Mechanika płynów
Równania podstawowe
Dr Tomasz Wajman
Dr Tomasz Wajman
Zespół Maszyn Wodnych i Mechaniki Płynów
Instytut Maszyn Przepływowych PŁ
E-mail: tomasz.wajman@p.lodz.pl
Równania zachowania
Zachowania masy - równanie ciągłości
Zachowania pędu - drugie prawo Newtona
Zachowania krętu (momentu pędu)
Zachowania krętu (momentu pędu)
Zachowania Energii - pierwsza zasada
termodynamiki
Równanie ciągłości
– równanie zach. masy
∂ρ
∫∫∫
∫∫∫
∂
∂
=
∂
∂
=
∆
V
V
t
V
t
ρ
V
t
t
ρ
m
d
d
d
d
t
A
ρ v
A
t
ρ v
m
A
n
A
n
d
d
d
d
∫∫
∫∫
−
=
−
=
∆
Przepływ niestacjonarny płynów ściśliwych
z
v
r
n
v
n
r
V
∫∫∫
∫∫
=
+
∂
∂
V
A
n
A
ρ v
V
t
ρ
0
d
d
Twierdzenie Greena
x
y
v
A
V
V
d
A
d
V
v
A
v
V
A
n
d
)
(
d
∫∫∫
∫∫
⋅
∇
=
r
r
ρ
ρ
(
)
0
d
=
⋅
∇
+
∂
∂
∫∫∫
V
v
ρ
t
ρ
V
r
r
(
)
0
d
d
=
⋅
∇
+
∂
∂
∫∫∫
∫∫∫
V
v
ρ
V
t
ρ
V
V
r
r
Równanie ciągłości
– równanie zach. masy
(
)
0
d
=
⋅
∇
+
∂
∂
∫∫∫
V
v
ρ
t
ρ
V
r
r
Forma ró
ż
niczkowa
Forma całkowa
Pochodna substancjalna
(
)
0
=
⋅
∇
+
∂
∂
v
ρ
t
ρ
r
r
ρ
ρ
ρ
∇
⋅
+
∂
∂
=
r
r
v
t
t
d
d
0
d
d
=
⋅
∇
+
v
ρ
t
ρ
r
r
∂t
ρ
∇
⋅
+
∂
=
v
t
t
d
(
)
ρ
v
v
ρ
v
ρ
∇
⋅
+
⋅
∇
=
⋅
∇
r
r
r
r
r
r
ρ
ρ
ρ
∇
⋅
−
=
∂
∂
r
r
v
t
t
d
d
Równanie ciągłości
– równanie zach. masy
( )
0
=
⋅
∇
+
∂
∂
v
ρ
t
ρ
r
r
( )
0
=
⋅
∇
v
ρ
r
r
Przepływ stacjonarny
⇒
=
∂
∂
0
t
ρ
(
)
(
)
(
)
0
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
y
x
ρ v
z
ρ v
y
ρ v
x
0
=
⋅
∇ v
r
r
Płyn nie
ś
ci
ś
liwy
0
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
v
y
v
x
v
z
y
x
∂t
⇒
=
.
const
ρ
Równanie ciągłości
– równanie zach. masy
Strumie
ń
masy w ustalonym przepływie przez kanał
0
d
d
2
2
1
1
2
2
1
=
−
∫∫
∫∫
A
n
A
n
A
v
ρ
A
v
ρ
1
v
r
2
v
r
2
n
r
1
ρ
2
ρ
2
A
∫∫
∫∫
=
=
2
2
1
1
2
2
1
1
d
d
A
n
A
n
A
v
ρ
A
v
ρ
m
&
2
2
1
1
2
1
A
v
ρ
A
v
ρ
m
n
n
=
=
&
∫∫
=
A
n
n
dA
v
A
v
1
⇒
=
=
ρ
ρ
ρ
2
1
.
const
A
v
m
n
=
=
ρ
&
.
const
A
v
V
n
=
=
&
1
n
r
1
A
Ś
rednia normalna prędkość
Zasada zachowania pędu
∫∫∫
=
V
V
v
ρ
P
d
r
∫∫∫
r
Pochodna pędu płynu zawartego wewnątrz obszaru płynnego V
względem czasu (pochodna substancjalna) jest równa
sumie sił zewnętrznych działających na ten obszar
z
v
r
n
r
A
d
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
=
A
V
m
n
V
V
ρ
F
A
p
V
v
ρ
t
d
d
d
d
d
r
r
r
∫∫
A
n
A
p d
r
V
ρ
F
V
m
d
∫∫∫
r
- siły masowe
x
y
v
A
V
V
d
n
r
A
p
r
- siły powierzchniowe
Zasada zachowania pędu
=
∏
zz
yz
xz
zy
yy
xy
zx
yx
xx
df
p
τ
τ
τ
p
τ
τ
τ
p
Π
n
p
n
r
r
=
Tensor napr
ęż
e
ń
powierzchniowych
Wektor naprężenia
Twierdzenie Greena
V
A
n
V
A
d
Π
d
Π
∫∫∫
∫∫
⋅
∇
=
r
r
⇒
+
=
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
A
V
m
n
V
V
ρ
F
A
p
V
v
ρ
t
d
d
d
d
d
r
r
r
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
⋅
∇
=
V
m
V
V
V
ρ
F
V
V
v
ρ
t
d
d
Π
d
d
d
r
r
r
Forma całkowa
Zasada zachowania pędu
- płyn nielepki
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
⋅
∇
=
V
m
V
V
V
ρ
F
V
V
v
ρ
t
d
d
Π
d
d
d
r
r
r
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
=
A
V
m
n
V
V
ρ
F
A
p
V
v
ρ
t
d
d
d
d
d
r
r
r
Płyn lepki:
Płyn nielepki:
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
−
=
A
V
m
V
V
ρ
F
A
p
n
V
v
ρ
t
d
d
d
d
d
r
r
r
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
∇
−
=
V
m
V
V
V
ρ
F
V
p
V
v
ρ
t
d
d
d
d
d
r
r
r
p
n
p
n
r
r
−
=
V
V
V
Zasada zachowania pędu
– płyn nielepki
Ruch nieustalony:
∫∫∫
∫∫
∫∫∫
+
∂
∂
≡
n
A
v
v
ρ
V
v
ρ
t
V
v
ρ
t
d
d
d
d
d
r
r
r
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
−
=
A
V
m
V
V
ρ
F
A
p
n
V
v
ρ
t
d
d
d
d
d
r
r
r
A
v
v
ρ
V
v
ρ
t
n
A
V
d
d
d
d
∫∫
∫∫∫
≡
r
r
∫∫∫
∫∫
∫∫∫
∂
V
A
V
t
t
d
∫∫∫
∫∫
∫∫
+
=
V
m
A
n
n
A
V
ρ
F
A
p
A
v
v
ρ
d
d
d
r
r
r
Ruch ustalony:
∫∫∫
∫∫∫
≡
V
V
V
ρ
t
v
V
v
ρ
t
d
d
d
d
d
d
r
r
Sformułowanie d’Alamberta -
Suma sił bezwładności i sił zewnętrznych,
które działają na element płynu w każdej chwili czasu musi być równa zero.
Zasada zachowania pędu
⇒
∫∫∫
V
V
ρ
t
v
d
d
d
r
Siła
bezwładności
v
d
r
r
r
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
∇
−
=
V
m
V
V
V
ρ
F
V
p
V
ρ
t
v
d
d
d
d
d
r
r
r
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
=
A
V
m
n
V
V
ρ
F
A
p
V
ρ
t
v
d
d
d
d
d
r
r
r
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
⋅
∇
=
V
m
V
V
V
ρ
F
V
V
ρ
t
v
d
d
Π
d
d
d
r
r
r
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
−
=
A
V
m
V
V
ρ
F
A
p
n
V
ρ
t
v
d
d
d
d
d
r
r
r
Płyn nielepki:
Płyn lepki:
Zasada zachowania pędu
- forma różniczkowa
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
⋅
∇
=
V
m
V
V
V
ρ
F
V
V
ρ
t
v
d
d
Π
d
d
d
r
r
r
0
d
Π
d
d
=
−
⋅
∇
−
∫∫∫
m
V
ρ
F
ρ
t
v
r
r
r
m
F
ρ
t
v
ρ
r
r
r
+
⋅
∇
=
Π
d
d
d
∫∫∫
V
t
0
Π
d
d
=
−
⋅
∇
−
ρ
F
ρ
t
v
m
r
r
r
Zasada zachowania pędu
- forma różniczkowa
m
F
ρ
t
v
ρ
r
r
r
+
⋅
∇
=
Π
d
d
∂
∂
∂
τ
τ
p
v
d
Płyn lepki
∂p
v
d
m
F
p
ρ
t
v
r
r
r
+
∇
−
=
1
d
d
Płyn nielepki
– Równanie Eulera
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
ρ Z
z
p
y
τ
x
τ
t
v
ρ
ρ Y
z
τ
y
p
x
τ
t
v
ρ
ρ X
z
τ
y
τ
x
p
t
v
ρ
zz
zy
zx
z
yz
yy
yx
y
xz
xy
xx
x
d
d
d
d
d
d
+
∂
∂
−
=
+
∂
∂
−
=
+
∂
∂
−
=
ρ Z
z
p
t
v
ρ
ρ Y
y
p
t
v
ρ
ρ X
x
p
t
v
ρ
z
y
x
d
d
d
d
d
d
Zasada zachowania krętu
(
)
(
)
(
)
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
×
+
×
=
×
A
V
m
n
V
V
F
r
ρ
A
p
r
V
ρ
v
r
t
d
d
d
d
d
r
r
r
r
r
r
r
∫∫∫
V
V
v
ρ
d
r
(
)
∫∫∫
×
V
V
ρ
v
r
d
r
r
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
=
A
V
m
n
V
V
ρ
F
A
p
V
v
ρ
t
d
d
d
d
d
r
r
r
(
)
V
ρ
t
v
r
V
ρ
v
r
t
V
V
d
d
d
d
d
d
∫∫∫
∫∫∫
×
=
×
r
r
r
r
(
)
(
)
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
×
+
×
=
×
A
V
m
n
V
V
F
r
ρ
A
p
r
V
ρ
t
v
r
d
d
d
d
d
r
r
r
r
r
r
Sformułowanie
d’Alamberta
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 10
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 6
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 9
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 5
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 7
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 1
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 3
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 8
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 10
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 10
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 3
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 9
więcej podobnych podstron