Rysowanie warstwic:
1. Za z przyjmujemy c
2. Dziedzina funkcji. Zastanów się czy c nie będzie tylko
dodatnie.
3. Badasz co się dzieje gdy (w szczególnych
przypadkach tylko
4. Rysujesz układ współrzędnych i szkicujesz wykres dla c=1,
potem dla c=2, potem dla c=3… każdy narysowany wykres
podpisuj, że to np. było dla c=1.
5. A teraz się zastanów czy jak ciągle zwiększałeś to c, to
wykres przyjmował coraz mniejsze wartości czy większe?
Wyobraź to sobie w 3D.
6. Raczej gdy masz takie funkcje to powinno wyjśd:
kieliszek
stożek
klepsydra
Granica (obliczyd):
1. Gdy wychodzi 0/0 to:
2. Zobacz czy wyrażenia ze zmiennymi się powtarzają i czy są
identyczne? Jeśli tak to przyjmij za nie i skorzystaj ze
Szpitala. Niech ci nie przyjdzie do głowy, w ostatnim kroku
znowu powracad do pierwotnego oznaczenia! Dałeś T to
nim się tylko zajmujesz i reszta cię nie obchodzi.
Granica (wyznaczyd, że nie istnieje):
1. To jest coś w deseo twierdzenia o trzech ciągach (ale nim
nie jest!).
2. Potrzebne są dwa ciągi. Jeden napiszesz z lewej strony
twojej podanej funkcji, a drugi z prawej (jak w tw. o
3ciągach). Zabawa polega na tym, że pod koniec obliczeo
ma wyjśd, że to z lewej dąży do czegoś innego niż to z
prawej.
3. Pierwszy ciąg. Weź
i zobacz co Ci wyjdzie
w
czyli w wyjściowej funkcji za x i y wstaw to
4. Później oblicz przykładowo
(to drugi ciąg) i zobacz
czy otrzymałeś inną wartośd tego do czego dąży. Jeśli tak to
jest OK. Jeśli nie to wymyśl jakiś inny ciąg.
5. „Granica nie istnieje ponieważ znalazłem 2 ciągi
argumentów funkcji f dla których wartości funkcji dążą do
różnych granic”.
Interpretacja geometryczna dziedziny:
1. Wyznaczyd dziedzinę. Pamiętad
!
2. Naszkicowad funkcje które wyszły, z tą różnicą, że zamazuje
się wszystko po lewej lub prawej stronie. Wykres rysujesz
linią przerywaną gdy nie ma „równe”.
3. Wszystkie warunki łączysz na jednym wykresie i zaznaczasz
częśd wspólną.
Policzyd z definicji pochodną:
1.
2. Wstawiasz podany punkt do wzoru i liczysz granicę „po x”.
Później liczyd „po y”. Wtedy wzór ulega lekkiej modyfikacji.
Teraz h dodajesz do y, a nie do x. Liczysz granicę.
3. Jakby ci wyszło kiedyś w koocowym wyniku coś na kształt
musisz policzyd dodatkowe granice dla tego wyrażenia
gdzie raz
Jak wychodzą różne to
znaczy, że tu nie istnieje pochodna.
Wielomian z trzecią resztą:
1.
Zobacz co jest ci potrzebne.
2. Liczymy wartośd funkcji w danym punkcie.
3. Policz pierwszą różniczkę.
czyli potrzebne są Ci pierwsze pochodne po x i
y. Później policz wartości tych pochodnych w danym pkt.
Pierwszą różniczkę napiszesz na 2 sposoby. Raz wstawisz
tam to co policzyłeś w pkt czyli np. df=0dx+0dy (przyda się
do wzoru wielomianu), a drugie za pomocą tego co wyszło
ci w pochodnych czyli np. sinxdx+sinydy (potrzebne do
obliczenia następnej różniczki).
4. Zobacz do wzoru wielomianu. Teraz potrzebne jest
a to jest różniczka z różniczki czyli
czyli to sinxdx+sinydy liczysz raz po x a raz po
y. Analogicznie jak poprzednio musisz mied 2 wersje drugiej
różniczki. jedną otrzymasz po obliczeniu tego co przed
chwilą napisałam, a druga (potrzebna do wielomianu) to
obliczysz wartośd w punkcie.
5.
postępujesz analogicznie (liczysz różniczkę z
różniczki po x i po y). Na samym koocu wstawiasz punkt
bo to ma byd reszta.
6. Teraz wstawiasz do wzoru wielomianu wszystkie dane. dx i
dy zamieo jako różnicę argumentów np. dx = x- 0; dy=y-2
dla punktu (0,2)
Znaleźd ekstremum:
1. Dziedzina.
2. Policzyd gradienty (pierwsze pochodne po x, y…) i
przyrównad do 0.
3. Rozwiązad powstały układ równao i wyznaczyd punkty
stacjonarne. Sprawdzid czy należą do dziedziny.
4. Tworzymy macierz Hessego. To macierz gdzie w pierwszym
wierszu są drugie pochodne kolejno po xx, xy… w drugim
yx, yy… ect. Policzyd drugie pochodne i wpisad w
odpowiednie miejsca.
5. Weź pierwszy punkt stacjonarny i policz dla niego macierz .
Czy w macierzy, w miejsce x, y wstaw współrzędne punktu.
6. Policz wyznaczniki. Stajesz w górnym lewym rogu liczysz
wyznacznik 1x1, później wyznacznik 2x2 i jeśli jest to 3x3.
7. Jeśli wszystkie wyznaczniki wyszły dodatnie to w tym
punkcie jest minimum lokalne. Gdy są wyznaczniki kolejno
ujemne, dodatnie, ujemne… to jest maksimum… wszystkie
inne kombinacje świadczą, że nie ma tam ekstremum.
Chyba, że gdzieś dostałeś wyznacznik =0. Jeśli tak to masz
problem xD Ale policz jeszcze raz. Miało nie byd hesjanu 0!
