Technologie informacyjne
- cyfrowe formy informacji
Technologie informacyjne
- cyfrowe formy informacji
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
2 / 63
Cyfrowe formy informacji -
wprowadzenie
Informacja: (definicja według encyklopedii PWN)
konstatacja stanu rzeczy, wiadomo
ść
(konstatacje – stwierdzenie, ustalenie jakiego
ś
faktu)
powiadamianie społecze
ń
stwa lub okre
ś
lonych zbiorowo
ś
ci w sposób
zobiektywizowany, systematyczny i konkretny za pomoc
ą
ś
rodków masowego
przekazu
(np. informacja o pogodzie, informacje giełdowe, informacje o rozkładzie jazdy)
miara niepewno
ś
ci zaj
ś
cia pewnego zdarzenia spo
ś
ród sko
ń
czonego
zbioru zdarze
ń
mo
Ŝ
liwych.
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
3 / 63
Cyfrowe formy informacji -
wprowadzenie
Rzut monet
ą
ORZEŁ
czy
RESZKA ?
A jednak
RESZKA !!!
Informacja
to miara niepewno
ś
ci zaj
ś
cia
pewnego zdarzenia spo
ś
ród sko
ń
czonego
zbioru zdarze
ń
mo
Ŝ
liwych
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
4 / 63
Cyfrowe formy informacji -
wprowadzenie
Rzut monet
ą
ORZEŁ
czy
RESZKA ?
A jednak
RESZKA !!!
Przej
ś
cie od stanu niepewno
ś
ci
do stanu pewno
ś
ci
zwi
ą
zane jest z uzyskaniem
pewnej informacji
Informacj
ę
mo
Ŝ
emy
zapisa
ć
symbolicznie:
0
→
wypadł orzeł
1
→
wypadła reszka
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
5 / 63
Cyfrowe formy informacji -
wprowadzenie
Rzut czworo
ś
cianem foremnym
Która kulka b
ę
dzie w górze?
Mo
Ŝ
liwe s
ą
cztery jednakowo
prawdopodobne stany.
Informacj
ę
mo
Ŝ
emy
zapisa
ć
symbolicznie:
A
→
na górze kulka
Ŝ
ółta
B
→
na górze kulka czerwona
C
→
na górze kulka zielona
D
→
na górze kulka niebieska
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
6 / 63
Cyfrowe formy informacji -
wprowadzenie
Ilo
ść
informacji
Informacj
ę
mo
Ŝ
emy
zapisa
ć
symbolicznie:
0
→
wypadł orzeł
1
→
wypadła reszka
Informacj
ę
mo
Ŝ
emy
zapisa
ć
symbolicznie:
A
→
na górze kulka
Ŝ
ółta
B
→
na górze kulka czerwona
C
→
na górze kulka zielona
D
→
na górze kulka niebieska
W którym przypadku uzyskamy wi
ę
cej
informacji ?
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
7 / 63
Cyfrowe formy informacji -
jednostki informacji
Ilo
ść
informacji:
p
I
1
log
2
=
gdzie:
I - ilo
ść
informacji - liczba bitów informacji,
p - prawdopodobie
ń
stwo zaj
ś
cia zdarzenia.
Wyst
ą
pienie zdarzenia mniej prawdopodobnego dostarcza wi
ę
cej informacji !!!
Bit
jest to podstawowa elementarna jednostka informacji wystarczaj
ą
ca do
zakomunikowania
jednego
z
co
najwy
Ŝ
ej
dwóch
jednakowo
prawdopodobnych zdarze
ń
.
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
8 / 63
Cyfrowe formy informacji -
jednostki informacji
Słówko bit po raz pierwszy u
Ŝ
ył w roku 1948 twórca teorii
informacji Claude Shannon, który przyznał, i
Ŝ
zapo
Ŝ
yczył ten
termin od naukowca Johna Turkey'a
bit
↔
bi
nary digi
t
Zatem bit oznacza po prostu cyfr
ę
binarn
ą
„0” lub „1”.
Jest to oznaczenie powszechnie stosowane w matematyce
oraz przy opisie informacji przechowywanej w pami
ę
ci
komputera i opisie sposobów kodowania informacji.
Za pomoc
ą
ci
ą
gu zer i jedynek mo
Ŝ
na opisa
ć
tekst,
obraz i d
ź
wi
ę
k.
Claude E. Shannon
1916 – 2001
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
9 / 63
Cyfrowe formy informacji -
jednostki informacji
Ilo
ść
informacji
ilo
ść
mo
Ŝ
liwych
zdarze
ń
prawdopo-
dobie
ń
stwo
p
ilo
ść
informacji
I
uwagi
2
0
= 1
1
0
zdarzenie pewne nie daje
Ŝ
adnej informacji
2
1
= 2
0.5
1
1
bit
– podstawowa jednostka ilo
ś
ci informacji
2
2
= 4
0.25
2
2 bity
2
3
= 8
0.125
3
3 bity
2
4
= 16
0.0625
4
4 bity
2
5
= 32
0.03125
5
5 bitów
2
6
= 64
0.015625
6
6 bitów
2
7
= 128
0.0078125
7
7 bitów
2
8
= 256 0.00390625
8
8 bitów = 1
bajt
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
10 / 63
Cyfrowe formy informacji –
jednostki informacji
Jednostki informacji:
bit
– najmniejsza jednostka informacji przyjmuje warto
ś
ci 0 lub 1,
bajt
(byte) = 8 bitów – podstawowa jednostka informacji stosowana w komputerach
umo
Ŝ
liwia zapami
ę
tanie 256 ró
Ŝ
nych warto
ś
ci,
słowo
(word) = 2 bajty = 16 bitów – jednostka informacji, która umo
Ŝ
liwia
zapami
ę
tanie 65536 ró
Ŝ
nych warto
ś
ci.
słowo procesora
- jednostka informacji o długo
ś
ci naturalnej dla danego
procesora (długo
ść
odpowiada długo
ś
ci rejestrów - obecnie 32 lub 64 bity)
słowo pami
ę
ci
- jednostka informacji mo
Ŝ
liwa do przetransmitowania w jednym
cyklu transmisji do lub z pami
ę
ci (obecnie zwykle 64 bity. niekiedy 128 bitów)
wi
ę
ksza długo
ść
słowa = szybsza transmisja danych
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
11 / 63
Cyfrowe formy informacji –
jednostki informacji
Mno
Ŝ
niki binarne:
W systemie binarnym zastosowano mno
Ŝ
niki, których podstaw
ą
jest liczba 2.
Starano si
ę
przy tym, aby mno
Ŝ
nik binarny był jak najbli
Ŝ
szy odpowiednikowi
dziesi
ę
tnemu. I tak otrzymano:
Kilo
= 2
10
= 1024
≈≈≈≈
10
3
(tysi
ą
c)
kilo
Mega
= 2
20
= 1048576
= Kilo • 1024
≈≈≈≈
10
6
(milion)
mega
Giga
= 2
30
= 1073741824
= Mega • 1024
≈≈≈≈
10
9
(miliard)
giga
Tera
= 2
40
= 1099511627776 = Giga • 1024
≈≈≈≈
10
12
(bilion)
tera
Mno
Ŝ
niki binarne zapisujemy du
Ŝą
liter
ą
. Mno
Ŝ
niki dziesi
ę
tne zapisujemy mał
ą
liter
ą
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
12 / 63
Cyfrowe formy informacji –
jednostki informacji
Jednostki binarne dzielimy na:
bitowe
(podstaw
ą
jest bit)
bajtowe
(podstaw
ą
jest bajt).
Jednostki binarne
bitowe
bajtowe
b
bit
B
bajt
Kb
Kilobit
KB
Kilobajt
Mb
Megabit
MB
Megabajt
Gb
Gigabit
GB
Gigabajt
Tb
Terabit
TB
Terabajt
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
13 / 63
Cyfrowe formy informacji –
no
ś
niki informacji
Informacje
↔
↔
↔
↔
Dane ???
Informacja to twór abstrakcyjny i niematerialny
, który w sposób zakodowany
mo
Ŝ
e by
ć
przesyłany, przetwarzany i u
Ŝ
ywany do sterowania.
No
ś
nikami informacji s
ą
symbole
takie jak umowne znaki, słowa, gesty itp.
Aby odczyta
ć
informacj
ę
zawart
ą
w symbolach trzeba te symbole zinterpretowa
ć
.
Odbiorca informacji musi wiedzie
ć
w jaki sposób symbole nale
Ŝ
y interpretowa
ć
.
Symbole, które s
ą
no
ś
nikami informacji nazywane s
ą
danymi.
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
14 / 63
No
ś
nik informacji –
sygnał analogowy i cyfrowy
Sygnał
to abstrakcyjny model dowolnej mierzalnej wielko
ś
ci zmieniaj
ą
cej si
ę
w czasie, generowanej przez zjawiska fizyczne lub systemy. Tak jak
wszystkie zjawiska mo
Ŝ
e by
ć
opisany za pomoc
ą
aparatu matematycznego,
np. poprzez podanie pewnej funkcji zale
Ŝ
nej od czasu.
Sygnał jest no
ś
nikiem informacji o naturze badanych zjawisk lub systemów.
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
15 / 63
No
ś
nik informacji –
sygnał analogowy i cyfrowy
Sygnał analogowy
Je
Ŝ
eli funkcja opisuj
ą
ca sygnał przyjmuje dowolne warto
ś
ci, to mówimy
o sygnale analogowym.
Prawie wszystkie sygnały wyst
ę
puj
ą
ce w otaczaj
ą
cym nas
ś
wiecie s
ą
analogowe.
W opisie matematycznym sygnał analogowy przedstawia si
ę
poprzez funkcje
ci
ą
głe (ró
Ŝ
niczkowalne).
Sygnał cyfrowy
Kiedy sygnał mo
Ŝ
e przyjmowa
ć
tylko pewne z góry ustalone warto
ś
ci, to mówimy,
Ŝ
e jest dyskretny.
Je
Ŝ
eli dopuszczalne warto
ś
ci lub przedziały warto
ś
ci uznajemy zawarto
ś
ci
liczbowe, to okre
ś
la si
ę
go jako cyfrowy.
Sygnał mo
Ŝ
e w sobie nie
ść
zakodowan
ą
informacj
ę
ale, aby to było mo
Ŝ
liwe jego
odbiorca i nadawca danych musz
ą
razem tworzy
ć
kanał komunikacji.
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
16 / 63
No
ś
nik informacji –
sygnał analogowy i cyfrowy
Komputer analogowy (maszyna analogowa) to komputer przetwarzaj
ą
cy sygnał
ci
ą
gły (analogowy) przewa
Ŝ
nie elektryczny. Dobrze sprawdzały si
ę
przy
rozwi
ą
zywaniu równa
ń
ró
Ŝ
niczkowych i symulacji procesów.
Informacje przetwarzane przez komputer analogowy musz
ą
by
ć
zapisane w formie
sygnałów analogowych np. napi
ę
cie lub nat
ęŜ
enie pr
ą
du w okre
ś
lonych obwodach.
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
17 / 63
No
ś
nik informacji –
sygnał analogowy i cyfrowy
Współczesne komputery cyfrowe wykorzystuj
ą
technik
ę
cyfrow
ą
, która opiera si
ę
na przetwarzaniu sygnałów dwuwarto
ś
ciowych. Wszystkie informacje pami
ę
tane i
przetwarzane przez komputer cyfrowy musz
ą
by
ć
zapisane w formie ci
ą
gu
sygnałów dwuwarto
ś
ciowych, które mog
ą
by
ć
traktowane jako cyfry w systemie
dwójkowym.
Poziomami logicznymi nazywamy warto
ś
ci napi
ęć
, jakie reprezentuj
ą
warto
ś
ci:
„logiczne zero” i „logiczna jedynka”
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
18 / 63
Cyfrowe formy informacji –
reprezentacja danych
Komputer musi by
ć
zaprojektowany tak, aby był zdolny do przetwarzania
informacji zapisanych w ró
Ŝ
nej formie:
warto
ś
ci logiczne,
warto
ś
ci liczbowe,
teksty,
obrazy,
d
ź
wi
ę
ki.
Zapis ró
Ŝ
norodnych informacji w pami
ę
ci komputera oraz wymiana informacji
pomi
ę
dzy ró
Ŝ
nymi programami i komputerami wymaga kodowania danych.
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
19 / 63
Cyfrowe formy informacji -
kodowanie
Kodowanie danych
to zamiana formy informacji na inn
ą
, zwykle łatwiejsz
ą
dla
danego urz
ą
dzenia do przetworzenia i zapami
ę
tania.
Kodem
nazywane jest wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie, które ka
Ŝ
dej
wiadomo
ś
ci z tzw. alfabetu
ź
ródła przyporz
ą
dkowuje ci
ą
g okre
ś
lonych
symboli kodowych.
Słowem/ci
ą
giem
kodowym nazywamy ci
ą
g symboli kodowych przyporz
ą
dkowany
do konkretnej wiadomo
ś
ci.
Kodowanie odbywa si
ę
z reguły z wykorzystaniem dwuwarto
ś
ciowych sygnałów
oznaczanych np. „0” i „1” lub „prawda” i „fałsz” lub „-1” i „+1”.
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
20 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kody binarne
Rodzaje kodów binarnych:
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
21 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kody binarne
Przykład:
Ci
ą
gi kodowe umo
Ŝ
liwiaj
ą
ce zakodowanie czterech ró
Ŝ
nych wiadomo
ś
ci:
ci
ą
gi kodowe
Informacje Kod A Kod B Kod C
x
1
00
0
0
x
2
01
01
10
x
3
10
011
110
x
4
11
0111
1110
kody A, B, C – kody nienadmiarowe
kod A
– kod równomierny
kody B i C
– kody nierównomierne
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
22 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kody binarne
Kody nadmiarowe
to kody, w których długo
ść
ci
ą
gów kodowych jest wi
ę
ksza ni
Ŝ
wymagana dla jednoznacznego zakodowania. Nadmiarowe bity mog
ą
by
ć
wykorzystywane do wykrywania i ewentualnej korekcji bł
ę
dów transmisji.
Dwa sposoby przeciwdziałania bł
ę
dom:
Detekcja
– tzn. wykrywanie wyst
ą
pienia bł
ę
du, czy bł
ę
dów w ci
ą
gu
kodowym;
Korekcja
– tzn. wykrywanie wyst
ą
pienia bł
ę
du, czy bł
ę
dów w ci
ą
gu
kodowym oraz ich poprawa.
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
23 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kody binarne
Odległo
ść
Hamminga
– liczba miejsc (pozycji), na których dwa ci
ą
gi o takiej samej
długo
ś
ci ró
Ŝ
ni
ą
si
ę
.
Przykład:
x
1
= 10
0
11
1
01
x
2
= 10
1
11
0
01
10
*
11
*
01
Minimalna odległo
ść
kodu
to minimalna odległo
ść
Hamminga dla wszystkich
mo
Ŝ
liwych par ró
Ŝ
nych ci
ą
gów kodowych.
Minimalna odległo
ść
kodu jest oznaczana symbolem
∆
Dla ci
ą
gów kodowych x
1
i x
2
odległo
ść
Hamminga wynosi 2
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
24 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kody binarne
Przykład: kodowanie informacji x
1
,
x
2
, x
3
, x
4
za pomoc
ą
ci
ą
gów kodowych
o długo
ś
ci 2 bitów
x
1
↔
0 0
x
2
↔
0 1
x
3
↔
1 0
x
4
↔
1 1
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
25 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kody binarne
Przykład: x
k
↔
b
1
b
2
x
k
– informacja
b
1
b
2
– kolejne bity ci
ą
gu kodowego
x
1
↔
00
x
2
↔
01
x
3
↔
10
x
4
↔
11
x
1
↔
00
0
*
*
0
**
x
2
↔
01
0
*
**
*
1
x
3
↔
10
*
0
**
1
*
x
4
↔
11
**
*
1
1
*
Minimalna odległo
ść
kodu
∆
= 1
To jest kod nienadmiarowy !
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
26 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kody binarne
Przykład: kodowanie informacji x
1
,
x
2
, x
3
, x
4
za pomoc
ą
ci
ą
gów kodowych
o długo
ś
ci 3 bitów
x
k
= b
1
b
2
b
3
b
3
= b
1
⊕
b
2
gdzie
⊕
oznacza sumowanie modulo 2
tzn. 0
⊕
0 = 0 0
⊕
1 = 1 1
⊕
0 = 1 1
⊕
1 = 0
x
1
↔
0 0 0
0 0 1
0 1 0
x
2
↔
0 1 1
1 0 0
x
3
↔
1 0 1
x
4
↔
1 1 0
1 1 1
Uwaga:
Kolorem czerwonym s
ą
wyró
Ŝ
nione ci
ą
gi kodowe,
które s
ą
niedopuszczalne
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
27 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kody binarne
Przykład: x
k
= b
1
b
2
b
3
b
3
= b
1
⊕
b
2
gdzie
⊕
oznacza sumowanie modulo 2
tzn. 0
⊕
0 = 0 0
⊕
1 = 1 1
⊕
0 = 1 1
⊕
1 = 0
x
1
= 000
x
2
= 011
x
3
= 101
x
4
= 110
x
1
= 000
0
**
*
0
*
**
0
x
2
= 011
0
**
**
1
*
1
*
x
3
= 101
*
0
*
**
1
1
**
x
4
= 110
**
0
*
1
*
1
**
Minimalna odległo
ść
kodu
∆
= 2
Przej
ś
cie od jednej informacji do innej informacji wymaga modyfikacji 2 bitów
w ci
ą
gu kodowym.
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
28 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kody binarne
Przykład: kodowanie informacji x
1
,
x
2
, x
3
, x
4
za pomoc
ą
ci
ą
gów kodowych
o długo
ś
ci 5 bitów
x
k
=b
1
b
2
b
3
b
4
b
5
b
3
=b
1
b
4
=b
1
⊕
b
2
b
5
=b
2
x
1
↔
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
0 0 0 0 1
0 1 0 0 1
1 0 0 0 1
1 1 0 0 1
0 0 0 1 0
0 1 0 1 0
1 0 0 1 0
1 1 0 1 0
0 0 0 1 1
x
2
↔
0 1 0 1 1
1 0 0 1 1
1 1 0 1 1
0 0 1 0 0
0 1 1 0 0
1 0 1 0 0
1 1 1 0 0
0 0 1 0 1
0 1 1 0 1
1 0 1 0 1
x
4
↔
1 1 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 1 1 0
x
3
↔
1 0 1 1 0
1 1 1 1 0
0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
29 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kody binarne
Przykład: x
k
=b
1
b
2
b
3
b
4
b
5
b
3
=b
1
b
4
=b
1
⊕
b
2
b
5
=b
2
x
1
= 00000 x
2
= 01011 x
3
= 10110 x
4
= 11101
x
1
= 00000
0
*
0
**
*
0
**
0
***
0
*
x
2
= 01011
0
*
0
**
***
1
*
*
1
**
1
x
3
= 10110
*
0
**
0
***
1
*
1
*
1
**
x
4
= 11101
***
0
*
*
1
**
1
1
*
1
**
Minimalna odległo
ść
kodu
∆
= 3
Przej
ś
cie od jednej informacji do innej informacji wymaga modyfikacji co najmniej 3
bitów w ci
ą
gu kodowym.
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
30 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kody binarne
Mo
Ŝ
liwo
ś
ci wykrywania i korekcji bł
ę
dów dla kodów nadmiarowych:
∆
= 1
kod
nienadmiarowy
∆∆∆∆
= 1
brak
mo
Ŝ
liwo
ś
ci
wykrycia
bł
ę
dów
∆
= 2
kod detekcyjny
∆∆∆∆
= 2
detekcja
mo
Ŝ
liwe wykrycie pojedyn-
czego bł
ę
du, jednak brak
mo
Ŝ
liwo
ś
ci korekcji
kod detekcyjny
∆∆∆∆
= 3
detekcja
mo
Ŝ
liwe
wykrycie
bł
ę
dów
pojedynczych i podwójnych,
brak mo
Ŝ
liwo
ś
ci korekcji
∆
= 3
kod korekcyjny
∆∆∆∆
= 3
korekcja
zła
korekcja
mo
Ŝ
liwa
korekcja
bł
ę
dów
pojedynczych
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
31 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kody binarne
Mo
Ŝ
liwo
ś
ci wykrywania i korekcji bł
ę
dów dla kodów nadmiarowych cd.:
kod detekcyjny
∆∆∆∆
= 4
detekcja
mo
Ŝ
liwe
wykrycie
bł
ę
dów
pojedynczych, podwójnych i
potrójnych,
brak mo
Ŝ
liwo
ś
ci korekcji
∆
= 4
kod detekcyjno
korekcyjny
∆∆∆∆
= 4
korekcja
detekcja
zła
korekcja
mo
Ŝ
liwe
korekcja
bł
ę
dów
pojedynczych oraz wykrycie
bł
ę
dów podwójnych
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
32 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kody binarne
Minimalna odległo
ść
kodu okre
ś
la mo
Ŝ
liwo
ś
ci detekcyjne i korekcyjne kodu:
mo
Ŝ
liwa liczba detekcji bł
ę
dów jest zawsze mniejsza ni
Ŝ
∆
.
∆
= 1 (kod nienadmiarowy) - nie jest mo
Ŝ
liwe wykrycie bł
ę
dów,
∆
= 2 - jest mo
Ŝ
liwe wykrycie pojedynczego bł
ę
du, jednak nie jest
mo
Ŝ
liwa korekcja
∆
= 3 - jest mo
Ŝ
liwe wykrycie bł
ę
dów pojedynczych i podwójnych
albo korekcja bł
ę
dów pojedynczych.
∆
= 4 - jest mo
Ŝ
liwe wykrycie bł
ę
dów pojedynczych, podwójnych
i potrójnych albo
wykrycie bł
ę
dów podwójnych i korekcja bł
ę
dów pojedynczych.
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
33 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie znaków
Kody ASCII
Kod
ASCII
(
A
merican
S
tandard
C
ode for
I
nformation
I
nterchange)
- to standardowy sposób przypisania liczb do znaków pisarskich.
Standardowy kod ASCII
obejmuje znaki o kodach od 0 do 127.
- zapisywane na 7 bitach (bajt z zerowym pierwszym bitem)
kody od 0 do 31
→
znaki steruj
ą
ce np. klawisz TAB, ENTER, ESC.
kody od 32 do 127
→
znaki pisarskie (cyfry, du
Ŝ
e i małe litery,
znaki interpunkcyjne, itp.)
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
34 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie znaków
Kody ASCII cd.
Rozszerzony kod ASCII
obejmuje znaki o kodach od 128 do 255.
- zapisywane na 8 bitach (1 bajt).
znaki narodowe (
ą
ć
ę
ł ó
ń
ś
Ŝ
ź
itp. )
znaki semigraficzne (do rysowania ramek, tabelek itp.)
inne znaki steruj
ą
ce (np. do drukarek).
Istnieje wiele standardów kodowania znaków narodowych np.:
ISO 8859-1 (Latin-1) - alfabet łaci
ń
ski dla Europy zachodniej,
ISO 8859-2 (Latin-2) - łaci
ń
ski dla Europy
ś
rodkowej i wschodniej,
Windows-1250 (CP-1250) - strona kodowa u
Ŝ
ywan
ą
przez system
Microsoft Windows.
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
35 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie znaków
Kody ASCII cd.
kody ASCII
kody ASCII
znak binarnie HEX Dec
znak binarnie HEX Dec
0
00110000
30
48
<
00111100
3C
60
1
00110001
31
49
=
00111101
3D
61
2
00110010
32
50
>
00111110
3E
62
3
00110011
33
51
?
00111111
3F
63
4
00110100
34
52
@
01000000
40
64
5
00110101
35
53
A
01000001
41
65
6
00110110
36
54
B
01000010
42
66
7
00110111
37
55
C
01000011
43
67
8
00111000
38
56
D
01000100
44
68
9
00111001
39
57
E
01000101
45
69
:
00111010
3A
58
F
01000110
46
70
;
00111011
3B
59
G
01000111
47
71
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
36 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie znaków
Inne standardy kodowania znaków:
Unikod (ang. Unicode) - komputerowy zestaw znaków obejmuj
ą
cy wszystkie
pisma u
Ŝ
ywane na
ś
wiecie.
UTF – 8
UTF – 16
UTF – 32
Wersja kodu 3.2 obejmuje 95156 znaków – w tym alfabet chi
ń
ski, japo
ń
ski,
korea
ń
ski, rosyjski, hebrajski, perski, tajski oraz szereg innych j
ę
zyków
+ symbole matematyczne i graficzne
U
nicode
T
ransformation
F
ormat) – sposób
kodowania znaków standardu
Unicode
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
37 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie znaków
Wprowadzanie znaków unicode z klawiatury:
Trzymaj
ą
c naci
ś
ni
ę
ty (lewy)
Alt
i wpisuj
ą
c z klawiatury numerycznej
numer dziesi
ę
tny
tego znaku, po czym zwolni
ć
klawisz
Alt
,
Wpisa
ć
numer szesnastkowy
tego znaku, a nast
ę
pnie wcisn
ąć
kombinacj
ę
(lewy)
Alt+x
.
Uwaga: Przed numerem szesnastkowym nie mo
Ŝ
e by
ć
cyfra ani litera z
zakresu a÷f (gdy
Ŝ
zostan
ą
uznane jako cz
ęść
kodu, ewentualnie nale
Ŝ
y
poprzedzi
ć
kod np. spacj
ą
),
Trzymaj
ą
c naci
ś
ni
ę
ty (lewy)
Alt
nacisn
ąć
klawisz plus, wpisa
ć
numer szesnastkowy
znaku, po czym zwolni
ć
klawisz
Alt
.
Uwaga: Metoda ta działa w systemie Windows XP i nowszych,
Trzymaj
ą
c naci
ś
ni
ę
te klawisze
Ctrl+Shift
wpisa
ć
numer szesnastkowy
znaku, a nast
ę
pnie pu
ś
ci
ć
klawisze.
Uwaga: Metoda ta działa w
ś
rodowisku GNOME.
Nie wszystkie programy obsługuj
ą
wszystkie opisane tu sposoby.
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
38 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie tekstów
Pliki tekstowe:
Pliki bez formatowania
– pliki zawieraj
ą
ce wył
ą
cznie tekst zapisany za pomoc
ą
kodów znaków, baz informacji o atrybutach
np. pliki *.txt, *.c, *.cpp, *.java *.html
Pliki formatowane
– pliki, które oprócz tekstu posiadaj
ą
w sobie informacje
o sposobie formatowania wygl
ą
du strony (krój i wielko
ść
czcionki, pogrubienie
kursywa itp..
np. pliki *.doc, *.rtf
(pliki programu MS Word, OO Writer itd.)
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
39 / 63
Cyfrowe formy informacji –
systemy zapisu liczb
Systemy zapisu liczb
System pozycyjny
– system zapisu liczb, w którym warto
ść
zapisywanego znaku
zale
Ŝ
y od jego miejsca, poło
Ŝ
enia
„rzymski”
→
system pozycyjny sekwencyjny,
np.
MCMXCV
= 1995
„binarny” (dwójkowy)
→
system pozycyjny wagowy o podstawie 2
„dziesi
ę
tny”
→
system pozycyjny wagowy o podstawie 10
„szesnastkowy”
→
system pozycyjny wagowy o podstawie 16
„sze
ść
dziesi
ą
tkowy”
→
system liczbowy o podstawie 60
(zapis minut i sekund)
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
40 / 63
Cyfrowe formy informacji –
systemy zapisu liczb
Pozycyjny wagowy system zapisu liczb:
∑
=
=
n
m
i
N
a
L
i
i
gdzie: m, n
∈
C,
m
≤
0, n
≥
0, N
≥
2, a
i
∈
{0,....,N-1}
N
- podstawa systemu,
a
i
- element zbioru cyfr dost
ę
pnych w danym systemie.
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
41 / 63
Cyfrowe formy informacji –
systemy zapisu liczb
Przykład:
System dziesi
ę
tny
N =
10
ai
∈
∈
∈
∈
{
0
,
1
,
2
,
3, 4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
}
→
cyfry w systemie dziesi
ę
tnym
(
1932.45
)
10
=
1
∗∗∗∗
10
3
+
9
∗∗∗∗
10
2
+
3
∗∗∗∗
10
1
+
2
∗∗∗∗
10
0
+
4
∗∗∗∗
10
-1
+
5
∗∗∗∗
10
-2
Przykład:
System dwójkowy (binarny)
N =
2
a
i
∈
{
0
,
1
}
→
cyfry w systemie dwójkowym
(
10100101
)
2
=
1
∗∗∗∗
2
7
+
0
∗∗∗∗
2
6
+
1
∗∗∗∗
2
5
+
0
∗∗∗∗
2
4
+
0
∗∗∗∗
2
3
+
1
∗∗∗∗
2
2
+
0
∗∗∗∗
2
1
+
1
∗∗∗∗
2
0
= (165)
10
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
42 / 63
Cyfrowe formy informacji –
systemy zapisu liczb
Przykład:
System szesnastkowy (hexadecymalny):
N =
16
a
i
∈
∈
∈
∈
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
,
A
,
B
,
C
,
D
,
E
,
F
}
→
→
→
→
cyfry w systemie
szesnastkowym
(
A57F
)
16
=
10
∗∗∗∗
16
3
+
5
∗∗∗∗
16
2
+
7
∗∗∗∗
16
1
+
15
∗∗∗∗
16
0
= (
42367
)
10
(
A57F
)
16
= (
1010 0101 0111 1111
)
2
(A57F)
16
= (1010 0101 0111 1111)
2
A 5 7 F
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
43 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie liczb
Liczby całkowite dodatnie:
Naturalny kod binarny – NKB
i
n
i
i
n
b
b
b
A
∑
−
=
−
=
=
1
0
2
0
1
2
)
,...,
(
Jeden bajt
⇒
0, ... , 255
Dwa bajty
⇒
0, ... , 65535
Cztery bajty
⇒
0, ,... , 4294967295
b
7
b
6
b
5
b
4
b
3
b
2
b
1
b
0
128 64 32 16 8 4 2 1
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
44 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie liczb
Liczby całkowite dodatnie:
Naturalny kod binarny – NKB
Przykład:
(
1 0 1 1 0 0 1 0
)
2
= (178)
10
128
+
0
+
32
+
16
+
0
+
0
+
2
+
0
=
178
b
7
b
6
b
5
b
4
b
3
b
2
b
1
b
0
128 64 32 16 8 4 2 1
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
45 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie liczb
Liczby całkowite dodatnie:
Binarny kod dziesi
ę
tny - BCD
b
3
b
2
b
1
b
0
b
3
b
2
b
1
b
0
8 4 2 1 8 4 2 1
cyfra 2
cyfra 1
U
Ŝ
ywany dla liczb dziesi
ę
tnych stałopozycyjnych.
Cyfry dziesi
ę
tne kodowane binarnie - 4 bity (tetrada) na cyfr
ę
.
Dozwolone warto
ś
ci tetrady 0 ..9. - pozostałe niewa
Ŝ
ne.
Postacie:
-
spakowana - 2 cyfry w bajcie,
-
niespakowana ("ASCII*) - jedna cyfra w bajcie.
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
46 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie liczb
Liczby całkowite dodatnie:
Binarny kod dziesi
ę
tny - BCD
Przykład:
b
3
b
2
b
1
b
0
b
3
b
2
b
1
b
0
8 4 2 1 8 4 2 1
cyfra 2
cyfra 1
(
0 1 1 0 1 0 0 1
)
BCD
= (69)
10
0
+
4
+
2
+
0 = 6
8
+
0
+
0
+
1
=
9
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
47 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie liczb
Liczby całkowite ze znakiem:
kodowanie w systemie znak-moduł
Jeden bajt
⇒
-127, ... , 127
Dwa bajty
⇒
-32767, ... , 32767
Cztery bajty
⇒
-2147483647, ,... , 2147483647
UWAGA: Niejednoznaczno
ść
definicji zera:
+0 = 00000000
-0 = 10000000
b
7
b
6
b
5
b
4
b
3
b
2
b
1
b
0
znak 64 32 16 8 4 2 1
0 – liczba dodatnia
1 – liczba ujemna
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
48 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie liczb
Liczby całkowite ze znakiem:
kodowanie w systemie znak-moduł
Przykład:
(
1 0 1 1 0 0 1 0
)
zm
= (-50)
10
0
+
32
+
16
+
0
+
0
+
2
+
0
=
-50
b
7
b
6
b
5
b
4
b
3
b
2
b
1
b
0
znak 64 32 16 8 4 2 1
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
49 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie liczb
Liczby całkowite ze znakiem:
kodowanie w systemie uzupełnieniowym do jedno
ś
ci
Jeden bajt
⇒
-127, ... , 127
Dwa bajty
⇒
-32767, ... , 32767
Cztery bajty
⇒
-2147483647, ,... , 2147483647
UWAGA: Niejednoznaczno
ść
definicji zera: +0 = 00000000
-0 = 11111111
Przedział warto
ś
ci symetryczny.
b
7
b
6
b
5
b
4
b
3
b
2
b
1
b
0
-127 64 32 16 8 4 2 1
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
50 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie liczb
Liczby całkowite ze znakiem:
kodowanie w systemie uzupełnieniowym do jedno
ś
ci
Przykład:
(
1 0 1 1 0 0 1 0
)
U1
= (-77)
10
-127
+
0
+
32
+
16
+
0
+
0
+
2
+
0
=
-77
b
7
b
6
b
5
b
4
b
3
b
2
b
1
b
0
-127 64 32 16 8 4 2 1
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
51 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie liczb
Liczby całkowite ze znakiem:
kodowanie w systemie uzupełnieniowym do dwóch
Jeden bajt
⇒
-128, ... , 127
Dwa bajty
⇒
-32768, ... , 32767
Cztery bajty
⇒
-2147483648, ,... , 2147483647
UWAGA: Nie ma niejednoznaczno
ś
ci zera,
Przedział warto
ś
ci niesymetryczny.
Liczba ujemna = liczba dodatnia zanegowana + 1
-L = ~L + 1
b
7
b
6
b
5
b
4
b
3
b
2
b
1
b
0
-128 64 32 16 8 4 2 1
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
52 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie liczb
Liczby całkowite ze znakiem:
kodowanie w systemie uzupełnieniowym do dwóch
Przykład:
(
1 0 1 1 0 0 1 0
)
U2
= (-78)
10
-128
+
0
+
32
+
16
+
0
+
0
+
2
+
0
=
-78
b
7
b
6
b
5
b
4
b
3
b
2
b
1
b
0
-128 64 32 16 8 4 2 1
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
53 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie liczb
Liczby całkowite ze znakiem:
kodowanie w systemie uzupełnieniowym do dwóch
Przykład: Zakodowa
ć
w systemie uzupełnieniowym do dwu liczb
ę
-5
(słowo 8-bitowe)
Liczba 5 binarnie:
00000101
Zanegowana liczba 5 binarnie:
11111010
Zanegowana liczba 5 binarnie +1:
11111011
-128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = -5
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
54 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie liczb
Liczby całkowite ze znakiem – wła
ś
ciwo
ś
ci kodów
Rozró
Ŝ
nianie znaku liczby:
najstarszy bit: 0 – liczba dodatnia
1 – liczba ujemna
Zmiana znaku liczby:
Znak-moduł
→
negacja bitu znaku
U1
→
negacja bitowa
U2
→
negacja bitowa i inkrementacja
Reprezentacja zera:
Znak-moduł, U1
→
dwie reprezentacje
U2
→
jednoznaczno
ść
zera ( łatwo
ść
wykrywania )
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
55 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie liczb
Liczby całkowite ze znakiem – wła
ś
ciwo
ś
ci kodów c.d.
Zakres liczb:
Znak-moduł, U1
→
zakres liczb symetryczny
U2
→
asymetryczny zakres liczb
Operacje arytmetyczne:
dodawanie i odejmowanie w U2 realizuje si
ę
tak samo jak w naturalnym kodzie
binarnym. (inne wykrywanie nadmiaru)
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
56 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie liczb
Liczby rzeczywiste:
kodowanie w systemie zmiennoprzecinkowym
(cecha-mantysa)
L = M x N
E
M
- mantysa - liczba mniejsza od jedno
ś
ci
mantysa znormalizowana nale
Ŝ
y do przedziału < 0.1; 1),
co oznacza
Ŝ
e pierwszy znak po przecinku musi by
ć
ró
Ŝ
ny od zera.
N
- podstawa systemu zgodnie z zapisem pozycyjnym wagowym
E
- cecha - wykładnik pot
ę
gi, dzi
ę
ki któremu przecinek w liczbie zostaje
przesuni
ę
ty tak, aby utworzy
ć
mantys
ę
w zgodzie z powy
Ŝ
sz
ą
definicj
ą
zapis
binarny !
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
57 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie liczb
Liczby rzeczywiste:
kodowanie w systemie zmiennoprzecinkowym
(cecha-mantysa)
0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0
Ilo
ść
bitów przeznaczonych na
cech
ę
decyduje o
zakresie
.
Ilo
ść
bitów przeznaczonych na
mantys
ę
decyduje o
bł
ę
dzie
.
Liczby ujemne w mantysie s
ą
kodowane w systemie znak-moduł,
Cecha jest kodowana w systemie uzupełnieniowym.
cecha
mantysa
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
58 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie liczb
Liczby rzeczywiste:
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
59 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie liczb
Liczby rzeczywiste:
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
60 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie liczb
Liczby rzeczywiste:
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
61 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie liczb
Liczby rzeczywiste:
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
62 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie liczb
Liczby rzeczywiste:
Technologie informacyjne – cyfrowe formy informacji
Autor: Paweł Rogali
ń
ski – Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki PWr
63 / 63
Cyfrowe formy informacji –
kodowanie liczb
Liczby rzeczywiste: