  Mo

Ŝ

e  si

ę

  tak

Ŝ

e  zdarzy

ć

, 

Ŝ

e  ilo

ś

ci  czynników,  które  zechc

ą

  sprzeda

ć

  konsumenci, 

oka

Ŝą

 si

ę

 niewystarczaj

ą

ce, aby producenci mogli wykona

ć

 swoje plany produkcji. 

Producentom  i  konsumentom  uda  si

ę

  zrealizowa

ć

  ich  cele,  o  ile  ceny 

v

p,

  ustal

ą

  si

ę

  na  takim 

poziomie,  przy  którym  popyt  konsumentów  na  towary  konsumpcyjne  zrówna  si

ę

  z  poda

Ŝą

  tych 

towarów  (warunek  (I))  oraz  gdy  jednocze

ś

nie  popyt  producentów  na  czynniki  produkcji  zrówna  si

ę

 

z ich poda

Ŝą

 (warunek (II)): 

 

(I) 

∑

∑

=

=

=

m

j

j

l

i

i

x

x

1

1

~

, 

(II)  

∑

∑

=

=

=

m

j

j

l

i

i

y

y

1

1

~

. 

 

O  wektorach  cen  towarów 

p

  i  cen  czynników  produkcji 

v

  oraz  o  wektorach 

)

~

,

~

(

)

,

(

i

i

j

j

y

x

i

y

x

  b

ę

d

ą

cych  rozwi

ą

zaniem  zada

ń

  maksymalizacji  dochodu  przez 

producentów i maksymalizacji u

Ŝ

yteczno

ś

ci przez konsumentów spełniaj

ą

cych warunki (I) i (II) 

zwane  układem  równa

ń

  bilansowych  mówimy, 

Ŝ

e  tworz

ą

  w  modelu  Walrasa-Patinkina 

stan 

równowagi konkurencyjnej

. 

 

 

 

7.2. Model Walrasa-Walda 

 

Wprowad

ź

my nast

ę

puj

ą

ce oznaczenia: 

 

x

 - n-wymiarowy wektor całkowitego popytu na towary, 

y

 - n-wymiarowy wektor wszystkich wytwarzanych na rynku towarów, 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

7 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

p

 - n-wymiarowy wektor cen towarów, 

v

 - k-wymiarowy wektor cen czynników produkcji, 

0

z

  -  dany  dodatni  k-wymiarowy  wektor  czynników  produkcji  (zadana  poda

Ŝ

  czynników 

produkcji), 

{ }

n

m

n

R

R

R

+

+

→

×

0

\

:

*

ϕ

 - funkcja popytu, 

1

:

R

R

u

n

→

+

 - społeczna funkcja u

Ŝ

yteczno

ś

ci. 

 

Model  Walrasa-Walda  podobnie  jak  w  przypadku  modelu  Walrasa-Patinkina  wyprowadzony  jest 

z neoklasycznych zało

Ŝ

e

ń

 dotycz

ą

cych rynku doskonałego.  

Zakłada si

ę

 w nim liniowo

ść

 niektórych procesów ekonomicznych oraz istnienie globalnych funkcji 

u

Ŝ

yteczno

ś

ci i popytu w skali całej gospodarki, co w znacznym stopniu upraszcza sposób dowodzenia 

istnienia równowagi w gospodarce. Zało

Ŝ

enie to stanowi podstawow

ą

 ró

Ŝ

nic

ę

 w stosunku do modelu 

Walrasa-Walda.  

Zakłada  si

ę

  ponadto, 

Ŝ

e  w  gospodarce  wytwarza  si

ę

  n  ró

Ŝ

nych  asortymentów  towarów 

(konsumpcyjnych) i zu

Ŝ

ywa si

ę

 k ró

Ŝ

nych czynników produkcji, których poda

Ŝ

 jest ograniczona. Celem 

producentów  jest  maksymalizacja  warto

ś

ci  produkcji,  a  nie  jak  dotychczas  maksymalizacja  dochodu. 

Wobec tego producenci podejmuj

ą

 decyzje dotycz

ą

ce produkowanych ilo

ś

ci i asortymentów. Decyzje 

produkcyjne  producentów  i  stosowane  przez  nich  technologie  determinuj

ą

  wielko

ść

  i  struktur

ę

 

zapotrzebowania na czynniki wytwórcze. 

Producenci  mog

ą

  naby

ć

  czynniki  produkcji  od  konsumentów,  którzy  podobnie  ja  w  modelu 

Walrasa-Patinkina  s

ą

  ich  jedynymi  wła

ś

cicielami,  a  sprzeda

Ŝ

  posiadanych  czynników  produkcji  jest 

ź

ródłem ich dochodów. 

O funkcji popytu 

ϕ

 zadanej wzorem: 

 

)

(

max

arg

)

,

(

0

,

,

x

u

v

p

x

o

x

z

v

x

p

≥

≤

=

=

ϕ

 

 
zakładamy,  ze  jest  ci

ą

gła  i  dodania  na  obszarze  okre

ś

lono

ś

ci.  Posta

ć

  funkcji  popytu  wynika 

z zało

Ŝ

enia, 

Ŝ

e konsumenci maksymalizuj

ą

 u

Ŝ

yteczno

ś

ci pozyskiwane z rynku i znajduj

ą

 si

ę

 w sytuacji 

niedosytu. 

 

Zadanie maksymalizacji wielko

ś

ci produkcji przez producentów przy danym poziomie cen towarów 

p

mo

Ŝ

emy zapisa

ć

 w sposób nast

ę

puj

ą

cy: 

 
Szukamy: 
 

y

p,

max

, 

 
przy ograniczeniu: 
 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

8 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

0

,

0

≥

≤

y

z

By

, 

gdzie: 

)

,

(

)

(

n

k

ij

b

B

=

  jest  macierz

ą

  nakładów  czynników  produkcji;  przez 

ij

b

  rozumiemy  niezb

ę

dny  do 

wyprodukowania jednej jednostki j-tego towaru nakład i-tego czynnika produkcji. Iloczyn  

 

By

-  charakteryzuje  popyt  na  czynniki  produkcji  zgłaszany  przez  producentów  chc

ą

cych 

wyprodukowa

ć

 wektor towarów 

y

.  

 

Macierz 

B

  charakteryzuje  bezpo

ś

rednio  technologie  produkcji  stosowane  w  gospodarce. 

Nazywana jest te

Ŝ

 macierz

ą

 norm zu

Ŝ

ycia czynników wytwórczych.  

 
O  wektorach  cen  towarów 

p

  i  cen  czynników  produkcji 

v

  (

v

p,

  -  ceny  równowagi)  oraz 

o wektorach  popytu  i  poda

Ŝ

y 

0

,

>

y

x

  spełniaj

ą

cych  w  modelu  Walrasa-Walda  cztery  kolejne 

warunki: 

(I)  wektor 

x

 jest rozwi

ą

zaniem nast

ę

puj

ą

cego zadania maksymalizacji  społecznej funkcji 

u

Ŝ

yteczno

ś

ci konsumpcji przy cenach równowagi: 

)

(

max

x

u

, 

przy ograniczeniu bud

Ŝ

etowym: 

0

,

,

,

0

≥

≤

x

z

v

x

p

, 

 

(II)  wektor 

y

  jest  rozwi

ą

zaniem  zadania  maksymalizacji  warto

ś

ci  produkcji  przy  danych 

cenach równowagi: 

y

p,

max

, 

przy ograniczeniu: 

 

0

,

0

≥

≤

y

z

By

, 

 

(III) spełniony jest bilans rzeczowy popytu i poda

Ŝ

y towarów: 

 

y

x

≤

 

 
(IV) spełnione s

ą

 bilanse finansowe: 

 

B

v

p

z

v

y

B

v

y

p

x

p

=

=

=

,

,

,

,

,

,

0

, 

 

mówimy, 

Ŝ

e tworz

ą

 

stan równowagi konkurencyjnej

. 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

9 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

 

Warunki istnienia stanu równowagi w modelu Walrasa-Walda podaje twierdzenie 7.1. 

 

Twierdzenie 7.1. 

Gdy spełnione s

ą

 jednocze

ś

nie nast

ę

puj

ą

ce warunki: 

(I) 

0

,

0

z

B

>

, 

(II) funkcja u

Ŝ

yteczno

ś

ci społecznej 

u

jest wkl

ę

sła na obszarze okre

ś

lono

ś

ci, a zwi

ą

zana z ni

ą

 

funkcja popytu 

ϕ

 jest ci

ą

gła i dodatnia w swojej dziedzinie, 

 

(III) 

(

)

0

,

)

,

(

,

,

0

,

0

z

v

v

p

p

v

p

=

>

∀

>

∀

∩

∩

ϕ

 

(IV) 

(

)

0

0

,

,

)

,

(

,

,

max

arg

'

:

'

,

,

0

,

0

0

z

v

y

p

vBy

v

p

p

y

p

y

y

y

v

p

y

z

By

+

=

+

















=

∈

∀

>

∀

>

∀

≥

≤

∩

∩

ϕ

 

 
to w modelu Walrasa-Walda istnieje stan równowagi konkurencyjnej. 

 

Stan  równowagi  konkurencyjnej  w  rozwa

Ŝ

anym  modelu  wyra

Ŝ

any  jest  jako  dostosowanie 

agrestowej poda

Ŝ

y i agregatowego popytu w gospodarce, w której istnieje konkurencja doskonała, ale 

w infrakrótkim okresie poda

Ŝ

 czynników wytwórczych jest z góry dana (ograniczona).  

 

7.3. Model Leontiefa-Walrasa 

 

Zanim  przejdziemy  do  opisu  modelu  Leontiefa-Walrasa  przedstawimy  w  postaci  tabelarycznej 

klasyczne  uj

ę

cie  w  statycznej  postaci  modelu  przepływów  mi

ę

dzygał

ę

ziowych  Leontiefa.  Ułatwi  to 

zrozumienie istoty modelu i wykazanie podstawowych zale

Ŝ

no

ś

ci mi

ę

dzy kategoriami uwzgl

ę

dnianymi 

w  modelu.  W  modelu  przepływów  mi

ę

dzygał

ę

ziowych  Leontiefa  stosuje  si

ę

  kategorie  ekonomiczne 

wła

ś

ciwe  dla  systemu  ewidencji  produktu  materialnego,  takie  jak  na  przykład:  produkcja  globalna, 

przepływ  mi

ę

dzygał

ę

ziowy,  produkt  finalny,  macierz  przepływów  mi

ę

dzygał

ę

ziowych  itd.  Model 

dotyczy  tak  zwanej  sfery  produkcji  materialnej  i  pokazuje  relacje  jakie  powinny  wyst

ą

pi

ć

  mi

ę

dzy 

produkcj

ą

  a  nakładami,  aby  w  gospodarce  globalny  popyt,  co  do  ilo

ś

ci  i  struktury,  zrównał  si

ę

 

z globaln

ą

  poda

Ŝą

.  Zakłada  si

ę

  liniow

ą

  zale

Ŝ

no

ść

  pomi

ę

dzy  wielko

ś

ci

ą

  produkcji  a  nakładami 

zu

Ŝ

ywanymi  w  procesie  produkcji.  Bardzo  wa

Ŝ

ne  w  modelu  jest  uznanie, 

Ŝ

e  producent  oferuje 

wytworzone  przez  siebie  towary  na  rynku  i  jednocze

ś

nie  jest  nabywc

ą

  niezb

ę

dnych  do  produkcji 

czynników  wytwórczych.  Model  przepływów  mi

ę

dzygał

ę

ziowych  Leontiefa  w  pierwotnej  wersji  był 

skonstruowany  w  jednostkach  naturalnych,  co  uniemo

Ŝ

liwiało  niektóre  aspekty  analizy.  Zatem 

przedstawimy jego wersj

ę

 warto

ś

ciow

ą

.  

W  gospodarce  wyodr

ę

bnia  si

ę

  okre

ś

lon

ą

  liczb

ę

  producentów,  z  których  ka

Ŝ

dy  wytwarza 

jednorodny  produkt.  Mo

Ŝ

na  sobie  wyobrazi

ć

, 

Ŝ

e  model  b

ę

dzie  konstruowany  z  dokładno

ś

ci

ą

  do 

pojedynczego wytwórcy, ale praktycznie gospodark

ę

 dzieli si

ę

 na wi

ę

ksze agregaty, którymi s

ą

 bran

Ŝ

e 

czy  gał

ę

zie  produkcji.  Ka

Ŝ

da  gał

ąź

  wytwarza  produkt  globalny,  który  jest  cz

ęś

ciowo  wykorzystywany 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

10 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

przez inne gał

ę

zie do wytwarzania ich produktu, a reszta, która nie jest wykorzystywana produkcyjnie 

w  danym okresie tworzy tak zwany  produkt finalny.  Produkt finalny dzieli si

ę

 na  cz

ęść

 przeznaczan

ą

 

na  cele  konsumpcyjne,  cz

ęść

  przeznaczan

ą

  na  inwestycje  oraz  cz

ęść

  eksportowan

ą

.  Wielko

ść

 

uzyskiwanego  produktu  finalnego  przy  danej  produkcji  globalnej  jest  tym  mniejsza  im  wi

ę

cej  jest  faz 

przetwarzania  w  procesie  produkcji,  czyli  im  wi

ę

cej  wytwarzanego  produktu  zu

Ŝ

ywa  si

ę

  w  sferze 

produkcji  jako  nakłady.  Aby  powstała  produkcja  globalna,  w  gał

ę

zi  ponoszone  musz

ą

  by

ć

  nakłady 

towarów  pochodz

ą

cych  ze  sfery  produkcji,  nakłady  pracy,  nakłady  kapitału,  ziemi,  nakłady  towarów 

pochodz

ą

cych z importu. Jako element nakładów mo

Ŝ

na uwzgl

ę

dnia

ć

 równie

Ŝ

 podatki po

ś

rednie.  

Podstawowe relacje mi

ę

dzy wyst

ę

puj

ą

cymi w modelu kategoriami przedstawia tabela 7.1., w której 

przyj

ę

to nast

ę

puj

ą

ce oznaczenia: 

 

i,j =1,2,…,n i jest – indeksem gał

ę

zi produkcji 

X,  X

j

-  produkt  globalny  gał

ę

zi,  przy  czym  j  jest  indeksem  gał

ę

zi  traktowanej  jako  nabywca 

czynników wytwórczych, natomiast i stosujemy jako indeks gał

ę

zi traktowanej jako sprzedawca 

wytworzonego przez siebie produktu, 

x

ij

-  okre

ś

la  tzw.  przepływ  mi

ę

dzygał

ę

ziowy,  czyli  t

ę

  cz

ęść

  produktu  pochodz

ą

cego  z  gał

ę

zi  i, 

która jest zu

Ŝ

ywana produkcyjnie w gał

ę

zi j, 

C- konsumpcja 

I- inwestycje  

E- eksport, 

L-nakłady pracy 

K- nakłady kapitału 

R- nakłady ziemi, 

M- import, 

T- podatki po

ś

rednie, 

x

ic

- oznacza konsumowan

ą

 cz

ęść

 produktu pochodz

ą

cego z i-tej gał

ę

zi 

x

iI

- oznacza cz

ęść

 produktu i-tej gał

ę

zi przeznaczanego na cele inwestycyjne, 

x

iE

- oznacza cz

ęść

 produktu tej gał

ę

zi przeznaczana na eksport, 

x

Lj

- nakłady pracy wykorzystywane w j-tej gał

ę

zi  

 

Produkcja globalna i-tej gał

ę

zi: 

∑

=

+

+

+

=

n

j

iE

iI

iC

ij

i

X

X

X

X

X

1

, gdzie 

n

i

,...,

2

,

1

=

 

 

Nakłady j-tej gał

ę

zi: 

∑

=

+

+

+

+

+

=

n

i

Rj

Rj

Rj

Kj

Lj

ij

j

X

X

X

X

X

X

X

1

, gdzie 

n

j

,...,

2

,

1

=

 

 

Produkcja globalna i nakłady dla tej samej gał

ę

zi s

ą

 sobie równe: 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

11 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

 

j

i

X

X

=

,  dla 

)

,...,

2

,

1

,

(

n

j

i

j

i

=

=

. 

 
Mi

ę

dzy elementami tablicy przepływów mi

ę

dzy gał

ę

ziowych zachodz

ą

 nast

ę

puj

ą

ce 

makroproporcje: 

 

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

+

+

+

+

+

=

n

i

n

j

Tj

n

j

Mj

n

j

Rj

n

j

Kj

n

j

Lj

i

X

X

X

X

X

X

V

1

1

1

1

1

1

 

 

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

+

+

+

=

n

j

n

i

iE

n

i

iI

n

i

iC

j

X

X

X

X

V

1

1

1

1

 

 

Konsumpcja: 

 

∑

=

=

n

i

iC

X

C

1

 

Inwestycje:   

∑

=

=

n

i

iI

X

I

1

 

Eksport (netto):  

∑

=

=

n

i

iE

X

E

1

 

Płace (brutto):   

∑

=

=

n

j

Lj

X

L

1

 

Zyski (brutto):   

∑

=

=

n

j

Kj

X

K

1

 

Renty gruntowe: 

∑

=

=

n

j

Rj

X

R

1

 

Import (uzupełniaj

ą

cy):    

∑

=

=

n

j

Mj

X

M

1

 

Podatki po

ś

rednie (minus subsydia): 

∑

=

=

n

j

Tj

X

T

1

. 

 
 
Warunek równowagi rynkowej w modelu przepływów mi

ę

dzygał

ę

ziowych ma posta

ć

: 

 

E

I

C

T

M

R

K

L

+

+

=

+

+

+

+

 

 

Produkt krajowy brutto w cenach czynników produkcji: 
 

R

K

L

PKB

+

+

=

 

 

Produkt krajowy brutto w cenach rynkowych: 

 

T

R

K

L

PKB

+

+

+

=

. 

 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

12 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

Warunek równowagi mo

Ŝ

na równie

Ŝ

 przedstawi

ć

 w nast

ę

puj

ą

cej postaci: 

 

E

I

C

M

PKB

+

+

=

+

. 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

13 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

Tablica 7.1. Tablica przepływów mi

ę

dzygał

ę

ziowych W.W. Leontiefa 

 

 

 
 

Nakłady 

 

n

K

3

2

1

 

Popyt finalny 

K

o

n

s

u

m

p

c

ja

 (

C

) 

 

In

w

e

s

ty

c

je

 (

I)

 

  

E

k

s

p

o

rt

 (

E

) 

 
 

Produkt globalny 
i dochody 

Numer 

j 

 
 
 
       i 

n

M

3

2

1

 

P

ro

d

u

k

c

ja

 

11

x

  

12

x

  

n

x

x

1

13

L

 

 

21

x

  

22

x

  

n

x

x

2

23

L

 

31

x

  

32

x

  

n

x

x

3

33

L

 

 

   M

        

M

       

M

        

M

    

M

 

 

1

n

x

  

2

n

x

  

nn

n

x

x

L

3

 

E

I

C

x

x

x

1

1

1

 

 

E

I

C

x

x

x

2

2

2

 

 

E

I

C

x

x

x

3

3

3

 

 

M

M

M

nE

nI

nC

x

x

x

 

1

X

 

 

2

X

 

 

3

X

 

 

  

M

 

 

n

X

 

Praca (L) 

 

Kapitał (K) 

 

Ziemia (R) 

 

Import (M) 

 

Podatki 

po

ś

rednie (T) 

1

L

x

   

2

L

x

    

Ln

L

x

x

L

3

 

1

K

x

   

2

K

x

   

Kn

K

x

x

L

3

 

1

R

x

   

2

R

x

    

Rn

R

x

x

L

3

 

1

M

x

   

2

M

x

  

Mn

M

x

x

L

3

 

1

T

x

   

2

T

x

     

Tn

T

x

x

L

3

 

∑

=

n

j

Lj

x

1

(płace) 

∑

=

n

j

Kj

x

1

(zyski) 

∑

=

n

j

Rj

x

1

(renty  

gruntowe) 

∑

=

n

j

Mj

x

1

(import) 

∑

=

n

j

Tj

x

1

(poda

tki)

 

 

Globalne 
nakłady i 
popyt finalny 

 

1

X

      

2

X

      

n

X

X

L

3

 

 

∑

∑

∑

=

=

=

n

i

iE

n

i

iI

n

i

iC

x

x

x

1

1

1

 

 

 
 

V 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

14 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

Przedstawimy  teraz  nieco  zmodyfikowane  uj

ę

cie  modelu  przepływów  mi

ę

dzygał

ę

ziowych  zwane 

modelem Leontiefa-Walrasa w postaci analitycznej. 

W  modelu  Leontiefa-Walrasa  zakładamy, 

Ŝ

e  oprócz  nakładów  czynników  produkcji  (dobra 

kapitałowe i siła robocza), do prowadzenia działalno

ś

ci produkcyjnej niezb

ę

dne s

ą

 nakłady nietrwałych 

czynników  wytwórczych  takich  jak  ró

Ŝ

nego  rodzaju  usługi  produkcyjne,  surowce,  materiały.  Dobra 

kapitałowe  zwane s

ą

 trwałymi czynnikami wytwórczymi i nie  zu

Ŝ

ywaj

ą

 si

ę

 całkowicie  w pojedynczym 

procesie wytwórczym, nietrwałe czynniki wytwórcze natomiast zu

Ŝ

ywaj

ą

 si

ę

 całkowicie. 

Wprowad

ź

my nast

ę

puj

ą

ce oznaczenia: 

x

  -  n-wymiarowy  wektor  towarów  wytwarzanych  w  gospodarce,  które  mog

ą

  by

ć

  zu

Ŝ

ywane 

w procesie produkcji lub zakupione do celów konsumpcyjnych, 

y

  -  k-wymiarowy  wektor  czynników  wytwórczych,  który  chc

ą

  naby

ć

  producenci  by  móc 

wytworzy

ć

 wektor towarów x, 

p

 - n-wymiarowy wektor cen towarów, 

v

 - k-wymiarowy wektor cen czynników produkcji, 

)

,

(

)

(

n

n

ij

a

A

=

- macierz współczynników nakładów bie

Ŝą

cych; element 

ij

a

 okre

ś

la nakład i-tego 

towaru niezb

ę

dny do wyprodukowania jednej jednostki j-tego towaru, 

)

,

(

)

(

n

k

ij

b

B

=

  -  macierz  nakładów  czynników  produkcji  (interpretacja  taka  jak  dla  modelu 

Walrasa-Walda), 

{ }

n

k

n

R

R

R

+

+

+

→

×

0

\

:

ϕ

  -  funkcja  globalnego  popytu  na  towary  zadana  wzorem: 

(

)

T

n

v

p

v

p

v

p

v

p

)

,

(

),...,

,

(

),

,

(

)

,

(

2

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

, gdzie 

)

,

(

v

p

i

ϕ

 - popyt na i-ty towar, 

k

k

n

R

R

R

+

+

+

→

×

:

ψ

  -  funkcja  globalnej  poda

Ŝ

y  czynników  produkcji  zadana  wzorem: 

(

)

T

k

v

p

v

p

v

p

v

p

)

,

(

),...,

,

(

),

,

(

)

,

(

2

1

ψ

ψ

ψ

ψ

=

. 

 

Zakładamy, 

Ŝ

e  gospodarka  jest  w  stanie  wytworzy

ć

  wi

ę

cej  towarów  ni

Ŝ

  zu

Ŝ

ywa.  Warunek  ten 

zapisujemy nast

ę

puj

ą

co: 

 

(I) 

x

Ax

z

x

<

=

≥

∃

0

,  

gdzie 

z

 oznacza nakłady potrzebne do wytworzenia wektora towarów 

x

. 

Przyjmujemy  ponadto, 

Ŝ

e  w  gospodarce  nie  mo

Ŝ

na  wyodr

ę

bni

ć

  całkowicie  podgospodarki,  która 

mogłaby  funkcjonowa

ć

  jako  samodzielna  i  niezale

Ŝ

na  gospodarka.  Warunek  ten  mo

Ŝ

na  zapisa

ć

 

w postaci zdania logicznego: 

(II) 

{

}













=

∈

∀

∉

∀

∧

∅

≠

⊂

¬∃

)

0

(

,

,...,

2

,

1

ij

a

G

j

G

i

G

n

G

 

Warunek (II) czytamy: nie prawda, 

Ŝ

e istnieje wła

ś

ciwy, niepusty podzbiór zbioru towarów 

{

}

n

,...,

2

,

1

, 

składaj

ą

cy si

ę

 z towarów, które mo

Ŝ

na wytworzy

ć

 bez u

Ŝ

ywania towarów do niego nie nale

Ŝą

cych.  

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

15 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

 

Kolejne  zało

Ŝ

enie,  które  nale

Ŝ

y  poczyni

ć

  przy  omawianiu  modelu  Leontiefa-Walrasa,  to  znane  ze 

wcze

ś

niejszych  wykładów  zało

Ŝ

enie  dodatniej  jednorodno

ś

ci  stopnia  0  funkcji  popytu 

ϕ

  oraz  funkcji 

poda

Ŝ

y 

ψ

. Dodatnia jednorodno

ść

 stopnia 0 oznacza w tym przypadku, 

Ŝ

e popyt i poda

Ŝ

 nie reaguj

ą

 

na  zmian

ę

  bezwzgl

ę

dnego  poziomu  cen  towarów  i  czynników  produkcji,  a  jedynie  na  zmian

ę

  ich 

struktury, co zapisujemy w nast

ę

puj

ą

cy sposób: 

 

(III) 

(

)

)

,

(

)

,

(

0

v

p

v

p

ϕ

λ

λ

ϕ

λ

=

>

∀

 oraz 

(

)

)

,

(

)

,

(

0

v

p

v

p

ψ

λ

λ

ψ

λ

=

>

∀

. 

O  funkcjach  popytu  i  poda

Ŝ

y  zakładamy  ponadto, 

Ŝ

e  s

ą

  ci

ą

głe  wraz  z  ich  pierwszymi  pochodnymi 

cz

ą

stkowymi. Funkcja popytu spełnia ponadto nast

ę

puj

ą

cy warunek: 

 

 

(IV) 

0

0

)

,

(

=

⇒

=

v

v

p

ϕ

. 

Natomiast funkcja poda

Ŝ

y spełni warunek: 

 

 

(V) 

0

)

,

(

0

=

⇒

=

v

p

v

i

i

ψ

. 

Warunek  (IV)  oznacza, 

Ŝ

e  zerowy  popyt  jest  przyczyn

ą

  braku  motywacji  produkcyjnych,  co  jest 

jednoznaczne  z  brakiem  zainteresowania  czynnikami  produkcji  ze  strony  producentów,  sk

ą

d  zerowe 

ceny  czynników  produkcji. Warunek  (V) mówi  natomiast  tyle, 

Ŝ

e  zerowa  cena  czynnika  produkcji  nie 

skłania jego wła

ś

ciciela do jego sprzeda

Ŝ

y na rynku. 

 

Przypomnijmy, 

Ŝ

e  macierz 

)

,

(

)

(

n

k

ij

b

B

=

  jest  nieujemn

ą

  macierz

ą

  nakładów  czynników  produkcji, 

gdzie przez 

ij

b

 rozumiemy niezb

ę

dny do wyprodukowania jednej jednostki j-tego towaru nakład i-tego 

czynnika  produkcji.  Wektor 

Bx

y

=

  charakteryzuje  popyt  na  czynniki  produkcji  zgłaszany  przez 

producentów chc

ą

cych wyprodukowa

ć

 wektor towarów 

0

≥

x

. O macierzy 

B

 zakładamy dodatkowo, 

Ŝ

e w ka

Ŝ

dym jej wierszu istnieje element dodatni, co oznacza, 

Ŝ

e ka

Ŝ

dy czynnik jest wykorzystywany 

przy wytwarzaniu przynajmniej jednego towaru.  

Zało

Ŝ

enia  dotycz

ą

ce  macierzy 

A

  i  macierzy 

B

  oznaczaj

ą

, 

Ŝ

e  w  gospodarce  ka

Ŝ

dy  wytworzony 

towar  jest  elementem  nakładów  bie

Ŝą

cych  chocia

Ŝ

by  jednego  producenta  oraz  nie  istnieje  czynnik 

wytwórczy, który nie jest zu

Ŝ

ywany w procesie produkcyjnym. 

 

Zanim  przejdziemy  do  okre

ś

lenia  rozwi

ą

zania  stanu  równowagi  w  modelu  Leontiefa-Walrasa 

przypomnijmy jeszcze prawo Walrasa, które stanowi kolejny, ostatni konieczny do przyj

ę

cia warunek: 

 

 

 

(VI) 

(

)

)

,

(

,

)

,

(

,

0

,

v

p

v

v

p

p

v

p

ψ

ϕ

=

≥

∀

. 

 

Mówimy, 

Ŝ

e 

trójka  wektorów 

0

,

,

>

v

p

x

  tworzy  w  modelu  Leontiefa-Walrasa  stan  równowagi

, 

je

Ŝ

eli spełnione s

ą

 warunki równowagi: 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

16 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

(i) 

na  rynku  towarów  popyt  na  towary  przy  cenach  równowagi  równa  si

ę

  poda

Ŝ

y 

towarów, czyli: 

(ii) 

 

(

)

x

A

E

v

p

−

=

)

,

(

ϕ

, 

gdzie: 

E

- macierz jednostkowa 

n

n

×

(

), 

(iii) 

na rynku czynników wytwórczych popyt na czynniki wytwórcze przy cenach 

równowagi jest równy ich poda

Ŝ

y, czyli: 

 

)

,

(

v

p

x

B

ψ

=

, 

 

oraz gdy spełniony jest warunek: 

(iv)  

 ceny  towarów  w  warunkach  równowagi  kształtuj

ą

  si

ę

  na  poziomie  kosztów 

wytworzenia,  tj.  sumy  kosztu  bie

Ŝą

cego  zu

Ŝ

ycia  towarów  i  kosztu  zu

Ŝ

ycia 

czynników produkcji: 

 

B

v

A

p

p

+

=

. 

 

Twierdzenie 7.2. 

Je

Ŝ

eli spełnione s

ą

 zało

Ŝ

enia (I)-(VI), to w modelu Leontiefa-Walrasa istnieje 

przynajmniej jeden stan równowagi konkurencyjnej. 

 

 

Dzi

ę

ki  przyj

ę

tym  zało

Ŝ

eniom  (I)-(VI) mamy  gwarancj

ę

, 

Ŝ

e  w  modelu  Leontiefa-Walrasa  istnieje  co 

najmniej jedno rozwi

ą

zanie równowagi (nie wiemy dokładnie ile), o czym traktuje twierdzenie 7.2.  

(Dowód  tego  twierdzenia  w  ksi

ąŜ

ce:  E.  Panek,  „Elementy  ekonomii  matematycznej.  Statyka”  ,  PWN, 

Warszawa 1993, str. 130.) 

Dla  ekonomistów  szczególnie  interesuj

ą

cy  jest  przypadek,  gdy  stan  równowagi  w  modelu  jest 

okre

ś

lony w sposób jednoznaczny. W tym celu przyjmuje si

ę

 dodatkowe zało

Ŝ

enie, które staje si

ę

 tego 

gwarantem. Zanim sformułujemy ten warunek (zało

Ŝ

enie) wprowad

ź

my nast

ę

puj

ą

ce oznaczenia: 

 

(

)

1

2

1

,...,

,

ˆ

−

=

k

v

v

v

v

, 

 

(

)

T

k

v

p

v

p

v

p

)

1

,

ˆ

,

(

),...,

1

,

ˆ

,

(

)

1

,

ˆ

,

(

ˆ

1

1

−

=

ψ

ψ

ψ

 

 

)

1

,

(

)

,

(

ˆ

,

),

1

,

ˆ

,

(

−















∂

∂

=

∂

∂















∂

∂

=

∂

∂

=

k

n

j

i

n

n

j

i

v

v

p

p

v

p

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

, 

 

)

1

,

1

(

)

,

1

(

ˆ

ˆ

ˆ

,

ˆ

ˆ

),

1

,

ˆ

,

(

ˆ

ˆ

−

−

−















∂

∂

=

∂

∂















∂

∂

=

∂

∂

=

k

k

j

i

n

k

j

i

v

v

p

p

v

p

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

. 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

17 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

 

 

Wówczas  warunek  (VII),  który  ł

ą

cznie  z  przyj

ę

tymi  wcze

ś

niej  zało

Ŝ

eniami  (I)-(VI)  zapewnia 

istnienie  dokładnie  jednego  stanu  równowagi  konkurencyjnej  z  wektorami  cen  towarów  i  czynników 

produkcji z dokładno

ś

ci

ą

 do struktury brzmi nast

ę

puj

ą

co: 

 

 

 

(VII) Macierz funkcyjna : 

)

1

,

1

(

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

)

ˆ

,

(

−

+

−

+

























∂

∂

−

∂

∂

−

∂

∂

∂

∂

=

k

n

k

n

v

p

v

p

v

p

J

ψ

ψ

ϕ

ϕ

 

 

jest ujemnie półokre

ś

lona, tzn.: 

 

{ }

(

)

0

)

ˆ

,

(

0

ˆ

,

,

0

\

1

<

>

∀

∈

∀

∩

−

+

T

k

n

v

p

J

v

p

R

λ

λ

λ

. 

 

Porównanie i ustalenie podobie

ń

stw mi

ę

dzy modelem przepływów mi

ę

dzygał

ę

ziowych i modelem 

Leontiefa-Walrasa pozostawiamy studentowi.  

 

 

Podsumowanie: 

1.  Przedstawione modele stanowi

ą

 prób

ę

 uproszczonego z konieczno

ś

ci uj

ę

cia sformalizowanego 

kategorii równowagi ogólnej w gospodarce.  

2.  Omówione  modele  s

ą

  modelami  statycznymi  i  zakładaj

ą

  doskonałe  dostosowania  kategorii 

rynkowych , czyli popytu, poda

Ŝ

y i cen bez opó

ź

nie

ń

 czasowych. 

3.  Centraln

ą

  kategori

ę

  omówionych  modeli  stanowi  równowaga  konkurencyjna  w  uj

ę

ciu 

walrasowskim.  

 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

18 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

Pytania kontrolne: 

1.  Przedstaw zało

Ŝ

enia modeli równowagi ogólnej. 

2.  Zdefiniuj stan równowagi ogólnej w rozumieniu Walrasa. 

3.  Posta

ć

 modelu decyzyjnego producentów w modelu Walrasa-Walda. 

4.  Co oznacza, 

Ŝ

e otrzymujemy w modelu Leontiefa-Walrasa jako rozwi

ą

zanie modelu wektor cen 

równowagi z dokładno

ś

ci

ą

 do struktury? 

5.  Podaj i zinterpretuj układ równa

ń

 bilansowych w modelu Walrasa-Patinkina. 

6.  W  jaki  sposób  w  modelu  Walrasa-Walda  i  Walrasa-Leontiefa  uwzgl

ę

dniane  s

ą

  technologie 

produkcji? 

7.  Jakie  implikacje  powoduje  uwzgl

ę

dnienie  zało

Ŝ

enia  o  niedosycie  konsumenta  w  modelu 

Walrasa-Patinkina?