Lista3 PDE 2013 id 270385 Nieznany

background image

Matematyka – wybrane zagadnienia

Równania różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego

Lista nr 3

Zadanie 1
Znaleźć obszary o stałym typie i sprawdzić w nich równania do postaci kanonicznej:

a)   u

xx

2cos x u

yx

−

3sin

2

x u

yy

yu

y

=

0

b)  

0

)

sin(

2

)

(

sin

2

2

=

+

yy

yx

xx

u

y

u

x

y

u

x

c)  

(

)

0

2

2

)

1

(

2

1

2

2

=

+

y

x

yy

yx

xx

yu

xu

u

y

xyu

u

x

d)  

(

)

0

2

2

2

2

2

=

+

+

x

x

yy

yx

xx

xu

xu

u

u

u

x

y

Zadanie 2

Znaleźć rozwiązanie równania z podanymi warunkami brzegowymi:

a)   u

xx

2u

yx

3u

yy

=

0    ,     u

x ,0

=

3x

2

, u

y

x ,0=0

b)   x

2

u

xx

2 xyu

yx

3y

2

u

yy

=

0

u

x ,1

=

ϕ

0

x

, u

y

x ,1=ϕ

0

x

c)  

1 x

2

u

xx

1 y

2

u

yy

xu

x

yu

y

=

0

u

x ,0

=

ϕ

0

x

, u

y

x ,0=ϕ

0

x

Zadanie 3
Stosując metodę rozdzielania zmiennych znaleźć rozwiązania następujących zagadnień 

brzegowych:

a)   u

t

u

xx

=

0 , u

x

0,t =0 , u

x

1, t =0

b)   u

xx

4u

yy

=

0 , ux ,0=x , u

x

x ,0=0

Zadanie 4

Rozważmy równanie drgającej struny:

2

u

t

2

=

a

2

2

u

x

2

z warunkami:

t≥0 u

0, t

=

u

l , t

=

0

x

0, l

u

x ,0

=

f

x

x

0, l

u

t

x ,0

=

g

x

background image

Metodą Fouriera, co pokazano na wykładzie, otrzymuje się rozwiązanie o postaci:

u

x ,t

=

n=1

sin

l

x

A

n

cos

anπ

l

tB

n

sin

anπ

l

t

 ,

gdzie stałe A

n

 oraz B

n

 określone są wzorami

A

n

=

2

l

0

l

f x sin

nπx

l

dx , n=1,2 ,.. ...

B

n

=

2

anπ

0

l

gx sin

nπx

l

dx , n=1,2 , .... .

   .

Wykazać, że rozwiązanie to można przekształcić do postaci:

ux ,t =

1
2

[

f

xat

f

xat

]

1

2a

xat

xat

gz dz

,

czyli do rozwiązania uzyskanego metodą d’Alemberta.

Zadanie 5
Znaleźć rozwiązanie u(x,y) równanie Poissona

Δu=1

w obszarze   D=

{

x , y

: x

2

y

2

a

2

}

 , znikające na okręgu   x

2

y

2

a

2

.

Wskazówka: Równanie zapisać we współrzędnych biegunowych.

Zadanie 6
Metodą rozdzielania zmiennych rozwiązać równanie Laplace’a

2

u

x

2

2

u

y

2

=

0

z warunkami początkowymi:

a)   u

x ,0

=

ux ,1=0 , u

0, y

=

sinπy , u

1, y

=

0

b)   u

x ,0

=

cos

π
2

x , ux ,1=0 , u

1, y

=

0 ,

u

0. y

x

=

0


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Lista1 PDE 2013 id 270304 Nieznany
Lista2 PDE 2013 id 270356 Nieznany
Lista1 PDE 2013 id 270304 Nieznany
GIELDA NA EGZAMIN 2013 id 19029 Nieznany
OE egz1 2013 id 333220 Nieznany
cennik 09 2013 id 109720 Nieznany
Angielski 4 10 2013 id 63977 Nieznany
Egz popr 2013 id 151240 Nieznany
onn pnn 2013 id 335511 Nieznany
afik 2013 2 id 52627 Nieznany
cad 1 I Cw 14 2013 id 107655 Nieznany
Cwiczenie9 TWN 2013 id 125932 Nieznany
mat prob listopad 2013(1) id 28 Nieznany
anemia 2013 id 63501 Nieznany (2)
Na6 energetyka prasy 2013 id 31 Nieznany
Module 00 2013 id 305937 Nieznany
biol prob styczen 2013 id 87362 Nieznany
BL 1 lato 2013 id 89843 Nieznany (2)

więcej podobnych podstron