Pierwsza część zajęć będzie dotyczyć opływu ciała płynem lepkim.  Załóżmy, że ruch 
odbywa się w płaszczyźnie.  Sytuacja będzie zachodzić, w przybliżeniu, przy opływie 
skrzydła samolotu albo przy opływie łopatki maszyny wirnikowej.  Jeśli rozpiętość 
skrzydła (albo łopatki) istotnie przekracza pozostałe wymiary, to dokonując przekroju 
płaszczyzną prostopadłą do kierunku wyznaczonego przez tą rozpiętość otrzymujemy, 
poza otoczeniem końca bryły, ruch niemal płaski.  Napływający strumień ma daleko 
przed opływaną figurą jednorodną, stałą w czasie prędkość i jednorodne, stałe ciśnienie. 
 
Przy minimalnych prędkościach ściśliwość gazu (powietrze, jeśli i o zapalenie lotnicze) 
można pominąć.  Uprości to dalsze rozważania:  unikniemy skomplikowanego opisu 
termodynamicznego.  Nie ma bowiem powodu, by uwzględniać temperaturę (jest stała) i 
zależności lepkości od zmiennych warunków termodynamicznych. 
 
Wymiary ciał są rzędu metrów, lub gdy rozważamy opływ łopatki, rzędu centymetrów.  
Prędkość napływającego strumienia wynosi kilkadziesiąt – sto kilkadziesiąt metrów na 
sekundę.  Ponieważ lepkość kinematyczna jest rzędu 10

-5

 (m

2

/sek) to liczba Reynolda 

wynosi 10

5

-10

7

.  To oznacza, iż siły bezwładności (ich skala jest U

2

/L) wielokrotnie 

przekraczają siły lepkości (skala tych sił jest νU

2

/L) *. Można więc powiedzieć, że 

lepkość nie odgrywa ważnej roli.  Chyba, że prędkość zmienia się istotnie przy 
niewielkiej zmianie położenia.  Pamiętamy, iż na brzegu opływającej bryły płyn 
 
*UZASADNIJ (przypomnij sobie bezwymiarowe równanie Naviera-Stokes’a.  Aby 
otrzymać liczbę Reynoldsa dzieliliśmy równanie przez U

2

/L. 

 
„przylepia” się do powierzchni ciała stałego.  Blisko tej powierzchni następuje istotna 
zmiana prędkości na małym odcinku w kierunku prostopadłym do brzegu.  Długość 
opływanej linii jest wielokrotnie większa niż grubość warstwy w której zachodzi istotna 
zmiana prędkości.  Oznaczmy grubość warstwy leżącej przy brzegu w której zachodzi 
znaczna zmiana ruchu (od zerowej prędkości do prędkości porównywalnej z prędkością 
napływającego strumienia) symbolem δ.  Jest: δ << L. 
 
Promień krzywizny linii brzegowej jest wielkością rzędu L.  A więc, skoro grubość 
naszej warstwy jest również wielkością mniejszą od tego promienia, to można po prostu, 
rozwinąć opływaną linią.  Współrzędna X jest długością brzegu opływanego konturu, a Y 
– prostopadła do brzegu.  Pamiętamy:  prędkość zmienia się znacząco w kierunku 
prostopadłym do brzegu, a wzdłuż brzegu zmiany są niewielkie.  Dalej:  ruch odbywa się 
– głównie – wzdłuż linii brzegowej.  Składowa poprzeczna prędkości – zerowa na 
konturze – nie powinna być znacząca.  A więc: 
Maksymalna wartość składowej wzdłużnej jest rzędu U

∞

, a maksymalna wartość 

składowej poprzecznej jest istotnie mniejsze od U

∞

. 

 
Napiszmy równania Naviera-Stokesa i ciągłości: 
 

2

2

2

2

2

2

2

2

0

1

1

u

u

x

y

u

u

p

u

u

u

v

x

y

x

x

u

u

p

v

v

u

v

y

x

y

y

x

y

υ

ρ

υ

ρ

∂

∂

+

=

∂

∂

⎛

⎞

∂

∂

∂

∂

∂

+

= −

+

+

⎜

⎟

∂

∂

∂

∂

∂

⎝

⎠

⎛

⎞

∂

∂

∂

∂

∂

+

= −

+

+

⎜

⎟

∂

∂

∂

∂

∂

⎝

⎠

 

Pochodna względem X powinna być wielokrotnie mniejsza od pochodnej względem Y, 
bo X jest rzędu L a Y – rzędu δ.  Można więc napisać: 

2

2

2

2

u

u

x

y

∂

∂

<<

∂

∂

 

Dalej:  iloczyn 

u

u

x

∂

∂

zawiera wprawdzie „małą” wielkość 

u

x

∂

∂

, ale mnożną przez 

znaczącą wielkość u Nie można go więc zaniedbać.  Podobnie:  

u

y

∂

∂

jest znaczne, ale , po 

pomnożeniu przez ν nie musi być jedyną znaczną wielkością w równaniu ruchu dla 

składowej x-owej prędkości: Po uproszczeniu 

2

2

u

y

∂
∂

otrzymamy: 

2

2

1

u

u

p

u

v

v

x

y

x

υ

ρ

∂

∂

∂

∂

+

=

+

∂

∂

∂

∂y

.  Składowa poprzeczna prędkości, czyli ν może być 

oznaczona na postaci równania ciągłości: 

max

y

o

u

u

v

dy

v

x

x

δ

∂

∂

⎛

⎞

=

→ <

⎜

⎟

∂

∂

⎝

⎠

∫

•  

Jest to wielkość rzędu δ. Gdy grubość δ jest znikoma, to z drugiego równania ruchu 

pozostaje tylko: 

( )

1

0

p

.

p

p x

y

ρ

∂

= −

→ =

∂

 Napiszmy uproszczone równania.  Są 

następujące: 

2

2

0

1

u

u

x

y

u

u

p

u

v

u

x

y

x

υ

ρ

∂

∂

+

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

+

= −

+

∂

∂

∂

∂y

 

Nazywamy je równaniami PRANTLA.  Obowiązują w sąsiedztwie powierzchni 
opływanego skrzydła lub łopatki.  Ogólniej: w pobliżu opływanej powierzchni ciała 
stycznego. 
 
Warstwa, w której obowiązują nazywa się WARSTWA PRZYŚCIENNA.  Warstwa ta 
jest tym cieńsza, im większa jest liczba Reynoldsa.  Dokładne oszacowanie prowadzi do 

wyniku:

1
Re

L

δ

≈

.  Jeśli Re->∞, to grubość warstwy przyściennej znika... 

Na zewnątrz warstwy przyściennej lepkość nie jest istotna.  Ludwieg PRANDTL 
zaproponował następujące postępowanie: gdy Re jest wielka (->∞ - w granicy) to: 

1.  Wyznaczamy opływ konturu płynem nielepkim.  Otrzymujemy p=p(x), czyli 

rozkład ciśnienia na konturze. 

2.  Rozwiązujemy równania Prandtla ze znaną już wielkością 

( )

p x

x

∂

∂

. Wyznaczone 

pole prędkości pozwala określić składową styczną siły powierzchniowej, i w 
rezultacie, opór. 

 
Rozumowanie to pozwala zastąpić zadanie trudne, jakim jest rozwiązanie równań 
Naviera-Stokesa, dwoma zadaniami prostymi. 
Popełniony błąd związany z przeniesieniem obliczonego na konturze ciśnienia p(x) na 
zewnętrzną granice warstwy jest tym mniejszy, im warstwa przyścienna ma mniejszą 
grubość.  W granicy, gdy Re->∞ błąd znika.* Teoria oparta o podane rozumowanie 
nazywa się „Opływem z Warstwą Przyścienną.”  Powróćmy do równań Prandtla.  
Niewiadomymi są u(x,y) i v(x,y).  Aby je wyznaczyć trzeba, oprócz znanych (sw. 3) 
równań sformułować warunki brzegowe i warunki początkowe. 
 
* Rozumowanie Prandtla pochodzi z początku WB. Wieku.  Dowód znikania błędu 
podała O.Olejnik (Rosjanka) w połowie stulecia. 
 
Warstwa przyścienna rozpływa się w przednim punkcie spiętrzania.  To taki punkt, w 
którym 

.  Oczywiście, grubość warstwy w punkcie tym jest zerowa.  Dalej:  na 

brzegu opływanego konturu mamy warunek przylepienia: 

0

v

≡

r

0

( , )

0

y

u x y

=

=

, a na 

zewnętrznej granicy prędkość w warstwie jest taka, jaka by zaistniała na konturze 
opływanym płynem nielepkim: 

( , )

( )

y

u x y

U x

δ

=

=

. 

 
Rekapitulujemy:  równania Prandtla, warunki brzegowe i warunek początkowy to: 

0

u

u

x

y

∂

∂

+

=

∂

∂

,

2

2

1

u

u

p

u

u

v

x

y

x

υ

ρ

∂

∂

∂

∂

+

= −

+

∂

∂

∂

∂

0

v

y

,

≡

r

,

0

( , )

0

y

u x y

=

=

,

( , )

( )

y

u x y

U x

δ

=

=

. 

 
Termin „warunek początkowy” nie odnosi się do czasu (ruch jest od czasu niezależny), 
ale do początku warstwy przyściennej.  Czytelnik zauważył, że symbol U(x) oznacza 
prędkość na konturze opływanym płynem nielepkim.  Płyn taki jest, oczywiście, tworem 
naszej wyobraźni... Podlega równaniom Eulera.  Wyznaczenie pola prędkości w takim 
płynie jest względnie proste.  Zauważymy, że na mocy równania Brenoulliego 

obowiązującego przy braku lepkości możemy napisać:  

2

.

2

l pradu

V

P

const

ρ

+

=

. Ponieważ 

opływany kontur jest linią prądu (prędkość jest styczna do linii konturu) to: 

0

( )

1

( )

y

dV

dU x

dp x

V

U

dx

dx

dx

ρ

=

=

= −

.  Używając tego zapisu, przepisujemy równania 

Prandtla następująco:

0

u

u

x

y

∂

∂

+

=

∂

∂

,

2

2

( )

u

u

dU x

u

v

U

u

x

y

dx

υ

y

∂

∂

∂

+

=

+

∂

∂

∂

. 

Warunki brzegowe i warunek początkowy pozostają niezmienione. 
 
Równanie Prandtla rozwiązujemy numerycznie.  Nie można bowiem, przy dowolnej 
wielkości U(x) znaleźć rozwiązania „na papierze.”  Można to zrobić dla pewnych 
przypadków:  gdy 

, lub gdy 

( )

m

U x

cx

=

1

2

3

1

2

3

( )

...

m

m

m

U x

c x

c x

c x

=

+

+

+

 i jeszcze dla 

kilku innych. 
Metody numeryczne są – na ogół – metodami różnicowymi.  Wygodne jest wcześniej 
przekształcić równania.  Najlepiej jest zamienić zmienne niezależne tak, by 
wyeliminować jedną z niewiadomych.  Zabieg ten, powoduje, że otrzymamy tylko jedno 
równanie (i jedną niewiadomą). 
 
Podajemy (dla zainteresowanych) odpowiednie rachunki.  Otóż, określamy funkcje ψ 

taką że: 

,

v

x

y

.

u

ψ

ψ

∂

∂

= −

=

∂

∂

  (ψ nazywamy funkcją prądu).  Funkcja ta redukuje do 

tożsamości równanie ciągłości: 

0

u

u

x

y

∂

∂

+

=

∂

∂

→

0

x

y

y

x

ψ

ψ

⎛

⎞

∂ ∂

∂

∂

⎛

⎞

+

−

=

⎜

⎟

⎜

⎟

∂

∂

∂

∂

⎝

⎠

⎝

⎠

 (tantologia!) 

I wprowadzamy nowe zmienne niezależne: 

. 

0

( )

( ),

( , )

( , )

x

U x dx

x Z

x y

Z x y

ξ

ξ

ψ

=

=

=

=

∫

Pochodne 

i

x

y

∂ ∂

∂ ∂

trzeba wyznaczyć przez nowe zmienne: 

,

0

Z

Z

U

v

u

x

x

x Z

Z

y

y

y Z

Z

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂ ∂

∂

∂

∂

∂

=

+

=

−

=

+

=

+

∂

∂ ∂

∂ ∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂ ∂

∂

∂

. 

Wstawiamy te operatory różniczkowania do równania Prandtla.  Ponieważ U(x) wyraża 
się tylko przez zmienną ξ (x=x(ξ)) to: 

2

u

u

u

u

u

u U

v

v u

U

u

u

Z

Z

Z

υ

ξ

ξ

⎡

⎤

∂

∂

∂

∂

∂

∂

⎡

⎤

⎡

−

+

=

+

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

∂

∂

∂

∂

∂

∂

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

Z

⎤

⎥ .  Upraszczamy wyrażenie  

u

u

Z

υ

∂

∂

.  

Pozostałość przepisujemy tak: 

2

2

2

2

2

(

)

2

2

d

U

U

U

u

U

U

u

d

Z

υ

ξ

ξ

⎛

⎞

⎛

⎞

∂

∂

−

=

+

⎜

⎟

⎜

⎟

∂

∂

⎝

⎠

⎝

⎠

2

 

I wprowadzamy nową funkcję niewiadomą 

2

2

2

1

u

W

U

⎛

⎞

= − ⎜

⎟

⎝

⎠

.  Przy jej użyciu otrzymamy 

(po następujących przekształceniach) proste równanie: 

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

U

u

U

u

u

U

Z

υ

ξ

∂

∂

−

=

−

∂

∂

 

( )

2

2

2

0!

bo

U

Z

ξ

⎛

⎞

∂

=

⎜

⎟

∂

⎝

⎠

 

2

2

2

1

l

W

W

d

W

W

Z

d

υ

ξ

ξ

⎛

⎞

∂

∂

−

−

= − ⎜

⎟

∂

∂

⎝

⎠

nU

 

Dla y=0, co odpowiada z=0, jest W=1m a gdy z jest znaczne, to W=0. Otrzymane 
równanie jest podobne do znanego równania przewodnictwa i bez trudu można je 
rozwiązać zwykła metoda różnicowa. 
 
 
Równania Prandtla można przedstawić i otrzymać użyteczny Wzór Całkowy Karmana.  
Okaże się użyteczny przy pomiarach i dla przybliżonego wyznaczenia ruchu w warstwie 
przyściennej.  Oto odpowiednie rachunki: 
 
Przekształcamy pochodną konwekcyjną: 

(

)

(

)

u

u

u

v

u

v

u u

u v

u

x

y

x

y

x

y

⎡

⎤

∂

∂

∂

∂

∂

∂

+

=

• +

• −

+

⎢

⎥

∂

∂

∂

∂

∂

∂

⎣

⎦

 

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest zerem (patrz: równanie ciągłości).  Podobnie 
obliczymy wyrażenie: 

( )

(

)

( )

(

)

( )

uU x

vU x

dU x

u

v

u

U

x

y

dx

x

∂

∂

y

⎡

⎤

∂

∂

+

=

+

+

⎢

⎥

∂

∂

∂

∂

⎣

⎦

 

Łącznie, układ równań jest więc następujący: 

( )

( )

dU

uU

vU

u

x

y

dx

∂

∂

+

=

∂

∂

, 

(

)

(

)

2

2

dU

u

u u

v u

U

x

y

dx

y

υ

∂

∂

∂

• +

•

=

+

∂

∂

∂

 

 
Odejmujemy drugie z nich od pierwszego i całkujemy względem y w granicach 0-δ: 

(

)

(

)

(

)

2

2

o

o

o

dU

u

u U

u

dy

v U

v dy

u U dy

dy

x

y

dx

δ

δ

δ

υ

∂

∂

⎡

⎤

⎡

⎤

−

+

−

=

−

−

⎣

⎦

⎣

⎦

∂

∂

∫

∫

∫

o

y

δ

∂
∂

∫

 

Całki z pochodnych względem y są banalne.  Funkcje U nie zależą od y.  Wobec tego, 
otrzymujemy: 

(

)

(

)

2

2

0

0

1

y

y

y

o

o

y

dU

u

u

u U

u

dy

v U

v

U

dy

x

dx

U

y

δ

δ

δ

δ

υ

=

=

=

=

∂

∂

⎛

⎞

⎡

⎤

−

+

−

+ •

−

−

⎜

⎟

⎣

⎦

∂

∂

⎝

⎠

∫

∫

 

Drugi wyraz znika, bo 

0

0 _ _

y

y

v

i u

δ

=

=

=

U

=

.  Ostatni człon (po prawej stronie) to 

0

y

y

y

y

u

u

u

y

y

y

δ

δ

δ

μ

μ

τ

υ

ρ

ρ

ρ

=

=

=

=

∂

∂

∂

= −

+

= −

∂

∂

∂

, gdzie 

0

y

u

y

τ μ

=

∂

=

∂

jest Naprężeniem Stycznym. 

(Czyli składową styczną jednostkowej siły powierzchniowej na opływanej powierzchni. 
(udowodnij to stwierdzenie... *) 

* Pomoc: na brzegu y=0 v=0 i, wobec tego 

0

0

y

v

x

=

∂

≡

∂

.  Napisz iloczyn  2μ

Dυn i 

otrzymasz wynik. 
 
Pierwszy wyraz jest kłopotliwy.  Gdyby udało się wyprowadzić operacje różniczkowania 
przed całką – to by mógł zostać napisany w prostej formie... Przekształcamy go 

wykorzystując formułę różniczkowania całki: 

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

0

0

,

,

,

y f x

y f x

y f x

y f x

F x y

d

d

F x y dy

dy

F x y dy

dx

x

y

dx

=

=

=

=

⎡

⎤

∂

∂

=

+

⎢

⎥

∂

∂ ⎢

⎥

⎣

⎦

∫

∫

∫

y

 

W naszym przypadku F=u(U-u).  Wiemy, że pochodne całki względem górnej granicy to 
funkcje podcałkowe, czyli F.  Ale – trzeba napisać jej wartości dla y=f, co w naszym 
przypadku oznacza y=δ.  Piszemy: 

(

)

(

)

(

)

(

)

0

0

0

y

y

d

d

u U

u dy

u U

u

dy u U

u

u U

u

dy

dx

x

dx

x

δ

δ

δ

δ

δ

=

=

∂

∂

⎡

⎤

⎡

⎤

−

=

−

+

−

=

−

⎣

⎦

⎣

⎦

∂

∂

∫

∫

∫

 

Jest to tak, bo 

y

u

δ

=

= U

 i w rezultacie otrzymujemy 

2

0

0

1

1

d

u

u

dU

u

U

dy U

dy

dx

U

U

dx

U

δ

δ

τ

ρ

⎛

⎞

⎛

⎞

−

+

−

= +

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

∫

∫

 To wzór całkowy Karmana. 

Wielkości określone całkami oznaczamy symbolami δ

**

 i δ

*

: 

**

*

0

0

1

_ _

1

u

dU

u

dy i

U

dy

U

dx

U

δ

δ

δ

δ

⎛

⎞

⎛

⎞

=

−

=

−

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

∫

∫

u

U

δ

)

.  Nazywamy je „grubością (straty) 

wydatku” i „grubością (straty) pędu.”  Interpretujemy te nazwy tak: 

*

0

0

0

U

Udy

udy

U

udy

δ

δ

δ

δ

• =

−

=

−

∫

∫

∫

.  Całka jest rzeczywistym wydatkiem płynącym w 

warstwie.  Jest on mniejszy, niż wydatek który by płynął przy prędkości U(x).  Ubytek 

określa wielkości δ

*

.  

*

0

(

udy

U

δ

δ δ

=

−

∫

.  Ponieważ wydatek jest dodatni, to δ

*

<δ.* 

Zauważamy, że dla y>δ u=U i wobec tego 

0

0

1

1

u

dy

dy

U

U

δ

∞

⎛

⎞

⎛

⎞

−

=

−

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

∫

∫

u

, i podobnie 

0

0

1

1

u

u

u

u

dy

dy

U

U

U

U

δ

∞

⎛

⎞

⎛

⎞

−

=

−

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

∫

∫

.  Fakt ten wykorzystamy w zaprojektowaniu pomiaru 

siły stycznej (jednostkowej) określającej na opływaną powierzchnią.  (Bezpośredni 
pomiar nie jest łatwy!) 
* dokonaj podobnych przekształceń dla wielkości δ

*

 i δ

**. 

 

W różnych punktach konturu odległych o ∆x od siebie nazywamy prędkość wzdłuż 
normalnej. Wynikiem jest u(x,y) i u(x+∆x,y).  Daleko od konturu 

( , )

( )

y

u x y

U x

δ

≥

=

.  

Obliczamy całki δ

*

 i δ

**

.  Różniczkując numerycznie znajdujemy 

(

)

2

**

*

d

dU

U

U

dx

dx

δ

δ

fx

ρ

+

= +

.  Przez fx=-τ oznaczyliśmy jednostkową siłę styczną na 

konturze.  Zauważymy na koniec, że zarówno δ

*

 jak δ

**

 są wielkościami dobrze 

zdefiniowanymi.  Można zawsze je poprawnie obliczyć:  Wynika to z faktu znikania 
wyrażeń podcałkowych poza warstwą przyścienną.  Suma wielkości δ jest źle 
zdefiniowana:  Wiadomo, że istnieje – lecz z góry nie wiadomo, ile wynosi.  Niekiedy 

definiuje się ją umownie: δ to taka odległość od brzegu, w której u=0,99U.  Jasne, że jest 
to niezbyt dobra definicja... 
 
Ćwiczenie: Zadano U(x).  Wyprowadzić równanie określające δ(x). 

Przyjąć 

( , )

( )sin

2

y

y

U x

π

u x

δ

=

.  Wiadomo że δ(0)=0.  Obliczamy δ

*

 i δ

**: 

*

0

0

2

1

1 sin

2

u

y

dy

dy

U

δ

δ

π

π

δ

δ

δ

π

−

⎛

⎞

⎛

⎞

=

−

=

−

=

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

∫

∫

, i podobnie 

**

4

2

π

δ

δ

π

−

=

. Dalej: 

0

2

y

u

U

x

μ π

τ μ

δ

=

∂

=

=

∂

.  Otrzymujemy równanie: 

(

)

2

4

2

2

2

d

dU

U

U

dx

dx

π

U

π

υ π

δ

δ

π

π

δ

⎡

⎤

−

−

+

= +

⎢

⎥

⎣

⎦

 

Trzeba to równanie scałkować z podanym warunkiem początkowym wyrażającym 
znikanie δ w x=0.  Spróbuj to zrobić!  Po znalezieniu δ(x) mamy jasną zależność 
określającą u(x,y).  Tym samym wyznaczamy ruch w warstwie przyściennej.. Dla 
płaskiej płyty U(x)=U

∞

=const.  Policz δ. 

 
Uogólnijmy doświadczenie płynące z ćwiczenia.  Otóż, wybraliśmy funkcję opisującą 
u(x,y).  Była bardzo prosta.  Trochę ogólniej jest, gdy przyjąć: 

( )

( )

(

,

,

u x y

y

f

f

U x

)

,

λ

ξ λ

δ

⎛

⎞

=

=

⎜

⎟

⎝

⎠

.  Z pewnym parametrem λ=λ(x).  Oczywiście jest też 

δ=δ(x).  Wybrane funkcje muszą spełniać następujące warunki: 

f(0,λ) = 0 – bo y=0 u=0, f(1,λ) = 1 – bo u=U dla y=δ, 

(

)

1

,

0

f

ξ

ξ λ

ξ

=

∂

=

∂

- bo „dopasowanie’ 

na zewnętrznej granicy warstwy musi być dobre. 
 
Kolejny związek otrzymamy pisząc równanie Prandtla dla y=0: 

( )

2

0

0,

y

u

u

dU

u

v

U

f

x

y

dx

ξξ

υ

λ

δ

=

⎛

⎞

∂

∂

+

=

+

⎜

⎟

∂

∂

⎝

⎠

U

•  

Lewa strona znika z powodu znikania prędkości na brzegu opływającego ciała.  Jest 
więc: 

(

2

0,

dU

dx

f

ξξ

δ

)

λ

υ

−

=

-> to związek pomiędzy δ i λ. 

Mamy więc tylko jedną wielkość niewiadomą.  Jest nią parametr λ. 
Teraz obliczamy δ

*

 i δ

*

(λ) i δ

**

 i δ

**

(λ).  Używamy definicji (całek) określających te 

wielkości: Można też obliczyć τ:

( )

0,

/

Uf

ξ

τ ρυ

λ δ

=

. 

W równaniu Karmana jest więc tylko jedna niewiadoma.  Jest nią λ=λ(x).Całkujemy to 
równanie (pojawiają się pewne trudności: dla punktu spiętrzenia U(0)=0 i pochodna 

/

d

dx

λ

jest określona wyrażeniem ułamkowym w którym mianownik znika dla punktu 

x=0, czyli punktu początkowego.  Wobec tego początkowa wartość λ (w x=0) musi być 
taka, by otrzymać ułamek typu %.  Granice takiego ułamka określa pochodna w punkcie 
osobliwym... 
Istnieje wiele warunków opisanej metody.  W niektórych wprowadza się elementy 
empiryczne.  Szczegóły można znaleźć w specjalistycznych podręcznikach np. 
„Grenzschichttheoria” autorstwa Schlichtinga lub „Laminarnyj pogranicznyj słoj” 
Łojcjanskiego. 
(str. 11) 
Rezultat obliczeń zależy od funkcji U(x).  (zakładamy niezmienność lepkości i masy 
właściwej.  Oznacza to niezmienność płynu opływającego nasze kontury...)  Funkcja ta – 
prędkość na brzegu przy opływie fikcyjnym płynem nielepkim – jest zadana... 
Dla x=0 U znika.  Następnie na krótkim odcinku (w rozwinięciu) szybko wzrasta.  
Odcinek ten – w przybliżeniu – odpowiada silnemu zaokrągleniu profilu.  Dalej prędkość 
U(x) jest niemal stała by w otoczeniu spływu (krawędzi spływu) zmniejszyć się do 
niewielkiej lub wręcz zerowej. 
Zerowa prędkość na krawędzi spływu jest wtedy, gdy kąt ostrza jest niezerowy.  Jest tak 
bo wektor v końcowym punkcie konturu musi być jednoznacznie określony i ciągły.  
Innymi słowami:

_

l

lim

lim

splywu

n _

gorna czesc

do

a czesc

v

v

v

=

=

v v

v

 

Ale: Kierunki wektorów na górnej i dolnej części są różne.  
Wektory o niezerowym module są równe, gdy: 
 1) Kierunki są jednakowe, 
 2) zwroty sa jednakowe, 
 3)moduły są jednakowe. 
 
W naszym przypadku kierunki są różne.  Równość wektorów wymaga, by 

_

( )

0

krawedz spywu

gora

dol

v

v

U x

=

=

=

v

v

.  Dla konturu o innym kształcie zmieni się kształt 

funkcji 

( )

U x

U

∞

.  To samo ma miejsce dla innego ustawienia profilu względem 

napływającego strumienia.  Ustawienie określa kąt 

∝

 (szkic obok) nazywamy kątem 

natarcia.  Na ogół kąt ten określają linie:  kierunku U

∞

uv

 i najdłuższego odcinka łączącego 

dwa punkty konturu.  Ten ostatni nazywamy cięciwą. Jeśli przyjąć inne definicje kąta 
natarcia – to zależnie od definicji – zmieniamy jego wartość o pewną stałą. 
 
Niekiedy określa się kąt tak, by dla 

∝

=0 nie wystąpiła składowa siły prostopadła do 

prędkości U

∞

.  Wtedy: 

∝

 określa się względem zerowej siły nośnej. 

 
Warstwa przyścienna ma w punkcie spiętrzenia (x=0) zerową grubość.  Dalej, przy 
wzroście x, grubość warstwy rośnie.  Biorąc L=x, w oszacowaniu grubości δ (str. 4) 

otrzymujemy: 

x

x

x

U

U

x

υ

δ

υ

∞

∞

≈

=

⋅

≈ .  Warstwa grubieje.  Rozkłady prędkości stają 

się „mniej zmieniające się” wraz z odległością od brzegu.  Maleje wielkość 

0

y

u

y

=

∂

∂

.  

Przeanalizujemy tą cechę pola prędkości.  Napiszmy równanie Prandla dla y=0.  Jest tam 

u=v=0 i wobec tego: 

2

2

0

0

0

y

y

u

u

dU

u

u

v

U

x

y

dx

y

υ

=

=

⎛

⎞

∂

∂

∂

+

= =

+

⎜

⎟

∂

∂

∂

⎝

⎠

.  Druga pochodna u na 

opływanym brzegu zależy tylko od U: 

2

2

0

1

y

u

d

U

y

d

υ

=

∂

= −

∂

U

x

 

Jeśli U rośnie wraz z x-em, to 

0

0

y

u

y

=

∂

<

∂

 i rozkład prędkości jest wypukły.  Gdy 

0

dU

dx

<

- prędkość U maleje wzdłuż brzegu – to rozkład prędkości jest wklęsły.  

Ponieważ dla małych x jest zawsze dU/dx>0, to ewentualnie wklęsłość pojawia się w 
pewnej odległości od punktu spiętrzenia.  Szkic przedstawiający wypukłe i wklęsłe 
rozkłady prędkości pozwala stwierdzić, że pojawia się obszar ruchu o odwróconym 
kierunku przepływu.  Warstwa przyścienna gwałtownie zmienia swą grubość... Założenia 
o znikomej grubości warstwy przestają być sensowne.  Mamy dwie warstwy leżące na 
sobie... Punkt  w którym rozpoczyna się ruch odwrócony określa równanie: 

 

( )

0

,

0

y

u x y

y

=

∂

=

∂

Punkt ten nazywamy punktem oderwania.  Za tym punktem jest 

ruch oderwany.  Po prostu w punkcie oderwania płynący w sąsiedztwie brzegu płyn 
„odpływa” od niego (odrywa się) powodując znaczące zwiększenie obszaru w którym 
lepkość jest istotna. 
Zachodzące w znacznej części profilu oderwanie zwiększa opór i, zarazem, zmniejsza 
siłę nośną. 
Polega ono na pojawieniu się turbulencji.  Jest tak:  grubość warstwy rośnie wraz z x-em.  
Do jej wnętrza zawsze docierają zaburzenia generowane w ruchu zewnętrznym.  
Zaburzenia te są tłumione przez intensywne tarcie w cienkiej warstwie.  Gdy grubość 
warstwy jest duża – to zaburzenia przestają być tłumione, a nawet zwiększają się wzdłuż 
warstwy. 
Mówimy:  Warstwa laminarna staje się niestateczna.  Po utracie stateczności, pojawia 
się turbulencja.  Grubość warstwy rośnie, ale – nie zachodzi oderwanie.  Odcinek, na 
którym warstwa staje się turbulentna (mamy tu silny wzrost amplitudy wszystkich 
zewnętrznych zaburzeń i generacje zaburzeń samowzbudnych) jest stosunkowo krótki 
(kilkanaście grubości warstwy).  Wyznaczenie miejsca przejścia dokonuje się przez 
badanie narastania amplitudy dowolnego zaburzenia. (Jest to teoria stabilności 
hydrodynamicznej).  Podstawowy wynik używany dla teorii warstwy jest przedstawiony 
na następującym diagramie: LINIA „” dzieli pole diagramu na część statecznej warstwy 
przyściennej i warstwy niestatecznej.  Obliczając warstwę przyścienną – począwszy od 
punktu spiętrzenia – sprawdzamy w której części diagramu lokują się kolejne (obliczone) 
parametry.  Jeśli w obszarze statecznym, to warstwa powstaje laminarna.  Jeśli w 
obszarze niestateczności, to zaszło przejście do ruchu turbulentnego. 
Wzór całkowy Karmana obowiązuje również tam gdzie pojawiła się turbulencja.  
Zamiast prędkości trzeba tylko użyć prędkości uśrednionych w czasie.  Piszemy: 

(

)

2

**

*

d

dU

U

dx

dx

τ

δ

δ

ρ

+

=  

Prędkość U jest ciągła przy przejściu: laminarna – turbulentna (nie jest związana z 
warstwą przyścienną!).  Również u(x,y) jest ciągła... wobec tego, δ

*

 i δ

**

 są ciągłymi 

funkcjami x. 
Aby użyć równanie Karmana trzeba: 

1.  Znaleźć związek pomiędzy δ

*

 i δ

**

 

2.  Znaleźć związek pomiędzy δ

*,

 δ

**

, i τ. 

 
Można wykorzystać wyniki doświadczeń... Istnieje wiele rozmaitych „teorii” (raczej: 
przepisów.. ) wiążących te wielkości.  Odpowiednie wzory można znaleźć w (wielu!) 
specjalistycznych książkach o warstwie przyściennej. 
 
Można zapytać jaką wartość mają metody oparte o wzór całkowy? 
 
Otóż, jeśli opływany kontur ma „typowy” kształt profilu płata nośnego albo łopatki i nie 
jest ustawiony pod zbyt wielkim kątem natarcia – to obliczony opór jest wysoce zgodny z 
wynikiem badania laboratoryjnego.  Wystarczą do dobrej analizy (poniżej 5% błędu) 
projektowanego profilu... 
Dodamy, że warstwa przyścienna na bryle obrotowej może być opisana w podobny 
sposób.  Dokonując odpowiednich przekształceń można sprowadzić „osiowoy 
metryczne” równanie Prandtla do równań takich, jak w przypadku płaskim. 
Dalej:  dla ruchów szybkich, gdy nie można zaniedbać ściśliwości problem również 
sprowadza się do omówionego.  Trzeba tylko założyć, że brzeg opływanego ciała nie 
odbiera (nie wydziela) ciepła.  (Gdy nie można takiego założenia uczynić – to trzeba 
równocześnie z rozwiązywaniem problemu dla warstwy rozwiązać problem rozkładu 
temperatury w opływanym ciele). 
Jeśli opływana bryła nie ma kształtu łopatki albo płata nośnego (nie jest wydłużona) – to 
trzeba stosować teorie niepłaskiej warstwy przyściennej.  Taka teoria jest już bardziej 
złożona.. 
 
Na zewnątrz warstwy przyściennej płyn porusza się tak, jak gdyby był pozbawiony 
lepkości. 

Ponieważ warstwa przyścienna ma (największą) grubość 

Re

L

≈

to, przy Re rzędu 

milionów (setek tysięcy) wyznaczanie ruchu na zewnątrz warstwy jest prawie tym 
samym, co wyznaczanie opływu naszego konturu fikcyjnym płynem nielepkim. 
Wynikiem jest – między innymi – prędkość na brzegu (ponieważ płyn jest nielepki – to 

0

breg

v

≠

uv

).  Prędkość tą przenosimy następnie na zewnętrzną granice warstwy po to, by 

rozwiązać równanie Prandtla. 
 

Otóż, napływa jednorodny strumień płynu nielepkiego.  Na każdej linii prądu – a 
wszystkie linie łączą punkty wielce oddalone, leżące „przed” i „za” konturem – mamy tą 

samą wartość stałej Bernoulliego: 

2

2

U

p

C

ρ

∞

∞

=

+

wszędzie taka sama! 

Pamiętamy, że gdy stała Bernoulliego jest wszędzie jednakowa, to (tam gdzie jest 
wszędzie jednakowa) ruch jest bezwirowy.  Znikanie wirowości jest równoznaczne 
istnieniu potencjału prędkości.  Zapisujemy to tak: 

Znikanie wirowości ↔potencjalność; 

Czyli: 

0

,

v

u

u

v

x

y

x

y

ϕ

ϕ

∂

∂

∂

∂

−

= ↔ =

=

∂

∂

∂

∂

 * 

Ponieważ spełnione jest równanie ciągłości, to podstawiając składowe prędkości 
wyrażone przez pochodne potencjału otrzymamy: 

2

2

2

2

_

'

0

rownanie Lapalce a

u

v

divV

x

y

x

y

ϕ

ϕ

∂

∂

∂

∂

=

+

=

+

=

∂

∂

∂

∂

uv

144244

3

 

Ponieważ prędkości φ jest więc funkcja spełniająca równanie Laplace’a.  Funkcja 
spełniająca takie równanie to Funkcja Harmoniczna.  Jeśli wyznaczymy odpowiednią 
funkcję harmoniczną – właściwą dla naszego zadania – to z równania Bernoulliego 
otrzymamy ciśnienie: 

2

2

2

2

2

2

1
2

p

C

x

y

ϕ

ϕ

ρ

⎡

⎤

⎛

⎞

⎛

⎞

∂

∂

⎢

⎥

+

+

⎜

⎟

⎜

⎟

∂

∂

⎢

⎥

⎝

⎠

⎝

⎠

⎣

⎦

=

)

 

* Są tylko dwie składowe prędkości: u(x,y) = v

x

= v

1

, u(x,y) = v

y

= v

2

 wobec tego pojawia 

się jedyna niezerowa składowa wirowości (ω

 3

= ω

 2

(x,y)) Jeśli znika wirowość 

 to istnieje potencjał prędkości φ taki, ze 

V

g

(

0

rotV

co

=

≡

uv uuv

rad

ϕ

=

uv

. 

 
Ostatnie równanie to zwykle r.  Bernoulliego zapisane z użyciem wzorów określających 
składowe prędkości.  (Patrz równanie *) z poprzedniej strony.)  Jeśli uda się wyznaczyć φ 
tylko jedna niewiadoma – to problem opływu jest rozwiązany.. 
Funkcji spełniających równanie Laplace’a jest bardzo dużo... 
Równanie to spełnia stała, wielomian o odpowiednio dobranych współczynnikach, ... 
część rzeczywista i część urojona różniczkowalnej funkcji zmiennej zespolonej.  Funkcja 
odpowiadająca naszym potrzebom musi: 

1.  Spełniać równanie Laplace’a 

2

2

2

2

0

x

y

ϕ

ϕ

∂

∂

+

=

∂

∂

 

2.  Określać ruch ze stała prędkością daleko od konturu 
3.  Określać zerową składową normalną prędkości na konturze 

 

Innymi słowy trzeba wybrać funkcje spełniającą równanie różniczkowe i warunki 
brzegowe.  Warunki brzegowe to:

V

grad

U

ϕ

∞

∞

∞

=

=

uuv

uv

 daleko od konturu, 

0

x

y

brzeg

brzeg

brzeg

V

n V

n grad

n

n

x

y

ϕ

ϕ

ϕ

⎛

⎞

∂

∂

= •

= •

=

+

=

⎜

∂

∂

⎝

⎠

uuv

uuv

v

v

⎟

na konturze. 

Ponieważ 

_ _

x

y

n

i n

n

n

ϕ

ϕ

∂

=

∂

∂

∂

=

 to ostatnie równanie można zapisać tak: 

...

0

brzeg

n V

n

ϕ

∂

• = =

=

∂

v uv

. 

Zanim omówimy szczegóły naszego problemu zbadamy dwa istotne przykłady funkcji 
spełniających równań Laplace’a.  Pierwszy przykład to: 

.,

,

x

y

x

y

U r

U

x U

y U

const U

const

ϕ

= • =

• +

•

=

=

uv v

 

Drugie pochodne tej funkcji są zerami... A więc jest to funkcja spełniająca r. Laplace’a 
(harmoniczna).  Prędkość 

jest stała... 

x

y

V

grad

i U

j U

U

ϕ

=

= •

+ •

=

uv

v

v

uv

 
* Niech f(x,y)=F(x+iy)=f(z), z=x+iy. 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

,

...

,

2

f

f

z

f

f

f

f

f

z

f

f

f

i

i i

f

x

z

x

z

x

z

y

z

y

z

y

z

z

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

=

•

=

=

=

•

= •

= • •

= −

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

 

Wynika więc taki związek: 

2

2

2

2

f

f

x

z

∂

∂

= −

∂

∂

lub

2

2

2

2

0

f

f

x

z

∂

∂

+

=

∂

∂

. 

 

Drugi przykład:  

(

arctan

)

y

x

ϕ θ

= =

 (patrz na rysunek obok) 

Obliczamy pochodne: 

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

,

,

,

2

2

y

y

xy

x

x

y

y

x

y

x

y

xy

x

y

x

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

∂

−

∂

∂

+

∂

−

=

=

=

=

∂

+

∂

+

∂

∂

+

+ y

, harmoniczna, bo 

2

2

2

2

0

f

f

x

z

∂

∂

+

=

∂

∂

.  A więc pochodne φ przedstawiają składowe prędkości: 

2

2

2

2

sin

cos

,

y

u

v

y

x

x

y

r

y

x

y

r

ϕ

θ

ϕ

∂

−

∂

=

=

= −

=

=

=

∂

+

∂

+

θ

. Dla r->0 prędkość jest 

nieokreślona. 

Zauważamy, że na dowolnym okręgu (normalna do okręgu: 

r

n

r

=

v

v

, a więc 

cos ,

sin

x

y

x

y

n

n

r

r

θ

θ

= =

= =

) składowa V

n

 jest taka: 

sin

cos

cos

sin

0

n

x

y

V

n V

n

u

n

v

r

r

θ

θ

θ

= • =

• +

• = −

+

=

v uv

θ

.  Linia r=const jest więc linia 

prądu... mówimy φ=θ opisuje wir.  W wirze takim prędkość maleje wraz z oddaleniem 

od początku układu:  

2

2

1

V

V

u

v

r

= =

+

=

uuv

.  Obliczymy jeszcze wielkość zdefiniowaną 

następująco: 

V ds

udx

vdy

dx

dy

d

x

y

ϕ

ϕ

ϕ

∂

∂

Γ =

•

=

+

=

+

=

∂

∂

∫

∫

∫

∫

uv uuv

.  Jeśli linia po której obliczamy 

całkę obejmuje początek układu współrzędnych, to 

2

0

2

d

d

π

ϕ

θ

π

Γ =

=

=

∫

∫

 

Jeśli jednak sytuacja jest podobna do pokazanej na dolnym szkicu, to 

!  

Linia całkowania nie otacza początku. 

0

d

d

ϕ

θ

=

=

∫

∫

Czytelnik zauważy, że kilkukrotne okrążenie początku układu powoduje przyrost 
wartości całki o 2πn.  Funkcja o takiej własności jest wieloznaczna... (Rzeczywiście:  
θ+2πn określa tą samą półprostą co θ...) 
 
Wracamy do wyznaczanie funkcji Harmonicznej opisującej opływ zadanego konturu. 
Przedstawiamy ją za pomocą trzech składników (każdy z trzech składników jest 

harmoniczny): 

2

U x

ϕ

θ ϕ

π

∞

Γ

=

+

+  

Pierwszy składnik, U

gwarantuje spełnienia warunku w nieskończoności.  Drugi i 

trzeci składniki określają prędkości znikające daleko od konturu. 

x

∞

Aby 

0

brzeg

n

ϕ

∂

=

∂

trzeba by 

2

brzeg

x

U

n

n

n

ϕ

θ

π

∞

∂

∂

= −

−

∂

∂

Γ ∂

∂

. 

A więc funkcja harmoniczna 

ϕ

 ma zadaną (niezerową!) pochodną normalną na brzegu.  

Dla dużych 

2

r

x

y

=

+

2

(daleko od konturu) znika wraz z pochodnymi szybciej niż 

const/r.  (Bo tak szybko znikają pochodne funkcji θ.. ).  Taką funkcje harmoniczną 
wyznacza się metodami numerycznymi... *) 
Pozostaje określić stałą Γ.  Problem ten trudno rozwiązać dla konturu z ostrzem (patrz 
szkic).  W ostrzu, prędkość V

uv

musi znikać.  (Gdyby nie znikała – to wektor gradφ musiał 

by mieć dwa różne kierunki.. ) Wymóg ten realizujemy dobierając Γ:  

:

0

ostrze

V

Γ

=

uuv

. 

Warunek ten nazywa się „warunkiem Kutty-Żukowskiego” albo „spływem w ostrzu.” 
Jeśli kontur nie ma ostrza – to postulujemy znikanie prędkości w punkcie największej 
krzywizny.  (Punkt ten jest odpowiednikiem ostrza, w którym krzywizna jest 
nieskończona). 
* Dziś, używa się metod panelowych.  Wynikają z przedstawienia funkcji harmonicznej 
całką konturową.  W całce tej pojawia się (znana) pochodna normalna i (nieznane) 
brzegowe wartości potencjału.  Można otrzymać równanie (brzegowe równanie całkowe) 
określające brzegowe wartości potencjału.   
 
Znajdujemy jeszcze siłę działającą na opływany kontur.  Zastosujemy znaną metodę 
bilansu pędu.  Napiszmy równanie ruchu (Eulera, bo nie ma lepkości) w takiej formie: 

( )

( )

uV

vV

gradp

x

y

ρ

⎡

⎤

∂

∂

+

= −

⎢

⎥

∂

∂

⎣

⎦

uv

uv

i scałkujemy w obszarze pomiędzy konturem C i linią 

C

∞

 położoną daleko od konturu.  Po scałkowaniu stosujemy twierdzenie GGO i piszemy: 

(

)

(

)

x

y

x

y

C

C

C

n u

n v V dS

n u

n v V dS

n pdS

n pdS

ρ

ρ

ρ

ρ

∞

∞

+

+

+

= −

⋅

−

⋅

∫

∫

∫

uv

uv

v

v

C

∫

 

Na linii C 

x

y

n V

n u

n v

⋅ =

+

v uv

 jest zerem.  Pierwsza z całek ≡ 0.  Dalej:  

 - jest 

siłą działającą na kontur. A więc: 

C

n pdS

R

⋅

=

∫

v

uv

( )

C

C

R

n V VdS

n pdS

ρ

∞

=

⋅

+

⋅

∫

∫

uv

v uv uv

v

. 

Trzeba obliczyć całki... Niech C

∞

 będzie okręgiem o wielkim promieniu R

∞

.  Długość 

łuku  dS

R d

θ

∞

=

.  Funkcja podcałkowa zmienia się, gdy zmienia się kat θ (promień jest 

stały).  Można napisać: 

( )

2

0

...

m

F

dS

R d

R

π

θ

θ

∞

∞

=

∫

∫

 

Jeśli m>1, to całka znika, gdy 

. 

R

∞

→ ∞

Jeśli m<1 – to 

, bo inaczej całka nie ma sensu.  A więc interesują nas tylko 

te całki, w których m=1.  Dla dużych odległości od początku układu jest: 

( )

2

0

0

f

d

π

θ θ

=

∫

2

2

sin

1

sin

1

0

0

2

2

V

i U

j U

r

r

r

r

θ

θ

π

π

∞

∞

⎛

⎞

⎛

⎞

Γ

Γ

⎛

⎞

⎛

⎞

=

−

+

+

−

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

uv v

v

 

Obliczamy pierwszą całkę (pamietamy, że n

x

=cosθ,  n

y

=sinθ): 

( )

2

0

sin cos

sin cos

sin

sin

...

2

2

2

2

c

nV V dS

U

i U

j U

R d

R

R

R

R

π

θ

θ

θ

θ

θ

θ

ρ

ρ

θ

π

π

π

π

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

⎧

⎫

⎧

⎫ ⎛

⎞

⎛

⎞

Γ

Γ

Γ

Γ

⎪

⎪

=

−

+

+

−

+

−

⎨

⎬⎨ ⎜

⎟

⎜

⎟

⎪

⎪

⎩

⎭ ⎝

⎠

⎝

⎠

⎩

⎭

∫

∫

vuv uv

v

v

∞

∞

⎬

= 

( )

2

2

0

cos

2

c

U

nV V dS

j

d

π

ρ

ρ

θ θ

π

∞

∞

Γ

=

∫

∫

vuv uv

v

 

Druga całka (zawierająca ciśnienie) może być obliczona równie łatwo.  Wcześniej – 
wyznaczamy ciśnienie: 

2

2

2

sin

2

...

2

2

2

p

const

u

v

const

U

U

R

ρ

ρ

π

∞

∞

∞

⎛

⎞

Γ

⎡

⎤

=

−

+

=

−

−

+

⎜

⎟

⎣

⎦

⎝

⎠

θ

 

Piszemy: 

2

2

2

2

0

0

sin

cos

sin

...

sin

2

2

C

U

U

n pdS

i

j

const

U

R d

j

d

R

π

π

ρ

θ

ρ

θ

θ

θ

ρ

θ

π

π

∞

∞

∞

∞

⎡

⎤

Γ

Γ

⎛

⎞

⎡

⎤

⋅

=

+

−

−

∞

=

⎜

⎟

⎢

⎥

⎣

⎦

∞

⎝

⎠

⎣

⎦

∫

∫

∫

v

v

v

v

θ

 
Dodajemy obydwie całki.  Wynik jest prosty:  R

j

U

ρ

∞

− =

Γ

uv v

.  – Twierdzenie „Kutty-

Żukowskiego.” 
 
Reakcja jest prostopadła do kierunku prędkości niezaburzonego strumienia (V

i U

∞

= ⋅

uv v

).  

Jeśli Γ<0 to 

R

uv

 „ma charakter siły nośnej.” 

Zinterpretujemy wielkość Γ.  Jak pamiętamy (str. 17) jest to wielkość związana z 

intensywnością wiru.  W naszym przypadku potencjał skojarzony z Γ to 

2

θ

π

Γ

.  A więc 

im większe jest Γ – to większe jest intensywność wiru...  Całkowity potencjał jest sumą 

trzech składników:

2

U

ϕ

θ ϕ

π

∞

Γ

=

+

+ . 

Scałkujemy prędkość wzdłuż podawanej linii: 

_

cala linia

V ds

udx

vdy

=

+

∫

∫

uvuuv

=

stosujemy „płaskie GGO”

0

Obszar

Wewnatrz

v

u

dxdy

x

y

⎛

⎞

∂

∂

=

+

=

⎜

⎟

∂

∂

⎝

⎠

∫∫

 

Bo pod całką podwójną jest zerowa wirowość. 
Całki wzdłuż łączników kasują się.  Ponieważ zwroty w całkowaniu wzdłuż C i C

∞

 są 

przeciwne, to ostatecznie 

 

C

C

V d s

V d s

∞

=

∫

∫

uv v

uv v

Ale, dla wielkiego koła C

∞

 (przecież można dowolnie wybrać kształt tej linii) 

łatwo obliczyć: 

Vd s

∫

uv v

(

)

2

0

2

C

C

C

V d s

d U x

d

d

π

θ

ϕ

π

∞

∞

∞

∞

Γ

=

+

+

∫

∫

∫

∫

uv v

= Γ  

Wielkość 

 nazywamy cyrkulacją.  ← Γ 

Vd s

Γ =

∫

uv v

Zauważamy, że na górnej części konturu zwroty V

uv

i  d s

v

są przeciwne.  Wobec tego, 

przyczynek do cyrkulacji wytworzony „na grzbiecie” jest ujemny a na spodzie – dodatni.  
Konur taki jak na szkicu – nawet niepodzielony – daje ujemną cyrkulację. 
 
Tu – przy symetrii konturu – ale utworzonego pod dodatnim kątem natarcia – cyrkulacja 
jest ujemna.  Dla niewielkich kątów natarcia Γ ~ - α . Dokładniej: jeśli profil nie jest 
bardzo gruby (grubość względna < ~ 20%) to 

(

)

sin

LU

π

α ε

∞

Γ ≈ −

+

.  Z reguły, 

stosowane w lotnictwie (albo maszynach wirnikowych) profile nie mają grubości 
wykraczających poza podane ograniczenie... 
Kąt α=-є odpowiada zerowej sile nośnej, a L jest cięciwą profilu. 

Współczynnik siły nośnej 

(

2

2 sin

2

lift

R

C

U

L

)

π

α ε

ρ

∞

=

≈

+

.  Co jest ≈ zgodne z 

doświadczeniem dla niezbyt wielkich kątów natarcia. (Takich, przy których brak dużych 
obszarów oderwania.. ) 
 
Przykłady 
 

1.  Potencjał 

2

2

x

x

x

y

ϕ

= =

+

 opisuje opływ kola jednostkowego.  Sprawdź.  Czy 

jest to funkcja harmoniczna?  Otóż:  

1

Re z

z

ϕ

⎧

⎫

=

+

⎨

⎬

⎩

⎭

 - jest częścią rzeczywistą 

funkcji zmiennej zespolonej 

( )

1

f z

z

z

= +

.  Funkcja ta jest różniczkowalna dla 

|z|>0.  Ale z=0 należy do wnętrza kola... (przypominamy przypis na str. 18).  

Prędkość

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

,

x

x

u

v

x

x

y

y

x

y

x

ϕ

ϕ

∂

∂

=

= +

−

=

= −

∂

+

∂

+

+ y

 To 

samo:

2

2

2

2

1

cos

sin cos

1

2

,

2

u

v

r

r

y

r

θ

ϕ

θ

∂

= +

−

=

= −

∂

θ

.  Jeśli r→∞ to u=1, v=0.  

Mamy jednorodne prędkości.  Na kole:  

cos

sin

n

i

j

θ

θ

=

+

v v

v

.  Jeśli r=1, to 

2

2sin

,

2sin cos

u

v

θ

θ

=

= −

θ

.  Rzut prędkości na 

normalną

.  Moduł 

prędkości

2

2sin

cos

2sin cos sin

0

n V

θ

θ

θ

θ

θ

⋅ =

−

≡

v uv

2

2

4

2

2

2 sin

sin

cos

2 sin

V

V

u

v

θ

θ

θ

=

=

+

=

−

=

uv

θ .  Prędkości 

styczna – zdefiniowana jako Vθ to: 

2sin

V

θ

θ

= −

(dla małych θ wzrosty wersora 

e

θ

v

i prędkości są przeciwne). 

2.  Niech 

2

2

x

x

x

y

ϕ

γθ

= +

+

+

.  Wyznaczyć prędkość styczna.  Wykorzystamy 

wynik poprzedni.  Zauważymy też, że operacje obliczenia prędkości jest liniową 
operacją dokonywaną na potencjale.  Wobec tego prędkość styczna jest suma 
poprzednio obliczonej i wynikającej ze składnika γθ.  Ten drugi składnik to (patrz 

str. 17) jest 

(

,

1

V

r

r

θ

)

γ

γ

=

= .  Mamy więc 2sin .

V

θ

γ

θ

= −

  Prędkość znika dla 

arcsin

,

arcsin

2

2

γ

γ

θ

θ π

=

= −

.  Oczywiście, gdy |γ|<2.  A co będzie dla |γ|>2? 

 
Powrocy do obliczonej (na str. 20) reakcji działającej na opływany kontur. 
Zauważamy – po pierwsze, że: 

1.  Reakcja jest prostopadła do prędkości 
2.  Reakcja=0 dla Γ=0. 

Prostopadłość reakcji i prędkości oznacza brak oporu.  Nie ma w tym nic dziwnego: 
brak przecież dyssypacji energii mechanicznej w wyniku tarcia albo w wyniku procesów 
termodynamicznych. 
Opór można wyliczyć (niezerowy!) korzystając z teorii warstwy przyciennej.  Teorie 
opływu bez lepkości warstwy przyściennej uzupełniają się wzajemnie...  Takie 
połączenie (tylko w tym sensie są poprawne) daje rozsądnie dobry wynik gdy opływany 
kontur jest „dobry” aerodynamicznie. 
„Dobry” kształt oznacza figurę typu profilu lotniczego / łopatkowego ustawioną pod 
umiarkowanym albo małym kątem natarcia... Błąd (weryfikowany doświadczalnie) 
obliczeń schematem ruch płynu nielepkiego na zewnątrz warstwy + warstwa przyścienna 
jest kilku procentowy... Podkreślamy: gdy kontur jest „lotniczy” i kąt natarcia niewielki... 
Dla dużych kątów natarcia oderwanie wystąpi na znacznej części brzegu i idea warstwy 
przyściennej traci sens. 
 

Dla ruchów trójwymiarowych – wokół bryły – ruch potencjalny płynu nielepkiego 
prowadzi do paradoksu D’alembarta. 
Paradoks ten sprowadza się do stwierdzenia: przy pontencjalnym ruchu na zewnątrz 
bryły, gdy prędkość nieskończoności jest wszędzie taka sama, BRAK (jakiejkolwiek) 
REAKCJI.  Bryła ma skończone wymiary. 
 
Przy opływie konturu – mamy kompletnie inną sytuacje.  Ruch na zewnątrz jest  - 
oczywiście – potencjalny i, pomimo to, występuje niezerowa reakcja (gdy Γ≠0 to 
wirowość – formalnie – występuje w „zakrytym” opływanym ciałem początku układu 
odniesienia..).  Ale: kontur jest bryłą o nieograniczonym wymiarze w kierunku 
prostopadłym do płaszczyzny ruchu... 
Taka – nieskończenie wielka – bryła wprowadza zaburzenie jednorodnego pola ciśnienia 
w sposób prowadzący do niezerowej reakcji.. (Jeśli wymiary bryły są skończone – to 
zmiana pola ciśnienia nie jest taka, jak przy bryle nieograniczonej).  W wyniku mamy 
brak siły przy ruchu trójwymiarowym i niezerową siłę dla ruchu płaskiego.  W obu 
przypadkach pola prędkości są – w zewnętrzu opływanych ciał – potencjalne.. 
 
 

Elementarna Dynamika Gazów 

 
Przedmiotem naszych zainteresowań będzie jednowymiarowe ruchy gazu. 
Termin „jednowymiarowe” oznacza wystepowanie jednej (niezerowej) skałdowej 
prędkości zależnej od jednej współrzędnej – ewentualnie od czasu. 
 
Zamin przejdziemy do szczegółów przypomnimy zasadnicze fakty znane z ogólych 
równań.  Gazy są najprostszymi (fizycznie) ciałami.  Aby określić ich stan trzeba podać 
dwa parametry.  Trzeci parameter wynika z równania stanu. 
Najprstrze równanie stanu to równanie Clapeyrona: 

p

RT

ρ

=

.  Stała gazowa R to  B

μ

, 

z uniwersalną wielkością B (=8315 J/Kmol

o

K) i miara kilomola, μ.  Określa się ciepło 

właściwe Cp i Cv dla stalego ciśnienia i stałej objętości.  Cp/Cv = k = wykaznik 

izentropy = 

2

n

n

+

, n – ilość stopni swobody (...) i R=Cp-Cv.  Określa się tez funkcje 

termodynamiczne: 

entalpie 

di

CpdT

=

 

energia wewnetrzna 

w

de

CvdT

=

 

 eentropia

dq

ds

T

=

 

(I jeszcze wiele innych...) 

Mamy I-a zasade termodynamiki 

1

1

w

dp

de

pd

di

dp

ρ

ρ

⎛ ⎞

=

+

= −

⎜ ⎟

⎝ ⎠

 

Druga zasada termodynamiki – w jednym ze sformulowan – brzmi: 

„W ukladzie izolowanym entropia nie maleje...” 

 
Tyle na poczatek.  Szczegoly beda podane w dobrym wykladzie.  W ruchach gazu 
dominuja sily cisnieniowe i sily bezwladnosci.  Tarcie odgrywa  role albo w warstwie 

przysciennej albo wowczas, gdy analizowany ruch przez bardzo dlugi przewod... 
Mozemy tez, poza specjalnymi przypadkami, odrzucic oddzialywanie cieplne zachodzace 
miedzy rozwiazanym gazem a jego otoczeniem.  (To otoczenie stanowia ciala stale 
organiczujace obszar wypelniony gazem). 
 
Wobec tego opis ruchu i stanu gazu moze byc dokonany w prosty sposob:  odrzucam 
tarcie, przewodzenie ciepla i zaniedbujemy przekarywanie ciepla do / od plynacego gazu. 
Mamy wiec: 

Rownanie Ciaglosci: 

( )

0

p

div

V

t

ρ

uv

∂

 

+

=

∂

( )

1

V

V

dV

gradp

∂

⎡

⎤

=

+

⋅∇

= −

⎢

⎥

u

Rownanie Eulera: 

dt

t

ρ

∂

⎣

⎦

v

uuuuv uv

 

Rownanie energi: 

( )

2

2

1

d

v

v

p

i

V

i

⎛

⎞

⎛

⎞

2

2

dt

t

t

ρ

∂

∂

⎡

⎤

+ =

+

⋅∇

+ =

⎜

⎟

⎜

⎟

⎢

⎥

∂

∂

⎣

⎦

⎝

⎠

⎝

⎠

uv

 

N.B: W jakich okolicznosciach jest: 

( )

2

?

v

dp

const

+

=

∫

2

?

v

i

const

+ =

2

 

2

p

ρ

Jak pamietamy, z rownania Eulera i rownania energii wynika stalosc entropii *. Trzeba 

jednak zalozyc, ze 

dq

ds

T

=

, czyli brak procesow nieodwracalnych wewnatrz gazu. 

 
Charakterystyczna cecha gazow jest powstawanie fal cisnienia (gestowsc, temperatury).  
Fale te – jak wszystkie fale – poruszuja sie wzgledem osrodka w ktorym zaistnialy.  Fale 
cisnienia sa falami podluznymi.  Fala podluzna ma kierunek ruchu zgodny z kierunkiem 
zmian.  (Czytelnik ma tez fale poprzeczne, dla ktorych kierunek ruch i kierunek zmian sa 
prostopadle).  Dla fal rozchodzacych sie w przestrzen okreslamy powierzchnie stalej 
fazy.  Powierzchnia  ta zmienia sie z uplywem czasu.  Wektor prostopadly do tej 
powierzchni moze byc zgodnie z predkoscia rzchodzenia sie fali.  Moze tez byc 
ortogonalny do predkosci... 
Fale moga miec rozmaite amplitudy.  Fala cisnieniowa o znikomej amplitudzie to fala 
dzwiekowa (akustyczna).  Znajdujemy predkosc rozchodzenia sie fal akustycznych.  
Wczesniej – okreslamy rownanie falowe.  

( )

( )

,

,

F t x

f

x at

ξ ξ

=

= ±  

Niech pewna wielkosc fizyczna bedzie okreslona tak: 

( )( )

( )( )( )

2

2

F

Znajdujemy pochodne:  

,

F

f

f

a

f

a

a

t

t

t

ξ

∂

∂

∂

∂

ξ

ξ

ξ

∂

∂ ∂

∂

′

′′

=

⋅

=

±

=

±

±  

Czyli 

( )

2

2

2

F

a

f

t

ξ

∂

′′

=

⋅

∂

.  Podobnie: 

( )

2

2

2

2

,(

1)

F

d F

f

bo

ξ

ξ

∂

∂

′′

x

d

x

ξ

=

=

=

∂

∂

 

 

* Mnozymy rownianie Eulera (skalarami) przez V

uv

: 

2

1

2

dV

d v

V

V gradp

dt

dt

ρ

=

= −

uv

uv

uv

 i 

odejmujemy od rownania energii.  Powstanie: 

( )

1

1

d

d

i

V

p

dt

t

dt

ρ

ρ

∂

⎡

⎤

=

+

⋅∇

=

⎢

⎥

∂

⎣

⎦

uv

p

 lub 

1

0

0

di

dp

Tds

ds

ρ

= −

=

⇒

=  

 

Eliminujemy 

( )

f

ξ

′′

.  Otrzymujemy: 

2

2

2

2

F

a

2

F

x

t

∂

∂

=

∂

∂

 rownanie falowe. 

Poniewaz 

, to gdy 

( )

( )

(

,

F t x

f

f x at

ξ

=

=

±

)

x

at

const

= ± +

to f, a wiec i F, nie ulega 

zmiane.  Stala wartosc funkcji F „przemieszcza sie” z predkoscia 

a

±

. 

 
Dla ruchu wielowymiarowego jest tak: 

2

2

2

2

2

2

2

2

F

F

F

a

2

F

x

y

z

t

⎛

⎞

∂

∂

∂

∂

+

+

=

⎜

⎟

∂

∂

∂

∂

⎝

⎠

 lub 

2

2

2

F

a

F

t

∂

= Δ

∂

 Rownanie falowe. 

Czytelnik sprawdzi, ze wozwiazaniem jest: 

(

)

( )

, , ,

,

F t x y z

f

k r

at

ξ ξ

=

= ⋅ ±

v v

z wektorem 

 takim, iz k

k

v

2

 = 1.  Fala przemeszcza sie w kierunku okreslony, przez   z predkoscia a. 

k

v

 
Wyznaczamy prdkosci fali cisnieniowj o znikomej amplitudzie 
Zwiazemy uklad odmieszczenia z tuchowym gazem.  Gaz porusza sie lokalnie ze stala 
predkoscia.  Zaburzenie cisnienia jest male.  Podobnie zaburzenie gestosci: Rowniez 
zaburzenia predkosci wywalane zmiana cisnienia i gestossci jest niewielkie.  Wobec tego 
– w ruchowym ukladzie – jest: 

V

V ′

=

uv uv

, 

1

p

p

p′

=

+

, 

1

ρ ρ ρ

′

=

+

 , z malymi  , ,

V

p i

ρ

′ ′ ′

uv

. 

Piszemy: 

1

V

V

V

V

1

ρ

ρ

ρ

ρ

′

′

′

=

+ ⋅

≈

uv

uv

uv

uv′

i wobec tego rownianie ciaglosci mozna napisac tak: 

1

0

divV

t

ρ

ρ

′

∂

+

≅

∂

uv

 

Rownanie ruchu uproszcimy , bo 

( )

0

V

V

V

V

⎛

⎞

′

′

⋅∇

=

⋅∇

≈

⎜

⎟

⎝

⎠

uv

uv

uv

uv

. 

1

1

dV

gradp

dt

ρ

′

′

≅ −

uuv

 

Eliminujemy 

V

.  W tym celu biezemy divergencje uproszczonego rownania ruchu: 

′

uv

1

1

divV

divgradp

t

ρ

∂

′

′

= −

∂

uv

 

Z rownania ciaglosci wynika: 

2

2

1

1

1

1

d

divV

divV

dt

t

u

ρ

ρ

ρ

ρ

′

′

∂

∂

′

′

≡ −

⇒

=

∂

∂

uuv

uuv

 

Laczymy dwa ostatnie rownania: 

2

2

2

2

divgradp

p

p

t

x

y

ρ

′

⎛

∂

∂

∂

2

2

2

2

z

⎞

∂

′

′

′

=

= Δ =

+

+

⎜

⎟

∂

∂

∂

⎝

⎠

∂

 

Pozostaje powiazac 

ρ

′

 z 

.  Dla fal akustycznych postulujemy 

p′

1

1

,

p

dp

p

d

ρ

ρ

ρ

′

′

=

⋅ (

1

1

...

dp

p

p

p

d

ρ

ρ

′

+

=

+

⋅ +

′

→ zaburzenie cisnienia 

...

dp

p

d

ρ

ρ

′

′

=

⋅ + ) 

Wielkosci 

dp

d

ρ

 jest obliczone dla wielkosci niezaburzonych, to znaczy dla p

1

 i ρ

1

.  A 

wiec 

,

p

dp

d

ρ

ρ

jest obliczane.  Otrzymujemy: 

 

1

1

2

2

,

p

dp

t

d

ρ

ρ

ρ

ρ

′

∂

′

=

Δ

∂

 

To Rownanie Falowe 

Predkosc rozchodzenia sie fali okresla pochodna 

dp

d

ρ

.  Fala o znikomej amplitudzie (

ρ

′

, 

, i 

V

 sa male) nie zaburza rownowagi termodynamicznej. 

p′

′

uv

Wobec tego pchodna 

dp

d

ρ

 trzeba obliczyc przy przemianie odwracalnej, a wiec prz stalej 

entropii. *  Dla stalej entropii jest 

k

p

const

ρ

=

. Logamytujemy i obliczamy pochodna 

logoratmiczna:  

ln

ln

p

k

const

ρ

=

+

 

1

1

s

dp

k

d

ρ ρ

ρ

=

⇒

s

dp

p

k

kR

d

ρ

ρ

=

T

 

A wiec predkosc dzwieku to: 

s

p

dp

a

k

kRT

d

ρ

ρ

=

=

=

 

Opuscilismy oznaczenie „1” – bo wartosci p, i ρ (oraz T) moga byc dowolne. 
 
* Newton (w jego czasach nic nie wiedziano o odwrotnosci termodynamicznej) obliczyl 
predkoswc fali zakladajac T=const.  Otrzymamy:  

( )

t const

dp

p

RT

RT

d

ρ

ρ

=

=

⇒

=

wynik byl niezgodny z pomiarem... 

 
Podkreslamy:  Fala porusza sie wzgledem gazu, ktory ma predkosc V

uv

.  A wiec lacznie, 

predkosc fali wzgledem neruchomego ukladu odniesienia, jst suma predkosci gazu i 
predkosci fali wzgledem gazu..  Dla sytuacji w ktorej gaz ma jedyna nezereowa 
skaldowa predkosci skierowana wzdluz osi x (oznaczamy ja u) mamy: 

Predkosc wali wedlug nieruchomego ukladu 

u

a

= ±

 

 
Pomnozymy rownanie falowe okreslajace 

ρ

′

 przez stala a

2

.  Poniewaz 

2

p

a

ρ

′

′

=

 , to 

wynik jest nastepujacy: 

2

2

2

p

a

p

t

′

∂

′

= Δ

∂

 

Dalej:  gradient 

 podzielony przez stala 

p′

1

1

ρ

 okresla 

V ′

uv

.  A wiec: 

2

2

2

V

a

V

t

′

∂

′

= Δ

∂

uv

uv

 

Kazde z wielkosci 

ρ

′

, 

, i 

V

 podlega zaburzeniom falowym rochodzacym sie 

dokladnie tak samo... 

p′

′

uv

Fala o znikomej amplitudzie jest oczywiscie, najprostsza z mozliwych fal poruszajacych 
sie w gazach.  Predkosc jej wzchodzenia nie zalezy od amplitudy (ta ostatnia jest zawsze 
znikoma) ani, ewentualnie od czestotliwosci. 
Fale o skonczonej amplitudzie maja predkosci rozchodzenia sie zalezne od amplitudy.  
Osrodek, w ktorym predkosc fal zalezy od czestotliwosci nazywamy dyspersyjnym.  
Tamikm osrodkiem jest np. Woda licznymi bablami gazu albo gaz ze znaczacym 
udzialem plynu lub mikroskopijnych kropli cieczy (mgla, aerosol). 
Znajduimy predkosci diczyki w powietrzu.  Dla kilku temperatur mamy: 
T  300 600 1000 1500  
a  347 490 634 776 Powietrze 
a  429 607 784 960 H

2

O 

a 

1321 1869 2412 2954 H

2

Powietrze R=287 m

2

/S

2

K, para wodna (R=462, K=1.33), i wodor (R=4157.5, K=1.4) 

 
Predkosc fali o znikomej amplitduzie – a wiec Predkosc dzwieku stanowi stala 
predkosci dla gazow.  To Naturalna skala predkosci.  Definiujemy: 

u

M

a

=

=

v

 

            =Liczba Macha 

Predkosc w danym miejscu 
Predkosc w tym miejscu

 
Gdy M<1 to ruch jest poddzwiekowy, a dla M>1 – naddzwiekowy.  Z rownania energii – 
w formie elgebraicznej – wynika: 

2

2

2

2

u

u

i

const

CpT

const

+ =

⇒

+

=

 

Ale, poniewaz 

1

kR

Cp

k

=

−

, to 

2

1

1

kRT

a

CpT

k

k

=

=

−

−

 , i mozna napisac: 

2

2

2

2

0

0

0

2

1

1

a

a

u

a

const

k

k

+

=

= +

=

1

k

−

−

−

 

Oznaczylismy tu 

0

0

u

a

=

= a . Jest to predkosc dzwieku w nieruchomym gazie (przy 

zachowaniu energii; tzn. Gaz zatrzymal sie nie wymieniajac energii z otoczeniu). 

Zapamietajmy:  

2

2

2

0

2

1

a

u

a

k

k

+

=

1

−

−

 

Maksymalna predkosc jaka moza osiagnac gaza to ruchu ustalonym. Wynosi: 

(

)

2

2

2

max

0

max

0

0

2

2

1

1

a

u

a

u

a

k

k

k

=

+

=

⇒

=

−

−

−1

 

Poniewaz 

, to 

u

M a

=

⋅

2

2

0

0

1

1

2

a

T

k

M

a

T

−

⎛

⎞

+

=

=

⎜

⎟

⎝

⎠

 

To jest tempereatura gazu nieruchomego (przy zachowaniu energii).  Przepisujemy 
rownanie okreslajace ulamach temperatury: 

2

0

1

1

1

2

T

k

T

M

=

−

+

 

T

0 

nazywamy „temperatura calkowita,” to temperatura w bezruchu, energia jest 

zachowana. 
Jesli Gaz podlega przemianie oduracalnej to: 

1

0

0

1

2

1

1

1

2

k

k

k

k

p

T

p

T

k

M

−

−

⎛

⎞

=

=

⎜

⎟

⎝

⎠

−

⎛

⎞

+

⎜

⎟

⎝

⎠

 

1

1

1

0

0

1

2

1

1

1

2

k

k

T

T

k

M

ρ

ρ

−

−

⎛

⎞

=

=

⎜

⎟

⎝

⎠

−

⎛

⎞

+

⎜

⎟

⎝

⎠

 

p

0

 i ρ

0

 sa cisnieniem i masa wlasciwa w bezruchu – gdy proces hamowania jest 

odwracalny. 
p

0

 i ρ

0

 nazywamy cisnieniem i masa wlasciwa spietrzenia. 

Podkreslmy: zachowanie energii nie jest rownoznaczne odwracalnosci. 
 
Tylko wowczas, gdy gaz w izolowanym od wplywow zewnetrznych  ruchu podlega 
izentropie  (tzn. Przemianie odwracalnej) to cisnienie (i masa wlasciwa) osiagaja 
wartosci spietrzenia... 
 
Zadania 

1.  Powietrze wyplywa ze zbiornika.  Predkosc wynosi u=500m/s, temperatura 250K.  

Jaka jest temperatura w zbiorniku? 

 

 

2

0

1

1

,

,

2

k

u

T

T

M

M

a kRT

a

−

⎛

⎞

=

+

=

⎜

⎟

⎝

⎠

.  Oblicamy: a≈317m/s, M≈1.578, T

0

≈374K 

 
2.  Przez izolowany przewod plynie gaz.  W dwu przekrojach liczby Macha wynosza 

M

1

 i M

2

.  Jak (i u mamy) zmienia sie predkosc? 

 

Energia gazu jest zachowana: 

2

2

2

2

1

1

2

2

2

1

2

1

u

a

u

a

const

k

k

+

=

=

+

−

−

.  Poniewaz a=u/M, 

to 

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1

2

2

2

2

1

2

1

1

1

2

2

1

1

2

1

1

1

1

1

u

k

u

M

u

M

k

k

u

k

M

−

−

+

⎛

⎞

−

⎛

⎞

⎛

⎞

+

=

+

→

=

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

−

−

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

+

−

M  

 
3.  Gaz porusza sie przewodem ogrzewanym / chlodzonym, temperatura jest stala.  

Napisac rownanie Bernoulliego. 

 

Jak pamietamy, rownanie Bernoulliego mozna napisac wtedy gdy 

( )

p

p

ρ

=

albo 

( )

p

ρ ρ

=

.  Poniewaz T=const, to 

p

RT

ρ

=

, RT=const.  Ogolna forma rownania 

Bernoulliego to 

2

2

v

dp

const

ρ

+

=

∫

.   

W naszym przypadku 

2

2

ln

2

2

u

dp

u

RT

RT

p

p

+

=

+

=

∫

const

. 

 

4.  Obliczyc zmiane energii 1kg gazu dla przypadku z zadania 3. 

 

Energia 1kg: 

2

2

u

e

i

=

+  

2

2

2

2

1

1

2

1

2

2

2

2

u

u

u

u

e

e

e

i

i

⎛

⎞ ⎛

⎞

Δ = − =

+

−

+

=

−

⎜

⎟ ⎜

⎟

⎝

⎠ ⎝

⎠

2

2

, bo i = CpT = const. 

Piszemy rownanie Bernoulliego: 

2

2

2

2

1

2

2

1

1

2

1

ln

ln

ln

2

2

2

2

u

u

u

u

RT

p

RT

p

RT

2

p

p

+

=

+

⇒

−

=

 

Wynika stad: 

2

1

ln p

e

RT

p

Δ =

 

 

5.  W zbiorniku z powietrzem cisnienia wynosi 2b.  Temperatura 300K.  Do jednej – 

conajmniej – predkosci mozna rozpedzic gaz przy wyplywu do atmosfery w 
ktorej p=1b? 

 

 

0

1

2

1

1.05

1

1

2

k

k

p

M

p

k

M

−

=

⇒

−

⎛

⎞

+

⎜

⎟

⎝

⎠

≅

 

 

Temperatura wyplywajacego gazu:  

1

0

0

246

k

k

p

T

T

K

p

−

⎛

⎞

=

=

⎜

⎟

⎝

⎠

330

u

M a

M kRT

=

⋅ =

≅

m/sek 

 
Piszemy ponownie wzory okreslajace parametry termodynamiczne w zaleznosci od 
liczby Macha (str. 30): 

 

2

0

1

1

1

2

T

k

T

M

=

−

+

Obowiazuje wtedy, gdy energia masy jednostkowej jest stala. 

 

1

0

0

1

2

1

1

1

2

k

k

k

k

p

T

p

T

k

M

−

−

⎛

⎞

=

=

⎜

⎟

⎝

⎠

−

⎛

⎞

+

⎜

⎟

⎝

⎠

  Przemiana termodynamiczna jest izentropa. 

 

1

1

1

0

0

1

2

1

1

1

2

k

k

T

T

k

M

ρ

ρ

−

−

⎛

⎞

=

=

⎜

⎟

⎝

⎠

−

⎛

⎞

+

⎜

⎟

⎝

⎠

  Przemiana termodynamiczna jest izentropa. 

Przypomniemy jeszcze to, ze T

0

, p

0

, i ρ

0

 okresla sie dla gazu nieruchomego. 

p

0

 i ρ

0

 otrzymamy wtedy, gdy przejscie do bezruchu odbywa sie odwracalnie. 

a T

0

 – gdy zachowana jest energia. 

Oczywiscie odwracalnosc implikuje zachowanie energii.  (Zdanie odwrotne nie jest 
prawdziwe... ) 
 
Obliczano wyrazen w prawych stronach wypisanych zwiazkow nie jest trudne, ale 
wymaga kilku nascinac klawiszy.  (Przy uzyciu komputera – zaprogramowanie jest 
banalne.. ) Przy obliczeniach sazerzych (nie warto pisac program gdy saczny rachunek 
trwa krotko... ) wypadnie uzyc wzkoaniw. 
 
Poslugiwanie sie wykresem jest elementarnie proste.  Wane wartosci ulamkow 

0

0

/ , /

, _ /

T T

i

p p

0

ρ ρ

 otrzymamy dla M=1. 

Mowimy: parametry dla M=1 nazywamy krytycznymi, oznaczamy je symbolem „*.” 
I tak: 

 

Dla k=1.4 

 

(

)

*

0

0

2

1

1

T

T

M

T

T

k

=

= =

+

 

*

0

0.833

T

T

≅

 

 

(

)

1

1

*

0

0

2

1

1

k

M

k

ρ

ρ

ρ

ρ

−

⎛

⎞

=

= = ⎜

⎟

+

⎝

⎠

 

*

0

0.634

ρ

ρ

≅

 

 

(

)

1

*

0

0

2

1

1

k

k

p

p

M

p

p

k

−

⎛

⎞

=

= = ⎜

⎟

+

⎝

⎠

 

*

0

0.528

p

p

≅

 

 

Znajdujemy jeszcze zwiazek pomiedzy a

0

 i a

*

.  Predkosc a

*

 odpowiada ruchowi przy 

M=1, czli sytuacji, w ktorej u = a i  u = a = a

*

 = u

*

. (u

*

 jest predkoscia – rowna predkosci 

dziweku – przy M = 1).  Mamy: 

2

2

2

2

0

*

*

1

2

1

2

1

M

a

a

a

u

a

k

k

=

⎛

⎞

+

=

+

=

⎜

⎟

1

k

−

−

−

⎝

⎠

 

Wynika wiec taka zaleznosc: 

2

2

*

0

2

1

a

a

k

=

+

 

Zestawione wzory pozwaluja wyznaczyc ruch gazu przez przewod o zmiennym 
przekroju

. 

Mamy ruch ustalony.  Mozna napisac: 

1.  Zasada zachowania masy 
2.  Rownanie ruchu 
3.  Rownanie energii – wyrazajace jej stalosc 

 
Ale – z rownania ruchu i rownania energii, przy braku tarcia i zrodel ciepla oraz 
przewodzenie – wynika izentropowosc.  Mozna wiec wziac rownanie Bernoulliego i 
rownanie przemiany.  Tyle ze przy izentropowosci rownanie Bernoulliego staje sie 
rownaniem energii... 
Z tego rownania wynika zwiazek 

(

0

0

T

T

)

M

T

T

=

.  Przy izentropowosci mamy 

( )

0

0

p

p

M

p

p

=

 i 

(

0

0

)

M

ρ

ρ

ρ

ρ

=

.  A wiec, poslugujac sie staloscia plynacej masy 

gazu

 piszemy:  

n

V dA

const

ρ

=

∫

 

V

n

 oznacza rzut predkosci na normalna.  Jesli przewod zmienia lagodnie przekroj, to 

V

n

 ≈ u ,  i u nie zmienia sie na przekroju.  Podobnie ρ oraz p sa w przekroju ≈ stale. 

 
Przyblizony (tym lepiej, im lagodniej zmienia sie przekroj A) zwiazek wyznaczajacy 
zachowanie masy jest wiec taki: 
 

 

uA

const

ρ

=

 

( = wydatek masowy) 

Oczywiscie, ten sam wydatek masowy plynie (ewentualnie... ) przez przekroj, w ktorym 
M=1, a wiec 

* * *

uA

a A

ρ

ρ

=

 

Mozemy napisac: 

( )

( )

*

*

*

*

*

0

0

0

0

1

1

a

a

A

1

A

u

a

T

M

M

T

M

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

=

=

 

Bo u = Ma i 

*

*

*

0

0

1

1

a

a

a

a

u

aM

a

M

a

=

=

⋅

⋅

. 

Prawa strona jest funkcja wylacznie liczby Macha.  Jasne, ze gdy M = 1 to 

*

1

A

A

= .  Dla 

M→0 otrzymujemy 

*

A

A

→ ∞ .  Podobnie, gdy M→∞, 

*

A

A

 jest nieograniczone. 

Wykres funkcji 

( )

( )

*

*

A

A

M

F M

A

A

=

=

 przedstawia szkic. 

Zauwazamy:
Danej liczbie macha odpowiada jedna wartosc 

*

A

A

.  Jesli jest zadana wartosc 

*

A

A

 - to 

otrzymujemy dwie liczby macha: odpowiadajaca ruchowi poddziekowemu (<1) i druga 
dla ruchu naddziekowego.   
Wykres 

( )

( )

*

A

M

F M

A

=

 pozwala przeprowadzic wazna dyskusja zmian liczby 

mahca pry zmnianie przekroju

. 

Zmieniajac przekroj * powodujemy: 
Wzrost M gdy M<1 spadek M gdy M>1.  Odrwotnie, gd przekroj wzrasta – M rosnia dla 
M>1 i M maleje, jesli M<1. 
 
Mozemy teraz rozpatrzyc wyplyw ze zbiornika prze zwezajaca sie rure.  Nazywamy ja 
„dysza zbiezna.”  Predkosc w zbiorniku jest bliska zeru.  Gaz wyplywajac do rury 
zwieksza predkosc od bliskiej zeru – w zbiorniku – do predkosci w przekroju wlotowym 
rury.  Nie ma powodow by predkosc wlotowa byla predkoscia naddziekowa, bo 
wymagalo by to znacznego spadku cisnienia... 
A wiec w przekroju wlotowym jest M<1.  Zwezenie przewodu powoduje wzrost liczby 
Macha wzdluz dyszy... (przy ruchu poddzwiekowym).  Wnioskujemy: w przekroju 
wylotowym liczba Macha jest – conajwyzej – rowne 1: 

1

wylot

M

≤

 

* Oczywiscie A

*

 = const to pole przekroju tam, gdzie M=1...) 

 
Jak znalezc liczba macha w przekroju wylotowym? 
Jasne, ze o ruchu gazu decyduja cisnienia: zewnetrzne p

zew

 i zbiornikowe.  To ostatnie 

mozna uznac ze cisnienie spietrzenia p

0

 (zdladno przeciez izentropowosc... ) 

Jesli p

zew

 = p

0

 – to ruch nie pojawi sie.  Gdy p

zew

 < p

0

 – to oczywiscie w miare malenia 

cisnienia zewnetrznego, gaz wyplywa coraz szybciej. 
Cisnienie w przekroju wylotowym jest rowne cienieniu zewnetrzynemu... 
Ale – gdy 

 To dalszy spadek cniesnienia zewnetrznego nie powoduje wzrostu 

liczby macha – bo w dyszy zbieznej moze ona wzrosnac tylko do jednosci... 

1

wylot

M

=

Zapiszemy to tak: 

wyl

zew

p

p

=

 gdy 

1

wyl

M

<

 

wyl

zew

p

p

≥

 gdy 

1

wyl

M

=

 

Jasne, ze dla 

 

1

wyl

M

=

(

)

*

0

0

1

wyl

p

0

p

p

M

p

p

p

=

= =

 

A wiec: 

Gdy 

*

*

0

0

zew

p

p

p

p

>

=

p

 to 

 i M

1

wyl

M

<

wyl

 wynika z dostosowanie cisnien: 

(

)

0

0

1

wyl

wyl

p

p

M

M

p

p

=

= ⇒

 

Jezeli zas 

*

zew

p

p

≤  - to 

. 

1

wyl

M

=

 
Zadania

1.  Po strzelaninie na pokladnie samolotu powstalo 30 otworow o srednicy 8mm 

kazdy.  Ile kilogramow powietrza trzeba dostarczyc – conajwyzej do kabiny?  
Warunki komfortu:  295K, p=0,95 bar. 

 

W otworze – conajmniej – jest M=1.  Znajdujemy: 

*

*

* *

* *

0 0

0

0

masowy

a

Q

m

u A

a A

A

a

a

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

= =

=

=

&

 

Poslwaujemy sie definicja predkosci dzwieku i rownaniem stanu: 

0 0

0

0

1,12 344 385, 6

o

p

a

kRT

RT

ρ

=

⋅

≅

⋅

≅

 (kg/sek m

2

) 

Poniewaz 

*

0

0,624

ρ

ρ

≅

 i 

*

*

0

0

0,913

a

T

a

T

=

≅

 oraz 

3

1,5 10

A

−

≅

×

 to: 

1

5,82 10

masowy

Q

m

−

= ≅

×

&

 kg/sek 

Jak widac – jest to calkiem malo... 
Gdyby zawiedly sprezarki, to przy objetosci kabiny rzedu 1000m

3

 czas wyplywu 

polowy powietrza jest rzedu wielu minut... samolot zdazy obnizyc wysokosc.. 
 

2.  Samolot SR 71 porusza sie z liczba macha 3.5.  Temperatura atmosfery wynosi 

230K.  Do jednej – conajwyzej – temperatury rozpnac sie moga fragmenty 
pokrycia samolotu? 

 

Na krawedziach natarcia predkosc gazu wzgledu samolotu ≈0. 
Piszemy rownanie energii: 

2

2

2

2

0

0

2

0

1

1

2

1

2

1

1

2

u

a

u

a

T

k

k

k

T

M

∞

∞

∞

∞

+

=

+

⇒

=

−

−

−

+

 

Maksymalna temperatura gazu wynosi 

2

0

1

1

793

2

k

T

M

T

∞

∞

−

⎛

⎞

= +

≅

⎜

⎟

⎝

⎠

K

 

Jest to temperatura wykluczajace uzycia stopow aluminium – jesli lot jest 
dlugotrwaly. 
MIG 25 (M

maks

=3.2) moze leciec z maksymalna predkoscia przez 7 minut. W tym 

czasie przeleci ok. 420km. 
 

3.  W zbiorniku panuje cisnienie 1.5 bara.  Gaz (azot) wyplywa do atmosfery (p

zew

=1 

bar).  Wyznaczyc predkosc tam, gdzie przekroj dyszy zbeiznej jest rowny 
podwojonemu przekroju wylotowemu. T

0

 = 300K. 

 

Oznaczamy przekroj nas interesujacy symbolem x.  Jest Ax = 4Aw. 

Poniewaz 

*

0

0

0, 667

0,528

zew

p

p

p

p

≅

>

=

 to M

w

 < 1. 

Znajdujemy M

w

 :  

(

)

0

0, 667

0, 77

W

W

p

M

M

p

=

⇒

≅

 

Tej liczbie macha odpowiada 

*

*

1, 08

W

A

A

A

A

=

=

 

W przekroju x: 

( )

*

*

4

x

W

x

x

A

A

F M

M

A

A

=

=

⇒

 

Oderytanie M

x

 (znamy 

*

x

A

A

) dla M

x

 ≈ 0,5 

Uwaga: wykorzystalismy niezmiennosc A

*

. 

Predkosc w przekroju x: 

( )

( )

0

0

0

0

x

x

x

x

x

x

x

a

a

u

a

M

M

a

M

M

M

kRT

a

a

=

⋅

=

⋅ ⋅

=

⋅

 

Poniewaz 

m

2

297

N

R

≅

2

/s

2

K, to przy 

( )

0

0,97

x

x

a

M

M

a

⋅

≅

 otrzymamy 

 

171 /

x

u

m s

≅

ek

A

⎤⎦

 

4.  W butli z tlenem panuje cisnienie 150b.  Temperatura 300K.  Po utraczeniu 

zaworu powstal otwor o powierzchni 10cm

2

.  Jaka sila dziala na butle?  Na 

zewnatrz 1bar. 

 

Sila:  

.  Wyplyw odbywa sie z M = 1.  

(

)

2

a

F

u

p

p

ρ

⎡

=

+

−

⎣

3

*

0

0

0,634 192 122

/

w

kg m

ρ

ρ

ρ

ρ

=

≅

⋅

≈

.  

, 

5

5

0,528 150 10

79, 2 10

w

p

P

=

⋅

×

=

×

a

2

2

2

4

*

0

0

2

2

9 10

1

1

u

a

a

kRT

k

k

=

=

=

≅ ×

[ ]

4

4

... 10 10

1,88 10

F

N

−

=

⋅ ×

≅

×

 

+

, 

+

 
Istotna kwestia dla dysz – zbieznej albo innej – jest wydatek masowy.  Wydatek ten 
zalezy oczywiscie od przekroju wylotowego.  Ozaczamy go Q

m

 i obliczymy: 

(

)

m

wylot

Q

m

uA

ρ

= =

&

 

Proste przkesztalcenie jedne zastosujemy to dzielenie i mnozenie: 

(

)

0

0

0

0

m

w

w

w

w

u

a

Q

m

a

A

a

a

ρ

ρ

ρ

= =

⋅

⋅

⋅

⋅

&