Rysowanie warstwic:

1. Za z przyjmujemy c
2. Dziedzina funkcji. Zastanów się czy c nie będzie tylko

dodatnie.

3. Badasz co się dzieje gdy (w szczególnych

przypadkach tylko

4. Rysujesz układ współrzędnych i szkicujesz wykres dla c=1,

potem dla c=2, potem dla c=3… każdy narysowany wykres
podpisuj, że to np. było dla c=1.

5. A teraz się zastanów czy jak ciągle zwiększałeś to c, to

wykres przyjmował coraz mniejsze wartości czy większe?
Wyobraź to sobie w 3D.

6. Raczej gdy masz takie funkcje to powinno wyjśd:

kieliszek

stożek

klepsydra

Granica (obliczyd):

1. Gdy wychodzi 0/0 to:
2. Zobacz czy wyrażenia ze zmiennymi się powtarzają i czy są

identyczne? Jeśli tak to przyjmij za nie i skorzystaj ze
Szpitala. Niech ci nie przyjdzie do głowy, w ostatnim kroku
znowu powracad do pierwotnego oznaczenia! Dałeś T to
nim się tylko zajmujesz i reszta cię nie obchodzi.

Granica (wyznaczyd, że nie istnieje):

1. To jest coś w deseo twierdzenia o trzech ciągach (ale nim

nie jest!).

2. Potrzebne są dwa ciągi. Jeden napiszesz z lewej strony

twojej podanej funkcji, a drugi z prawej (jak w tw. o
3ciągach). Zabawa polega na tym, że pod koniec obliczeo
ma wyjśd, że to z lewej dąży do czegoś innego niż to z
prawej.

3. Pierwszy ciąg. Weź

i zobacz co Ci wyjdzie

w

czyli w wyjściowej funkcji za x i y wstaw to

4. Później oblicz przykładowo

(to drugi ciąg) i zobacz

czy otrzymałeś inną wartośd tego do czego dąży. Jeśli tak to
jest OK. Jeśli nie to wymyśl jakiś inny ciąg.

5. „Granica nie istnieje ponieważ znalazłem 2 ciągi

argumentów funkcji f dla których wartości funkcji dążą do
różnych granic”.

Interpretacja geometryczna dziedziny:

1. Wyznaczyd dziedzinę. Pamiętad

!

2. Naszkicowad funkcje które wyszły, z tą różnicą, że zamazuje

się wszystko po lewej lub prawej stronie. Wykres rysujesz
linią przerywaną gdy nie ma „równe”.

3. Wszystkie warunki łączysz na jednym wykresie i zaznaczasz

częśd wspólną.

Policzyd z definicji pochodną:

1.

2. Wstawiasz podany punkt do wzoru i liczysz granicę „po x”.

Później liczyd „po y”. Wtedy wzór ulega lekkiej modyfikacji.
Teraz h dodajesz do y, a nie do x. Liczysz granicę.

3. Jakby ci wyszło kiedyś w koocowym wyniku coś na kształt

musisz policzyd dodatkowe granice dla tego wyrażenia
gdzie raz

Jak wychodzą różne to

znaczy, że tu nie istnieje pochodna.

Wielomian z trzecią resztą:

1.

Zobacz co jest ci potrzebne.

2. Liczymy wartośd funkcji w danym punkcie.
3. Policz pierwszą różniczkę.

czyli potrzebne są Ci pierwsze pochodne po x i

y. Później policz wartości tych pochodnych w danym pkt.
Pierwszą różniczkę napiszesz na 2 sposoby. Raz wstawisz
tam to co policzyłeś w pkt czyli np. df=0dx+0dy (przyda się
do wzoru wielomianu), a drugie za pomocą tego co wyszło
ci w pochodnych czyli np. sinxdx+sinydy (potrzebne do
obliczenia następnej różniczki).

4. Zobacz do wzoru wielomianu. Teraz potrzebne jest

a to jest różniczka z różniczki czyli

czyli to sinxdx+sinydy liczysz raz po x a raz po

y. Analogicznie jak poprzednio musisz mied 2 wersje drugiej
różniczki. jedną otrzymasz po obliczeniu tego co przed
chwilą napisałam, a druga (potrzebna do wielomianu) to
obliczysz wartośd w punkcie.

5.

postępujesz analogicznie (liczysz różniczkę z

różniczki po x i po y). Na samym koocu wstawiasz punkt

bo to ma byd reszta.

6. Teraz wstawiasz do wzoru wielomianu wszystkie dane. dx i

dy zamieo jako różnicę argumentów np. dx = x- 0; dy=y-2
dla punktu (0,2)

Znaleźd ekstremum:

1. Dziedzina.
2. Policzyd gradienty (pierwsze pochodne po x, y…) i

przyrównad do 0.

3. Rozwiązad powstały układ równao i wyznaczyd punkty

stacjonarne. Sprawdzid czy należą do dziedziny.

4. Tworzymy macierz Hessego. To macierz gdzie w pierwszym

wierszu są drugie pochodne kolejno po xx, xy… w drugim
yx, yy… ect. Policzyd drugie pochodne i wpisad w
odpowiednie miejsca.

5. Weź pierwszy punkt stacjonarny i policz dla niego macierz .

Czy w macierzy, w miejsce x, y wstaw współrzędne punktu.

6. Policz wyznaczniki. Stajesz w górnym lewym rogu liczysz

wyznacznik 1x1, później wyznacznik 2x2 i jeśli jest to 3x3.

7. Jeśli wszystkie wyznaczniki wyszły dodatnie to w tym

punkcie jest minimum lokalne. Gdy są wyznaczniki kolejno
ujemne, dodatnie, ujemne… to jest maksimum… wszystkie
inne kombinacje świadczą, że nie ma tam ekstremum.
Chyba, że gdzieś dostałeś wyznacznik =0. Jeśli tak to masz
problem xD Ale policz jeszcze raz. Miało nie byd hesjanu 0!

Obliczyd największą i najmniejszą wartośd funkcji:

1. Narysowad podany zbiór (dziedzinę).
2. Policz pochodne cząstkowe i przyrównaj do zera. Zobacz czy

pkt stacjonarne należą do dziedziny.

3. Patrzymy jaki ma kształt nasz zbiór i badamy wartośd na

kraocach przedziałów. Czyli ten „kraniec” (linię, krzywą)
musisz sobie oznaczyd jako jakiś wzór funkcji i powiedzied
na jakich x czy y jest to rozpięte (taka mini dziedzina). Jak to
masz to robisz sobie sprytny punkt P(x,y) gdzie za y
wstawiasz swoją funkcję obrazującą „kraniec”. Ten Punkt
wstawiasz do swojej głównej funkcji podanej w zadaniu.
Uff.. Teraz liczysz pochodną po x. Później przyrównujesz to
do zera. Wyliczasz x czy tam y i sprawdzasz czy należy do
twojej mini dziedziny.

4. Robisz analogicznie tak ze wszystkimi twoimi „kraocami”.

Na koniec zajmujesz się pkt. stac. które spełniały twoje
warunki oraz tymi co są najdalej wysunięte na wykresie
twojego zbioru. Liczysz ich wartośd i z nich wybierasz to
największe i najmniejsze.

Znaleźd ekstremum warunkowe:

1.

Wstawid do wzoru warunki

(pamiętaj, że one muszą byd w wersji takiej, gdzie po jednej
stronie jest 0).

2. Liczysz pierwsze pochodne (po λ też). Przyrównujesz do 0 i

liczysz pkt stac.

3. Macierz Hessego (instrukcja znaleźć ekstremum).
4. Policz gradient warunku (podanego w zadaniu) – to będzie

wektor.

5. Rozwiąż równanie

Mogą ci wyjśd dwa

parametry.

6. Wymnóż

to co ci wyszło jest

różniczką L. Zapisz ją. Wstaw odpowiednio parametry.
Zobacz czy jest to wyrażenie zawsze dod. ujemne czy
nijakie? Jeśli dod. to w tym pkt jest minimum, a jak ujemne
to maksimum. A jak masz wątpliwości to nie ma ex.

Znaleźd przybliżoną wartośd:

1. Zaproponuj jakąś podobną funkcję do danej (za liczby

wstaw zmienne).

2. Policz pochodne po x, po y, po z…
3. Wymyśl sobie punkt

a za współrzędne weź

liczby, które się łatwo liczy np. jak w wyjściowej funkcji

miałeś to twój x to 16. No bo wiesz ile to .

4. Policz wartości pochodnych w tym twoim punkcie.
5. Wstaw do wzoru na różniczkę

gdzie dx, dy to różnica argumentów (np.

gdzie 17 – Alinki, 16- Twoje.

6. Wstaw do wzoru. Gotowe. Finito. Koniec. Można iśd do

domu ;)