Michał Marzantowicz, Wojciech Wróbel
Podstawy fizyki
Warszawa 2010
Michał Marzantowicz, Wojciech Wróbel
Podstawy fizyki
Warszawa 2010
Politechnika Warszawska
Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych
Kierunek "Edukacja techniczno informatyczna"
02-524 Warszawa, ul. Narbutta 84, tel 22 849 43 07, 22 234 83 48
ipbmvr.simr.pw.edu.pl/spin/, e-mail:
sto@simr.pw.edu.pl
Opiniodawca: prof. dr hab. Władysław Bogusz
Projekt okładki: Norbert SKUMIAŁ, Stefan TOMASZEK
Projekt układu graficznego tekstu: Grzegorz LINKIEWICZ
Skład tekstu: Janusz BONAROWSKI, Michał MARZANTOWICZ,
Wojciech WRÓBEL
Publikacja bezpłatna, przeznaczona jest dla studentów kierunku
"Edukacja techniczno informatyczna"
Copyright © 2010 Politechnika Warszawska
Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany
ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych,
kopiujących, nagrywających i innych bez pisemnej zgody posiadacza praw
autorskich.
ISBN 83-89703-56-4
Druk i oprawa: Drukarnia Expol P. Rybiński, J. Dąbek Spółka Jawna,
87-800 Włocławek, ul. Brzeska 4
Spis treści
Wstęp ..................................................................... 7
1. Czym jest fizyka?
Wielkości fizyczne , jednostki i
wzorce......................... ...................................... 9
1.1. Czym jest fizyka? ....................................................................... 10
1.2. Jednostki podstawowe ................................................................ 12
1.3. Miano jednostek wielkości pochodnych..................................... 14
1.4. Rachunek mian, operacje na jednostkach wielkości fizycznych 15
2. Opis ruchu ........................................................ 21
2.1. Układ odniesienia i układ współrzędnych .................................. 22
2.2. Przemieszczenie i droga ............................................................. 23
2.3. Prędkość ..................................................................................... 24
2.4. Przyspieszenie ............................................................................ 26
3. Dynamika ......................................................... 31
3.1. Zasady dynamiki Newtona ......................................................... 32
3.2. Zasada zachowania pędu ............................................................ 35
4. Praca i energia.................................................. 41
4.1. Praca ........................................................................................... 42
4.2. Pole sił zachowawczych i niezachowawczych........................... 48
4.3. Pole sił grawitacyjnych............................................................... 49
4.4. Ruch po okręgu........................................................................... 53
4.5. Energia potencjalna sił sprężystości ........................................... 59
4.6. Energia kinetyczna ..................................................................... 60
4.7. Zasada zachowania energii mechanicznej .................................. 62
4.8. Zderzenia .................................................................................... 64
5. Dynamika bryły sztywnej ................................. 67
5.1. Bryła sztywna ............................................................................. 68
Strona
4
4
4
4
5.2. Równanie ruchu bryły sztywnej........................................ 72
5.3. Zasada zachowania momentu pędu ............................................ 74
5.4. Energia ruchu obrotowego.......................................................... 75
6. Ruch drgający................................................... 79
6.1. Drgania harmoniczne.................................................................. 80
6.2. Drgania tłumione ........................................................................ 86
6.3. Drgania wymuszone z tłumieniem ............................................. 90
7. Stany skupienia materii.................................... 93
7.1. Ciało stałe ................................................................................... 94
7.2. Płyny........................................................................................... 95
7.3. Inne stany materii ....................................................................... 95
7.4. Przejścia między stanami – przemiany fazowe .......................... 97
8. Hydrostatyka i hydrodynamika ...................... 101
8.1. Hydrostatyka............................................................................. 102
8.2. Hydrodynamika ........................................................................ 108
9. Termodynamika.............................................. 117
9.1. Temperatura, zerowa zasada termodynamiki ........................... 118
9.2. Równanie stanu gazu doskonałego........................................... 120
9.3. Ciepło i praca termodynamiczna .............................................. 121
9.4. Przemiany termodynamiczne ................................................... 127
9.5. Teoria kinetyczno-molekularna gazów .................................... 134
9.6. Równanie stanu gazu rzeczywistego ........................................ 138
9.7. Cykle gazowe ........................................................................... 139
9.8. Entropia .................................................................................... 146
9.9. Właściwości termiczne materii................................................. 149
10. Elektrostatyka .............................................. 157
10.1. Ładunek elektryczny............................................................... 158
10.2. Prawo Coulomba .................................................................... 159
10.3. Natężenie pola elektrycznego ....................................... 161
10.4. Energia i potencjał w polu elektrycznym ............................... 166
10.5. Prawo Gaussa ......................................................................... 168
Strona
5
5
5
5
10.6. Pojemność elektryczna przewodnika...................................... 174
10.7. Dielektryki.............................................................................. 179
11. Prąd elektryczny........................................... 187
11.1. Natężenie prądu elektrycznego............................................... 188
11.2. Prawo Ohma ........................................................................... 189
11.3. Praca i moc prądu elektrycznego............................................ 195
11.4. Obwody elektryczne............................................................... 196
Strona
6
6
6
6
Wstęp
Niniejsze materiały zostały opracowane w ramach realizacji Programu
Rozwojowego Politechniki Warszawskiej współfinansowanego ze środ-
ków PROGRAMU OPERACYJNEGO KAPITAŁ LUDZKI. Przezna-
czone są dla studentów pierwszego roku studiów inżynierskich kierunku
nauczania „Edukacja techniczno-informatyczna” prowadzonych na Wy-
dziale Samochodów i Maszyn Roboczych Politechniki Warszawskiej.
Niniejsze opracowanie przygotowano dla przedmiotu pt. „Podstawy
fizyki”. Jego zawartość merytoryczna w pełni odpowiada zakresowi opi-
sanemu w sylabusie opracowanym dla tego przedmiotu.
Skrypt stanowi pierwszą część opracowanych materiałów dydaktycz-
nych i dotyczy zagadnień omawianych podczas pierwszego semestru
wykładów z ww. przedmiotu. Opracowane zagadnienia podzielone zo-
stały na 11 rozdziałów.
Rozdział 1 wprowadza pojęcie wielkości fizycznych, ich jednostek oraz
operacji na tych jednostkach.
Rozdział 2 został poświęcony opisowi ruchu ciał w różnych układach
współrzędnych za pomocą takich wielkości fizycznych jak przemiesz-
czenie, prędkość czy przyspieszenie.
W rozdziale 3 omówione zostały zasady dynamiki Newtona oraz zasada
zachowania pędu.
W rozdziale 4 wprowadzone są pojęcia pracy oraz energii. Rozważane są
różne formy energii (energia potencjalna i kinetyczna) oraz zasada za-
chowania energii.
Rozdział 5 dotyczy zagadnień z zakresu dynamiki bryły sztywnej takich
jak równanie ruchu bryły sztywnej, zasada zachowania momentu pędu
czy energia ruchu obrotowego.
Rozdział 6 został poświęcony zagadnieniom drgań, w szczególności
drgań harmonicznych z uwzględnieniem wpływu tłumienia oraz
wymuszenia.
W rozdziale 7 omówione zostały różne stany skupienia materii – ciała
stałe, płyny oraz inne stany materii.
Strona
8
8
8
8
W rozdziale 8 przedstawione zostały podstawowe zagadnienia hydrosta-
tyki i hydrodynamiki w tym prawo Pascala, Arhimedesa oraz równanie
Bernouliego.
Rozdział 9 poświęcony jest termodynamice. Omówiony został gaz do-
skonały, jego równanie stanu oraz różne przemiany jakim może podle-
gać. Przedstawiono definicję ciepła oraz pracy termodynamicznej,
a także opis cykli i silników termodynamicznych. Omówiono również
podstawowe właściwości termiczne materii.
W rozdziale 10 omówione zostały takie zagadnienia elektrostatyki jak
Coulombowska siła oddziaływania elektrostatycznego, natężenie, poten-
cjał oraz energia pola elektrycznego czy pojemność elektryczna prze-
wodnika. Przedstawione zostało prawo Gaussa wraz z przykładami
stosowania go do wyznaczania natężenia pola elektrycznego. Rozdział
opisuje także właściwości elektryczne dielektryków.
Rozdział 11 dotyczy zagadnień z zakresu przepływu prądu elektryczne-
go. Podane zostało prawo Ohma, wyznaczona praca i moc prądu elek-
trycznego a także omówione podstawowe właściwości obwodów elek-
trycznych, w tym prawa Kirchhoffa.
1
Czym jest fizyka?
Wielkości fizyczne,
jednostki i wzorce
W tym rozdziale:
o
Czym jest fizyka?
o
Jednostki podstawowe
o
Miano jednostek wielkości podstawowych
o
Rachunek mian, operacje na jednostkach wielkości
fizycznych
o
Działania na wektorach
R
OZDZIAŁ
1
Strona
10
10
10
10
1.1. Czym jest fizyka?
Fizyka jest podstawową nauką ścisłą wywodzącą się z filozofii. Ślad
tego faktu, że fizyka była działem filozofii – filozofią przyrody –
znajdujemy w tytule słynnego dzieła Izaaka Newtona, stanowiącego
fundament nowożytnej fizyki: ”Principia mathematica philosophiae
naturalis” (1686 r.), co może być przetłumaczone jako „Zasady
matematyczne filozofii przyrody”.
Fizyka jest nauką ścisła i empiryczną, czyli opartą na doświadczeniu
ponieważ:
• Używa wielkości fizycznych dokładnie zdefiniowanych.
W definicji wielkości fizycznej zawarte są informacje doty-
czące jej pomiaru. Wielkością fizyczną jest każda wielkość,
która daje się mierzyć czyli porównywać ze wzorcem jed-
nostki tej wielkości
• Stosuje opis matematyczny zjawisk („matematyka jest języ-
kiem fizyki”)
• Prawa fizyczne formułuje na podstawie doświadczeń
Przez doświadczenie (eksperyment) fizyczny rozumiemy zjawisko prze-
prowadzone w możliwie uproszczonych i nadających się do analizy
warunkach laboratoryjnych z eliminacją zjawisk ubocznych zakłócają-
cych zjawisko badane. Podstawowym działaniem w doświadczeniach są
właśnie pomiary wielkości fizycznych.
Fizyka opiera się na pewnej minimalnej liczbie praw podstawowych
o charakterze pewników, aksjomatów, które w fizyce nazywamy zasada-
mi. Czasami mówi się o nich, ze są to „prawa pierwsze”. Oznacza to, że
nie odkryto praw bardziej podstawowych, które umożliwiłyby wyprowa-
dzenie tych zasad. Słuszność zasad wynika tylko z doświadczeń i jest
uogólnieniem dużej liczby eksperymentów. Klasycznymi przykładami
zasad są zasady dynamiki Newtona. Natomiast inne szczegółowe prawa
fizyczne (np. prawo Ohma lub prawo indukcji elektromagnetycznej
Faradaya) wyprowadzamy z zasad fizyki za pomocą modeli fizycznych
opisywanych zjawisk.
C
ZYM JEST FIZYKA
? W
IELKOŚCI FIZYCZNE
,
JEDNOSTKI I WZORCE
Strona
11
11
11
11
Istnienie zasad i praw szczegółowych powoduje wzajemne powiązanie
wielkości fizycznych. Stąd z kolei wynika, że jest w fizyce pewna liczba
podstawowych wielkości fizycznych, a pozostałe wielkości są wielkoś-
ciami zależnymi, pochodnymi. W tej sytuacji wystarczy, iż wzorce jed-
nostek fizycznych stworzymy tylko dla wielkości podstawowych.
Ustalono, że są cztery podstawowe wielkości fizyczne: długość, masa,
czas i natężenie prądu. Stworzono zatem wzorce metra, kilograma, se-
kundy i ampera. Taki układ jednostek nazwano pierwotnie układem
MKSA od początkowych liter nazw wzorców. Z powodu tradycji i dla
wygody dodano jednak następnie przejściowo do układu jeszcze cztery
wielkości fizyczne mimo, iż można by je określić przez te pierwsze
cztery wielkości podstawowe. Są to: temperatura (w kelwinach), licz-
ność materii (w molach), jasność źródeł promieniowania (w kandelach)
i kąt płaski (w radianach). W ten sposób powstał układ jednostek
złożony z ośmiu wzorców jednostek wielkości fizycznych wymienio-
nych wyżej, nazywany układem SI (od fr. Systeme International). Wy-
magania postawione wzorcom jednostek dotyczą maksymalnej dokład-
ności i powszechności, uniwersalności. Ta druga własność ma polegać
na tym, by wzorzec mógł być z równą dokładnością odtwarzalny we
wszystkich laboratoriach na świecie. Ma to zapewnić możliwość
porównywania wyników doświadczeń różnych laboratoriów a przez to
możliwość sprawdzania powtarzalności pomiarów, co ma decydujące
znaczenie przy tworzeniu praw fizycznych.
Jednostki pochodnych wielkości fizycznych są tworzone w oparciu o de-
finicje tych wielkości i istniejące związki tych wielkości z wielkościami
podstawowymi ustalone prawami fizyki. Jako przykład ustalmy jednost-
kę i sposób pomiaru prędkości chwilowej. Powołamy się tu na definicję
prędkości chwilowej, która będzie uzasadniona w dalszej części skryptu:
∆t
∆x
0
∆t
→
= lim
v
(1.1)
Ta matematyczna definicja wskazuje, że aby wyznaczyć prędkość chwi-
lową obiektu trzeba mierzyć odcinki przesunięcia ∆x tego obiektu
odpowiadające jak najkrótszym odcinkom czasu ∆t (dążącym do zera)
i dzielić je przez siebie. Jest więc w definicji wskazówka pomiarowa
i wiemy już, że jednostką prędkości będzie m/s.
R
OZDZIAŁ
1
Strona
12
12
12
12
1.2. Jednostki podstawowe
Jednostką długości jest metr [m]. Metr jest to odległość, jaką pokonuje
ś
wiatło w próżni w czasie 1/299 792 458 s.
Jednostką czasu jest sekunda [s]. Sekunda jest definiowana za pomocą
tzw. zegara atomowego jako 9 192 631 770 okresów drgań określonego
promieniowania atomu cezu 133Cs w temperaturze 0 K.
Jednostką masy jest kilogram [kg]. Wzorzec kilograma, wykonany ze
stopu platynowo-irydowego znajduje się w Sevres pod Paryżem. Kopie
tego wzorca zostały rozesłane do instytutów miar i wag poszczególnych
państw. Obecnie dąży się do opracowania lepszej definicji, opartej na
masie atomowej.
Jednostką temperatury jest Kelwin [K]. Jeden kelwin odpowiada
1 / 273.16 temperatury termodynamicznej punktu potrójnego wody –
punktu, w którym współistnieją fazy ciekła (woda), stała (lód) i gazowa
(para wodna). Temperatura termodynamiczna jest zdefiniowana w odnie-
sieniu do tzw. zera absolutnego 0 K, która oznacza najniższą temperaturę
do jakiej możemy się dowolnie zbliżyć, ale jest nieosiągalna. Na po-
wszechnie stosowanej skali Celsjusza temperaturze punktu potrójnego
wody (273.16 K) odpowiada 0.01ºC.
W niniejszym skrypcie jako separator dziesiętny stosować
będziemy znak kropki, a nie przecinka.
Jednostką liczności materii jest jeden mol [mol]. Jest to liczność materii
układu zawierającego liczbę cząsteczek równą liczbie atomów w masie
12 gramów izotopu węgla
12
C. W jednym molu znajduje się ok.
6.0221415(10)·10
23
cząsteczek. Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra
(liczbą Avogadra). Ponieważ różne cząsteczki mają różną masę
równocześnie z licznością należy podać rodzaj cząsteczek (cząsteczki,
atomy, jony itp.) lub też zdefiniować masę molową jako masę jednego
mola danej substancji. W opisie materii używa się również masy
atomowej, która określa ile razy masa jednego atomu danego pierwiastka
chemicznego jest większa od jednostki zdefiniowanej jako 1 / 12 masy
izotopu węgla
12
C.
Jednostką światłości jest kandela [cd] i definiuje się ja jako strumień
energii (1 / 683 W/sr) wysyłany na sekundę w jednostkowy kąt prze-
strzenny – steradian. W definicji kandeli wykorzystuje się zielone świa-
C
ZYM JEST FIZYKA
? W
IELKOŚCI FIZYCZNE
,
JEDNOSTKI I WZORCE
Strona
13
13
13
13
tło monochromatyczne o długości 540 nm, dla której to długości ludzkie
oko charakteryzuje się największą czułością.
Jednostką natężenia prądu elektrycznego jest amper [A]. Prąd
elektryczny jest uporządkowanym ruchem nośników ładunku elektrycz-
nego. Natężenie prądu definiujemy jako stosunek wartości ładunku elek-
trycznego, który przepływa przez przewodnik w jednostce czasu. Z defi-
nicji tej wynika jednostka natężenia prądu – amper – 1A=1C/s (ku-
lomb/sekunda). Wzorzec pomiarowy jednego ampera definiujemy w na-
stępujący sposób. Jeżeli w dwóch równoległych, prostoliniowych,
nieskończenie długich przewodach, umieszczonych w próżni w odleg-
łości 1 m od siebie będzie płynął stały prąd o natężeniu jednego ampera
(1A), to spowoduje on wzajemne oddziaływanie przewodów z siłą
równą 2·10
-7
N na każdy metr długości przewodu.
Jako jednostek uzupełniających w układach opisywanych współrzęd-
nymi kątowymi używa się:
• radiana na oznaczenie kąta płaskiego [rad]. Kąt pełny wy-
nosi 2π radianów. Wartość kąta może być również określana
w stopniach, ale w dalszej części tego skryptu jako miarę
kąta przyjmować będziemy radiany.
• steradiana na oznaczenie kąta bryłowego [sr]. Kąt pełny
wynosi 4π sr.
R
OZDZIAŁ
1
Strona
14
14
14
14
1.3. Miano jednostek wielkości
pochodnych
Tabela 1.1. Jednostki wielkości
pochodnych układu SI.
Według rozporządzenia Rady Ministrów z dnia 30 listopada 2006r w
sprawie legalnych jednostek miar
Wszystkie wielkości fizyczne mogą być opisane za pomocą jednostek
wielkości podstawowych. Dla wygody i prostoty zapisu wprowadzone
zostały jednak jednostki wielkości pochodnych. Przykładowo, opisując
siły działające w wybranym układzie moglibyśmy za każdym razem
podawać jednostkę siły jako kg m/s
2
, ale prościej i wygodniej jest ozna-
czyć tę jednostkę symbolem N (1 Newton). W Tabeli 1 przedstawione są
definicje przykładowych jednostek wielkości pochodnych tzw. mian
wielkości pochodnych
C
ZYM JEST FIZYKA
? W
IELKOŚCI FIZYCZNE
,
JEDNOSTKI I WZORCE
Strona
15
15
15
15
1.4. Rachunek mian, operacje
na jednostkach wielkości
fizycznych
Wielkości skalarne i wektorowe
Wielkości fizyczne dzielimy na skalary i wektory. Wielkości skalarne
mają jedynie wartość. Przykładem takich wielkości są energia, masa,
czas czy ładunek elektryczny. Wielkości wektorowe oprócz wartości
(modułu) posiadają również kierunek i zwrot. Przykładem mogą być
tutaj siła, prędkość czy pęd. W układzie współrzędnych wektor opisuje-
my podając jego składowe czyli rzuty tego wektora na osie układu
współrzędnych. Przykładowo
(
)
k
4
j
2
i
3
3,2,4
r
r
r
r
+
+
=
=
v
oznacza wek-
tor prędkości o składowych:
3
x
=
v
– w kierunku x czyli wzdłuż werso-
ra
i
r
(wektora jednostkowego);
2
v
y
=
– w kierunku y, wzdłuż wersora
j
r
;
4
z
=
v
w kierunku z, wzdłuż wersora
k
r
.
Działania na wektorach
Podstawowe działania na wektorach, jakie będziemy wykorzystywać to
dodawanie, odejmowanie i mnożenie
Mnożenie
W wyniku mnożenia wektora
b
r
przez skalar,
b
c
a
r
r
=
, otrzymujemy
wektor
a
r
, którego kierunek jest zgodny z kierunkiem wektora
b
r
, zaś
jego długość jest iloczynem długości wektora b oraz wielkości skalarnej
c ;
b
c
a =
. W przypadku, gdy c < 0 to zwrot wektora
a
r
jest przeciwny
niż
b
r
. To samo działanie możemy wykonać na składowych wektora.
Przykładowo jeśli wektor
(
)
1,3,5
b =
r
wymnożymy skalarnie przez 3,
otrzymujemy
(
)
3,9,15
5
3
k
3
3
j
1
3
i
b
3
a
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
=
r
r
r
r
r
R
OZDZIAŁ
1
Strona
16
16
16
16
Rysunek 1.1. Dodawanie wektorów na płaszczyźnie a) i mnożenie
wektorowe wektorów b)
Dodawanie i odejmowanie wektorów
Dodawanie wektorów można przeprowadzić graficznie (rysunek 1.1) lub
przez dodanie składowych określających wektory w wybranym układzie
współrzędnych. Suma dwóch wektorów jest również wektorem. Podob-
nie jak poprzednio, działanie dodawania można wykonać również na
składowych wektorów. Przykładowo, dodając do siebie wektory
(
)
1
0,2,
a
−
=
r
,
(
)
1,3,5
b =
r
i
(
)
2,3,0
c
−
=
r
otrzymujemy wektor
[
] [
]
[
]
(
)
1,8,4
0
5
1
k
3
3
2
j
2
1
0
i
d
−
=
+
+
−
+
+
+
+
−
+
=
r
r
r
r
Odejmowanie wektorów przeprowadzamy podobnie – jeśli wykonujemy
operację
b
a
r
r
−
, to do wektora
a
r
dodajemy wektor
b
r
−
, czyli wektor
o identycznej długości i kierunku co
b
r
, ale o przeciwnym zwrocie.
Odejmowanie nie jest przemienne tzn. działanie
a
b
r
r
−
daje wektor
o przeciwnym zwrocie niż działanie
b
a
r
r
−
. Przykładowo, odejmując od
wektora
(
)
1
0,2,
a
−
=
r
wektor
(
)
1,3,5
b =
r
otrzymujemy wektor
(
)
6
1,
1,
c
−
−
−
=
r
, a wykonując działanie
a
b
r
r
−
otrzymujemy wektor
(
)
1,1,6
c =
r
Iloczyn skalarny wektorów
Iloczyn skalarny
b
a
c
r
r
⋅
=
jest iloczynem długości wektora
a
r
oraz rzutu
wektora
b
r
na wektor
a
r
. Iloczyn skalarny możemy zapisać inaczej jako
C
ZYM JEST FIZYKA
? W
IELKOŚCI FIZYCZNE
,
JEDNOSTKI I WZORCE
Strona
17
17
17
17
α
cos
b
a
b
a
c
=
⋅
=
r
r
(1.2)
gdzie α jest kątem między wektorami
a
r
i
b
r
. Przykładem mnożenia
skalarnego jest praca będąca iloczynem przesunięcia oraz rzutu siły
wywołującej przesunięcie na kierunek tego przesunięcia. Iloczyn skalar-
ny uzyskuje maksymalną wartość gdy wektory są do siebie równoległe,
natomiast dla wektorów prostopadłych wartość iloczynu skalarnego
równa jest zeru.
Iloczyn wektorowy wektorów
Wynikiem iloczynu wektorowego dwóch wektorów (
b
a
c
r
r
r
×
=
) jest
wektor. Długość tego wektora możemy obliczyć ze wzoru
α
sin
ab
c =
(1.3),
gdzie
α
jest kątem między wektorami
a
r
i
b
r
. Kierunek tego wektora jest
prostopadły do płaszczyzny, w której leżą wektory
a
r
oraz
b
r
. Zwrot
wektora
c
r
określa reguła śruby prawoskrętnej – jeśli będziemy kręcić
ś
rubą od wektora
a
r
do wektora
b
r
po najmniejszym kącie, to kierunek
ruchu postępowego śruby wyznacza zwrot wektora będącego iloczynem
wektorowym
b
a
c
r
r
r
×
=
. Przykładem iloczynu wektorowego jest moment
siły
F
r
M
r
r
r
×
=
– mnożąc wektorowo wektor
r
r
, określający położenie
punktu zaczepienia siły względem osi obrotu, oraz wektor siły
F
r
, otrzy-
mujemy wektor momentu siły
M
r
prostopadły do płaszczyzny, w której
oba wektory się znajdują.
Iloczyn wektorowy uzyskuje wartość maksymalną gdy wektory
a
r
i
b
r
są do siebie prostopadłe (
α
= π/2). Gdy wektory są równoległe (
α
= 0)
ich iloczyn wektorowy jest równy zeru.
Mnożenie wektorowe nie jest przemienne – w wyniku mnożenia wekto-
rowego
a
b
r
r
×
dostaniemy wektor o identycznej wartości i kierunku co
b
a
r
r
×
, ale o przeciwnym zwrocie.
Algebraicznie iloczyn dwóch wektorów możemy przedstawić w postaci
macierzy:
R
OZDZIAŁ
1
Strona
18
18
18
18
z
y
x
z
y
x
b
b
b
a
a
a
k
j
i
b
a
r
r
r
r
r
=
×
(1.4)
Po przekształceniach otrzymujemy:
[
]
x
y
y
x
x
z
z
x
y
z
z
y
b
a
b
a
,
b
a
b
a
,
b
a
b
a
b
a
−
+
−
−
=
×
r
r
(1.5)
Rzuty wektorów
Rozkładanie wektorów na składowe, czyli rzutowanie wektora na wybra-
ne osie jest procedurą odwrotną do dodawania wektorów pozwalającą
wyznaczyć składowe wektora w wybranych kierunkach.
Jeżeli rozpatrzymy wektor
a
r
na płaszczyźnie dwuwymiarowej,
tworzący kąt
α
z wyróżnioną prostą, składowa równoległa do tej prostej
wynosi
α
cos
a
a
=
II
(dla
α
= 0 wartość tej składowej wynosi
a
a
=
II
,
a dla
α
= π/2 wynosi
0
a
=
II
) zaś składowa prostopadła
α
sin
a
a
=
⊥
Przykład
Rozłóż siłę grawitacji działającą na ciało znajdujące się na powierzchni
równi o kącie nachylenia
α
na składową prostopadłą i równoległą do
powierzchni równi.
Siła ciężkości (
mg
F
c
=
) skierowana pionowo w dół może być składo-
wą równoległą i prostopadłą do równi (Rysunek. 1.2.). Ze względu na
podobieństwo trójkątów kąt
α
tworzący równię będzie również występo-
wał między siłą ciężkości i jej składowymi. Składowa siły ciężkości
równoległa do powierzchni równi (siła ściągająca ciało) wynosi więc
α
sin
mg
F
II
=
, a składowa prostopadła będąca siłą nacisku ciała na
równię
α
cos
mg
F
=
⊥
C
ZYM JEST FIZYKA
? W
IELKOŚCI FIZYCZNE
,
JEDNOSTKI I WZORCE
Strona
19
19
19
19
Rysunek 1.2. Rozłożenie siły ciężkości działającej na ciało
na powierzchni równi na składowe
R
OZDZIAŁ
1
Strona
20
20
20
20
2
Opis ruchu
W tym rozdziale:
o
Układ odniesienia i układ współrzędnych
o
Przemieszczenie i droga
o
Prędkość
o
Przyspieszenie
R
OZDZIAŁ
2
Strona
22
22
22
22
2.1. Układ odniesienia i układ
współrzędnych
Opisując położenie obiektu musimy określić układ odniesienia, czyli po-
wiedzieć względem jakiego punktu będziemy opisywać położenie tego
obiektu. Na przykład opisując położenie samochodu zaparkowanego na
ulicy między dwoma skrzyżowaniami przyjmujemy środek jednego ze
skrzyżowań jako układ odniesienia. Poza precyzyjnym określeniem
względem jakiego punktu będziemy opisywać położenie samochodu
istotne jest również zdefiniowanie układu współrzędnych. W zależności
od tego, w którą stronę będziemy zwróceni stojąc na skrzyżowaniu, nasz
samochód może być przed lub za nami, z prawej lub lewej strony. Po
zdefiniowaniu okładu odniesienia oraz układu współrzędnych położenie
obiektu określamy podając jego odległość od osi układu współrzędnych.
Rozpatrzmy samochód zaparkowany na ulicy, stojący w odległości 20m
od skrzyżowania. Samochód jest obiektem przestrzennym, ale w przy-
padku, gdy nie interesuje nas jak jest on zaparkowany (równolegle czy
prostopadle) możemy zastąpić go punktem materialnym znajdującym się
w środku samochodu o masie równej masie całego samochodu. Jeśli
interesuje nas jedynie odległość miejsca zaparkowania od skrzyżowania
mierzona wzdłuż ulicy (rysunek 2.1 a.), wybrany układ odniesienia ma
tylko jeden wymiar ( x ). Jeżeli za początek układu przyjmiemy środek
skrzyżowania, wówczas położenie samochodu można opisać: r = 20.
Załóżmy teraz, że chcemy dokładniej opisać położenie samochodu (środ-
ka masy samochodu) – będzie nas interesować nie tylko odległość mie-
rzona wzdłuż ulicy, ale również położenie względem środka ulicy (czy
samochód zaparkowany jest tuż przy krawężniku czy na środku jezdni).
W takim przypadku wprowadzimy dwuwymiarowy układ współrzęd-
nych. Jeżeli przyjmiemy szerokość jezdni równą 4m oraz ponownie za
początek układu współrzędnych przyjmiemy środek skrzyżowania, to
ś
rodek samochodu zaparkowanego przy chodniku będzie się znajdował
w odległości 3m od osi jezdni (rysunek 2.1a). Współrzędne zaparkowa-
nego samochodu wynoszą więc x = 20 i y = −3 a jego położenie możemy
opisać wektorem
3)
(20, −
=
r
r
.
Gdybyśmy natomiast chcieli opisać położenie środka masy samochodu
z uwzględnieniem wysokości względem drogi potrzebna będzie trzecia
współrzędna z i trójwymiarowy układ współrzędnych. Przyjmując po-
O
PIS RUCHU
Strona
23
23
23
23
nownie za początek układu współrzędnych środek skrzyżowania, zakła-
dając, że ulica jest pozioma oraz że środek masy samochodu znajduje się
pół metra nawierzchnią ulicy otrzymujemy wektor położenia środka ma-
sy samochodu:
3,0.5)
(20,
r
−
=
r
.
Rysunek 2.1. Opis położenia samochodu:
a) z lewej – w układzie kartezjańskim dwuwymiarowym,
b) z prawej – w układzie biegunowym dwuwymiarowym
Warto zauważyć, że zdefiniowany w powyższym przykładzie układ
współrzędnych jest układem prostokątnym (osie są wzajemnie prostopa-
dłe). Taki układ nazywany jest również układem kartezjańskim. W pew-
nych przypadkach znacznie wygodniejszy niż układ kartezjański jest
tzw. układ biegunowy. W układzie tym położenie obiektu wyznacza
współrzędna radialna r oraz kąt α pod jakim widać obiekt względem
wyróżnionego kierunku. Gdyby samochód został zaparkowany w dziel-
nicy o gwiaździstym układzie ulic (w Warszawie przykładem takiej za-
budowy są Stary Żoliborz czy okolice gmachu głównego Politechniki
Warszawskiej) jego położenie można by określić podając odległość od
ś
rodka ronda oraz kąt (rysunek 2.1 b.).
2.2. Przemieszczenie i droga
Przemieszczenie
obiektu
r
∆
r
definiujemy jako zmianę jego położenia,
czyli różnicę wektora opisującego położenie końcowe
k
r
r
oraz początko-
we
p
r
r
obiektu:
p
k
r
r
r
∆
r
r
r
−
=
(2.1)
R
OZDZIAŁ
2
Strona
24
24
24
24
Widzimy że tak zdefiniowany wektor zależy jedynie od początkowego
i końcowego położenia ciała, a nie od toru wzdłuż którego ciało się poru-
sza. Wektor przemieszczenia nie określa toru po jakim ciało się prze-
mieszcza z położenia początkowego do końcowego. Dlatego w opisie
ruchu ciała często wyznaczamy drogę przebytą przez ciało, oznaczaną
symbolem s, która jest równa długości toru, po którym ciało się porusza.
W odróżnieniu od wektora przemieszczenia, droga jest wielkością
skalarną.
2.3. Prędkość
Kolejnym parametrem, określającym stan ruchu ciała, jest jego pręd-
kość
v
r
. Prędkość średnią obiektu można zdefiniować na dwa sposoby.
Prędkość średnią definiujemy jako przemieszczenie obiektu,
które nastąpiło na jednostkę czasu:
∆t
r
∆
r
r
=
v
(2.2)
Tak wyrażona wielkość jest wektorem i zawiera informację o kierunku
ruchu obiektu. Warto jednak zauważyć, że jeśli ruch nie odbywa się
wzdłuż prostej, wartość wektora średniej prędkości będzie znacznie od-
biegać od rzeczywistej prędkości obiektu.
Prędkość średnią można również definiować za pomocą drogi pokonanej
przez ciało w określonym czasie:
∆t
∆s
=
v
(2.3)
Wyliczona w ten sposób średnia prędkość obiektu jest skalarem i dobrze
oddaje wartość średniej prędkości obiektu zarówno w przypadku ruchu
prostoliniowego, jak i krzywoliniowego. Nie zawiera jednak informacji
o kierunku ruchu.
Dobrym przykładem pozwalającym zrozumieć definicję prędkości jest
ruch windy w pionowym szybie. Załóżmy, że winda potrzebowała n
sekund, żeby przemieścić się z parteru na wysokość x [m]. Dla wygody
początek układu współrzędnych umieścimy na wysokości równej
O
PIS RUCHU
Strona
25
25
25
25
wysokości środka masy windy, a zwrot osi – oznaczonej jako x −
skierujemy do góry. W takim przypadku długość wektora przemieszcze-
nia jest równa przebytej przez ciało drodze, i niezależnie od wyboru
jednej z dwu powyższych definicji otrzymamy identyczną wartość
prędkości:
t
x
v
∆
∆
=
(2.4)
Rysunek 2.2. Wyznaczanie średniej prędkości ciała
Na rysunku 2.2 przedstawiony został wykres położenia ciała w funkcji
czasu. Wyznaczając średnią prędkość ruchu tego ciała rysujemy cięciwę
łączącą punkt początkowy oraz końcowy na tym wykresie a następnie
wyznaczamy kąt nachylenia tej cięciwy. Tangens tego kąta nachylenia
równy będzie co do wartości stosunkowi długości odcinków ∆x oraz ∆t
i definiuje średnią prędkość ciała.
Tak uzyskana wartość prędkości średniej nie zawiera jednak pełnej in-
formacji o prędkości windy – początkowo winda znajduje się w spo-
czynku, następnie jej prędkość się zwiększa, na odcinku między piętrami
pozostaje stała, a na najwyższym piętrze prędkość zmniejsza się aż do
zatrzymania windy. Pełniejsze dane dotyczące prędkości w poszcze-
gólnych stadiach ruchu możemy otrzymać, dzieląc wykres na mniejsze
odcinki. W ten sposób wyliczamy średnią prędkość windy w czasie ru-
szania z miejsca, średnią prędkość windy pomiędzy piętrami i średnią
prędkość w trakcie hamowania. Podobnie jak poprzednio, wartość śred-
niej prędkości wyliczonej dla danego odcinka jest równa tangensowi
kąta nachylenia krzywej, wyliczonemu dla danego odcinka. Warto zwró-
R
OZDZIAŁ
2
Strona
26
26
26
26
cić uwagę, że dla odcinka między piętrami, gdzie prędkość jest stała, ob-
liczona średnia prędkość jest równa rzeczywistej prędkości windy.
Zgodnie z równaniem 2.3 wyznaczając prędkość średnią ciała rozpatru-
jemy drogę ∆s jaką ciało to pokona w czasie ∆t. Jeżeli rozpatrywane
odstępy czasowe będą nieskończenie krótkie, czyli ∆t→0 co oznaczamy
symbolem dt, wówczas wyznaczona w ten sposób prędkość będzie
prędkością chwilową ciała. Dla takich infinitezymalnych przedziałów
czasowych wartość przemieszczenia ciała oraz droga przebyta przez to
ciało są sobie równe a prędkość chwilową możemy zdefiniować:
d
d
lim
0
t
r
t
r
v
t
r
r
r
=
∆
∆
=
→
∆
(2.5)
Ze wzoru 2.5 wynika, że prędkość chwilowa jest równa pochodnej wek-
tora położenia po czasie liczonej dla danej chwili. Geometryczna inter-
pretacja pochodnej to tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu
w danym punkcie. Tak więc, żeby wyznaczyć prędkość chwilową należy
na wykresie drogi przebytej w funkcji czasu narysować styczną do tej
krzywej w interesującym nas punkcie. Im szybciej będzie się zmieniało
położenie ciała, tym bardziej stromy będzie wykres położenia w funkcji
czasu i w efekcie większa wartość prędkości chwilowej.
2.4. Przyspieszenie
Przyspieszenie chwilowe ciała definiujemy jako pochodną prędkości po
czasie. Przyspieszenie opisuje więc tempo zmian prędkości w danej
chwili ruchu i wyraża się w m/s
2
.
2
2
d
d
d
)
d
d
d(
d
)
(
d
t
s
t
t
s
t
t
v
a
=
=
=
(2.6)
Podobnie jak w przypadku prędkości chwilowej, przyspieszenie chwilo-
we jest równe tangensowi kąta nachylenia krzywej określającej zależ-
ność prędkości od czasu, obliczonemu dla danej chwili ruchu. Przeanali-
zujmy jeszcze raz omawiany wcześniej ruch windy wykreślając zależ-
ność prędkości windy od czasu. Kiedy winda rusza z miejsca i jej
prędkość jednostajnie narasta to styczna do tej krzywej będzie taka sama
w każdym punkcie, a więc otrzymujemy stałą, dodatnią wartość przy-
spieszenia. Na odcinku pomiędzy piętrami wartość prędkości windy nie
O
PIS RUCHU
Strona
27
27
27
27
zmienia się, a więc kąt nachylenia krzywej prędkości względem osi
czasu wynosi zero – wartość przyspieszenia jest również zerowa. Kiedy
winda hamuje, wykres prędkości od czasu jest liniowy, a jego nachylenie
przyjmuje wartość ujemną – zatem i przyspieszenie jest ujemne
(opóźnienie).
Wykresy przyśpieszenia, prędkości oraz położenia od czasu dla oma-
wianej windy przedstawione są na rysunku 2.3. Droga przebyta przez
windę w początkowym etapie ruchu jest proporcjonalna do kwadratu
czasu i może być wyrażona zależnością typu s = kt
2
, gdzie k wyraża
pewien stały współczynnik. Pochodna takiej funkcji jest funkcją liniową
co oznacza, że prędkość windy rośnie liniowo w funkcji czasu. Podczas
jednostajnego hamowania droga pokonywana przez windę również
będzie opisana funkcją kwadratową, jednak w tym przypadku długość
odcinków pokonywanych przez nią w jednostce czasu będzie malała
z kwadratem czasu. W tym etapie ruchu prędkość również będzie się
zmieniała liniowo, ale tym razem prędkość będzie malała jednostajnie
w czasie. Pomiędzy piętrami nachylenie krzywej zależności drogi od
czasu jest wielkością stałą w każdej chwili czasu – zatem również
prędkość jest stała.
R
OZDZIAŁ
2
Strona
28
28
28
28
Rysunek 2.3. Wykres zależności czasowej położenia, prędkości
i przyśpieszenia poruszającej się w górę windy
Warto porównać otrzymane zależności ze znanymi wzorami opisującymi
ruch jednostajny i jednostajnie przyspieszony. W ruchu prostoliniowym
jednostajnie przyspieszonym przyspieszenie a ma wartość stałą –
prędkość wyraża się wzorem:
at
v
v
+
=
0
(2.7)
gdzie
0
v
– prędkość początkowa obiektu.
Pokonana przez ciało droga s wyraża się natomiast wzorem:
2
2
0
0
at
t
v
s
s
+
+
=
(2.8)
O
PIS RUCHU
Strona
29
29
29
29
gdzie s
0
oznacza drogę początkową. Jak łatwo zauważyć, wielkości te są
ze sobą powiązane zależnościami różniczkowymi – obliczając pochodną
drogi po czasie otrzymujemy prędkość, a obliczając z kolei pochodną
prędkości otrzymujemy przyspieszenie, które jest stałe.
R
OZDZIAŁ
2
Strona
30
30
30
30
3
Dynamika
W tym rozdziale:
o
Zasady dynamiki Newtona
o
Zasada superpozycji
o
Zasada zachowania pędu
R
OZDZIAŁ
3
Strona
32
32
32
32
3.1. Zasady dynamiki Newtona
Dynamika zajmuje się przyczynami zmian ruchu. Ilość tego ruchu lub
też stan ruchu danego ciała opisuje pęd. Pęd ciała jest proporcjonalny
zarówno do prędkości poruszającego się ciała jak i jego masy – im
szybciej ciało się porusza oraz im większą ma masę, tym większa ilość
ruchu związana jest z tym ciałem, czyli tym większy jest jego pęd.
Jednostką pędu jest kg m/s. Pęd jest wektorem, skierowanym zgodnie
z kierunkiem prędkości ciała
v
r
r
m
p
=
(3.1)
Dynamikę ruchu ciała, czyli przyczyny zmian pędu ciała wyjaśniają
zasady dynamiki Newtona
. Zasady dynamiki Newtona są prawami
pierwszymi, których nie można wyprowadzić ani udowodnić za pomocą
innych praw. Zasady dynamiki Newtona są ścisłym matematycznym
ujęciem powszechnych obserwacji dotyczących poruszających się
obiektów.
Druga zasada dynamiki Newtona
Nasze rozważania rozpoczniemy od II zasady dynamiki Newtona.
Wyobraźmy sobie, że chcemy rozpędzić ciężki wózek. Z codziennych
doświadczeń wynika, że taki sam efekt możemy osiągnąć w wyniku
krótkotrwałego, ale bardzo mocnego pchnięcia jak i długotrwałego popy-
chania wózka z niewielką siłą. Można również powiedzieć, że im więk-
sza jest wartość siły działającej na ciało oraz im dłużej ona działa, czyli
im większy jest popęd tej siły, tym większą zmianę pędu ona wywoła.
Zależność tę możemy zapisać w postaci:
t
F
d
p
d
v
r
=
(3.2)
Powyższy wzór można przekształcić i zapisać w postaci różniczkowej
(dla infinitezymalnie krótkiego przedziału czasowego dt ):
t
p
F
d
d
r
r
=
(3.3)
D
YNAMIKA
Strona
33
33
33
33
Miarą siły działającej na ciało jest pochodna jego pędu
po czasie.
Powyższe sformułowanie oraz równanie 3.3 jest współczesnym zapisem
II zasady dynamiki Newtona
.
Definicja siły za pomocą pochodnej pędu ciała po czasie oznacza, że
jeżeli wykreślimy zależność pędu ciała od czasu, to nachylenie stycznej
do krzywej obrazującej zmiany wartości pędu od czasu będzie propor-
cjonalne do wartości siły działającej na ciało.
Ż
eby dokładniej zrozumieć znaczenie II zasady dynamiki Newtona, wy-
liczmy teraz wartość pochodnej pędu po czasie pamiętając, że pęd jest
wielkością złożoną, tzn. zależy zarówno od masy jak i prędkości ciała:
(
)
v
t
m
m
t
v
t
m
v
F
d
d
d
d
d
d
+
=
=
(3.4)
Powyższe równanie jest tzw. różniczkowym równaniem ruchu ciała.
Pierwszy człon tego równania jest równy iloczynowi masy i przyśpiesze-
nia (pochodna prędkości po czasie). Widzimy zatem, że im większa jest
masa ciała, tym trudniej jest mu nadać przyśpieszenie – masa jest miarą
bezwładności ciała. Drugi człon równania opisuje przypadki kiedy
zmiana pędu następuje w wyniku zmiany masy ciała. Przykładem
takiego układu, w którym zmienia się masa może być rakieta. Podczas
startu z dysz rakiety wyrzucany jest strumień spalin, który wywołuje jej
ruch ale również zmniejsza masę całego obiektu. Dla układów których
masa nie zmienia się drugi człon równania 3.4 wynosi zero i różniczko-
we równanie ruchu można zapisać w postaci uproszczonej – siła F
działająca na ciało o masie m nadaje mu przyspieszenie a o kierunku
i zwrocie takim samym jak działająca siła:
a
m
F
r
r
=
(3.5)
Pierwsza zasada dynamiki Newtona
Rozpatrzmy teraz przypadek, kiedy pęd ciała jest stały, czyli jego pręd-
kość nie zmienia się w czasie. Wówczas wykres zależności pędu od
czasu jest linią poziomą, czyli kąt nachylenia tej krzywej i zarazem
tangens kąta stycznej do tej krzywej jest w każdym punkcie taki sam
i wynosi zero. Oznacza to, że pochodna pędu po czasie w każdej chwili
ruchu również wynosi zero. Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona
R
OZDZIAŁ
3
Strona
34
34
34
34
jeżeli pochodna pędu po czasie wynosi zero to wypadkowa siła
działająca na ciało również musi wynosić zero. Ten przypadek zachowa-
nia się ciała pod wpływem zerowej wypadkowej siły opisuje I zasada
dynamiki Newtona
:
Jeżeli na ciało nie działa żadna siła, albo siły działające równo-
ważą się to stan ruchu ciała nie ulega zmianie: jeśli poruszało
się prostoliniowo jednostajnie, to będzie nadal trwało w tym ru-
chu a jeśli było w spoczynku to nadal pozostaje w spoczynku.
Zasada ta nazywana jest również zasadą bezwładności – ciało nie jest
władne zmienić stanu swego ruchu jeżeli nie działa na nie siła.
Trzecia zasada dynamiki Newtona
Względem każdego działania (akcji) istnieje równe mu przeciw-
działanie (reakcja) skierowane przeciwnie, tj. wzajemne od-
działywania dwóch ciał są zawsze równe sobie i skierowane
przeciwnie.
Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona jeżeli jakieś ciało A działa na
ciało B pewną siłą, to również ciało B działa na ciało A siłą równą co do
wartości ale o przeciwnym zwrocie co zapisujemy:
A
na
B
B
na
A
F
F
r
r
−
=
(3.6)
Rozpatrzmy uderzenie ręką piłki siatkowej. W momencie uderzenia
działamy na piłkę siłą, która wywołuje jej ruch ale zgodnie z III zasadą
dynamiki Newtona
również piłka działa na naszą dłoń z tą samą siłą lecz
o przeciwnym zwrocie. Gdy odbijamy piłkę lekko, czyli działamy na nią
niewielką siłą również siła reakcji ma niewielką wartość, ale przy moc-
nym uderzeniu, czyli gdy działamy na piłkę z dużą siłą występuje równie
duża siła reakcji, którą odczuwamy jako ucisk czy nawet ból dłoni.
Zasada superpozycji
Opisując ruch ciał pod wpływem działających na nie sił należy pamiętać,
ż
e zarówno siła jak i pęd są wektorami. Szukając więc siły wypadkowej
z kilku sił składowych działających na ciało należy dodać wektorowo
wszystkie siły składowe. Zmiana pędu będzie następowała w tym
samym kierunku co ta wypadkowa siła. W przypadku gdy różniczkowe
D
YNAMIKA
Strona
35
35
35
35
równania ruchu dla każdego z kierunków, w których działają siły
składowe, są liniowe możemy skorzystać z zasady superpozycji. Zgod-
nie z zasadą superpozycji wypadkowe zachowanie ciała pod wpływem
kilku składowych sił może być opisane jako złożenie ruchów wywoła-
nych każdą z sił z osobna.
Zasadę superpozycji wykorzystamy do opisu ruchu ciała rzuconego
z prędkością początkową v
0
pod pewnym kątem α względem powierz-
chni Ziemi (rzut ukośny). Jeżeli chwilowo zaniedbamy opory powietrza
to na takie ciało będzie działała tylko siła grawitacji skierowana wzdłuż
osi pionowej ( y ). A więc tylko w kierunku pionowym będziemy obser-
wowali zmianę ruchu (zmianę pędu) ciała. W kierunku poziomym x
natomiast na ciało nie działa żadna siła a więc pęd się nie zmienia i ruch
jest jednostajny. Wypadkowy ruch ciała rzuconego ukośnie jest więc
złożeniem ruchu jednostajnie przyspieszonego w kierunku pionowym
(pod wpływem przyspieszenia g) oraz jednostajnego w kierunku pozio-
mym i może być opisany krzywą paraboliczną.
3.2. Zasada zachowania pędu
Rozpatrzmy układ odosobniony, w którym na ciała nie oddziałują żadne
siły zewnętrzne a jedynie siły wzajemnych oddziaływań. Zgodnie
z III zasadą dynamiki Newtona takie siły wzajemnych oddziaływań
między każdymi dwoma ciałami układu są identyczne co do wartości,
lecz mają przeciwne zwroty. Wypadkowa siła działająca na cały układ
jest wówczas zerowa a więc zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona
całkowity pęd układu nie zmienia się w czasie. Oznacza to, że jeżeli w
takim układzie odosobnionym nastąpi zmiana pędu jednego ciała o ∆p,
to pęd drugiego ciała (lub pozostałych ciał) musi również ulec zmianie
o taką samą wartość lecz o przeciwnym zwrocie (-∆p). W ten sposób
dochodzimy do zasady zachowania pędu, która może być zapisana
w następujący sposób:
W układzie odosobnionym całkowity pęd układu (suma pędów
wszystkich ciał) jest wielkością stałą.
0
p
∆
const.
p
p
i
i
=
=
=
∑
r
r
r
(3.7)
R
OZDZIAŁ
3
Strona
36
36
36
36
Ponieważ pęd jest wielkością wektorową w przypadku zdarzeń opisywa-
nych w więcej niż jednym wymiarze zasada zachowania pędu jest speł-
niona niezależnie dla każdego z kierunków. W trójwymiarowym ukła-
dzie kartezjańskim zasadę zachowania pędu można więc zapisać:
0
p
∆
0
p
∆
0
p
∆
z
y
x
=
=
=
(3.8)
Przykład 1
Zastosujmy najpierw zasadę zachowania pędu dla przykładu jednowy-
miarowego. Rozpatrzmy nieruchomy pocisk o masie m, który w wyniku
wybuchu ulega rozerwaniu na dwie części o masach 1/3m oraz 2/3m.
Większa część porusza się w prawo z prędkością
0
v
. Z jaką prędkością
i w którą stronę poruszać się będzie mniejsza część pocisku?
Ponieważ układ jest odosobniony, to zgodnie z zasadą zachowania pędu
całkowity pęd układu nie ulega zmianie. Czyli jeżeli pęd układu przed
wystrzałem wynosił zero (pocisk był nieruchomy), to również pęd koń-
cowy, będący sumą pędów obu części pocisku, będzie równy zeru.
Zasadę zachowania pędu w tym przypadku możemy zapisać:
v
m
v
m
3
1
0
3
2
0
+
=
(3.9)
0
2
v
v
−
=
(3.10)
Znak minus w powyższym wyniku oznacza, że wektor prędkości mniej-
szej części pocisku ma zwrot przeciwny do wektora prędkości większej
części pocisku.
D
YNAMIKA
Strona
37
37
37
37
Rysunek 3.1. Zderzenie dwóch kul
Przykład 2
Zastosujmy teraz zasadę zachowania pędu dla układu dwuwymiarowego.
Rozważmy zderzenie dwóch identycznych kul bilardowych o masie m
każda. W chwili początkowej kula B jest nieruchoma i uderza w nią kula
A poruszająca się wzdłuż osi x z prędkością
0
v
. W jakim kierunku
i z jaką prędkością będzie się poruszała po zderzeniu kula B, jeżeli po
zderzeniu kula A porusza się z prędkością
0
0.5
v
wzdłuż osi y, jak na
rysunku 3.1.
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, zakładamy że rozważany układ
jest układem odosobnionym, a więc całkowity pęd układu dwóch kul
przed i po zderzeniu jest taki sam. W szczególności składowe pędu
całkowitego układu w kierunku każdej z osi układu odniesienia również
nie zmieniają się. Przed zderzeniem w kierunku osi x całkowity pęd
układu był równy pędowi kuli A (tylko kula A porusza się w kierunku x
a kula B jest nieruchoma), natomiast po zderzeniu tylko prędkość kuli B
ma pewną składową wzdłuż osi x, a więc po zderzeniu pęd całkowity
układu w kierunku osi x jest równy składowej pędu kuli B. Zasadę
zachowania pędu dla kierunku x możemy zatem zapisać:
BX
B
0
A
x
koncowy
x
poczatkowy
m
m
p
p
v
v
=
=
(3.11)
R
OZDZIAŁ
3
Strona
38
38
38
38
W kierunku osi y pęd początkowy układu wynosi zero (żadna z kul nie
porusza się wzdłuż osi y), zaś pęd końcowy związany jest z kulą A
poruszającą się w górę w kierunku osi y oraz kulą B, której prędkość ma
składową o zwrocie przeciwnym niż oś y (składowa w dół). Zasadę
zachowania pędu dla kierunku y możemy więc zapisać:
By
B
Ay
A
y
koncowy
y
poczatkowy
m
m
0
p
p
v
v
−
=
=
(3.12)
Uwzględniając
α
cos
B
Bx
v
v
=
,
α
sin
B
By
v
v
=
,
0
Ay
0.5 v
v
=
oraz
przyjmując
m
m
m
B
A
=
=
układ równań 3.11 oraz 3.12 możemy
przekształcić do postaci:
=
⋅
⋅
=
α
α
sin
m
0.5
m
cos
m
m
B
0
B
0
v
v
v
v
(3.13)
a następnie wyznaczyć prędkość kuli B oraz kąt pod jakim poruszać się
będzie kula B:
=
=
=
4
,
tg
2
2
2
1
0
B
π
α
α
v
v
(3.14)
Kula B poruszać się więc będzie z prędkością
2
2
0
B
v
v
=
w prawo
i w dół, pod kątem π/4 względem osi x.
Zasada zachowania pędu jest wykorzystywana i pozwala wyjaśnić dzia-
łanie między innymi silników odrzutowych samolotów czy strumienio-
wych łodzi. W silniku odrzutowym powietrze jest najpierw zasysane do
komory silnika, w której ulega kompresji. W skompresowanym powie-
trzu następuje spalanie benzyny, a gorące spaliny opuszczają dyszę silni-
ka z dużą prędkością. Pęd wyrzucanych spalin wywołuje w tym przypad-
ku zmianę pędu silnika, a przez to całego samolotu. Konstrukcje innego
typu, wykorzystujące strumień rozpędzonych jonów (naładowanych czą-
stek), używane są do pozycjonowania satelitów i sond kosmicznych.
Silniki oparte na zasadzie odrzutu wykorzystywane są również w napę-
dzie skuterów wodnych i nowoczesnych łodzi podwodnych. W tym
drugim przypadku hałas wytwarzany przez układ napędowy jest niższy
niż w tradycyjnym rozwiązaniu ze śrubą napędową. Należy pamiętać, że
D
YNAMIKA
Strona
39
39
39
39
również w przypadku śrub, śmigieł i wirników napędowych wykorzystu-
jemy w mniejszym lub większym stopniu zjawisko odrzutu.
R
OZDZIAŁ
3
Strona
40
40
40
40
4
Praca i energia
W tym rozdziale:
o
Praca
o
Pole sił zachowawczych i niezachowawczych
o
Pole sił grawitacyjnych, praca i energia w polu sił
grawitacyjnych
o
Ruch po okręgu, ruch planet wokół Słońca, prawa
Keplera
o
Energia potencjalna sprężystości
o
Energia kinetyczna
o
Zasada zachowania energii mechanicznej
o
Zderzenia
R
OZDZIAŁ
4
Strona
42
42
42
42
4.1. Praca
W języku potocznym pojęcie pracy ma wiele znaczeń. Mówimy o pracy
umysłowej (na przykład uczenie się do egzaminów) ale najczęściej z po-
jęciem pracy wiąże się przemieszczaniem ciała Jeżeli na przykład prze-
suwamy meble w pokoju to tym bardziej się zmęczymy im dalej przesu-
niemy dany mebel. Wiemy również, że bardziej męczące jest przesuwa-
nie ciężkiej kanapy niż lekkiego krzesła oraz, że dużo łatwiej jest przesu-
wać meble po gładkiej podłodze niż po dywanie. Tak więc moglibyśmy
powiedzieć, że tym bardziej się zmęczymy (wykonamy większą pracę)
im trudniej jest nam przesuwać ciało (pokonać większą siłę) oraz im
dalej to ciało przesuniemy (większe przemieszczenie). W ten sposób
dochodzimy do fizycznej definicji pracy.
Praca jest równa iloczynowi przemieszczenia oraz siły, która te
przemieszczenie wywołuje. Praca jest wielkością skalarną wyra-
żaną w dżulach (ang. Joul) [J] i w ogólności może być zdefinio-
wana jako iloczyn skalarny siły i przesunięcia:
α
cos
s
F
s
F
W
=
⋅
=
r
r
(4.1)
gdzie
α
oznacza kąt między wektorem siły i przesunięcia.
Rysunek 4.1. Praca jako iloczyn skalarny siły i przesunięcia
Taka definicja pracy uwzględnia fakt, że pracę wykonuje tyko składowa
siły równoległa do wektora przesunięcia. Na przykład jeśli przesuwamy
skrzynię po podłodze na odległość D = 3m, ciągnąc ją za uchwyt siłą
F
= 20N skierowaną pod kątem
α
= 45º do poziomu, to zgodnie z po-
wyższym wzorem wykonamy pracę W = 42.3J. Zależnie od wartości sił
tarcia, wykonana praca może być w całości zużyta na pokonanie sił tar-
cia na tej drodze, bądź (jeśli podłoga jest śliska) na nadanie dodatkowo
skrzyni przyspieszenia.
P
RACA I ENERGIA
Strona
43
43
43
43
Definicja pracy przedstawiona w równaniu (4.1) słuszna jest, jeśli za-
równo siła działająca na ciało jak i kąt między tą siłą a przesunięciem
mają stałą wartość. Jeśli natomiast wartość siły lub kąta pomiędzy kie-
runkiem siły a wektorem przemieszczenia zmienia się podczas ruchu,
musimy zastosować inną procedurę obliczania pracy całkowitej. Ponie-
waż praca jest wielkością addytywną, czyli całkowita praca wykonana na
określonej drodze jest równa sumie prac wykonanych na poszczególnych
jej odcinkach, to możemy całą drogę podzielić na takie odcinki, dla
których wartość siły i kąta między siłą a przemieszczeniem są stałe.
n
n
n
2
2
2
1
1
1
cos
cos
cos
α
α
α
x
F
...
x
F
x
F
W
+
+
+
=
(4.2)
Przykładowo praca wykonana przy przesuwaniu kanapy w pokoju
mogłaby zostać podzielona na dwie składowe – przesunięcia po dywanie
oraz po parkiecie.
Opisaną procedurę obliczania pracy całkowitej można również przedsta-
wić w formie graficznej jako procedurę wyznaczania pola pod wykresem
zależności siły od przesunięcia. Jeżeli na pewnym odcinku drogi
n
x
siła
ma stałą wartość
n
F
to pole pod takim odcinkiem wykresu wynosi
n
n
x
F
i jest równoznaczne wykonanej pracy.
Jeżeli siła zmienia swoją wartość lub zwrot w każdej chwili czasu, nie-
zbędne jest podzielenie drogi na nieskończenie wiele bardzo małych
kawałeczków (infinitezymalnie małych), dla których można przyjąć stałą
wartość działającej siły. Praca całkowita będzie sumą składowych prac
wyznaczonych dla każdego z takich infinitezymalnych odcinków. Proce-
dura taka odpowiada matematycznej operacji całkowania i możemy ją
zapisać w postaci:
( )
(
)
∫
=
=
=
b
a
)
(
d
cos
x
x
x
x
x
F
W
α
(4.3)
lub w zapisie wektorowym:
( )
∫
=
=
⋅
=
b
a
d
x
x
x
x
F
W
r
r
(4.4)
W powyższym zapisie wprowadziliśmy znak całki oznaczonej, który oz-
nacza, że sumowanie składowych wartości pracy przeprowadzane jest od
punktu x = a do x = b.
R
OZDZIAŁ
4
Strona
44
44
44
44
Aby wyjaśnić sposób obliczania całki oznaczonej rozpatrzmy najpierw
całkę nieoznaczoną:
( )
( )
∫
=
x
x
f
x
g
d
(4.5)
gdzie
∫
jest symbolem całkowania (jest to stylizowana litera s i odpo-
wiada sumowaniu), dx – zmienną całkowania, f(x) – funkcją podcałkową
zaś g(x) jest funkcją pierwotną. Operacja całkowania jest operacją
odwrotną do różniczkowania i oznacza, że szukamy takiej funkcji g(x),
której pochodna po zmiennej x będzie równa funkcji podcałkowej
f(x)
:
)
(
d
)
(
d
x
f
x
x
g
=
(4.6)
Należy podkreślić, że funkcję g(x) będącą wynikiem całkowania znamy
z dokładnością do stałej – dodanie do funkcji g(x) dowolnej stałej C nie
zmienia jej pochodnej f(x). Zatem wzór 4.5 należy przepisać w postaci:
( )
( )
∫
=
+
x
x
f
x
g
d
C
(4.7)
Rozpatrzmy teraz całkę oznaczoną:
a)
(
b)
(
)d
(
Z
b
a
=
−
=
=
=
∫
=
=
x
g
x
g
x
x
f
x
x
(4.8)
gdzie x = a jest dolną granicą całkowania, zaś x = b jest górną granicą
całkowania.
W wyniku obliczania całki oznaczonej w przeciwieństwie do całki nie-
oznaczonej otrzymujemy liczbę (Z) a nie funkcję (g(x)). W praktyce
w celu wyznaczenia wartości Z takiej całki oznaczonej najpierw znajdu-
jemy funkcję g(x), będącą rozwiązaniem całki nieoznaczonej z funkcji
f(x)
, a następnie od wartości tej funkcji w górnej granicy całkowania
(g(x=b)) odejmujemy wartość otrzymaną w dolnej granicy całkowania
(g(x=a)).
Przykłady
Przykład 1
: Jaką pracę należy wykonać, by wciągnąć ciało o masie m po
gładkiej równi pochyłej o kącie nachylenia
α
na wysokość H? Opory
ruchu zaniedbujemy.
P
RACA I ENERGIA
Strona
45
45
45
45
Rysunek 4.2. Ruch ciała po równi pochyłej
Załóżmy, że działamy na ciało siłą F skierowaną wzdłuż powierzchni
równi. Ciężar ciała (mg) skierowany pionowo w dół rozkładamy na dwie
dwie składowe: równoległą do równi siłę ściągającą ciało w stronę
podstawy równi, F
s
, oraz prostopadłą do równi siłę nacisku, F
N
. Aby
wciągać ciało, siła F musi równoważyć siłę zsuwającą F
s
:
α
sin
mg
F
S
=
(4.9)
Droga, na której wykonujemy pracę, jest równa:
α
sin
H
S
=
(4.10)
Zatem całkowita praca wynosi:
mgH
S
F
W
S
=
=
(4.11)
Wynik ten jest identyczny, jaki uzyskamy gdybyśmy podnosili ciało
pionowo w górę. Tak więc jeżeli zaniedbamy opory ruchu, praca (w polu
grawitacyjnym) nie zależy od drogi, po której przesuwamy ciało, a jedy-
nie od położenia punktu początkowego i końcowego.
Przykład 2
: Jaką pracę należy wykonać, by wciągnąć ciało o masie m po
równi pochyłej o kącie nachylenia
α
na wysokość H, jeśli współczynnik
tarcia kinetycznego o powierzchnię równi wynosi
µ
?
W tym przypadku wciągając przedmiot po równi podobnie jak w po-
przednim zadaniu również musimy pokonywać siłę ściągającą ciało ku
podstawie równi, F
s
, wykonując pracę równą W
1
= mgH. Ponieważ na
równi występuje dodatkowo siła tarcia T, do wciągnięcia ciała niezbędna
będzie również dodatkowa praca. Siła tarcia jest proporcjonalna do siły
R
OZDZIAŁ
4
Strona
46
46
46
46
nacisku ciała na powierzchnię F
N
(wypadkowa wszystkich sił działają-
cych w kierunku prostopadłym do powierzchni) a jej kierunek i zwrot są
zawsze przeciwne wektorowi przemieszczenia – tarcie przeciwdziała
ruchowi ciała.
S
F
T
N
=
(4.12)
Tak więc praca związana z pokonaniem siły tarcia wynosi:
S
F
S
T
W
N
2
µ
=
=
(4.13)
gdzie
α
cos
mg
F
N
=
(4.14)
Zatem całkowita praca wciągnięcia ciała po równi pochyłej o kącie
nachylenia
α
na wysokość H jest równa:
(
)
α
H
α
µ
α
mg
W
W
W
sin
cos
sin
2
1
+
=
+
=
(4.15)
Przykład 3:
Jaką pracę należy wykonać, by opróżnić przydomowy kolek-
tor ściekowy o głębokości D = 2m i objętości V = 6m
3
do cysterny? Za-
równo zbiornik kolektora, jak i zbiornik cysterny mają identyczne wy-
miary. Przyjmij, że dno zbiornika cysterny znajduje się na identycznej
wysokości, jak górna powierzchnia zbiornika kolektora.
Rysunek 4.3. Przepompowywanie wody z kolektora ściekowego
do cysterny
Problem z pozoru wydaje się prosty – należy unieść pewną ilość wody
na określoną wysokość. Zauważamy, że praca do wpompowania pierw-
P
RACA I ENERGIA
Strona
47
47
47
47
szej porcji wody z powierzchni kolektora jest niewielka – dno cysterny
znajduje się na identycznej wysokości co powierzchnia zbiornika. Jed-
nak po wpompowaniu do cysterny pierwszej porcji wody, wytworzy ona
warstwę o wysokości dh zaś poziom płynu w zbiorniku obniży się o dh
i następna porcja musi być uniesiona na wysokość odpowiednio większą.
Podzielmy rozwiązanie tego zagadnienia na dwa etapy – wypompowanie
wody ze zbiornika na poziom ziemi (praca W
1
) oraz wpompowanie wody
z poziomu ziemi do cysterny (W
2
). Będziemy rozpatrywać jednakowe
małe porcje wody – warstwy o wysokości dh. Masę takiej warstwy
możemy wyrazić jako dm = S
ρ
dh, gdzie
ρ
jest gęstością wody a S polem
przekroju zbiornika (również cysterny) a siła użyta do podniesienia
każdej takiej porcji wody ma tę samą stałą wartość. Praca wykonana na
podniesienie tej warstwy na wysokość h wynosi dW = S
ρ
h
dh. Przy
opróżnianiu zbiornika porcję wody początkowo będziemy podnosić na
wysokość 0 a na końcu na wysokość D – wielkości te będą granicami
całkowania przy wyliczaniu pracy W
1
.
2
D
Mg
2
D
S
ρρ
h
h
g
ρ
S
W
2
D
0
1
=
=
=
∫
d
(4.16),
gdzie przez M możemy oznaczyć całkowitą masę wody równą M = V
ρ
.
Pracę W
2
, niezbędną do napełnienia cysterny liczymy w identyczny
sposób i otrzymamy tę samą wartość co w przypadku opróżniania zbior-
nika (W
2
= W
1
). Całkowita praca wykonana przy przepompowaniu wody
ze zbiornika do cysterny wynosi zatem:
MgD
W
W
W
1
=
+
=
2
(4.17)
Warto zwrócić uwagę, że identyczny wynik uzyskalibyśmy, traktując
wodę jako bryłę sztywną o środku masy położonym w połowie wysokoś-
ci zbiornika (w praktyce można to osiągnąć np. żelując lub zamrażając
wodę), którą podnosimy na wysokość D. Wówczas praca wykonana
w obu przypadkach – czy mamy do czynienia z cieczą, czy z bryłą lodu
musi być taka sama. Z przykładu tego wynika praktyczna wskazówka, że
zamiast rozpatrywać obiekty rozciągłe przestrzennie możemy zastępo-
wać je masą punktową, czyli przyjąć że cała masa zgromadzona jest
w jednym punkcie znajdującym się w środku ciężkości obiektu.
R
OZDZIAŁ
4
Strona
48
48
48
48
4.2. Pole sił zachowawczych i
niezachowawczych
Jeśli siły są zachowawcze to praca wykonana podczas prze-
mieszczenia obiektu nie zależy od drogi po jakiej przesuwamy
ciało a jedynie od położenia punktu początkowego oraz
końcowego.
Rysunek 4.4. Praca przemieszczenia ciała w polu sił zachowawczych
Rozważmy dwie drogi między punktami A oraz B – A1B oraz A2B –
przedstawione na rysunku 4.4. Jeżeli praca przemieszczenia ciała z pun-
ktu A do punktu B po drodze A1B oraz A2B ma taką samą wartość, to
punkty A i B znajdują się w polu sił zachowawczych. Praca przemiesz-
czenia ciała w polu sił zachowawczych zależy tylko od położenia punktu
początkowego i końcowego. Zatem w przedstawionym przypadku praca
wykonana po drodze zamkniętej wynosi zero, gdyż położenie końcowe
jest tożsame z początkowym. Przykładem pola sił zachowawczych jest
pole grawitacyjne. Jeżeli pewien przedmiot przesuniemy na wierzchołek
idealnie gładkiej równi pochyłej, wykonamy pewną pracę przeciwsta-
wiając się sile grawitacji. Przesunięcie tego przedmiotu z powrotem do
położenia początkowego u podnóża równi odbywa się pod wpływem siły
grawitacji. Wykonuje ona nad przedmiotem pracę równą co do wartości
pracy wykonanej przez nas. Ponieważ w tym przypadku zwrot siły jest
przeciwny, również praca ma przeciwny znak. W efekcie całkowita
praca na takiej drodze zamkniętej (wsunięcie i zsunięcie po równi
pochyłej) jest równa zeru. Podobnie zerową całkowitą pracę otrzymamy
na przykład dla ruchu wahadła zegara, jeżeli zaniedbamy opory
powietrza oraz opory mechanizmu. Wahadło podnosząc się wykonuje
P
RACA I ENERGIA
Strona
49
49
49
49
pracę przeciw siłom grawitacji ale podczas obniżania to siły grawitacji
wykonują identyczną pracę nad wahadłem.
Jeśli ciało znajduje się w polu sił niezachowawczych, to praca wykona-
na na drodze zamkniętej jest różna od zera. Wszystkie układy, w których
mamy do czynienia z siłami oporu, np. siłami tarcia, tworzą pole sił
niezachowawczych. W polu sił niezachowawczych część pracy zazwy-
czaj rozpraszana jest w postaci ciepła i niemożliwe jest całkowite jej
odzyskanie w postaci pracy mechanicznej.
4.3. Pole sił grawitacyjnych
Siła grawitacji jest siłą przyciągającą, działającą między wszystkimi
ciałami obdarzonymi masą. Wartość siły przyciągania grawitacyjnego
zależy od masy oddziałujących ciał m
1
i m
2
oraz odległości r między
nimi:
2
2
1
r
m
m
G
F
=
(4.18)
gdzie: r – odległość pomiędzy masami; G = 6.6742·10
-11
Nm
2
kg
-2
– stała
grawitacji
Podkreślając powszechność siły przyciągania grawitacyjnego należy za-
znaczyć również, że wpływ oddziaływań grawitacyjnych pochodzących
od niektórych obiektów często może być pominięty. Na przykład na
jabłko wiszące na drzewie działa nie tylko siła grawitacji pochodząca od
Ziemi ale także od drzewa, obserwatora stojącego pod drzewem czy in-
nych jabłek wiszących powyżej naszego jabłka. Ponieważ masa wszyst-
kich wymienionych obiektów jest wielokrotnie mniejsza niż masa Ziemi,
ich wpływ na wartość i zwrot wypadkowej siły grawitacji jest znikomo
mały, dlatego z bardzo dobrym przybliżeniem możemy zaniedbać te
czynniki i rozważać wyłącznie wpływ oddziaływania grawitacyjnego
Ziemi. Dowodem tego, że na obiekty znajdujące się na Ziemi działają
również siły przyciągania grawitacyjnego Słońca i Księżyca są m.in.
pływy morskie.
Wróćmy do przykładu pola sił grawitacyjnych wytworzonych przez
Ziemię. Wartość siły grawitacji w takim polu sił jest proporcjonalna do
masy ciała znajdującego się w tym polu. Aby scharakteryzować pole sił
R
OZDZIAŁ
4
Strona
50
50
50
50
grawitacyjnych niezależnie od masy ciała znajdującego się w tym polu
definiujemy natężenie pola, czyli stosunek siły działającej na niewielką
masę m (nie zaburzającą pola pochodzącego od dużej masy M) do
wartości tej masy m:
g
r
GM
m
r
GMm
m
F
E
2
2
=
=
=
=
(4.19)
Zauważmy że wartość natężenia pola grawitacyjnego pochodzącego od
Ziemi wyznaczona na jej powierzchni (w odległości R
Z
od środka Ziemi)
jest równa przyspieszeniu ziemskiemu g, czyli wartości przyspieszenia,
z jakim poruszać się będzie ciało znajdujące się na powierzchni Ziemi
podczas swobodnego spadku:
2
Z
Z
R
GM
g
=
(4.20)
Wówczas siłę oddziaływania grawitacyjnego Ziemi (siłę ciężkości F
c
) na
ciało o masie m znajdującej się na powierzchni Ziemi możemy zapisać
również w postaci:
mg
F
=
c
(4.21)
Praca w polu sił grawitacyjnych
W poprzednim rozdziale przekonaliśmy się, że podniesienie ciała na wy-
sokość h wymaga wykonania nad ciałem pracy związanej z pokonywa-
niem siły grawitacji (F
c
= mg) i wynosi W
h
= F
c
h
= mgh. Wiemy rów-
nież, że ciężarek ten upuszczony z tej samej wysokość h może wykonać
pracę, W
C
, której wartość w układzie zachowawczym (nie istnieją siły
oporu) jest identyczna z pracą wydatkowaną na jego podniesienie
W
h
= mgh. Ciężarek znajdując się na wysokości h posiada zdolność
wykonania pracy o wartości W
h
= mgh. Taka zdolność do wykonania
pracy w fizyce nazywana jest energią.
Praca i energia są ze sobą ściśle powiązane – wykonana praca
jest magazynowana w postaci energii.
Energia potencjalna sił grawitacyjnych
Energię można nazwać energią potencjalną, jeśli zależy w jaw-
ny sposób od położenia w polu sił
P
RACA I ENERGIA
Strona
51
51
51
51
Energia ciężarka z poprzedniego przykładu, znajdującego się na pewnej
wysokości nad Ziemią, spełnia tę definicję. W pobliżu powierzchni Zie-
mi dla niedużych zmian wysokości na ciało działa siła przyciągania
o wartości mg. Jeżeli opisując takie ciało wprowadzimy poziom odnie-
sienia, względem którego liczymy wysokość (np. powierzchnię Ziemi),
to dowolnemu ciału znajdującemu się na wysokości h powyżej tego
poziomu możemy przypisać konkretną wartość energii potencjalnej:
mgh
E
=
(4.22)
Mapa geograficzna z naniesionymi poziomicami, wyrażającymi wyso-
kość punktów względem poziomu morza (punkt odniesienia) może zo-
stać zatem odczytana również jako zapis energii potencjalnej ciała znaj-
dującego się na powierzchni ziemi.
Czy praca wykonana przeciwko siłom tarcia również powoduje wzrost
energii potencjalnej? W tym przypadku praca nie jest magazynowana
w postaci energii mechanicznej, ale tracona (rozpraszana) w postaci cie-
pła. Możemy wówczas mówić jedynie o wzroście energii wewnętrznej
ciała – problem ten omówimy dokładniej w rozdziale poświęconym
termodynamice.
Podobnie jak w przypadku siły oddziaływania grawitacyjnego wzór 4.21
jest prawdziwy jedynie dla obiektów znajdujących się w pobliżu po-
wierzchni Ziemi, tak samo zależność 4.22 opisująca energię potencjalną
pola sił grawitacyjnych jest prawdziwa jedynie dla niewielkich w porów-
naniu z promieniem Ziemi odległości od powierzchni Ziemi.
W ogólności energię potencjalną ciała możemy zdefiniować jako pracę,
jaką należy wykonać, by umieścić ciało w danym punkcie. Załóżmy, że
przemieszczenie ciała o masie m odbywa się z punktu odległego o r
1
od
ś
rodka ciała o masie M do punktu odległego o r
2
, gdzie r
2
< r
1
Obliczając
pracę przesunięcia tego ciała z punktu r
1
do r
2
korzystamy ze wzoru 4.18
oraz 4.3, w którym za wartość cosinusa przyjmujemy 1, gdyż w rozwa-
ż
anym przypadku wektor przemieszczenia z punktu r
1
do r
2
oraz siła
grawitacji mają ten sam kierunek i zwrot:
∫
=
2
1
r
r
2
r
r
GMm
W
d
(4.23)
Skorzystaliśmy w tym przypadku z całkowej postaci wzoru na pracę,
ponieważ siła działająca na ciało ma zmienną wartość – zależy od
odległości od środka ciała o masie M. Funkcją pierwotną dla funkcji 1/r
2
R
OZDZIAŁ
4
Strona
52
52
52
52
jest funkcja 1/r. Aby obliczyć wartość powyższej całki od wartości
funkcji pierwotnej wyznaczonej w górnej granicy odejmujemy wartość
w dolnej granicy całkowania. Otrzymujemy wzór końcowy na pracę
przesunięcia ciała o masie m w polu grawitacyjnym ciała o masie M
z punktu odległego od środka ciała M o r
1
do punktu odległego o r
2
:
−
=
2
1
r
1
r
1
GMm
W
(4.24)
Powyższy wzór na pracę zależy od dwóch zmiennych – punktu odniesię-
nia (r
1
) oraz punktu, w którym znajduje się ciało (r
2
). Żeby uniknąć pro-
blemu definiowania za każdym razem punktu odniesienia, we
wszystkich zagadnieniach związanych z polem sił grawitacyjnych
umieszczamy punkt odniesienia w nieskończoności. Wówczas pierwszy
wyraz we wzorze 4.24 zeruje się (jedność podzielona przez nieskończo-
ność wynosi zero) i wartość wykonanej pracy zależy wyłącznie od koń-
cowego położenia ciała w polu grawitacyjnym. Oznacza to, że energia
potencjalna grawitacji ciała o masie m znajdującego się w odległości r
od masy M, będącej źródłem pola grawitacyjnego, wynosi więc:
r
GMm
W
E
P
−
=
=
(4.25)
Jak pokazaliśmy powyżej ujemny znak energii potencjalnej jest konsek-
wencją wyboru punktu odniesienia.
Gdyby energia potencjalna nie była zdefiniowana ze znakiem minus,
energia potencjalna ciała znajdującego się w większej odległości od ma-
sy M byłaby mniejsza. Ponieważ wszystkie układy dążą do osiągnięcia
minimum energii, wszystkie ciała oderwałyby się od powierzchni Ziemi.
Obecność znaku minus powoduje, że ciało, by obniżyć swoją energię po-
tencjalną porusza się w kierunku środka Ziemi. Wówczas, gdy odległość
r
od środka Ziemi maleje energia potencjalna staje się coraz bardziej
ujemna, czyli coraz mniejsza.
Dla obiektów znajdujących się w polu grawitacyjnym definiuje się czę-
sto jeszcze jedną wielkość fizyczną – potencjał grawitacyjny. Potencjał
grawitacyjny jest równy energii ciała podzielonej przez jego masę m
(traktujemy masę m jako na tyle małą, że nie zakłóca ona pola).
Potencjał jest zatem związany wyłącznie z masą M, będącą źródłem pola
grawitacyjnego:
P
RACA I ENERGIA
Strona
53
53
53
53
r
GM
V
g
−
=
(4.26)
Druga prędkość kosmiczna
Druga prędkość kosmiczna jest to minimalna prędkość jaką powinno
mieć ciało, żeby mogło opuścić pole grawitacyjne Ziemi. W sposób
ś
cisły warunek ten spełniony będzie tylko w nieskończoności ale w prak-
tyce chodzi nam o odległość na tyle dużą, aby energia potencjalna ciała
(wzór 4.25) była bliska zeru.
Załóżmy że rakieta o masie m zostaje wystrzelona z powierzchni Ziemi
pionowo do góry z prędkością v. Na powierzchni Ziemi rakieta ta będzie
miała więc zarówno energię potencjalną (wzór 4.25) jak i energię kine-
tyczną równą E
k
= ½·m·v
2
. Całkowita energia rakiety na powierzchni
Ziemi wynosi zatem:
2
m
r
GMm
E
2
c
v
+
−
=
(4.27)
Ż
eby rakieta mogła dolecieć do nieskończoności jej całkowita energia na
powierzchni Ziemi musi być przynajmniej równa zero (E
c
≥
0). Stąd
otrzymujemy wzór na II prędkość kosmiczną:
Z
Z
Z
II
gR
R
GM
2
2
=
=
v
(4.28),
gdzie R
Z
jest promieniem, zaś M
Z
jest masą Ziemi, z której startuje
rakieta. Dla Ziemi wartość II prędkości kosmicznej wynosi 11.2 km/s.
Drugą prędkość kosmiczną można wyznaczyć dla różnych ciał niebies-
kich i np. dla Księżyca wynosi ona 2.4 km/s, zaś dla Jowisza 59.5 km/s.
4.4. Ruch po okręgu
Szczególnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego jest ruch jednostajny
po okręgu, czyli ruch jaki wykonuje ciało poruszające się w jednej
płaszczyźnie ze stałą prędkością będące jednocześnie w stałej odległości
od wybranego punktu odniesienia. Tor ruchu takiego ciała jest okręgiem.
Opisując ruch po okręgu korzystnie jest zastosować biegunowy układ
R
OZDZIAŁ
4
Strona
54
54
54
54
współrzędnych. Przypomnijmy, że w układzie biegunowym położenie
ciała jest opisywane przez jego odległość od początku układu współrzęd-
nych (współrzędna radialna r) oraz przez położenie kątowe względem
wybranej osi odniesienia (współrzędna kątowa
α
). Jeżeli w opisie ruchu
po okręgu początek biegunowego układu współrzędnych umieścimy
w środku okręgu to współrzędna radialna będzie stała a zmieniać się bę-
dzie jedynie położenie kątowe ciała. Podobnie jak w przypadku ruchu
prostoliniowego w ruchu po okręgu prędkość jest pochodną drogi
kątowej po czasie i nazywana jest prędkością kątową ω:
t
d
d
α
ω
=
(4.30)
Prędkość kątowa, mierzona w radianach na sekundę, jest wektorem,
którego kierunek zgodny jest z osią, wokół której następuje obrót,
a zwrot wyznacza reguła śruby prawoskrętnej lub reguła prawej dłoni
(jeżeli palce otwartej dłoni pokazują zwrot wektora prędkości liniowej,
czyli kierunek obrotu, to kciuk wyznacza kierunek i zwrot wektora
prędkości kątowej).
Pochodna prędkości kątowej po czasie definiuje przyspieszenie kątowe
ε
:
2
2
d
d
d
d
t
t
α
ω
=
=
ε
(4.31)
Przedstawione powyżej definicje przyspieszenia i prędkości kątowych są
analogiczne do odpowiednich wielkości w ruchu prostoliniowym. Poszu-
kując relacji pomiędzy wielkościami opisującymi ruch obrotowy oraz
ruch liniowy zaczniemy od wyznaczenia drogi, czyli długości łuku, prze-
bytej przez ciało poruszające się po okręgu. Wielkość ta będzie zależała
zarówno od zmiany położenia kątowego jak i od położenia radialnego,
czyli odległości od osi obrotu
r
α
l
=
. Jeżeli zróżniczkujemy tę zależ-
ność po czasie otrzymamy relacje między prędkością liniową i kątową
a po ponownym zróżniczkowaniu relację między przyspieszeniem linio-
wym i kątowym. Otrzymamy w ten sposób zestaw zależności:
=
=
=
r
a
r
r
ε
ω
α
l
v
(4.32)
P
RACA I ENERGIA
Strona
55
55
55
55
Ponieważ poruszające się po okręgu ciało wraca cyklicznie do miejsca
startu, prędkość kątową można powiązać z częstotliwością:
T
r
f
1
2
2
=
=
=
π
π
ω
v
(4.33)
Jednostką częstotliwości jest 1Hz (Hertz) = 1s
–1
co oznacza, że przy czę-
stotliwości 1Hz ciało wykonuje jeden obrót na sekundę. Odwrotnością
częstotliwości jest okres obrotu T, czyli czas jednego pełnego obrotu,
wyrażony w sekundach.
Przyspieszenie w ruchu po okręgu
W rozdziale 2.4 wprowadziliśmy składową styczną oraz normalną przy-
spieszenia dla ruchu krzywoliniowego. W przypadku jednostajnego ru-
chu po okręgu wartość prędkości mierzona wzdłuż okręgu jest stała
a więc składowa styczna przyspieszenia jest zerowa. Przyśpieszenie cał-
kowite w ruchu po okręgu jest więc równe składowej normalnej:
r
a
a
n
2
v
=
=
(4.34)
Składowa normalna przyspieszenia skierowana jest do środka krzywizny
toru wzdłuż promienia okręgu i dlatego często nazywana jest składową
radialną. Ponieważ przyspieszenie normalne skierowane jest do środka
okręgu nazywa się je również przyspieszeniem dośrodkowym. Odpowia-
dająca mu siła oddziaływania, która wywołuje ruch ciała o masie m po
okręgu o promieniu r, jest nazywana siłą dośrodkową:
r
m
F
2
v
=
(4.35)
W przypadku obracającej się karuzeli metalowy pręt mocujący krzesełko
działa na krzesełko karuzeli siłą skierowaną do środka, równą co do war-
tości zdefiniowanej powyżej sile dośrodkowej. Osoba siedząca na
krzesełku karuzeli odczuwać będzie istnienie siły skierowanej wzdłuż
promienia na zewnątrz. Siłę taką, występującą w układzie związanym
z ciałem poruszającym się po okręgu nazywać będziemy siłą odśrodko-
wą. Siła ta jest równa co do wartości sile dośrodkowej ale ma przeciwny
zwrot. Warto podkreślić, że siła odśrodkowa jest siłą pozorną i w mo-
mencie przerwania pręta mocującego krzesełko karuzeli, krzesełko to nie
będzie poruszało się ruchem przyspieszonym wzdłuż promienia, tylko
ruchem jednostajnym prostoliniowym w kierunku wyznaczonym przez
R
OZDZIAŁ
4
Strona
56
56
56
56
wektor prędkości w momencie zerwania pręta. Układ odniesienia zwią-
zany z takim poruszającym się po okręgu punktem jest tzw. układem
nieinercjalnym, w którym występują siły bezwładności działające na
ciało. W hamującym samochodzie przedmiot znajdujący się na półce
doznaje przyspieszenia względem samochodu – przedmiot zachowuje się
bezwładnie, czyli zachowuje stan ruchu przed hamowaniem i porusza się
w kierunku przodu samochodu. Jeśli ten sam samochód porusza się po
okręgu (wykonuje gwałtowny zakręt), przedmiot również doznaje przy-
spieszenia względem samochodu. Przedmiot również tutaj zachowuje się
bezwładnie – porusza się po linii prostej (względem układu spoczynko-
wego) i w konsekwencji zmienia położenie względem samochodu –
przesuwa się w kierunku boku samochodu. Siedząc w samochodzie od-
czuwamy siłę wypychającą ciało na zewnątrz okręgu, po którym porusza
się pojazd. W obu przypadkach, zarówno hamowania jak i ruchu po
okręgu, siły bezwładności jakim ulega przedmiot są konsekwencją przy-
spieszenia całego pojazdu.
W przypadku pralek i suszarek bębnowych siła odśrodkowa wykorzysty-
wana jest do usuwania wody z tkanin. W urządzeniach takich jak wirów-
ki wykorzystuje się dodatkowo fakt, że siła odśrodkowa zależy nie tylko
od prędkości z jaką kręcą się obiekty we wnętrzu bębna wirówki ale
również od masy tych obiektów co umożliwia oddzielenie cięższych
frakcji od lżejszych.
Ruch planet wokół Słońca
Pierwsza prędkość kosmiczna
Przed odkryciem Kopernika w opisie ruchu planet i gwiazd korzystano
z tzw. geocentrycznego modelu świata, w którym Ziemia znajdowała się
w centrum wszechświata, a wszystkie ciała niebieskie krążyły wokół
niej. W dziele „O obrotach ciał niebieskich” Kopernik zaproponował
model w którym planety krążą wokół Słońca po orbitach kołowych (mo-
del heliocentryczny), co pozwoliło stworzyć spójny opis wielu zjawisk
astronomicznych. Jak już wiemy z poprzednich rozdziałów aby planeta
lub inne ciało niebieskie poruszało się po okręgu, musi na nie działać siła
dośrodkowa. Newton jako pierwszy stwierdził, że siłą dośrodkową jest
siła grawitacji:
r
m
r
GMm
2
2
v
=
(4.36)
P
RACA I ENERGIA
Strona
57
57
57
57
Gdyby nie istniała siła grawitacji ciało nie doznałoby przyspieszenia do-
ś
rodkowego, nie nastąpiłoby zakrzywienie toru i odleciało by w prze-
strzeń. Gdyby z kolei ciało nie miało prędkości stycznej na orbicie,
spadłoby na ciało centralne.
Na podstawie zależności 4.36 możemy policzyć prędkość jaką musi
mieć ciało o masie m aby poruszać się po orbicie Ziemi o promieniu
równym promieniowi Ziemi R
Z
:
Z
Z
Z
I
gR
R
GM
=
=
v
(4.37)
Tak zdefiniowana prędkość nazywana jest pierwszą prędkością kosmicz-
ną. Dla Ziemi pierwsza prędkość kosmiczna przyjmuje wartość równą
około 7.91 km/s. Podobnie jak w przypadku drugiej prędkości kosmicz-
nej również pierwszą prędkość kosmiczną można wyznaczyć dla innych
ciał niebieskich.
W przeciwieństwie do drugiej prędkości kosmicznej, w przypadku której
rozważaliśmy prędkość skierowaną prostopadle w stosunku do powierz-
chni ciała niebieskiego, pierwsza prędkość odnosi się do wartości pręd-
kości skierowanej równolegle do powierzchni ciała niebieskiego. Jeśli
satelita będzie miał mniejszą prędkość, spadnie na powierzchnię ciała
niebieskiego, jeśli większą – siła grawitacji nie będzie wystarczająca do
nadania satelicie odpowiedniego przyspieszenia dośrodkowego i ciało
bądź znajdzie się na orbicie o większym promieniu, bądź opuści pole
grawitacyjne.
Prawa Keplera
W heliocentrycznym modelu Kopernika planety krążą po kołowych orbi-
tach. Późniejsze dokładniejsze analizy ruchu planet wykonane min.
przez Tychona de Brahe i Johannesa Keplera, wykazały, że orbity te są
w ogólności krzywymi eliptycznymi. Szczegółowy opis ruchu planet za-
wiera model Keplera, opierający się na trzech prawach:
1. Planety krążą dookoła Słońca po orbitach eliptycznych.
Słońce znajduje się w jednym z ognisk elipsy.
Układ planeta-Słońce z dobrym przybliżeniem można potraktować jako
układ odosobniony tzn. uwzględniamy jedynie siły wzajemnego oddzia-
ływania zaniedbując oddziaływania zewnętrzne. W takim odosobnionym
R
OZDZIAŁ
4
Strona
58
58
58
58
układzie planeta i Słońce poruszać się będą względem środka masy ukła-
du po orbitach eliptycznych. W układzie Ziemia-Słońce, gdzie masa Zie-
mi jest ponad 3 tysiące razy mniejsza niż Słońca, z dobrym przybliże-
niem można przyjąć, że środek masy takiego układu pokrywa się z geo-
metrycznym środkiem Słońca a w konsekwencji, że Słońce jest nieru-
chome a Ziemia porusza się po orbicie kołowej.
2. Prędkość polowa planety jest jednakowa – wektor łączący
Słońce i planetę zakreśla jednakowe pola w jednakowych
odstępach czasu.
Drugie prawo Keplera wynika bezpośrednio z zasady zachowania mo-
mentu pędu, która zostanie omówiona w jednym z kolejnych rozdziałów.
3. Kwadrat czasu obiegu planety dookoła słońca jest propor-
cjonalny do sześcianu długiej osi elipsy po której porusza się
planeta.
Trzecie prawo Keplera wynika bezpośrednio z faktu, że siłą dośrodkową
działającej na planetę jest siła grawitacji. Dla uproszczenia obliczeń
załóżmy na razie, że planeta porusza się po orbicie kołowej. Wówczas
przyrównując obie siły otrzymujemy zależność:
o
2
2
g
F
r
m
r
Mm
F
=
=
=
v
G
(4.38)
Ponieważ prędkość planety wiąże czas pełnego obrotu (okres T) z dłu-
gością orbity (
T
r
π
2
=
v
) równość 4.38 można zapisać w postaci:
(
)
2
2
T
r
r
M
π
2
G
=
(4.39)
a po przekształceniach:
M
r
T
3
2
2
G
4π
=
(4.40)
P
RACA I ENERGIA
Strona
59
59
59
59
4.5. Energia potencjalna
sił sprężystości
W urządzeniach mechanicznych, które wykonują pracę np. obrót wska-
zówek zegara w starych zegarach szafkowych, praca ta wykonywana jest
kosztem energii dostarczonej z zewnątrz. We współczesnych urządze-
niach, w tym także w zegarach, jako źródło energii najczęściej stosuje
się baterie elektryczne ale kiedyś powszechnie stosowano mechanizmy
wykorzystujące energię potencjalną podciągniętych ciężarków lub w
przenośnych zegarkach mechanizm magazynowania energii opierał się
na „nakręcaniu” sprężyny. Jest to przykład pokazujący, że energia me-
chaniczna może zostać również zmagazynowana w postaci odkształcenia
materiału – taki rodzaj energii potencjalnej będziemy nazywać energią
potencjalną sił sprężystości wynikających z oddziaływań między czą-
steczkami materiału.
Rozpatrzmy sprężynę, którą rozciągniemy (lub ściśniemy) o długość x.
Siła jaką musimy rozciągać tę sprężynę równoważy siłę sprężystości
sprężyny, która zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona ma zwrot prze-
ciwny do zwrotu siły rozciągającej. Jej wartość zależy od długości roz-
ciągnięcia x co opisuje prawo Hooke’a:
x
k
F
r
r
−
=
(4.41),
gdzie k jest współczynnikiem sprężystości. Znak minus w powyższym
wzorze oznacza, że siła z jaką działa sprężyna ma przeciwny zwrot do
wektora x, czyli siła sprężystości przeciwstawia się wydłużaniu (lub ścis-
kaniu) i wskazuje zawsze na położenie równowagowe.
Siła jaką musimy działać, żeby rozciągnąć sprężynę ma przeciwny zwrot
niż siła sprężystości (
x
k
F
r
r
=
). Ponieważ wartość tej siły zmienia się
wraz z wartością wychylenia z położenia równowagi, to pracę wykonaną
przy rozciąganiu sprężyny o długość X obliczamy ze wzoru całkowego:
( )
S
2
X
0
X
0
E
kX
2
1
x
kx
x
x
F
W
=
=
=
=
∫
∫
d
d
(4.41).
Rozciągnięta sprężyna wracając do położenia równowagowego wykona
taką samą pracę jaką wykonaliśmy podczas jej rozciągania. Możemy
R
OZDZIAŁ
4
Strona
60
60
60
60
również powiedzieć że rozciągnięta sprężyna posiada zdolność do wyko-
nania pracy. Ponieważ wielkość tej pracy zależy jawnie od wartości od-
kształcenia sprężyny to spełnia ona definicję energii potencjalnej i nazy-
wana jest energią potencjalną sprężystości E
S
.
Energię potencjalną sił sprężystości można policzyć również dla ciał sta-
łych, poddanych rozciąganiu lub ściskaniu. W tym przypadku rolę
współczynnika sprężystości, opisującego własność materiału, pełni
moduł Younga E. Poszukując związku między modułem Younga a stałą
sprężystości możemy potraktować badany materiał, jakby był zbudowa-
ny z punktów (atomów) połączonych małymi sprężynkami. Sprężynki te
obrazują oddziaływania międzyatomowe a ich stała sprężystości zależy
od struktury materiału. Im większy będzie przekrój elementu wykonane-
go z danego materiału, czyli im więcej takich sprężynek opisuje badany
element, tym większy będzie współczynnik sprężystości dla całego
materiału – moduł Younga, E.
kx
L
L
EA
F
−
=
−
=
∆
0
0
(4.42),
gdzie E jest modułem Younga, A
0
– przekrojem poprzecznym próbki, L
0
– długością początkową (równowagową), zaś ∆L jest zmianą długości
próbki.
4.6. Energia kinetyczna
Energia kinetyczna jest związana ze stanem ruchu ciała. Ciało posiada
energię kinetyczną, jeśli znajduje się w ruchu w danym układzie odnie-
sięnia. Energię kinetyczną można również zdefiniować jako ilość pracy,
jaką należy wykonać żeby wprawić ciało w ruch.
Jeżeli więc siła F przeprowadzi ciało ze stanu bezruchu (stan „A”) do
prędkości v (stan „B”), to wykonana praca wyniesie:
∫
∫
∫
=
=
=
B
A
B
A
B
A
s
t
m
s
t
p
s
F
W
d
d
d
d
d
d
d
v
(4.43)
P
RACA I ENERGIA
Strona
61
61
61
61
W powyższych przekształceniach siłę F zastąpiliśmy pochodną pędu po
czasie. Zależność tą można dalej przekształcić otrzymując zależność
wykonanej pracy od prędkości v jaką osiągnie ciało:
k
2
0
B
A
E
2
m
m
t
s
m
W
=
=
=
=
∫
∫
v
v
v
v
v
d
d
d
d
(4.44)
Tak wyznaczona praca wykonana by nadać ciału o masie m prędkość v
definiuje energię kinetyczną ciała. Energia ta jest wprost proporcjonalna
do jego masy m i do kwadratu prędkości v
2
. Zależność energii kinetycz-
nej od kwadratu prędkości jest jedną z głównych przyczyn (poza siłami
oporu), dla których tzw. dynamika samochodów (sportowych i nie tylko)
jest znacznie lepsza w zakresie niskich prędkości niż prędkości wyso-
kich. Aby to wyjaśnić obliczmy najpierw pracę jaką należy wykonać,
ż
eby rozpędzić samochód o masie m = 1000kg od prędkości v
1
= 0 m/s
do v
2
= 10 m/s = 36 km/h oraz od v
2
= 10 m/s do v
3
= 20 m/s=72 km/h.
Praca ta równa jest różnicy energii kinetycznej końcowej oraz
początkowej i w pierwszym przypadku wynosi W
1
= E
k
(v
2
) –
E
k
(v
1
) = 50000J, zaś w drugim jest trzykrotnie większa i wynosi
W
2
= E
k
(v
3
) – E
k
(v
2
) = 150000J. Tak więc utrzymanie podobnego przy-
spieszenia w obu zakresach prędkości wymagałoby ciągłego wzrostu
mocy, co w praktyce jest trudne do osiągnięcia.
Podczas przyspieszania to silnik pojazdu wykonuje pracę równą energii
kinetycznej tego pojazdu. Natomiast gdy pojazd hamuje pracę musi wy-
konać układ hamulcowy pojazdu. Ponieważ przy dwukrotnie większej
prędkości energia kinetyczna jest czterokrotnie większa, to również pra-
ca wyhamowania jest czterokrotnie większa. Praca ta w większości za-
mieniana jest w energię cieplną i dlatego elementy układu hamulcowego,
w szczególności samochodów sportowych powinny być odporne na wy-
sokie temperatury oraz tak zaprojektowane, aby jak najwydajniej odda-
wały ciepło do otoczenia
Warto również zwrócić uwagę, że furgonetka o masie 2 ton i prędkości
15 m/s, która ma identyczny pęd jak samochód osobowy o masie 1 tony
i prędkości 30 m/s, ma dwukrotnie mniejszą energię kinetyczną, czyli
zatrzymanie jej wymaga mniejszej pracy, jest „łatwiejsze”.
Pojęcie energii kinetycznej możemy odnosić również do mikroskopowe-
go opisu właściwości ciał. Nawet jeśli pojazd znajduje się w spoczynku,
cząsteczki składające się na niego mają pewną energię kinetyczną – czą-
steczki gazu znajdującego się w oponach znajdują się w ciągłym ruchu,
R
OZDZIAŁ
4
Strona
62
62
62
62
atomy metalu w karoserii wykonują drgania wokół położeń równowago-
wych. Energia kinetyczna jest w takim mikroskopowym ujęciu związana
z temperaturą ciała, a dokładniej – temperatura jest funkcją średniej
energii kinetycznej, o czym będzie jeszcze mowa w części poświęconej
termodynamice.
4.7. Zasada zachowania energii
mechanicznej
Podsumowując rozważania dotyczące energii wprowadzimy zasadę za-
chowania energii mechanicznej:
W układzie zachowawczym odosobnionym całkowita energia
mechaniczna, czyli suma energii potencjalnej, Ep, zarówno
grawitacyjnej jak i sprężystości, oraz energii kinetycznej, Ek,
ciała jest wielkością stałą.
const.
=
+
p
k
E
E
(4.45)
Oznacza to, że jeżeli zaniedbamy straty energii (pracy wykonanej na
rzecz sił tarcia itp.), różne formy energii jaką posiada ciało mogą się
zmieniać, ale ich suma pozostaje stała. Dobrym przykładem do omówie-
nia zasady zachowania energii jest skok na linie bungee. Stojąc na
moście na wysokości h nad rzeką (na rysunku 4.4 h = h
1
+ h
2
) skoczek
posiada energię potencjalną względem poziomu odniesienia znajdujące-
go się na poziomie rzeki. Pierwsza faza skoku jest spadkiem swobod-
nym, w którym skoczek traci energię potencjalną ale nabiera prędkości,
czyli zyskuje energię kinetyczną:
2
m
mgh
2
v
=
(4.46)
Kiedy lina rozwinie się w pełni, osiąga tzw. długość swobodną – na ry-
sunku 4.4. oznaczoną jako h
1
. Od tego momentu lina zaczyna działać jak
rozciągana sprężyna. W tej fazie skoku energia potencjalna nadal się
zmniejsza, kosztem wzrostu zarówno energii kinetycznej, jak i energii
potencjalnej sił sprężystości.
P
RACA I ENERGIA
Strona
63
63
63
63
Rysunek 4.4. Energia skoczka bungee w różnych fazach skoku
W pewnym momencie ruchu, gdy siła napięcia liny zrównoważy siłę
grawitacji, prędkość ciała zacznie się zmniejszać, a więc spada również
jego energia kinetyczna. W najniższym położeniu skoczka jego prędkość
wynosi zero – nie posiada on zatem energii kinetycznej. Jego energia
potencjalna grawitacji również wynosi zero (skoczek znajduje się
w punkcie odniesienia) i cała energia zmagazynowana jest w postaci
energii potencjalnej sprężystości. Tak więc początkowa energia poten-
cjalna grawitacji zostaje w całości zmagazynowana w energii
sprężystości rozciągniętej liny. Energia ta może następnie wykonać pra-
cę podniesienia skoczka na wysokość mostu, a więc zgodnie z zasadą
zachowania energii, skoczek może wrócić do swojego położenia począt-
kowego na moście. W rzeczywistości mamy jednak do czynienia ze stra-
tami energii związanymi zarówno z oporami powietrza jak i wydziele-
niem się ciepła w rozciągającej się linie (nie jest to idealna sprężyna)
i w efekcie skoczek nie powróci do poziomu mostu.
Uogólnieniem zasady zachowania energii mechanicznej jest ogólna zasa-
da zachowania energii, która mówi, że w układzie zachowawczym odo-
sobnionym zmiana całkowitej energii ciała (suma zmian wszystkich
rodzajów energii) wynosi zero.
Jeżeli na przykład rozpędzony samochód uderzy w przeszkodę, to gwał-
townie wytraci swoją energię kinetyczną, która zamieni się na pracę
związaną z odkształceniem karoserii oraz na wydzielone ciepło.
Zgodnie z zasadą zachowania energii w samochodach elektrycznych
energia potencjalna ładunku elektrycznego zgromadzona w naładowa-
R
OZDZIAŁ
4
Strona
64
64
64
64
nym akumulatorze zamieniana jest w energię kinetyczną pojazdu. Jeśli
taki samochód jest wyposażony w hamulce elektromagnetyczne, w trak-
cie hamowania może odzyskać znaczną część energii kinetycznej i zgro-
madzić ją w postaci energii potencjalnej ładunku elektrycznego.
4.8. Zderzenia
Opis zderzeń ciał stanowi ważny element dynamiki ciał stałych ale po-
nieważ podczas zderzenia dochodzi do przekazywania zarówno pędu,
jak i energii, zderzenia odgrywają również dużą rolę w procesach trans-
portu, na przykład ciepła lub ładunku elektrycznego.
Podczas zderzenia obowiązuje zasada zachowania pędu, czyli pęd środka
masy układu przed zderzeniem jest identyczny jak po zderzeniu. Jak już
omawialiśmy wcześniej zasada zachowania pędu w układzie dwu-, lub
trójwymiarowym obowiązuje dla każdego z wyróżnionych kierunków.
Przykład zastosowania zasady zachowania pędu dla dwuwymiarowego
zderzenia dwóch kul bilardowych omówiliśmy w rozdziale 3.2.
Zasada zachowania energii jako jedna z podstawowych zasad fizyki obo-
wiązuje zawsze, również podczas zderzeń. Jednakże w praktyce
wykorzystujemy ją wyłącznie w przypadku zderzeń idealnie sprężys-
tych
, w których nie występują straty energii. Zderzeniem bliskim do
idealnie sprężystego jest uderzenie piłki rakietą tenisową – w czasie
zderzenia oba ciała odkształcają się sprężyście, zarówno piłka, jak i linka
naciągu rakiety. Pojęcie zderzenia sprężystego można rozszerzyć rów-
nież na przypadki w których ciała nie stykają się ze sobą w sposób
widoczny dla obserwatora. Gdyby omawiane wcześniej kule bilardowe
zostały naładowane elektrycznie lub namagnesowane w odpowiedni
sposób, mogłoby dojść do przekazania pędu i energii bez zetknięcia się
krawędzi krążków. O charakterze zderzenia (czy jest sprężyste czy
niesprężyste) decyduje charakter sił wzajemnego oddziaływania ciał.
Zderzenie sprężyste jest opisane następującymi równaniami:
2K
2
1K
1
2P
2
1P
1
v
v
v
v
m
m
m
m
+
=
+
(4.47)
– równanie wyrażające zasadę zachowania pędu, oraz
P
RACA I ENERGIA
Strona
65
65
65
65
2
2
2
2
2
2K
2
2
1K
1
2
2P
2
2
1P
1
v
v
v
v
m
m
m
m
+
=
+
(4.48)
– równanie wyrażające zasadę zachowania energii kinetycznej.
W przypadku zderzenia idealnie niesprężystego dochodzi do odkształce-
nia plastycznego jednego lub obu ciał. Odkształcenie to wiąże się z roz-
praszaniem energii w postaci ciepła. W wyniku niesprężystego zderzenia
połączone ciała poruszają się w jednym kierunku. Równania opisujące
zderzenie niesprężyste mają więc postać:
(
)
K
2
1
2P
2
1P
1
v
v
v
m
m
m
m
+
=
+
(4.49)
(
)
E
m
m
m
m
∆
2
2
2
2
K
2
1
2
2P
2
2
1P
1
+
+
=
+
v
v
v
(4.50)
gdzie ∆E oznacza straty energii w postaci ciepła. Zderzenie niesprężyste
wykorzystywane jest do wyznaczania prędkości pocisków za pomocą
tzw. wahadła balistycznego. Urządzenie to składa się z masywnego
bloku, w który wbija się pocisk. Znając masę pocisku i masę bloku, oraz
prędkość bloku z pociskiem po trafieniu można wyliczyć prędkość
pocisku przed uderzeniem w blok. Pomiar stosunkowo niewielkiej pręd-
kości bloku jest znacznie łatwiejszy niż bezpośredni pomiar prędkości
rozpędzonego pocisku. W szczególności jeśli blok zawiesimy na dwóch
niciach (rysunek 4.5) możemy oszacować prędkość na podstawie wyso-
kości, na którą uniesie się blok. Obecnie można wykonać taki pomiar
technikami fotograficznymi lub za pomocą czujników optycznych, jed-
nak w XIX wieku wahadło balistyczne było jednym z podstawowych
przyrządów do pomiaru prędkości pocisku.
Rysunek 4.5. Zasada działania wahadła balistycznego
Do odkształceń plastycznych dochodzi również podczas zderzenia
dwóch samochodów, a więc zderzenia takie są niesprężyste. We współ-
czesnych samochodach tzw. strefy zgniotu są odpowiedzialne za rozpra-
szanie energii uwolnionej podczas zderzenia. Analizując równania
opisujące zderzenie niesprężyste można ponadto zauważyć, że jeśli zde-
rzeniu ulega lekki samochód osobowy, to straty energii są tym większe
R
OZDZIAŁ
4
Strona
66
66
66
66
im cięższy jest pojazd z którym się zderza – zatem skutki zderzenia z sa-
mochodem ciężarowym są znacznie poważniejsze niż skutki kolizji z sa-
mochodem osobowym o podobnej masie.
5
Dynamika
bryły sztywnej
W tym rozdziale:
o
Bryła sztywna, moment bezwładności, środek masy
o
Równanie ruchu bryły sztywnej
o
Zasada zachowania momentu pędu
o
Energia ruchu obrotowego
R
OZDZIAŁ
5
Strona
68
68
68
68
5.1. Bryła sztywna
Bryłą sztywną będziemy nazywać ciało, w którym odległości między po-
szczególnymi punktami ciała są stałe. Siły działające na bryłę sztywną
nie wywołują więc ani deformacji plastycznych, ani odkształceń sprężys-
tych, a jedynie ruch postępowy lub obrotowy. Wszystkie ciała, w któ-
rych odległość między dwoma punktami nie zmienia się w czasie, lub
odkształcenia pod wpływem działających sił są niewielkie, można trak-
tować jako bryłę sztywną. Na przykład huśtawka wykonana z cienkiego
pręta może ulegać deformacji, wpływając tym samym na zachowanie
całego układu, ale jeżeli wykonamy ją np. z szyny kolejowej jej defor-
macja będzie zaniedbywalnie mała i może być wówczas potraktowana
jako bryła sztywna.
Moment bezwładności bryły sztywnej
W większości dotąd rozważanych przykładów siła działająca na ciało
przyłożona była do środka masy ciała i wywoływała ruch postępowy.
W ruchu prostoliniowym miarą bezwładności ciała jest jego masa, tzn.
tym trudniej jest zmienić ilość ruchu ciała (pęd) im większa jest jego
masa. W przypadku ruchu obrotowego istotna jest nie tylko masa ale
również jej odległość od osi obrotu. Miarą bezwładności w ruchu
obrotowym jest moment bezwładności.
Moment bezwładności masy punktowej m poruszającej się po
okręgu o promieniu r zależy od tej masy oraz kwadratu
odległości od osi obrotu:
2
mr
I
=
(5.1).
Moment bezwładności podobnie jak masa jest wielkością addytywną tzn.
moment bezwładności bryły sztywnej jest równy sumie momentów
bezwładności mas punktowych składających się na tę bryłę:
∑
=
i
i
i
r
m
I
2
(5.2),
gdzie r
i
jest odległością od osi obrotu i-tego elementu o masie m
i
.
D
YNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
Strona
69
69
69
69
Rozpatrzmy dwie ołowiane kulki o masach m
1
oraz m
2
(potraktujemy je
jako masy punktowe), połączone cienkim nieważkim prętem o długości
r
, którego masa oraz moment bezwładności są pomijalnie małe w porów-
naniu z masą i momentem bezwładności kul. Moment bezwładności
takiej bryły sztywnej względem osi obrotu położonej w środku pręta mo-
ż
emy policzyć jako sumę momentów bezwładności obu kul. Otrzyma-
my:
(
)
(
)
(
)
2
2
1
2
2
2
1
2
)
(
2
2
r
m
m
r
m
r
m
I
+
=
+
=
W przypadku bryły o złożonym kształcie i rozkładzie masy procedura
wyznaczania momentu bezwładności wymaga podzielenia bryły na jak
najmniejsze elementy i zsumowania momentów bezwładności pochodzą-
cych od tych elementów. W granicznym przypadku działanie sumowania
możemy zastąpić całkowaniem:
∫
=
M
m
r
I
0
2
d
(5.3)
Jako przykład obliczania momentu bezwładności wyznaczymy moment
bezwładności pręta o masie M oraz długości b względem osi przecho-
dzącej prostopadle przez koniec pręta. Poszukując momentu bezwład-
ności tej bryły musimy wykonywać całkowanie po całej masie pręta. W
praktyce znacznie łatwiej jest przeprowadzać całkowanie we współrzęd-
nych przestrzennych dlatego postaramy się powiązać masę z długością
pręta. W tym celu wprowadzamy gęstość liniową
λ
, definiującą masę
przypadającą na jednostkę długości:
l
λ
d
dm
=
. Wówczas element masy
pręta dm może być wyrażony:
l
λ
d
d
=
m
, gdzie gęstość liniowa dla
pręta z zadania wynosi:
b
M
=
λ
. Po zamianie zmiennej całkowania oraz
granic całkowania moment bezwładności pręta wynosi:
3
3
3
2
2
3
2
d
d
b
M
b
b
b
m
r
I
b
0
M
0
2
=
=
=
=
=
∫
∫
λ
λ
l
λ
l
(5.4)
W podobny sposób, posługując się gęstością powierzchniową lub obję-
tościową, możemy obliczyć momenty bezwładności dla dowolnych brył.
W tabeli 5.1 przedstawione zostały momenty bezwładności wybranych
brył sztywnych względem osi obrotu przechodzących przez środek ma-
sy bryły.
R
OZDZIAŁ
5
Strona
70
70
70
70
Tabela 5.1. Momenty bezwładności wybranych brył względem środka
masy
Pr
ęt
12
mr
I
2
z
=
Walec i walec
wydr
ążony
(
)
2
2
2
1
Z
r
r
2
m
I
+
=
(
)
[
2
2
2
1
x
h
r
r
3
12
m
I
+
+
=
Pier
ścień
2
mr
I
=
Sto
żek
10
mr
3
I
2
z
=
+
=
2
2
x
h
4
r
5
m
3
I
Dysk
2
mr
I
2
z
=
4
mr
I
2
x
=
Sfera:
3
mr
2
I
2
=
Kula:
5
mr
2
I
2
=
Twierdzenie Steinera
Załóżmy, że znana jest masa bryły oraz moment bezwładności I
0
wzglę-
dem osi przechodzącej przez środek jej masy. Wtedy, zgodnie z twier-
dzeniem Steinera, moment bezwładności I tej bryły względem osi obrotu
równoległej do osi przechodzącej przez środek masy i przesuniętej o d
równy jest:
2
md
I
I
0
+
=
(5.5)
Twierdzenie Steinera zastosujemy do obliczenia momentu bezwładności
dysku o promieniu r i masie m względem osi przechodzącej przez jego
krawędź, a prostopadłej do płaszczyzny dysku. Moment bezwładności
dysku względem osi prostopadłej przechodzącej przez jego środek znaj-
dziemy w tabeli 5.1:
D
YNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
Strona
71
71
71
71
2
mr
I
2
0
=
(5.6)
W naszym przypadku oś przesunięta jest równolegle o długość promie-
nia dysku a więc stosując twierdzenie Steinera otrzymujemy:
2
2
2
2
0
mr
mr
2
mr
mr
I
I
2
3
=
+
=
+
=
(5.7)
Środek masy bryły sztywnej
Gdybyśmy chcieli układ ciał, lub bryłę sztywną, zastąpić masą punkto-
wą, czyli zgromadzić całkowitą masę układu w jednym punkcie geome-
trycznym, to punkt ten powinien się znajdować w środku masy. Swobod-
na oś obrotu bryły sztywnej lub układu ciał przechodzi przez ich środek
masy.
W układzie mas punktowych środek masy można obliczyć ze wzoru:
∑
∑
=
i
i
i
i
i
SM
m
r
m
r
r
r
(5.8)
gdzie m
i
– masy punktowe, zaś
i
r
r
– położenia tych mas względem
wybranego punktu odniesienia. Współrzędna x środka masy wynosić
więc będzie
∑
∑
=
i
i
i
i
i
SM
m
x
m
x
. W przypadku, gdy rozkład masy nie jest
dyskretny, podobnie jak przy obliczaniu momentu bezwładności, sumo-
wanie musimy zastąpić całkowaniem. Sposób wyznaczenia środka masy
dla jednorodnego pręta z poprzedniego zadania, przedstawiono poniżej.
L
2
1
M
LL
M
L
M
M
m
r
x
2
L
0
M
0
SM
=
=
=
=
=
∫
∫
λ
λ
l
λ
l
2
1
2
1
d
d
(5.9)
Całkowanie przeprowadzono względem jednego z końców pręta a więc
wynik L/2 oznacza, że środek masy znajduje się w połowie długości
pręta.
R
OZDZIAŁ
5
Strona
72
72
72
72
5.2. Równanie ruchu bryły
sztywnej
Moment siły
W dotychczasowych rozważaniach rozpatrywaliśmy jedynie obiekty
punktowe, lub też bryłę sztywną zastępowaliśmy masą punktową znajdu-
jącą się się w środku masy tej bryły. Wówczas rozważaliśmy jedynie
ruch postępowy takich obiektów. W dalszej części tego rozdziału opisze-
my ruch obrotowy bryły sztywnej, na którą działa siła przyłożona
w punkcie innym niż środek masy.
Rozważmy najpierw siłę przyłożoną w dowolnym punkcie bryły
sztywnej, ale skierowaną wzdłuż prostej przechodzącej przez punkt
wyznaczający środek masy tego ciała. Wówczas siła ta wywoływać
będzie ruch postępowy. Jeżeli jednak kierunek działania tej siły nie
będzie wskazywał środka masy ciała, to na ciało działać będzie moment
siły, który wywołuje ruch obrotowy. Moment siły
M
r
zależy od
wartości siły działającej na bryłę sztywną
F
r
, odległości punktu zacze-
pienia tej siły od osi obrotu
r
r
oraz kąta między tymi wektorami.
Moment siły
M
r
definiujemy jako iloczyn wektorowy wektorów
r
r
oraz
F
r
:
⊥
=
=
×
=
r
F
α
F
r
M
F
r
M
sin
r
r
r
(5.10)
Wielkość
α
r
r
sin
=
⊥
nazywana jest ramieniem siły. Moment siły
uzyskuje maksymalną wartość, gdy kąt
α
między
r
r
oraz
F
r
jest kątem
prostym. Siła działająca wzdłuż ramienia nie wywołuje obrotu a jedynie
ruch postępowy.
Jeśli oś obrotu nie jest wymuszona (obrót jest obrotem swobodnym)
następuje on zawsze wokół osi o największym momencie bezwładności
przechodzącej przez środek masy ciała. Podobnie jak w przypadku ruchu
postępowego definiowaliśmy siłę poprzez pochodną pędu ciała po cza-
sie, tak w przypadku ruchu obrotowego bryły sztywnej możemy zdefi-
niować moment siły jako pochodną momentu pędu po czasie:
D
YNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
Strona
73
73
73
73
t
L
M
d
d
r
r
=
(5.11)
Moment pędu
L
r
masy punktowej m poruszającej się po okręgu o pro-
mieniu r jest iloczynem wektorowym wektora wodzącego
r
r
i pędu ciała
p
r
(rysunek 5.1.). Kierunek wektora momentu pędu jest zgodny z osią
obrotu, a zwrot określamy zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Zwrot
ten jest identyczny ze zwrotem wektora prędkości kątowej
ω
r
.
p
r
L
r
r
r
×
=
(5.12)
ω
I
ω
mr
r
ω
m
r
m
r
p
r
L
2
=
=
=
=
=
v
(5.13)
W ostatnim przekształceniu iloczyn mr
2
został zastąpiony momentem
bezwładności I. Pęd ciała w ruchu prostoliniowym jest proporcjonalny
do jego masy i prędkości (równanie 3.1). W ruchu po okręgu miarą ilości
ruchu jest moment pędu
L
r
. We wzorze 5.13 wykazaliśmy, że ta ilość
ruchu jest proporcjonalna do prędkości kątowej a współczynnikiem
proporcjonalności jest moment bezwładności I.
Rysunek 5.1. Moment pędu masy punktowej poruszającej się po okręgu
Zgodnie z równaniem 5.11 moment siły działający na bryłę sztywną
wywołuje zmianę momentu pędu tej bryły. Zmiana momentu pędu może
być związana ze zmianą prędkości kątowej bryły, której moment
bezwładności się nie zmienia ale może również wynikać ze zmiany
samego momentu bezwładności bryły sztywnej. Uwzględniając oba te
człony możemy zapisać różniczkowe równanie ruchu obrotowego bryły
sztywnej, które jest II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego:
t
I
t
I
t
L
M
d
d
d
d
d
d
ω
ω
+
=
=
(5.14)
R
OZDZIAŁ
5
Strona
74
74
74
74
5.3. Zasada zachowania
momentu pędu
Rozważmy teraz ruch obrotowy bryły sztywnej, na którą działa wypad-
kowy moment siły M równy zero. Wówczas zgodnie z równaniem 5.11
pochodna momentu pędu po czasie wynosi zero a więc wartość całkowi-
tego momentu pędu musi być stała, co zapisujemy jako zasadę zacho-
wania momentu pędu:
∑
=
=
i
i
L
L
const.
r
r
c
(5.15)
Jeżeli na układ ciał nie działają momenty sił zewnętrznych
(układ jest odosobniony) to moment pędu tego układu jest
stały.
W przypadku, gdy moment bezwładności układu nie zmienia się w cza-
sie zasadę zachowania momentu pędu można zapisać:
.
ω
I
L
const
=
=
(5.16)
Zasada zachowania momentu pędu pozwala wyjaśnić tzw. efekt żyrosko-
powy stabilizujący np. poruszający się rower czy motocykl. Z obracają-
cymi się kołami związany jest moment pędu, skierowany poziomo,
zgodnie z osią obrotu (kierunek i zwrot wektora wyznacza reguła prawej
dłoni). Jeżeli równowaga roweru ulegnie zachwianiu i rower przechyli
się, zmieni się kierunek wektora momentu pędu, oprócz składowej po-
ziomej będzie miał również składową pionową. Rower, który przechyli
się zaczyna poruszać się po łuku. Wówczas pojawia się dodatkowy mo-
ment pędu skierowany pionowo do góry, który jest w stanie skompenso-
wać zmianę momentu pędu wynikającą z przechyłu roweru. Im większe
wychylenie z położenia równowagi, tym większą zmianę momentu pędu
potrzeba skompensować i tym mniejszy musi być promień okręgu po
którym poruszać się będzie rower. Z kolei im szybciej poruszać się bę-
dzie rower, tym większy jest moment pędu związany z obracającym się
kołem ale również większy jest moment pędu z całym rowerem porusza-
jącym się po okręgu, tak że nawet duże przechylenie roweru będzie
kompensowane przez jego ruch po okręgu o dużym promieniu. W kon-
sekwencji moment pędu koła stabilizuje zachowanie całego obiektu,
w którym zamocowane jest to koło. Efekt żyroskopowy wykorzystywa-
ny jest również np. na pokładach łodzi, czy samolotów gdzie montowane
D
YNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
Strona
75
75
75
75
są specjalne wirujące dyski (żyroskopy) mające na celu zwiększenie
stabilności tych pojazdów i zmniejszenie ich przechyłów.
Zasada zachowania momentu pędu musi być również uwzględniona
w konstrukcji śmigłowca. Obracanie wirnika wymaga działania na niego
pewnym momentem siły. Identyczny moment siły, ale o przeciwnym
zwrocie działa na kadłub śmigłowca. W efekcie kadłub zaczyna się obra-
cać w stronę przeciwną do kierunku obrotu wirnika. Zasada zachowania
momentu pędu dla takiego układu można zapisać
k
k
s
s
ω
I
ω
I
=
, gdzie
indeksy s i k oznaczają odpowiednio śmigło i kadłub. Najpopularniej-
szym rozwiązaniem tego problemu w konstrukcji helikoptera jest
umieszczenie dodatkowego wirnika na ogonie. Siła ciągu tego wirnika
wytwarza moment sił działający na kadłub i przeciwdziałający obrotowi.
Ponadto regulując siłę ciągu wirnika ogonowego, śmigłowiec może
wykonać obrót w prawo lub w lewo. Zamiast jednego wirnika można
również zastosować dwa śmigła obracające się w przeciwnych kierun-
kach, których moment pędu równoważy się.
Efekty działania zasady zachowania momentu pędu są również obserwo-
wane w przypadkach, kiedy zmieni się moment bezwładności obracają-
cego się obiektu. Łyżwiarze przygotowując się do skoku z obrotem
szeroko rozstawiają ręce, żeby uzyskać jak największy moment bezwład-
ności, wprawiają ciało w ruch obrotowy i odbijają się. W powietrzu ścią-
gają ręce do siebie zmniejszając tym samym moment bezwładności co
zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu wpływa na wzrost prędkoś-
ci obrotowej i daje możliwości wykonania kilku obrotów w powietrzu.
Podobne zjawisko obserwujemy dla chmury gazów wirującej wokół cia-
ła niebieskiego (np. gwiazdy). Jeżeli chmura ta ulegnie zapadnięciu pod
wpływem sił grawitacji gwałtownie maleje jej moment bezwładności
(proporcjonalny do kwadratu promienia) a wzrasta prędkość obrotowa
tych gazów. Z tego względu gwiazdy uformowane z materii pozostałej
po wybuchu supernowych mają z reguły bardzo duże prędkości obrotu
względem własnej osi.
5.4. Energia ruchu obrotowego
Zgodnie z II zasadą dynamiki ruchu obrotowego, moment siły działający
na ciało może wywołać jego ruch obrotowy. Aby wyznaczyć energię
jaką posiada ciało wykonujące ruch obrotowy wyznaczymy pracę jaką
R
OZDZIAŁ
5
Strona
76
76
76
76
należy wykonać aby wywołać ruch obrotowy bryły sztywnej. Rozpa-
trzmy moment siły M, który wywołuje ruch obrotowy bryły sztywnej,
taki że siła F jest prostopadła do ramienia r na jakim działa. W przypad-
ku ruchu postępowego pracę dW liczyliśmy jako iloczyn siły F oraz
przesunięcia dx jakie ta siła wywołuje (
x
F
W
d
d
=
). W przypadku
ruchu obrotowego moment siły M działając na bryłę sztywną powoduje
przemieszczenie kątowe dα a więc pracę dW w ruchu obrotowym
możemy zapisać jako:
α
d
d
M
W
=
(5.17)
Pracę całkowitą jaką wykona moment siły M obracając bryłę sztywną od
położenia początkowego (kątowego) α
p
do położenia końcowego α
k
wyznaczamy z zależności całkowej:
∫
=
k
p
M
W
α
α
α
d
(5.18)
Podstawiając równanie 5.14 do 5.17, przy założeniu I =const.
otrzymujemy:
ω
ω
ω
α
α
ω
α
d
d
d
d
d
d
d
d
d
I
t
I
t
I
M
W
=
=
=
=
(5.19)
Stąd wyznaczamy pracę jaką należy wykonać aby bryle o momencie
bezwładności I nadać prędkość kątową ω. Praca ta jest równoważna
energii ruchu obrotowego
tej bryły:
2
d
2
I
ω
ω
ω
I
W
E
ω
0
=
=
=
∫
o
(5.20)
Powyższy wzór ma postać podobną do wzoru na energię kinetyczną
ruchu postępowego, ale zamiast masy mamy moment bezwładności oraz
prędkość kątową zamiast postępowej. W ogólności poruszająca się bryła
sztywna może posiadać zarówno energię kinetyczną ruchu postępowego,
która jest związana z ruchem postępowym środka masy ciała, oraz ener-
gię ruchu obrotowego związaną z obrotem ciała wokół osi obrotu. Dlate-
go ten sam obiekt staczający się z poślizgiem (bez obracania) oraz bez
poślizgu (staczając się) będzie miał na dole równi inną prędkość postę-
pową środka masy. W pierwszym przypadku bowiem, zgodnie z zasadą
zachowania energii, cała energia potencjalna zamieni się w energię kine-
tyczną ruchu postępowego. W drugim przypadku ta sama początkowa
D
YNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
Strona
77
77
77
77
energia potencjalna ulega zamianie zarówno na energię kinetyczną ruchu
postępowego jak i obrotowego decydując o mniejszej prędkości ruchu
postępowego. Podobnie prędkość postępowa pocisku wystrzelonego
z broni palnej o gwintowanej lufie jest mniejsza niż w przypadku
gładkiej lufy, gdyż część energii jest zgromadzona w ruchu obrotowym
pocisku. Jednakże ruch wirowy i zasada zachowania momentu pędu
chroni pocisk przed koziołkowaniem wpływając na większą celność
strzałów oraz efektywnie większy zasięg strzału.
W niektórych autobusach czy bolidach F1 stosuje się tzw. koła zamacho-
we do magazynowania energii w postaci energii ruchu obrotowego. Pod-
czas hamownia energia kinetyczną pojazdu nie jest „trwoniona” w posta-
ci ciepła wydzielanego na tarczach hamulcowych a wykonuje pracę
wprawienia tarcz o dużym momencie bezwładności w ruch obrotowy.
Tak zgromadzona energia ruchu obrotowego koła zamachowego może
być odzyskana i może wykonać pracę rozpędzania pojazdu.
R
OZDZIAŁ
5
Strona
78
78
78
78
6
Ruch drgający
W tym rozdziale:
o
Drgania harmoniczne
o
Wahadło sprężynowe, wahadło matematyczne,
fizyczne i torsyjne
o
Drgania tłumione
o
Drgania wymuszone z tłumieniem
R
OZDZIAŁ
6
Strona
80
80
80
80
6.1. Drgania harmoniczne
Rozpatrzmy ciało poruszające się po okręgu o promieniu R, tak jak opi-
sywaliśmy to w rozdziale 5.1. Tym razem jednak będziemy obserwować
ruch rzutu punktu na nieruchomy ekran (np. na ścianę) prostopadły do
płaszczyzny ruchu po okręgu. Wówczas ciało przesuwać się będzie
w jednym wymiarze w powtarzalny sposób z jednego do drugiego krań-
ca odcinka o długości 2R. Ruch w którym ciało powtarza te same poło-
ż
enia nazywamy ruchem drgającym lub oscylującym. Jeżeli drgania te
występują w stałych odstępach czasu to mamy do czynienia z ruchem
drgającym okresowym. Gdybyśmy narysowali wykres położenia tego
ciała w funkcji czasu otrzymalibyśmy krzywą sinusoidalną jak na rysun-
ku 6.1. Rzut ruchu po okręgu jest więc ruchem drgającym okresowym
opisanym funkcją typu sinus.
Ruch okresowy drgający, w którym położenie ciała możemy
opisać zależnością sinusoidalną nazywany jest ruchem
harmonicznym.
α
R
x
sin
=
(6.1),
gdzie R jest promieniem okręgu po jakim porusza się obiekt a
α
oznacza
fazę ruchu drgającego i dla rozpatrywanego przykładu jest powiązana
z położeniem kątowym ciała na okręgu.
Ponieważ położenie kątowe ciała na okręgu zależy od jego prędkości
kątowej ω, wiec również faza w ruchu drgającym zmienia się w czasie
proporcjonalnie do tej prędkości kątowej. W zagadnieniach ruchu drga-
jącego wielkość ω nazywa się częstotliwością kołową, w odróżnieniu od
częstotliwości f. Należy jednak pamiętać, że obie te wielkości są ze sobą
powiązane zależnością 5.4 (ω = 2πf ).
R
UCH DRGAJĄCY
Strona
81
81
81
81
Rysunek 6.1. Rzut położenia ciała poruszającego się po okręgu
na oś w układzie liniowym
W ogólności położenie ciała poruszającego się ruchem harmonicznym
prostym można zapisać w postaci:
( )
(
)
ϕ
+
=
ωt
Asin
t
x
(6.2)
gdzie A jest amplitudą drgania, argument funkcji sinus będziemy nazy-
wać fazą ruchu, φ jest fazą początkową a ω częstotliwością kołową.
Prędkość ciała w ruchu harmonicznym wyznaczymy obliczając pochod-
ną jego położenia po czasie:
( )
( )
(
)
φ
ωt
ω
t
t
x
t
+
=
=
cos
A
d
d
v
(6.3)
Porównując zależności 6.2 oraz 6.3 widzimy, że prędkości i wychylenie
z położenia równowagi nie są zgodne w fazie (opisane funkcjami sinus
i cosinus). Oznacza to, że prędkość w ruchu drgającym jest największa w
momencie, kiedy wychylenie jest równe zeru (w momencie prze-
chodzenia przez położenie równowagi) i jest zerowa dla maksymalnego
wychylenia.
Obliczając pochodną prędkości po czasie otrzymamy przyspieszenie
ciała poruszającego się ruchem harmonicznym:
( )
( )
(
)
( )
t
x
ω
φ
ωt
ω
t
t
t
a
2
2
−
=
+
−
=
=
sin
A
d
dv
(6.4)
Otrzymaliśmy zależność, w której występuje taka sama funkcja sinus jak
dla wychylenia. Znak minus oznacza, że ciało wychylone z położenia
R
OZDZIAŁ
6
Strona
82
82
82
82
równowagi będzie doznawało przyspieszenia w kierunku przeciwnym do
jego wychylenia z położenia równowagi. Przyspieszenie to jest wyni-
kiem występowania siły, która tak jak przyspieszenie skierowana jest
przeciwnie do wychylenia i która zawsze skierowana jest do położenia
równowagi. Wartość tej siły jest proporcjonalna do wychylenia a więc
im dalej od położenia równowagowego znajduje się ciało, tym większa
siła na nie działa. Istnienie siły skierowanej do położenia równowagi
o wartości proporcjonalnej do wartości wychylenia z położenia równo-
wagi jest również cechą charakterystyczną ruchu harmonicznego.
Przekształcenie wzoru 6.4 na przyśpieszenie ciała w ruchu harmonicz-
nym pozwala nam zapisać różniczkowe równanie ruchu drgań
harmonicznych:
( )
( )
0
d
d
=
+
t
x
ω
t
t
x
2
0
2
2
(6.5)
Jest to wzór ogólny, opisujący drgania harmoniczne, w którym zamiast
wychylenia x możemy wstawić również inne wielkości fizyczne jak
ładunek elektryczny czy natężenie pola elektrycznego. Wielkość
0
ω
oznacza częstotliwość kołową drgań własnych obiektu, czyli częstotli-
wość kołową, z jaką wykonuje on drgania swobodne, związane jedynie
z siłami występującymi wewnątrz układu.
Wahadło sprężynowe
Prostym przykładem ruchu drgającego harmonicznego są oscylacje
ciężarka zaczepionego do sprężyny o długości swobodnej
0
x
. Dla
uproszczenia przyjmijmy, że na ciężarek nie działa siła grawitacji oraz
ż
e masa sprężyny jest niewielka w stosunku do masy ciężarka, a opory
ruchu można zaniedbać. Jeśli sprężynę rozciągniemy o długość x (spo-
wodujemy wychylenie z położenia równowagi o odległość x), sprężyna
będzie działać na ciężarek siłą o wartości proporcjonalnej do wychylenia
(zgodnie z prawem Hooke’a – równanie 4.36)
x
k
F
−
=
. Gdy puścimy
ciężarek będzie się on poruszał się w kierunku położenia równowagi.
Ciężarek minie położenie i będzie miał wówczas maksymalną prędkość
oraz energię kinetyczną. Energia kinetyczna ciała wykona pracę
ś
ciskania sprężyny i zostanie zamieniona na energię sił sprężystości
(równanie 4.37). Gdyby w układzie nie było oporów tarcia ani strat
energii, podczas ściskania sprężyny, ciężarek wychyliłby się na taką sa-
mą odległość względem położenia równowagi, na jaką została ona po-
przednio rozciągnięta. Zatem amplituda drgań byłaby więc stała.
R
UCH DRGAJĄCY
Strona
83
83
83
83
Siła sprężystości działającą na ciało o masie m znajdujące się na końcu
rozciągniętej sprężyny nadaje temu ciału przyspieszenie. Równanie ru-
chu w takim przypadku można więc zapisać w postaci:
0
d
d
=
+
x
k
t
x
m
2
2
(6.6)
Jeżeli podzielimy obie strony powyższego równania przez masę m otrzy-
mamy równanie w postaci analogicznej do równania 6.5 nazywane rów-
naniem wahadła sprężystego. Częstość drgań własnych oraz okres drgań
takiego wahadła zależy od masy zaczepionej do sprężyny oraz współ-
czynnika k sprężystości sprężyny:
k
m
T
m
k
ω
0
π
2
;
=
=
(6.7)
W przypadku rzeczywistej sprężyny możemy uzyskać drgania harmo-
niczne jeżeli wyeliminujemy opory ruchu oraz gdy rozpatrywać będzie-
my wyłącznie niewielkie wychylenia z położenia równowagi. Przy zbyt
dużych wychyleniach mogą nastąpić odkształcenia plastyczne materiału,
z którego sprężyna jest zrobiona, powodując zmianę długości swobodnej
sprężyny. Podobnie przy zbyt mocnym ściskaniu sprężyny zwoje spręży-
ny mogą stykać się uniemożliwiając dalsze odkształcanie.
Wahadło matematyczne
Nie tylko siła sprężystości sprężyny powodować drgania harmoniczne.
W przypadku wahadła matematycznego to siła grawitacji wywołuje
drgania harmoniczne. Wahadło matematyczne to idealny układ składają-
cy się z masy punktowej m zaczepionej do nieważkiej i nierozciągliwej
nici o długości l, znajdujący się w polu grawitacyjnym. W stanie równo-
wagi masa punktowa zwisa pionowo na nici zgodnie z kierunkiem linii
pola grawitacyjnego. Rozpatrzmy teraz niewielkie wychylenie kątowe α
z tego położenia równowagi (rysunek 6.2). Wówczas siłę grawitacji
(F
c
= mg
, skierowaną pionowo w dół) możemy rozłożyć na dwie
składowe – radialną (wzdłuż promienia, zaznaczona na niebiesko na
rysunku 6.2) i styczną (prostopadłą do promienia, zaznaczoną na czer-
wono na rysunku 6.2). Składowa radialna jest równoważona przez na-
ciąg nici i nie wpływa na ruch wahadła. Zatem siłą powodującą powrót
ciężarka do położenia równowagi będzie składowa styczna siły
ciężkości:
α
sin
mg
F
s
−
=
(6.8)
R
OZDZIAŁ
6
Strona
84
84
84
84
Przy niewielkich wychyleniach z położenia równowagi, czyli dla małych
kątów α wartość funkcji sinus może być dobrze przybliżona argumentem
tej funkcji. Dla małych kątów α składowa styczna siły ciężkości działają-
cej na wychylone wahadło matematyczne jest skierowana do położenia
równowagowego a jej wartość jest proporcjonalna do wartości tego wy-
chylenia. Uwzględniając powyższe założenia możemy przekształcić
równanie 6.8 i otrzymujemy równanie drgań harmonicznych dla wahadła
matematycznego:
0
d
d
=
+
α
l
α
g
t
2
2
(6.9)
Podobnie jak to zrobiliśmy dla wahadła sprężystego porównujemy
równanie 6.9 z 6.5 i wyznaczamy częstości drgań własnych oraz okres
drgań wahadła matematycznego o długości l:
g
2
T
;
g
ω
0
l
l
π
=
=
(6.10)
Warto zauważyć, że okres T drgań wahadła matematycznego zależy od
długości nici l oraz przyspieszenia ziemskiego g i nie zależy od masy m
zaczepionej na końcu nici (izochronizm).
Rysunek 6.2. Wahadło matematyczne (z lewej) i fizyczne (z prawej)
R
UCH DRGAJĄCY
Strona
85
85
85
85
Wahadło fizyczne
W rzeczywistości nie jesteśmy w stanie skonstruować idealnego wahadła
matematycznego, ale z codziennych obserwacji wiemy, że rzeczywiste,
fizyczne obiekty jak np. lampa zamocowana na linie, mogą wykonywać
drgania harmoniczne w polu grawitacyjnym. Taki rzeczywisty układ
drgający pod wpływem sił grawitacyjnych nazywamy wahadłem fizycz-
nym. Rozpatrzmy bryłę sztywną o masie m, która może się obracać
względem osi nie pokrywającej się z osią swobodną (środkiem masy
ciała) odległej o d od środka masy bryły i która zostaje wychylona
z położenia równowagi o niewielki kąt α (rysunek 6.2). W opisie ruchu
tego ciała skorzystamy z drugiej zasady dynamiki dla bryły sztywnej:
2
2
t
t
M
d
d
d
d
α
ω
I
I
=
=
(6.11)
gdzie M oznacza moment siły działającej na bryłę a I jest momentem
bezwładności bryły względem osi obrotu. Rozważając siły i momenty sił
działające na taką bryłę sztywną, podobnie jak w poprzednim przypadku
wahadła matematycznego, rozkładamy siłę ciężkości bryły, która jest
zaczepiona do środka jej masy, na składową radialną i styczną. Ruch
obrotowy bryły sztywnej będzie wywołany przez moment siły M
t
zwią-
zany ze składową styczną siły ciężkości (wyliczoną w identyczny sposób
jak w przypadku wahadła matematycznego) działającą na ramieniu d
i wyniesie:
d
mg
M
t
α
sin
−
=
(6.12)
Również w tym przypadku wartość funkcji sinus przybliżamy jej argu-
mentem i otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego:
0
d
d
=
+
α
α
I
mgd
t
2
2
(6.13)
W tym przypadku częstość drgań i okres obiegu wynoszą:
mgd
I
T
;
I
mgd
ω
0
π
2
=
=
(6.14)
Jeżeli podstawimy
md
I
0
=
l
powyższe zależności będą miały iden-
tyczną postać jaką otrzymaliśmy dla wahadła matematycznego (wzo-
ry 6.10). Długość
0
l
, dla której okres wahadła matematycznego jest taki
R
OZDZIAŁ
6
Strona
86
86
86
86
sam jak dla wahadła fizycznego nazywana jest długością zredukowaną
wahadła fizycznego.
Wahadło torsyjne
Innym typem wahadła, w którym siłą sprawczą drgań jest siła sprężys-
tości jest wahadło torsyjne. Zwykle jest to układ o momencie bezwład-
ności I składający się z jednego lub kilku ciężarków, zawieszonych na
cienkim pręcie lub drucie. Oś obrotu pokrywa się z osią pręta, a moment
sił działających na ciężarek wynika z sił sprężystości powstających przy
skręceniu pręta (inaczej układ ten jest nazywany wahadłem skrętnym).
Ten moment sił skręcających jest proporcjonalny do wychylenia
kątowego z położenia równowagi α oraz tzw. momentu kierującego D
będącego cechą materiału pręta:
α
D
M
t
−
=
(6.15),
Dla wahadła torsyjnego druga zasada dynamiki przyjmuje postać:
0
d
d
=
+
α
I
D
t
α
2
2
(6.16),
a częstość drgań i okres obiegu w tym przypadku wynoszą:
D
I
T
I
D
ω
0
π
2
;
=
=
(6.17)
6.2. Drgania tłumione
W rzeczywistych układach drgających amplituda drgań będzie stopnio-
wo malała i po pewnym czasie drgania ustaną. Związane jest to z wystę-
powaniem strat energii, wynikających między innymi z lepkości ośrod-
ka, w którym poruszają się ciała, sił tarcia występujących na połącze-
niach mechanicznych itp. Opis ruchu z uwzględnieniem tłumienia wy-
maga określenia, który z czynników tłumienia jest dominujący, a następ-
nie zapisania wpływu tego czynnika w równaniu ruchu. Najczęściej tłu-
mienie jest proporcjonalne do prędkości ciała. Modelem takiego układu
może być ciężarek umocowany do sprężyny i zanurzony w lepkiej cie-
czy. Jak pokażemy w rozdziale poświęconym hydrodynamice, jeśli prze-
pływ cieczy ma charakter laminarny siły oporu są wprost proporcjonalne
R
UCH DRGAJĄCY
Strona
87
87
87
87
do prędkości ciała. Równanie ruchu ciężarka w takim układzie możemy
zapisać w postaci:
v
b
kx
ma
−
−
=
(6.18)
gdzie współczynnik b jest stałą proporcjonalności między siłą oporu
a prędkością. Zastępując prędkość pierwszą a przyspieszenie drugą po-
chodną położenia po czasie powyższy wzór możemy zapisać w postaci
różniczkowej:
0
d
d
d
d
=
+
+
kx
t
x
b
t
x
m
2
2
(6.19)
Rozwiązanie równania ruchu drgań harmonicznych miało postać funkcji
sinusoidalnej. Rozwiązanie równania drgań tłumionych jest złożeniem
dwóch funkcji – funkcji okresowej sinusoidalnej oraz funkcji opisującej
wykładnicze malenie amplitudy wychylenia:
( )
(
)
φ
t
ω
cos
e
t
x
t
+
′
=
−
γ
A
(6.20)
Wykładnicze malenie amplitudy drgań zależy zarówno od lepkości
ośrodka jak i masy ciężarka zamocowanego do sprężyny i opisane jest
za pomocą współczynnik tłumienia
γ
=b/2m
. Istnienie tłumienia w ukła-
dzie wpływa również na zmniejszenie częstości kołowej drgań tłumio-
nych
ω
’
:
2
2
2
γ
ω
γ
−
=
−
=
−
=
′
m
k
m
4
b
m
k
ω
2
2
(6.21)
Jeśli współczynnik tłumienia jest niewielki, to częstotliwość kołowa
drgań tłumionych ulega tylko nieznacznej zmianie a amplituda stopnio-
wo zmniejsza się w kolejnych okresach drgań – funkcja wykładnicza
stanowi obwiednię obserwowanego przebiegu (rysunek 6.3).
Jeśli będziemy zwiększać wartość współczynnika tłumienia poprzez
zmianę lepkości ośrodka lub zmianę masy drgającej zanik amplitudy
drgań będzie coraz szybszy a częstotliwość tych drgań coraz mniejsza,
aż w końcu osiągniemy wartość krytyczną dla której częstość kołowa
drgań tłumionych będzie wynosiła zero:
2
2
ω
=
k
γ
(6.22)
R
OZDZIAŁ
6
Strona
88
88
88
88
Dla takiej wartości współczynnika tłumienia obserwujemy najszybsze
z możliwych wygaśnięcie drgań i dojście układu do stanu równowagi.
Zależność wychylenia od czasu nie ma wówczas postaci funkcji okreso-
wej, a jedynie aperiodycznego wykładniczego spadku (rysunek 6.3).
Jeśli współczynnik tłumienia będzie jeszcze większy, układ będzie prze-
tłumiony. Podobnie jak w przypadku tłumienia krytycznego nie obser-
wujemy wówczas drgań okresowych a jedynie wykładnicze zmniejsza-
nie się wychylenia. Jednak w tym przypadku siły oporu są na tyle duże,
ż
e powrót do położenia równowagi trwa wielokrotnie dłużej niż w przy-
padku tłumienia krytycznego (rysunek 6.3).
Rysunek 6.3. Zależność wychylenia ciała dla oscylatora tłumionego
w funkcji czasu. Różne kolory krzywej obrazują
zachowanie oscylatora dla różnych
wartości współczynnika tłumienia
Urządzenia tłumiące drgania, amortyzatory
Dobór odpowiedniego współczynnika tłumienia jest ważnym zagadnie-
niem inżynierskim, przy projektowaniu urządzeń mechanicznych. Sto-
sunkowo prostym przykładem może być tutaj zamykacz do drzwi, który
ma zapewnić jak najszybsze zamknięcie drzwi, tak aby zminimalizować
straty ciepła z wewnątrz budynku. Znając masę drzwi, na etapie projek-
towania możemy tak dobrać olej o odpowiedniej lepkości oraz sprężynę
o odpowiednim współczynniku sprężystości aby współczynnik tłumienia
R
UCH DRGAJĄCY
Strona
89
89
89
89
był równy wartości krytycznego współczynnika tłumienia. Jeśli dobie-
rzemy za mały współczynnik tłumienia, drzwi przed zamknięciem wyko-
nają kilka oscylacji wokół położenia równowagi (jeśli mają taką możli-
wość) lub uderzą we framugę. Jeśli współczynnik tłumienia będzie zbyt
duży, drzwi będą zamykały się powoli a może nawet mogą w ogóle się
nie zamknąć. Jeśli natomiast tak dobierzemy parametry, że otrzymamy
wartość krytyczną współczynnika tłumienia, drzwi zamkną się szybko
nie powodując uderzenia we framugę. Warto zwrócić uwagę na fakt, że
zimą, gdy pod wpływem spadku temperatury lepkość oleju w zamykaczu
rośnie nadmiernie współczynnik tłumienia wzrasta spowalniając tempo
zamykania drzwi. Wymiana oleju w zamykaczu byłaby w takim przy-
padku mało praktycznym rozwiązaniem, ale podobny efekt można rów-
nież osiągnąć poprzez regulację długości sprężyny.
Innym ważnym przykładem tłumionego oscylatora harmonicznego jest
amortyzator samochodowy. Typowy amortyzator składa się z cylindra
oraz tłoka na długim trzpieniu, wokół którego owinięta jest sprężyna.
Tłok dzieli cylinder na dwie części, między którymi może odbywać się
przepływ oleju przez otwory w tłoku. Wielkość otworów oraz lepkość
użytego płynu determinuje współczynnik tłumienia – im mniejsza ich
ś
rednica i im większy współczynnik lepkości płynu, tym większy
współczynnik tłumienia uzyskujemy. W typowych amortyzatorach war-
tość współczynnika tłumienia jest ustalona, istnieją jednak rozwiązania
pozwalające ją regulować. Jednym z nich jest zastosowanie cieczy, któ-
rych lepkość zwiększa się pod wpływem pola magnetycznego (magneto-
reologiczne) lub elektrycznego (elektro-reologiczne). Układy elektro-
niczne poprzez wytwarzanie odpowiedniego pola magnetycznego lub
elektrycznego mogą płynnie zmieniać współczynnik tłumienia amortyza-
tora i w ten sposób wpływać na charakterystykę układu zawieszenia.
Amortyzatory lotnicze muszą wytłumić zarówno oscylacje o dużej am-
plitudzie powstające podczas lądowania przy zetknięciu z Ziemią jak
i mniejsze drgania powstające podczas szybkiej jazdy po płycie lotniska.
W tym celu stosuje się amortyzatory powietrzno-olejowe z dodatkową
poduszka gazową tłumiącą drgania o dużej amplitudzie.
R
OZDZIAŁ
6
Strona
90
90
90
90
6.3. Drgania wymuszone
z tłumieniem
Wiemy już, że każdy układ charakteryzuje częstość kołowa drgań włas-
nych
ω
0
, oraz że tłumienie zmienia częstość drgań układu. Na układ
mogą jednak działać również zewnętrzne siły wymuszające o charakte-
rze okresowym. Rozpatrzmy oscylator harmoniczny tłumiony który bę-
dzie pobudzany zewnętrzną siłą okresową z częstością kłową
ω
. Wów-
czas równanie ruchu oscylatora w postaci różniczkowej będzie miało
postać:
ωt
x
ω
t
x
m
b
t
x
0
2
2
cos
A
d
d
d
d
=
+
+
(6.23)
gdzie A oznacza amplitudę wymuszenia.
Rozwiązania tego równania mają dość skomplikowaną postać i nie bę-
dziemy ich wyprowadzać. Przeanalizujemy tylko zależność amplitudy
drgań od częstości wymuszenia i współczynnika tłumienia:
(
)
2
2
2
2
0
2
2
1
ω
ω
ω
m
~
X
MAX
γ
+
−
(6.24)
Jeśli częstotliwość kołowa wymuszenia
ω
zbliża się do częstotliwości
kołowej drgań własnych oscylatora
ω
0
to amplituda drgań rośnie. Gdy
częstotliwość drgań wymuszających jest zgodna z częstotliwością drgań
własnych amplituda drgań osiąga maksymalną wartość a w przypadku
gdy nie ma tłumienia dąży do nieskończoności, a zjawisko to nazywa się
rezonansem.
Zjawisko rezonansu mechanicznego może więc doprowadzić do uszko-
dzenia budynków lub pojazdów. Jako przykład niszczącej siły rezonansu
podawane jest zazwyczaj zawalenie się mostu w Angers w 1850 roku
pod wpływem drgań wywołanych przemarszem wojska. Rytm kroku
ż
ołnierzy zgadzał się z częstością własną konstrukcji mostu wiszącego,
co doprowadziło do zniszczenia podtrzymujących go wież. We współ-
czesnych pojazdach na przykład zjawiska rezonansu mogą prowadzić do
powstawania znacznych naprężeń mechanicznych na elementach kon-
strukcyjnych i luzowania połączeń skrętnych. Siłą wymuszającą drgania
R
UCH DRGAJĄCY
Strona
91
91
91
91
mogą być również fale sejsmiczne wywołane trzęsieniami ziemi i dlate-
go w regionach aktywnych sejsmicznie w konstrukcji wysokich budyn-
ków stosuje się różnego rodzaju amortyzatory oraz tzw. TMD – tuned
mass damper, czyli dodatkowy oscylator o innej częstotliwości własnej,
który przejmuje i rozprasza część energii drgań.
R
OZDZIAŁ
6
Strona
92
92
92
92
7
Stany skupienia materii
W tym rozdziale:
o
Ciało stałe
o
Płyny
o
Inne stany materii, szkło, tworzywa sztuczne,
plazma
o
Przemiany fazowe
R
OZDZIAŁ
7
Strona
94
94
94
94
Stany skupienia materii
Dotychczas opisywaliśmy ciała stałe, które charakteryzowały się ustalo-
nym kształtem, które pod wpływem działającej na nie siły poruszały się
(bryła sztywna) lub też nieznacznie sprężyście się odkształcały (sprę-
ż
yna). W tym rozdziale omówimy także inne cechy charakterystyczne
ciał stałych oraz przedstawimy wybrane właściwości innych stanów
skupienia materii – cieczy i gazów o których więcej mówić będziemy
w dalszych rozdziałach.
7.1. Ciało stałe
Cechami charakterystycznymi ciała stałego są:
• ustalony kształt i objętość
• występowanie oddziaływań harmonicznych pomiędzy ato-
mami i cząsteczkami. W pewnym zakresie naprężeń ciało
stałe zachowuje się jak sprężyna – ściśnięte, wraca do pier-
wotnego kształtu, a odkształcenie sprężyste jest proporcjo-
nalne do wartości przyłożonej siły. Atomy ciała stałego
wykonują drgania wokół położenia równowagi a amplituda
tych drgań jest tym wyższa im wyższa jest temperatura.
• uporządkowanie dalekiego zasięgu. Krystaliczne ciało stałe
otrzymujemy powielając niewielki podstawowy jego frag-
ment (tak zwaną komórkę elementarną) w każdym z kierun-
ków. Taka powtarzalność układów atomowych, tzw. perio-
dyczność pozwala nam zatem na podstawie znajomości
układu atomów w danym miejscu określić dokładnie, jakie
jest położenie atomów w dowolnym innym miejscu.
S
TANY SKUPIENIA MATERII
Strona
95
95
95
95
7.2. Płyny
Płyny, do których zaliczamy ciecze i gazy, różnią się od ciał stałych
reakcją na naprężenie ścinające. Ciała stałe w reakcji na takie naprężenie
(w pewnym zakresie wartości) odkształcają się sprężyście, a po zwolnie-
niu siły powracają do pierwotnego kształtu. Płyny natomiast ulegają
odkształceniu plastycznemu czyli obserwujemy płynięcie ciała i zmianę
jego kształtu.
Ciecze
Ciecze w odróżnieniu od ciała stałego nie posiadają ustalonego kształtu,
choć są podobnie jak ciała stałe słabo ściśliwe. Ciecze tworzą powierz-
chnię swobodną oraz charakteryzują się uporządkowaniem bliskiego za-
sięgu. Oznacza to, że najbliższe otoczenie atomów jest takie samo. Cie-
cze tworzą cząsteczki o ustalonej strukturze. Jednakże względne ułoże-
nie cząsteczek względem siebie jest przypadkowe i dlatego możemy
przewidzieć położenie sąsiedniego atomu ale nie jesteśmy w stanie obli-
czyć dokładnie struktury w dalszym miejscu. Ruch obrotowy i ruch po-
stępowy cząsteczek cieczy jest znacznie ograniczony.
Gazy
Gaz wypełnia całą dostępną objętość naczynia, w którym się znajduje.
Jest ściśliwy, a odległości wzajemne między cząsteczkami są duże.
Cząsteczki gazu znajdują się w ciągłym ruchu chaotycznym (ruchy
Browna). Istnieją także silne ruchy obrotowe i ruchy drgające wewnątrz
cząsteczek. Dominującą formą oddziaływań są zderzenia. Prędkość
cząsteczek jest większa niż w przypadku cieczy.
7.3. Inne stany materii
Powyższe kryteria podziału stanów skupienia odnoszą się do właściwoś-
ci idealnych ciał stałych, gazów i cieczy. W rzeczywistości obserwowa-
ne są pewne odstępstwa od zaprezentowanych cech. Istnieją również
ciała, które trudno jest jednoznacznie przyporządkować do określonej
kategorii.
R
OZDZIAŁ
7
Strona
96
96
96
96
Szkło
Szkło jest materiałem, w którym, podobnie jak w cieczy, występuje jedy-
nie uporządkowanie bliskiego zasięgu. W warunkach, w których je ob-
serwujemy zachowuje ono jednak nie tylko objętość, ale i kształt, co jest
cechą charakterystyczną ciał stałych.
Szkło jest w istocie stanem metastabilnym, tzw. przechłodzoną cieczą –
czyli cieczą, której ruchy uległy zamrożeniu bez przejścia w stan stały
(krystalizacji). Czas potrzebny na reorganizację ustawienia cząsteczek
(tak zwany czas relaksacji) jest na tyle długi, że obserwator nie zauważy
efektu płynięcia pod wpływem działania sił ścinających. Umowną
granicą jest w tym przypadku czas relaksacji równy 100 sekund – jeśli
jest on krótszy, możemy nazywać dane ciało cieczą. Zamrażanie ruchów
cząsteczek cieczy nazywane jest również przejściem szklistym, a jego
temperatura oznaczana jako T
g
– temperaturą przejścia szklistego.
Istnieje przeświadczenie, że efekty płynięcia szkła są widoczne przy
odpowiednio długiej obserwacji czyli w wystarczająco „starych” obiek-
tach. Dokładne badania szkła wytworzonego w starożytnym Egipcie oraz
szkła użytego w witrażach średniowiecznych katedr wykazało jednak, że
czas potrzebny na obserwację efektu płynięcia dla tych szkieł, w tempe-
raturze pokojowej, jest porównywalny z wiekiem wszechświata, a więc
trudny do zaobserwowania w normalnych warunkach. Atomy szkła za-
czynają się szybciej ruszać, czyli szkło zaczyna płynąć dopiero po
podgrzaniu powyżej temperatury przejścia szklistego, co wykorzystywa-
ne jest w hutach szkła do nadawania mu oczekiwanych kształtów.
Tworzywa sztuczne
Z tworzyw sztucznych zbudowane są takie przedmioty codziennego
użytku jak opona, gumowa piłka lub zderzak większości nowoczesnych
samochodów. Wydaje się, że zarówno przedmioty te jak i materiał,
z których są zbudowane spełniają kryteria stawiane ciału stałemu.
Okazuje się jednak, że również w tych materiałach nie istnieje uporząd-
kowanie dalekiego zasięgu, a charakter oddziaływań między cząsteczka-
mi jest harmoniczny jedynie w wąskim zakresie przyłożonych naprężeń.
Tworzywa sztuczne są zbudowane z łańcuchów polimerowych, gdzie
identyczne cząsteczki połączone są w długie łańcuchy. Oddziaływania
między łańcuchami mają złożony charakter i zależą od struktury
łańcucha. Prostym modelem tworzywa sztucznego może być miska
pełna spaghetti. Pojedyncze nitki makaronu oddziałują ze sobą nie tylko
poprzez tarcie ale dodatkowo występują różnorakie zapętlenia i zawęźle-
S
TANY SKUPIENIA MATERII
Strona
97
97
97
97
nia w efekcie czego makaron nie rozpływa się. W tworzywach sztucz-
nych poprzez tzw. sieciowanie można dodatkowo zwiększyć oddziały-
wania między łańcuchami zwiększając ich wytrzymałość. W tworzy-
wach sztucznych często nawet nieznaczne modyfikacje materiału wyj-
ś
ciowego zmieniają zachowanie tworzywa z typowego dla cieczy na
typowe dla ciała stałego.
Rozciągnięcie lub ściśnięcie opony widziane w ujęciu mikroskopowym
jest związane przede wszystkim z rekonfiguracją wzajemnego położenia
łańcuchów. Gdybyśmy umieścili wewnątrz opony miernik temperatury
okazałoby się, że na skutek rozciągania i ściskania zmienia się lokalnie
jej temperatura – zachodzi przemiana termodynamiczna.
Plazma
Obok ciał stałych, cieczy i gazów wymienia się zazwyczaj również
czwarty stan skupienia materii – stan plazmy. Jest to stan o najwyższej
energii, w którym materia jest zjonizowana i składa się z naładowanych
cząstek o przeciwnych znakach
ładunku elektrycznego. W odróżnieniu
od innych stanów skupienia w stanie plazmy oddziaływanie pomiędzy
cząsteczkami ma charakter dalekozasięgowy, czyli nie ogranicza się do
najbliższych sąsiadów, ale każda z naładowanych cząstek oddziałuje z
wieloma innymi dalszymi
cząstkami. Plazma jest bardzo dobrym prze-
wodnikiem elektrycznym.
Materię w tym stanie możemy obserwować m.in. w płomieniu i łuku
elektrycznym, jak również w wyładowaniu następującym w lampach
jarzeniowych i w wyładowaniach atmosferycznych.
7.4. Przejścia między stanami –
przemiany fazowe
Stan skupienia danego ciała zależy od takich wielkości makroskopowych
jak objętość, temperatura czy ciśnienie. Analizując stany, w jakich wy-
stępuje dane ciało przy określonych wielkościach makroskopowych, mo-
ż
emy przygotować tak zwany diagram fazowy, który zwyczajowo
przedstawia się na wykresie ciśnienia od temperatury. Linie stanowiące
granicę występowania danej fazy związane są ze zmianą stanu skupienia.
Ponieważ stany skupienia różnią się między sobą zarówno energią jak
i charakterem oddziaływań, zmiana stanu skupienia wymaga dostarcze-
R
OZDZIAŁ
7
Strona
98
98
98
98
nia lub odebrania tej energii. Dokładniejszą dyskusję przemian fazowych
przeprowadzimy w rozdziale poświęconym termodynamice. Teraz
jedynie wymienimy przemiany fazowe.
Przejście pomiędzy ciałem stałym a cieczą nazywamy topnieniem. Przy-
kładem jest topnienie lodu lub proces przetapiania złomu w hucie.
W procesie topnienia energia cząsteczek zwiększa się i następuje zerwa-
nie wiązań. W pewnych warunkach ciało stałe może również przejść
bezpośrednio w stan gazowy – proces taki nazywamy sublimacją.
Sublimację obserwujemy w mroźne zimy – obecny na obiektach szron
i lód stopniowo znika bez udziału pośredniego procesu topnienia.
Ciecz przechodząc w stan stały ulega krystalizacji. Podczas obniżania
temperatury cieczy maleje energia kinetyczna cząsteczek cieczy i domi-
nować zaczynają procesy porządkowania atomów w charakterystyczną
dla danego związku periodyczną strukturę krystaliczną. Cząsteczki tracą
możliwość przemieszczania się ruchem postępowym - w ciele stałym
dominują ruchy drgające, polegające na niewielkich oscylacjach wokół
położenia równowagi. Podczas ogrzewania cieczy natomiast wzrasta
energia kinetyczna cząsteczek. Gdy ta energia jest odpowiednio duża
i cząsteczka cieczy jest w stanie pokonać siły oddziaływania międzyczą-
steczkowego fazy ciekłej, odrywa się do cieczy, co nazywamy
parowaniem
. Warto zwrócić uwagę na to, że parowanie nie następuje
tylko w temperaturze wrzenia cieczy.
Rysunek 7.1. Schematyczny diagram fazowy. Zaznaczono kierunki
zachodzących przemian fazowych
S
TANY SKUPIENIA MATERII
Strona
99
99
99
99
Cząsteczki znajdujące się na powierzchni cieczy mają szansę uwolnić się
do fazy gazowej w całym zakresie temperatur, w których ciecz istnieje,
jednak intensywność tego procesu jest różna w różnych warunkach.
Podczas wrzenia natomiast zmiana stanu skupienia następuje w całej
objętości cieczy.
Procesem odwrotnym do parowania jest skraplanie. Proces ten obser-
wujemy na przykład w postaci rosy w chłodne poranki, a warunki
makroskopowe (temperatura i ciśnienie) niezbędne do jego zajścia nazy-
wamy punktem rosy. Gaz może również przejść do fazy stałej bezpo-
ś
rednio w wyniku resublimacji. Przykładem resublimacji jest osadzanie
się szronu na chłodnych powierzchniach. Zjawisko resublimacji wyko-
rzystywane jest w procesie technologicznym wytwarzania cienkich
warstw na potrzeby elektroniki.
W przypadku typowego zachowania materii możemy tak dobrać ciśnie-
nie, objętość i temperaturę ciała aby otrzymać stan, w którym współist-
nieć mogą trzy fazy, gazowy, ciekły i ciało stałe. Taki punkt na diagra-
mie fazowym nazywamy punktem potrójnym.
R
OZDZIAŁ
7
Strona
100
100
100
100
8
Hydrostatyka
i hydrodynamika
W tym rozdziale:
o
Ciśnienie
o
Prawo Pascala
o
Siła wyporu – prawo Archimedesa
o
Równanie Bernoulliego, dysza, skrzydło samolotowe
o
Płyny rzeczywiste, wiry i turbulencje
o
Opór dynamiczny
R
OZDZIAŁ
8
Strona
102
102
102
102
8.1. Hydrostatyka
Hydrostatyka i hydrodynamika opisują własności i zachowanie płynów,
czyli cieczy oraz gazów.
Ciśnienie
Jedną z kluczowych wielkości, charakteryzujących płyny jest ciśnienie.
Ciśnienie definiujemy jako stosunek siły wywieranej na daną
powierzchnię do wielkości tej powierzchni A:
A
F
p
=
(8.1)
Jednostką ciśnienia jest paskal (1Pa=1N/m
2
), który odpowiada sile 1 N
działającej na powierzchnię 1 metra kwadratowego.
Ponieważ ciśnienia spotykane w opisie zjawisk przyrodniczych są wielo-
krotnie większe, np. ciśnienie wywierane przez atmosferę jest równe
około 10
5
Pa, powstały jednostki takie jak atmosfera fizyczna, atmosfera
techniczna oraz bar. W motoryzacji natomiast często używa się jednostki
angielskiej – psi, czyli funt na cal kwadratowy, Podczas gdy w technice
próżniowej z kolei często stosowaną jednostką jest tor.
Tabela 8.1. Wybrane jednostki ciśnienia
Dla nieściśliwego płynu ciśnienie hydrostatyczne na pewnej głębokości
h
pod powierzchnią cieczy zależy wyłącznie od tej głębokości:
gh
p
p
0
ρ
+
=
(8.2)
gdzie p
o
jest ciśnieniem wywieranym przez atmosferę na powierzchnię
cieczy a ρ – gęstością płynu. W celu przeprowadzenia dowodu tego
twierdzenia wyodrębnijmy „wycinek” cieczy o płaskich podstawach (np.
walec). Jeśli w cieczy nie ma ruchów konwekcyjnych, wycinek ten nie
mm Hg, Tr
At
Atm
bar
Psi
133.3
9.807
⋅
10
4
1.013
⋅
10
5
1.0
⋅
10
5
6.893
⋅
10
3
H
YDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA
Strona
103
103
103
103
unosi się ani nie opada, a zatem siły działające na obie postawy (górną i
dolną) muszą się równoważyć. Siłę działającą na górną podstawę
możemy wyrazić poprzez ciśnienie przy górnej krawędzi
G
p
oraz pole
powierzchni tego walca A:
A
p
F
G
G
=
(8.3)
Podobnie możemy wyznaczyć siłę działającą na dolną podstawę:
A
p
F
D
D
=
(8.4)
Siłę działającą na dolną podstawę można również wyznaczyć sumując
siłę działającą na górną podstawę oraz siłę ciężkości rozważanego
„wycinka”:
g
hA
A
p
mg
A
p
F
D
D
D
ρ
+
=
+
=
(8.5)
Jeżeli porównamy zależności 8.4 i 8.5 to po podzieleniu obu stron przez
powierzchnię A otrzymujemy równanie 8.2. Wzrost ciśnienia wywołany
głębokością pod powierzchnią płynu jest związany z ciężarem tego pły-
nu. W przypadku ogólnym rozważany „wycinek” cieczy może obejmo-
wać cały słup cieczy począwszy od jej powierzchni, na której panuje
ciśnienie p
0
.
Barometr cieczowy
Barometr cieczowy jest prostym urządzeniem do pomiaru ciśnienia at-
mosferycznego za pomocą ciśnienia hydrostatycznego. Barometr cieczo-
wy składa się z płaskiej zlewki i długiej rury, zamkniętej na jednym
końcu. Zarówno zlewkę, jak i rurę napełniamy cieczą, a następnie rurę
odwracamy tak, by jej otwarty koniec znalazł się pod powierzchnią
płynu w zlewce (rysunek 8.1). Wydawać by się mogło, że skoro
powierzchnia cieczy w rurce znajduje się wyżej od powierzchni płynu
w zlewce, czyli ma wyższą energię potencjalną, ciecz znajdująca się
w rurze powinna w całości wypłynąć do zlewki. Tymczasem obserwuje-
my jedynie obniżenie się wysokości słupa cieczy do pewnej wysokości.
Toricelli stwierdził, że w rurce ustala się taki poziom płynu, który
równoważy zewnętrzne ciśnienie atmosferyczne działające na otwartą
zlewkę.
gh
p
ρ
=
0
(8.6)
R
OZDZIAŁ
8
Strona
104
104
104
104
Rysunek 8.1. Barometr cieczowy
Przy zmieniającym się ciśnieniu atmosferycznym zmieniać się będzie
również wysokość słupa płynu a więc układ taki może być stosowany
jako barometr do pomiaru ciśnienia atmosferycznego. W praktyce
najczęściej stosuje się barometry rtęciowe, gdyż ze względu na wysoką
gęstość rtęci barometr taki nie musi być bardzo wysoki – ciśnienie słupa
rtęci o wysokości około 760mm jest porównywalne z ciśnieniem
atmosferycznym.
Wpływ ciśnienia słupa płynu należy uwzględniać np. przy projektowaniu
sieci wodociągowej i ujęć wody. Jeśli różnica wysokości między
ujęciem wody a punktem odbioru jest znaczna (źródło znajduje się na
przykład na zboczu góry) stosuje się reduktory ciśnienia tak aby rury
doprowadzające wodę nie zostały rozsadzone. Z odwrotnym problemem
spotykamy się dostarczając wodę do wysokich budynków – przy
zasilaniu bezpośrednio z sieci wodociągowej woda ma właściwe
ciśnienie jedynie na najniższych piętrach. Z tego względu w niektórych
przypadkach wodę pompuje się najpierw na najwyższe piętra, by
następnie przez odpowiednią redukcję ciśnienia uzyskać pożądaną
wartość na poszczególnych kondygnacjach. Regulacji ciśnienia w sieci
wodociągowej mogą służyć również tzw. wieże ciśnień – wysokość
słupa wody zgromadzonego w wieży określa ciśnienie w połączonej
z nią sieci wodociągowej. Przykładem naturalnej „wieży ciśnień” są tzw.
studnie artezyjskie. Jeśli teren jest zagłębiony – tworzy tzw. nieckę
artezyjską, a warstwa wodonośna jest uwięziona pomiędzy słabo
przepuszczalnymi skałami, ciśnienie wywierane przez wodę z warstwy
na uniesionych brzegach niecki powoduje samorzutne wypływanie wody
w zagłębionej części niecki.
H
YDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA
Strona
105
105
105
105
Prawo Pascala
Ciśnienie w cieczy rozchodzi się we wszystkich kierunkach
jednakowo.
Powyższe prawo Pascala jest podstawą działania systemów hydraulicz-
nych. Wzrost ciśnienia w jednym punkcie zamkniętego układu powoduje
identyczny i natychmiastowy wzrost ciśnienia we wszystkich innych
punktach. Prostym przykładem wykorzystania tego prawa jest bębnowy
hamulec hydrauliczny. Naciskając pedał hamulca wciskamy (za pośred-
nictwem dźwigni) tłok w niewielkim cylindrze, wypełnionym cieczą.
Ponieważ średnica tłoka jest niewielka, to siła, którą naciskamy pedał,
powoduje znaczny wzrost ciśnienia cieczy w układzie hamulcowym (ciś-
nienie jest odwrotnie proporcjonalne do powierzchni, na którą działa siła
zgodnie z równaniem 8.1). Poprzez przewód hamulcowy ciśnienie to jest
przekazywane do cylindra z dwoma tłokami, znajdującego się wewnątrz
mechanizmu hamulca. W tej części układu powierzchnia tłoków jest
znacznie większa, a więc siła z jaką tłoki dociskają okładki hamulcowe
do wewnętrznej części bębna jest wielokrotnie większa niż siła nacisku
na pedały, wytwarzając w ten sposób duży moment hamujący.
Zasada działania podnośnika hydraulicznego (prasy hydraulicznej) rów-
nież może być wyjaśniona w oparciu o prawo Pascala. Prasa hydraulicz-
na składa się z połączonych ze sobą dwóch cylindrów o różnych średni-
cach (rysunek 8.2). Naciskając jeden z nich o powierzchni S
1
siłą F
1
wytwarzamy ciśnienie:
1
1
S
F
p
=
(8.7)
W układzie zamkniętym prasy dokładnie takie samo ciśnienie będzie
działało na drugi tłok, jeśli tylko znajduje się on na identycznej
wysokości (jeśli wysokości byłyby różne, należałoby uwzględnić dodat-
kowe ciśnienie słupa cieczy). Możemy zatem obliczyć siłę F
2
działającą
na drugi tłok o powierzchni S
2
:
2
1
1
2
S
S
F
F
=
(8.8)
Siła F
2
zależy zatem od stosunku powierzchni tłoków. Jeśli średnica
mniejszego tłoka wynosi 1cm, a średnica większego 10cm (czyli po-
wierzchnia tłoka jest 100 razy większa), to naciskając na mniejszy tłok
R
OZDZIAŁ
8
Strona
106
106
106
106
siłą 100N (około 10kg) wytwarzamy na większym tłoku siłę stokrotnie
większą zdolną podnieść masę jednej tony. Za pomocą przenośnego
podnośnika hydraulicznego możemy zatem łatwo unieść samochód
w celu dokonania napraw. W dużych prasach siła ta może osiągać kilka-
set ton, co jest wystarczające np. do formowania blach karoserii
samochodowych.
Rysunek 8.2. Schemat budowy podnośnika hydraulicznego
Warto zwrócić uwagę, że przemieszczenie dużego tłoka w powyższej
prasie hydraulicznej jest odpowiednio mniejsze. Aby uzyskać przemiesz-
czenie dużego tłoka o 1cm przy danych identycznych jak w powyższym
przykładzie, mniejszy tłok należałoby przesunąć o 1 metr. Ponieważ
w praktyce może być to trudne do zrealizowania, w systemach siłowni-
ków hydraulicznych stosuje się system zaworów zwrotnych – pozwalają-
cych na przepływ płynu tylko w jedną stronę. W podnośniku ręcznym
zawór zwrotny pozwala na wielokrotny ruch mniejszego tłoka w celu
uzyskania odpowiedniego przesunięcia dużego tłoka. W obu przypad-
kach wykonana praca jest jednak identyczna. Przyjmując oznaczenie
przemieszczenia tłoka jako x otrzymujemy:
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
W
x
F
S
V
F
S
V
S
S
F
S
V
F
x
F
W
=
=
=
=
=
=
(8.9)
Siła wyporu – prawo Archimedesa
Zgodnie z prawem Archimedesa:
Na ciało zanurzone w płynie działa siła wyporu skierowana
pionowo do góry równa ciężarowi wypartego płynu.
H
YDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA
Strona
107
107
107
107
g
V
F
c
W
ρ
=
(8.10)
Wzór na wartość siły wyporu można wyprowadzić w sposób analogicz-
ny do zastosowanego przy wyznaczaniu ciśnienia wywieranego przez
słup cieczy. Wyodrębnijmy z cieczy o gęstości ρ fragment o objętości V,
polu przekroju S oraz wysokości h, który ani nie tonie ani nie unosi się.
Oznacza to, że ciężar tego fragmentu musi być zrównoważony przez siłę
wyporu skierowaną w górę. Rozważania te nie zmienią się jeżeli na
miejsce wyodrębnionego fragmentu wstawimy badane ciało, w szczegól-
ności nie zmieni się wartość siły wyporu – wartość siły wyporu zależy
od objętości zanurzonego ciała oraz gęstości cieczy, w której te ciało jest
zanurzone. W przypadku ciał pływających na powierzchni wody prawo
Archimedesa możemy sformułować w następujący sposób:
Ciało pływające na powierzchni wody wypiera ilość wody
ważącą tyle, ile samo waży.
Ciało pływające na powierzchni wypiera jedynie tyle wody, ile wynosi
objętość jego zanurzonej części. Siła wyporu związana jest z objętością
wypartej cieczy o gęstości
ρ
c
, czyli tylko z częścią zanurzoną ciała V
z
ale
siła ta równoważy ciężar całego ciała (mg) co zapisujemy:
g
V
mg
c
z
ρ
=
(8.11)
Działania siły wyporu możemy doświadczyć pływając w wodzie. Biorąc
pod uwagę powietrze zgromadzone w płucach, ciało ludzkie ma średnią
gęstość mniejszą od wody, co pozwala mu unosić się na powierzchni.
Pojazdy i konstrukcje pływające mają również średnią gęstość mniejszą
od wody – choć kadłub statku jest wykonany ze stali o znacznie większej
gęstości od wody ale średnia gęstość liczona dla całej bryły okrętu jest
mniejsza od gęstości wody. Siła wyporu unosi również balony, zarówno
wypełnione gazami lżejszymi od powietrza (hel, wodór) jak i napełnione
ogrzanym powietrzem. W obu przypadkach balon unosi się ponieważ
ś
rednia gęstość liczona dla całej bryły balonu jest mniejsza niż gęstość
otaczającego powietrza.
Jak wynika z prawa Archimedesa i jak widać w przytoczonych
przykładach siła wyporu zależy od gęstości płynu, w którym ciało jest
zanurzone. Oznacza to również, że mierząc siłę wyporu możemy
mierzyć gęstości cieczy. Urządzenia wykorzystujące ten efekt nazywa
się areometrami i stosowane są zarówno w przemyśle winiarskim (do
wyznaczania zawartości alkoholu) jak i paliwowym. Areometr ma
zwykle kształt długiej rurki, obciążonej na jednym końcu. Po umieszcze-
niu w cieczy przyjmuje pozycję pionową. Głębokość zanurzenia pływa-
R
OZDZIAŁ
8
Strona
108
108
108
108
ka zależy od gęstości cieczy – jeśli gęstość jest mniejsza (np. więcej
alkoholu w stosunku do wody), zmniejsza się siła wyporu i pływak
zanurza się głębiej. Jeśli gęstość jest większa zanurzenie zmniejsza się.
Podobnie dzieje się z naszym ciałem – w gęstszej wodzie słonej siła
wyporu jest większa i łatwiej jest unosić się na powierzchni. Z tego
samego powodu trudno jest utonąć w tzw. grząskich piaskach – ich
gęstość jest znacznie większa niż gęstość ludzkiego ciała.
Prawo Archimedesa w praktyce wykorzystywane jest w różnych urzą-
dzeniach hydrologicznych. Na przykład w niektórych krajach odcinki
kanałów żeglugowych poprowadzone są na wiaduktach. Kiedy barka
wpływa na taki wiadukt, obciążenie konstrukcji nie zmienia się jednak,
ponieważ barka pływając na powierzchni wody, wypiera z kanału do-
kładnie tyle wody, ile sama waży.
8.2. Hydrodynamika
Hydrodynamika opisuje zjawiska związane z przepływem płynów.
W pierwszym przybliżeniu badany ośrodek możemy zastąpić płynem
idealnym
, który wyróżnia się następującymi cechami:
• Przepływ laminarny – prędkość poruszającego się płynu w
każdym wybranym punkcie nie zmienia się z upływem
czasu.
• Przepływ nieściśliwy – gęstość płynu jest stała.
• Przepływ nielepki – brak strat związanych z oporem
wewnętrznym.
• Przepływ bezwirowy – zawieszona w płynie cząstka nie
obraca się względem środka masy.
Równanie ciągłości
W celu zobrazowania przepływu płynu idealnego wygodnie jest wpro-
wadzić linie prądu. Są to linie w każdym punkcie styczne do toru oraz
prędkości cząstki zawieszonej w płynie. Rozpatrzmy strugę nieściśliwe-
go płynu definiowaną jako zespół linii prądu wypełniających poprzeczny
H
YDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA
Strona
109
109
109
109
do linii prądu mały kontur zamknięty (rurkę prądu). Jeżeli płyn jest
nieściśliwy oraz w rurce prądu nie ma żadnych źródeł ani wypływów,
wówczas masa płynu przepływająca w jednostce czasu przez dowolny
przekrój poprzeczny tej strugi musi być taka sama. Zasadę zachowania
masy dla takiej strugi płynu można więc zapisać:
2
2
m
t
S
ρ
t
S
ρ
m
1
1
1
d
d
d
d
2
=
=
=
v
v
(8.12),
gdzie dm
1
oraz dm
2
oznaczają masę strugi płynu, która w czasie dt prze-
pływa z prędkością v
1
oraz v
2
przez przekrój strugi o powierzchni odpo-
wiednio S
1
oraz S
2
. Po przekształceniach otrzymujemy równość:
2
1
v
v
2
1
S
S
=
(8.13),
co zapisujemy jako tzw. równanie ciągłości:
const.
=
v
S
(8.14),
gdzie S jest polem przekroju poprzecznego, zaś v prędkością przepływu
płynu przez ten przekrój. Z równania tego wynika, że im węższy jest
przekrój, tym większa prędkość przepływu cieczy. Efekt taki możemy
zaobserwować na przykład dla wody w koryta rzecznego. Jeśli koryto
jest szerokie, rzeka płynie powoli, natomiast jeśli koryto jest wąskie –
np. w miejscu przełomu przez warstwy skał – prędkość nurtu zwiększa
się.
Równanie Bernoulliego
Równanie Bernoulliego określa związek między ciśnieniem cieczy,
prędkością jej przepływu oraz wysokością, na której znajduje się ta
ciecz.
Rozpatrzmy rurę o zmiennym przekroju, której dwa końce znajdują sie
na różnych wysokościach jak na rysunku 8.3. Przepływ płynu z dolnej
części (indeksy 1) do górnej części (indeksy 2) odbywa się pod wpły-
wem siły parcia F
1
zdefiniowanej przez ciśnienie p
1
.
R
OZDZIAŁ
8
Strona
110
110
110
110
Rysunek 8.3. Ilustracja równania Bernoulliego
Siła ta przesuwając płyn o pewną odległość l
1
wykonuje pracę:
1
1
1
1
1
1
1
1
V
p
S
p
F
W
=
=
=
l
l
(8.15)
Przesunięciu temu przeciwdziałać będzie siła parcia F
2
związana z
ciśnieniem p
2
., która wykona pracę:
2
2
2
2
2
2
2
2
V
p
S
p
F
W
−
=
−
=
−
=
l
l
(8.16)
Ponieważ zgodnie z równaniem ciągłości taka sama objętość płynu
przesunie się w dolnej i górnej części rury więc wypadkowa praca
wykonana przez siły parcia wynosi:
V
)
p
(p
V
p
V
p
W
2
1
1
1
−
=
−
=
∆
2
2
(8.17)
Praca sił parcia wpływać będzie na zmianę energii kinetycznej i poten-
cjalna tej porcji płynu o objętości V. Płyn ten przepływając z prędkością
v
1
przez rurę znajdującą się na wysokości y
1
będzie miał energię:
1
1
mgy
m
E
+
=
2
1
2
1
v
(8.18),
gdzie m oznacza masę porcji płynu o objętości V oraz gęstości ρ. Zmiana
energii płynu przepływającego przez rozważaną rurę wynosić więc
będzie:
2
2
1
mgy
m
mgy
m
E
−
−
+
=
∆
2
2
1
2
1
2
1
v
v
(8.19)
Jeśli przyrównamy zmianę energii płynu oraz wypadkową pracę sił
parcia, po podzieleniu równania przez objętość, otrzymamy:
H
YDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA
Strona
111
111
111
111
2
2
2
2
1
2
1
1
gy
2
1
p
gy
2
1
p
ρ
ρ
ρ
ρ
+
+
=
+
+
v
v
(8.20)
Powyższe wyprowadzenie można uogólnić w postaci tzw. równania
Bernoulliego
, które mówi, że dla dowolnych dwóch przekroi rurki
cieczy idealnej suma trzech ciśnień – statycznego, hydrostatycznego oraz
spiętrzania – jest stała.
const.
=
+
+
h
g
2
1
p
2
ρ
ρv
(8.21)
Z równania Bernoulliego wynika na przykład, że jeżeli będziemy
rozpatrywać przepływ płynu na stałej wysokości (ciśnienie
hydrostatyczne jest stałe) wówczas im większa jest prędkość przepływu
cieczy (ciśnienie spiętrzania), tym mniejsze jest ciśnienie statyczne
wytwarzane przez tę ciecz. Efekt ten wykorzystujemy w szeregu
urządzeń.
Dysza
W pistolecie natryskowym wykorzystuje się strumień gazu poruszający
się z dużą prędkością. W miejscu podłączenia zbiornika z farbą znajduje
się przewężenie o przekroju znacznie mniejszym niż przekrój wlotu
dyszy. Z równania ciągłości wiemy, że w takim przewężeniu gaz ma
znacznie większą prędkość niż przy wlocie i wylocie dyszy. Z równania
Bernoulliego zaś wynika, że w takim punkcie gdzie prędkość przepływu
płynu jest wysoka, ciśnienie jest niskie. Przy odpowiednio wąskim
przewężeniu uzyskamy na tyle niskie ciśnienie (próżnię), że farba jest
zasysana do wnętrza dyszy, gdzie jej kropelki są rozpylane w strumieniu
przepływającego powietrza i mogą być wykorzystane do równomiernego
rozprowadzenia farby. Wykorzystując podobną konstrukcję można
również budować miniaturowe pompy próżniowe, a także przyrządy do
pomiaru prędkości gazu.
Skrzydło samolotu
Równanie Bernoulliego pozwala również wyjaśnić zasadę wytwarzania
siły nośnej przez skrzydło samolotu. Niesymetryczny kształt przekroju
płata skrzydła powoduje powstawanie różnicy prędkości strumienia
powietrza powyżej i poniżej płata. Różnica ta zależy od tzw. kąta
natarcia – określonego umownie pomiędzy cięciwą skrzydła a kierun-
kiem strugi powietrza. Przy pewnym kącie natarcia prędkości powietrza
owiewającego płat są sobie równe, ciśnienie po obu stronach płata jest
zatem również identyczne. Płat nie wytwarza wtedy siły nośnej. Jeśli
R
OZDZIAŁ
8
Strona
112
112
112
112
zwiększymy kąt natarcia, masy powietrza opływające skrzydło od góry
muszą pokonać dłuższą drogę a więc prędkość powietrza na górnej
powierzchni płata jest większa niż na dolnej. Zatem zgodnie z równa-
niem Bernoulliego ciśnienie na górnej powierzchni jest niższe. Różnica
ciśnień po obu stronach płata powoduje powstanie siły nośnej, unoszącej
samolot. Im większy kąt natarcia, tym większa siła nośna – należy
jednak pamiętać, że przy zbyt dużym kącie natarcia wzrastają również
siły hamujące działające na układ. Dochodzi wtedy do tzw. przeciągnię-
cia – zbyt duży kąt natarcia powoduje utratę prędkości i w konsekwencji
spadek siły nośnej.
Rysunek 8.4. Linie prądu powietrza opływającego skrzydło samolotu
Płyny rzeczywiste
Opis zachowania płynów rzeczywistych jest znacznie bardziej złożony
niż idealnych. Płyny rzeczywiste różnią się od idealnych przede
wszystkim niezerową lepkością oraz ściśliwością.
Ściśliwość opisuje zmianę objętości obiektu pod wpływem ciśnienia
zewnętrznego. Gazy charakteryzują się znacznie większą ściśliwością
niż ciecze, jednak w pewnym zagadnieniach można ją również zanied-
bać. Kryterium jest tzw. liczba Macha, która wyraża się stosunkiem
prędkości przepływu gazu do prędkości dźwięku w tym gazie. Jeśli
prędkość przepływu jest znacznie mniejsza od prędkości dźwięku,
ś
ciśliwość gazu można zaniedbać.
Lepkość płynu jest związana z tarciem wewnętrznym, występującym
w płynie. Jeśli podzielimy płyn na cienkie warstwy ułożone równolegle
do linii prądu, to tarcie wewnętrzne określa wielkość sił oporu występu-
jących pomiędzy poszczególnymi warstwami. Jeśli lepkość jest niewiel-
ka, czyli wpływ sił lepkości na ruch płynu jest niewielki, to przepływają-
cy płyn nie napotyka na przeszkody i poszczególne warstwy płynu poru-
H
YDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA
Strona
113
113
113
113
szają się ze zbliżoną prędkością. Jeśli w strumieniu cieczy znajduje się
nieruchomy obiekt, na skutek oddziaływania sił lepkości warstwa płynu
najbliższa jego powierzchni będzie poruszała się z niewielką prędkością
– w przybliżeniu można przyjąć, że warstwa ta znajduje się w spo-
czynku. Kolejne warstwy, coraz bardziej odległe od przeszkody będą
poruszały się z coraz większą prędkością. Stosunek sił tarcia wewnę-
trznego do powierzchni warstwy możemy wyrazić jako tzw. naprężenie
styczne
τ
:
y
η
A
T
τ
x
∂
∂
=
=
v
(8.22)
Naprężenie styczne jest wprost proporcjonalne do gradientu prędkości
występującego pomiędzy kolejnymi warstwami płynu. Współczynnik
proporcjonalności nazywamy dynamicznym współczynnikiem lepkości η
a jego jednostką jest paskal sekunda [Pa·s].
Wiry i turbulencje
Cechą charakterystyczną płynów rzeczywistych jest możliwość występo-
wania w nich turbulencji i wirów. Przepływ wirowy występuje wtedy,
kiedy wydzielony przez obserwatora element płynu ulega obrotowi.
Oprócz obrotu wokół punktu wyznaczającego środek wiru, obrót może
następować także (w sposób jednoczesny) wokół osi własnej elementu.
Można to porównać do karuzeli w wesołym miasteczku, na której fotele
obracają się nie tylko wokół osi karuzeli, ale również własnej osi.
Powstawanie wirów można obserwować m.in. za przeszkodami w nurcie
rzeki czy też za skrzydłem samolotu. Podczas pokazów lotniczych często
prezentowane są „skrzydła anioła” które powstają w wyniku rozpylenia
przez lecący samolot barwnika w powietrzu. Drobiny barwnika zostają
zassane przez wir powstający za skrzydłami, a następnie opadają.
Przepływ wirowy powstaje również za lotkami skrzydeł ptaków.
Grupowanie się ptaków w klucz podczas migracji jest metodą redukcji
oporu związanego z powstawaniem wirów. Warto zwrócić uwagę, że
przyczyną powstawania różnego rodzaju wirów może być również np.
siła Coriolisa związana z ruchem obrotowym Ziemi. Kierunek obrotu
wiru nad otworem odpływowym zbiornika jest na półkuli północnej
Ziemi zawsze identyczny i próby „odwrócenia” go nie powiodą się.
Z turbulencjami mamy do czynienia wtedy, kiedy przepływ nie jest
stacjonarny – kierunek i wartość prędkości w danym punkcie ulegają
zmianom w czasie. Prostym przykładem turbulencji są bystrza rzeki
i wodospady - widzimy, że choć średni kierunek przepływu jest iden-
R
OZDZIAŁ
8
Strona
114
114
114
114
tyczny, układ rozbryzgów wody w poszczególnych punktach zmienia się
w czasie. Turbulencje powstają również w strumieniach mas powietrza.
Szczególnie narażone na to zjawisko są zawietrzne stoki gór, ale turbu-
lencje mogą pojawiać się również na granicy mas powietrza o różnych
temperaturach, wilgotności itp.
Opór dynamiczny
Płyn opływający ciało napotyka na opór dynamiczny, na który składają
się dwa czynniki – siły tarcia wewnętrznego T i tzw. opór ciśnieniowy
R
.
Siły tarcia wewnętrznego związane są z lepkością opływającego płynu
i zależą liniowo od prędkości v obiektu względem strumienia płynu:
v
L
B
η
T
=
(8.23)
gdzie B jest współczynnikiem proporcjonalności, η oznacza współczyn-
nik lepkości, a L określa tzw. rozmiar ciała. Dla kuli umownie przyjmuje
się wielkość L równą jej promieniowi.
Opór ciśnieniowy jest związany z naciskiem strumienia płynu na
powierzchnię czołową przeszkody oraz koniecznością „rozepchnięcia”
przez przeszkodę warstw płynu, który go opływa. Wartość oporu
ciśnieniowego R jest proporcjonalna do kwadratu prędkości:
2
2
2
v
v
L
C
ρ
A
C
ρ
R
=
=
(8.24)
gdzie ρ oznacza gęstość cieczy a A powierzchnię – która zależy od
wymiaru ciała L w kwadracie. Współczynnik C jest stałą proporcjonal-
ności, która zależy od kształtu ciała i dla kuli przykładowo współczynnik
ten wynosi około 0.15.
Liczba Reynoldsa
Re jest definiowana poprzez stosunek oporu ciśnie-
niowego do tarcia wewnętrznego:
Re
B
C
η
ρL
B
C
L
B
η
L
C
ρ
T
R
=
=
=
v
v
v
2
2
(8.25)
Liczba Reynoldsa charakteryzuje tzw. podobieństwo hydrodynamiczne –
jeśli warunki przepływu dwóch płynów są określone identycznymi licz-
bami Reynoldsa, ich przepływ będzie miał podobny charakter. Jeśli licz-
ba Reynoldsa jest znacznie mniejsza od jedności, przepływ ma charakter
warstwowy, a dominującą rolę mają siły lepkości. Jeśli liczba Reynoldsa
H
YDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA
Strona
115
115
115
115
jest znacznie większa od jedności, przepływ ma charakter burzliwy, a na
opór decydujący wpływ ma opór ciśnieniowy i powstające za obiektem
turbulencje.
W przypadku nadwozia samochodowego decydujące znaczenie ma opór
ciśnieniowy i dlatego siły oporu aerodynamicznego rosną z kwadratem
prędkości. Niski współczynnik oporu ciśnieniowego jest korzystny ze
względu na zużycie paliwa i uzyskiwaną prędkość maksymalną, ale
może pogarszać kontakt pojazdu z nawierzchnią. Z tego względu stosuje
się tzw. spoilery, które działając podobnie jak skrzydło samolotu wytwa-
rzają siłę dociskającą pojazd do drogi. W przypadku bolidów Formuły1
opływowe kształty ma kadłub, natomiast zarówno z przodu jak i z tyłu
samochodu zamontowane są płaty zapewniające odpowiedni docisk
i sterowność bolidu. Z tego względu współczynnik oporu aerodynamicz-
nego bolidów F1 jest stosunkowo wysoki – co równoważone jest jednak
przez dużą moc silnika.
Z oporem aero- i hydro-dynamicznym jest związane również pojęcie
tzw. prędkości granicznej ośrodka. Podczas spadku swobodnego w po-
wietrzu prędkość ciała początkowo rośnie, ponieważ na ciało działa siła
przyciągania ziemskiego. Wartość tej siły należy zmniejszyć o wartość
siły wyporu ośrodka. Wraz ze wzrostem prędkości ciała wzrastają jednak
również siły oporu – zależnie od rodzaju ośrodka i charakteru przepływu
są one proporcjonalne do wartości prędkości lub do jej kwadratu.
W pewnym momencie, przy pewnej prędkości, nazywanej prędkością
graniczną, dochodzi do zrównoważenia się siły grawitacji i sumy sił
wyporu oraz oporu ośrodka. Prędkość graniczna jest maksymalną pręd-
kością osiąganą przez ciało w danym ośrodku i np. dla skoczków spado-
chronowych, przed otwarciem spadochronu, wynosi ona od ok. 195 do
ok. 320 km/h w zależności od pozycji w jakiej spadają. Osiągnięcie
większej prędkości wymaga wykonania skoku na dużej wysokości, gdzie
atmosfera jest rozrzedzona i siły oporu są mniejsze.
R
OZDZIAŁ
8
Strona
116
116
116
116
9
Termodynamika
W tym rozdziale:
o
Temperatura, skale temperatur
o
Równanie stanu gazu doskonałego
o
Ciepło i praca termodynamiczna
o
Pierwsza zasada termodynamiki
o
Przemiany termodynamiczne
o
Cykle gazowe, druga zasada termodynamiki
o
Entropia
o
Mechanizmy przekazywania ciepła, rozszerzalność
cieplna ciał stałych
R
OZDZIAŁ
9
Strona
118
118
118
118
Termodynamika
Termodynamika jest nauką zajmującą się badaniem zjawisk przemiany
energii (w szczególności zamiany ciepła na pracę mechaniczną)
zachodzących w układach makroskopowych. Szybki rozwój termodyna-
miki nastąpił w XIX wieku, co jest związane z rozwojem technologii
budowy silników parowych i spalinowych. Opisując stan układu termo-
dynamika posługuje się wielkościami makroskopowymi. Rozważając
różne stany skupienia materii oraz występujące między nimi przejścia
fazowe posłużyliśmy się już takimi parametrami, inaczej nazywanymi
parametrami stanu układu – ciśnieniem, objętością i temperaturą.
Objętość jest rozmiarem przestrzeni zajmowanej przez dane ciało, a
definicję ciśnienia poznaliśmy już przy okazji omawiania zagadnień
związanych z mechaniką płynów – wartość ciśnienia otrzymujemy dzie-
ląc siłę przez powierzchnię, na którą działa ta siła. O temperaturze wspo-
minaliśmy już, wprowadzając pojęcie energii kinetycznej. Wykazaliśmy
wówczas, że im szybciej poruszają się cząsteczki, tym większą mają
energię i tym wyższa jest temperatura układu. Do tego mikroskopowego
opisu jeszcze wrócimy, postaramy się jednak najpierw opisać temperatu-
rę w ujęciu makroskopowym. Opisu takiego dostarcza tzw. zerowa zasa-
da termodynamiki.
9.1. Temperatura, zerowa
zasada termodynamiki
Istnieje wielkość skalarna zwana temperaturą, która jest
właściwością wszystkich ciał izolowanego układu termodyna-
micznego pozostających w równowadze wzajemnej.
Równowaga polega na tym, że każde z ciał tyle samo energii
emituje (wysyła) co pochłania. Temperatura każdego ciała
układu pozostaje taka sama.
Zerowa zasada termodynamiki może być również sformułowana
następująco:
Jeśli ciało A jest w równowadze termicznej z ciałem B i z ciałem
C to ciało B jest w równowadze z ciałem C.
T
ERMODYNAMIKA
Strona
119
119
119
119
Ciała znajdują się w stanie równowagi termicznej, jeśli zachodzi między
nimi wymiana ciepła. Jeśli postawimy szklankę z gorącą wodą na ka-
miennym zimnym blacie, szklanka będzie stawać się coraz chłodniejsza
a blat coraz cieplejszy – temperatura szklanki będzie malała, a tempera-
tura blatu rosła. Kiedy temperatura szklanki zrówna się z temperaturą
blatu, znajdą się w stanie równowagi termicznej – ich temperatura będzie
taka sama.
Ż
eby sprawdzić, czy ciała są w stanie równowagi termicznej nie muszą
być one w bezpośrednim kontakcie. Wystarczy znać temperaturę obu
ciał. Jeśli stwierdzimy, że dowolne ciała A i B są w stanie równowagi
termicznej z trzecim ciałem T, to są także w stanie równowagi ze sobą
nawzajem. Ciało T pełni rolę termometru.
Termometr
Temperaturę możemy mierzyć różnymi metodami. W popularnych ter-
mometrach rtęciowych lub spirytusowych wykorzystywana jest liniowa
rozszerzalność cieplna tych cieczy, a wartość temperatury pokazuje wy-
sokość słupka cieczy. Rozszerzalność temperaturową metali wykorzys-
tuje się również we wskaźnikach na desce rozdzielczej starszych
samochodów, czy na drzwiczkach starych modeli piekarników – spirala
z metalu rozszerzając się pod wpływem ciepła obraca wskazówkę. Cie-
kawy rodzaj termometru możemy zbudować wykorzystując siłę wyporu
– jeśli umieścimy w kolumnie z cieczą odważniki o innym współczynni-
ku rozszerzalności cieplnej niż otaczająca ciecz, w zależności od tempe-
ratury poszczególne odważniki będą się wynurzać lub opadać w miarę
jak będzie zmieniać się gęstość otaczającej cieczy. Obecnie często stosu-
je się termometry elektroniczne, w których wykorzystujemy bądź zależ-
ność temperaturową oporu elektrycznego (np. samochodowe czujniki
typu Pt-100 i Pt-1000), bądź zjawisko Seebecka powstania różnicy po-
tencjałów kontaktowych na połączeniu dwóch różnych metali – miernik
taki nazywamy termoparą.
Skale temperatur
Jednostką temperatury w układzie jednostek SI jest kelwin. Często
używa się jednak innych skali, jak skala Celsjusza lub Fahrenheita. Aby
zdefiniować skalę temperatury, są potrzebne dwa charakterystyczne
punkty, możliwie łatwe do odtworzenia w warunkach eksperymental-
nych. Zero absolutne - 0K - oznacza najniższą temperaturę do jakiej mo-
ż
emy się zbliżyć dowolnie blisko, która jednak pozostaje nieosiągalna.
Drugi charakterystyczny punkt skali to tzw. punkt potrójny wody – stan,
w którym współistnieją ze sobą faza gazowa (para wodna), woda
R
OZDZIAŁ
9
Strona
120
120
120
120
w stanie ciekłym i stanie stałym (lód). Pomiędzy tymi dwoma punktami
skalę temperatur podzielono na 273.16 równych części – każda z nich to
jeden kelwin. Zatem temperatura punktu potrójnego wody wynosi
273.16 K (kelwinów).
W często stosowanej skali Celsjusza jednostką temperatury jest stopień
Celsjusza ºC. Jednym z charakterystycznych punktów tej skali jest punkt
potrójny wody. Temperatura tego punktu w skali Celsjusza wynosi 0ºC.
Drugim punktem jest punkt wrzenia wody, czyli przejście z fazy ciekłej
do gazowej. Temperatura tego punktu w skali Celsjusza wynosi 100ºC.
Warto zauważyć, że 1ºC na skali temperatur ma identyczną rozpiętość
jak 1K – zatem zmiana temperatury o 50ºC oznacza zmianę o 50K.
Do zdefiniowania skali Fahrenheita użyto roztworu o znanym stężeniu
soli chlorku amonu w wodzie. Punkt potrójny takiego roztworu, użyty do
wyznaczenia „zera” skali występuje w niższej temperaturze niż dla
czystej wody. Temperaturze 100ºC odpowiada 212ºF, a temperaturze
0ºC odpowiada 32ºF. Przybliżony wzór do przeliczania obu skal ma
postać:
(
)
32
9
5
−
=
F
C
T
T
(9.1)
gdzie T
C
i T
F
oznaczają temperatury odpowiednio w skali Fahrenheita
i Celsjusza.
9.2. Równanie stanu
gazu doskonałego
Gaz doskonały
Wiele właściwości fizycznych gazu daje się wyjaśnić przez zastosowanie
prostego modelu gazu doskonałego. Model ten opiera się na kilku
założeniach:
• gaz składa się z cząsteczek o rozmiarach dużo mniejszych
niż średnia objętość przypadająca na cząsteczkę
T
ERMODYNAMIKA
Strona
121
121
121
121
• cząsteczki są w ciągłym chaotycznym ruchu cieplnym
(ruchy Browna)
• jedyną formą oddziaływań między cząsteczkami są wzajem-
ne zderzenia, które mają charakter zderzeń sprężystych. Po-
za zderzeniami cząsteczki nie oddziałują wzajemnie i dlate-
go energia układu cząsteczek nie zależy od objętości tego
układu (tzn. także od średniej odległości między
cząsteczkami)
• liczba cząsteczek w jednostce objętości jest bardzo duża
(n > 10
23
m
-3
), co umożliwia stosowanie do opisu parame-
trów ich ruchu metod statystycznych.
Równanie stanu gazu doskonałego, nazywane również równaniem Cla-
peyrona, określa stan gazu doskonałego, czyli podaje zależności między
ciśnieniem p, objętością V i temperaturą T. Równanie to jest spełnione
dla dowolnego stanu, czyli zestawu wartości parametrów p,V i T ,
niezależnie od tego w jaki sposób nastąpiło przejście z jednego stanu do
drugiego. Równanie stanu gazu doskonałego ma postać:
T
n
pV
R
=
(9.2),
gdzie R oznacza stałą gazową, równą R=8.31 Jmol
-1
K
-1
a n liczbę moli
gazu. Równanie to możemy wyrazić również przez całkowitą liczbę
cząsteczek gazu: N:
T
N
pV
B
k
=
(9.3),
gdzie k
B
jest stałą Boltzmanna (k
B
=1.380·10
-23
JK
-1
). Stałą Boltzmana
otrzymujemy, dzieląc stałą gazową przez liczbę Avogadra
(N
A
=6.02214179·10
23
mol
-1
).
9.3. Ciepło i praca
termodynamiczna
Definiując temperaturę mówiliśmy, że temperatura dwóch ciał uzyskuje
identyczną wartość w stanie równowagi termicznej. Aby ciała nie
będące początkowo w stanie równowagi termicznej mogły osiągnąć taki
stan, muszą wymieniać między sobą energię. Możliwe są dwa sposoby
R
OZDZIAŁ
9
Strona
122
122
122
122
przekazywania energii: na sposób pracy (np. poprzez ruch tłoka) oraz na
sposób cieplny – przez chaotyczne ruchy cząsteczkowe. Energię przeka-
zywaną na drugi sposób będziemy nazywali ciepłem i oznaczali jako Q.
Należy tu zaznaczyć, że nazwa ta wywodzi się z błędnej teorii „cieplika”
i będziemy jej używać głównie ze względów językowo-historycznych.
Energia, która jest przekazywana między ciałami na skutek istniejącej
między nimi różnicy temperatur wpływa na zmianę energii wewnętrznej
ciała. Energia wewnętrzna U jest miarą średniej energii kinetycznej
cząstek materii zgromadzonej m.in. w ruchu postępowym cząsteczek
gazu czy w postaci drgań cząsteczek i atomów w ciałach stałych.
Ilość przekazywanej energii wyrażamy w dżulach [J], ale często stosuje
się również pozaukładową jednostkę – kalorię. Jedna kaloria (1cal) jest
równa 4.1860 J, a podstawą definicji tej jednostki jest ciepło potrzebne
do podniesienia temperatury jednego grama wody z 14.5°C do 15.5 °C.
W termodynamice istotną kwestią jest poprawne zdefiniowanie znaku
ciepła. Jeśli ciepło przepływa z danego ciała (układu) do otoczenia, czyli
gdy dochodzi do obniżenia jego energii wewnętrznej to ciepło zapisuje-
my ze znakiem „-”. Jeśli zaś ciepło przepływa z otoczenia do układu
zwiększając energię wewnętrzną ciała, jego znak określamy jako „+”.
Pojemność cieplna
Ż
eby ogrzać ciało, czyli żeby zwiększyć jego energię wewnętrzną, musi-
my dostarczyć ciepła (doprowadzić energię na sposób cieplny). Łatwo
zauważyć jednak, że niektóre ciała jest łatwiej ogrzać niż inne. Jeśli na
przykład na dwóch płytach grzejnych kuchenki o identycznej mocy
umieścimy pojemnik z wodą o masie 1kg i blok stalowy o masie 1kg
okaże się, że temperatura bloku stalowego będzie wzrastała znacznie
szybciej niż wody. Zatem ilość przepływającej energii (przekazywane
ciepło) niezbędna do podniesienia temperatury danej masy o jednostkę
temperatury jest w przypadku wody znacznie większa niż dla stali. Taką
cechę danego materiału nazywamy jego pojemnością cieplną.
Pojemność cieplna C danego ciała jest ilością energii potrzebną
do podniesienia jego temperatury o 1K. Jednostką jest J·K
-1
.
∆T
C
Q
=
(9.4)
T
ERMODYNAMIKA
Strona
123
123
123
123
Ciepło właściwe i ciepło molowe
Ciepło właściwe c
w
danego materiału jest ilością energii potrzebną do
podniesienia temperatury 1kg tego materiału o 1K. Jednostką jest
J kg
1
·K
-1
.
∆T
m
c
Q
W
=
(9.5)
Ciepło właściwe można wyrazić również w przeliczeniu na 1mol
substancji – takie ciepło właściwe nazywamy ciepłem molowym C
mol
:
∆T
n
C
Q
mol
=
(9.6)
Przykładowe wartości ciepła właściwego różnych cieczy i ciał stałych
znajdują się w tabeli 9.1.
Przyczynę, dla której różne substancje wykazują różne ciepło właściwe
omówimy dokładniej w kolejnych rozdziałach. Warto zauważyć, że
w ogólności ciepła właściwe mogą zależeć od temperatury, i dlatego na
ogół obok wartości podajemy temperaturę, dla której została ono
wyznaczone.
Tabela 9.1. Wartości ciepła właściwego C
p
różnych substancji – pomiar
przy 25
o
C
substancja
C [J kg
-1
K
-1
]
substancja
C [J kg
-1
K
-1
]
woda
4181
ołów
128
gliceryna
2386
srebro
236
polietylen
2930
ż
elazo
450
miedź
386
aluminium
897
Duże ciepło właściwe wody ma ogromne znaczenie dla klimatu i środo-
wiska biologicznego. Woda ogrzewa się powoli, ale również powoli
i długo oddaje ciepło do otoczenia i dlatego na obszarach pustynnych, na
których nie ma zbiorników wodnych wahania temperatury między nocą
a dniem są bardzo duże – ziemia bardzo łatwo się nagrzewa i łatwo
stygnie. Jeziora, rzeki i morza łagodzą wahania temperatury zarówno
w skali doby, jak i w skali roku. Klimat na wybrzeżu jest znacznie
łagodniejszy, niż w głębi lądu. Na obszarach kontynentalnych częściej
obserwuje się surowe zimy i gorące lata.
Duże ciepło właściwe wody jest wykorzystywane w układach chłodzenia
oraz ogrzewania. Obieg wody chłodzącej stosowany jest np. w silnikach
samochodowych a w instalacjach centralnego ogrzewania woda jest
R
OZDZIAŁ
9
Strona
124
124
124
124
wykorzystywana do ogrzewania budynku – nawet jeśli w danej chwili
piec nie podgrzewa wody, kaloryfery długo pozostają ciepłe.
Przykład
Jeśli do izolowanego zbiornika wlejemy 1 litr wody o temperaturze 10°C
i 1 litr wody o temperaturze 50°C, to w wyniku dochodzenia do równo-
wagi termicznej temperatura osiągnie wartość 30°C. Łatwo zauważyć, że
jest to wartość średnia temperatur obu porcji wody. Dzieje się tak dlate-
go, że ilość energii potrzebna do podniesienia temperatury chłodniejszej
masy wody jest równa ilości energii oddanej przez wodę cieplejszą.
Jeżeli układ zbiornika z wodą jest izolowany to zmiana energii całkowi-
tej musi wynosić zero co możemy zapisać w postaci:
(
)
(
)
0
=
−
+
−
2
K
W
2
1
K
W
1
T
T
c
m
T
T
c
m
(9.7)
Stąd możemy obliczyć temperaturę końcową T
K
(masę wyznaczamy jako
iloczyn objętości i gęstość wody).
Jeśli do zbiornika zawierającego 1 litr wody, czyli o masie m
W
=1kg,
o temperaturze T
W
=10°C wrzucimy żelazny blok o masie m
FE
=1kg
i temperaturze T
FE
=50°C, również dojdzie do wyrównania temperatur
obu ciał. Również w tym przypadku ciepło oddane przez żelazo jest
takie samo jak ciepło pobrane przez wodę a bilans cieplny możemy
zapisać w następujący sposób:
(
)
(
)
0
=
−
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
Fe
K
Fe
Fe
W
K
W
W
T
T
c
m
T
T
c
m
(9.8),
gdzie c
W
oraz c
FE
oznaczają ciepło właściwe wody oraz żelaza, zaś T
K
temperaturę końcową układu. Ponieważ ciepło właściwe wody jest
znacznie większe niż żelaza, temperatura wody podniesie się tylko nie-
znacznie i końcowa temperatura układu wyniesie około 14°C.
Praca termodynamiczna
Zgodnie z przedstawioną wcześniej definicją, ciepło pobrane przez ciało
wywołuje wzrost energii wewnętrznej tego ciała. Energia ta może być
również zamieniona na pracę. Aby wyznaczyć pracę, jaka może być
wykonana kosztem ciepła rozpatrzmy izolowany termicznie (brak wy-
miany ciepła z otoczeniem) cylinder z gazem, zamknięty od góry szczel-
nie dopasowanym tłokiem o powierzchni S. Jeśli działając pewną stałą
T
ERMODYNAMIKA
Strona
125
125
125
125
siłą F przesuniemy tłok o odcinek dl to wykonamy nad gazem zawartym
wewnątrz cylindra pracę dW :
(
)
(
)
V
p
S
p
pS
F
W
d
d
d
d
d
=
=
=
=
l
l
l
r
r
(9.9)
Praca całkowita jaką wykonamy nad gazem sprężając go od objętości
początkowej V
p
do końcowej V
k
wynosi:
∫
∫
=
=
k
p
V
V
V
p
W
W
d
d
(9.10),
Jeżeli ciśnienie p wywierane przez siłę F na powierzchnię S tłoka nie
zmienia się w wyniku przesunięcia tłoka, to podczas zmiany objętości
gazu o ∆V wykonana zostanie praca
∆V
p
W
=
.
Jeśli wykonamy wykres zmian objętości i ciśnienia w trakcie ściskania
gazu zawartego w cylindrze, wykonana praca (wzór 9.10) będzie równa
polu znajdującemu się pod tym wykresem (rysunek 9.1).
Rysunek 9.1. Praca w przemianie termodynamicznej jako pole pod
wykresem ciśnienia od objętości
Warto zwrócić uwagę na znak pracy obliczonej według powyższego
wzoru. Jeśli objętość końcowa jest większa niż początkowa, całka będzie
miała wartość dodatnią. Odpowiada to sytuacji, w której to nie my
wykonujemy pracę nad gazem zawartym w cylindrze, ale to gaz rozprę-
ż
ając się wypycha tłok i wykonuje pracę. Jeśli natomiast przesuwając
tłok będziemy sprężać gaz, to my wykonamy pracę dodatnią, ale obli-
czona całka będzie miała znak ujemny, gdyż praca wykonana przez gaz
będzie w tym przypadku miała znak ujemny. Istotne jest więc precyzyjne
określanie czy wyznaczana praca jest pracą wykonaną przez gaz czy nad
R
OZDZIAŁ
9
Strona
126
126
126
126
gazem. W dalszej części tego rozdziału przez pracę będziemy rozumieli
pracę wykonaną przez gaz.
Pierwsza zasada termodynamiki
Podczas podgrzewania układu przekazujemy do niego ciepło
zwiększając w ten sposób jego energię wewnętrzną i temperaturę.
Energia wewnętrzna ciała może zmieniać się również za sprawą pracy
wykonanej nad tym ciałem. Można również powiedzieć, że praca którą
wykonuje układ może się odbywać kosztem dostarczonego do układu
ciepła lub też kosztem energii wewnętrznej układu. Zależności te mogą
być zapisane w zwięzły sposób w postaci I zasady termodynamiki:
Energia wewnętrzna układu U wzrasta, jeśli układ pobiera
energię w postaci ciepła Q i maleje, kiedy układ wykonuje
pracę W.
W
Q
E
E
∆U
WP
WK
−
=
−
=
(9.11)
Zapis różniczkowy powyższego prawa ma postać:
W
U
Q
δ
δ
+
= d
(9.12)
Zastosowany w powyższym zapisie symbol dU oznacza różniczkę
energii wewnętrznej U, która jest funkcją stanu. Ciepło Q oraz praca W
nie są funkcjami stanu i w ich przypadku nie możemy mówić o róż-
niczce, a jedynie o małej zmianie δ. Zatem I zasadę termodynamiki
możemy również wyrazić w następujący sposób:
Dostarczone do układu ciepło δQ powoduje zwiększenie energii
wewnętrznej układu o dU i wykonanie przez układ pracy δW
przeciwko siłom zewnętrznym.
Należy zwrócić uwagę, że ciepło dostarczone do układu zapisujemy ze
znakiem „+”, a ciepło oddane przez układ ze znakiem „-”, natomiast
praca W (lub dW) oznacza pracę wykonaną przez układ.
T
ERMODYNAMIKA
Strona
127
127
127
127
9.4. Przemiany
termodynamiczne
Przemianą nazywamy przejście danej substancji z jednego stanu
równowagi termodynamicznej do drugiego pod wpływem czynnika
zewnętrznego. Typowymi przemianami są ogrzewanie czy chłodzenie
ciała a szczególnym typem są przemiany fazowe, polegające na zmianie
stanu skupienia ciała. Niektóre przemiany fazowe wymagają dos-
tarczenia ciepła do układu a podczas innych ciepło jest wydzielane przez
układ. Jest to konsekwencją budowy mikroskopowej ciał oraz energii
oddziaływań międzycząsteczkowych w różnych stanach skupienia.
Jako przykład omówimy przemiany występujące podczas ogrzewania
lodu. Początkowo, poniżej 0°C ciepło jakie dostarczamy do lodu jest
zużywane na wzrost jego temperatury, co w skali mikroskopowej
oznacza wzrost amplitudy drgań cząsteczek wody tworzących lód. Kiedy
temperatura osiągnie 0°C, rozpoczyna się proces topnienia, czyli zmiany
fazy ze stałej na ciekłą. Dostarczane dalej ciepło (energia) służy
zerwaniu wiązań pomiędzy cząsteczkami wody w krystalicznej struktu-
rze lodu. Cząsteczki wody w fazie ciekłej poruszają się szybciej niż
cząsteczki tworzące lód a oddziaływania między nimi są słabsze. Aż do
całkowitego stopienia temperatura mieszaniny woda-lód nie będzie
wzrastać, ponieważ całe dostarczane ciepło jest zużywane w procesie
przemiany fazowej.
Dalsze dostarczane ciepła do wody w stanie ciekłym służy podniesieniu
jej temperatury – aż do osiągnięcia temperatury wrzenia. W tej tempera-
turze następuje przemiana fazowa ze stanu ciekłego do gazowego.
Podobnie jak w przemianie ze stanu stałego do ciekłego wiąże się ona
z zerwaniem oddziaływań międzycząsteczkowych i proces ten wymaga
dostarczenia energii. Tak więc aż do momentu całkowitego odparowania
wody, jej temperatura pozostaje stała mimo dostarczania ciepła. W rze-
czywistości parowanie zachodzi z powierzchni swobodnej cieczy nawet
poniżej temperatury wrzenia. Na powierzchni cieczy zawsze znajdują się
cząsteczki, które na skutek oddziaływań ze strony swoich „sąsiadów”
mają wyższe energie niż te znajdujące się w objętości cieczy, i które
dzięki temu mogą się „uwolnić” do stanu gazowego.
Do zajścia odwrotnych przemian fazowych – skraplania i krystalizacji
wymagany jest odwrotny kierunek przepływu ciepła. Aby cząsteczki
R
OZDZIAŁ
9
Strona
128
128
128
128
pary wodnej skropliły się, musimy odebrać nadmiar energii kinetycznej
z gazu. Podobnie podczas krystalizacji należy zmniejszyć energię
cząsteczek cieczy, zmniejszyć ich ruchliwość, na tyle, by umożliwić
wytworzenie się pomiędzy nimi wiązań. W przypadku obu tych prze-
mian fazowych musimy odbierać energię z układu.
Przemiany fazowe
Przemiana fazowa zachodzi w stałej temperaturze a ciepło pobrane przez
materiał jest proporcjonalne do masy materiału oraz ciepła właściwego
przemiany:
m
C
Q
PRZEM
PRZEM
=
(9.13)
Warto zwrócić uwagę, że tak zdefiniowane ciepła topnienia i parowania
osiągają znaczne wartości w stosunku do ciepła właściwego. W efekcie
znacznie łatwiej jest ogrzać 1kg wody lub lodu o 1 kelwin, niż doprowa-
dzić do stopienia 1kg lodu. Jeszcze wyższa jest wartość ciepła
parowania.
Duża wartość ciepła przemiany może być wykorzystywany do termore-
gulacji przez organizmy żywe. Nawet niewielka ilość wody, wydzielana
przez gruczoły potowe odparowując z powierzchni skóry odbiera dużo
ciepła, tym samym chroniąc organizm przed przegrzaniem. Podobnie
wysokie ciepło parowania wykorzystuje się np. w nowoczesnych radia-
torach do chłodzenia procesorów komputerowych. Pomiędzy żeberkami
radiatora zamontowana jest zamknięta rurka, tworząca tzw. kanał cieplny
(ang. heat pipe), wypełniona niewielką ilością alkoholu i jego oparami
(rysunek 9.2). W pobliżu procesora temperatura jest na tyle wysoka, że
alkohol intensywnie paruje pobierając jednocześnie dużo ciepła od
procesora. Opary alkoholu pod wpływem ruchów konwekcyjnych
docierają do radiatora na końcu rurki. Ponieważ temperatura koło
radiatora jest niższa alkohol ulega skropleniu (oddaje ciepło) a następnie
spływa po ściankach w stronę procesora i cały proces może ulec
powtórzeniu. Taki kanał cieplny niezwykle efektywnie wspomaga
transport ciepła w kierunku od procesora na zewnątrz radiatora.
T
ERMODYNAMIKA
Strona
129
129
129
129
Rysunek 9.2. Schemat działania radiatora z kanałem cieplnym
Kalorymetr
Kalorymetr jest urządzeniem służącym do pomiaru ciepła wydzielanego
lub pobieranego podczas procesów chemicznych i fizycznych. W naj-
prostszej wersji kalorymetr jest po prostu zbiornikiem izolowanym
termicznie od otoczenia, wyposażonym w termometr. Aby wskazania
termometru były dokładne, musi on pozostawać w kontakcie cieplnym
z badanym układem. Warunek ten jest osiągany zazwyczaj przez wypeł-
nienie kalorymetru cieczą o znanym cieple właściwym. Jeśli podczas
badanego procesu chemicznego temperatura kalorymetru się zmieni, to
ilość ciepła jaka przepłynęła z badanego układu do kalorymetru lub
w przeciwną stronę możemy obliczyć znając pojemność cieplną kalory-
metru (cieczy oraz zbiornika). Aby pomiar był prawidłowy, czyli aby
wymiana ciepła między badanym układem a kalorymetrem była efek-
tywna, ciecz wypełniającą kalorymetr miesza się za pomocą mieszadła,
w ten sposób wyrównując temperaturę w różnych częściach naczynia.
Znacznie bardziej zaawansowanymi urządzeniami do badania właści-
wości termicznych materii są kalorymetry różnicowe. W urządzeniach
tego typu przeprowadza się precyzyjny pomiar temperatury badanej
próbki oraz próbki referencyjnej podczas jednostajnego grzania całej ko-
mory badawczej. Podczas przemian fazowych w badanym materiale
wydzielane lub pochłaniane będzie ciepło i zarejestrowana wówczas zos-
tanie różnica temperatur próbki badanej oraz referencyjnej. Urządzenia
tego typu pozwalają nie tylko precyzyjnie wyznaczyć temperatury prze-
R
OZDZIAŁ
9
Strona
130
130
130
130
mian fazowych takich jak topnienie, krystalizacja, parowanie czy też
przejścia szkliste ale również wartość ciepła tych przemian.
Przemiany termodynamiczne
W termodynamice szczególny nacisk kładzie się na opis przemian
termodynamicznych zachodzących w gazach. Jest to zagadnienie istotne
ze względu na zastosowanie praktyczne – większość silników spalino-
wych wykorzystuje w swoim cyklu pracy przemiany gazowe.
W tym rozdziale omówimy cechy charakterystyczne czterech podstawo-
wych gazowych przemian termodynamicznych: izochorycznej, izoba-
rycznej, izotermicznej oraz adiabatycznej.
Przemiana izochoryczna
Podczas przemiany izochorycznej objętość gazu jest stała. Zgodnie ze
wzorem 9.6 ciepło dostarczone do n moli gazu jest proporcjonalne do
różnicy temperatur i zależy od ciepła molowego przy stałej objętości C
V
charakterystycznego dla tej przemiany:
∆T
C
n
Q
V
=
(9.14)
Ponieważ objętość w przemianie izochorycznej się nie zmienia więc
praca termodynamiczna wykonana przez gaz wynosi zero (równanie
9.10) a więc zgodnie z I zasadą termodynamiki całe ciepło Q, które
dostarczymy do układu jest równe przyrostowi energii wewnętrznej
układu.
∆U
Q
=
(9.15)
Porównując równania 9.14 oraz 9.15 otrzymujemy, że przyrost energii
wewnętrznej zależy tylko od przyrostu temperatury:
∆T
C
n
∆U
V
=
(9.16)
Warto podkreślić, że powyższa zależność jest prawdziwa dla każdej
przemiany a nie tylko dla przemiany izochorycznej, dla której ją
wyprowadziliśmy.
Zapiszmy równanie stanu gazu dla dwóch stanów podczas przemiany
izochorycznej:
T
ERMODYNAMIKA
Strona
131
131
131
131
=
=
2
2
1
1
T
n
V
p
T
n
V
p
R
R
(9.17)
Z powyższego układu równań wynika, że w przemianie izochorycznej
stosunek ciśnienia do temperatury jest wielkością stałą:
const.
=
=
=
T
p
T
p
T
p
2
2
1
1
(9.18)
Na wykresie p(V), ciśnienia od objętości, przedstawionym na rysunku
9.3 przemiana izochoryczna jest odcinkiem pionowym.
Przemiana izobaryczna
Dla przemiany izobarycznej charakteryzującej się stałością ciśnienia
ciepło Q dostarczone do układu jest proporcjonalne różnicy temperatur
i zależy od wartości ciepła molowego przy stałym ciśnieniu C
p
:
∆T
C
n
Q
p
=
(9.19)
Zgodnie z równaniem 9.16 zmianę energii wewnętrznej dla dowolnej
przemiany termodynamicznej możemy zapisać jako
∆T
C
n
∆U
V
=
,
zaś praca wykonana przez układ podczas przemiany izobarycznej równa
się iloczynowi ciśnienia i zmiany objętości (równanie 9.10):
∆V
p
W
=
(9.20)
Zapisując równanie stanu gazu dla tej przemiany otrzymamy stałość
stosunku objętości do temperatury:
const.
=
=
=
T
V
T
V
T
V
2
2
1
1
(9.21)
Na wykresie p(V) ciśnienia od objętości przemiana izobaryczna jest
odcinkiem poziomym (rysunek 9.3).
Jeśli przemianę przeprowadzimy przy stałym ciśnieniu to ciepło
dostarczone do układu Q zamieniane jest zarówno na przyrost energii
wewnętrznej ∆U jak i na pracę W wykonaną przez gaz, co zgodnie
z I zasadą termodynamiki możemy zapisać:
W
∆U
Q
+
=
(9.22)
R
OZDZIAŁ
9
Strona
132
132
132
132
Korzystając z równania stanu gazu (równanie 9.2) możemy wyrazić
zmianę
objętości
∆V
poprzez
zmianę
temperatury
∆T
:
∆T
nR
∆V
p
W
=
=
. Wówczas równanie 9.22 można zapisać
w postaci:
∆T
n
∆T
C
n
∆T
C
n
V
p
R
+
=
(9.23)
skąd otrzymujemy, że molowe ciepło właściwe gazu przy stałym ciśnie-
niu C
p
jest większe od molowego ciepła właściwego przy stałej objętości
C
V
o wielkość stałej gazowej R:
R
+
=
V
p
C
C
(9.24)
Przemiana izotermiczna
W przemianie izotermicznej temperatura gazu nie zmienia się. Zgodnie
z równaniem stanu gazu stały wówczas jest iloczyn objętości i ciśnienia:
const.
=
=
=
pV
V
p
V
p
2
2
1
1
(9.25)
Wykres takiej przemiany na wykresie p(V) jest hiperbolą (rysunek 9.3).
Ponieważ temperatura jest stała, stała jest również energia wewnętrzna
gazu, czyli zmiana energii wewnętrznej wynosi zero ∆U = 0.
Zgodnie z I zasadą termodynamiki oznacza to, że całe dostarczane do
gazu ciepło Q jest zużywane na pracę gazu W (Q = W).
Pracę wykonaną przez gaz obliczamy ze wzoru 9.10
∫
=
K
P
V
V
V
p
W
d
.
Zależność ciśnienia od objętości wyznaczamy z równania stanu gazu
i otrzymujemy wzór całkowy:
∫
∫
=
=
K
P
K
P
V
V
V
V
V
V
T
n
V
V
T
n
W
d
R
d
R
(9.26)
Rozwiązaniem takiej całki jest funkcja logarytmiczna (ln) i po
podstawieniu granic całkowania otrzymujemy pracę W wykonaną przez
gaz przy izotermicznym (w temperaturze T) rozprężaniu n moli gazu z
objętości początkowej V
P
do końcowej V
K
:
P
K
V
V
T
n
W
ln
R
=
(9.27)
T
ERMODYNAMIKA
Strona
133
133
133
133
Jeśli gaz rozpręża się, to
1
>
P
K
V
V
,
0
ln
>
P
K
V
V
i praca wykonywana
przez gaz jest dodatnia. W przeciwnym przypadku kiedy V
P
>V
K
praca
jest ujemna.
Przemiana adiabatyczna
Przemiana adiabatyczna charakteryzuje się brakiem wymiany ciepła z
otoczeniem. Równanie tej przemiany ma postać:
const.
=
=
κ
2
2
κ
1
1
V
p
V
p
(9.28),
gdzie współczynnik κ nazywany wykładnikiem adiabaty oznacza stosu-
nek molowego ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do molowego
ciepła właściwego przy stałej objętości C
p
do C
v
(
V
p
C
C
=
κ
). Równa-
nie 9.28 można również zapisać:
const.
=
=
1
κ-
2
2
1
κ-
1
1
V
T
V
T
(9.29)
Wykres adiabaty w zmiennych p(V) jest bardziej stromy niż izotermy
(rysunek 9.3).
Rysunek 9.3. Schematyczny wykres przebiegu przemian gazowych
Pracę wykonaną w przemianie można obliczyć podobnie jak to
zrobiliśmy dla przemiany izotermicznej ze wzoru 9.10 wprowadzając
pod całkę zależność ciśnienia od objętości zgodnie ze wzorem 9.28.
Otrzymujemy:
R
OZDZIAŁ
9
Strona
134
134
134
134
−
−
=
−1
2
1
1
1
V
V
1
1
V
P
W
κ
κ
(9.30)
9.5. Teoria kinetyczno -
molekularna gazów
W dotychczasowym opisie właściwości termodynamicznych ciał posłu-
giwaliśmy się głównie wielkościami makroskopowymi. Obecnie szerzej
zajmiemy się właściwościami ciał w ujęciu mikroskopowym.
Ciśnienie gazu
Zastanówmy się, w jaki sposób cząsteczki gazu wywierają ciśnienie na
ś
cianki naczynia, w którym się znajdują.
Każda z cząsteczek gazu przy prostopadłym odbiciu od ścianki zmienia
swój pęd o
v
v
v
m
)
m
(
m
∆p
2
=
−
−
=
. Jeśli wektor pędu cząsteczki
tworzy ze ścianką kąt α, zmiana pędu wynosi
α
sin
2
v
m
∆p
=
. Siła,
jaką wywiera cząsteczka na ściankę sześciennego naczynia zależy od
zmiany wartości składowej pędu prostopadłej do ściany i może być
zapisana:
∆t
∆p
F
x
=
(9.31)
Czas ∆t pomiędzy dwoma kolejnymi zderzeniami cząsteczki ze ścianka-
mi zależy od jej prędkość oraz rozmiaru l naczynia – pomiędzy zderze-
niami przebywa ona drogę 2l:
x
∆t
v
l
2
=
(9.32)
Zatem siła wywierana przez cząsteczkę na ściankę wynosi:
T
ERMODYNAMIKA
Strona
135
135
135
135
l
2
2
2
x
m
F
v
=
(9.33)
Całkowita siła, wywierana na ściankę przez wszystkie N cząsteczki gazu
znajdujące się w naczyniu wynosi:
[
]
2
xN
2
2
x
2
1
x
c
...
m
F
v
v
v
+
+
+
=
l
(9.34)
Ponieważ założyliśmy, że liczba cząsteczek w naczyniu jest bardzo duża,
interesuje nas zależność ciśnienia od średniej prędkości (a ściślej – od
ś
redniej kwadratu prędkości), obliczonej dla wszystkich cząsteczek.
Ś
rednią kwadratu prędkości w kierunku x dla N cząsteczek wyrażamy
jako:
N
N
1
i
2
xi
x
∑
=
=
v
v
(9.35)
Cząsteczka gazu może posiadać również składowe prędkości w kierun-
kach y i z. Kwadrat jej prędkości zapisujemy jako:
2
z
2
y
2
x
2
v
v
v
v
+
+
=
(9.36)
Ś
rednią kwadratu prędkości możemy wyrazić jako sumę średnich kwad-
ratów składowych prędkości w poszczególnych kierunkach. Ponieważ
ruch cząsteczek jest przypadkowy, średnie prędkości dla kierunków x, y
i z są jednakowe:
2
2
2
2
2
x
z
y
x
v
v
v
v
v
3
=
+
+
=
(9.37)
Stąd siłę wywieraną na ściankę naczynia możemy zapisać jako:
l
3
2
v
Nm
F
=
(9.38)
Ponieważ ciśnienie definiuje się jako stosunek siły do powierzchni ścian-
ki, otrzymujemy:
3
2
l
l
3
2
v
Nm
F
p
=
=
(9.39)
R
OZDZIAŁ
9
Strona
136
136
136
136
Zastępując l
3
objętością naczynia V otrzymujemy:
2
2
v
v
nm
m
V
N
p
3
1
2
3
2
=
=
(9.40),
gdzie N/V=n oznacza koncentrację cząsteczek gazu. Porównując
otrzymaną postać równania z równaniem stanu gazu (9.3) możemy
wyrazić temperaturę jako funkcję średniego kwadratu prędkości
cząsteczek:
k
2
E
3
2
N
2
m
3
2
N
T
N
pV
=
=
=
v
B
k
(9.41)
W powyższym wzorze
k
E
oznacza średnią energię kinetyczną
cząsteczek gazu.
Zasada ekwipartycji energii
Przekształcając równanie 9.41 otrzymujemy związek pomiędzy średnią
energią kinetyczną a temperaturą:
T
2
3
E
k
B
k
=
(9.42)
Udowodniliśmy że temperatura jest wskaźnikiem wartości średniej ener-
gii kinetycznej cząsteczek gazu.
Z podstaw mechaniki wiemy jednak, że ciało może posiadać energię
kinetyczną nie tylko w postaci ruchu postępowego, ale również ruchu
obrotowego lub drgającego. Jeżeli każdy z rodzajów ruchów oraz każdy
z kierunków, w których cząsteczka gazu może się poruszać nazwiemy
stopniem swobody f, to można wykazać, że średnia energia kinetyczna
przypadająca na jeden stopień swobody jest taka sama dla wszystkich
cząsteczek i wynosi:
T
E
B
k
2
1
=
(9.43)
Powyższą zasadę nazywamy zasadą ekwipartycji energii:
T
ERMODYNAMIKA
Strona
137
137
137
137
Cząsteczki jednoatomowe mogą poruszać się jedynie ruchem postępo-
wym w trzech kierunkach wiec charakteryzować się będą trzema f = 3
stopniami swobody a średnia energia kinetyczna cząsteczek takiego gazu
będzie wynosiła
T
E
B
k
2
3
=
.
Przykładem gazu jednoatomowego jest hel He.
Energia związana z ruchem obrotowym nabiera znaczenia w przypadku
gazów dwuatomowych. Prostym modelem cząsteczki takiego gazu mogą
być hantle składające się z dwóch kul. Hantle te mogą wirować w dwóch
prostopadłych kierunkach wokół osi przechodzącej przez środek odcinka
łączącego kule (w przypadku atomów o różnych masach, przechodzącej
przez środek masy). Energia związana z takim obrotem może być prze-
kazywana w wyniku zderzeń. Nie ma natomiast możliwości przekazywa-
nia energii związanej z obrotem hantli wokół osi równoległej do odcinka
łączącego kule. W efekcie dla gazów dwuatomowych oprócz trzech
stopni swobody związanych z ruchem postępowym mamy również dwa
dodatkowe stopnie swobody związane z ruchem obrotowym – f = 5 –
a średnia energia kinetyczna cząsteczek takiego gazu będzie wynosiła
T
E
B
k
2
5
=
. Gazami dwuatomowymi są np. tlen O
2
czy azot N
2
.
Gazy wieloatomowe tworzą większe cząsteczki, które oprócz ruchu
postępowego mogą wykonywać ruch obrotowy względem trzech osi
a więc ich całkowita liczba stopni swobody wynosi f = 6. Przykładem
gazu wieloatomowego jest metan CH
4
.
Ciepło molowe gazów
Zdefiniowaliśmy wcześniej ciepło molowe jako wielkość charakteryzu-
jącą substancję i określającą ilość ciepła jaką potrzeba dostarczyć, żeby
podnieść temperaturę jednego mola danej substancji o jeden stopień. Po-
kazaliśmy również, że średnia energia kinetyczna cząsteczek gazu zależy
od ilości stopni swobody. Wynika z tego, że również ciepło właściwe
gazów musi być zależne od liczby stopni swobody, gdyż wraz ze wzros-
tem tej liczby ta sama ilość energii dostarczana do gazu będzie się roz-
kładać na większą ilość rodzajów ruchu a więc wzrost temperatury
jednego mola gazu będzie mniejszy. Zatem najmniejsze ciepło właściwe
mają gazy jednoatomowe, a największe – wieloatomowe.
R
OZDZIAŁ
9
Strona
138
138
138
138
Ciepło molowe przy stałej objętości
Jak wykazaliśmy w rozdziale 9.4 dla przemiany izochorycznej zmiana
energii wewnętrznej równa jest ciepłu dostarczonemu do układu.
∆U
∆T
C
n
Q
V
=
=
(9.44)
Przekształcając powyższą zależność i korzystając z zasady ekwipartycji
energii ciepło właściwe przy stałej objętości C
V
możemy zapisać:
R
f
∆T
n
∆U
C
V
2
=
=
(9.45)
Dla gazu jednoatomowego ciepło właściwe przy stałej objętości wynosi
C
V
= 3/2R, dla gazu dwuatomowego C
V
= 5/2R, a gazu wieloatomowego
C
V
= 3R. Należy jednak zauważyć, że wartość ta może zależeć od tempe-
ratury. Pewne rodzaje ruchu wymagają dostatecznie wysokiej temperatu-
ry żeby zostać „wzbudzone”. Z tego względu ciepło molowe gazów
dwuatomowych w temperaturze bliskiej temperatury skraplania może
wynosić nie 5/2R, a 3/2R.
Ciepło molowe przy stałym ciśnieniu
Jeśli przemianę przeprowadzimy przy stałym ciśnieniu (przemiana izo-
baryczna) to ciepło dostarczone do układu Q zamieniane jest zarówno na
przyrost energii wewnętrznej ∆U jak i na pracę W wykonaną przez gaz.
Molowe ciepło właściwe gazu przy stałym ciśnieniu C
p
jest większe od
molowego ciepła właściwego przy stałej objętości C
V
o wielkość stałej
gazowej R:
R
+
=
V
p
C
C
(9.46)
9.6. Równanie stanu
gazu rzeczywistego
Właściwości gazów rzeczywistych różnią się od właściwości gazu ideal-
nego. Rozpatrzmy prosty model mechaniczny, składający się z cylindra
z tłokiem wypełnionego gumowymi piłeczkami, który to model pozwoli
nam lepiej zrozumieć różnice miedzy gazem doskonałym i rzeczywistym
T
ERMODYNAMIKA
Strona
139
139
139
139
oraz zachowanie gazu rzeczywistego. Jeśli piłeczek jest niewiele, odle-
głości między piłeczkami są duże i poruszają się one szybko, możemy
zastosować opis identyczny jak w przypadku gazu doskonałego. Oddzia-
ływania piłeczek możemy wówczas opisać z bardzo dobrym
przybliżeniem jako zderzenia sprężyste. W równaniach opisujących te
zderzenia interesować nas będzie zachowanie środka masy piłeczek a ich
rozmiar będzie miał drugorzędne znaczenie. Jeśli odległości między
piłeczkami są małe objętości piłeczek oraz ich deformacje zaczynają
istotnie wpływać na zachowanie całego układu.
Równaniem pozwalającym w przybliżony sposób modelować zachowa-
nie gazów rzeczywistych jest model van der Waalsa. Równanie stanu
gazu w tym modelu ma postać:
(
)
T
n
b
V
V
a
p
2
R
=
−
+
(9.47)
W porównaniu z równaniem stanu gazu doskonałego w równaniu gazu
rzeczywistego ciśnienie p powiększone jest o człon odwrotnie proporcjo-
nalny do kwadratu objętości zajętej przez gaz. Człon ten uwzględnia siły
przyciągania między molekułami i określany jest jako tzw. ciśnienie
wewnętrzne gazu. Objętość V, zbiornika w którym zajmuje gaz rzeczy-
wisty została natomiast pomniejszona o tzw. objętość wewnętrzną, która
jest proporcjonalna do objętości cząsteczek gazu. Wielkości a i b
z równania van der Waalsa przyjmują różne wartości dla różnych gazów
i wpływają na kształt izoterm p(V). W wysokich temperaturach, gdy
prędkości cząsteczek gazu są znaczne kształt tych izoterm oraz właści-
wości gazu rzeczywistego są zbliżone do gazu doskonałego.
9.7. Cykle gazowe
Cyklem będziemy nazywać proces lub szereg procesów które doprowa-
dzają układ termodynamiczny z powrotem do warunków początkowych.
Z cyklami gazowymi mamy do czynienia m.in. w silnikach spalinowych.
R
OZDZIAŁ
9
Strona
140
140
140
140
Cykl Carnota
Pierwszym cyklem jaki omówimy będzie cykl Carnota. Wyobraźmy
sobie cylinder z gazem doskonałym, którego ścianki stanowią idealną
izolację termiczną. Pierwszym etapem cyklu (rysunek 9.4 a) będzie
rozprężanie izotermiczne – do układu dostarczane jest ciepło, które
w całości zamieniane jest na pracę rozprężenia gazu i podniesienia tłoka.
Zgodnie z równaniem stanu gazu doskonałego dla przemiany izotermicz-
nej (równanie 9.28) skoro objętość gazu wzrasta to ciśnienie proporcjo-
nalnie maleje. Drugi etap cyklu Carnota to rozprężanie adiabatyczne. Do
układu nie jest już dostarczane ciepło i zakładamy, że dno cylindra staje
się również idealnie izolujące (może się to odbywać za pomocą specjal-
nej ruchomej przegrody), tak że cały układ jest całkowicie izolowany od
otoczenia. Podczas przemiany adiabatycznej zgodnie z równaniem adia-
baty (równanie 9.31) ciśnienie gazu nadal spada, a objętość rośnie. Wy-
konywana jest wówczas praca mechaniczna kosztem energii wewnę-
trznej gazu i w efekcie temperatura gazu obniża się do T
2
. W tej części
cyklu gaz również wykonuje pracę rozprężając się i przesuwając tłok.
W trzecim etapie cyklu ponownie mamy do czynienia z przemianą izo-
termiczną. Otwieramy przegrodę cieplną, umożliwiając odpływ ciepła do
chłodnicy ale ponieważ równocześnie wykonujemy nad gazem pracę
sprężania gazu energia wewnętrzna gazu nie zmienia się i jego tempera-
tura jest stała. W czwartym etapie ponownie zamykamy przegrodę ter-
miczną (układ jest izolowany od otoczenia) wciąż wykonując pracę
sprężania gazu. Przy braku wymiany ciepła z otoczeniem zgodnie
z równaniem adiabaty sprężaniu towarzyszyć będzie wzrost ciśnienia
gazu i temperatury do T
1
. W ten sposób wracamy do punktu
początkowego.
Sprawność silnika termodynamicznego
Cykl Carnota pełni w termodynamice szczególnie ważną rolę, gdyż dla
tego cyklu otrzymujemy maksymalną możliwą sprawność zamiany cie-
pła na pracę.
Sprawność cyklu η definiujemy jako stosunek pracy użytecznej
W wykonanej przez gaz do ciepła Q
G
dostarczonego do gazu
w danym cyklu.
G
Z
G
G
Q
Q
Q
Q
W
−
=
=
η
(9.48)
T
ERMODYNAMIKA
Strona
141
141
141
141
W trakcie cyklu gaz pobiera ciepło Q
G
ze zbiornika gorącego, część tego
ciepła zużywając na wykonanie pracy W a resztę oddając do chłodnicy
(Q
Z
). Zatem praca jaką wykonuje gaz jest równa różnicy ciepła dostar-
czonego ze zbiornika gorącego i oddanego do chłodnicy:
Z
G
Q
Q
W
−
=
(9.49)
Tak zdefiniowana sprawność jest zawsze mniejsza od jedności, gdyż
układ nie może wykonać pracy równej lub większej niż ilość ciepła,
pobrana ze źródła o temperaturze wyższej. Część ciepła jest zawsze od-
dawana do chłodnicy i nie jest możliwa całkowita zamiana ciepła na
pracę.
W przypadku cyklu Carnota ciepło jest dostarczane i oddawane z układu
jedynie podczas izotermicznego sprężania i rozprężania odpowiednio.
Ciepło dostarczone możemy więc zastąpić ciepłem pobranym ze zbiorni-
ka gorącego Q
G
, zaś ciepło oddane ciepłem oddanym zimnemu zbiorni-
kowi Q
Z
. Można wykazać, że dla cyklu Carnota prawdziwa jest relacja:
Z
Z
G
G
T
Q
T
Q
=
(9.50),
gdzie T
G
i T
Z
są temperaturami gorącego i zimnego zbiornika odpowied-
nio. Wówczas sprawność cyklu Carnota można zapisać:
G
Z
G
T
T
T
−
=
η
(9.51)
Z powyższego wzoru na sprawność cyklu Carnota, maksymalną możliwą
do osiągnięcia sprawność, wynika, że im większa jest różnica temperatur
tym wyższa jest sprawność całego cyklu. Widzimy również, że do
uzyskania wysokiej sprawności potrzebne jest źródło ciepła ale również
odpowiednio efektywny system chłodzenia.
Sprawność maszyny chłodniczej
Wyobraźmy sobie, że przeprowadzimy cykl Carnota w odwrotnym
kierunku, tzn będziemy wykonywali pracę nad układem, tak żeby układ
pobierał ciepło ze zbiornika chłodniejszego i oddawał je do zbiornika
cieplejszego. W takim przypadku interesuje nas sprawność chłodnicza,
czyli stosunek ciepła odebranego ze zbiornika zimnego Q
Z
do wykonanej
pracy W.
R
OZDZIAŁ
9
Strona
142
142
142
142
Z
G
Z
Z
G
Z
T
T
T
Q
Q
Q
−
=
−
=
η
(9.52)
Praca W równa jest różnicy ciepła Q
G
oddanego do gorącego zbiornika
i ciepła Q
Z
pobranego z zimnego zbiornika a oba te ciepła, podobnie jak
w cyklu Carnota można powiązać z temperaturami zbiornika zimnego T
Z
i gorącego T
G
. Sprawność chłodnicza jest zawsze większa od jedności
i jest tym większa im mniejsza jest różnica temperatur między zbiornika-
mi gorącym i zimnym.
Przykładem zastosowania odwróconego cyklu termodynamicznego może
być klimatyzacja z tzw. pompą ciepła. Klimatyzacja taka może działać
w obie strony – latem pobiera ciepło z wewnątrz budynku i oddaje je na
zewnątrz, a zimą pobiera ciepło z zewnątrz i oddaje je do wnętrza. Aby
klimatyzacja działała, niezbędne jest wykonanie pracy. Warto zauważyć,
ż
e w porównaniu z tradycyjnymi metodami ogrzewania budynku układ
z pompą ciepła jest wydajniejszy – jeśli zużyjemy tę samą ilość prądu na
zasilanie grzejnika elektrycznego i zasilanie pompy ciepła, ciepło dostar-
czone do budynku będzie zawsze większe w przypadku pompy ciepła.
Wadami pomp ciepła są skomplikowana konstrukcja wpływająca na
zwiększoną awaryjność oraz duży koszt całego układu. Pompy ciepła
wymagają ponadto z reguły dużego wymiennika ciepła.
Chłodziarki i zamrażarki również odbierają ciepło z komory chłodniczej.
W tym przypadku, obok cyklu gazowego wykorzystujemy również cie-
pło przemian fazowych. Sprężony przez kompresor gaz ulega skropleniu
w systemie rurek wymiennika ciepła (znajdującego się z reguły w tylnej
części chłodziarki). W obiegu wewnątrz komory chłodziarki ciśnienie
spada i ciecz ulega przemianie w gaz, pobierając przy tym ciepło z ko-
mory. Następnie gaz jest sprężany przez kompresor i cykl przemian
może ulec powtórzeniu.
Cykl Otta
Cykl Otta stanowi dobre przybliżenie cyklu realizowanego w typowym
silniku benzynowym. W częściej spotykanym silniku czterosuwowym
cykl pracy silnika zaczyna się od zassania do wnętrza cylindra mieszanki
paliwowej – tłok cofa się przy otwartym zaworze (przy stałym ciśnieniu
zwiększa się objętość gazu). Następnie zawór zamyka się, a tłok spręża
mieszankę. Sprężanie odbywa się na tyle szybko, że może być uznane za
proces adiabatyczny – nie ma wymiany ciepła z blokiem silnika. Sprężo-
na mieszanka ulega następnie zapłonowi, co jest tak szybkim procesem,
T
ERMODYNAMIKA
Strona
143
143
143
143
ż
e z powodzeniem można przyjąć że jest to przemiana izochoryczna –
tłok nie zdążył się jeszcze ruszyć a jedynie wzrosło ciśnienie i tempera-
tura gazu. W kolejnej fazie cyklu gorący gaz rozpręża się adiabatycznie
wypychając tłok, a więc wykonując pracę nad tłokiem. Po jego zakoń-
czeniu, kiedy tłok osiągnie maksymalne wychylenie otwiera się zawór
wydechu. Powoduje to spadek ciśnienia gazu przy stałej jego objętości.
W kolejnym etapie cyklu zawór wydechu jest wciąż otwarty, a tłok wy-
pycha spaliny z cylindra przy stałym ciśnieniu, wracając do położenia
początkowego. Zależność ciśnienia od objętości dla cyklu Otta pokazana
jest na rysunku 9.4 b).
Sprawność cyklu Otta wynosi:
V
C
R
2
1
V
V
1
η
−
=
(9.53)
gdzie V
1
i V
2
oznaczają odpowiednio minimalną i maksymalną objętość
cylindra.
Cykl Diesla
Cykl Diesla zaczyna się podobnie jak cykl Otta – tłok cofa się, zasysając
powietrze do wnętrza cylindra. Następnie zachodzi adiabatyczne spręża-
nie powietrza zawartego w cylindrze. W silniku Diesla proces spalania
paliwa ma inny charakter niż w cyklu Otta – zamiast iskry wywołującej
zapłon stosujemy w nim świecę żarową, której głównym zadaniem jest
wspomaganie rozruchu silnika. Pary oleju sprężone do odpowiedniego
ciśnienia ulegają bowiem samozapłonowi. Etap spalania paliwa,
dostarczający ciepło niezbędne do działania silnika nie jest modelowany
przez przemianę izochoryczną, ale przez proces izobaryczny (rysu-
nek 9.4. c). Następnie, podobnie jak w cyklu Otta następuje rozprężanie
adiabatyczne, w trakcie którego silnik wykonuje pracę. Kiedy tłok
znajdzie się w najdalszym położeniu (objętość gazu jest największa)
otwiera się zawór wydechu i ciśnienie gazu spada. Podobnie jak w przy-
padku silnika benzynowego, cykl kończy wypchnięcie spalin z wnętrza
cylindra poprzez ruch tłoka.
Sprawność silnika Diesla można wyrazić wzorem:
R
OZDZIAŁ
9
Strona
144
144
144
144
(
)
2
1
κ
2
1
κ
3
2
V
V
1
V
V
1
V
V
κ
1
1
η
−
−
−
=
(9.54)
Silniki Diesla ze względu na wyższy stopień sprężania są postrzegane
jako oszczędniejsze, mimo że wyliczona z powyższego wzoru sprawność
silnika Diesla w porównaniu z cyklem Otta jest nieco mniejsza. Silniki
Diesla dobrze pracują przy niskich obrotach, wytwarzając duży moment
obrotowy i są mało wrażliwe na uszkodzenia instalacji elektrycznej,
która jest potrzebna jedynie do rozruchu silnika. Ich wadą jest trudny
rozruch zimnego silnika.
Cykl Stirlinga
W przeciwieństwie do poprzednio omawianych silników, w silniku
Stirlinga gaz znajdujący się w cylindrze nie ulega wymianie w trakcie
cyklu. Silnik tego typu wymaga do działania jedynie źródła ciepła oraz
odpowiednio wydajnego chłodzenia. Ciepło jest dostarczane i odbierane
w sposób ciągły. Cykl Stirlinga składa się z dwóch przemian izotermicz-
nych na przemian z przemianami izochorycznymi (rysunek 9.4d). Istnie-
je kilka rozwiązań samego silnika realizującego taki cykl. W jednym
z nich silnik składa się z dwóch cylindrów, jednego połączonego
ze źródłem ciepła, a drugiego z chłodnicą. Cylindry te są połączone
ze sobą kanałem umożliwiającym przepływ gazu. Początkowo cały gaz
znajduje się w cylindrze gorącym – w cylindrze chłodzonym tłok
znajduje się w położeniu odpowiadającym minimum objętości. W wyni-
ku podgrzewania następuje rozprężanie (izotermiczne) gazu w cylindrze
gorącym i silnik wykonuje pracę. Po osiągnięciu pełnego wychylenia
przez tłok w cylindrze gorącym zaczyna on opadać, wypychając gaz do
cylindra chłodnego, w którym tłok unosi się, zasysając gaz. W ten
sposób dochodzi do wymiany gazu między cylindrami. Po przepompo-
waniu do cylindra chłodnego ciśnienie gazu spada. W cylindrze chłodzo-
nym gaz jest poddawany izotermicznemu sprężaniu, a następnie jest
wypychany do cylindra gorącego. Tam jego ciśnienie wzrasta i cykl do-
chodzi do warunków początkowych.
Cykl Stirlinga charakteryzuje wysoka sprawność, która może osiągać
wartości zbliżone do sprawności silnika Carnota:
T
ERMODYNAMIKA
Strona
145
145
145
145
(
)
C
1
2
V
C
η
V
V
n
c
1
η
η
ln
R
+
=
(9.55)
gdzie
η
C
oznacza sprawność silnika Carnota. Silnik Stirlinga działa na-
wet przy niewielkiej różnicy temperatur i dlatego stosowany jest do
przetwarzania energii cieplnej uzyskanej ze źródeł geotermalnych lub
z procesów fermentacji. Jego wadą są stosunkowo duże rozmiary i kosz-
ty wykonania urządzeń tego typu. Silniki tego typu są mało awaryjne
i z tego względu istnieją plany stosowania ich np. w sondach kosmicz-
nych, wyposażonych w promieniotwórcze źródło ciepła. Są również ci-
che, co czyni je przydatnymi do stosowania w łodziach podwodnych
z napędem jądrowym. W tym przypadku wydajne chłodzenie silnika
zapewnia woda morska.
Rysunek 9.4. Wybrane cykle termodynamiczne: a) Carnota, b) Otta,
c) Diesla, d) Stirlinga
Druga zasada termodynamiki
Wspominaliśmy już, że w cyklu silnika jedynie część energii pobieranej
ze źródła gorącego jest zamieniana na pracę, a część jest oddawana do
chłodnicy. Na przykładzie cyklu chłodniczego przekonaliśmy się, że aby
R
OZDZIAŁ
9
Strona
146
146
146
146
przekazać ciepło z ciała zimnego do ciała gorącego niezbędne jest wyko-
nanie pracy. Oba te spostrzeżenia mogą być podstawą do sformułowa-
nia drugiej zasady termodynamiki
:
Niemożliwe jest przekazywanie ciepła przez ciało o niższej
temperaturze ciału o wyższej temperaturze bez wprowadzenia
innych zmian w obu ciałach i ich otoczeniu.
lub w innym sformułowaniu:
Niemożliwe jest pobieranie ciepła z jednego źródła i zamiana go
na pracę bez wprowadzenia innych zmian w układzie i jego
otoczeniu.
Druga zasada termodynamiki zaprzecza istnieniu tzw. perpetuum mobile
drugiego rodzaju czyli całkowitej zamiany ciepła w pracę. Druga zasada
termodynamiki nakłada ograniczenia na wartość sprawności silnika – nie
jest możliwe zbudowanie silnika o sprawności większej niż sprawność
silnika Carnota.
9.8. Entropia
Swobodny przepływ ciepła następuje tylko w kierunku od ciała gorącego
do ciała zimnego. Zgodnie z drugą zasadą termodynamiki przepływ
w odwrotną stronę nie może odbywać się samoistnie i wymaga wykona-
nia pracy nad układem. Szczegółowa analiza tego problemu pokazuje, że
kierunek zachodzenia procesów fizycznych w przyrodzie jest wyznaczo-
ny przez zmiany wartości pewnej funkcji stanu układu, zwanej entropią.
Entropia
jest funkcją stanu a więc jej zmiana zależy jedynie od począt-
kowego i końcowego stanu układu, a nie zależy od sposobu przejścia
między tymi stanami. Dla przemiany izotermicznej zmianę entropii mo-
ż
emy zdefiniować jako stosunek ilości ciepła ∆Q otrzymanego przez
układ do temperatury w której układ otrzymał to ciepło. Jest to tzw. cie-
pło zredukowane:
T
∆Q
∆S
=
(9.56)
W ogólnym przypadku należy zastosować definicję różniczkową zmiany
entropii:
T
ERMODYNAMIKA
Strona
147
147
147
147
T
Q
S
d
d
=
(9.57)
Jeżeli szukamy zmiany entropii ∆S podczas jakiegoś procesu termodyna-
micznego musimy dodać (scałkować) wszystkie składowe infinitezymal-
ne zmiany entropii dS.
Korzystając z pierwszej zasady termodynamiki oraz ciepło δQ można
wyrazić za pomocą pracy δW oraz zmiany energii wewnętrznej dU
a w konsekwencji za pomocą zmiany objętości dV oraz zmiany tempera-
tury dT. W efekcie po scałkowaniu otrzymujemy wzór na zmianę
entropii dla dowolnej przemiany gazowej gazu doskonałego:
P
K
V
P
K
T
T
C
n
V
V
n
∆S
ln
ln
R
+
=
(9.58)
Entropię można również definiować jako miarę tej części energii wew-
nętrznej układu, która nie może być użyta do wykonania pracy mecha-
nicznej, co możemy zapisać w następujący sposób:
V
p
S
T
U
d
d
d
−
=
(9.59)
Entropia pokazuje, w którym kierunku procesy fizyczne mogą biec sa-
morzutnie. Jeżeli zmiana entropii układu w pewnym procesie wynosi
zero, to proces taki jest odwracalny czyli może zachodzić w obu kierun-
kach. Zmiana entropii dla cyklu Carnota, podobnie jak dla każdego
procesu cyklicznego, również wynosi zero gdy jest on odwracalny.
Przemiany nieodwracalne przebiegają samorzutnie tylko w określonym
kierunku. W przypadku tych przemian entropia wzrasta
0
>
∆S
. Przy-
kładem może być połączenie dwóch zbiorników, zawierających odpo-
wiednio gorący i zimny gaz. Po usunięciu przegrody dzielącej zbiorniki
dojdzie do wymiany energii kinetycznej pomiędzy cząsteczkami gazu,
a więc w konsekwencji do samorzutnego wyrównania temperatur obu
porcji gazu. W przyrodzie proces ten nie zachodzi w odwrotnym kierun-
ku – nie obserwujemy spontanicznego samorzutnego podgrzewania
jednej porcji a oziębiania drugiej porcji gazu. Możemy jednak osiągnąć
taki efekt, dostarczając do układu ciepło lub wykonując nad nim pracę.
Wtedy układ ten nie będzie jednak układem zamkniętym.
R
OZDZIAŁ
9
Strona
148
148
148
148
Definicja statystyczna entropii
Entropia ma również swoją definicję statystyczną. Rozpatrzmy najpierw
przykład nieodwracalnej przemiany rozprężania gazu do zbiornika
z próżnią. W przyrodzie nie obserwujemy zachodzenia tego procesu w
odwrotnym kierunku, tzn. nie jest możliwe, aby wszystkie cząsteczki
gazu z jednego zbiornika same spontanicznie go opuściły wytwarzając
tam próżnię. Aby osiągnąć taki stan, czyli aby wypompować gaz z jed-
nego zbiornika i uzyskać próżnię, musimy użyć odpowiedniej pompy,
a więc wykonać pracę. Możemy powiedzieć, że najbardziej prawdopo-
dobna będzie konfiguracja, gdzie w obu zbiornikach będziemy mieli tyle
samo cząsteczek. Dla uproszczenia rozpatrzmy układ dwóch zbiorników,
w których znajdują się ponumerowane cztery cząsteczki. Najbardziej
prawdopodobny będzie taki stan (nazywany makrostanem), w którym
w obu zbiornikach będą dwie cząsteczki. Ale taki makrostan może być
zrealizowany na wiele sposobów (poprzez wiele mikrostanów), tzn. w
zbiorniku mogą być następujące konfiguracje cząsteczek (1,2), (1,3),
(1,4), (2,3), (2,4), (3,4). Makrostan z jedną cząsteczką w prawym
zbiorniku może być zrealizowany przez 4 mikrostany tzn. w zbiorniku
tym mogą być cząsteczki (1) lub (2) lub (3) lub (4). Liczba mikrostanów
realizujących dany mikrostan oznaczana jest symbolem w i definiuje
entropię układu (wzór Boltzmanna-Plancka):
( )
w
S
ln
k
B
=
(9.60)
W celu wyznaczenia zmiany entropii układu, należy obliczyć różnicę
entropii końcowej i początkowej:
P
K
B
P
K
w
w
k
S
S
∆S
ln
=
−
=
(9.61)
Wyznaczmy teraz prawdopodobieństwa różnych konfiguracji dla wyniku
rzutu dwiema kostkami do gry. Wyniki „2” oraz „12” można uzyskać
tylko w jeden sposób – rzucając dwie „jedynki” lub dwie „szóstki”.
Prawdopodobieństwo uzyskania takiego wyniku jest zatem dość niskie –
wynosi 1/6·1/6=0.028. Wynik „3” można uzyskać na dwa sposoby –
wyrzucając „1” i „2” lub „2” i „1”. Wynik ten ma zatem wyższą
wielokrotność konfiguracji. Prawdopodobieństwo uzyskania takiego
wyniku jest również dwa razy wyższe – wynosi 0.056. W rzucie dwiema
kostkami najbardziej prawdopodobny jest wynik „7” – można go uzys-
kać na 6 sposobów. Wynik ten reprezentuje zatem również największą
entropię.
T
ERMODYNAMIKA
Strona
149
149
149
149
Zwiększanie się entropii w wyniku przemian termodynamicznych ozna-
cza dążenie do stanów najbardziej prawdopodobnych, czyli do stanów
równowagowych. Łatwo zauważyć, że układy te reprezentują również
największy nieporządek. Wróćmy do przykładu z rozprężeniem gazu do
próżnego zbiornika – stan, w którym jeden zbiornik jest próżny, a sąsied-
ni zbiornik jest wypełniony gazem reprezentuje bardzo niską entropię.
Wyrównanie się ciśnień w obu zbiornikach powoduje przejście do stanu
o najwyższej entropii. Widzimy zatem, że w układzie zamkniętym bę-
dzie pojawiał się nieporządek.
Jeśli zbudujemy wieżę z kamieni, wykonujemy pracę by wytworzyć stan
o wysokim porządku – zatem o niskiej entropii. W przypadku wieży
stanem o najwyższej entropii jest losowe rozrzucenie kamieni. Jeśli nie
będziemy wykonywać nad tym układem żadnej pracy, pod wpływem
czynników zewnętrznych stopniowo będzie dążył do stanu o wyższej
entropii – wieża będzie się rozpadać, aż do zamiany w stertę rozrzuco-
nych kamieni. W przyrodzie struktury uporządkowane, takie jak żywe
organizmy istnieją dzięki źródłu energii, jakim jest Słońce. Energia czer-
pana ze Słońca (w przypadku niektórych bakterii energia może być po-
zyskiwana z innych źródeł) jest wykorzystywana na wykonywanie pracy
i budowę struktur o wysokim uporządkowaniu. Bez źródła energii orga-
niżmy żywe umierają – przechodzą w stan o wyższej entropii. Warto
zwrócić uwagę, że procesy śmierci i rozkładu można interpretować w ra-
mach przemian termodynamicznych. Ciepło wytwarzane w procesie fer-
mentacji szczątków organicznych może być odzyskiwane i wykorzysty-
wane jako alternatywne źródło energii.
9.9. Właściwości termiczne
materii
Mechanizmy przekazywania ciepła
Procesy transportu energii zmierzają do wyrównywania energii w całym
układzie prowadząc układ do stanu równowagi. W przyrodzie istnieją
trzy podstawowe mechanizmy przekazywania ciepła:
• przewodnictwo cieplne,
• konwekcja (unoszenie),
R
OZDZIAŁ
9
Strona
150
150
150
150
• promieniowanie.
Przewodnictwo cieplne
Przewodnictwo cieplne jest związane z przekazywaniem energii przez
cząstki o wyższej energii cząstkom o niższej energii. Jeśli w jednym
miejscu ciała dostarczane jest ciepło, cząstki z których zbudowane jest
ciało uzyskują wyższą energię. W przypadku gazu będzie to większa
energia kinetyczna cząsteczek gazu, w przypadku ciała stałego będziemy
mieli do czynienia z większą energią drgań atomów wokół ich położeń
równowagi. Energia ta jest przekazywana sąsiednim atomom, tak żeby
minimalizować różnicę temperatur pomiędzy ciepłym a chłodnym koń-
cem. W przypadku gazu przekazywanie energii kinetycznej odbywa się
poprzez zderzenia, zaś w ciele stałym w wyniku oddziaływań między
atomami.
Z codziennego doświadczenia wiemy, że różne materiały mają różną
przewodność cieplną. Wysoką przewodność cieplną mają na przykład
metale. Związane jest to z przewodzeniem ciepła nie tylko na skutek
drgań jąder atomowych, ale również zderzeń swobodnych elektronów
obecnych w metalach. Tworzywa sztuczne takie jak guma czy polietylen
są z reguły izolatorami elektrycznymi i wykazują również niewielką
przewodność cieplną.
Strumień ciepła J
Q
, czyli ciepło dQ przepływające w czasie dt przez po-
wierzchnię dS, jest proporcjonalny do gradientu temperatury wywołują-
cego przepływ ciepła. Współczynnik proporcjonalności λ nazywa się
współczynnikiem przewodności cieplnej jest cechą charakterystyczną
danego materiału i wyraża się w Wm
-1
K
-1
.
W jednowymiarowym przypadku gradient temperatury jest równy po-
chodnej temperatury po współrzędnej x i wówczas przepływ ciepła może
być opisany następującą zależnością (prawo Fouriera przewodnictwa
cieplnego):
x
T
S
t
Q
J
Q
d
d
d
d
d
λ
−
=
=
(9.62)
Dla cienkich warstw przybliżeniem gradientu temperatury jest iloraz
różnicy temperatur przez grubość przegrody. Rozpatrzmy cienką prze-
grodę o grubości L i powierzchni S wykonaną z materiału o współczyn-
niku przewodności cieplnej λ, która oddziela zbiornik gorący, o tempera-
turze T
G
, od zimnego, o temperaturze T
Z
. W takim przypadku ilość ciepła
T
ERMODYNAMIKA
Strona
151
151
151
151
Q
przepływająca przez przegrodę w czasie t (moc P) wyraża się wzorem
(za „Podstawy Fizyki”, Halliday, Resnick, Walker, PWN 2003):
L
T
T
S
k
t
Q
P
Z
G
−
=
=
(9.63)
Dla takiej przegrody można również wyznaczyć wartość oporu cieplnego
R
, będącego współczynnikiem proporcjonalności między mocą przepły-
wającego ciepła a różnicą temperatur:
S
k
L
R
=
(9.64)
Należy pamiętać, że tak zdefiniowana wielkość charakteryzuje dane cia-
ło, a nie materiał z którego jest wykonane.
W układzie składającym się z wielu warstw, przy stacjonarnym przepły-
wie ciepła (temperatury i wartość strumienia ciepła nie zmieniają się
w czasie), ciepło przepływające przez każdą z warstw jest jednostce
czasu jest taki samo. Rozpatrując przykład dwóch warstw wykonanych
z różnych materiałów równania Fouriera możemy zapisać w postaci:
(
)
(
)
2
Z
12
2
1
12
G
1
L
T
T
S
k
L
T
T
S
k
P
−
=
−
=
(9.65)
gdzie T
12
oznacza temperaturę na granicy dwóch warstw. Wyznaczając
z powyższego równania temperaturę T
12
możemy wyznaczyć całkowitą
moc traconą przez taką podwójną przegrodę:
(
)
2
2
1
1
Z
G
k
L
k
L
T
T
S
P
+
−
=
(9.66)
W ogólnym przypadku moc ciepła przepływającego przez przegrodę
składającą się z kilku warstw o różnych grubościach L
i
oraz współczyn-
nikach przewodności cieplnej k
i
możemy zapisać:
(
)
∑
−
=
i
i
i
Z
G
k
L
T
T
S
P
(9.67)
R
OZDZIAŁ
9
Strona
152
152
152
152
Konwekcja
Konwekcja jest mechanizmem przekazywania ciepła charakterystycz-
nym dla płynów (gazów i cieczy) i nazywana bywa również przepływem
masowym. Zwiększenie temperatury płynów powoduje zmniejszenie ich
gęstości a w konsekwencji pojawienie się siły wyporu skierowanej
pionowo do góry. Charakterystyczne przy tym jest, że ruch taki może
dotyczyć nie tylko pojedynczych cząsteczek, ale również znacznych
objętości płynu.
Prostym przykładem konwekcji jest ruch wody podgrzewanej w garnku.
Woda ogrzana przy dnie za sprawą siły wyporu unosi się ku powierz-
chni, gdzie ulega wychłodzeniu i opada ponownie na dno, gdzie ponow-
nie się ogrzewa wywołując cyrkulację w całym naczyniu. Podobne zja-
wisko w znacznie większej skali obserwujemy w roztopionych skałach
pod powierzchnią Ziemi - gdzie gorąca magma wypływa ku powierz-
chni, gdzie stygnie i opada. Ruchy konwekcyjne roztopionych skał
kształtują powierzchnię Ziemi i mają decydujący wpływ na dryf płyt
kontynentalnych, unoszących się na powierzchni magmy. Opis ruchów
konwekcyjnych mas powietrza jest jednym z podstawowych zagadnień
meteorologii. Ruchy te powodują powstawanie wiatrów i chmur a także
powstawanie i przemieszczanie się frontów atmosferycznych.
Przepływ konwekcyjny jest podstawą działania instalacji centralnego
ogrzewania. Ciepła woda, ogrzana w piecu lub kotle unosi się do góry,
wymuszając jednocześnie napływ zimniejszej wody do wymiennika cie-
pła. W grzejnikach woda (napływająca górnym wlotem) ochładza się
i opada w kierunku pieca. W samych grzejnikach powietrze jest zasysane
znad podłogi, ogrzewa się pomiędzy żebrami i unosi do góry. Na podob-
nej zasadzie działa wentylacja grawitacyjna. W przypadku kiedy proces
wymiany ciepła w urządzeniu jest w danym zastosowaniu zbyt powolny,
można wymusić konwekcję. Prostym przykładem wymuszonej konwek-
cji jest chłodnica samochodowa. Wiatrak chłodnicy wymusza przepływ
powietrza między żebrami wymiennika ciepła. Identyczną funkcję pełni
wiatrak na radiatorze procesora komputerowego. W przypadku cieczy
chłodzących o znacznej gęstości przepływ może być wymuszany za
pomocą pomp. Pompy wspomagające obieg wody i powietrza w piecu
mogą być stosowane w domowych instalacjach grzewczych.
Promieniowanie cieplne
Kolejnym mechanizmem wymiany ciepła jest promieniowanie cieplne.
Podstawy fizyczne tego zjawiska omówimy w dalszej części wykładu.
T
ERMODYNAMIKA
Strona
153
153
153
153
Teraz podamy jedynie wzór, określający ilość energii wypromieniowa-
nej lub pochłoniętej przez ciało przez jednostkę powierzchni:
4
T
σ
E
=
(9.68)
Jest to tzw. wzór Stefana-Boltzmanna opisujący całkowitą (integralną)
zdolność emisyjną ciała, czyli energię wypromieniowaną w całym
widmie częstotliwości. Promieniowanie cieplne zależy od temperatury
w potędze czwartej, ale również od rodzaju powierzchni ciała. Powierz-
chnie ciemne dobrze pochłaniają, ale i dobrze wypromieniowują ciepło.
Pomalowany czarnym lakierem pojazd szybko nagrzewa się, ale równie
szybko stygnie. Samochód z jasnym nadwoziem pochłania niewiele cie-
pła, ale i niewiele oddaje. Odbijanie ciepła jest podstawą działania tzw.
folii ratunkowej, znajdującej się w apteczce samochodowej. Ułożona
srebrną stroną do ciała folia zabezpiecza przed wychłodzeniem,
odbijając promieniowanie cieplne do środka. Ułożenie stroną złotą do
ciała i srebrną na zewnątrz zmniejsza promieniowanie zewnętrzne i chro-
ni przed przegrzaniem.
Izolacja termiczna
Policzmy moc, jaka jest tracona przez okno o powierzchni S=1m
2
wykonane z pojedynczej szyby o grubości d=4mm i współczynniku
przewodności cieplnej k=1, zakładając temperaturę na zewnątrz
T
Z
= -20
o
C=253K oraz wewnątrz pomieszczenia T
W
=20
o
C=293K.
Zaniedbamy efekty związane z promieniowaniem cieplnym i konwekcją
analizując jedynie przewodnictwo cieplne. Korzystając ze wzoru 9.14
otrzymujemy znaczną stratę ciepła o mocy 10kW
(
10000
004
0
253
293
1
1
=
−
⋅
=
.
P
).
Rozważmy teraz drugi przypadek, w którym zastosowano podwójną
szybę. Przy czym odległość między szybami wynosi z=1cm, a przestrzeń
jest wypełniona powietrzem o współczynniku przewodności k=0.025.
Założymy, że w tej warstwie powietrza konwekcja nie występuje. Po
podstawieniu do wzoru 9.18 opisującego wielowarstwową przegrodę
otrzymujemy P=98W. Widzimy, że w przypadku zastosowania dwóch
szyb przedzielonych warstwą powietrza strumień ciepła przepływający
przez okno jest ponad 1000 razy mniejszy. W krajach skandynawskich
stosuje się nierzadko okna z trzema szybami, które gwarantują jeszcze
niższe straty ciepła. Podobny efekt wykorzystujemy w przypadku cegieł
ceramicznych z kanałami powietrznymi czy popularnych wykończeń
ś
cian typu „siding”. W przypadku takich przegród powietrznych najważ-
R
OZDZIAŁ
9
Strona
154
154
154
154
niejszym zagadnieniem jest uniknięcie lub zminimalizowanie konwek-
cyjnego transportu ciepła. Można to osiągnąć zamykając powietrze wew-
nątrz małych porów materiału. Efekt taki jest wykorzystywany m.in.
w płytach styropianowych i piankach poliuretanowych. Materiały te są
bardzo lekkie, ponieważ puste przestrzenie pomiędzy „więźbą” polime-
rową wypełnia powietrze. Materiałem o najlepszych własnościach
izolacyjnych jest aerożel, oparty na spienionych związkach krzemu.
Konwekcja i przewodzenie cieplne nie występują również w próżni, po-
nieważ nie ma tam cząsteczek gazu które mogłyby uczestniczyć w trans-
porcie ciepła. Na tym efekcie opiera się działanie tzw. naczynia Dewara.
Spomiędzy podwójnych ścianek tego naczynia wypompowuje się powie-
trze. Kontakt termiczny pomiędzy wewnętrznymi a zewnętrznymi ścian-
kami istnieje jedynie przy wlocie naczynia, który ma jednak niewielki
przekrój poprzeczny i powierzchnię. Prostym przykładem naczynia
Dewara jest termos. Termosy szklane długo zachowują próżnię, są nato-
miast podatne na uszkodzenia mechaniczne. Termosy metalowe są wy-
trzymałe mechanicznie, ale ciśnienie wewnątrz stopniowo wzrasta i po
pewnym czasie tracą one właściwości izolujące.
Ciepło właściwe ciał stałych
Pojemność cieplną ciał stałych opisuje tzw. model Debye’a. Zakłada on,
ż
e transport ciepła w ciałach stałych zachodzi w postaci rozchodzenia się
drgań. Im wyższa temperatura, tym liczba wzbudzanych rodzajów drgań
rośnie – wzrasta również ciepło właściwe. W zakresie temperatur poniżej
tzw. temperatury Debye’a θ wzrost ten odbywa się proporcjonalnie do
trzeciej potęgi temperatury. Powyżej temperatury Debye’a wzrost war-
tości ciepła właściwego jest znacznie mniej dynamiczny. Wartością gra-
niczną dla tzw. ciał prostych – np. kryształów zbudowanych z jednego
pierwiastka – jest wartość trzykrotnej stałej gazowej 3R. Zależność tą
określa się prawem Dulonga-Petita.
Ciepło właściwe materii związane jest również z ruchem elektronów.
Elektronowe ciepło właściwe jest wprost proporcjonalne do temperatury.
W bardzo niskich temperaturach czynnik ten ma decydujący wpływ na
całkowitą wartość ciepła właściwego.
Pełna postać wzoru na ciepło właściwe ciał stałych przyjmuje zatem
postać:
T
b
aT
+
=
3
v
c
(9.69)
T
ERMODYNAMIKA
Strona
155
155
155
155
Rozszerzalność cieplna ciał stałych
Drgania termiczne atomów w ciałach stałych wpływają na zwiększenie
ś
redniej odległości międzyatomowej i zarazem zwiększają makroskopo-
wą objętość kryształów. Efekt ten jest związany z kształtem potencjału
oddziaływania międzyatomowego. Rozszerzalność temperaturową ciał
stałych możemy przybliżyć funkcją liniową, wprowadzając współczyn-
nik rozszerzalności cieplnej i w przypadku jednowymiarowym np. dłu-
gości cienkiego pręta, zapisujemy:
∆T
α
L
∆L
L
0
=
(9.70),
gdzie α
L
jest współczynnikiem rozszerzalności liniowej o wymiarze K
-1
.
Zakładając jednakowe rozszerzanie się materiału w każdym kierunku
(izotropia) współczynnik rozszerzalności objętościowej α
V
jest równy
trzykrotnej wartości współczynnika rozszerzalności liniowej α
L
a zależ-
ność zmian objętości od temperatury zapisujemy:
∆T
α
V
∆V
V
0
=
(9.71)
Rozszerzalność cieplna ciał stałych musi być uwzględniana przy projek-
towaniu konstrukcji i połączeń konstrukcyjnych. Materiały, z których
wykonane są obiekty takie jak mosty i wiadukty drogowe (stal i beton)
mają z reguły inną rozszerzalność cieplną niż skała lub grunt, na którym
są oparte. Aby uniknąć nadmiernych naprężeń mechanicznych związa-
nych z termicznym odkształcaniem się materiałów na styku różnych ele-
mentów konstrukcyjnych stosuje się tzw. szczeliny dylatacyjne. Rolę
takich szczelin dylatacyjnych spełnia również fuga między płytkami ce-
ramicznymi, ale niezbędne jest również zastosowanie odpowiednio elas-
tycznej zaprawy klejącej, tak aby nie doszło do zerwania kontaktu płytki
z podłożem lub pęknięcia płytki. W przyrodzie naprężenia powstające
w skałach ogrzewanych przez słońce lub ochładzanych przez wiatr są
jednym z głównych czynników erozji.
Zjawisko rozszerzalności cieplnej ciał można wykorzystać podczas nito-
wania. Wciskając nit w otwór w rozgrzanym materiale zyskujemy ciasne
połączenie po ostygnięciu. Podobny efekt możemy otrzymać łącząc ma-
teriały o różnym współczynniku rozszerzalności cieplnej. Często stoso-
wanym czujnikiem temperatury opartym na zjawisku rozszerzalności
cieplnej jest tzw. bimetal. Jest to pasek zbudowany z połączonych ze
R
OZDZIAŁ
9
Strona
156
156
156
156
sobą dwóch warstw metali o różnym współczynniku rozszerzalności
cieplnej. Jeśli długość jednej z warstw paska wzrośnie pod wpływem
temperatury bardziej niż drugiego, cały pasek ulegnie wygięciu. Bimetal
możemy wykorzystywać np. jako wyłącznik zwierający w instalacji
przeciwpożarowej, bądź wyłącznik rozwierający w instalacji zapobiega-
jącej przegrzaniu się urządzenia.
10
Elektrostatyka
W tym rozdziale:
o
Ładunek elektryczny, oddziaływanie ładunków,
prawo Coulomba
o
Natężenie pola elektrycznego ładunków
dyskretnych oraz ciągłych rozkładów ładunków
o
Energia i potencjał w polu elektrycznym
o
Prawo Gaussa, przykłady zastosowania prawa
Gaussa
o
Pojemność elektryczna, kondensatory
o
Dielektryki
R
OZDZIAŁ
10
Strona
158
158
158
158
10.1. Ładunek elektryczny
Zjawisko elektryzowania ciał jest znane od czasów starożytności. Jeśli
potrzemy kawałkiem jedwabiu o szkło zauważymy, że kawałek szkła
nabierze ciekawych właściwości – będzie przyciągał drobinki kurzu lub
drobne skrawki papieru oraz jedwab, którym go pocieraliśmy. Podobny
efekt zaobserwujemy w przypadku kawałka bursztynu potartego o futro.
Jeśli zbliżymy do siebie szkło i bursztyn zauważymy ponadto, że przy-
ciągają się nawzajem. Natomiast dwa takie kawałki szkła czy dwa ka-
wałki bursztynu będą się nawzajem odpychać. Ponadto bursztyn będzie
odpychał kawałek jedwabiu, którym naelektryzowano szkło, a szkło bę-
dzie odpychać futro którym naelektryzowano bursztyn.
Aby usystematyzować powyższy opis, założymy że podczas pocierania
umieszczamy na ciele ładunek elektryczny elektryzując go w ten sposób.
Znak ładunku może być dodatni lub ujemny. Ustalmy, że w przypadku
elektryzowania bursztynu ładunek znajdujący się na powierzchni bur-
sztynu ma znak ujemny a na powierzchni futra użytego do elektryzowa-
nia pozostaje identyczna porcja ładunku dodatniego. Znak ładunku poja-
wiającego się na powierzchni elektryzowanego szkła jest natomiast
dodatni. Opisane wyżej obserwacje wskazują, że ładunki o identycznym
znaku – jednoimienne – odpychają się, a ładunki o różnych znakach –
różnoimienne – przyciągają się. Efekt odpychania się jednoimiennych
ładunków można czasem zauważyć w burzowy dzień lub stojąc pod linią
elektryczną wysokiego napięcia w postaci włosów „stających dęba”.
Ładunki zgromadzone na naszym ciele i ubraniach są przyciągane przez
chmurę burzową czy linię energetyczną gromadzą się na włosach ale
jednocześnie jako ładunki o tym samym znaku chcą być jak najdalej od
siebie powodując, że włosy „stają dęba”.
Ładunek elektryczny wymieniany jest w porcjach. Najmniejszą niepo-
dzielną porcję ładunku nazywamy ładunkiem elementarnym e i jest on
równy ładunkowi elektronu. Wartość ładunku elementarnego wynosi
e=1.602·10
–19
C, gdzie C jest jednostką ładunku elektrycznego – kulom-
bem. Ponieważ elektron ma ładunek ujemny więc zjawisko elektryzowa-
nia ciał polega na wytworzeniu na nich nadmiaru elektronów – wtedy ła-
dunek ciała jest ujemny, lub niedoboru elektronów – w takim przypadku
ładunek ciała jest dodatni.
E
LEKTROSTATYKA
Strona
159
159
159
159
Ciała mogą mieć różne właściwości elektryczne. Ciała, w których ładu-
nek może swobodnie się przemieszczać nazywamy przewodnikami (np.
metale), zaś ciała, w których ruch ładunku jest niemożliwy nazywamy
izolatorami (większość materiałów organicznych i tworzyw sztucznych).
Oprócz omówionego wcześniej elektryzowania przez pocieranie, ciała
można elektryzować również przez indukcję. Załóżmy, że naładowany
ładunkiem ujemnym kawałek szkła zbliżymy do fragmentu przewodnika
(metalu). Ładunek w metalu może się swobodnie przemieszczać. Ponie-
waż, jak już zauważyliśmy ładunki tego samego znaku odpychają się,
z fragmentu przewodnika w pobliżu naładowanego ujemnie izolatora od-
płynie ładunek ujemny. Ten fragment metalu będzie zatem naładowany
ładunkiem dodatnim. Nie jest to jednak stan trwały i gdy następnie
oddalimy naładowany fragment izolatora, sytuacja wróci do stanu po-
czątkowego. Jeśli jednak koniec metalu naładowany ujemnie podłączy-
my na chwilę do tzw. uziemienia ładunek ten spłynie do Ziemi. Jak
przekonamy się później, zjawisko to jest wynikiem wyrównania poten-
cjałów pomiędzy naładowanym obiektem i Ziemią, która ma bardzo
dużą pojemność – może przyjąć bardzo dużo ładunku. Jeśli teraz usunie-
my połączenie pomiędzy metalem a ziemią, a następnie usuniemy nała-
dowany ujemnie izolator, na metalu pozostanie ładunek dodatni. Metal
został naładowany przez indukcję.
10.2. Prawo Coulomba
Określimy teraz ilościowo siły wzajemnego oddziaływania pomiędzy
ładunkami.
Siła oddziaływania pomiędzy dwoma ładunkami punktowymi Q1
oraz Q2 umieszczonymi w próżni w odległości r od siebie,
zgodnie z prawem Coulomba, jest proporcjonalna do wartości
tych ładunków oraz odwrotnie proporcjonalna do kwadratu
odległości między nimi:
2
0
4
r
Q
Q
F
2
1
πε
=
(10.1),
R
OZDZIAŁ
10
Strona
160
160
160
160
gdzie ε
0
jest stałą przenikalności dielektrycznej próżni i jest równa
(
)
2
2
12
Nm
C
10
8.854
−
⋅
=
0
ε
(w przybliżeniu
2
2
9
Nm
C
10
−
⋅
=
π
36
1
0
ε
).
Ponieważ siła oddziaływania elektrostatycznego jest wektorem, więc
jeśli obliczamy siły działające w układzie kilku ładunków, musimy
zastosować dodawanie wektorowe. Jako przykład policzymy siłę
oddziaływania na jeden z ładunków w układzie czterech ładunków
dodatnich Q znajdujących się w wierzchołkach kwadratu o boku a (rysu-
nek 10.1). Ponieważ ładunki są jednoimienne, to wybrany ładunek
odpychany jest przez jego trzech „sąsiadów” siłami F
1
,
F
2
i F
3
oznaczonymi na rysunku 10.1. Siły F
1
i F
3
są równe co do wartości
(identyczne ładunki znajdują się w tej samej odległości):
2
0
4
a
Q
Q
F
F
3
1
πε
=
=
(10.2)
Siły te są do siebie prostopadłe a więc dodając je wektorowo otrzymuje-
my siłę wypadkową, skierowaną wzdłuż przekątnej kwadratu:
2
0
2
4
2
a
Q
F
13
πε
=
(10.3)
Siła F
2
pochodząca od ładunku znajdującego się po przekątnej kwadratu
ma kierunek i zwrot identyczny jak siła F
13
i wartość równą:
(
)
2
0
2
2
4
a
Q
F
2
πε
=
(10.4)
Wartość siły wypadkowej F
W
działająca na jeden z ładunków jest więc
sumą F
2
oraz F
13
:
(
)
2
0
2
πε
8
1
2
2
a
Q
F
W
+
=
(10.5)
E
LEKTROSTATYKA
Strona
161
161
161
161
Rysunek 10.1. Siły działające w układzie jednakowych ładunków Q,
rozmieszczonych w wierzchołkach kwadratu o boku a
10.3. Natężenie
pola elektrycznego
Ładunki elektryczne są źródłem pola elektrycznego, podobnie jak masa
jest źródłem pola grawitacyjnego. Właściwości pola elektrycznego
można badać umieszczając w nim ładunek. Jeśli jednak ładunek ten
będzie miał znaczną wartość w stosunku do ładunku badanego, zakłóci
to pole elektryczne. Z tego względu posłużymy się ładunkiem próbnym
dodatnim q
0
– o wartości na tyle małej, że nie wprowadza dużych
zakłóceń badanego pola. Tor ruchu takiego próbnego ładunku umiesz-
czonego w obszarze pola elektrycznego wyznacza linie pola elektryczne-
go. Wektor siły działającej na próbny ładunek jest zawsze styczny do
linii pola. Dla ładunku punktowego linie sił pola rozchodzą się promie-
niście w przestrzeni.
Z obserwacji wynika, że siła F działająca na ładunek umieszczony w po-
lu elektrycznym jest proporcjonalna do wartości tego ładunku q. Wynika
z tego, że stosunek siły działającej na ładunek próbny do wartości tego
ładunku ma stałą wartość charakteryzującą pole elektryczne w tym
punkcie i nazywany jest natężeniem pola elektrycznego E.
R
OZDZIAŁ
10
Strona
162
162
162
162
2
0
4
r
Q
q
F
E
E
q
F
πε
=
=
=
=
r
r
const.
(10.6)
Natężenie pola elektrycznego jest miarą siły działającej na
jednostkowy próbny ładunek elektryczny:
Tak zdefiniowana wielkość jest niezależna od wielkości ładunku prób-
nego, jest zatem wyłącznie właściwością badanego pola. Natężenie pola
elektrycznego jest wektorem, którego kierunek i zwrot jest identyczny
jak zwrot siły działającej na dodatni ładunek umieszczony w badanym
polu.
Rozważmy układ dwóch ładunków punktowych o identycznym co do
wartości ładunku Q, znajdujących się w pewnej odległości D od siebie.
Obliczmy natężenie w różnych punktach położonych na prostej przecho-
dzącej przez oba ładunki w przypadku, kiedy ładunki są jednoimienne.
Wówczas zewnątrz układu oba wektory natężenia są skierowane w tym
samym kierunku i sumują się. Dla dużych odległości r od ładunków
(r>>D) natężenie pola elektrycznego jest w przybliżeniu równe
natężeniu pochodzącemu od ładunku o wartości 2Q.
Na odcinku łączącym oba ładunki wektory natężenia są skierowane prze-
ciwnie. Wartość wektora wypadkowego jest więc różnicą wartości
wektorów składowych i wynosi:
(
)
2
0
2
0
πε
4
πε
4
r
D
Q
r
Q
E
−
−
=
(10.7),
gdzie r oznacza odległość od jednego z ładunków. W przypadku, kiedy
znajdziemy się w połowie odległości między ładunkami (r = D/2),
wartość natężenia pola elektrycznego wynosi zero, E = 0, ponieważ
wektory składowe znoszą się.
Dipol elektryczny
Jeśli ładunki Q w powyższym przykładzie są różnoimienne, to taki układ
nazywa się dipolem elektrycznym. Wartość wektora natężenia pola elek-
trycznego na osi ale na zewnątrz dipola jest różnicą wartości wektorów
składowych – wektory mają przeciwne zwroty. Natomiast na odcinku
E
LEKTROSTATYKA
Strona
163
163
163
163
łączącym ładunki wektory natężenia dodają się – wartość wektora wy-
padkowego jest sumą wartości wektorów składowych. W połowie odleg-
łości między ładunkami natężenie pola elektrycznego układu wynosi:
(
)
(
)
2
0
2
0
2
0
πε
4
8
2
πε
4
2
πε
4
D
Q
D
Q
D
Q
E
=
+
=
(10.8)
Rysunek 10.2. Natężenie pola elektrycznego pochodzącego od dipola
elektrycznego na symetralnej osi dipola
W przypadku dipola elektrycznego istotne jest również znalezienie natę-
ż
enia pola elektrycznego na symetralnej osi dipola (rysunek 10.2). Jeśli
narysujemy wektory natężenia pola elektrycznego pochodzące od każde-
go z ładunków w danym punkcie odległym o z od osi dipola, okaże się,
ż
e ich składowe prostopadłe do odcinka łączącego ładunki znoszą się,
a prostopadłe – dodają. Wypadkowe natężenie pola elektrycznego wyno-
si wówczas:
(
)
4
2
4
πε
4
2
2
2
2
2
0
D
z
D
D
z
Q
E
W
+
+
=
(10.9)
Dla dużych odległości z od osi dipola natężenie na symetralnej osi dipola
maleje z sześcianem odległości z zgodnie ze wzorem:
3
0
3
0
πε
4
πε
4
z
p
z
QD
E
W
=
=
(10.10)
R
OZDZIAŁ
10
Strona
164
164
164
164
Wektor
D
q
p
r
r
=
jest dipolowym momentem elektrycznym dipolu.
Natężenie pola elektrycznego na osi dipola jest dwukrotnie większe
i wynosi:
3
0
πε
2
z
p
E
O
Ś
=
(10.11)
Natężenie pola elektrycznego dla dipola elektrycznego ma więc silnie
kierunkowy charakter – wynosi zero na osi dipola dla dużych odległości
oraz maleje z sześcianem odległości w kierunku prostopadłym do na osi
dipola.
Natężenie pola elektrycznego ciągłych
rozkładów ładunków elektrycznych
W poprzednim przykładzie pokazaliśmy jak policzyć natężenie pola
elektrycznego pochodzącego od układu dwóch dyskretnych ładunków.
W przypadku naładowanych obiektów np. naładowanych prętów, pier-
ś
cieni czy płyt, mamy do czynienia z ciągłym rozkładem ładunku.
Obiekt taki traktujemy wówczas tak, jakby składał się z wielu małych
ładunków punktowych dq, które są źródłem pola elektrycznego. Natęże-
nie wypadkowe możemy wyrazić przez sumę natężeń pochodzących od
każdego z małych ładunków, przy czym sumowanie zastępujemy
całkowaniem:
∫
=
2
0
πε
4
r
q
E
d
(10.12)
Przykład
Jako przykład obliczmy natężenie pola elektrycznego w środku półokrę-
gu o promieniu R zbudowanego z jednorodnie naładowanego ładunkiem
Q
pręta. Rozpatrzmy mały odcinek tego półokręgu, którego położenie
może być określone za pomocą kąta α względem osi symetrii półokręgu
(rysunek 10.3), na którym zgromadzony jest ładunek dq. Taka mała
porcja ładunku dq wytwarza w środku okręgu natężenie pola elektrycz-
nego dE, które jest składową całkowitego natężenia pochodzącego od
naładowanego półokręgu. Porcja ładunku dq znajdująca się na drugiej
połówce półokręgu położona symetrycznie do pierwszej wytwarza natę-
ż
enie pola elektrycznego dE o takiej samej wartości i zwrocie symetrycz-
nym względem osi półokręgu. Wypadkowe natężenie pola elektrycznego
E
LEKTROSTATYKA
Strona
165
165
165
165
dE
p
jest skierowane równolegle do osi półokręgu. Podobny zwrot wy-
padkowego wektora natężenia otrzymamy dla każdej pary ładunków dq
położonych symetrycznie względem osi okręgu, z którego wycięto póło-
krąg. Wartość składowej prostopadłej dE
p
możemy wyrazić za pomocą
funkcji kąta α:
2
0
4
2
2
R
q
E
E
p
πε
α
α
cos
d
cos
d
d
=
=
(10.13)
Całkowite natężenie pochodzące od rozpatrywanego półokręgu będzie
wyrażone za pomocą całki:
∫
=
2
Q
p
R
q
E
0
2
0
πε
4
α
2
cos
d
(10.14)
Jako górną granice całkowania przyjęliśmy tylko połowę całkowitego
ładunku Q, ponieważ przy wyliczeniu natężenia dE
p
wzięliśmy już pod
uwagę wkład pochodzący od dwóch połówek łuku. Żeby obliczyć
powyższą całkę musimy znaleźć relację między kątem α a ładunkiem dq
i dokonać zamiany zmiennych. W tym celu wprowadzimy gęstość
liniową ładunku (podobnie liczyliśmy już moment bezwładności pręta).
Ponieważ ładunek Q zgromadzony jest na półokręgu więc gęstość
liniowa ładunku wynosi
R
Q
π
λ
=
, a ładunek dq zgromadzony na odcin-
ku dl wynosi
l
d
d
λ
=
q
. Dodatkowo po zamianie zmiennych liniowych
na kątowe
R
α
d
d =
l
otrzymujemy:
R
q
α
λ
d
d =
(10.15)
Przy zamianie zmiennej całkowania z dq na dα granice całkowania
wynoszą 0 oraz π/2. Po wyciągnięciu stałych przed znak całki,
otrzymujemy:
2
0
2
0
2
0
0
2
2
2
R
Q
R
E
R
E
p
p
ε
π
πε
λ
α
α
πε
λ
π
=
=
=
∫
d
cos
(10.16)
R
OZDZIAŁ
10
Strona
166
166
166
166
Rysunek 10.3. Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego pochodzące
od naładowanego pręta wygiętego w półokrąg
10.4. Energia i potencjał w polu
elektrycznym
Energia, jaką posiada ładunek w polu elektrycznym jest równa
pracy, jaką należało wykonać, aby umieścić go w danym
miejscu tego pola.
Jest to definicja identyczna jak ta wprowadzona już dla pola grawitacyj-
nego. Skorzystaliśmy wówczas ze wzoru całkowego na pracę
∫
=
x
F(x)
W
d
Obliczamy pracę przeniesienia ładunku Q
2
z nieskończoności do punktu
odległego o R od ładunku Q
1
będącego źródłem pola elektrycznego:
∫
∞
=
R
2
1
r
r
Q
Q
W
d
2
0
4
πε
(10.17)
R
Q
Q
W
E
2
1
pot
0
4
πε
=
=
(10.18)
E
LEKTROSTATYKA
Strona
167
167
167
167
Warto zauważyć, że postać energii potencjalnej pola elektrycznego jest
podobna do wyrażenia jakie otrzymaliśmy dla pola grawitacyjnego.
Jeżeli w polu elektrycznym przesuwamy między dwoma punktami ładu-
nek q, to praca jaką wykonujemy jest proporcjonalna do wartości tego
ładunku. Stosunek tej pracy przesunięcia dW ładunku do wartości ładun-
ku q jest dla danych dwóch punktów stały i nie zależy od wartości ładun-
ku. Stosunek ten definiuje różnicę potencjałów dV między tymi dwoma
punktami pola, czyli napięcie elektryczne U.
q
E
q
W
V
U
pot
d
d
d
=
=
=
(10.19)
Jednostką napięcia (potencjału) jest 1 wolt 1V=1J/1C, czyli jest to
napięcie między takimi punktami, między którymi przesunięcie ładunku
1C wymaga pracy 1J. Potencjał pola elektrycznego jest związany z
natężeniem pola elektrycznego zależnością:
(
)
z
V
k
y
V
j
x
V
i
z
y,
x,
V
E
d
d
d
d
d
d
grad
r
r
r
r
+
+
=
−
=
(10.20)
Różnicę potencjałów U
ab
między punktami a i b możemy więc zapisać:
∫
=
=
b
a
ab
x
E(x)
∆V
U
d
(10.21)
Dla pola elektrycznego wytworzonego przez punktowy ładunek Q poten-
cjał pola w odległości r od tego ładunku wynosi:
r
Q
V
0
4
πε
=
(10.22)
Warto podkreślić, że potencjał pola elektrycznego jest wielkością
skalarną i addytywną, czyli potencjał wytwarzany przez układ ładunków
jest sumą potencjałów wytwarzanych przez każdy z ładunków w danym
punkcie. Powierzchnie stałego potencjału (powierzchnie ekwipotencjal-
ne) są prostopadłe do linii sił pola.
Wróćmy do przykładu dwóch ładunków o identycznej wartości, znajdu-
jących się w odległości D od siebie. Pokazaliśmy już, że jeśli ładunki są
jednoimienne, natężenie pola w połowie odległości między nimi jest
R
OZDZIAŁ
10
Strona
168
168
168
168
równe zeru. Jeśli jednak obliczymy potencjał w tym punkcie,
otrzymamy:
2
πε
4
2
πε
4
0
0
D
Q
D
Q
V
+
=
(10.23)
W przypadku dwóch ładunków różnoimiennych, natężenie obliczone w
połowie odległości między nimi wynosi dwukrotną wartość natężenia
pochodzącego od pojedynczego ładunku. Potencjał obliczony w tym
samym punkcie jest równy zeru:
0
=
−
=
2
πε
4
2
πε
4
0
0
D
Q
D
Q
V
(10.24)
W elektrostatyce często będziemy posługiwać się pojęciem różnicy
potencjałów pomiędzy dwoma punktami – różnica ta jest miarą pracy,
jaką należy wykonać przemieszczając ładunek między tymi punktami.
10.5. Prawo Gaussa
Pokazaliśmy już, że natężenie pola elektrycznego pochodzącego od
wielu ładunków punktowych jest sumą wektorową natężeń pochodzą-
cych od każdego z ładunków a w przypadku obiektów naładowanych
ciągłym rozkładem ładunku sumowanie zastępujemy całkowaniem.
Obliczenia takie bywają jednak często bardzo żmudne i wymagają
dobrej znajomości zależności geometrycznych występujących w bada-
nym układzie. W wielu przypadkach znacznie prostszą metodą okazuje
się skorzystanie z prawa Gaussa.
Aby zapisać prawo Gaussa wprowadzimy najpierw wielkość zwaną stru-
mieniem natężenia pola elektrycznego.
Jeśli linie sił pola elektrycznego przecinają daną powierzchnię,
to strumień wektora natężenia pola elektrycznego jest
zdefiniowany jako iloczyn skalarny wektora natężenia pola
elektrycznego i wektora normalnego zewnętrznego do danej
powierzchni, o wartości równej polu tej powierzchni:
α
S
E
S
E
Φ
E
cos
=
⋅
=
r
r
(10.25),
E
LEKTROSTATYKA
Strona
169
169
169
169
gdzie α oznacza kąt między wektorem normalnym do powierzchni
a wektorem natężenia pola elektrycznego. Widzimy, że im większy kąt
α
, tym mniejsza wartość strumienia. Jeśli wektor natężenia jest skierowa-
ny równolegle do powierzchni to strumień jest równy zeru. Jeżeli war-
tość wektora natężenia przecinającego powierzchnię jest różna w róż-
nych jej punktach, bądź różny jest kąt pomiędzy tym wektorem
a powierzchnią, w obliczaniu strumienia korzystamy z zależności
całkowej:
∫
⋅
=
S
E
Φ
E
r
r
d
(10.26)
Na przykładzie ładunku punktowego zauważyliśmy, że linie sił są
rozmieszczone gęściej w pobliżu ładunku, a rzadziej kiedy badamy pole
w większej odległości od niego. Gęstość rozmieszczenia linii, odpowia-
dająca wartości wektora natężenia zmienia się zatem z odległością.
Jednak całkowita liczba linii sił pola nie zmienia się, chyba że w prze-
strzeni umieścimy kolejny ładunek który stałby się źródłem pola. Zatem
całkowity strumień natężenia wytwarzany przez ładunek, przechodzący
przez powierzchnię zamkniętą wewnątrz której on się znajduje pozostaje
stały. Strumień nie zależy również od kształtu przyjętej powierzchni.
Mierząc zależność pomiędzy strumieniem a wartością ładunku można
sformułować prawo Gaussa:
Strumień całkowity wektora natężenia pola przechodzący przez
dowolną powierzchnię zamkniętą pomnożony przez stałą
0
ε
jest
równy sumie ładunków elektrycznych obejmowanych przez tę
powierzchnię.
0
ε
Q
S
E
=
⋅
∫
r
r
d
(10.27)
Prawo Gaussa, choć jest wyrażone wzorem całkowym, w wielu przypad-
kach pozwala na szybkie obliczanie natężenia bez konieczności stosowa-
nia rachunku całkowego. Należy dobrać zamkniętą powierzchnię całko-
wania w taki sposób, aby wektor natężenia był stały w każdym jej
punkcie i przecinał tę powierzchnię pod stałym kątem.
Ładunek punktowy
Zastosujemy prawo Gaussa do wyznaczenia natężenia pola elektryczne-
go wytwarzanego przez ładunek punktowy i porównamy z prawem
Coulomba. W przypadku ładunku punktowego jako powierzchnię zam-
kniętą, dla której będziemy liczyli strumień natężenia pola elektryczne-
R
OZDZIAŁ
10
Strona
170
170
170
170
go, warto wybrać sferę z ładunkiem punktowym w środku (rysu-
nek 10.5). Wówczas wartość natężenia pola elektrycznego w każdym jej
punkcie będzie taka sama (rozkład linii pola elektrycznego wytworzo-
nego przez ładunek punktowy jest symetryczny) oraz w każdym punkcie
wektor natężenia pola elektrycznego będzie równoległy do wektora
normalnego do powierzchni. Wówczas iloczyn skalarny może być zastą-
piony iloczynem obu wielkości a całka ze strumienia wektora natężenia
pola elektrycznego będzie równa iloczynowi wartości natężenia pola
elektrycznego oraz powierzchni sfery:
0
2
4
ε
π
Q
r
E
=
(10.28)
a po przekształceniach otrzymujemy wynik zgodny z prawem
Coulomba:
2
0
4
r
Q
E
πε
=
(10.29)
W kolejnych przykładach zastosujemy prawo Gaussa do wyznaczenia
natężenia pola elektrycznego wytworzonego przez kulę o promieniu R
naładowaną ładunkiem Q wykonaną w pierwszym przypadku z prze-
wodnika (metalu) natomiast w drugim z izolatora (dielektryka).
Rysunek 10.5. Powierzchnie zamknięte używane przy obliczaniu
natężenia pola elektrycznego z prawa Gaussa
Naładowana kula metalowa
Ładunki w metalu mogą się swobodnie przemieszczać. W sytuacji więc,
gdy metalową kulę naładujemy jednoimiennym ładunkiem ładunki będą
się odpychały i tak się rozmieszczą na powierzchni ciała, żeby być jak
najdalej od siebie. W efekcie cały ładunek Q rozłoży się równomiernie
E
LEKTROSTATYKA
Strona
171
171
171
171
na powierzchni takiej kuli. W tym przypadku również warto wybrać
powierzchnię Gaussa jako sferę współśrodkową z naładowaną kulą
(rysunek 10.5).
Jeśli promień takiej sfery Gaussa jest mniejszy od promienia kuli nasza
sfera nie obejmie żadnego ładunku (cały ładunek jest na powierzchni)
i wówczas zgodnie z prawem Gaussa natężenie pola elektrycznego
będzie zerowe:
R
r
S
E
<
=
⋅
∫
dla
0
d
r
r
(10.30)
Wewnątrz każdej metalowej powierzchni zamkniętej, niezależnie od
zgromadzonego czy wyindukowanego na niej ładunku, natężenie pola
elektrycznego będzie zerowe. Taka zamknięta powierzchnia nazywana
jest puszką Faraday’a. Przykładami puszki Faraday’a jest karoseria
samochodu czy kadłub samolotu. W obu przypadkach chronią one
znajdujące się wewnątrz osoby przed skutkami wyładowań atmosferycz-
nych – w przypadku trafienia przez piorun, cały ładunek spływa po
powierzchni. Podobną funkcję pełnią metalizowane powłoki torebek
antystatycznych do przechowywania elementów elektronicznych.
Rysunek 10.4. Wykres natężenia pola elektrycznego pochodzącego
od naładowanej kuli metalowej i kuli z dielektryka
w funkcji odległości od środka kuli
Jeśli promień sfery Gaussa r jest większy lub równy promieniowi R kuli
(r ≥ R), wówczas obejmuje ona cały ładunek Q, którym naładowana jest
kula. Wektor natężenia pola elektrycznego jest w każdym punkcie takiej
sfery stały i prostopadły do powierzchni, zatem (podobnie jak dla
ładunku punktowego) prawo Gaussa przyjmie postać:
R
OZDZIAŁ
10
Strona
172
172
172
172
R
r
Q
r
E
≥
=
dla
0
2
ε
π
4
(10.31)
Obliczone w ten sposób natężenie pola elektrycznego daje wynik iden-
tyczny jak w przypadku ładunku punktowego znajdującego się w środku
kuli. Oznacza to, że na zewnątrz naładowanej kuli można ją traktować
jako ładunek punktowy znajdujący się w środku tej kuli (rysunek 10.4).
Naładowana kula dielektryczna
W dielektrykach ładunek nie może się swobodnie przemieszczać i zakła-
damy, że jest rozłożony jednorodnie w całej objętości kuli z gęstością
objętościową ρ. Wybierzmy teraz sferę Gaussa wewnątrz kuli. Ładunek
obejmowany przez sferę jest proporcjonalny do jej objętości. Natężenie
pola elektrycznego obliczone z prawa Gaussa wyniesie:
R
r
r
E
r
r
E
<
=
=
dla
0
0
3
2
3
3
4
4
ε
ρ
ε
ρ
π
π
(10.32)
Natężenie pola elektrycznego jest więc proporcjonalne do promienia
sfery Gaussa (rysunek 10.4). Kiedy promień sfery Gaussa zrówna się
z promieniem kuli, obejmie ona całkowity ładunek na niej zgromadzony.
Przy dalszym zwiększaniu promienia sfery Gaussa będzie wzrastać jej
powierzchnia, ale nie ładunek – zatem natężenie na zewnątrz kuli będzie
zmniejszać się w funkcji odległości. Podobnie jak w przypadku kuli
metalowej, natężenie jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odleg-
łości, a postać wzoru jest identyczna jak w przypadku kiedy całkowity
ładunek znajdowałby się w samym środku kuli.
Naładowany pręt
Stosując prawo Gaussa, w łatwy sposób możemy obliczyć również natę-
ż
enie pola pochodzące od długiego naładowanego pręta. Zakładając że
pręt ten jest nieskończenie długi (zaniedbujemy efekty występujące na
jego końcach) jako powierzchnię Gaussa możemy zastosować cylinder
współśrodkowy z prętem (rysunek 10.5). Na powierzchni bocznej cylin-
dra natężenie ma w każdym punkcie identyczną wartość i jest do niej
prostopadłe. Wektor natężenia pochodzący od pręta nie posiada skła-
dowej równoległej do pręta, ponieważ dla każdego wybranego punktu
E
LEKTROSTATYKA
Strona
173
173
173
173
wpływ ładunków znajdujących się na przeciwległych wobec wybranego
punktu fragmentach pręta znosi się. Strumień wektora natężenia pola
elektrycznego wynosi zero dla podstaw takiego walca, gdyż wektor
natężenia jest równoległy do powierzchni podstaw. Przyjmując gęstość
liniową ładunku na pręcie (ładunek przypadający na jednostkę długości
pręta) jako
λ
, otrzymujemy:
0
0
ε
π
2
λ
ε
λ
π
2
r
E
L
rL
E
=
=
(10.33)
Naładowana płaszczyzna
Dla płaszczyzny, powierzchnią Gaussa może być dowolny prostopadło-
ś
cian lub walec, przecinający ją prostopadle (rysunek 10.5). Na ścian-
kach bocznych strumień natężenia jest równy zeru (wektor natężenia jest
do nich równoległy), przy obliczaniu strumienia wektora natężenia pola
elektrycznego bierzemy zatem pod uwagę jedynie powierzchnie pod-
staw. Przyjmując gęstość powierzchniową σ ładunku zgromadzonego na
naładowanej płycie otrzymujemy:
0
ε
σ
2
S
S
E
=
(10.34)
Po obliczeniu natężenia pola elektrycznego pochodzącego od nieskoń-
czenie dużej płyty okazuje się, że jest ono niezależne od odległości od
płyty:
0
2
ε
σ
=
E
(10.35)
Obliczenia te są słuszne dla płyty nieskończenie dużej ale prawdziwe bę-
dą również z dobrym przybliżeniem dla wyznaczania natężenia pola
elektrycznego również w niewielkiej odległości od płyty skończonej (dla
odległości znacznie mniejszej od rozmiaru płyty).
R
OZDZIAŁ
10
Strona
174
174
174
174
10.6. Pojemność elektryczna
przewodnika
Wyobraźmy sobie układ złożony z dwóch ciał. Z jednego z nich pobiera-
my małą porcję ładunku i przenosimy na drugie ciało. W ten sposób na-
ładowaliśmy oba ciała ładunkiem o identycznej wartości, ale przeciw-
nym znaku. Między takimi ciałami powstaje wówczas różnica potencja-
łów (napięcie). Dalsze ładowanie takiego układu, czyli dalsze przemiesz-
czanie ładunków między ciałami wymagać będzie wykonania pracy na
pokonanie różnicy potencjałów.
Różnica potencjałów powstała między naładowanymi ciałami jest pro-
porcjonalna do wartości ładunku
Q
∆V
∝
. Dla różnych układów
wytworzenie identycznej różnicy potencjałów wymaga jednak przenie-
sienia różnej ilości ładunku elektrycznego.
Stosunek ładunku Q do różnicy potencjałów ∆V (napięcia U),
którą wytwarza ten ładunek, będziemy nazywali pojemnością
C układu, a sam układ kondensatorem.
U
Q
∆V
Q
C
=
=
(10.36)
Jednostką pojemności jest jeden Farad 1F=1C/V. W praktyce rzadko
spotyka się kondensatory o tak dużej pojemności. Warto zauważyć, że
właściwie każdy obiekt posiada jakąś wartość pojemności. Prostym
przykładem może być kondensator składający się z naładowanej kuli
i Ziemi. Wykazaliśmy już, że natężenie oraz potencjał pola elektryczne-
go na powierzchni kuli o promieniu R naładowanej ładunkiem Q
wynoszą:
R
Q
V
R
Q
E
0
2
0
4
4
πε
πε
=
=
(10.37)
Ponieważ przyjmuje się, że potencjał Ziemi wynosi 0, więc w wyniku
naładowania kuli między nią a ziemią powstaje różnica potencjału V.
E
LEKTROSTATYKA
Strona
175
175
175
175
Dzieląc ładunek Q zgromadzony na kuli przez różnicę potencjału V
otrzymujemy pojemność kuli o promieniu R:
R
Q
R
Q
C
0
0
4
4
πε
πε
=
=
(10.38)
Podstawiając jako R promień Ziemi R
Z
otrzymamy pojemność elektrycz-
ną Ziemi - C ≈ 710 µF. Żeby wyznaczyć rzeczywistą pojemność elek-
tryczną Ziemi należy rozważyć układ Ziemia- jonosfera. Pojemność
elektryczna takiego układu jest znacznie większa niż wynika z powyż-
szego uproszczonego modelu i szacuje się, że jest rzędu pojedynczych
Faradów.
Kondensatory
Pracę wykonaną na rozdzielenie ładunków elektrycznych na okładkach
kondensatora możemy wykorzystać w procesie rozładowania kondensa-
tora – urządzenie takie możemy zatem wykorzystać do gromadzenia
energii w postaci ładunku elektrycznego. Rozróżniamy wiele typów
kondensatorów. Pierwotnie, popularnym rozwiązaniem gromadzenia ła-
dunku były tzw. butelki lejdejskie – szklane cylindryczne pojemniki,
w których okładkami były warstwy folii metalowej znajdujące się wew-
nątrz i na zewnątrz cylindra. Obecnie często spotyka się kondensatory
elektrolityczne, w których jedną z okładek stanowi elektrolit przewodzą-
cy ładunek w postaci jonów. Kondensatory tego typu pozwalają na uzys-
kiwanie wysokich pojemności elektrycznych. W urządzeniach elektro-
nicznych spotykamy również kondensatory nastawne zbudowane
z dwóch układów metalowych blaszek rozdzielonych szczeliną powietrz-
ną. Układy te mogą się przesuwać względem siebie. Wsuwając jedne
blaszki między drugie zmieniamy efektywną powierzchnię oraz odleg-
łość między elektrodami a i w efekcie możemy płynnie regulować po-
jemność takiego kondensatora.
Kondensator płaski
Idealny kondensator płaski składa się z dwóch nieskończenie dużych
płyt (tzw. okładek), o powierzchni S ustawionych równolegle do siebie
w odległości d, które ładujemy ładunkiem Q, tzn. na jednej z płyt
gromadzimy ładunek „+Q”, a na drugiej „-Q”. Natężenie pola elektrycz-
nego wytworzonego przez taki płaski kondensator możemy obliczyć
korzystając z prawa Gaussa. Jeśli obejmiemy obie okładki kondensatora
zamkniętą walcową powierzchnią Gaussa (podobnie jak w przykładzie
R
OZDZIAŁ
10
Strona
176
176
176
176
z naładowaną płaszczyzną, rysunek 10.5) zauważamy, że całkowity ła-
dunek objęty przez tę powierzchnię Gaussa wynosi zero, a więc na zew-
nątrz kondensatora natężenie pola elektrycznego również wynosi zero.
W rzeczywistości kondensator płaski nie jest nieskończenie wielki
i dlatego również na zewnątrz kondensatora przy obrzeżach okładek ist-
nieje pewne małe pole elektryczne ale jego wartość jest wielokrotnie
mniejsza od natężenia wewnątrz i w obliczeniach możemy je zaniedbać.
W praktyce jeżeli odległość d między okładkami jest znacznie mniejsza
od rozmiarów liniowych okładek (d<<a, d<<b, S=ab) to z dobrym
przybliżeniem taki kondensator można traktować jako nieskończony.
Natężenie pola elektrycznego między okładkami będzie sumą natężeń
pochodzących od każdej z nieskończenie wielkich okładek naładowa-
nych ładunkiem Q. Korzystając z wyznaczonej zależności 10.31 oraz
uwzględniając gęstość powierzchniową ładunku σ = Q/S otrzymujemy
natężenie pola elektrycznego między okładkami kondensatora:
S
Q
E
0
0
0
0
ε
ε
σ
ε
2
σ
ε
2
σ
=
=
+
=
(10.39)
Następnie wstawiając powyższe natężenie pola elektrycznego do zależ-
ności 10.20 obliczymy różnicę potencjałów między okładkami:
S
d
Q
x
S
Q
x
E
∆V
d
0
d
0
0
0
ε
ε
=
=
=
∫
∫
d
d
(10.40)
Pojemność C kondensatora płaskiego o powierzchni okładek S oraz od-
ległości między okładkami d wynosić więc będzie:
d
S
C
0
ε
=
(10.41)
Pojemność kondensatora płaskiego jest tym większa, im większa jest
jego powierzchnia okładek S oraz im mniejsza jest odległość d między
nimi.
W tak zwanych super-kondensatorach, wykorzystywanych w napędzie
pojazdów hybrydowych i elektrycznych, odległość pomiędzy obszarami
naładowanymi ładunkiem dodatnim i ujemnym jest bardzo mała – rzędu
promienia jonów, które są nośnikami ładunku. Pozwala to na uzyskiwa-
nie bardzo wysokich wartości pojemności elektrycznej, co jest niezbędne
do zmagazynowania energii odzyskiwanej w trakcie hamowania
pojazdu.
E
LEKTROSTATYKA
Strona
177
177
177
177
Łączenie kondensatorów
Kondensator możemy naładować jedynie do określonego napięcia
pomiędzy okładkami, nazywanego napięciem przebicia. Dla wyższych
wartości napięcia następuje lawinowy przepływ ładunku pomiędzy
okładkami, który może prowadzić do uszkodzenia kondensatora. Zwięk-
szenie napięcia przebicia możemy uzyskać, łącząc kondensatory szere-
gowo – układ taki nazywamy również dzielnikiem napięcia.
Chcąc zwiększyć pojemność układu, kondensatory łączymy równolegle
– przy identycznej wartości napięcia możemy zgromadzić w takim
układzie większy ładunek, niż na pojedynczym kondensatorze.
Połączenie szeregowe
Jeżeli połączymy dwa kondensatory szeregowo to na okładkach obu
kondensatorów zgromadzony będzie ten sam ładunek Q, przy czym
okładka naładowana znakiem „+” jednego kondensatora jest połączona
z okładką naładowaną znakiem „-” drugiego z nich. Całkowita różnica
potencjałów występująca pomiędzy zaciskami układu jest sumą napięć
na obu kondensatorach. Pojemność kondensatora zastępczego (konden-
satora, dla którego przy danym ładunku na zaciskach wytworzyłaby się
identyczna różnica potencjałów jak na zaciskach całego układu) dla
szeregowego połączenia kondensatorów wyraża się wzorem:
∑
=
i
i
Z
C
C
1
1
(10.42)
Jeśli połączymy ze sobą szeregowo dwa kondensatory o pojemności
C
=2mF każdy, to pojemność zastępcza układu obliczona ze wzoru 10.38
wyniesie C
Z
=1mF – jest zatem mniejsza niż pojemność każdego
z kondensatorów.
Połączenie równoległe
Łącząc kondensatory równolegle, ustalamy identyczną wartość różnicy
potencjałów między okładkami. Ponieważ na każdym z kondensatorów
możemy przy danym napięciu zgromadzić inny ładunek, całkowity
ładunek zgromadzony w takim połączeniu będzie sumą ładunków na
okładkach każdego z kondensatorów. Pojemność zastępcza układu
równolegle połączonych kondensatorów jest sumą pojemności tych
kondensatorów:
R
OZDZIAŁ
10
Strona
178
178
178
178
∑
=
i
i
Z
C
C
(10.43)
Równoległe połączenie kondensatorów można wyobrazić sobie również
jako zwiększenie powierzchni okładek pojedynczego kondensatora –
zatem przy identycznym napięciu można na nim zgromadzić więcej
ładunku.
Energia naładowanego kondensatora
Definiując różnicę potencjałów (napięcie) we wcześniejszej części tego
rozdziału powiedzieliśmy, że różnica potencjałów ∆V wyraża pracę W
jaką należy wykonać, żeby przemieścić ładunek Q w polu elektrycznym:
U
∆V
Q
W
=
=
(10.44)
W procesie ładowania kondensatora różnica potencjałów między okład-
kami zmienia wraz z wartością zgromadzonego ładunku. Dlatego obli-
czając całkowitą pracę naładowania kondensatora W
C
o pojemności C
ładunkiem Q musimy zastosować procedurę całkowania:
2
QU
2
CU
C
2
Q
E
C
2
Q
q
q
C
1
q
C
q
q
U
W
2
2
C
2
Q
0
Q
0
Q
0
=
=
=
=
=
=
=
∫
∫
∫
d
d
d
C
(10.45)
Energia takiego naładowanego kondensatora E
C
, czyli energia zgroma-
dzona w postaci pola elektrycznego wytworzonego między okładkami
tego kondensatora jest równa pracy W
C
naładowania tego kondensatora.
Możemy również obliczyć gęstość energii na jednostkę objętości:
2
ε
2
ε
2
0
0
2
2
2
2
2
el
E
S
d
d
E
S
Sd
1
CU
V
W
ρ
=
=
=
=
(10.46)
Gęstość energii pola elektrycznego dla kondensatora płaskiego zależy od
kwadratu natężenia pola elektrycznego wytworzonego między jego
okładkami. Można wykazać, że taką samą zależność gęstości energii od
kwadratu natężenia pola elektrycznego otrzymamy nie tylko dla konden-
E
LEKTROSTATYKA
Strona
179
179
179
179
satora płaskiego i że jest to zależność prawdziwa dla dowolnego rozkła-
du pola elektrycznego.
10.7. Dielektryki
Jeśli okładki kondensatora płaskiego naładujemy ładunkiem Q, ustali się
między nimi różnica potencjałów
C
Q
U
∆V
=
≡
. Jeśli pomiędzy
okładki wsuniemy płaską, ściśle przylegającą do nich płytkę z nieprze-
wodzącego materiału (dielektryka), zauważymy że różnica potencjałów
zmniejszy się mimo, że ładunek pozostał identyczny, a więc po włożeniu
płytki pojemność kondensatora wzrosła.
Polaryzacja dielektryczna
Wyjaśnienie obserwowanego efektu wiąże się z właściwościami elek-
trycznymi materiału, jaki umieszczamy między okładkami. Dielektryki
są materiałami nieprzewodzącymi, czyli, w przeciwieństwie do metali,
ładunek nie może się swobodnie przemieszczać w całej objętości. Może
natomiast dochodzić do zjawisk polaryzacji – rozsunięcia się ładunków
dodatnich i ujemnych i wytworzenia dipoli elektrycznych, gdyż na ła-
dunki dodatnie działa siła zgodna a na ujemne przeciwnie skierowana
niż pole elektryczne. W efekcie dipole takie, ułożone są zgodnie z kie-
runkiem pola elektrycznego, w którym się znajdują i wytwarzają własne
pole elektryczne – jego kierunek jest przeciwny do kierunku zewnętrzne-
go pola elektrycznego. Wypadkowe natężenie pola elektrycznego mię-
dzy okładkami kondensatora po włożeniu dielektryka będzie więc mniej-
sze niż dla kondensatora próżniowego. Ponieważ różnica potencjałów,
czyli napięcie między okładkami kondensatora jest proporcjonalna do
natężenia pola wewnątrz kondensatora w takim przypadku otrzymujemy
mniejsze napięcie na kondensatorze i w efekcie większą pojemność przy
ładowaniu kondensatora tym samym ładunkiem.
Efekty polaryzacyjne opisane powyżej jakim podlegają ładunki w die-
lektryku są jego charakterystyczną cechą materiałową. Względna przeni-
kalność elektryczna ε określa, ile razy w porównaniu z próżnią zmniej-
szy się natężenie pola elektrycznego w dielektryku. Dla próżni wartość
względnej przenikalności dielektrycznej równa jest jedności, ε=1. Jeśli
R
OZDZIAŁ
10
Strona
180
180
180
180
między okładkami kondensatora umieścimy płytkę z dielektryka
o względnej przenikalności równej ε, to jego pojemność wzrośnie ε razy.
Efektywną wartość pola elektrycznego w dielektryku opisuje wektor
indukcji pola elektrycznego
E
ε
D
r
r
0
ε
=
. Efekty polaryzacyjne zacho-
dzącego w dielektryku na skutek zewnętrznego pola elektrycznego
E
r
opisuje wektor polaryzacji
P
r
. Indukcja pola elektrycznego
D
r
, czyli
wypadkowe pole elektryczne jest złożeniem wpływu pola zewnętrznego
E
r
oraz polaryzacji
P
r
, co zapisujemy:
P
E
E
ε
D
r
r
r
r
+
=
=
0
0
ε
ε
(10.47)
Z powyższej zależności wynika, że polaryzacja P jest zależna od zew-
nętrznego pola elektrycznego E a współczynnik proporcjonalności
nazywamy podatnością elektryczną χ.
E
χ
E
1)
(
ε
E
)
ε
(
P
r
r
r
r
0
0
0
0
ε
ε
ε
ε
=
−
=
−
=
(10.48)
Uwzględniając właściwości dielektryczne materii prawo Gaussa
w uogólnionej postaci dla dielektryków możemy przedstawić w postaci:
q
S
d
D
=
⋅
∫
r
r
(10.49)
Możemy w tym miejscu wprowadzić rozróżnienie pomiędzy ładunkiem
swobodnym q (ładunkiem który może swobodnie się przemieszczać) a
ładunkiem związanym q
pol
– powstającym w wyniku polaryzacji na
powierzchni dielektryka. Dzieląc obie strony równania 10.45 przez
powierzchnię możemy powiązać wektor indukcji D z powierzchniową
gęstością ładunku swobodnego q zgromadzonego na okładkach konden-
satora wypełnionego dielektrykiem:
σ
D
=
. Analogicznie, wartość
wektora polaryzacji P jest miarą gęstości ładunku związanego
pol
σ
P
=
.
Dipol elektryczny charakteryzuje elektryczny moment dipolowy p. Jest
to wielkość wektorowa, wyrażona przez iloczyn ładunku dipola q
i wektora odległości
l
r
od ładunku ujemnego do dodatniego:
l
r
r
q
p
=
(10.50)
Na dipol znajdujący się w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu
E
działać będzie moment sił obracający dipol tak aby ustawił się zgodnie
E
LEKTROSTATYKA
Strona
181
181
181
181
z kierunkiem zewnętrznego pola elektrycznego. Moment ten wyrażamy
przez iloczyn wektorowy momentu dipolowego i wektora natężenia pola
elektrycznego:
E
p
M
r
r
r
×
=
(10.51)
Rysunek 10.6. Moment sił działających na dipol w zewnętrznym polu
elektrycznym
Podobnie jak wartość wektora polaryzacji P zależy od natężenia pola
elektrycznego E, w którym znajduje się dielektryk, również elektryczny
moment dipolowy charakteryzujący pojedynczy dipol jest wprost pro-
porcjonalny do natężenia pola elektrycznego E:
E
p
r
r
α
=
(10.52)
Współczynnik α w powyższym wzorze jest nazywany polaryzowalnością
dipola. Dipol elektryczny również jest źródłem pola elektrycznego.
W materiałach dielektrycznych takie pole pochodzące od sąsiadujących
dipoli tzw. pole lokalne jest silniejsze niż pole zewnętrzne. Całkowite
lokalne natężenie pola jakiemu podlegać będzie dielektryk uwzględniać
więc musi zarówno zewnętrzne pole E jak i pole pochodzące od otocze-
nia danego atomu:
0
3ε
P
E
E
L
r
r
r
+
=
(10.53)
R
OZDZIAŁ
10
Strona
182
182
182
182
Ponieważ wektor polaryzacji jest sumą momentów dipolowych pocho-
dzących od wszystkich N dipoli znajdujących się w jednostce objętości
materiału, polaryzację całkowitą możemy zapisać:
L
E
N
p
N
P
r
r
r
α
=
=
(10.54)
Przekształcając powyższą zależność otrzymujemy prawo Clausiusa –
Mosottiego, które określa związek między polaryzowalnością α
a względną przenikalnością elektryczną ośrodka ε:
0
3ε
2
ε
1
ε
α
N
=
+
−
(10.55)
Wymnażając obie strony przez objętość molową dielektryka V
m
oraz
uwzględniając
ρ
µ
=
m
V
otrzymujemy zależność polaryzowalnością α
(wielkością mikroskopową) a parametrami mierzalnymi makroskopowy-
mi takimi jak gęstość materiału ρ, czy masa molowa µ:
µ
0
A
3ε
N
2
ε
1
ε
α
=
+
−
ρ
1
(10.56),
gdzie N
A
oznacza stałą Avogadra.
Rodzaje dielektryków
Dielektryki możemy podzielić na dwie zasadnicze grupy:
1. dielektryki polarne, w których istnieją stałe dipole elektryczne
2. dielektryki niepolarne (indukowane), w których dipole powstają
jedynie przy włączonym zewnętrznym polu elektrycznym
Przykładem dielektryka polarnego jest woda. Cząsteczki wody zbudo-
wane są tak, że na atomach wodoru występuje niedobór elektronów a na
atomach tlenu nadmiar elektronów. Ponieważ oba atomy wodoru geome-
trycznie znajdują się po tej samej stronie atomu tlenu ładunek dodatni
związany z atomami wodoru nie pokrywa się z ładunkiem ujemnym
związanym z atomami tlenu tworząc trwały dipol elektryczny.
W dielektrykach niepolarnych polaryzacja zachodzi pod wpływem zew-
nętrznego pola elektrycznego. Powoduje ono przemieszczenie się ładun-
ków różnoimiennych względem siebie pod wpływem zewnętrznego pola
E
LEKTROSTATYKA
Strona
183
183
183
183
elektrycznego, na skutek czego indukują się dipole elektryczne. Można
wyróżnić trzy typy takiej polaryzacji:
• polaryzacja elektronowa: dipol elektryczny powstaje w wy-
niku zniekształcenia chmury elektronowej wokół jądra – na
elektrony znajdujące się na orbicie wokół jądra oddziałuje
zewnętrzne pole siłą o przeciwnym zwrocie niż na dodatnie
jądro atomowe
• polaryzacja jonowa: występuje w substancjach o wiązaniu
jonowym (np. NaCl), które zbudowane są z dwu rodzajów
jonów. Dochodzi do wzajemnego przesunięcia podsieci
kationowej (Na+) i anionowej (Cl ).
• polaryzacja ładunkiem przestrzennym: nośniki ładunku –na-
ładowane elektrycznie atomy (jony) gromadzą się na niejed-
norodnościach ośrodka, np. na granicach obszarów o różnej
wartości przenikalności dielektrycznej.
Ferroelektryki
Ferroelektryki są ciekawą grupą materiałów, w których lokalne oddziały-
wania między dipolami są na tyle silne, że tworzą uporządkowane struk-
tury. Oddziaływania sąsiadów danego dipola ustawiają dipol zgodnie
z tymi sąsiadami. Ustawienie przeciwne jest niekorzystne energetycznie.
Dochodzi w efekcie do powstanie dużych obszarów, w których wszyst-
kie dipole są ustawione w jednakowym kierunku zwanych domenami.
Dipole znajdujące się wewnątrz domen osiągają minimum energii.
Przykładem ferroelektryka jest tytanian baru BaTiO
3
.
Można by sądzić, że najkorzystniejszym ustawieniem dipoli będzie wo-
bec tego jedna wielka domena obejmująca całą objętość ferroelektryka.
Taka domena wytwarzałaby jednak silne pole elektryczne na zewnątrz
materiału, co również byłoby niekorzystne energetycznie. W praktyce
dochodzi do podziału materiału na wiele domen o różnych kierunkach
zorientowania dipoli. W strefie dzielącej domeny zwrot dipoli ulega
stopniowej zmianie od jednej orientacji do drugiej – obszar taki nazywa-
my ścianką domenową.
Załóżmy, że ferroelektryk znajduje się w stanie, w którym elektryczne
momenty dipolowe domen ułożone są w przypadkowy sposób. Jeśli taki
fragment ferroelektryka umieścimy w zewnętrznym polu elektrycznym,
pole to będzie oddziaływało na dipole powodując ich obracanie. Prowa-
dzi to do uporządkowania struktury domenowej. Porządkowanie domen
powoduje szybki wzrost wartości polaryzacji elektrycznej P w funkcji
R
OZDZIAŁ
10
Strona
184
184
184
184
natężenia pola zewnętrznego E. Dla ferroelektryków względna przeni-
kalność dielektryczna osiąga wartości rzędu tysięcy. Wykres polaryzacji
elektrycznej w funkcji natężenia pola elektrycznego (rysunek 10.6),
nazywany również pierwotną krzywą polaryzacji nie jest jednak liniowy
– jeśli wszystkie dipole ustawią się zgodnie z liniami sił pola, dalszy
wzrost wartości natężenia pola zewnętrznego nie zmieni już ich uporząd-
kowania. Dalszy wzrost natężenia prowadzi jedynie do wzrostu wartości
wektora indukcji, a wektor polaryzacji pozostaje już stały. Stan,
w którym wszystkie dipole są ustawione równolegle do linii pola zew-
nętrznego nazywamy stanem nasycenia.
Rysunek 10.7. Wykres zależności polaryzacji od natężenia
zewnętrznego pola dla ferroelektryka
Przy zmniejszaniu natężenia wykres polaryzacji nie przebiega wzdłuż
krzywej polaryzacji pierwotnej. Uprzednio spolaryzowany ferroelektryk
zachowuje częściowo polaryzację nawet po wyłączeniu pola zewnętrzne-
go, co określamy jako remanencję (jest to punkt przecięcia krzywej
z osią pionową). Aby zmniejszyć polaryzację materiału do zera, należy
przyłożyć pole zewnętrzne skierowane przeciwnie do pola, którym spo-
laryzowano ferroelektryk. Wartość natężenia pola niezbędną do depola-
ryzacji materiału nazywamy polem koercji. Na wykresie polaryzacji
wartość ta odpowiada przecięciu z osią poziomą. Jeśli wartość natężenie
pola elektrycznego będzie większa niż wartość pola koercji, materiał
spolaryzuje się w przeciwnym kierunku. Nastąpi ponowne utworzenie
struktury domenowej z dipolami o przeciwnym zwrocie.
E
LEKTROSTATYKA
Strona
185
185
185
185
W wyniku cyklicznych zmian kierunku pola zewnętrznego otrzymujemy
wykres pewnej krzywej zamkniętej zwanej pętlą histerezy. Pole takiej
pętli histerezy odpowiada energii, którą należy zużyć na spolaryzowanie
ferroelektryka w jednym cyklu. W zależności od właściwości ferroelek-
tryka i maksymalnych wartości przyłożonego pola zewnętrznego pętla
histerezy może przybierać różny kształt. Materiały o wąskiej pętli histe-
rezy łatwo jest spolaryzować. Materiały takie mogą być stosowane w pa-
mięciach ferroelektrycznych (FRAM). Pamięci tego typu są znacząco
szybsze niż ich odpowiedniki typu EEPROM, zużywają również znaczą-
co mniej energii elektrycznej. Pamięci tego typu są stosowane m.in.
w konsolach do gier. Polaryzacja materiałów o szerokiej pętli histerezy
wymaga dużych wartości natężenia pola. Zapisanie informacji wymaga
dłuższego czasu i zużycia większej ilości energii. Informacja jest jednak
zapisana w bardziej trwały sposób. Pamięci tego typu są stosowane np.
w technice wojskowej, a często również motoryzacyjnej.
Właściwości ferroelektryczne zależą w znaczący sposób od temperatury,
w której znajduje się materiał. Rozszerzanie się ciał powoduje, że odleg-
łości między dipolami zwiększają się. Ponieważ pole elektryczne
wytwarzane przez dipol zależy od odległości w potędze 3, nawet nie-
wielka jej zmiana ma duży wpływ na siły wzajemnego oddziaływania di-
poli. Drgania termiczne prowadzą również do zmiany ustawienia po-
szczególnych dipoli, zmniejszając zatem uporządkowanie wewnątrz do-
meny. Z tego względu powyżej pewnej temperatury, zwanej temperaturą
Curie T
c
następuje stopniowy zanik uporządkowania, a materiał z ferro-
elektryka przechodzi w paraelektryk. Powyżej temperatury Curie zależ-
ność temperaturowa podatności elektrycznej χ ferroelektryków wyrażona
jest przez prawo Curie – Weissa:
C
C
T
C
−
=
T
χ
(10.57)
W prawie Curie-Weissa stała Curie C
C
jest charakterystyczną cechą
danego ferroelektryka.
Piezoelektryki
W pewnej grupie materiałów, określanych jako piezoelektryki, obserwu-
je się zjawisko powstawania ładunku elektrycznego na ich powierzchni
pod wpływem siły przyłożonej wzdłuż określonego kierunku krystalo-
graficznego. Oprócz takiego tzw. efektu piezoelektrycznego prostego
obserwuje się również zjawisko odwrotne, w którym pod wpływem
przyłożonego napięcia kryształ zmienia swoje wymiary.
R
OZDZIAŁ
10
Strona
186
186
186
186
Wszystkie ferroelektryki są również piezoelektrykami- ale nie wszystkie
piezoelektryki są ferroelektrykami. Zjawisko piezoelektryczne może
również występować w materiałach, w których strukturze krystalicznej
występują naprzemiennie atomy obdarzone ładunkiem dodatnim (katio-
ny) i ujemnym (aniony). Taki kryształ nie poddany działaniu ciśnienia
jest obojętny elektrycznie zarówno w skali makroskopowej jak i lokalnie
a jony znajdują się w położeniach równowagi, określonych przez kształt
pola sił ich wzajemnych oddziaływań. Kiedy do powierzchni kryształu
przyłożymy ciśnienie, wzajemne położenie ładunków zmienia się, pow-
stają dipole elektryczne, które wytwarzają pole elektryczne tak, że na
przeciwległych powierzchniach kryształu wyznaczonych przez kierunek
ś
ciskania indukują się ładunki. Ładunek ten jest wprost proporcjonalny
do wytworzonego ciśnienia.
W zjawisku piezoelektrycznym odwrotnym przyłożone napięcie wytwa-
rza pole elektryczne, które wywołuje rozsunięcie ładunków dodatnich
i ujemnych a więc kationów i anionów w strukturze tego kryształu po-
wodując zmianę długości tego materiału w tym kierunku.
Typowym piezoelektrykiem jest kwarc, czyli tlenek krzemu, tytanian
ołowiu, wspomniany już przy okazji ferroelektryczności tytanian baru
czy niektóre tworzywa sztuczne (polimery). Piezoelektryki są stosowane
wszędzie tam, gdzie zachodzi potrzeba przetworzenia sygnału elektrycz-
nego na mechaniczny. Zakres wydłużenia piezoelektryka jest niewielki,
ale można nim bardzo precyzyjnie sterować. Piezoelektryki można za-
tem wykorzystywać w układach dokładnego pozycjonowania lub prze-
twornikach drgań. Czujniki piezoelektryczne można stosować w pomia-
rach dynamicznych naprężeń i odkształceń. Zaletą piezoelektryków jest
duża szybkość reakcji piezoelektryka na sygnał elektryczny. Elementy
piezoelektryczne wykorzystywane są w głowicach ultradźwiękowych
i defektoskopach, echosondach, oraz aparatach USG. W motoryzacji
zawory piezoelektryczne stosuje się w układach wtrysku paliwa.
11
Prąd elektryczny
W tym rozdziale:
o
Natężenie prądu elektrycznego
o
Prawo Ohma, mikroskopowe prawo Ohma
o
Oporniki, łączenie oporników
o
Praca i moc prądu elektrycznego
o
Obwody elektryczne, prawa Kirchhoffa
R
OZDZIAŁ
11
Strona
188
188
188
188
11.1. Natężenie prądu
elektrycznego
Prąd elektryczny jest uporządkowanym ruchem ładunków elektrycznych.
Może być wywołany i obserwowany w tych materiałach, w których
istnieją swobodne cząstki obdarzone ładunkiem elektrycznym tzw.
nośniki ładunku. W metalach nośnikami są swobodne elektrony walen-
cyjne tworzące tzw. gaz elektronów swobodnych. W półprzewodnikach
takimi nośnikami ładunku są zarówno elektrony jak i dziury (posiadające
ładunek dodatni). W materiałach ciekłych, roztworach kwasów, zasad
lub soli nazywanych elektrolitami, a także niektórych materiałach sta-
łych („przewodniki superjonowe”) ruchliwymi nośnikami ładunku są jo-
ny, zarówno dodatnie jak i ujemne.
Przyłożenie do takiego przewodnika napięcia (różnicy potencjałów) po-
woduje powstanie pola elektrycznego, które będzie oddziaływać na
nośniki ładunku wywołując ich uporządkowany ruch nazywamy prądem
elektrycznym. Należy zaznaczyć, że w przypadku elektronów ten upo-
rządkowany ruch jest nałożony na o wiele szybszy chaotyczny ruch
cieplny nośników. Prędkość termiczna elektronów pomiędzy zderzenia-
mi jest bardzo duża rzędu 10
6
m/s. Przemieszczenie elektronów pod
wpływem przyłożonego pola, czyli tak zwana prędkość dryfu jest nato-
miast niewielka i wynosi około v
d
~10
-4
m/s.
Ilościowo prąd charakteryzujemy za pomocą natężenia prądu.
Natężenie prądu I jest to ilość ładunku Q przepływającego
przez dowolny przekrój przewodnika w ciągu jednostki czasu t.
Dla prądu stałego natężenie prądu I jest wyrażone stosunkiem
ładunku, który przepłynął do czasu przepływu.
t
Q
I
=
(11.1)
Jednostką natężenia prądu jest jeden amper 1A=1C/s. Dla prądu zmien-
nego chwilowa wartość natężenia prądu definiowana jest jako pochodna
ładunku po czasie:
P
RĄD ELEKTRYCZNY
Strona
189
189
189
189
( )
( )
t
t
Q
t
I
d
d
=
(11.2)
Kierunek przepływu prądu jest zgodny z kierunkiem ruchu ładunku do-
datniego. Zatem w przypadku przepływu elektronów i jonów ujemnych
umowny kierunek prądu jest odwrotny niż kierunek poruszania się tych
nośników ładunku.
Istnieją przypadki gdy prąd nie jest równomiernie rozłożony na przekro-
ju przewodnika. Wtedy możemy wprowadzić wektor gęstości prądu
j
r
taki, że
)
d
,
cos(
d
d
d
S
j
S
j
S
j
I
r
r
r
r
=
⋅
=
(11.3)
Wektor gęstości prądu
j
r
jest w tym przypadku funkcją współrzędnych
a dS jest elementem powierzchni przekroju przewodnika. W szczegól-
nym przypadku równomiernego rozkładu gęstości prądu
⊥
=
=
S
I
α
S
I
j
cos
r
(11.4)
gdzie α oznacza kąt pomiędzy kierunkiem przepływu prądu a wybraną
płaszczyzną, zaś
⊥
S
- polem powierzchni prostopadłej do kierunku
przepływu prądu.
11.2. Prawo Ohma
Stwierdziliśmy, że przyczyną powstania prądu w przewodniku jest przy-
łożenie napięcia do końców przewodnika. Jak pokazują doświadczenia
dla dużej grupy przewodników (metale, stopy metali, związki intermeta-
liczne, jednorodne półprzewodniki) natężenie prądu jest wprost propor-
cjonalne do napięcia, co określamy jako prawo Ohma.
Stosunek napięcia na końcach przewodnika do natężenia prądu
wywołanego tym napięciem jest wielkością stałą i charakte-
rystyczną dla danego przewodnika. Wielkość ta zależy zarówno
od kształtu przewodnika jak i materiału, z którego jest wyko-
nany i nazywana jest oporem elektrycznym lub rezystancją:
R
OZDZIAŁ
11
Strona
190
190
190
190
.
const
=
= R
I
U
(11.5)
Jednostką oporu elektrycznego jest om (Ohm) 1Ω=1V/A i jest rezystan-
cją takiego przewodnika dla którego napięcie 1V przyłożone do jego
końców wywołuje powstanie prądu o natężeniu 1A. Rezystancja R zale-
ż
y od kształtu przewodnika: jest wprost proporcjonalna do jego długości
l
i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju S:
S
ρ
R
l
=
(11.6)
Współczynnik proporcjonalności zapisany grecką literą ρ („ro”) oznacza
oporność właściwą, która jest cechą charakterystyczną materiału z które-
go zbudowany jest przewodnik. Odwrotność rezystancji nazywamy prze-
wodnością elektryczną i oznaczamy symbolem σ („sigma”)
ρ
σ
1
=
.
Wartości oporności właściwej dla metali sięga od 10
-5
do 10
-7
Ω
m oraz
powyżej 10
15
Ω
m dla izolatorów. Półprzewodniki charakteryzują się
pośrednimi wartościami oporności właściwej.
Opór elektryczny i oporność właściwa metali w dość szerokim zakresie
temperatur wzrasta liniowo z temperaturą:
)
(1
t
α
R
R
0
+
=
(11.7),
gdzie α jest temperaturowym współczynnikiem oporu, zaś t jest tempera-
turą wyrażoną w skali Celsjusza. Powyższa zależność opisuje własność
metali na tyle precyzyjnie, że stała się ona podstawą budowy czujników
termometrycznych. Przykładem są platynowe czujniki temperatury typu
Pt100 i Pt1000, stosowane również w motoryzacji. Mierząc prąd płynący
przez czujnik jesteśmy w stanie z dużą dokładnością określić jego
temperaturę.
Mikroskopowe prawo Ohma
Jak dotąd sformułowaliśmy prawo Ohma dotyczące makroskopowego
przewodnika, w którym płynie prąd. Połączmy prawo Ohma (równa-
nie 11.5) z zależnością oporu elektrycznego od kształtu przewodnika
(równanie 11.6) i przekształćmy odpowiednio:
P
RĄD ELEKTRYCZNY
Strona
191
191
191
191
l
σ
U
S
I
=
(11.8)
co następnie możemy zapisać wektorowo jako tzw. mikroskopowe pra-
wo Ohma, które jest równaniem dotyczącym dowolnie wybranego punk-
tu ośrodka przewodzącego:
E
j
r
r
σ
=
(11.9)
Jeśli w wybranym punkcie ośrodka przewodzącego natężenie
pola elektrycznego ma wartość E to w otoczeniu tego punktu
wektor gęstości prądu ma wartość wprost proporcjonalną do
wektora natężenia pola ze współczynnikiem proporcjonalności
równym przewodności elektrycznej materiału.
Rozważmy teraz mikroskopowy sens wektora gęstości prądu wynikający
z uproszczonej definicji tego pojęcia (podobnie definiuje się w fizyce
strumień ciepła czy masy):
∆S
∆t
∆Q
∆S
∆I
j
=
=
(11.10)
Wektor gęstości prądu oznacza strumień ładunku elektrycznego, tzn.
ilość ładunku ∆Q, która przechodzi przez jednostkę powierzchni
prostopadłej ∆S na jednostkę czasu ∆t. Jeżeli w jednostce objętości
materiału przewodnika metalicznego znajduje się n swobodnych elektro-
nów, to koncentracja elektronów (ogólnie nośników ładunku) wynosi n.
Jeśli wszystkie nośniki poruszają się ruchem uporządkowanym z pręd-
kością unoszenia (prędkością dryfu) v
d
wzdłuż kierunku wyznaczonego
przez pole elektryczne, to strumień nośników ładunku jest równy nv
d
a odpowiadający mu strumień ładunku elektrycznego przenoszonego
przez elektrony (-e) wynosi:
d
ne
j
v
−
=
(11.11)
W ogólnym przypadku nośników o ładunku q strumień ładunku elek-
trycznego i gęstość prądu wynosi:
d
nq
j
v
=
(11.12)
Jeżeli porównamy powyższy wzór 11.12 z mikroskopowym prawem
Ohma (
E
σ
j
=
) okazuje się, że któraś z wielkości n, q lub v
d
musi być
proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E. Ponieważ ani
R
OZDZIAŁ
11
Strona
192
192
192
192
koncentracja nośników n ani ładunek nośnika q nie jest proporcjonalna
do natężenia pola elektrycznego E, więc to prędkość v
d
unoszenia (dryfu)
wywoływana przez pole elektryczne jest proporcjonalna do natężenia
pola elektrycznego E:
E
d
µ
=
v
(11.13),
gdzie współczynnik proporcjonalności µ nazywany jest ruchliwością
nośników, która jest cechą charakterystyczną materiału przewodnika.
Wstawiając równanie 11.13 do 11.12 otrzymujemy:
E
nq
j
µ
=
(11.14)
a porównując powyższą zależność z mikroskopowym prawem Ohma
(wzór 11.9) otrzymujemy, że przewodność materiału σ zależy od kon-
centracji nośników n ich ładunku q oraz ruchliwości µ:
µ
nq
σ
=
(11.15)
Model klasyczny Drudego-Lorentza
przewodnictwa elektrycznego metali
Podstawowym modelem przewodnictwa elektrycznego w metalach jest
tzw. model klasyczny Drudego-Lorentza. Model ten traktuje elektrony
jako cząsteczki gazu idealnego. Ruch elektronów może być zobrazowa-
ny mechanicznym modelem kulki staczającej się po pochylonej tablicy
z równomiernie przymocowanymi kołkami. Kulka staczając się po równi
zderza się z kołkami i przy każdym takim zderzeniu zmienia się zarówno
kierunek jak i wartości jej pędu. Jeśli policzylibyśmy średnią prędkość
tej kulki wzdłuż krawędzi tablicy, to okazałoby się że jest ona stała
(zderzenia kompensują stałą siłę grawitacji) i wielokrotnie niższa niż
prędkości jakie posiada kulka pomiędzy zderzeniami. Podobnie elektro-
ny swobodne w metalu tworzące tzw. gaz elektronowy zderzają się z do-
datnimi rdzeniami atomowymi tracąc część energii jaką otrzymały w po-
lu elektrycznym, zmieniając za każdym razem zarówno wartość jak
i kierunek pędu. W efekcie prędkość dryfu jest stała i wielokrotnie
mniejsza niż chwilowe prędkości między zderzeniami. Średnia wartość
tej prędkości może być wyznaczona jako ½ prędkości uzyskanej w wy-
niku przyspieszania elektronów przez zewnętrzne pole elektryczne
(
m
eE
m
F
a
=
=
) w czasie τ :
P
RĄD ELEKTRYCZNY
Strona
193
193
193
193
m
E
e
a
d
2
2
τ
=
=
τ
v
(11.16),
gdzie τ jest średnim czasem między zderzeniami i zależy od średniej
drogi swobodnej λ oraz średniej prędkości termicznej
T
v
elektronów
(
T
/ v
λ
τ
=
). Ruchliwość elektronów równa stosunkowi prędkości dry-
fu do natężenia pola elektrycznego wywołującego unoszenie w modelu
Drudego-Lorentza można więc zapisać:
T
d
m
e
E
v
v
2
λ
µ
=
=
(11.17)
Ponieważ prędkość termiczna elektronów jest proporcjonalna do pier-
wiastka z temperatury, więc przewodność (zależność 11.15) w modelu
Drudego-Lorentza jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka
z temperatury
T
1
∝
σ
, podczas gdy z wyników eksperymentów
wynika
T
1
∝
σ
. Model zjawiska oporu elektrycznego odtwarzający
prawidłowo zależność temperaturową przewodności udało się stworzyć
dopiero posługując się regułami mechaniki kwantowej. W kwantowym
modelu Blocha rozważa się rozpraszanie elektronów na niedoskonałoś-
ciach sieci krystalicznej np. na atomach domieszki lub defektach struk-
tury. Drugim ważnym czynnikiem wpływającym na ruch elektronów są
drgania termiczne sieci krystalicznej. Rozpraszanie elektronów na drga-
niach sieci zależy od temperatury – im wyższa jest temperatura, tym
większa jest amplituda drgań atomów i tym większy opór elektryczny.
Oporniki. Łączenie oporów
Elementy oporowe (oporniki) o znanej wartości oporu elektrycznego
w obwodach elektrycznych oznaczamy za pomocą dwóch rodzajów sym-
boli – linią łamaną (standard amerykański) lub prostokątem (standard
europejski).
Łącząc oporniki szeregowo zwiększamy całkowity opór gałęzi obwodu.
Jest to zrozumiałe, biorąc pod uwagę że połączenie takie odpowiada
zwiększeniu całkowitej długości przewodnika, przez który przepływają
ładunki elektryczne. W przypadku szeregowego połączenia oporników
opór całkowity gałęzi jest sumą wartości oporów:
∑
=
i
i
C
R
R
(11.18)
R
OZDZIAŁ
11
Strona
194
194
194
194
Powyższa zależność wynika z faktu, że całkowity spadek napięcia
(różnica potencjałów) jest sumą spadków napięć na poszczególnych
opornikach. Ponieważ przez każdy z szeregowo połączonych oporników
płynie ten sam prąd wiec zgodnie z prawem Ohma w efekcie całkowity
opór jest sumą oporów poszczególnych oporników.
Przy równoległym połączeniu oporników całkowity opór obwodu male-
je – odpowiada to zwiększeniu przekroju, przez który mogą przepływać
nośniki ładunku. Jeśli dwa oporniki o identycznym oporze połączymy
równolegle, całkowity opór gałęzi wyniesie ½ oporu pojedynczego opor-
nika. W ogólnym przypadku opór całkowity R
C
układu równoległych
oporników
wyznaczamy z zależności:
∑
=
i
i
C
R
R
1
1
(11.19)
Wyprowadzając tę zależność również zauważyć, że spadek napięcia na
każdym z równolegle połączonych oporników jest taki sam (łączą pun-
kty o określonej różnicy potencjałów). Różny jest natomiast prąd płyną-
cy przez każdy z oporników ale suma tych prądów musi być równa
całkowitemu prądowi dopływającemu do układu. Ponownie po zastoso-
waniu prawa Ohma otrzymujemy opór zastępczy taki jak we wzo-
rze 11.19. Przy obliczaniu oporu bardziej złożonych obwodów pomocne
jest odpowiednie grupowanie elementów, tak by można było skorzystać
z powyższych wzorów dla równoległego i szeregowego połączenia
oporników.
Rysunek 11.1. Układy oporników o topologii „trójkąta” i „gwiazdy
Nieco bardziej złożonym zagadnieniem jest obliczanie oporu obwodów
o topologii „trójkąta”. Istnieją jednak wzory pozwalające na przedsta-
wienie ich w postaci układu o topologii gwiazdy – o kształcie litery „Y”
(Rysunek 11.1)
P
RĄD ELEKTRYCZNY
Strona
195
195
195
195
Aby obwody w przedstawionych powyżej topologiach miały identyczne
właściwości elektryczne, przy danej różnicy potencjałów natężenie prą-
dów przepływających pomiędzy węzłami 1, 2 i 3 musi być takie samo.
Dla węzłów 1 i 2 w topologii „trójkąta” prąd płynie przez opornik RA,
połączony równolegle z oporem (RC+RB). Dla topologii gwiazdy prąd
płynie przez oporniki R1 i R2 połączone szeregowo. Zapisując układ
równań dla każdej pary węzłów, otrzymujemy trzy równania, poz-
walające otrzymać zależności pomiędzy wartościami oporów w dwóch
topologiach:
C
R
B
R
A
R
C
R
B
R
3
R
;
C
R
B
R
A
R
C
R
A
R
2
R
;
C
R
B
R
A
R
B
R
A
R
1
R
+
+
=
+
+
=
+
+
=
(11.20)
3
R
2
R
1
R
3
R
2
R
C
R
;
3
R
1
R
2
R
1
R
3
R
B
R
;
1
R
2
R
3
R
2
R
1
R
A
R
+
+
=
+
+
=
+
+
=
(11.21)
11.3. Praca i moc
prądu elektrycznego
Na skutek przepływu prądu elektrycznego w elementach oporowych wy-
dziela się ciepło, które jest wynikiem rozpraszania części energii elektro-
nów na sieci krystalicznej metalu. Efekt ten stanowi podstawę działania
ż
arówek i elektrycznych elementów grzejnych.
Zgodnie z definicją wprowadzoną w elektrostatyce wiemy, że praca
przeniesienia ładunku q przy różnicy potencjałów U jest równa:
UIt
Uq
W
el
=
=
(11.22)
Ponieważ natężenie prądu elektrycznego jest wyrażone stosunkiem ła-
dunku, który przepłynął do czasu przepływu, możemy wyrazić ładunek q
poprzez iloczyn natężenia prądu I i czasu jego przepływu t, zaś napięcie
U
zgodnie z prawem Ohma powiązać z wartością płynącego prądu przez
element o oporze R. W efekcie otrzymujemy, że praca prądu jest równa
energii E
R
jaka wydziela się na oporniku o oporze R, przez który płynie
prąd elektryczny o natężeniu I. Korzystając z prawa Ohma otrzymujemy
prawo nazywane jest prawem Joule’a:
t
R
I
W
2
el
=
(11.23)
R
OZDZIAŁ
11
Strona
196
196
196
196
Energia jaka wydziela się na oporniku, nazywana ciepłem
Joule’a, jest proporcjonalna do wartości oporu R oraz kwadratu
natężenia prądu elektrycznego I płynącego przez ten opornik.
Ponieważ moc jest stosunkiem wykonanej pracy do czasu, w jakim ta
praca została wykonana w przypadku mocy wydzielanej na elemencie
obwodu elektrycznego otrzymujemy:
R
U
R
I
I
U
P
2
2
=
=
=
(11.24),
gdzie U oznacza napięcie na zaciskach danego elementu (odbiornika), a I
– natężenie prądu przepływającego przez element o oporze R.
W przypadku przesyłania energii elektrycznej wytworzonej w elektrow-
ni, staramy się zminimalizować straty na liniach przesyłowych. Iloczyn
napięcia i natężenia przesyłanego prądu jest w tym przypadku wartością
stałą (odpowiada on mocy elektrowni). Sposobem na redukcję mocy
traconej na liniach jest zmniejszenie natężenia prądu, a proporcjonalne
zwiększenie napięcia. Z tego względu buduje się tzw. przesyłowe linie
wysokiego napięcia, a zwiększenie wartości napięcia i jego ponowna re-
dukcja przed odbiornikiem realizowane są za pomocą transformatorów.
Ograniczeniem wartości użytego napięcia jest jonizacja powietrza – przy
zbyt wysokim napięciu wokół przewodów natężenie pola jest dostatecz-
nie wysokie by oderwać elektrony z cząsteczek gazu i wytworzyć noś-
niki ładunku, co prowadzi do „ucieczki” energii elektrycznej.
11.4. Obwody elektryczne
Źródła napięcia
W dotychczasowych rozważaniach przedstawiliśmy zjawisko przepływu
ładunku w przewodniku. Aby wymusić przepływ ładunku, niezbędne
jest przyłożenie do końców przewodnika napięcia czyli różnicy potencja-
łów. Takim źródłem napięcia może być naładowany kondensator, jednak
napięcie to nie będzie stałe. Przepływ prądu przez przewodnik oznaczać
będzie rozładowywanie kondensatora a ponieważ różnica potencjałów
między okładkami kondensatora jest proporcjonalna do ładunku zgroma-
dzonego na okładkach wartość napięcia będzie maleć.
P
RĄD ELEKTRYCZNY
Strona
197
197
197
197
Ogniwa
Stałe napięcie na zaciskach elementu oporowego możemy uzyskać, włą-
czając do obwodu stałe źródło energii – ogniwo. Parametrami opisują-
cymi ogniwo są siła elektromotoryczna
ε
i opór wewnętrzny R
w
. Miarą
siły elektromotorycznej
ε
jest stosunek pracy wykonanej na przeniesienie
ładunku w obwodzie zamkniętym do wartości tego ładunku.
q
W
ε
=
(11.25)
W przypadku rzeczywistych ogniw część energii jest rozpraszana na
oporze wewnętrznym źródła, który jest połączony szeregowo z siłą
elektromotoryczną. Napięcie na zaciskach takiego źródła zależy od war-
tości oporu zewnętrznego podłączonego do źródła czyli tzw. obciążenia
(rysunek 11.2). Jeśli opór obciążenia jest mały, wartość natężenia prądu
płynącego przez obwód jest duża, to straty energii na oporze wew-
nętrznym są znaczne. Napięcie na zaciskach ogniwa jest niższe niż siła
elektromotoryczna źródła o spadek napięcia na obwodzie wewnętrznym.
Jeśli opór obciążenia jest duży, straty energii na oporze wewnętrznym są
niewielkie, a napięcie na zaciskach ogniwa osiąga wartość zbliżoną do
jego siły elektromotorycznej. Można zatem stwierdzić, że w granicy
∞
→
ZEWN
R
siła elektromotoryczna jest równa napięciu na zaciskach
ogniwa otwartego.
Energię elektryczną możemy uzyskiwać korzystając z pracy mechanicz-
nej, która zamieniamy na energię elektryczną za pomocą prądnic czy
alternatorów. Większość z tych urządzeń wytwarza zmienną siłę elektro-
motoryczną, a uzyskanie stałej wartości wymaga dodatkowych urządzeń
przetwarzających napięcie zmienne na stałe w czasie. Energię elektrycz-
ną możemy czerpać również ze źródeł chemicznych – baterii, akumula-
torów i stosowanych coraz częściej ogniw paliwowych. Źródłami energii
elektrycznej mogą być również termoogniwa (wykorzystujące różnicę
temperatur) oraz fotoogniwa (korzystające z energii promieniowania
słonecznego). Jak stąd wynika źródłami prądu stałego są urządzenia
przetwarzające energię innego rodzaju na energię elektryczną.
R
OZDZIAŁ
11
Strona
198
198
198
198
Rysunek 11.2. Obwód złożony ze źródła rzeczywistego i obciążenia
oporowego. Spadki napięć na opornikach skierowane są przeciwnie niż
SEM ogniwa
Prawa Kirchhoffa
Rozpatrzmy obwód składający się z pojedynczego opornika R i źródła o
sile elektromotorycznej
ε
i oporze wewnętrznym R
w
(rysunek 11.2). Za-
piszmy zasadę zachowania energii dla takiego obwodu elektrycznego.
Praca, wykonana przez ogniwo nad ładunkiem w obwodzie zamkniętym
jest równa energii rozpraszanej na elementach oporowych:
Rt
I
t
R
I
t
I
ε
2
w
2
+
=
(11.24)
Dzieląc obie strony równania 11.22 przez czas i natężenie prądu, otrzy-
mujemy równanie:
R
I
R
I
+
=
w
ε
(11.25)
Zgodnie z uprzednio wprowadzoną definicją siła elektromotoryczna jest
pracą wykonaną na przepływ jednostkowego ładunku w obwodzie
zamkniętym.
Napięcia na poszczególnych elementach obwodu i natężenia prądu prze-
pływającego przez poszczególne jego gałęzie możemy obliczyć stosując
prawa Kirchhoffa:
P
RĄD ELEKTRYCZNY
Strona
199
199
199
199
I Prawo Kirchhoffa
Suma natężeń prądów dopływających do węzła jest równa
sumie natężeń prądów wypływających z tego węzła.
W obwodzie zachowuje się również ładunek elektryczny – jeśli w obwo-
dzie znajduje się rozgałęzienie (węzeł) to ładunek który dopłynie do wę-
zła musi być równy temu, który z węzła wypłynął.
II Prawo Kirchhoffa
W dowolnym obwodzie zamkniętym sieci elektrycznej (oczku
sieci) suma wartości sił elektromotorycznych równa jest sumie
wartości spadków napięcia na elementach tego obwodu.
Drugie prawo Kirchhoffa odpowiada równaniu 11.25.
Obwód RC
Jeśli naładowany do napięcia U kondensator o pojemności C zewrzemy
opornikiem R, to dla takiego obwodu II prawo Kirchhoffa możemy
zapisać w postaci:
0
=
+
=
+
C
q
R
I
0
U
U
C
R
(11.26)
Ponieważ natężenie prądu możemy wyrazić jako pochodną
przepływającego ładunku po czasie, równanie przyjmie postać:
0
d
d
=
+
C
q
R
t
q
(11.27)
Rozwiązanie tego równania różniczkowego, opisujące ładunek na
kondensatorze, ma postać malejącą wykładniczo:
( )
RC
t
0
e
q
t
q
−
=
(11.28)
Skoro ładunek będzie się zmieniał wykładniczo, to również
natężenie
prądu w obwodzie będzie wykładniczo malało w czasie.
R
OZDZIAŁ
11
Strona
200
200
200
200
Pomiar natężenia i napięcia
Wartości napięcia pomiędzy zaciskami elementu i natężenia prądu
przepływającego przez element możemy wyznaczyć posługując się tym
samym urządzeniem, nazywanym galwanometrem. Wychylenie wska-
zówki galwanometru jest wprost proporcjonalne do przepływającego
przez urządzenie prądu.
Rysunek 11.3. Podłączenie miernika do obwodu:
a) pomiar natężenia prądu, b) pomiar napięcia
Przy pomiarze natężenia prądu miernik włączamy w obwód szeregowo
(rysunek 11.3). W ten sposób mierzymy całkowity prąd płynący przez
gałąź. Opór własny amperomierza powinien być jednak jak najmniejszy,
znacznie mniejszy niż wartości oporów znajdujących się na mierzonej
gałęzi – inaczej pomiar zakłóci wartość mierzoną. Aby spełnić ten waru-
nek, do zacisków galwanometru dołączamy równolegle bocznik o ma-
łym oporze. Większość natężenia prądu jest przepuszczana przez bocz-
nik, a tylko niewielka część przepływa przez galwanometr. Zmieniając
wartość oporu bocznika pomiędzy zaciskami miernika możemy zmieniać
zakres pomiaru prądu układem galwanometr-bocznik.
Przy pomiarze napięcia miernik – pełniący funkcję woltomierza – jest
podłączony równolegle do badanego elementu (rysunek 11.3). W tym
przypadku opór własny woltomierza powinien być jak największy, by
nie odbierał on prądu z elementu. Z tego względu pomiędzy zaciskami
miernika a galwanometrem podłączony jest szeregowo opornik o dużej
wartości. Opornik ten zmniejsza natężenie prądu przepływającego przez
galwanometr. Zmieniając wartość użytego opornika można zmieniać za-
kres pomiaru napięcia.
Często stosowanym przyrządem jest próbnik (wskaźnik) napięcia. Wy-
korzystuje on pojemność elektryczną ludzkiego ciała. Próbnika możemy
używać, przykładając palec do metalowego zakończenia rękojeści,
a ostrze do badanego elementu obwodu. Natężenie prądu przepływają-
P
RĄD ELEKTRYCZNY
Strona
201
201
201
201
cego przez dłoń jest w tym przypadku niewielkie i nie zagraża bezpie-
czeństwu osoby dokonującej pomiaru.
R
OZDZIAŁ
11
Strona
202
202
202
202