MATEMATYKA I 
 

ZESTAW ZADAŃ  

GRANICE CIĄGÓW 

 
1.  Obliczyć: 

a. 

6

4

5

2

lim









n

n

n

 

f. 

3

2

1

7

5

lim

3

3

4













n

n

n

n

n

 

j. 

1

1

1

1

3

2

2

3

lim

















n

n

n

n

n

 

n. 

1

3

1

lim

3

2









n

n

n

 

b. 

6

2

3

4

2

lim

2

2













n

n

n

n

 

g. 

1

2

2

7

2

lim

2

3















n

n

n

n

n

 

k. 

n

n

n

2

4

9

lim

2







 

o. 

10

2

3

lim









n

n

n

 

c. 

1

1

2

3

lim

3

2











n

n

n

n

 

h. 

2

3

3

2

lim









n

n

n

 

l. 

5

2

2

lim









n

n

n

 

p. 

1

1

lim

4

2











n

n

n

n

 

d. 

n

n

n

5

6

3

4

lim









 

i. 

n

n

n

n

n

n

6

3

1

4

2

lim

2

3













 

ł. 

1

2

2

lim









n

n

n

 

r.

1

2

1

3

3

2

lim













n

n

n

n

 

e. 



 











6

4

2

2

5

10

2

4

7

2

5

lim

2

2

n

n

n

n

n

n

n













 

m. 



 





 



8

2

2

2

6

4

2

2

3

2

10

2

3

5

lim

3

4

2

2

5

n

n

n

n

n

n

n

n

n

















 

 
 

2.  Obliczyć: 

a. 





n

n

n

n

5

lim

2









 

c. 





15

6

9

3

lim

2











n

n

n

n

 

e. 





n

n

n

n

5

16

4

lim

2









 

b. 





n

n

n

n

2

7

4

lim

2









 

d. 





1

2

lim

2

2











n

n

n

n

 

f. 





3

5

2

3

lim

2

n

n

n

n











 

 
 

3.  Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć: 

a. 

n

n

n

n

n

7

5

3

lim









 

c. 

n

n

n

n

9

6

lim







 

e. 

n

n

n

n

1

1

5

4

lim











 

g. 

2

1

cos

lim

n

n

n







 

b. 

n

n

n

n

n

100

10

1

lim









  d. 

n

n

n

n

7

4

3

2

lim











 

f. 

n

n

n

n

6

5

lim

1







 

h. 

1

3

4

sin

lim

2









n

n

n

n

 

 

4.  Obliczyć: 

a. 

n

n

n



















3

1

lim

 

e. 

2

4

1

lim

n

n

n



















 

i. 

n

n

n

n

n

2

2

2

lim



















 

ł. 

n

n

n



















2

1

1

lim

 

b. 

1

2

1

lim

















 

n

n

n

n

 

f. 

1

4

2

1

1

lim





















n

n

n

 

j. 

n

n

n

n

2

5

3

4

lim























 

m. 

n

n

n



















3

1

lim

 

c. 

4

2

1

lim

n

n

n



















 

g. 

1

4

2

2

lim





















n

n

n

n

 

k. 

n

n

n

n





















1

3

3

3

lim

 

n. 

n

n

n



















2

1

1

lim

 

d. 

n

n

n

n



















2

1

2

lim

 

h. 

4

1

3

3

lim





















n

n

n

n

 

l. 

n

n

n

n





















4

3

lim

 

o. 

2

2

2

2

2

lim





















n

n

n

n