Matematyka Dyskretna – wykład 6 

dr Marcin Raniszewski 

1 

 

Przykład: 

Firma 

A 

B 

C 

Części 

kupione 

40% 

10% 

50% 

Części 

wadliwe 

5% 

20% 

3% 

Jakie  jest  prawdopodobieństwo  zakupienia 
części wadliwej? 

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 6 

dr Marcin Raniszewski 

2 

 

 

Zdarzenia  losowe   

 

   

 

       

 

     nazywamy 

układem zupełnym zdarzeń jeśli: 



 

 

 

 

 

 

   

    



 

 

 

 

 

   

 

   

   

 (rozłączność) 



 

 

     

 

     

 

 

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 6 

dr Marcin Raniszewski 

3 

 

 

Prawdopodobieństwo całkowite: 

Niech   

 

   

 

       

 

     tworzą  układ  zupełny 

zdarzeń.  Wtedy  dla  dowolnego  zdarzenia 
     : 

            

 

         

 

 

 

   

 

Matematyka Dyskretna – wykład 6 

dr Marcin Raniszewski 

4 

 

Przykład: 

Firma 

A 

B 

C 

Części 

kupione 

40% 

10% 

50% 

Części 

wadliwe 

5% 

20% 

3% 

Jeśli  część  jest  wadliwa,  to  jakie  jest 
prawdopodobieństwo,  że  została  zakupiona 
w firmie B? 

Matematyka Dyskretna – wykład 6 

dr Marcin Raniszewski 

5 

 

 

Wzór Bayesa: 

Niech   

 

   

 

       

 

     tworzą  układ  zupełny 

zdarzeń.  Wtedy  dla  dowolnego  zdarzenia 
     : 

   

 

     

   

 

         

 

 

 

   

 

         

 

 

 

   

                      

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 6 

dr Marcin Raniszewski 

6 

 

 

Dowolną funkcję          nazywamy zmienną 
losową  określoną  na  przestrzeni  zdarzeń 
elementarnych  . 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 6 

dr Marcin Raniszewski 

7 

 

 

Symbolem        oznaczamy  zbiór  wartości 
zmiennej losowej  : 

                     

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 6 

dr Marcin Raniszewski 

8 

 

 

Zmienną losową   nazywamy dyskretną jeśli 
     jest przeliczalny. 

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 6 

dr Marcin Raniszewski 

9 

 

 

Przykład: 

Niech     składa  się  z  36  jednakowo 
prawdopodobnych  wyników  rzutu  dwiema 
symetrycznymi kostkami. Niech: 

 

 

              , dla            

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 6 

dr Marcin Raniszewski 

10 

 

 

Funkcją 

rozkładu 

prawdopodobieństwa 

(krótko:  rozkładem  prawdopodobieństwa) 
zmiennej  losowej  dyskretnej     nazywamy 
funkcję  

 

            taką, że: 

   

 

   

   

           

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 6 

dr Marcin Raniszewski 

11 

 

 

Dla 

dowolnej 

funkcji 

rozkładu 

prawdopodobieństwa zachodzi: 

   

 

       

      

 

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 6 

dr Marcin Raniszewski 

12 

 

 

Dyskretne zmienne losowe   i   są niezależne 
jeśli: 

                                       

      

      

 

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 6 

dr Marcin Raniszewski 

13 

 

 

Przykład: 

Niech                             oraz:  

                       
                       

                        

Czy zmienne losowe   i   są niezależne? 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 6 

dr Marcin Raniszewski 

14 

 

 

Przykład: 

Rzucamy  dwa  razy  symetryczną  kostką.  Niech 
 

 

 oznacza wynik rzutu na pierwszej kostce, zaś 

 

 

  –  sumę  oczek  na  obydwu  kostkach.  Czy 

zmienne losowe  

 

 oraz  

 

 są niezależne? 

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 6 

dr Marcin Raniszewski 

15 

 

 

Dyskretne  zmienne  losowe   

 

   

 

       

 

  są 

niezależne jeśli: