Programowanie liniowe – 

przykłady zastosowań 

Programowanie liniowe – przykłady zastosowań 

WYBÓR PROCESU PRODUKCYJNEGO / MINIMALIZACJA ODPADÓW 

W  pewnym  procesie  produkcyjnym  należy  wytworzyć  co  najmniej  20  tys.  sztuk 
elementów A i 55 tys. sztuk elementów B z tworzywa sztucznego. Można wykonywać 
je  na  dwóch  rodzajach  wtryskarek  W1  i  W2.  W  zależności  od  zastosowanej  formy,  w 
jednym cyklu W1 wytwarzane mogą być 3 elementy A i 4 elementy B lub 2 elementy A 
i  5  elementów  B.  W  pojedynczym  cyklu  W2  można  wytworzyć  7  elementów  A  i  10 
elementów B. Czas trwania jednego cyklu wtryskarki wynosi 5 minut dla W1 i 7 minut 
dla  W2.  Jaki  powinien  być  plan  produkcyjny  minimalizujący  czas  wykonania 
wymaganej liczby elementów?  
 
Jak  zmieniłby  się  model  zadania,  gdyby  wiadomo  było,  że  dostępne  są  3  wtryskarki 
typu W1 i 2 wtryskarki typu W2? 

 

 

Programowanie liniowe – przykłady zastosowań 

WYBÓR PROCESU PRODUKCYJNEGO / MINIMALIZACJA ODPADÓW 

W  pewnym  procesie  produkcyjnym  należy  wytworzyć  co  najmniej  300  sztuk  ram 
kabiny  ciągnika  rolniczego.  Rama  pojedynczej  kabiny  składa  się  z  7  kształtowników       
o  długości  0,7  m  oraz  4  kształtowników  o  długości  2,5.  Elementy  wycinane  są                 
z  kształtowników  o  długości  5,2  m,  kupowanych  u  dostawcy.  Jak  należy  uzyskać 
wymaganą  liczbę  elementów,  aby  odpad  powstały  w  procesie  cięcia  była  jak 
najmniejszy? Ile wyniesie wielkość odpadu przy optymalnym cięciu? 

 

 

Programowanie liniowe – przykłady zastosowań 

PROBLEM MIESZANEK 

Do wytopu żeliwa używa się trzech surówek: S1, S2, S3. Surówki te różną się od siebie 
składem  chemicznym  i  ceną  zakupu,  co  przedstawia  tabela.  Wiadomo,  że  żeliwo 
zjednorazowego wytopu w żeliwiaku musi zawierać co najmniej 10,2 kg Si, co najmniej 
2,4 kg Mn oraz 2,7 – 4 kg P. Należy też przy wytopie zachować proporcje: na jeden kg 
surówki  S1  –  dwa  kilogramy  surówki  S3.  Określić  optymalny  skład  wsadu  do 
jednorazowego wytopu w żeliwiaku, minimalizujący łączne koszty wytopu żeliwa. 

Surówka 

Procentowe zawartości pierwiastków 

Cena za 1 kg 

Si 

Mn 

P 

S1 

2,6 

0,4 

0,6 

5 zł 

S2 

2,1 

0,9 

0,2 

3 zł 

S3 

2,1 

0,6 

0,6 

4 zł 

Programowanie liniowe – przykłady zastosowań 

PROBLEM MIESZANEK 

Pewna rafineria jest w stanie przetworzyć 1.500.000 baryłek ropy naftowej 
dziennie. Końcowe produkty z rafinerii to trzy rodzaje benzyny bezołowiowej o 
różnych liczbie oktanowej (ON): regularna (ON = 87), premium (ON = 89) i super 
 (ON = 92). Proces rektyfikacji obejmuje trzy etapy: 
1. wieża destylacyjna, która produkuje surowiec (ON = 82) w ilości 0,2 baryłek 
uzyskanych z jednej baryłki ropy naftowej, 
2. urządzenie realizujące proces krakingu, które wytwarza zapas benzyny (ON = 98) 
wykorzystując część surowca pochodzącego z wieży destylacyjnej uzyskując 0,5 
baryłek benzyny z jednej baryłki surowca, 
3. urządzenie mieszające, które komponuje produkt z surowców otrzymanych w 
poprzednich etapach: surowca z wieży dest. i benzyny z urządzenia do krakingu. 
Firma oszacowała zysk za baryłkę benzyny odpowiednio na: 6,70; 7,20 i 8,10 $. 
Pojemność wejściowa jednostki do realizacji procesu krakingu wynosi 200.000 
baryłek surowca dziennie. Ograniczenia sprzedaży na benzynę regularną, premium 
i super to 50.000, 30.000 i 40.000 baryłek dziennie. Opracować model pozwalający 
uzyskać optymalny harmonogram produkcji dla rafinerii. 
 

Programowanie liniowe – przykłady zastosowań 

PLANOWANIE PRODUKCJI 

W  pewnym  procesie  wytwórczym  wykorzystuje  się  trzy  urządzenia,  realizujące  kolejne  etapy 
procesu dwóch elementów, zamówionych przez producenta samochodów. Jednostkowe czasy 
operacji oraz zyski i koszty przedstawiono w tabeli. 
Już w tej chwili wiadomo, że wymagana liczba elementów nie może być wykonana ze względu 
na brak czasu. Jaki należy przyjąć plan produkcji maksymalizujący zyski przedsiębiorstwa? 

Element 

Czas realizacji operacji na urządzeniach I, II, III 

[min] 

Liczba 

zamówionych 

elementów 

I 

II 

III 

A 

7 

2 

5 

36 

B 

3 

6 

6 

50 

Limit czasu pracy 

maszyn [min] 

90 

56 

240 

- 

Element 

Jednostkowa kara finansowa 

[$/szt.] 

Zysk jednostkowy [$/szt.] 

A 

6 

5 

B 

3 

4 

Programowanie liniowe – przykłady zastosowań 

OPTYMALNY PRZYDZIAŁ ZADAŃ I ŚRODKÓW 

Na trzech maszynach można wykonywać 2 detale (każde urządzenie może wykonywać 
każdy detal). Czas potrzebny na wykonanie detalu na maszynie oraz koszty wykonania 
przedstawiono w tabeli. 

 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
Jak rozdysponować produkcję między urządzenia, aby wykonać wymaganą liczbę detali 
i ponieść minimalne koszty? 

Detal 

Czas wykonania detalu na  maszynach I, II, III  Liczba detali do 

wykonania 

I 

II 

III 

A 

7 

2 

5 

36 

B 

3 

6 

6 

50 

Limit czasu pracy 

maszyn 

90 

56 

240 

- 

Detal 

Koszt jednostkowy wykonania detalu na maszynie 

A 

6 

2 

5 

- 

B 

3 

4 

1 

- 

OPTYMALNY PRZYDZIAŁ ZADAŃ I ŚRODKÓW 

Przedsiębiorstwo

 

planuje zatrudnić 3 osoby do wykonywania trzech zadań. Zgłosiły 

się 4 chętne osoby, które po przeszkoleniu zostały sprawdzone i okazało się, że czas 
potrzebny na wykonanie każdej czynności poszczególnym osobom zabiera: 
Których  pracowników  powinna  zatrudnić  firma  do  których  zadań,  by  czas 
przeznaczany na ich realizację był jak najmniejszy? 

Programowanie liniowe – przykłady zastosowań 

Zadanie 

Czas wykonania przez pracownika 

[min] 

A 

B 

C 

D 

Montaż fotela samochodowego 

20 

17 

14 

10 

Montaż reflektora 

50 

45 

51 

40 

Montaż silnika 

52 

50 

60 

55 

Programowanie liniowe – przykłady zastosowań 

OPTYMALNY PRZYDZIAŁ ZADAŃ I ŚRODKÓW 

Firma transportowa posiadająca samochody odpowiednio o ładowności 15t (1 sztuka), 10t (1 sztuka) 
i  5t  (3  sztuki)  musi  zaplanować  przeglądy  profilaktyczne  na  najbliższe  4  dni.  W  ciągu  tego  okresu 
każdy  samochód  musi  być  wyłączony  z  pracy  na  co  najmniej  1  dzień.  Jak  zaplanować  plan 
przeglądów,  aby  każdy  samochód  mógł  być  poddany  wymaganej  obsłudze  technicznej,  a 
jednocześnie aby zaspokoić wymagane zobowiązania przewozowe firmy, przedstawione poniżej: 
 

              Dzień        Wymagana ładowność aut 

1 

 

30 

2 

 

35 

3 

 

30 

4 

 

25 

Programowanie liniowe – przykłady zastosowań 

PRZYKŁAD BUDOWY AUTOSTRADY 

Załóżmy,  że  autostrada  ma  być  zbudowana  na  nierównym  terenie.  Przyjmujemy,  że 
koszt  budowy  jest  proporcjonalny  do  ilości  podłoża  dodawanego  lub  usuwanego. 
Niech  T  oznacza  długość  drogi  i  niech  c(t)  oznacza  wyjściową  wysokość  terenu  dla 
każdego  t 



  [0,T].  Problem  polega  na  określeniu  docelowej  wysokości  drogi  y(t)  dla 

każdego t 



 [0,T]. 

W celu uniknięcia nadmiernych spadków na drodze, maksymalne nachylenie nie może 
przekraczać wielkości b1, tj. |y’(t)|



 b1.  

Ponadto, dla uniknięcia garbów na jezdni, należy ograniczyć szybkość zmian nachylenia 
drogi, tj. |y’’(t)|



 b2.  

Oprócz tego muszą zachodzić warunki początkowe y(0) = a, y(T) = b. 
Sformułować zadanie optymalizacyjne jako zadanie programowania liniowego. 

 

 

Programowanie liniowe – przykłady zastosowań 

Trzy  nieodkształcalne  belki  o  ciężarach  G

1

,G

2

,G

3

  podwieszono  za  pomocą  prętów           

i  obciążono  siłami  P

1

,P

2

,P

3

  (rysunek).  Pręty  podwieszające  na  każdym  poziomie  mają 

takie  same  przekroje  poprzeczne,  równe  odpowiednio  x

1

,x

2

,x

3

,  oraz  odpowiednie 

wytrzymałości  k

1

,k

2

,k

3

.  Należy  wyznaczyć  przekroje  prętów  na  poszczególnych 

poziomach,  minimalizujące  łączną  ich  masę,  nie  przekraczając  ich  wytrzymałości. 
Przekroje  poziomów  1  i  3  nie  powinny  różnić  się  o  więcej  niż  25%  od  przekroju 
poziomu 2. Ciężary prętów są dużo mniejsze od ciężarów G

i

 oraz sił P

i

. 

 
 

Teoria i praktyka rozwiązywania zadań 
optymalizacji :z przykładami zastosowań 
technicznych /Jacek Stadnicki.  Warszawa 
: Wydawnictwa Naukowo-
Techniczne, 2006 

Mamy  wirnik,  dla  którego  wyważarka  dynamiczna  określiła  masy  korekcyjne  M

I

  i  M

II

, 

które  mają  być  umieszczone  na  płaszczyźnie  I-I,  II-II,  promieniu  R  i  kątach 

a

1

, 

a

2

. 

Jednak konstrukcyjnie przewidziano inne miejsca na dołożenie mas korekcyjnych – na 
płaszczyźnie  1-1,  2-2  (w  odległości  l/2)  i  na  promieniu  r.  Należy  zatem  zastąpić  masy 
wyznaczone  przez  wyważarkę  systemem  mas  m

i

j

,  tak  aby  ich  suma  była  minimalna 

przy zachowaniu właściwości mas M

I

 i M

II 

: 

•

aby oś wirnika przechodziła przez środek jego masy, 

•

aby momenty dewiacyjne zerowały się (nie występowały reakcje dynamiczne w 
łożyskach) 

Programowanie liniowe – przykłady zastosowań 

•

Aby oś wirnika przechodziła przez środek jego masy:  
 
 

•

aby momenty dewiacyjne zerowały się (nie występowały reakcje dynamiczne w 
łożyskach): 
 

Programowanie liniowe – przykłady zastosowań 

Programowanie liniowe – przykłady zastosowań 

• Prostopadłościenny element o długościach boków: a = 1m, b = 1,5m może być wykonany z 

jednego lub dwóch materiałów o gęstościach odpowiednio: 

r

1

 and 

r

2

  [kg/m

3

]. W przypadku 

wytworzenia elementu z dwóch materiałów, należałoby połączyć je jak na rysunku. 

• Jaka  powinna  być  wysokość  h  projektowanego  elementu  (jak  i  poszczególnych  jego  części 

składowych h

1

 i h

2

), aby uzyskać najlepszy stosunek wytrzymałości na rozciąganie elementu 

przypadającą na jednostkę masy, spełniając wymagania: 

• całkowita masa elementu nie powinna przekraczać wartości M, 
• wytrzymałość elementu na rozciąganie nie może być niższa niż S. 

• Zwiększenie wysokości części wykonanej z materiału o gęstości 

r

1 

o 1 cm powoduje liniowy 

wzrost wytrzymałości elementu o wartość a

1

, zaś każdy dodatkowy 1 cm  części wykonanej z 

materiału o gęstości 

r

2 

daje przyrost wytrzymałości o a

2

.